Tipler

Elektrischer Strom Gleichstromkreise
25
Bei manchen (potenziell gefährlichen) Tätigkeiten, wie hier dem
Fremdstarten eines Autos, ist es
nützlich, sich mit der Funktionsweise von Gleichstromkreisen auszukennen .
,
• Welcher Anschluss des Fremdstartkabels gehört an welchen Pol
der Batterie? Die Antwort wird in
Beispiel 25 .15 besprochen .
25.1
Elektrischer Strom und die Bewegung von
Ladungsträgern
25.2 Widerstand und Ohm'sches Gesetz
25.3 Energetische Betrachtung elektrischer Stromkreise
25.4 Zusammenschaltung von Widerständen
25.5
Die Kirchhoff'schen Regeln
25.6 Re-Stromkreise
Wenn wir Licht einschalten verbinden wir die Glühlampe mit den Polen
'
el?er SpannungsqueUe, zwischen denen eine Potenzialdifferenz besteht.
Dtese Potenzialdifferenz bewirkt, dass elektrische Ladungen durch den
Glühdraht fließen _ ähnlich wie Wasser, das infolge des Druckunterschieds durch einen Gartenschlauch strömt, sobald wir den Wasserhahn
aUfdrehen. Einen Fluss elektrischer Ladungen bezeichnet man als elektrischen Strom. Wir denken dabei normalerweise an Ladungsträger, die sich
durch einen leitfähigen Draht bewegen. Weniger alltägliche Beispiele sind
der Elektronenstrahl einer Bildröhre oder ein Ionenstrahl in einem Teilchenbeschleuniger.
.
782
I
»> 25 ELEKTRISCHER STROM - GLEICHSTROM KREISE
CD-- CD--
I
'A
@-@- -\l--'-_ _
25.1 Ein Abschnitt eines stromdurchflossenen Drahts. Fließt während
der Zeit At die Ladungsmenge Aq durch die Querschnittsfläche A ,
so ist der Strom durch A definiert gemäß 1= Aq/M.
25.1 Elektrischer Strom und die
Bewegung von Ladungsträgern
Die Rate, mit der elektri che Ladung durch eine FlächeA fließt,
bezeichnen wir definition gemäß als elektrischen Strom. In
Abbildung 25.1 sehen Sie einen Abschnitt eines stromdurchflossenen Drahts, in dem sich Ladungsträger bewegen. Ist I':"q die
innerhalb der Zeit ßt durch die QuerschnittsflächeA des Drahts
fließende Ladung, so gilt für den Strom
1 = Öq
Öt
(25.1)
DEFINITION DES ELEKTRISCHEN STROMS
Die SI-Einheit des Stroms ist das Ampere (A):
1 A= 1 Ci s.
25.2 Während der Zeit Al gelangen alle freien Ladungsträger, die sich
zu Beginn im schattiert gezeichneten Voumen befinden, durch die
Fläche A. Sind (nj V ) Ladungsträger, jeweils mit der Ladung q, pro
Volumeneinheit vorhanden, so ist die freie Gesamtladung im gezeigten
Volumen Aq = q (nj V ) A Ud Al mit Vd als Driftgeschwindigkeit der
Ladungsträger.
~ In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit Gleichstromkreisen; das sind Stromkreise, in denen sich die Stromrichtung nicht
ändert. Zu solchen Stromkreisen gehört eine Gleichspannungsquelle (eine Batterie), die mit Widerständen und Kondensatoren verbunden sein kann. In Kapitel 29 werden wir uns Wechselstromkreisen (Kreisen, in denen sich die Stromrichtung ständig
ändert) zuwenden.
Überlegen wir, was geschieht, wenn wir den Schalter eines
Stromkreises schließen: Eine winzig kleine Ladungsmenge sammelt sich an den Oberflächen der Leitungsdrähte und anderer
leitfähiger Bauelemente an. Diese Ladungen erzeugen ein elektrisches Feld, das die freien Ladungsträger in allen leitfähigen
Materialien des Stromkreises in Bewegung setzt. Der Aufbau
des Stromflusses ist ein komplizierter Vorgang, während dessen
an vielen Punkten des Kreises vorübergehend Ladung akkumuliert wird, aber er dauert nur eine äußerst kurze Zeit an. In
Abhängigkeit von der Größe und der Leitfähigkeit der Bauelemente stellt sich fast sofort - zu schnell, als dass wir den Prozess
in seinem Verlauf bemerken oder verfolgen könnten - ein stationärer Zustand ein: Der Strom fließt gleichmäßig, nirgendwo im
Stromkreis sammelt sich Ladung an. (In Stromkreisen, die Kondensatoren und Widerstände enthalten, kann der Strom langsam
ab- oder zunehmen. Merkliche Veränderungen ereignen sich
aber nur im Verlauf deutlich längerer Zeiträume, als sie zur Einste llung des stationären Zustands erforderlich sind.)
(25.2)
In Kapitel 26 werden wir das Ampere anband der Kraft definieren die zwei stromdurchflossene Leiter aufeinander ausüben;
die 'Ladungseinheit Coulomb ist davon ausgehend definiert als
ein Ampere mal Sekunde_
Die Richtung des Stroms entspricht vereinbarungsgemäß der
Richtung, in die sich die positiv geladenen Ladungsträger be~e­
gen. Diese Konvention stammt aus einer Zeit, in der noch OIc~t
bekannt war, dass die negativ geladenen freien Elektronen für
den Stromfluss in Metalldrähten verantwortlich sind. Elektronen bewegen sich folglich stets entgegengesetzt der konventionellen Stromrichtung. (Positive Ladungsträger hingege~ , z.B.
Protonen in dem von einem Beschleuniger erzeugten TeIlchenstrahl, fließen gegebenenfalls in der konventionellen Stromrichtung.)
Die Bewegung negativ geladener freier Elektronen durch ein~n
leitfähigen Draht ist ein recht komplexer Vorgang. Solangekem
elektrisches Feld am Draht anliegt, bewegen sich die Elektronen
mit relativ hoher Geschwindigkeit (in der Größenordnung von
6
10 m/s) in zufälligen Richtungen. Dabei stoßen sie ständig I11lt
den Gitterionen des Metalls zusammen. Da die GesChwllldlgkeitsvektoren zufällig orientiert sind, ist die mittlere Geschw!ndigkeit der Ladungsträger null. (Die mittlere Energie der freien
Elektronen eines Metalls ist selbst bei sehr niedrigen Temperaturen hoch. Für diese Ladungsträger haben die klassische Max. hver teilunoswell-Boltzmann-Energieverteilung und der Glelc
b
satz keine Gültigkeit. Wir beschäftigen uns mit di.es~m ~e;~
in Kapitel 38, wo wir auch die mittlere Geschwmdigkelt
Elektronen berechnen werden.)
..
.
. außeres
Em
elektnsches
Feld übt auf .
Jedes '
freIe EI ektron einer
.
Kraft -eE aus und beschleunigt es damtt entgegengesetzt dzun
Feldrichtung. Die erworbene kinetische Energie geht :_
Ladun~strägern durch Stöße mit d.en Gitteri?nen z~a~I~:r;O_
hend Wieder verloren für kurze ZeIt aber beSItzen die
e
nen eine zusätzliche Geschwindigkeitskomponente entge~~~:si~
setzt zur Richtung des elektrischen Felds. Durch den una dlun
o
.
gen Wech seI von Beschleumgung
un d E ne rgieumwanbt. Sieb
bewegen sich die Elektronen langsam durch den Dra ~nn­
"driften" entgegengesetzt zur Feldrichtung mit der so gen
ten Driftgeschwindigkeit Vd'
I . t der
BeweInDie Bewegung freier Elektronen in einem Metalls
. bar
gung der Moleküle in einem Gas (etwa Luft) vergleich .
25.1 ELEKTRISCHER STROM UND DIE BEWEGUNG VON LADUNGSTRÄGERN «<
I
BEISPIEL 25.1: Berechnung der Driftgeschwindigkeit
Leitungsdrähte für Experimente im Labor bestehen gewöhnlich aus Kupfer. Wir betrachten einen Kupferdraht mit
einem typischen Durchmesser von 1,63 mm. Berechnen Sie die Driftgeschwindigkeit der Elektronen, wenn durch einen
solchen Draht ein Strom von 1 A fließt. Nehmen Sie dazu an, dass Kupfer ein freies Elektron pro Atom enthält.
Problembeschreibung:
Gleichung 25.3 gibt die Beziehung zwischen der Driftgeschwindigke it und der Anzahldichte der Ladungsträger (die gleich
der Anzahldichte der Kupferatom e ncu/V ist) an. Wir berechnen neufVaus der Avogadro-Konstante sowie der Massendichte
und der molaren Masse von Kupfer.
Lösung:
1. Die Beziehung zwischen dem Strom, der Driftgeschwincligkeit und der Anzahldichte der Ladungsträger lautet:
2. Wenn pro Atom ein freies Elektron vorhanden ist, so ist
die Anzahldichte der Ladungsträger gleich der Anzahldichte
der Atome:
(n/ V ) = (neu / V )
3. Die Anzahldichte der Kupferatome (neu/ V ) erhalten Sie
aus der Massendichte p, der Avogadro-Zahl n A und der
3
Molmasse m Mo1 ' Für Kupfer ist p = 8,93 g/ cm und
mMol = 63,5 g/ mol:
(8,93 g/cm3 ) . (6,02 · 102.1 Atome / mol )
63 , 5 g/ mol
= 8,47 . 1022 Atome/cm
= 8,47 . L02S Atome/m
4. Elektronen tragen die Ladung -e. Die Querschnittsfläche
A des Drahts berechnen Sie aus dessen Durchmesser:
3
= 84,7
Atome/nm]
3
q = -e
cf
A = Jl 4
5. Anschließend setzen Sie alle Zahlenwerte ein:
v d -
I
- 41
(n/V) qA - (neu/ V ) eJl d2
_
- 1 Ci s
- (8,47. 1028 m- 3 ) . (1,6.10- 19 C) . Jl. (8.15 · 10
= - 3,54· 10- 5 m/ s =
1- 3,54· 10
2
mm/s
4 m )2
I.
Kommentar: Vd ist negativ, weil die Elektronenladung negativ ist. Typische Driftgeschwindigkeite n li ege n in der
Größenordnung weniger hundertstel Millimeter pro Sekunde. Im makroskopischen Maß tab i t das ehr wenig.
5
ÜBUNG: Wie lange braucht ein Elektron mit einer Dri ftgesc hwindigkeit von 3,5 . 10 - mI , um von de r Batterie Ihres
Autos bis zum StartemlOtor zu gelan gen? (D as Kabel ist etwa einen Meter lang.) (Lösung: 7,9 h.)
Luft, die wir als unbewegt empfinden, bewegen sich die Moleküle aufgrund ihrer thermischen Energie mit großen Momentangeschwindigkeiten , ihre mittlere Geschwindigkeit hingegen ist
null. Weht ein leichter Wind , so ist den großen Momentangeschwindigkeiten eine kleine Geschwindigkeitskompon ente
(~der Driftgeschwindigkeit) in Windrichtung überlagert, und
~Ie Moleküle bewegen sich gemeinsam (für uns wahrnehmbar)
10 ei ne Richtung. Analog ist die mittle re Geschwindigkeit des
Elektronengases in einem Metall null, solange kein äußeres elekt~isches Feld anliegt. Das Anlegen eines solchen Felds bewirkt
eine Drift des Elektronengases.
Es sei nun nlV die Anzahl freier Ladungsträger pro Volumeneinheit - die Anzahldichte _ in einem elektrischen Leiter mit der
Querschnütsfläche A. Wir vereinbaren , dass die Teilchen jeweils
die Ladung q tragen und sich mit der Driftgeschwindigkeit V d
senkrecht zur Fläche bewegen. Während der Zeit t:.{ ge langen
alle Ladung träger aus dem in Abbildung 25.2 schattiert
gezeichneten Volumen A Vd ß[ durch die Fläche A. Di e Te ilchen za hl in diesem Volumen i t (n/ V) A Ud t:.t, und die gc amte freie
Ladung ist dann
t:.q = q (n /V)Av d t:.1.
Für den Strom (die Strom tärke) erha lten wir damit
(25.3)
STROM UND DRIfTGESCHWINDIGKEIT
783
782
I
>;
25 ELEKTRISCHER STROM - GLEICHSTROM KREISE
CD----- CD-----
'J
'A
(j)--- G)- \
25.1 Ein Abschnitt eines stromdurchflossenen Drahts. Fließt währe nd
de r Zeit 6.( die La dungsmenge 6.q durch die Querschnittsfläche A,
so ist der Strom durch A defin iert gemä ß 1= 6.q/M .
25.1 Elektrischer Strom und die
Bewegung von Ladungsträge rn
Die R ate, mi t de r e lektrische Lad ung durch eine Fläche A fließt,
bezeichne n wir definit io n gemäß als elektrischen Strom. In
Abbildung 25. 1 sehen Sie ei ne n Abschnitt e ines stromdurchflossenen Drahts, in de m ich Lad ungsträger b e wegen. Ist öq die
inn e rhalb der Z eit Öl durch d ie Que r chnittsflächeA des Drahts
fli e ße nde Ladung, so gi lt für den Strom
1 = öq .
Ö(
(25.1)
D EF INITION DES ELEKTRISCHEN STROMS
Die SI-Einheit des Stroms ist das Ampere (A):
1A
25.2 Während der Z e it flt gelangen alle frei en Ladungsträger, die sich
zu Beginn im schattiert gezeichneten Voume n befinden, durch die
Fläche A. Sind (n j V ) Ladungsträger, jeweils mit der Ladung q , pro
Volumeneinhe it vorhanden, so ist die freie Gesamtladung im gezeigten
Volumen 6.q = q (n j V ) A Vd 6.( mit Vd als Driftgeschwindigkeit der
Ladungsträger.
~ In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit Gleichstromkrei·
sen; das sind Stromkreise, in denen sich die Stromrichtung nicht
ändert. Zu solchen Stromkreisen gehört eine Gleichspannungs·
queUe (eine Batterie), die mit Widerständen und Kondensato·
ren verbunden sein kann. In Kapitel 29 werden wir uns Wechselstromkreisen (Kreisen, in denen sich die Stromrichtung ständig
ändert) zuwenden.
Überlegen wir, was geschieht, wenn wir den Schalter eines
Stromkreises schließen: Eine winzig kleine Ladungsmenge sammelt sich an den Oberflächen der Leitungsdrähte und anderer
leitfähiger Bauelemente an. Diese Ladungen erzeugen ein elektrisches Feld, das die freien Ladungsträger in allen leitfähigen
Materialien des Stromkreises in Bewegung setzt. Der Aufbau
des Stromflusses ist ein komplizierter Vorgang, während dessen
an vielen Punkten des Kreises vorübergehend Ladung akkumuliert wird, aber er dauert nur eine äußerst kurze Zeit an. In
Abhängigkeit von der Größe und der Leitfähigkeit der Bauelernen te stell t sich fast sofort - zu schnell , als dass wir den Prozess
in seinem Verlaufbemerken oder verfolgen könnten - ein stationärer Zustand ein: Der Strom fließt gleichmäßig, nirgendwo im
Stromkreis sammelt sich Ladung an. (In Stromkreisen, die Kondensatoren und Widerstände enthalten, kann der Strom langsam
ab- oder zunehmen. Merkliche Veränderungen ereignen sich
aber nur im Verlauf deutlich längerer Zeiträume, als sie zur Einstellung des sta tionären Zustands erforderlich sind.)
= 1 Ci s.
(25.2)
In Kapitel 26 werden wir das Ampere anhand der Kraft definieren die zwei stromdurchflos ene Le iter aufeinander ausüben;
die 'Ladungseinheit Coulomb ist davon ausgehend definiert als
ein Ampere mal Sekunde.
Die Richtung des Stroms entspricht vereinbarungsgemäß der
Richtung, in die sich die positiv geladenen Ladungsträger bewegen. Diese Konvention stammt aus einer Zeit, in der noch nicht
bekannt war, dass die negativ geladenen freien Elektronen für
den Stromfluss in Metalldrähten verantwortlich sind. Elektronen bewegen sich folglich stets entgegengesetzt der konventionellen Stromricbtung. (Positive Ladungsträger hingegen, z. B.
Protonen in dem von einem Beschleuniger erzeugten Teilchenstrahl, fließen gegebenenfalls in der konventionellen Stromrichtung.)
Die Bewegung negativ geladener freier Elektronen durch einen
leitfähigen Draht ist ein recht komplexer Vorgang. Solange kein
elektrisches Feld am Drabt anliegt, bewegen sich die Elektronen
mit relativ hob er Geschwindigkeit (in der Größenordnung von
106 m/s) in zufälligen Richtungen. Dabei stoßen sie ständig mit
den Gitterionen des Metalls zusammen. Da die Geschwindigkeitsvektoren zufällig orientiert sind, ist die mittlere Geschwindigkeit der Ladungsträger null. (Die mittlere Energie der freien
Elektronen eines Metalls ist selbst bei sehr niedrigen Temperaturen hoch. Für diese Ladungsträger haben die klassische Maxwell-Boltzmann-Energieverteilung und der Gleichverteilung satz keine Gültigkeit. Wir beschäftigen uns mit diesem Thema
in Kapitel 38, wo wir auch die mittlere Geschwindigkeit der
Elektronen berechnen werden.)
Ein äußeres elektrisches Feld übt auf jedes freie Elektron eine
Kraft - eE aus und beschleunigt es damit entgegengesetzt zur
Feldrichtung. Die erworbene kinetische Energie geht den
Ladungsträgern durch Stöße mit den Gitterionen zwar umgehend wieder verloren, für kurze Zeit aber besitzen die Elektronen eine zusätzliche Geschwindigkeitskomponente entgegengesetzt zur Richtung des elektrischen Felds. Durch den unablässigen Wechsel von Beschleunigung und Energieumwandlung
bewegen sich die Elektronen langsam durch den Draht: Sie
"driften" entgegengesetzt zur Feldrichtung mit der so genannten Driftgeschwindigkeit Vd'
Die Bewegung freier Elektronen in einem Metall ist der Bewegung der Moleküle in einem Gas (etwa Luft) vergleichbar: In
25.1 ELEKTRISCHER STROM UND DIE BEWEGUNG VON LADUNGSTRÄGERN < < <
I
BEISPIEL 25.1: Berechnung der Driftgeschwindigkeit
Leitungsdrähte für Experimente im Labor bestehen gewöhnlich aus Kupfer. Wir betrachten einen Kupferdraht mit
einem typischen Durchmesser von 1,63 mm. Berechnen Sie die Driftgeschwindigkeit der Elektronen, wenn durch einen
solchen Draht ein Strom von 1 A fließt. Nehmen Sie dazu an, dass Kupfer ein freies Elektron pro Atom enthält.
Problembeschreibung:
Gleichung 25.3 gibt die Beziehung zwischen der Driftgeschwindigkeit und der Anzahldichte der Ladungsträger (die gleich
der AnzaWdichte der Kupferatome ncu/V ist) an. Wir berechnen ncu/ Vaus der Avogadro-Konstante sowie de r Massendichte
und der molaren Masse von Kupfer.
Lösung:
1. Die Beziehung zwischen dem Strom, der Driftgeschwindigkeit und der Anzahldichte der Ladungsträger lautet:
2. Wenn pro Atom ein freies Elektron vorhanden ist, so ist
die Anzahldichte der Ladungsträger gleich der Anzahldichte
der Atome:
3. Die Anzahldichte der Kupferatome (ncu/V) erhalten Sie
aus der Massendichte p, der Avogadro-Zabl nA und der
Molmasse mMol . Für Kupfer ist p = 8,93 g/ cm 3 und
mMol = 63 ,5 g/ mol:
(n/V)
= (ncu/V)
p nA
(neu/ V) = - m Mol
(8,93 g/ cm
= 8,47.1022
= 8,47 . 1028
4. Elektronen tragen die Ladung -e. Die Querschnittsfläche
A des Drahts berechnen Sie aus dessen Durchmesser:
q
3
(6,02 . 1023 Atome/ mol )
63 ,5 g/mol
) .
3
Atome/ cm = 84,7 Atome/ nm 3
Atome/ m
3
= -e
d2
4
A =:n:/
5. Anschließend setzen Sie alle Zahlenwerte ein:
Vd
- 4/
= (n/ V) qA = (neu/ V) e:rc d2
_
- (8,47 . 1028
m - 3) .
= - 3,54.10- 5 m/s
- 1 Ci s
(1,6.10- 19 C) .:rc. (8,15 . 10- 4
=
m )2
1-3,54 . 10- 2 mm / I.
Kommentar: Vd ist negativ, weil die ElektronenJadung negativ ist. Typische Driftgeschwindigkeiten liegen in der
Größenordnung weniger hundertstel Millimeter pro Sekunde. Im makroskopischen Maßstab ist das sehr wenig.
ÜBUNG: Wie lange braucht ein Elektron mit einer Driftgeschwindigkei t von 3,5.10 - 5 mls, um von der Batterie ihre
Autos bis zum Startermotor zu gelangen? (Das Kabel ist etwa einen Meter lang.) (Lösung: 7,9 h.)
Luft, die wir als unbewegt empfinden, bewegen sich die Moleküle aufgrund ihrer thermischen Energie mjt großen Momentangeschwindigkeiten, ihre mittlere Geschwindigkeit hingegen ist
null. Weht ein leichter Wind, so ist den großen Momentangeschwindigkeiten eine kleine Geschwindigkeitskomponente
(oder Driftgeschwindigkeit) in Windrichtung überlagert, und
die Moleküle bewegen sich gemeinsam (für uns wahrnehmbar)
in eine Richtung. Analog ist die mittlere Geschwindigkeit des
Elektronengases in einem Metall null, solange kein äußeres elektrisches Feld a nliegt. Das Anlegen eines solchen Felds bewirkt
eine Drift des Elektronengases.
Es sei nun n/V die Anzahl freier Ladungsträger pro Volumeneinheit - die Anzahldichte - in einem elektrischen Leiter mit der
QuerschnittsflächeA. Wir vereinbaren, dass die Teilchen jeweils
die Ladung q tragen und sich mit der Driftgeschwindigkeit Vd
senkrecht zur Fläche bewegen. Währe nd der Ze it 6..1 gelangen
alle Ladungsträger a us dem in Abbildung 25.2 schattiert
gezeichneten Volumen A Ud 6../ durch die Fläche A. Die Teilchenzahl in diesem Volumen ist (n/ V ) A Vd 6.(, und die gesamte freie
Ladung ist dann
6.q
= q (n / V )A Vct 6.t .
Für den Strom (die Stromstä rke) erhalten wir damit
6.q
/ = 6./
= q (n/ V ) A Vd.
(25.3)
STROM UND DRIFTGESC HWINDIGK EIT
783
784
1
»> 25 ELEKTRISCHER STROM - GLEICHSTROMKREISE
BEISPIEL 25.2: Berechnung der Anzahldichte
er La un sträger
In einem Teilchenbeschleuniger wird ein 5-MeV-Protonenstrahl mit einem Radius von 1,5 mm erzeugt, der ei nen Strom
von 0,5 mA führt. a) Berechnen Sie die Anzahldichte der Ladungsträger im Strahl. b) Im Strahlweg befinde sich eine
Materialprobe (ein Target). Wie viele Protonen treffen pro Sekunde auf dem Target auf?
Problembeschreibung: Z ur Be rechnung der A nzahldi chte wende n wir G leichung 25.3 an: I = q (npjV)Avp; V p sei die
Driftgeschwi ndigkeit (die mittle re G eschwindigke it ) der Proton e n, die wir a us deren kinetischer Energie erh alten. Die
während!1t auf de m Target auftreffe nde Ladungsme nge q ist gle ich 1 !1t , d ie gesucht e Anzahill p der Proto ne n ergibt sich als
Quotient aus G esa mtl adung t:J.q und de r Ladung e e ines Protons.
Lösung:
Teilaufgab e a
L Die Bezie hung zwische n Anzahldichte der Ladungsträger,
Strom, Ladung, Querschnittsfläche und G eschwindigke it
lautet:
1 = e (n p/V) Aup
2. Die Geschwindigkeit der Protonen ergibt sich aus dere n
kinetischer Energie:
_/2 E
kin
_
---
3. Lösen Sie dies nach v p auf; für die Masse des Protons setzen Sie mp = 1,67·10-27 kg ein:
Vp -
4. Dies setzen Sie in die Beziehung aus Schritt 1 ein und
berechnen (np / V ):
(np / V ) =
A e Vp
mp
(2) .
(5 · lOb e V) 1,6. 10- 19
1.6· lQ
27
kg
J
1 eV
1
0.5 . 10- 3 A
(1 ,6 .10- 19 C/ Proton ) .
Jr .
(1,5 . 10- 3
m )2.
(3, 10 .107 m/ s)
= 1 1 ,43.10 13 protonen / m) /
Teilaufgabe b
1. Die Anzahl np der pro Sekunde auf dem Target auftreffenden Protonen hängt mit der während einer Sekunde
auftreffenden Gesamtladung und der Ladung e eines Protons zusammen:
t:J.q
=
np e
2. Die während t+..l auftreffende Ladung t:J.q ist gleich dem
Produkt aus Strom und Zeit:
t:J.q
=
I t:J.t
3. Für die gesuchte Anzahl der Protonen erhalten Sie damit:
n p -
=
t:J.q
-
-;- -
1
1 t:J.t
(0,5 · 10- 3 A ) . (1 s)
-e- - (1 ,6 . 10- 19 C / Proton)
3,13 . 10 15 protonen/
, Plausibilitätsprüfung: Die Anzahl I1p der Protonen, die das Target in der Zeit M treffen , ist gleich der Anzahl der Pro- tonen im Volumen AVpM; es gilt np = (np / V)Avp!1t. Mit (np / V) = I / (eAvp ) ist np = (np / V ) Avp!1t
= (l / (eA vl, ))(A v p ) M = I t:J.t / e = t:J.q / e. Diese Beziehung haben wir in Teilaufgabe b verwendet.
Kommentar: Wir durften in Schritt 2 die klassische Beziehung für die kinetische Energie verwenden , ohne relativistische
Effekte in Betracht ziehen zu müssen , weil die kinetische Energie der Protonen (5 MeV) viel geringer ist als deren Ruheenergie (rund 931 MeV). Die berechnete Geschwindigkeit, 3,1,107 m/s, entspricht ungefähr einem Zehntel der Lichtgeschwindigkeit.
ÜBUNG: Wie viele Protonen befinden sich in einem Kubikmillimeter des Raums, der von dem Strahl durchlaufen wird?
Verwenden Sie die in Teilaufgabe a berechnete Anzahldichte. (Lösung: 14300.)
25 .2 WIDERSTAN D UND OHM' SCHES GESETZ
«<
I
Mit Hilfe von Gleichung 25.3 können wir den Strom berechn en ,
der durch die Bewegung beliebiger Ladungsträger e rzeugt wird .
Wir müssen dazu lediglich die Driftgeschwindigkeit Vd durch die
Geschwindigkeit der Ladungsträger ersetzen. In Be ispi el 25.1
wird anband dieser G le ichung die Driftgeschwindigkeit für
einen gegebenen Strom berechne t, in Beispie l 25.2 die Anzahldichte von Protonen in e ine m Te ilchenstrahl.
Die Anzahldichte de r Ladungsträger in einern elektrischen Leiter kann man unte r Ausnutzung des Hall-Effekts messen , den
wir in Kapitel 26 besprechen werden. Es stellt sich heraus, dass
Metalle ungefähr ein fre ies Ele ktron pro Atom enthalten.
Wir haben berechne t, wie langsam sich die Elektronen durch
einen Draht bewegen, wenn ein Strom fließt. Wie kommt es
dann, dass eine Glühlampe sofort zu leuchten beginnt, wenn
wir den Lichtschalter betätigen? Um dies zu verstehen, denken
Sie wieder an einen Gartenschlauch. Stellen Sie sich vor, Sie
schließen einen 30 m langen, leeren Schlauch an die Wasserleitung an. Nachdem Sie den Wasserhahn aufgedreht haben, vergehen sicherlich mehrere Sekunden, bis das Wasser vorne aus dem
Schlauch zu strömen beginnt. Ist der Schlauch hingegen bereits
gefüllt, wenn Sie das Ventil öffnen, so fließt das Wasser praktisch
unverzüglich heraus. Teilen Sie die Wassersäule im Scblauch
gedanklich in viele kleine Segmente ein. Wenn Sie den Hahn
bei gefülltem Schlauch aufdrehen, so drückt das dem Hahn
anschließende Segment auf das nächstliegende und so weiter,
bis das letzte Segment vorne aus dem Schlauch gedrückt wird.
Die Druckwelle breitet sich durch den Schlauch mit der Schallgeschwindigkeit (in Wasser) aus. Nach kurzer Zeit strömt die
Flüssigkeit mit stationärer Geschwindigkeit.
Ein Schlauch kann leer sein; in einern Metalldraht hingegen
befinden sich stets sehr viele freie Elektronen. Unmittelbar
nach der Betätigung des Lichtschalters setzt die Bewegung der
Ladungsträger auf der ganzen Länge des Drahts (einschließlich
des Glühfadens in der Lampe) ein. Größere Ladungsmengen
werden njcht durch den Leiter transportiert, indern sich wenige
Ladungsträger schnell bewegen, sondern indem eine sehr große
Zahl von Ladungsträgern langsam den Draht entlangdriftet.
Maßgeblich für die Anfangsbeschleunigung der Ladungsträger
ist die Zeit, die für den Aufbau des elektrischen Felds benötigt
wird, das die Ladungsträger durch den Leiter treibt.
25.2 Widerstand und Ohm'sches
Gesetz
Ein elektrischer Strom fließt, wenn innerhalb eines Leiters ein
elektrisches Feld E herrscht. Das Feld übt auf die freien
Ladungsträger die Kraft q E aus. (Im elektrostatischen Gleichgewicht muss das elektrische Feld im Leiter null sein; sobald
ein Strom fließt, befindet sich das System aber nicht mehr im
Gleichgewicht, und freie Ladungsträger bewegen sich durch
den Leiter.) Die Richtung der auf eine positive Ladung wirkenden Kraft entspricht der Richtung des elektrischen Felds. Das
bedeutet, E zeigt in Stromrichtung.
In Abbildung 25.3 sehen Sie einen Leiterabschnitt mit der
Länge l:l.eund der Querschnittsfläche A, durch den ein Strom J
fließt. Das elektrische Feld zeigt in Richtung abnehmenden
Potenzials; das Potenzial ist in Punkt a also höher als in Punkt
b. Vereinbarungsgemäß stellen wir uns den Strom als Bewegung
25.3 Durch den Leiterabschnitt mit der Lä nge /':,f Oießt ein Strom I.
Die Beziehung zwische n Spannun g und ele ktri sche m Feld lautet
cPa - cPh = IEI M.
positiver Ladungsträger vor. Die positiven Ladungsträge r bewegen sich dann in Richtung abnehmenden Potenzials. Unter der
Voraussetzung eines homogenen ele ktrischen Felds im Leiter
erhalten wir für die Potenzialdifferenz (die Spannung) U zwischen den Punkten a und b
U=
rpa - rpb = IE IM.
(25.4)
Den Quotienten aus Spannung und Strom nennt man Widerstand des Leiterabschnitts:
(25 .5)
DEFINITION DES WIDERSTANDS
Die SI-Einheit des Widerstands (Volt geteilt durch Ampere) ist
das Ohm (Q):
lQ = lV / A.
(25 .6)
785
786
I
»
25 ELEKTRISCHER STROM - GLEICHSTROM KREISE
(a) I
(b) I
u
u
25.4 U als Funktion von I für Materialien, die das Ohm 'sehe Gesetz a) befolgen und b) nieht befolgen . Im ersteren Fa ll hängt der Widerstand
R = UII nicht von I ab, wie Sie a us dem linearen Ve rlauf des Graphen in a erkennen können.
Tabelle 25.1 Spezifischer Widerstand
und Temperaturkoeffizient
Material
Spezifischer Widerstand Temperaturkoeffizient
alK- I bei 20 0 e
rlQ · m bei 20 0 e
Silber
Kupfer
Aluminium
Wolfram
Eisen
Blei
Quecksilber
Nichrom
Kohlenstoff
Germanium
Silicium
Holz
Glas
Hartgummi
Bernstein
Schwefel
1,6,10- 8
1,7 .10 - 8
2,8 ,10 - 8
5,5,10 - 8
10.10- 8
22.10 - 8
96 .10 - 8
100.10 - 8
3500.10- 8
0,45
640
108 _10 14
10 10 _ 10 14
10 13 _ 10 16
5.10 14
10 15
D e r Widerstand vieler Materialien, insbesondere der meisten
Metalle, hängt weder von Spannung noch vom Strom ab. Man
bezeichnet di e als Ohm'sches Verhalten. Die Spannung über
ei nem Leiterabsc hnitt ist in diesem Fall zum Strom direkt proportional:
U
3,8,10 -3
3,9, 10 -3
3,9 .10 -3
4,5 .10-3
5,0,10 -3
4,3,10 -3
0,9,10 -3
0,4,10 - 3
- 0,5 .10-3
-4,8.10 -2
-7,5 .10 -2
=RI ,
R
= konstant.
(25.7)
OHM'SCHES GESETZ
Bei Stoffen, für die das Ohm' ehe G esetz nicht gilt, hängt der
Widerstand vom fließenden Strom I ab; folglich ist U nicht proportional zu l. In Abbildung 25.4 wurde die Spannung U als
Funktion von I für beide Situationen aufgetragen: Verhält sich
das Material nach dem Ohm 'sehen Gesetz, so ist der Zusammenhang linear (Abbi ldung 4a), ansonsten erhält man eine
nichtlineare Funktion (Abbildun g 4b). Das Ohm'sche Gesetz
ist kein grundlegendes Naturgesetz wie etwa die Newton'schen
Axiome oder die Hauptsätze der Thermodynamik, sondern eher
eine empirische Beschrei bung des Verhaltens vieler (längst
nicht aller) elektrischer Leiter.
ÜBUNG: In einem Draht mit einem Widerstand von 3 Q
fließt ein Strom von 1 5 A. Berechnen Sie die Spannung
über dem Draht.
(Lösung: 4,5 V)
Im Experiment zeigt sich, dass der Widerstand eines Leiters proportional zu dessen Länge und umgekehrt proportional zu dessen Querschnitt ist:
f
R = r-
A'
(25.8)
Der Proportionalitätsfaktor ,. ist de r spezifische Widerstand,
eine stoffspezifische Eigenschaft mit der Einheit Ohmmeter
(Q. m) , und wird in einer unmittelbaren Anwendung in den Beispielen 25.3 und 25.4 betrachte t. Beispiel 25.5 schließlich verknüpft Gleichung 25.8 mit dem elektrische n Feld eines stromführenden Drahts. Sicherlich ist Ihne n aufgefallen, dass die
Gleichungen 25.7 und 25.8 für di e elektrische Leitung und den
elektrischen Widerstand den Bezie hunge n für die Wärmeleitung und den thermischen Widerstand analog sind (I':lT=! R,
Gleichung 20.9, bzw. R = !u/( kA ), Gleichung 20.10). Der
Temperaturdifferenz I':l Tentspricht dabei die Potenzialdifferenz
U, der Wärmeleitfähigkeit k entspricht 1/r. Tatsächlich bezeich-
25.3 ENERGETISCHE BETRACHTUNG ELEKTRISCHER STROMKREISE < < <
I
BEISPIEL 25.3: Länge eines Widerstandsdrahts
Ein aus der Legierung Nichrom (r = 10 6 Q . m) bestehender Draht hat einen Radius von 0,65 mm. Wie lang muss ein
solcher Draht sein, der einen Widerstand von 2,0 Q haben soll?
Lösung:
Lösen Sie Gleichung 25.8 (R =
r.e/A)
nach
4
e= RA = (2Q ) Jl(6,S·1O- m)2
r
10- 6 Q . m
e auf:
net man die Größe l /r auch als elektrische Leitfähigkeit mit der
Einheit Siemens (1 S = 1 Q- Im- I). Die Analogie zwischen
elektrischer und thermischer Leitung führte Georg Simon
Ohm zu dem nach ihm benannten Gesetz.
Der spezifische Widerstand aller Metalle hängt von der Temperatur ab. Abbildung 25 .5 zeigt den Zusammenhang am Beispiel von Kupfer: Der Graph ist näherungsweise linear, das
bedeutet, der spezifische Widerstand ist der Temperatur nahezu
direkt proportional. (Bei sehr tiefen Temperaturen ist die
Abhängigkeit nicht mehr linear; dies trifft für alle Metalle zu
und wurde in der Abbildung nicht berücksichtigt.) In Tabellenwerken findet man in der Regel den spezifischen Widerstand rzo
bei Raumtemperatur (20 °C), dazu wird ein Temperaturkoeffizient a angegeben mit
(r - r20) / rZO
a= T-20 C (T in °C).
0
-200
0
=1
I
. 26
' Sm.
T, oe
200 400
600 800
8.-----------------~,
E 6
<::4
"?
o
'"":2
...
o0
200 400
600 800 1000 1200
T, K
25.5 Spezifischer Widerstand r von Kupfer als Funktion der Temperatur. Da sich die Kelvin- und die Celsiusskala der Temperatur nur
in der Wahl des Nullpunkts unterscheiden , hat der Graph für Temperaturen in K und in oe den gleichen Anst ieg.
(25.9)
Tabelle 25.1 führt den spezifischen Widerstand r und den zugehörigen Temperaturkoeffizienten a, jeweils bei 20 °C, für verschiedene Materialien auf. Beachten Sie den enorm großen
Wertebereich von r!
Die Querschnitte von Leitungsdrähten sind genormt und liegen
bei handelsüblichen Drähten für Haushaltsgeräte in der Größenordnung von 1 mmZ'
Widerstände in elektronischen Geräten bestehen oft aus Kohlenstoff, einem Material mit einem relativ hohen spezifischen
Widerstand. Zur Kennzeichnung von Größen und Toleranzbereichen solcher Kohleschichtwiderstände verwendet man farbige Streifen. Tabelle 25.2 erläutert die Einzelheiten dieses
Farbcodes.
(a)
(b)
(c)
25.3 Energetische Betrachtung
elektrischer Stromkreise
Herrscht in einem Leiter ein elektrisches Feld, so verrichtet e
Arbeit an den freien Elektronen, und die Energie des Elektronengases nimmt zu. Nach kurzer Zeit hat sich jedoch ein Gleichgewicht eingestellt, weil die erworbene kinetische Energie durch
Zusammenstöße der Ladungsträger mit Gitterionen ständig in
thermische Energie, so genannte Joule'sche Wärme, umgewandelt wird.
Betrachten wir dazu einen Leiterabschnitt mit der Länge f und
der Querschnittsfläche A (Abbildung 25.6a). Durch den Draht
fließt von links nach rechts ein stationärer Strom. Zu Beginn
25.6 lnnerhalb der Ze it 61 fließt eine Ladungsmenge 6q an Punkt a
mit dem Potenzial <Pa vorbei. Gleichzeitig verlässt dieselbe Lad un gsmenge den Abschnitt durch Punkt b mit dem Potenzial <PI,. Di ese
Verschiebung hat folgenden Effekt: Die ursprün glich im Abschnitt
befindliche Ladung q verliert während 61 die e lektrische Energie
6q <P'I> gewinnt aber die e le ktrische E ne rgie 6q 4)~ hinzu . We il <P" > <Pb
ist, entspricht dies insgesamt einem Verlu t an elektrischer E nergie.
787
788
I
> > '> 25 ELEKTRISCHER STROM - GLEICHSTROM KREISE
BEISPIEL 25.4: Widerstand pro Längeneinheit
Berechnen Sie den Widerstand pro Längeneinheit eines Kupferdrahts mit einem Querschnitt von 1,5 m m 2 .
Lösung:
1. G e m äß Gle ichung 25.8 ist de r Wide rsta nd pro Lä ngen-
einhe it gle ich dem spezifi.sche n Widerstand pro Flächeneinheit:
2. Den spezifischen Widerstand von Kupfer e ntnehme n Sie
Tabelle 25.1:
e
R = rA
R
r
e=A
r
= 1,7 . 10- 8
A
= 1,5 mm 2
Qjm
LO- Q . m I
eR = Ar = 1,7·
1,5 . 10 6 m2 = U 3· 10
8
3. Setze n Sie di ese We rte in die Bezieh ung aus Schritt 1 ein
und berechnen Sie R jf:
2
Qj m
I
Kommentar: Kupferdraht mit einem Querschnitt von 1,5 mm 2 wird normal e rweise in Ha usha lt tromkre isen verlegt. D er
Widerstand des Glühdrahts einer 100-W-G lüh lampe, die mit der Netzspannung (230 V) be trie be n wird , be trägt 529 Q , der
Widersta nd einer 100 m langen ,,1,5-Quadrat"-Leitung (1 ,13 Q) ist dagegen ve rnachl ässigba r ge ring.
Tabelle 25.2 Farbeode für Widerstände
und andere Bauelemente
Farbig cod ier te Ko hleschichtwiderstände auf einer Leiterplatte.
Farbe
IJ2. Streüen (ZahI), 3. Streifen
(Anzahl Zehnerpotenzen)
Schwarz
Braun
Rot
Orange
Gelb
Grün
Bla u
Vio lett
Gra u
We iß
Gold
Silber
(ohne)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
4. Streifen
(Toleranz)
1%
2%
-
-
-
9
-
-
5%
10 %
20 %
Beim Ablesen des Fa rbcodes begi nnt ma n mit de m Streife n, der
e inem E nde des Bauelements am nächste n liegt. Die erste n beideo Streife n stehen für ga nze Z a hlen zwischen 0 und 9. D er dritte
Stre ifen gibt die Za hl der Z ehnerpotenze n a n. Im a bgebildeten
Beispi el sind die ersten drei S tre ifen (vo n links) orange, schwarz
und bla u. Der ges uchte Z ahle nwert ist da nn 30 .1 06, de r Widerstand be trägt also 30 MQ. Am vierte n Stre ifen wird der Tolera nzbereich abgelesen. Hier (silbern ) ist e r gleich 10 %. Folglich
wird ein Widersta nd von (30 ± 3) MQ codiert.
25.3 EN ERGETISCH E BETRACHTUNG ELEKTRISCHER STROMKREISE <' '<
\ 789
BEISPIEL 25.5: Elektrisches Feld in einem Strom führenden Draht
Wie groß ist die elektrische Feldstärke }~ in dem Kupferdraht aus Beispiel 25.4, wenn durch den Draht ein Strom von
1, 3 A fließt?
Problem beschreibung: Die e lektrische Fe ldstärke ist gleich der Pote nzialdifferenz (der Spannun g) übe r eine r gegebenen L änge des D rah ts, E = U je. Die Pote nzialdiffe renz berechnen wir aus dem Ohm'sch en Gese tz (U = I R), de n Widerstand pro Lä ngenei nheit entne hme n wir Beispi el 25.4.
Lösung:
1. Die elektrische Feld stärke ist gle ich der Potenzialdifferenz
pro Längeneinhe it:
2. Formulieren Sie das Ohm 'seh e G esetz für die Spannung:
U = IR
3. Setzen Sie dies in di e Gleichung für E aus Schritt 1 ein:
E = U = fR = I!!.
4. Nun setze n Sie den in Be ispiel 25.4 erhaltenen Wert von
R ji ein und berechnen E:
E
e
e
e
= 1 ~ = (1,3 A ) . (1,13 . 10- 2 Q j m) = \1 ,47 , 10
2
V Im\
Kommentar: Wegen R ji = r j A gilt E = ! r/A . Dies ist im gesamten Draht gleich; das bedeutet, die Feldstärk e ist im
gesamten Draht konstant, das elektrische Feld ist homogen.
befindet sich innerhalb des Leiterabschnitts die Ladungq. Innerhalb der Zeit ß( wandert die Ladung ein kleines Stück nach
rechts (Abbildung 25.6b). Anstelle dieser Verschiebung könnte
auch eine Ladungsmenge ßq (Abbildung 25.6c) vom linken
Ende des Leiterabschnitts an dessen rechtes Ende versetzt werden. Die e lektrische Energie der Ladung ändert sich dabei von
ßq <Pa (links) auf ßq cPb (rechts), also um
aus der Span nung über dem Baue le ment und dem durch das Element fließenden Strom.
An einem Widerstand wird elektrische Ene rgie in Form von
Wärme an die Umgebung abgeführt. Mit Hilfe de r Beziehung
U = I R (bzw. 1 = UR j R, wobei UR der Spannungsabfall über
dem Widerstand R ist) können wir Gleichung 25.10 in nützlicher
Weise umformulieren:
P
Weil cPa> cPb ist, verliert die Ladung elektrische Energie. Der
Energieverlust beträgt
= / UR =
R/2 =
u; 2 .
IN EINEM WIDERSTAND UMG ES ETZTE LEISTUN G
Eine Anwendung illustriert Bei pieI 25.6.
mit U = cPa- cPb als Potenzialdifferenz entlang des Leiterabschnitts. Die Rate des Energieverlusts ist dann
1= ßq/ßt ist der fließende Strom. Der Verlust an elektri cher
Energie pro Zeiteinheit entspricht der im Leiterabschnitt umgesetzten Leistung
P = l U.
(25 .10)
ENERGIEVERLUST PRO ZEITEINHEIT
Ist Vin Volt angegeben und J in Ampere, so erhalten wir die Leistung in Watt. Der Energieverlust ist gleich dem Produkt aus U,
der Energiedifferenz pro Ladungseinheit , und I, der pro Zeiteinheit fließenden Ladung. Gleichung 25.10 gilt für alle Bauelemente beliebiger Stromkreise. Die Rate, mit der dem Bauelement elektrische Energie zugeführt wird, ergibt sicb al Produkt
(25.11)
790
I
>: > 25 ELEKTRISCH ER STROM - GLEICHSTROMKREISE
BEISPIEL 25.6: In einem Widerstand umgesetzte Leistung
Dureh einen Ohm'sehen Widerstand von 3 Q fließt ein Strom von 3 A. Welch e Leistung wird dabei umgesetzt?
Problembeschreibung: Gegeben sind der Strom und der Widerstand , nicht aber der Spannungsabfall. D eshalb wenden
wir am besten di e Beziehung P = RP an. Ebe nso gut könnten wir zunächst den Spa nnungsabfall berechne n (VR = Rl)
und anschlie ßend die Beziehung P = / V R anwende n.
Lösung:
Berechnen Sie R / 2:
'Plausibilitätsprüfung: Über dem Widerstand fällt die Spannung V R = R / = (12 Q) . (3 A ) = 36 V ab. Damit erhalten
• wir für die Leistung P = / V R = (3 A ) . (36 V) = 108 W .
ÜBUNG: Durch einen Draht mit einem Widerstand von 5 Q flie ßt 6 s lang e in Strom von 3 A. a) We lche L eistung wird dem
Draht dabei zugeführt? b) Wie viel thermische Energie wird an die Umgebung a bgeführt ? (Lösung: a) 45 W, b) 270 J)
Spannungsquellen und Quellenspannung
Der Zitterrochen hat an bei den Kopfseiten ein großes elektrisches
Organ; der Strom fließt zwischen der Ober- und der Unterseite des
Körpers. Die elektrischen Organe bestehen aus umgewandelten Muskelfasern, so genannten elektrischen Platten. Rund 140 bis zu einer
halben Million solcher Platten sind zu Säulen zusammengelagert. Bei
Salzwasserfischen wie djesem Rochen sind die Säulen parallel verbunden, bei Süßwasserfischen (Zitteraal, Zitterwels) hingegen in
Reihe, wodurch höhere Entladungsspannungen erzeugt werden können. (Diese sind erforderlich, weil Süßwasser einen höheren spezifischen Widerstand hat als Salzwasser.) Mit Hilfe seiner .. Batterien", die
Ströme von bis zu 50 A bei 50 V liefern, kann sich der Fisch wirksam
verteidigen oder Beutetiere betäuben.
a t---------~.------~
I
R
b ~------------~
25.7 Ein einfacher Stromkreis aus einer idealen Spannungsquelle mit
der QuelJenspannung Ua und einem Ohm 'sehen Widerstand R. Der
Widerstand der Leitungsdrähte ist vemachlässigbar gering.
Um einen stationären Strom durch e inen Leiter aufrechtzuerhalten, muss ständig e le ktrische En ergie zugeführt werden.
Die Energiezufubr übernimmt e ine Spannungsquelle, beispielsweise eine Batterie, die chemische in elektrische Energie
umwandelt , oder ein Generator, der elektrische aus mechanischer Energie erzeugt. Eine Spannungsquelle verricbtet Arbeit
an den hindurchtretenden Ladungen, dere n elektrische Energie
dadurch zunimmt. Die pro Ladungseinheit verrichtete Arbeit ist
die Quellenspannung V Q . (In der älte ren Literatur findet man
hierfür noch den Begriff , elektromotoriscbe Kraft", kurz
EMK. Er ist irreführend, weil er keine Kraft bezeichnet, sondern
eine Spannung, und wird nicht mehr verwendet.) Die Einheit
der (Quellen-)Spannung ist, wie die Einheit der Potenzialdifferenz, das Volt. An den Polen einer idealen Spannungsquelle
kann unabhängig vom fließenden Strom stets die gleiche Quellenspannung abgegriffen werden. Die Potenzialdifferenz zwischen den Polen einer idealen Spannungsquelle ist vom Betrag
her gleich deren Quellenspannung.
In Abbildung 25.7 sehen Sie einen einfachen Stromkreis: Mit
einer Spannungsquelle ist ein Ohm 'scher Widerstand R (Sehaltsymbol ~) verbunden. Die geraden Linien stehen für Leitungsdrähte, deren Widerstand vernachlässigbar ist. Im Idealfall
sorgt die Spannungsquelle für eine konstante Potenzialdifferenz
(gleicb V Q ) zwischen den Punkten a und b, wobei sich a auf dem
höheren Potenzial befindet. Die Potenzialdifferenz zwischen a
und c bzw. d und bist aufgrund des vernachlässigbaren Widerstands des Leitungsdrahts praktisch gleich null. Daraus folgt,
dass der Spannungsabfall zwischen den Punkten c und d gleich
V Q sein muss. Durch den Widerstand fließt dann der Strom /=
Vo/R in Uhrzeigerrichtung, wie in der Skizze durch einen Pfeil
angedeutet wird.
Machen Sie sich klar, dass die Ladung innerhalb der Batterie
vom niedrigen zum höheren Potenzial fließt, wodurch die elektrische Energie zunimmt. (Lädt man die Batterie mit Hilfe eines
Generators oder einer zweiten Batterie auf, so fließt die Ladung
entsprechend vom höheren zum niedrigen Potenzial, und die
elektrische Energie nimmt ab: E lektrische Energie wird in chemische Energie umgewandelt und von der Batterie in dieser
Form gespeichert.) Bewegt sich die Ladung!1q durch eine Spannungsquelle mit der Quellenspannung V Q , so steigt ibre elektri-
25 .3 ENERGETISCHE BETRACHTUNG ELEKTRISCHER STROMKREIS E c-«
I 791
sche Energie um t:,.q U Q • A nschließend fließt die Ladung durch
den Widerstand, wo elektrische E nergie in Wärme umgewandelt wird. D ie Rate, mit der di e Spannungsquelle E nergie zur
Verfügung steIlt, ist gleich der Leistung:
(25 .12)
VON EINE R S PANN UNGSQUE LLE ABGEGEB ENE LEI STUNG
Im Fall des e infachen Stromkreises aus A bbildung 25.7 wird die
Von der B atterie abgegebene Leistung vollständig im Widerstand umgesetzt.
Ein Spannungsquelle kö nne n wir uns als eine Art Pumpe vorstellen, die L adung von einer R egion mit niedrigem Potenzial
in eine Region höheren Potenzials befördert. Ein mechanisches
Analogon zum e be n besprochenen Stromkreis sehen Sie in
Abbildung 25.8.
An den Polen eine r realen Spannungsquelle greift man die
KJemmenspannung U K ab, die nicht gleich der Quellenspannung
ist. Betrachten wir dazu den Stromkreis aus einer realen Batterie
und einem Ohm' schen Widerstand in Abbildung 25.9. Verändern wir den Strom durch Variation von R und messen die Klemmenspannung, so stellen wir fest, dass diese bei ansteigendem
Strom geringfügig abnimmt (Abbildung 25.10) , als ob die Batterie selbst einen kleinen Widerstand besäße. Wir stellen uns eine
reale Spannungsquelle deshalb als Kombination einer idealen
SpannungsquelLe mit der QuelLenspannung UQ und eines kleinen Widerstands R iD vor; R in heißt Innenwiderstand der Batterie.
Das Schaltbild des in Abbildung 25.9 gezeigten Stromkreises
aus realer Batterie und Ohm'schem Widerstand sehen Sie in
Abbildung 25.11. Fließt im Kreis der Strom I , so ist die Beziehung zwischen den Potenzialen an den Punkten a und b gegeben
durch
(b)
+...L
-T
/
25.8 Mechanisches Modell für einen einfachen, aus einer Span-
nungsquelle und einem Ohm 'schen Wid erstand bestehenden Stromkreis. a) Die Murmeln werden auf eine Höhe h angehoben und auf das
Brett gelegt. lnfolge der Gravitation begi nnen sie, die schiefe Ebene
hinunterzurollen. Durch Zusammenstöße mit den Nägeln (Analoga für
die Gitterionen im Widerstand) werden sie wiederholt abgebremst,
wobei kinetische Energie in Wärme umgewandelt wird. Die ständigen
Stöße bewirken, dass sich die Murmeln nur relativ langsam, mit
ungefähr konstanter (Drift-)Geschwindigkeit, abwärts bewegen. b) Ein
Kind legt die unten angekommenen Murmeln wieder nach oben auf
das Brett (analog zur Spannungsquelle). Es verrichtet dabei jeweils die
Arbeit m g h, und chemische Energie wird in potenzielle Energie
umgewandelt.
und die Klemmenspannung ist dann
(25.13)
Wie Sie Abbildung 25.10 entnehmen, nimmt die Klemmenspannung mit ansteigendem Strom linear ab. Der Spannungsabfall
über dem Ohm'schen Widerstand R ist gleich R I und gleich
der Klemmenspannung:
25.9 Ein einfacher Stromkreis, bestehend aus einer realen Balterie,
Wir lösen dies nach dem Strom 1 auf und erhalten
einem Ohm 'schen Widerstand und Zuleitungen.
(25.14)
Bei einer Schaltung wie in Abbildung 25 .11 ist die durch Gleichung 25.13 gegebene Klemmenspannung geringer als die Quellenspannung der Batterie, weil über dem Innenwiderstand der
Batterie ebenfalls eine Spannung abfällt. In der Praxis haben
beispielsweise Autoakkumulatoren einen Innenwiderstand in
der Größenordnung von nur wenigen hundertstel Ohm; solange
die Stromstärke nicht sehr groß wird, ist die Klemmenspannung
dann fast gleich der Quellenspannung. Ein ungewöhnlich hoher
Innenwiderstand deutet auf einen Defekt der Batterie hin. Um
25.10 Klemmenspannung UK einer realen Batterie in Abhängigkei t
vom fli eßenden Strom I . Die gestrichelte Linie gibt die Klemm en-
spannung (gleich der Quellenspannung) einer idealen Batterie an.
792
I >~
2S ELEKTRISCHER STROM - G LEIC HSTROM KREISE
BEISPIEL 25.7: Klemmenspannung, Leistung und gespeicherte Energie
Ein Ohm ' scher Widerstand mit R -- 11 Q ist mit einer Batterie verbunden (Qu ellenspannung 6 V, Innenwiderstand 1 Q).
Berechnen Sie a) den Strom in diesem Stromkreis, b) die Klemmenspannung der Batterie, c) die von der Span nungsquelle
abgegebene Leistung, d) die am (äußeren) Ohm'schen Widerstand umgesetzte Leistung und e) die am Innenwiderstand
umgesetzte Leistung. f) Wie viel Energie ist in der Batterie gespeichert, wenn sich auf der Verpackung die Anga be 150 A· h
findet?
Problembeschreibung: Das Schaltbild dieses Stromkreises entspricht A bbildung 25. 11. Mit G leichung 25.14 berechnen
wir den Strom, das Ergebnis verwende n wir zur Berechung der Klemme n pannung und de r a n den Wide rstä nden umgesetzten Leistungen.
Lösung:
1. Den Strom erhalten Sie aus Gleichung 25.14:
[ =
Uo
R
+ Rio = 11
6 V
Q +1Q
~
=~
2. Mit diesem Ergebnis berechnen Sie die Klemmenspan-
nung:
3. Die von der Spannungsquelle abgegebene Leistung ist
gleich U o l:
p = Uo [ = (6 V) . (0,5 A ) =
13 W I
4. Am äußeren Ohm'schen Widerstand wird die Leistung
R P umgesetzt:
5. Am Innenwiderstand wird die Leitung RiJ
Z
umgesetzt:
6. Die insgesamt in der Batterie gespeicherte Energie ist
gleich dem Produkt aus der Quellenspannung und der
Ladung, die abgegeben werden kann:
Rio [ 2 = (1 Q) . (0,5 A )2= 10 ,25
WI
3600 C
Ee1 = qUQ = (150A . h )· 1 A . h · (6 V) = 13,24 MJI
Kommentar: Um die Rechnung zu vereinfachen, wurde in cliesem Beispiel ein übertrieben hoher Innenwiderstand gewählt.
Normalerweise können wir den Innenwiderstand der Batterie oft vernachlässigen. Die Batterie gibt hier einen Leistung
von 3 W ab; 2,75 W davon werden im äußeren Ohrn'schen Widerstand umgesetzt, 0,25 W am Innenwiderstand der Batterie.
R
25.11 Schaltbild für den in Abbildung 25.9 gezeigren Stromkreis. Die
reale Batterie denken wir uns zusammengesetzt aus einer idealen
Spannungsquelle und einem kleinen Innenwiderstand R iß '
zu überprüfen, ob die Batterie funktionstüchtig ist, reicht es
nicht unbedingt aus, die Klemmenspannung mit einem Voltmeter zu messen, denn solche Messgeräte arbeiten mit sehr geringen Stromstärken. Sie müssen clie Klemmenspannung stattdessen feststellen, wenn die Batterie belastet wird und ein starker
Strom fließt (etwa beim Betätigen des Anlassers). Ein deutlicher
Abfall der Klemmenspannung ist dann ein Indiz für einen hohen
Innenwiderstand und damit für einen Batteriedefekt.
Auf Batterien und Akkumulatoren ist in der Regel vermerkt,
wie viel Ladung (in Amperestunden , A· h) insgesamt entnommen werden kann:
1 A· h = (1 Ci s) , (3600 s)
= 3600 C.
Die in der Batterie gespeicherte Energie ist gleich dem Produkt
aus der Ladung, die abgegeben werden kann, und der Quellenspannung:
(25.15)
Die Beispiele 25.7 und 25.8 illustrieren die Beziehungen zwischen Spannung, Leistung und Energie.
25.4 ZUSAMMENSCHALTUNG VON WIDERSTÄNDEN
"<'
I
BEISPIEL 25.8: Maximal abgegebene Leistung
Gegeben Ist eine Batterie mit der Quellenspannung V Q und der Innenwiderstand R an die ein Ohm'scher Lastwiderstand angeschlossen wird. Wie groß muss R sein, damit die an den Widerstand abgegebene Leitung maximal ist?
)I
ZUR ÜBUNG
Problembeschreibung: Das Schaltbild entspricht Abbildung 25.11. Dem Ohm 'schen Widerstand R wird di e Leistung
RJl zugeführt mit 1 = V o/(R + Rio) ' Wir erhalten die maximale Leistung, indem wir dPldR null setzen.
Lösung:
Decken Sie zunächst die rechte Spalte ab und versuchen Sie jeweils, die Ergebnisse selbst zu ermitteln.
Schritte
Ergebnisse
1. Mit Hilfe von Gleichung 25.14 eliminieren Sie I aus der
Beziehung P = R P. SO können Sie P als Funktion von R mit
den Konstanten Vo und R in aufschreiben .
P
2. Bilden Sie die Ableitung dPldR; wenden Sie die Produkt-
regel an.
3. Setzen Sie dPldR gleich null und lösen Sie nach Rauf.
U~ R
,
(R + Rmt
dP _ 2
dR - V o (R
R
=
"
U a R (R
+ RIO)·2 -
')
+ R,o ) ~
2
- UC) R( R + R,o)
:1
= R,o
Kommentar: Die Leistung wird maximal, wenn der Lastwiderstand R gleich dem Innenwiderstand R in ist. Ein ähnliches Ergebnis erhält man für Wechselstromkreise; die Wahl von R = Rio zur Maximierung der Leistung, die dem Lastwiderstand zugeführt wird, bezeichnet man in diesem Fall als Impedanzanpassung. In Abbildung 25.12 ist P als Funktion
von Raufgetragen.
25.4 Zusammenschaltung von
Widerständen
p
Um die Analyse von Stromkreisen zu vereinfachen, bietet es
sich oft an, zwei oder mehrere Widerstände durch einen einzigen
Widerstand zu ersetzen. Durch diesen Ersatzwiderstand fließt
der gleiche Strom (und an ihm fällt die gleiche Spannung ab)
wie an den ursprünglichen Widerständen zusammengenommen.
Wie Sie sich erinnern werden, sind wir in Kapitel 24 für Zusammenschaltungen von Kondensatoren ähnlich vorgegangen.
2
Reihenschaltung von Widerständen
Sind zwei oder mehr Widerstände so miteinander verbunden,
dass durch alle der gleiche Strom fließt (wie R, und R 2 in Abbildung 25.13), dann spricht man von einer Reihenschaltung. Über
R, fällt die Spannung R, I ab, über R 2 die Spannung R 2 1. Der
Spannungsabfall über beiden Widerständen ergibt sich dann
als Summe der Spannungsabfälle über den einzelnen Bauelementen:
(25 .16)
Wie groß muss nun ein einzelner Widerstand sein , damit über
ihm die Spannung UR abfällt, wenn er vom gleichen Strom I
durchflossen wird? Um dies zu ermitteln , setzen wir UR gleich
R J (Abbildung 25.13b) und erhalten
R = R, +R2 .
3 R/Rin
25.12 Bei R = Rm wi rd di e dem La lwiderstand w ge rührte Le istun g
maximal.
793
794
I
>
25 ELEKTRISCH ER STROM - GLEICHSTROMKREISE
(a)
Parallelschaltung
J
a
•
b
AM
R
A.Nv
R
•
---
a
c
AM
•
•
2
1
(b)
c
•
R = R 1 + R2
25.13 a) Zwei in Reihe geschaltete Widerstände werden vom
gleichen Strom durchflossen. b) Die Widerstände in Schaltung a können durch einen einzelnen Ersalzwiderstand R = R I + R 2 ersetzt werden. über dem dieselbe Spannung abfä ll t wie über den Widerständen
R I und R2 zusammengenom men, wenn der Strom 1 fließt.
Il)n
Widerstände n
Sind zwei oder mehr Widerstände so miteinander verbunden,
das übe r allen die gleiche Spannung abfällt (wie R , und R 2 in
Abbildun g 25.1 4a), dann nennt ma n d ie Parallelschaltung.
(Beachten Sie, d ass d ie W iderstände d abe i an beiden Enden
mit Drähte n ve rknüpft sind.) Zum Punkt a in der Skizze fließt
ein Strom /. In a ve rzweigt 'ich de r tromkreis, und der Strom
te ilt sich auf: In de n obere n Zweig mit d e m Widersta nd R[ fließt
der Te il tro m I" in de n unIere n Zweig mit dem Widerstand R2
fließt de r Teilstrom 12 , Die umme a ll e r Te ilströme ist gleich
dem Strom I , de r zu a hinlli eßt:
(25.18)
Im P un kt b ve re inige n ich di e Z we ige; nach b flie ßt durch den
D ra ht wieder de r trom I = I , + I~. Die Bezie hung zwischen
dem Spa nnungsabfall UR = 4>11 - 4>h übe r jedem d e r Widerstände
und den Tei lsträmen laute t
(25.19)
Ü ber de m Ersatzwide r tand R fä ll t die
de r Stro m I fließ t (Abbi ld ung 25.14b):
R2
(b)
a
•
~
~
e
pa nnung UR ab, wenn
R = UR
b
1 .
•
It
R= ~+ R 2
25.14 a) Von ein e Parallelschaltung spricht man, wenn zwei (oder
Wir lö e n di ese Bezieh ung nach 1 auf und e tzen 1 = 1I
So erhalten wir
mehr) Widerständ e an beiden Enden verbunden sind, so dass über
allen die gleiche Spannung abfällt. b) Die Widerstände i.n Schaltung a
können durch einen einzelnen Ersatzwiderstand R ersetzt werden, fü r
den gilt: lIR = l /R J + lIR 2•
+ 12 ein.
(25.20)
Hier haben wir Gl e ichung 25.1 9 sowo hl für 1, als a uch für 12 verwende t. D er E r satzwiderstand für zwei pa ra llel geschaltete
Widerstände ist also gegeben durch
25.15 Drei parall el geschaltete Widerstände.
Wir vera llgemeinern das E rgebnis wie d er für P a rallelschaltungen be liebig viele r Wide rstände (etwa wie in Abbildung 25.15):
Sind me hr al s zwei Widerstände in R eihe geschaltet, so ergibt
sich a llgem e in
(25.21 )
ER SATZWIDER STAND FÜR PAR ALLELSC HALTUNGEN VON WIDERS TÄNDE N
(25 .17)
ERSATZW IDERSTA N D FÜR REIHEN SC HA LT U NGEN VO N WIDER STÄ ND EN
ÜBUNG: Ein Widerstand R,
=2
Q
und ein Widerstand R 2
= 4 Q sind a) in Reihe und b) parallel geschaltet. Berech-
nen Sie jeweils den Ersatzwiderstand.
(Lösung: a) 6 Q , b) 1,33 Q.)
Wi e sich paralle l bzw. in R e ihe gescha lte te Wid e rstä nde unterscheide n, illustrie re n die Be i pi e le 25 .9 und 25.10.
25.4 ZU SAMMENSCHALTUNG VON W IDERSTÄNDEN «< 1 795
BEISPIEL 25.9: Parallel geschaltete Ohm'sche Widerstände
An zwei parallel geschalteten Ohm'sehen Widerstä nden
R I = 4 Q und R 2 = 6 Q liegt eine Spannung von 12 V an
(Abbildun g 25.16) . Zu berechnen ist a) der Ersatzwiderstand, b) der insgesamt fließende Strom, e) der durch jeden
Ohm'sehen Widerstand fließende Tei lstrom, d) die in jedem
Ohm'sehen Widerstand umgesetzte Leistung und e) die von
der Batterie abgegebene l eistung .
12 V
6Q
25.16
-
Problembeschreibung: Tragen Sie di e Ströme mit den
zugehörigen Richtungen in das Schaltbild ein, wie es Abbildung 25.17 zeigt.
12V
6Q
25.17
Lösung:
Teilaufgabe a
Berechnen Sie den Ersatzwiderstand:
Teilaufgabe b
Der Gesamtstrom ist gleich dem Quotienten aus dem
Spannungsabfall und dem Ersatzwiderstand:
1 = UR
R
= 12 V = rsA1
2,4Q
~
Teilaufgabe c
Die Teilströme berechnen Sie mit Hilfe von Gleichung
25.19. Der Spannungsabfall UR über beiden Ohm'schen
Widerständen ist gegeben (12 V):
Teilaufgabe d
= R I It = (4 Q). (3 A )2=
136wl
Die berechneten Stromstärken setzen Sie ein, um die in den
einzelnen Ohm 'sehen Widerständen umgesetzten Leistungen zu ermitteln:
P2 = R2 1i = (6 Q). (2 A )2= 124
Teilaufgabe e
Die Beziehung P = UR 1 liefert Ihnen schließlich die von der
P = UR'
P I
wl
= (12V)· (SA ) = 160 W\
Batterie abgegebene Leistung:
'Plausibilitätsprüfung: Die von der Batterie abgegebene Leistung muss gle ich der Summe der in de n Ohm 'sche n Wid er• ständen umgesetzten Leistungen sein: P = 60 W = 36 W + 24 W. Wir hätten die einze lne n Leistungen in Schritt 4 auch wie
folgt berechnen können: Pt = UR I 1 = (12 V) . (3 A ) = 36 Wund P2 = UR 12 = (12 V) . (2 A ) = 24 W.
796
I >_
25 ELEKTRISCHER STROM - GLEICHSTROMKREISE
BEISPIEL 25.10: In Reihe geschaltete Ohm/sehe Widerstände
Zwei Ohm'sehe Widerstände R. _- 4 Q und R, 6 Q sind in Reihe mit einer 12 V-Batterie geschaltet, deren Innenwiderstand vernachlässigt werden kann. Berechnen Sie a) den Ersatzwider~tand der Schaltung, b) die Stromstärke in diesem
Stromkreis, c) den Spannungsabfall über R1 und R 2 , d) die an jedem Ohm'schen Widerstand umgesetzte Leistu ng und e) die
insgesamt umgesetzte Leistung.
ZUR ÜBUNG
Lösung:
Decken Sie zunächst die rechte Spalte ab und versuchen Sie jeneils. die Ergebnisse selbst zu t'rmittt'ln.
Schritte
Ergebnisse
Teilaufgabe a
1. Zeichnen Sie das Schaltbild (Abbildung 25.18).
~
+ 11t-_--.....I
12 V
25.18
2. Berechnen Sie den Ersatzwiderstand.
R -~
Teilaufgabe b
Den Strom erhalten Sie aus der Beziehung UR = R I.
1=
Teilaufgabe c
Zur Berechnung des Spannungsabfalls über den einzelnen
Ohm'schen Widerständen wenden Sie das Ohm 'sehe Gesetz
an.
11.2 AI
U[~, = 14.8
Vi.
UR,
= 17.2 Vi
Tellaufgabe d
Mit Hilfe der Gleichung P = RI 2 erhalten Sie die an jedem
Ohm 'sehen Widerstand umgesetzte Leistung. Überprüfen
Sie Ihr Ergebnis jeweils anhand der Beziehung P = U I.
Teilaufgabe e
Die insgesamt umgesetzte Leistung ist gleich der Summe der
beiden Leistungen, die Sie in Teilaufgabe d berechnet haben.
Überprüfen Sie Ihr Ergebnis anhand der Beziehungen P =
UI und P = RI 2.
Kommentar: Beachten Sie, dass in der Reihenschaltung eine vie l geringere Leistung umgesetzt wird als in der entsprechenden Parallelschaltung (siehe Beispiel 25.9).
Wie Sie Beispiel25.9 entnehmen, ist der Ersatzwiderstand
zwe ier parallel geschalteter Ohm 'scher Widerstände deutlich
geringer als der Widerstand jedes der bei den Bauelemente
allein. Dieses R esultat gilt allgemein. Betrachten wir dazu
einen einzelnen Ohm'schen Widerstand R durch den der
Strom I 1 fließt; der Spannungsabfall ist dann "UR,=R1/ j • Durch
e in e n zweiten Ohm 'sehen Widerstand R2 , den wir parallel zu
R , schalten , fließt der zusätzliche Strom 12 , An I 1 ändert sich
dadurch nichts. Der Ersatzwiderstand ist UR,!(II + 12) und
damit kleiner als R , = UR ,!/ I' Das Beispiel zeigt Ihnen außerdem , dass die Ströme durch zwei parallel geschaltete Ohm 'sehe
Widerstände sich um gekehrt z ueinander verhalten wie die
Widerstände, was unmittelbar a us Gleichung 25.19 fo lgt:
R2
(für Parallel widerstände).
R,
(25.22)
Zum Absch luss können Sie in den Übungsbeispielen 25.11 und
25.12 grund legende Anwendungen selbst durchrechnen und in
Beispiel 25.13 einen Bezug zu alltäglichen Elektrogeräten herstellen.
25.4 ZUSAMMENSCHALTUNG VON WIDERSTÄNDEN «<
BEISPIEL 25.11: Parallel- und Reihenschaltung Ohm'scher Widerstände
Gegeben ist der in Abbildung 25.19 skizzierte Stromkreis.
Zunächst sei der Schalter SI offen und der Schalter S!
geschlossen. Berechnen Sie a) den Ersatzwiderstand des
Stromkreises, b) den insgesamt durch die Spannungsquelle
fließenden Strom, c) den Spannungsabfall über jedem
Ohm'schen Widerstand und d) den durch die einzelnen
Ohm'schen Widerstände fließenden Strom. e) Schalter S sei
nun geschlossen. Wie stark ist der Strom, der durch R, fließt?
f) Nun werde Schalter S2 geöffnet, während SI geschlossen
b leibt. Berechnen Sie die Spannungsabfälle über R 3 und
über S2 (R 1 ' 2 Q, R l = 12 Q , R} = 6 Q).
- .,
[
18V
25.19
ZUR ÜBUNG
Problembeschreibung: a) Zur Berechnung des Ersatzwiderstands des gesamten Stromkreises e rsetzen Sie zunächst die
parallel geschalteten Ohm'schen Widerstände durch ihren Ersatzwiderstand. Strom und Spannungsabfälle berechnen Sie
dann mit Hilfe des Ohm'schen Gesetzes, das Sie auch für die Teilaufgaben bund c anwende n müssen.
Lösung :
D ecken Sie zunächst die rechte Spalte ab und versuchen Sie j eweils, die Ergebnisse selbst zu ermitteln.
Schritte
Ergebnis!>c
Teilaufgabe a
1. Berechnen Sie den Ersatzwiderstand der Para ll elschaltung
von R 2 und R 3 .
2. Verfahren Sie nun , als ob dieser Ersatzwiderstand mit R[
in Reihe geschaltet wäre, und berech nen Sie den Ersatzwiderstand des Stromkreises.
Teilaufgabe b
Den durch die Batterie (und natürlich auch durch R,) fließenden Strom berechnen Sie mit Hilfe des Ohm'sche n
Gesetzes.
Teilaufgabe c
1. Der Spannungsabfall über R , ergibt sich aus der Beziehung UR, = R,l.
2. Den Spannungsabfall über den Ohm'schen Widerständen
in der Parallelschaltung erhalten Sie aus der Beziehung
U R = R 2 ,) J·
Teilaufgabe d
Den durch die parallel geschalteten Ohm'schen Wid erstände
fließenden Strom berechnen Sie mit Hilfe der Gleichung
1= UR /R.
Tellaufgabe e
Bei gesch lossenem Schalter SI ist der Spannungsabfall über
R [ null. D er Strom durch dieses Baulement ergibt sich aus
dem Ohm'schen Gesetz.
Teilaufgabe f
Ist der Schalter S2 geöffnet, fließt durch R) kein Strom. Der
Spannungsabfall über diesem Bauelement ergibt sich aus
dem Ohm'schen Gesetz. Der Spannungsabfall über R2 ist
gleich der Summe aus den Spannungsabfällen über R) und
über dem Schalter Sz.
1
=13 AI
I
79
798
I
>
25 ELEKTRISCHER STROM - GLEICHSTROMKREISE
.
, Plauslbilitätsprüfung: Der durch R .] fließende Strom ist doppelt so tark wie der <..lurch R,.
- wie zu erwarten ist. Ebenfalls erwartungsgemäß summieren sich 12 und 13 zum Gesamtstrom I. Die Summe der pannungsabfälle über R, und der
Parallelkombination aus R~ und R3 i t chließlich gleich der Klemme n pannung: UR + U R = 6 V + 12 Y = 18 V.
.
ÜBUNG: Wiederholen Sie die Teilaufgaben abis d, wobei Sie anstelle von R:; einen Draht mit vernachlässigba rem Widerstand ei nsetzen. (Lösung: a) R =2 Q, b) / = 9 A, c) U R,= 18 V, UR, =O, UR! = 0. d) I , = 9 A, l l= 9 A, /2= 0.)
BEISPIEL 25.12: Eine kompliziertere Schaltung Ohm'scher Widerstände
Zu berechnen ist der Ersatzwiderstand R des in Abbildung 25.20 gegebenen Stromkreises. Es gelten folgende
Zuordnungen: R , (24 Q ). R 2 (5 Q ). R .l (4 Q ). R~ (12 Q).
24Q
a
b
25.20
ZUR ÜBUNG
Problembeschreibung: Analysieren Sie die Schaltung schrittweise. Berech ne n Sie zunäch t den Ersa tzwi de rstand R 3.4 der
Parallelscha ltung aus R 3 und R4 ; ermitteln Sie dann den Ersatzwiderstand R2.3.4 der R ei he n chaltung a us R2 und R 3 .4;
abschließend berechnen Sie R ,;l..J.4 der Parallelschaltung aus R, und R 2.3.4 '
Lösung:
Decken Sie zunächst die rechte Spalte ab und versuchen Sie jeweils, die Ergebnisse selbst zu ermitteln.
Schritte
Ergebnisse
1. Berechnen Sie den Ersatzwiderstand R 3.4 der Parallelschaltung aus R 3 und R 4 .
2. Berechnen Sie den Ersatzwiderstand R 2.J.4 der Reihenschaltung aus R 3 •4 und R 2 •
3. Be rechnen Sie den Ersatzwiderstand
schaltung aus R 2 ,3.4 und R i .
R I.2.3.4
der Parallel-
R z.J .4
=8Q
25 .5 DIE KIRCHHOFFSCHEN REGELN <c<
I
BEISPIEL 25.13: Elektrogeräte in einem Stromkreis
Sie treffen sich abends mit Freunden zum lernen. Bevor die Bücher bereitgelegt werden, möchten Sie zur Stärkung Kaffee,
Toast und Popcorn anbieten. Nachdem Sie Toaster und Mikrowelle (für das Popcorn) angestellt haben, fällt Ihnen ein,
dass gelegentlich die Sicherung herausspringt, wenn Sie zu viele Elektrogeräte gleichzeitig in Betrieb nehmen (die Elektroanlage in Ihrem Wohnhaus ist nicht besonders modern). Sollten Sie riskieren, auch noch die Kaffeemaschine anzuschalten?
Auf den Geräten finden Sie Angaben über die aufgenommenen Leistungen: 900 W für den Toaster, 1200 W für die
Mikrowelle und 600 W für die Kaffeemaschine. Aus Erfahrung vom Sicherungswechsel wissen Sie, dass Ihr Stromkreis mit
1 0 A abgesichert ist.
IM KO NTEXT
Problembeschreibung: Wir können davon ausgehen, dass die am Haushaltsnetz angeschlossenen Geräte paralle l be trieben werden; das Einschalten eines Geräts beeinflusst in der Regel bereits laufende Geräte nicht. Die Spannung im Haushaltsnetz beträgt 230 V. (Dass es sich dabei um Wechselspannung handelt, dürfen wir hier vernachlässigen.) Wir berechnen
den durch die einzelnen Geräte fließenden Strom, addieren alle Ergebnisse und vergleichen die Summe mit de r Angabe
auf der Sicherung.
Lösung:
1. Die von einem Gerät aufgenommene Leistung ist gleich
dem Produkt aus Strom und Spannungsabfall, P = U 1.
Lösen Sie diese Beziehung jeweils nach I auf:
= PToaste r = 900 W = 3 9 A
I
V Netz
Toaster
IM ikrow.
I
Kaflee m.
3. Dieser Strom ist größer als die Angabe a uf der Sicherung
(10 A):
'
= PMikrow = 1200 W = 5 2 A
U N etz
=
P Kafleem.
U
Netz
2. Den durch die Sicherung fließenden Strom erhalten Sie
durch Addition der Teilströme:
230 V
=
230 V
'
600 W
230 V
= ,
26
A
1s = 11 ,7 A
Bevor Sie die Kaffeemaschine anstellen , sollten Sie
mindestens eins der anderen beiden Geräte ausschalten.
Kommentar: Wir haben hier angenommen, dass in der ganzen Wohnung nur ein Stromkreis (mit einer Sicherung) verlegt
ist. Normalerweise sind Wohnungen in mehrere, separat abgesicherte Bereiche aufgeteilt. Sie könnten also Toaster und
Mikrowelle in der Küche betreiben und gleichzeitig etwa inl Wohnzimmer Kaffee aufsetzen, ohne dass eine Sicherung
herausspringt.
25.5 Die Kirchhoff'schen Regeln
Viele einfache Stromkreise, beispielsweise die Schaltung in
Abbildung 25.21, lassen sich nicht in der bisher gezeigten
Weise als Parallel- und/oder Reihenschaltung Ohm'scher
Widerstände analysieren. Das bedeutet, es gelingt hier nicht,
Kombinationen Ohm'scher Widerstände schrittweise durch
ihre Ersatzwiderstände zu ersetzen. Nur auf den ersten Blick
scheinen R] und R 2 in der Skizze parallel geschaltet zu sein;
durch die Anwesenheit der zweiten, zu R 2 in Reihe geschalteten
Spannungsquelle U2 fällt über R 1 und R2 jedoch nicht die gleiche
Spannung ab. Die beiden Ohm'schen Widerstände sind aber
auch nicht in Reihe geschaltet, denn durch sie fließt nicht der
gleiche Strom.
Auf diesen und jeden beliebigen anderen Stromkreis lassen sich
(unter der Voraussetzung eines stationären Stroms) die folgenden bei den Regeln, die Kirchhoff'schen Regeln, anwenden:
25.21 Dieser einfache Stromkreis lässt sich nicht analys iere n. indem
man Kombinationen Ohm 'scher Widerst ände schritt weise durch ihre
Ersatzwiderst ände ersetzt. R1 und R 2 sind weder parallel noch in Reihe
geschaltet: Über ihnen fä llt nicht die gle iche Spannun g ab, da der
Stromkre is zusä tzlich e ine Spannungsque lle U 2 in Re ihe mit R 2 e nthält,
und durch sie Oießt auch nicht de r gle ich e Strom.
79'
800
I
>
'>
25 ELEKTRISCHER STROM - GLEICHSTROM KREISE
---
Die erste KirchholTsche Regel, die Knotenregel, folgt aus der
Ladungserhaltung. In Abbildung 25 .22 sehen Sie einen Verzweigungspunkt dreier Drähte, in denen die Ströme 1j (zum Knoten
hin) bzw. 12 und I" (vom Knoten weg) fließen . Da sich im Knoten
keine Ladung ansammeln kann, muss die in einem bestimmten
Zeitintervall z um Knoten hinfließende Ladung gleich der in diesem Intervall vom Knoten abfließende n Ladung sein. Das
bedeutet
12
11
,< -13
25.22 Zur Kirchboff'schen Knotenregel: Der zum Verzweigungspunkt a hinfließende Strom I 1 muss gleich de m von diesem Punkt
abfließe nden Strom / 2 + ,) sein.
(25.24)
Potenzialänderungen
n ~ b Potenzialabfall R 1l
b ~ c Potenzialabfall R2'
c ~ cf Potenzialabfall UQ 2 + R in,2 I
d ~ e Potenzialabfall R3 1
e ~ a Potenzialanstieg UQ1 - Rin,j
a'-__~~ /\Aj~____~
---+
I
Batterie
1
'
Batterie
2
in,2
e e------v \A ~----.
25.23 Ein Stromkreis mit zwei SpanoungsqueUen und drei Ohm 'schen Widerständen.
1. Die Summe aller Ströme, die zu einem Verzweigungs-
Stromkreise mit einer Masche
p unkt (einem "Knoten") in einem Stromkreis hinfließen, ist gleich der Summe aller Ströme, die von diesem
Knoten wegfließen (Knotenregel) .
2. Beim Durchlaufen einer geschlossenen Schleife (einer
"Masche") eines Stromkreises ist die Summe aller
Spannungen gleich null (Maschenregel).
Zur Veranschaulichung der Kirchhoff'schen Maschenregel
betrachten wir den in Abbildung 25.23 skizzierten Stromkreis.
Er enthält zwei Spannungsquelle n mit den Innenwiderständen
R in.l und Rin .2 sowie drei Ohm 'sc he Widerstände R" R 2 und R3 .
Zu berechnen ist der Strom in diesem Kreis, ausgedrückt anhand
der Klemmenspannungen und der Widerstände.
KIRCHHOFF'SCHE REGELN
Die zweite Kirchhoff'sche Regel, Maschenregel genannt, folgt
unmittelbar aus der Anwesenheit eines konservativen Felds E.
(Wie wir in Kapitel 28 sehen werden, existiert auch ein nichtkonservatives elektrisches Feld. Das resultierende elektrische Feld
ergibt sich als Superposition des konservativen und des nichtkonservativen Felds.) Dass E konservativ ist, bedeutet
i
(25.23)
E·ds = Oi
integriert wird entlang eines beliebigen geschlossenen Wegs C.
Die Beziehung zwischen Potenzialänderungen !':..U und E lautet
!':..U = CPb - cP"
=
-l
b
E· ds.
"
Aus Gleichung 25.23 kann deshalb geschlossen werden , dass die
Summe all er Potenzia länderungen !':..U entlang eines beliebigen
gesch lossenen Wegs null sein muss.
Zunächst legen wir die UhrzeigeITichtung als positive Stromrichtung fest (in der Abbildung durch einen Pfeil verdeutlicht).
Dann durchlaufen wir den Stromkreis, ausgehend von Punkt a,
in positiver Richtung. Wenn Sie die Polung der Batterien 1
und 2 betrachten, wird Ihnen auffallen, dass wir zwischen den
Punkten c und d (Batterie 2) einen Potenzialabfall durchlaufen,
zwischen e und a (Batterie 1) hingegen einen Potenzialanstieg.
Über jedem Ohm 'schen Widerstand fällt die Spannung ab (der
Strom soll positiv sein). Die Kirchhoff'sche Maschenregelliefert
uns entlang des angegebenen Wegs:
Dies lösen wir nach I auf und erhalten:
1=
U Q . 1 - U Q.2
R 1 +R2 + R3 + R in ,1 + R in .2
(25.25)
Diese Gleichung wird in Beispiel 25.14 angewendet. Ist U Q). größer als UQ,I> so ergibt sich für I ein negativer Wert. Das bedeutet,
der Strom fließt in negativer Richtung (entgegengesetzt dem
Uhrzeigersinn).
25 .5 D IE KIRCHHOFF'SCHEN REGELN
'<
BEISPIEL 25.14: Potenzialdifferenzen im Stromkreis
Gegeben ist der in Abbildung 25.24 dargestellte Stromkreis
mit UQ,I- 12 V, U Q1 = 4 V, R,nl - R,n2 = 1 Q,
R , = R~ = 5 Q und R, - 4 Q. In Punkt e sei das Potenzial
gleich null. Gesucht sind a) die Potenziale in den Punkten a
bis d sowie b) die Leistungsaufnahme und -abgabe des
Stromkreises.
sn
In
Batterie 1
12V
Ba tterie 2
In
e ·O--V--~/\A~~---4d
4Q
25.24
Problembeschreibung: Als Voraussetzung für die Berechnung der Potenziale müssen wir den Strom I in diesem tromkreis ermitteln. Über jedem Ohm 'sehen Widerstand fällt dann die Spannung R I ab. Zur Diskussion der Energi ebila nz
berechnen wir mit Hilfe der Gleichungen 25.11 und 25.12, welche Leistung den einzelnen Bauelementen zuge führt bzw.
von ihnen abgegeben wird.
lösung:
Teilaufgabe a
1. Den Strom I liefert Ihnen Gleichung 25.25:
2. Nun berechnen Sie das Potenzial in den bezeichneten
Punkten abis d:
I =
12 V - 4 V
5Q
<Pa
=
<Pe
+5 Q +4 Q + LQ +1 Q
+ UQ .!
= 0 + 12 V <Pb
=
<Pe
= <Pb -
<Pa - R,I
(0 ,5 A ) . (1 Q) = 111 ,5 Vi
= 11 ,5 V - (0,5 A ), (5 Q) = 19,0 Vi
4 V - (0,5 A ) . (1 Q) = 12,0 V I
= (0,5 A f . (5
Pz
Q
+5 Q +4
Q
wl
+ 1 Q + I Q ) = 4.0 W
= UO,2 1 = (4 V). (0.5 A ) = 2.0 W
4. Dem Stromkreis wird Energie mit folgender Rate entnommen:
, Plauslbilitätsprüfung: Überzeugen Sie sich davon, da s das Potenzial in Punkt e null i t :
= <Pd - R 3 1 = 2,0 V - (4 Q) . (0,5 A) = O.
• <Pe
,
I
PI = UO,I' = (12 V ) , (0 ,5 A ) = 16.0
2. Ein Teil dieser Leistung wird in den Ohm'schen Widerständen sowie in den Innenwiderständen der Batterien
umgesetzt:
3. Die verbleibende Leistung von 2 W dient zur Aufladung
der Spannungsquelle 2:
R in,l
16 Q
R21 = 9 V - (0,5 A ), (5 Q) = 16,5 Vi
= 6 ,5 V Tellaufgabe b
1. Berechnen Sie die von der Spannungsquelle 1 abgegebene
Leistung:
-
= 8 V = 05 A
I
80
802
I
»> 25 ELEKTRISCHER STROM - GLEICHSTROM KREISE
BEISPIEL 25.15: Fremdstarten eines Autos
Stellen Sie sich vor, Sie möchten dem Auto Ihres Nachbarn Starthilfe geben, weil dessen Batterie (genau genommen
dessen Akkumulator) entladen ist, während Ihre eigene Autobatterie maximal aufgeladen ist. a) Welche Pole der entladenen und der geladenen Batterie sollten Sie mit Hilfe des Fremdstartkabels verbinden? b) Die Quellenspannu ng der
geladenen Batterie sei UQ,l ='2 V, die der entladenen Batterie sei UQ,2 = 11 V. Weiterhin gegeben sind die In nenwiderstände der Batterien (R;nl = Rin2 = 0.02 Q) sowie der Widerstand des Fremdstartkabels (R K = 0.01 Q). Wie g roß ist der
Ladestrom? c) Wie groß ist die Stromstärke, wenn Sie die Batterien an den falschen Polen verbinden?
Lösung:
1. Damit die entladene Batterie aufgeladen wird, muss durch
sie ein Strom vom positiven zum negativen Pol fließen. Sie
müssen also die jeweils gleichnamigen Pole der beiden Batterien verbinden, wie es im Schaltbild (Abbildung 25.25)
dargestellt ist.
25.25
2. Den Ladestrom berechnen Sie mit Hilfe der
Kirchhoff'schen Maschenregel:
VO,I -
-
RK I
=
°
also
UQ
1=
R K
3. Werden die falschen (also die ungleichnamigen) Pole der
Batterien miteinander verbunden, so addieren sich die
QuelLenspannungen:
R in . 1 I - R in .2 I - V O ,2
VO,I -
1 -
.
V0
,2
+ Rin,l + R in ,2
Rin,l
I
+ U Q ,2
-
=
12 V - 11 V
0,05 Q
R in,2 1 -
~
= ~
RK I = 0
also
1
=
+ U O ,2 = 12 V + 11
+ R in ,l + R;n,2
0,05 Q
UQ,I
RK
V
= 1460 AI
Kommentar: Wenn Sie die ungleichnamigen Pole der Batterien verbinden , so liegt der Ohm'sche Widerstand des Stromkreises in der Größenordnung weniger hundertstel Ohm, und es fließt ein entsprechend starker Strom, Schlimmstenfalls
explodieren die Batterien, wobei die beiße Batteriesäure in aUe Richtungen spritzt.
Nehmen wir an , die QueLlenspannung V O,I sei größer als V Q .2 • In
Batterie 2 fließt die Ladung vom höheren zum niedrigeren
Potenzial; Ladung, die sich von Punkt c nach Punkt d bewegt,
verliert folglich die elektrische Energie ~q U Q ,2 (abgesehen
von der Energie, die in der Batterie in 10ule'sche Wärme umgewandelt wird). Ist Batterie 2 auflad bar - handelt es sich also um
einen Akkumulator - , so wird diese Energie größtenteils in chemische Energie umgewandelt, und die Batterie wird aufgeladen.
Die Analyse von Stromkreisen lässt sich in der Regel vereinfachen , wenn man das Potenzial in einem bestimmten Punkt null
setzt und alle anderen Potenziale relativ zu diesem Punkt
berechnet. D a uns ausschließlich Potenzialdifferenzen interessieren, ist es gleichgültig, welchen Bezugspunkt man festlegt.
Im Beispiel 25.14 haben wir dafür Punkt e in Abbildung 25.24
gewählt, den wir mit dem Massesymbol kennzeichnen. (Statt
von "Masse" spricht man auch von "Erde", da man die Erde,
wie wir in Abschnitt 21.2 gesehen haben, als sehr großen Leiter
mit einem nahezu unerschöpflichen Ladungsvorrat betrachten
kann , dessen Potenzial stets konstant bleibt. In der Praxis werden viele Stromkreise tatsächlich "geerdet ", d. h., ein Punkt
wird mit der Erde verbunden. Beispielsweise legt man eine Verbindung zwischen dem Metallgehäuse einer Waschmaschine
25 .5 DIE KIRCHHOFF' SCHEN REGELN < < <
I 803
und einem Wasserrohr, das seinerseits mit der Erde in Kontakt
ist. Der Bequemlichkeit halber setzt man das Potenzial der
Erde null.)
Beachten Sie, dass die Klemmenspannung der in Beispiel 25.14
aufgeladenen Batterie 2, 4>c - 4>d=4,5 V, größer ist als ihre Quellenspannung. Lieferte die gleiche 4-V-Batterie an einen Stromkreis einen Strom von 0,5 A, so wäre ihre Klernmenspannung
(bei gleichem Innenwiderstand von 1 Q) lediglich gleich 3,5 Y.
Bei einer Batterie mit sehr kleinem Innenwiderstand sind Klemmen- und Quellenspannung nahezu identisch, unabhängig
davon, ob die Batterie Energie an einen Stromkreis abgibt
oder umgekehrt Energie aus einem Stromkreis aufnimmt.
Einige reale Batterien, beispielsweise Autoakkumulatoren,
sind tatsächlich nahezu ideal reversibel und lassen sich problemlos wieder aufladen. (Der Begriff "aufladen " ist in gewisser
Weise irreführend, weil eine Batterie keine Ladung speichert,
sondern chemische Energie.) Auf Trockenbatterien trifft das
nicht zu. Wenn Sie versuchen , solche Batterien nachzuladen,
indem Sie den Strom vom positiven zum negativen Pol fließen
lassen, so wird die zugeführte Energie nicht in chemische Energie, sondern größtenteils in Wärme umgewandelt. Schlimmstenfalls kann die Batterie explodieren - vgl. Beispiel 25.15.
Stromkreise mit mehreren Maschen
Bei Stromkreisen mit mehreren Maschen kennen wir die Stromrichtung in den einzelnen Zweigen normalerweise nicht. Glücklicherweise müssen wir die Richtungen auch nicht kennen , um
die Kirchhoff'schen Regeln anwenden zu können - wir können
sie sogar mit Hilfe der Regeln ermitteln. Dazu legen wir die positive Stromrichtung in jeder Masche zunächst wil1kürlich fest,
indem wir entsprechende Pfeile in das Schaltbild einzeichnen
(Abbildung 25.27). Stimmt die positive Stromrichtung in
einem bestimmten Zweig tatsächlich mit der von uns gewählten
Richtung überein, so liefert unsere Rechnung einen Strom mit
positivem Vorzeichen. Erhalten wir dagegen ein negatives Vorzeichen für den Strom, so ist die tatsächliche Stromrichtung
gerade umgekehrt. Durch einen Ohm'schen Widerstand fließt
der Strom stets vorn höheren zum niedrigeren Potenzial. Das
bedeutet, beim Durchlaufen eines Ohm'schen Widerstands in
Stromrichtung ist die Potenzialänderung negativ (und umgekehrt). Die allgemeine Regel lautet wie folgt:
In jeder Masche des Stromkreises bezeichnen wir die
positive Stromrichtung mit einem Pfeil. Beim Durchlaufen
eines Ohm'schen Widerstands in Pfeilrichtung ist die
Potenzialdifferenz UR gleich -Rl; beim Durchlaufen
eines Ohm'schen Widerstands entgegen der Pfeilrichtung
ist die Potenzialänderung UR gleich + R l.
VORZEICHEN REGEL FÜR DIE POTENZIALÄNDERUNG ÜBER EINEM OHM 'se HEN
WIDERSTAND
Durchlaufen wir einen Ohm'schen Widerstand in posi tiver
Richtung und ist I positiv, so ist - R J wie erwartet nega tiv:
Der Strom fließt stets in Richtung abnehmenden Potenzials.
Durchlaufen wir den Ohm'schen Widerstand be i positivem 1
dagegen in negativer Richtung, so ist + RJ positiv, und bei negativem 1 und negativer Richtung ist + R 1 negativ.
R
25.26 Eine gefährliche Situation: Zwei Batterien sind an den
ungleichnamigen Polen miteinander verbunden.
b
u
T-
25.27 Die Richtung des Stroms J ist nicht bekannt; unabhängig von
dieser Richtung gi lt aber !/Jb -!/Ja = - R I . Fließt der Strom aufwärts
(in Pfeilrichtung), so ist 1 positiv und - R 1 negativ. Fließt der Strom
hingegen abwärts (entgegen der Pfei lri chtung), 0 i t 1 negativ und
- RJ positiv.
25 ELEKTRISCHER STROM - GLEICHSTROMKREISE
BEISPIEL 25.16: Anwendung der Kirchhoff'schen Regeln
a) Ermitteln Sie die Stromstärke in allen Zweige n des
Stromkreises aus Abbildung 25 .28 . b) Wie groß ist die
Energie, die am Ohm/sehen Widerstand R , innerhalb von 3 s
in Wärme umgewandelt wird?
/J
C
n .-----~---.------~--~
.+
. +
/2
Rj
Tj
H2
12 V
R2
20
+
SV
+.
f
3.0
R)
r
25.28
Problembeschreibung: In diesem Stromkreis treten drei Teilströme auf, I. I , und l~. zu deren Berechnung wir drei
Gleichungen benötigen. Eine Beziehung erhalten wir durch Anwendung der Knotenregel auf Punkt b. (Alternativ - und mit
gleichem Resultat - könnten wir die Knotenregel auf den anderen Verzweigungspu nkt e anwenden.) Die a nderen beiden
Gleichungen ergeben sich aus der Maschenregel. De r Stromkreis besteht aus drei Ma ehen. zwei inn e re n (abefa und bcdeb)
und der äußeren (abcdeja), von denen wir zwei auswählen könne n; die Berück ichtigung der dritten Ma ehe li efert dann eine
redundante Information. In jeden Zweig des Schaltbilds (Abbildung 25.28) wurde bereits e in Pfeil für di e positive Stromrichtung eingezeichnet. Falls wir für den Strom in einem Zweig einen negativen We rt e rha lte n, fließt der Strom in diesem
Zweig entgegengesetzt der Pfeilrichtung.
Lösung :
Teilaufgabe a
1. Wenden Sie die Knotenregel auf Punkt ban:
2. Wenden Sie die Maschenregel auf die äußere Masche
abcdefa an:
12 V - (2 Q) 12
3. Teilen Sie diese Gleichung durch 1 Q (wegen
(1 V )j(l Q) = 1 A) und vereinfachen Sie die Beziehung:
7 A - 3 I, - 512 = 0
4. Um die dritte erforderliche Gleichung zu erhalten, wenden Sie die Maschenregel auf die Masche bcdeb an:
-(2 Q) h
5 V - (3 Q) . (I,
-
- 5 V + (4 Q) 11 = 0
- 5 A + 41,-2 / 2 =0
=0
5. Fassen Sie die Ergebnisse der Schritte 3 und 4 zusammen
und lösen Sie nach I, und 12 auf. Dazu multiplizieren Sie
zunächst das Resultat von Schritt 3 mit 2 und dann das
Resu ltat von Schritt 4 mit - 5:
25 A - 20 I,
+ 1012 =
6. Addieren Sie die Gleichungen aus Schritt 5, um 12 zu eliminieren. Lösen Sie dann nach I, auf:
39 A - 26/1
=0
14 A - 6/, - 10/2
1
7. Setzen Sie dieses Ergebnis für I, in Ihr Resu lat aus Schritt
3 oder 4 ein, um 12 a uszurechnen:
'
= 39 A = 1 1 5
Teilaufgabe b
1. Die im Ohm 'schen Widerstand R, umgesetzte Leistung
e rgibt sich aus der Bezieh ung P, = R, I~ :
26
'
2,~ A =
I = I, + 12
0
AI
7 A - 3 . (1,5 A ) - 5 12
12 =
8. Mit lhren Ergebnissen für I, und 12 berechnen Sie
schließlich 1 gemäß der Gleich ung aus Schritt 1:
+ ' 2) = 0
=
0
1°,5AI
= 1,5 A + 0,5 A =
12,0
AI
25.5 DIE KI RCHHOFPSCHEN REGELN «<
2. Während der Zeit I1t wird in diesem Ohm'schen Widerstand insgesamt die elektrische Energie E el =P 111 in Wärme
umgewa ndelt. In unserem Beispiel ist I1t =3 s:
E el = Pl1t
'Plausibilltätsp rüfung: In Abbildung 25.29 wurden all e
• in diesem Beispiel berechneten Ströme und Potenziale
eingetragen, wobei das Potenzial in Punkt f gleich null
gesetzt wurde. Beachten Sie, dass <Pb - <Pe = 6 V und
<Pe- <Pr= 6 V ist.
= (9 W)·
(3 s)
=127 11
a
2A
f
12 V
4Q
+
0
12V O~A+
2Q
+
12V
c
b
--+
12 V
2A
3Q
e
6V
25.29
Kommenta r: Die A nwendung der Maschenregel auf die linke Masche (ab efa) ergibt 12 V - (4 Q) 11 - (3 Q) (11 + I~) = 0
oder 12 A - 7 I 1 - 3 / 2 = O. Siche r fä llt Ihnen auf, dass dieses Ergebnis gleich der Differenz de r Resultate der Schritte 3 und 4 ist
und demzufolge, wie e rwartet , keine neue Information liefert.
ÜBUNG: Be rechnen Sie 11> wenn R 3 a) gegen null und b) gegen unendlich geht. (L ösung: a) De r Spannungsabfall über R I
beträgt 12 V; also ist I 1 = 3 Ab) In diesem Fall ist der Stromkreis in der ljnken Masche unterbrochen, also ist 1=0 und
12 = - li' Wir e rhalten I 1 = (5 V)/(2 Q + 4 Q ) = 0,833 A)
U m Stromkreise mit me hr als einer Masche zu analysieren, benötigen wir in Beispiel25.16 heide Kirchhoff'schen Regeln.
Die Knotenregel we nden wir auf alle Verzweigungspunkte der
Schaltung an. Prägen Sie sich die im Folgenden noch einmal
zusammengefassten Schritte ein, die Sie im Übungsbeispiel 25.17 anwenden können:
1. Skizzieren Sie das Schaltbild.
2. Ersetzen Sie Parallel- und Reihenschaltungen von
Ohm' schen Widerständen oder Kondensatoren durch
die jeweiligen Ersatzwerte.
3. Legen Sie in jedem Zweig die positive Stromrichtung
durch einen Pfeil fest. Bezeichnen Sie alle Ströme.
Bezeichnen Sie die Pole von Batterien mit Plus (höheres
Potenzial) und Minus (niedrigeres Potenzial).
4. Wenden Sie die Knotenregel a uf alle Verzweigungspunkte des Stromkreises bis auf einen an . (Letzterer
liefert eine redundante Information.)
5. Wenden Sie die Maschenregel auf so viele einzelne
Maschen des Stromkreises an , dass die Zahl der
Gleichungen der Zahl der Unbekannten entspricht.
Beim Durchlaufen eines Ohm'schen Widerstands in
positiver Richtung ändert sich das Potenzial um - R I.
Beim Durchlaufen einer Spannungsquelle vom negativen zum positiven Pol ändert sich das Potenzial um
U a - Rißl.
6. Lösen Sie die Gleichungen schrittweise nach den gesuchten Größen a uf.
7. Überprüfen Sie Ihr Ergebnis, indem Sie einem Punkt des
Stromkreises als Nul\punkt des Potenzials festlegen und
mit Hilfe der e rhaltenen Stromstärken die Potenziale in
anderen Punkten des Kreises bestimmen.
A LLGEMEINE SC HRITTE ZUR ANALYSE VON STROMK REISEN MIT MEHREREN
MASCH EN
I 805
25 ELEKTRISCH ER STROM - GLEICHSTROMKREISE
BEISPIEL 25.17: Ein Stromkreis mit drei Zweigen
a) Berechnen Sie die Stromstärke in allen Zweigen des in
Abbildung 25.30 skizzierten Stromkreises. Tragen Sie alle
erhaltenen Stromstärken und -richtungen in ein Schaltbild
ein . b) Der Nullpunkt des Potenzials befinde sich in c. Geben
Sie die Potenziale in den Punkten abis fan.
b
a
c
12 0
30
+
18 V
2] V
60
30
f
('
60
25.30
ZUR ÜBUNG
Problembeschreibung: Zunächst er etzen Sie die Parallelwider tände durch ihre n Ersa tzwide rstand . I sei der Strom durch
die 18-V-Batte rie (links), der Strom 11 fließe zwischen den Punkten bund e. Zur Be rechnung de r Ströme wenden Sie die
Knotenregel auf die Verzweigungspunkte bund e sowie die Maschenregel auf alle Masche n an .
Lösung:
Decken Sie zunächst die rechte Spalte ab und versuchen Sie jeweils, die Ergebnisse selbst
Schritte
LU
ermitteln.
Ergebnisse
Teilaufgabe a
1. Berechnen Sie den Ersatzwiderstand der parallel
geschalteten Ohm'schen Widerstände.
R
2.Wenden Sie die Knotenregel auf die Punkte bund e an.
Zeichnen Sie die positive Stromrichtung in allen Zweigen in
das Schaltbild ein (Abbildung 25.31) .
/ = /1
2Q
/~
oder
/1
/ - /~
a
c
120
+
18V
30
11
+
11
60
2Q
= 1- /2
f
21 V
+
e
d
+'2
25.31
3. Wenden Sie die Maschenregel auf die Masche abefa an,
um eine Gleichung zu erhalten, in der owohl I als auch /2
auftritt.
18V -( 12 Q ) / -(6Q ) (1
4. Vereinfachen Sie die Gleichung a us Schritt 3.
3 A - 3/
5. Wenden Sie die Maschenregel auf die Masche bcdeb a n,
um eine zweite Gleichung zu erhalten, in der sowohl I als
auch /2 auftritt.
-(3 Q ) /2 + 21 V - (2 Q ) /2 + (6 Q ) (! - /2) = 0
6. Vereinfachen Sie die Gleichung aus Schritt 5.
21 A
7. Lösen Sie das aus den Ergebnissen der Schritte 4 und 6
bestehende Gle ichungssystem. Dazu können Sie beispielswe ise die Gleich ung aus Schritt 4 mit 11 multiplizieren und
dann 12 durch Addition be ide r Gleichungen e limini eren.
8. Be rechnen Sie den Strom / 1> der durch den Ohm 'schen
Wide rstand im mittleren Zweig fließt.
Ic)-= O
+ /2 = 0
+6/
- 11 /2
0
25.5 DIE KIRCHHOFF' SCHEN REGELN «<
I 80i
9. Den Spannungsabfall über den Parallelwiderständen
erhalten Sie aus der Beziehung UR = R 12 ,
10. Mit Hilfe des Ergebnisses aus Schritt 9 berechnen Sie
schließlich die Stromstärken an jedem der beiden Paralle lwiderstände.
Teilaufgabe b
Tragen Sie die berechneten Ströme in das Schaltbild aus
Abbildung 25.31 ein; sie erhalten Abbildung 25 .32. Berechnen Sie die Potenziale in den Punkten d , e, f, a und b. Gehen
Sie dabei von <Pe = 0 aus.
2A
--+
a
3A
--+
c
33V
12Q
18 V
1 Ai
6Q
o,+ 2.IV = O + 21V
121\'1
0,.
= ot/- (3 A )· (2 Q ) =- 2 1 V
0,
=Or= ~
0,,=q)J+ 18V = L5V + L8 V
0
3Q
+
(Pd
cPh
= 4>" -
(2 A ) . ( 12 Q )
6V
1
=~
33 v
I
= 33 V - 24 V = 19
vi
21 V
+
20
15V f
+2A
e 15V+_
3A
d
21 V
25.32
'Plauslbilltätsprüfung: Der Spannungsabfall zwischen den Punkten bund c beträgt (3 A ) . (3 Q) = 9 V. Wie erwarte t
• ergibt sich daraus C/>C = O. Zwischen den Punkten e und b beträgt der Spannungsabfall (1 A ) . (6 Q) = 6 V , also i t
<Pb
=
c/>e - 6 V
= 15 V - 6 V = 9 V.
Messgeräte für Strom, Spannung und
Widerstand
Die Messgeräte für Strom, Spannung (Potenzialdifferenz) und
Widerstand heißen Amperemeter, Voltmeter bzw. Ohmmeter.
Oft sind alle drei zu einem Mehrfachmessgerät (Multimeter)
zusammengefasst, wobei man zwischen den einzelnen Funktionen umschalten kann. Mit einem Voltmeter können Sie beispielsweise die Klemmenspannung Ihrer Autobatterie messe n,
und mit einem Ohmmeter können Sie den Ohm 'sehen Wide rstand eines elektrischen Haushaltsgeräts (etwa eines Toasters
oder einer Glühlampe) feststellen, wenn Sie einen Kurzschluss
oder einen Kabelbruch vermuten.
Um in einem einfache n Stromkreis den Strom zu ermitte ln , der
durch einen Ohm 'sehen Widerstand Hießt, scha lten wir ein
Amperemeter in Reihe zum fraglichen Widerstand (Abbildung 25.33), so dass durch diesen und das Messgerät der gle iche
Strom fließt. Der Innenwiderstand des Amperemeters ist zwar
sehr klein , aber endlich. Folglich nimmt die Stromstärke im
Kreis durch die Zwischenschaltung des Messgeräts geringfügig
ab. Im Idealfall ist der Innenwiderstand des Ampe remeters so
klein, dass diese Änderung der Stromstärke vernachlässigt werden kann .
Der Spannungsabfall über einem Widerstand wird gemessen ,
indem man ein Voltmeter parallel zum Widerstand schalte t
(Abbildung 25.34), so dass über dem Voltmeter die gleiche
Spannung abfä llt wie über dem Widerstand. Das Voltmeter
weist selbst einen Innenwiderstand a uf. Ist dieser klei ner als
d er parallel geschaltete zu vermessende Widerstand R, so fließt
beim Zuschalten des Voltmeters im gesamten Stromkreis ei n
R
25.33 Zur Messung der Stromstärke in einem Wider tand wird ein
Amperemeter A (Symbol im Krci ) mit dem Widerstand in Reihe
geschaltet. Es wird dann vom gleichen trom durchflo cn wie der
Widerstand.
808
I
»
25 ELEKTRISCHER STROM - GLEICHSTROMKREISE
etwas höherer Strom, und der gemessene Spannungsabfall entspricht nich t dem tatsächlichen Wert. Ein gutes Voltmeter hat
eine n sehr hohen Innenwiderstand, damit die Änderung der
Stromstärke vernachläsigt werden kann.
a
Rin
R
V
UQ
b
25.34 Zur Messung des Spannungsabfalls über einem Widerstand
wird ein Voltmeter V (Symbol im Kreis) parallel zu diesem Widerstand
geschaltet, so dass die Spannungsabfälle am Messgerät und am
Wider tand gleich sind.
(a)
(b)
Rp
Amperemeter
Voltmeter
25.35 a) Ein Amperemeter besteht aus einem Galvanometer G mit
dem Innenwiderstand R G und einem kleinen ParaUelwiderstand R p
b) Ein Voltmeter besteht aus einem Galvanometer G und einem großen Reihenwiderstand RR'
Das wichtigste Bauteil vieler gebräuchlicher (analoger)
Ampere- und Voltmeter ist ein Galvanometer, ein Gerät zur
Messung kleiner Ströme. Der Zeige ra usschlag eines Galvanomete r ist dabei proportional zur Stärke des durchfließenden
Stroms. Im Praktikum labor verwendete Galvanometer bestehen häufig aus einer im Magnetfeld eines Permanentmagneten
befindlichen Spule. Fließt durch die Spule ei n Strom, so übt
das Magnetfeld ein Drehmoment auf die Spule aus. Die Spule
(und mit ihr ein Zeiger) dreht sich. Wird das Galvanometer in
ei ne n Stromkreis ge chaltet, so trägt der Inne nwiderstand des
Spulendrahts geringfügig zum Ohm' chen Widerstand des
gesamten Kreises bei .
Um ei n Amperemeter zu bauen. schalten wir parallel zu einem
G alvanometer ei nen kleinen so gena nnten Nebenschluss- oder
Querwiderstand. Sein Wcrt i t normalerweise viel geringer als
der Wid erstand des Galvanometers, so dass der Hauptteil des
Stroms durch de n Nebenschlusswiderstand fließt und der
Ersatzwiderstand des Amperemeters wesentlich kleiner als
der Wid erstand des Galvanometer selbst ist. Zum Bau eines
Voltmeter schalten wir e inen sehr großen Widerstand in
Reihe zu einem Galvanometer, so dass der Ersatzwiderstand
des Messgeräts viel größer ist als der Widerstand des Galvanometers selbst. In Abbildung 25.35 finden Sie die prinzipiellen
Schaltbilder beider Messgeräte. Der Innenwiderstand R G des
Galvanometer ist hier separat eingezeichnet; in Wirklichkeit
ist er natürlich eine innere Eigenschaft des Galvanometers.
Ein einfaches Ohmmeter ist eine Reihenschaltung aus einer
Spannungsquelle, einem Galvanometer und einem Widerstand
(Abbildung 25.36a). Der Widerstand RR wird so gewählt, dass
das Galvanometer voll ausschlägt, wenn die Klemmen a und b
kurzgeschlossen werden (also der Widerstand zwischen ihnen
nahezu null ist). Haben die Klemmen keinen Kontakt, so ist
der Widerstand zwischen ihnen unendlich, und der Zeiger des
Galvanometers steht auf null. Schaltet man nun zwischen die
Klemmen einen unbekannten Widerstand R , so hängt der
durch das Messgerät fließende Strom von der Größe von R ab.
Die Skala kann mit Hilfe bekannter Widerstände so geeicht werden , dass sich der Wert von R in Ohm direkt ablesen lässt (Abbildung 25.36b).
(b)
Ohmmeter
25.36 a) Ein Ohmmeter ist eine Reihenschaltung aus Spannungsquelle. Galvanometer und einem Widerstand RR, der so gewählt ist,
dass das Galvanometer beim Kurzschließen (Verbinden) der Klemmen
a und b voll ausschlägt. b) Wird ein Wi.derstand R zwischen a und b
gescha ltel, so hängt der Ausschlag des Zeigers direkt vom Wert von R
ab. Die Skala wird so kalibriert, dass der Widerstandswert in Ohm
abgelese n werden kann.
Wie wir gesehen haben , enthält ein Ohmmeter eine Spannungsquelle. Bei der Widerstandsmessung ist deshalb Vorsicht angebracht, wenn der Stromkreis empfindliche Bauteile (etwa ein
Galvanometer) enthält, die durch den fließenden Strom beschädigt werden könnten.
25 .6 Re-Stromkreise
Eine Schaltung, die einen Ohm'schen Widerstand und einen
Kondensator enthält, bezeichnet man als Re-Stromkreis. In
einem Re-Stromkreis fließt der Strom (wie in allen Gleichstromkreisen) in einer Richtung, aber die Stromstärke ist zeitlich nicht konstant. Denken Sie beispielsweise an das Blitzgerät
eines Fotoapparats: Nachdem Sie das Gerät eingeschaltet
haben , lädt eine Batterie über einen Ohm 'sehen Widerstand
25.6 Re-STROMKREISE «<
einen Kondensator auf. Das Gerät ist dann bereit. Wenn Sie nun
den Kameraauslöser für eine Blitzlichtaufnahme betätigen, entlädt sich der Kondensator über die Blitzlampe. Anschließend
lädt die Batterie den Kondensator erneut auf, und Sie können
den nächsten BLitz auslösen. Mit Hilfe der Kirchhoff'schen
Regeln beschreiben wir die Ladung q und den Strom J beim Aufladen und Entladen eines Kondensators über einen Ohm'schen
Widerstand als Funktionen der Zeit.
R
(b)~S
Entladen eines Kondensators
In Abbildung 25.37 sehen Sie einen Kondensator mit parallelen
Platten. Zu Beginn des Versuchs trägt die obere Platte die
Ladung +qo und die untere Platte die Ladung - qo. Mil dem
Kondensator verbunden si nd ein Ohm'scher Widerstand R
und ein anfangs geöffneter Schalter S. Die Potenzialdifferenz
zwischen den Platten des Kondensators beträgt dann Uc,o=
qo/C, wobei C die Kapazität des Kondensators ist.
Zum Zeitpunkt f = 0 wird der Schalter geschlossen. Damit liegt
am Ohm'schen Widerstand eine Potenzialdifferenz an, es muss
also ein Strom durch das Bauelement fließen . Der Anfangsstrom ist
I _ Uc.o_ ~
0-
R - RC'
(25.26)
Der Strom kommt dadurch zustande, dass Ladung von der oberen (positiven) Kondensatorplatte durch den Ohm 'schen Widerstand zur unteren (negativen) Platte fließt. Mit der Zeit nimmt
die Ladung des Kondensators ab. Als positive Richtung wählen
wir die Uhrzeigerrichtung; der Strom ist dann gleich der Rate,
mit der die Ladung geringer wird. Die Ladung der oberen Platte
zur Zeit t sei q. Zu diesem Zeitpunkt fließt folglich der Strom
1 = _ dq.
(Das Minuszeichen bedeutet, dass q mit der Zeit abnimmt; deshalb ist die Ableitung von q nach der Zeit negativ. Hätten wir
den Gegenuhrzeigersinn als positive Strornrichtung definiert,
stünde in Gleichung 25.27 ein Pluszeichen.) Wenn wir den
Stromkreis im Uhrzeigersinn durchlaufen, so fällt die Spannung
am Widerstand um R I ab, am Kondensator hingegen nimmt sie
um q j C zu. Die Kirchhoff'sche Maschenregelliefert dann
q
- - RJ = O
C
'
(25.28)
wobei sowohl J als auch q von der Zeit abhängen und der Zusammenhang zwischen beiden Größen durch Gleichung 25.27 gegeben ist. Wir setzen nun -dqjdt in Gleichung 25.28 für J ein und
erhalten
oder
(25.29)
R
C
25.37 a) R eihe nschaltung aus ein em Kondensator mit parallelen
Platten , ei nem Schalter S und einem Ohm 'schen Widerstand R .
b) Schaltbild für den in a gezeigten Stromkreis.
Um diese Gleichung zu Lösen, trennen wir zunächst die Variablen q und f durch Multiplikation beider Seiten mit dt jq und
integrieren anschließend . Die Multiplikation ergibt
1
dq
- = - - dt .
q
RC
(25.30)
Die Variable n q und t treten jetzt in getren nten Tennen auf, und
wir integrieren von qo zur Zeit ( = 0 bis q' zur Zeit t':
l
Q
'
qo
(25 .27)
dt
I
dq
1
{"
q= - R C Ja dt ,
aLso
q'
t'
In - = - - .
qo
RC
80!
810
I
>.
25 ELEKTRISCHER STROM - GLEI CH STROMKREI SE
BEISPIEL 25.18: Entladung eines Kondensators
Ein Kondensator mit C - 4 ,...F wird auf 24 V aufgeladen und dann über einen Ohm 'sehen Widerstand m it R = 200 Q
entladen . Berechnen Sie a) die Anfangsladung des Kondensators, b) den Anfan gsstrom durch den Ohm'sehen Widerstand,
e) die Zeitkonstante der Schaltung und d) die Ladung des Kondensators 4 ms nach dem Schließen der Verbi ndung.
Problembeschreibung: Das Schaltbild finden Sie in Abbildung 25.37.
Lösung:
Teilaufgabe a
Die Anfangsladung des Kondensators ist das Produkt aus
der Kapazüät und Spannung:
qo = CUc,o = (4 ,...F )· (24 V) = 196
Teilaufgabe b
Der Anfangsstrom ist der Quotient aus Anfangsspannung
und Widerstand:
1
Teilaufgabe c
Die Zeit konstante ist gleich R C:
Teilaufgabe d
Setzen Sie 1=4 ms in Gleichung 25.31 ein und berechnen Sie
die Ladung des Kondensators nach dieser Zeitspanne:
° = URC,o =
r
= RC=
24 V =
200 Q
,. .Cl
I°12 A I
L
.
--
'
-
-'.
(200 Q) . (4 ,...F )
= 800
j.lS
= 1 0 8 ms I
q = qo e - t / r = (96 ,...C) . e-(4 ms)f(O.8 ms)
=
(96
,...q . e- 5 =
1°,647
,. .Cl
Kommentar: Nachdem fünf Zeitkonstanten vergangen sind, ist die Ladung des Kondensators auf weniger als 1 % des
Anfangswerts gesunken.
ÜBUNG: Berechnen Sie den Strom, der bei [=4 ms durch den Ohm'schen Widerstand fließt. (Lösung: 0,809 mA.)
Weil der Zeitpunkt t' beliebig gewählt wurde, können wir t' = t
setzen. Dann ist q' = q(t), und wir erhalten für q(t) die Beziehung
q
(25.31 )
r
25.38 Die Ladung q des Kondensators aus dem in Abbildung 25.37
gezeigten Stromkreis, aufgetragen in Abhängigkeit von der Zeit; bei
t = 0 ist der Schalter geschlossen. Die Zeitkonstante r = Reist
gleich der Zeit, innerhalb derer die Ladung um den Faktor l / e
abnimmt. (Wie die gestrichelte Linie andeutet, ist r außerdem gleich
der Zeit, die bis zur vollständigen Entladung des Kondensators verginge, wenn die Entladungsrate konstant bei ihrem Anfangswert
bliebe.)
Die Größe r, die Zeitkonstante, gibt an , wie lange es dauert, bis
die Ladung des Kondensators um den Faktor lIe abgenommen
hat:
r =
Re.
(25.32)
DEFINITION DER ZEITKONSTANTE DES Re-STROMKREISES
In Abbildung 25.38 wurde die Ladung des Kondensators aus
dem in Abbildung 25.37 gezeigten Stromkreis in Abhängigkeit
von der Zeit aufgetragen. Bei t = rist die Ladung q = (1/e)qo =
0, 37qo, nach t = 2. ist sie (1/ef qo = 0 , 135qo und so fort. Nach
Ablauf eines Mehrfachen von rist ctie Ladung vernachlässigbar
gering. Diesen zeitlichen Verlauf bezeichnet man auch als exponentiellen AbfaJl. Er tritt in der Natur sehr häufig auf - überaU
dort, wo die Abnahme einer Größe proportional zu dieser
Größe selbst ist. In Kapitel 14 sind wir Beispielen dafür im
Zusammenhang mit der gedämpften Schwingung bereits begegnet. Beispiel 25.18 verdeutlicht den Verlauf für die Kondensatorentladung.
25.6 Re-STROMKREISE <<<
I
Die Abnahme der Ladung eines Kondensators können wir
durch eine Analogiebetrachtung veranschaulichen: SteHen Sie
sich einen gefüllten Wassereimer mit sen krechten Wänden
vor, in dessen Boden ein kleines Loch gebohrt ist. Die Rate,
mit der das Wasser aus dem Loch strömt, ist proportional zum
Wasserdruck, der wiederum proportional zu der noch im
Eimer verbliebenen Wassermenge ist.
Den in einem RC-Kreis fließenden Strom erhalten wir durch
Ableitung von Gleichung 25.31 nach der Zeit:
1=
_ dq = ~e-'/(RC).
dl
RC
Wir setzen die Beziehungen 25.26 und 25.32 ein, und es ergibt
sich
(25.33)
mit 10 = Uc,ol R = qo l (Re) als Anfangsstrom. Abbildung 25.39
zeigt den zeitlichen Verlauf der Stromstärke, die wie die Ladung
exponentiell mit der Zeitkonstante r = RC abfällt.
25.39 Der Strom in dem in Abbildung 25.37 gezeigten Stromkreis
als Funktion der Zeit; der Graph hat die gleiche Form wie de r Verlauf der Ladung in Abbildung 25.38. Bliebe dje Rate der Stromabnahme konstant bei ihrem Anfangswert, so fiele der Strom innerhalb
einer Zeitkonstante auf null ab, wie die gestrichelte Linie andeutet.
U
Aufladen eines Kondensators
In Abbildung 25.40a sehen Sie eine Schaltung, mit der ein Kondensator aufgeladen werden kann. Vor Versuchsbeginn ist der
Kondensator entladen und der Schalter S geöffnet. Bei t=O
wird der Schalter geschlossen, und die Ladung beginnt zu fließen
(Abbildung 25.40b). Zur Zeit t sei q die Ladung der rechten
Kondensatorplatte; als positive Richtung des Stroms 1 Legen
wir die Uhrzeigerrichtung fest. Die Anwendung der Kirchhoff'sehen Maschenregelliefert dann
U - IR-!l=O
C .
(25.34)
Betrachten wir diese Gleichung etwas genauer: Bei t=O ist die
Ladung des Kondensators qA = 0, der Strom ist also 10 = U/R.
Dann nimmt die Ladung zu, und der Strom wird schwächer.
Ihren maximalen Wert qE = C U erreicht die Ladung, wenn
kein Strom mehr fließt (J = 0).
Die Stromrichtung in dieser Schaltung haben wir so gewählt,
dass q zunimmt, wenn 1 positiv ist, also
Wir setzen dies in Gleichung 25.34 ein und erhalten
dq
q
U-R- --= O.
dt C
(25.35)
Gleichung 25.35 lösen wir analog zu Gleichung 25.29; die einzelnen Schritte sollen Sie als Übungsaufgabe 39 formulieren. Das
Ergebnis lautet
(25.36)
r
L
(a)
S
R
c
s
(b)
-+
1
u
+
L
R
+q
C
25.40 a) Stromkreis zur Aufladung eines Kondensators auf die
Spannung U. b) Nachdem der Schalter geschlossen wurde, fließt e in
Strom durch den Ohm'schen Widerstand, und der Kondensator wird
geladen. Über beiden Bauele menten fällt die Spannung ab.
81
25 ELEKtRISCHER STROM - GLEICHSTROMKREISE
mit qE = C U als maxim aler Ladung (Endladung) des Kondensators. Den Strom liefert uns die Beziehung J = dqldt:
q
J = dq = C U
d,
( _~ e
"(RC) )
= U
e - I/( RCj
R
RC
oder
25.41 Die L8 d llng q deS kondensators aus dem in Abbildung 25.40
gezeigten Strom!treis, aufge tragen in Abhängigkeit VOn der Zeit;
bei 1= 0 wird der Schalter geschlossen. Nach der Zeit t "'" 1: = Reist
die Ladung des l<.ondensators gleich 0,63 CU mit CU als maximaler
Ladung. Wäre die Al.lfladungsrate konstant, SO wäre der Kondensator
ZUr Zeit t "" r VOllständig geladen .
[0
10
=
UIR
U
R
l = - e " IRC)= f ue 'IT
(25.37)
Der Anfangs trom i t hier 10 = U/R.
Den zeitlichen Verlauf der Ladung des Kondensators und des
StrOms im Stromkreis zeigen die Abbildungen 25.41 und 25.42.
Überlegen Sie sich anhand der folgenden Übungen und der Beispiele 25.19 und 25.20 die Anwendung dieser G leichu ngen.
ÜBUNC: Zeigen Sie, da Gleichung 25.36 tatsächlich eine
Lösung von Gleichung 25.35 i t indem Sie q(t) und dq/dt in
Gleichung 25.35 einsetzen.
ÜBUNC: Welcher Teil der maximalen Ladung befindet
sich nach der Zeit t = 2 r auf dem Kondensator?
(Lösung: 0,86.)
T
25.42 Der StroilJ in deJ11 in AbbildUng 25.40 gezeigten Stromkreis
als fUnktiOn der zelt. von seinem Anfangswert 10,:, U/R ausgebend
fäUt der Strom exponentiell über der Zeit ab.
Die Energiebilanz beim Aufladen eines
Kondensators
Während der Aufladung des Kondensators fließt durch die Batterie insgesamt die Ladung qE = U C. Das bedeutet, die Batterie
verrichtet die Arbeit
Die Hälfte dieser Arbeit wird in Form von elektrischer Energie
im Kondensator gespeichert (siehe Gleichung 24.12):
Die andere Hälfte wird, wie wir jetzt zeigen wollen, durch den
Ohm'schen Widerstand des Stromkreises in Wärme umgewandelt.
Die Rate, mit der Arbeit an einem Ohm'schen Widerstand R in
Wärme umgewandelt wird, ist gleich
Für den Strom setzen wir Gleichung 25.37 ein:
dW R = (U e _ ,/( RCl ) 2 R
dt
R
=U
2
e - 2t/( RC j
R'
25. 6 Re-STROMKREISE < < <
BEISPIEL 25.19: Aufladung eines Kondensators
Mit einer 6-V-Batterie, deren Innenwiderstand vernachlässigt werden kann, soll ein Kondensator mit C - 2 ~F über einen
Ohm'schen Widerstand mit R - 100 Q aufgeladen werden. Berechnen Sie a) den Strom zu Beginn des Ladevorgangs, b) die
maxi male Ladung des Kondensators, c) die erforderliche Zeit, um den Kondensator auf 90 % des Maximalwerts aufzuladen,
und d) die Ladung des Kondensators, wenn die Stromstärke auf die Hälfte ihres Anfangswerts abgesunken ist.
ZUR ÜBUNG
Lösung:
Decken Sie zunächst die rechte Spalte ab und versuchen Sie jeweils, die Ergebnisse selbst zu ermitfcln.
Schritte
Ergebnisse
Teilaufgabe a
Den Anfangsstrom e rhalten Sie aus der Beziehung 10 = U/R.
f o = 10.06
AI
Teilaufgabe b
Die maximale Ladung ergibt sich gemäß qE = CU.
qf:.= 112 Ilc l
Teilaufgabe c
Setzen Sie in Gleichung 25.36 q = O,9q E und lösen Sie nach t
auf. (Dazu müssen Sie zunächst nach e'l < umstellen und den
natürlichen Logarithmus bei der Seiten bilden .)
t
= 2,3 r = 1460
IlS
I
Teilaufgabe d
1. Wenden Sie die Kirchhoff'sche Maschenregel auf den
Stromkreis (siehe Abbildung 25.40b) an.
U - RI - i = Cl
C
2. Setzen Sie 1= 1of2 und lösen Sie nach q auf.
q - -(]l = ~
61lC
2
Kommentar: Teilaufgabe d können Sie auch lösen, indem Sie tau Gleichung 25 .37 ber echne n, in Gl eichung 25.36 e in etzen
und diese nach q auflösen. Die Anwendung der Kirchhoff'schen Maschenregel führt alle rdings schne lle r zum Zie l.
BEISPIEL 25.20: Ströme und Ladungen nach verschiedenen Zeiten
mm>Gegeben ist der Stromkreis in Abbildung 25.43. Zu
Versuchsbeginn ist der Kondensator mit C = 6 j.1F entladen.
Berechnen Sie den Strom, der a) kurz nach dem Schließen
des Schalters und b) lange nachdem der Schalter geschlossen wurde durch die Ohm'schen Widerstände R1 = 4 Q und
R 2 = 8 Q fließt. c) Wie groß ist die Ladung des Kondensators, nachdem der Schalter lange Zeit geschlossen war?
c
_ 6 1l F
f
e
d
25.43
Problembeschreibung: Zu Beginn ist der Kondensator e ntlade n, und der Ohm 'sehe Wide rsta nd R 1 begre nzt de n Stromfluss durch die Batterie; der Spannungsabfall über dem Kondensator ist deshalb anfänglich null. Der Ko nde nsator ist mit
R2 parallel geschaltet , d. h., über beiden Bauelementen fällt die gle ich e Spannung ab. Folgli ch ist der Spannung abfa ll übe r
R2 zu Beginn ebenfalls null.
I 8 13
814
I
>.
25 ELEKTRISCHER STROM - GLEICHSTROMKREISE
Lösung:
Teilaufgabe a
Wenden Sie die Maschenregel auf die äußere Masche an und
berechnen Sie den Strom durch R I • Die Spannungsabfälle
über R 2 und C sind gleich. Setzen Sie die Anfangsladung des
Kondensators null und lösen Sie nach dem Strom durch R 2
auf:
12 V - (4 Q )JR1 .O + 0 = 0,
JR,.o(8 Q )
JR10 =
= ~,
JR,.o
13AI
= @]
Teilaufgabe b
Eine hinreichend lange Z e it später ist de r Kondensator
vollständig a ufge laden (es fließt keine Ladung mehr zu den
Platten) , und beide Ohm'schen Widerstände werden vom
gleichen Strom durchflossen. Wenden Sie die Maschenregel
a uf die linke Masche an und lösen Sie nach dem Strom auf:
12 V - (4 Q) JE - (8 Q) I E = 0
IE= B
Teilaufgabe c
Die Spannungsabfälle über R 2 und dem Kondensator sind
gleich. Deshalb können Sie qE wie folgt ausrechnen:
Jd8 Q)
= qE
C
qE = (1 A) . (8 Q ) . (6 !1F) = 1 48
!-Lei
Kommentar: Die Analyse dieses Stromkreises zu den bei den ex treme n Zeitpunkten - wenn der Konde nsator entweder
vollständig entladen oder vollständig geladen ist - fällt nicht schwer: Der ungeladene Kondensator wirkt wie ein Draht mit
einem Widerstand von null zwischen den Punkten c und d (Abbildung 25.44a), de r vollständ ig a ufgdade ne Kondensator
unterbricht den Stromkreis zwischen c und d (Abbildung 25.44b).
(a)
a
s
b
c
Diesen Ausdruck integrieren
t
WH
in de n Grenzen l=O und
= 00 :
4Q
+
12V
sQ
mit a
f
(b)
a
s
e
d
b
c
= 2/ Re.
Wir erhalten also
Insgesamt wird also die loule 'sche Wärme
4.0
+
12V
sQ
f
e
d
25.44 Ist der Kondensator aus Abbildung 25.43 vollständig entladen, so schließt er die Punkte c und d kurz (a); ist er vollständig aufgeladen, so unterbricht er den Stromkreis zwischen c und d (b).
erzeugt mit qE = U e. Dieses Resultat gilt unabhängig vom
Wert des Ohm 'sehen Widerstands R. Lädt man also einen
Kondensator mit einer Batterie, die eine konstante Spannung
abgibt, über einen Ohm 'schen Widerstand auf, so wird die
Hälfte der von der Spannungsquelle gelieferten Energie im
Kondensator gespeichert, die andere Hälfte wird vorn O brn 'sehen Widerstand (zu einem kleinen Teil natürlich vom Innenwiderstand der Batterie) in Wärme umgewandelt.
25 ZUSAMMEN FASSUNG <<<
I
Zusam menfassung
1. Das Ohm 'sche Gesetz ist eine empirische, nur für bestimmte Materialien geltende Regel.
2. Strom, Widerstand und Quellenspan nung sind wichtige definierte Größen.
3. Die Kirchhoff'schen Regeln folgen aus der Ladungserhaltung und der konservativen Natur des elektrischen Felds.
1.
Thema
Wichtige Gleichungen und Anmerkungen
Elektrischer Strom
Der elektrische Strom ist definiert als die Rate des Flusses elektrischer Ladung
durch eine Querschnittsfläche:
[ = 6.q
(25.1 )
6./
Driftgeschwindigkeit
Ein elektrischer Strom I in einem Leiter kommt dadurch zustande, dass negative
Ladungsträger (Elektronen), ständig beschleunigt von einem elektrischen Feld
im Leiter und wieder abgebremst durch Zusammenstöße mit Gitterionen , langsam den Leiter entlang driften. Typische Driftgeschwindigkeiten Vd von Elektronen in Metalldrähten liegen bei wenigen Millimetern pro Sekunde:
I = q(n j V) A
2.
Vd.
Elektrischer Widerstand
Definition
(25.5)
Spezifischer Widerstand r
f.
R = r-
(25.8)
A
Temperaturkoeffizient des
spezifischen Widerstands a
3.
O~m'sches
Gesetz
(25.9)
Der Widerstand von Materialien, die sich nach dem Ohm'schen Gesetz verhalten, hängt weder vom Strom noch von der Spannung ab:
V
4.
= R 1,
R ist konstant.
p = [u
In einem Ohm'schen Widerstand
umgesetzte Leistung
6.
(25.7)
Leistung
Einem Bauelement zugeführte Leistung
5.
(25.3 )
(25 .1 0)
(25. 11 )
Quellenspannung
Spannungsquellen
Eine Spannungsquelle ist ein Bauelement, da
Energie zuführt.
Leistung einer Spannungsquelle
p = [V o
(25 .12)
Batterien
Ideale Batterie
Eine ideale Batterie ist eine Spannungsquelle, an deren Klemmen unabhängig
vom Batteriestrom ei ne konstante Spannung abgegriffen werden kann.
Reale Batterie
Eine reale Batterie kann als Reihenschaltung einer idealen Batterie und eines
kleinen Ohm'schen Widerstands, des Innenwiderstands R m , betrachtet werden.
Klemmenspannung
(25.13)
Insgesamt gespeicherte Energie
(25.15)
81
816
I
7.
> >." 25 ELEKTRISCHER STROM - GLEICHSTROM KREISE
Ersatzwide rstand
Reihenschaltung Ohm 'scher Widerstände
R = R 1 + R'2
Para ll e lschalt ung Ohm' cher Widerstände
R = R + R, + R.1 + ...
1
1
I
8.
Kirchhoff'sche Regeln
1
+ R1 + ...
1
(25.17)
(25.21)
_
l. Maschenregel : Beim Durchlaufen einer gc chlo senen Schleife eines Strom-
kreise i t die Summe aller Spannungen gleich null.
2. Knotenregel: Die Summe aller tröme, die t.u einem Verzwe igungspunkt in
einem Stromkreis hinnießen , i I gleich der ummc aller Ströme, die von diesem Pu nkt wegfließen.
9.
Messgeräte
A mperemeter
E in A mpe re mete r (Stromm e sgerä t) besitzt eine n se hr kle in e n Ohm 'schen
Wide r ta nd und wird in Re ihe mi t de m zu verme senden Ba uelem e nt geschaltet.
Voltme te r
E in Voltme ter (Spa nnungsme ge rä t) besitzt eine n e hr großen Ohm'schen
Wide rsta nd und wird pa ra lle l zu dem zu vermessenden Ba ue le me nt geschaltet.
Ohmme te r
E in Ohmme te r (Widerstand me gerät) ent pricht einer Re ihe nscha ltung aus
e iner Batte rie, eine m G a lvano me te r und ei nem hm' ehe n Wider tand. Es dient
zur Messun g des Wide rsta nds eines m it de n Kle mmen ve rbundene n Baueleme nts.
10. Entladung eines Kondensators
Z eitlicher Verla uf der Ladung
(25.31)
Ze itlicher Verlauf des Stroms
(25.33)
Z eitkonstante
T = RC
(25.32)
11. Aunadung eines Kondensators
Zeitlicher Verlauf der Ladung
(25.36)
Ze itlich er Verlauf des Stroms
(25.37)
25 AUFGABEN < <
I8
Aufgaben
Gelegentlich entha lten die Au fgaben me hr Angaben, als für di e Lösung erfo rderlich si nd. Be i e inigen anderen dagege n werden D ate n
aus dem Allgemeinwissen, aus anderen Quellen oder sinnvolle Schätzungen benöti gt.
•
Einfache Aufgabe n mit nu r e in em Rechenschritt.
•• Mittelschwere Aufga be n, könn en di e Kombination verschiedene r Konzepte e rfordern .
•• • Anspruchsvolle Aufgabe n.
Verständnisaufgaben
25.1
•
Bei der Diskussion der Elektrostatik hatten wir
festgestellt , dass in e inem Le iter im ele ktrostatischen Gleichgewicht kein elektrisches Fe ld exi stiert. Warum können wir jetzt
über e lektrische Felde r innerhalb von Leitern sprechen?
25.2
••
Als Wide rstandsbauelement soll ein MetalIquader mit Kante nlänge n von 2, 4 und 10 Einheiten verwendet werden . An welche gegenüberliegenden Seiten des Quaders muss
man die Zuleitungen anschli eßen, damit der Widerstand des
Bauteils am geringsten ist ? a) An die 2 mal4 Einheiten großen
Seiten. b) An die 2 mal 10 Einheiten großen Seiten. c) An die
4 mal 10 Einheiten großen Seiten. d) Der Widerstand ist in
allen drei Fällen gleich. e) Keine der Antworten ist richtig.
wie an der Parallelscha ltung aus R 2 und R 3 • b) A n R 1 wird di e
gleiche Le istung umge e tzt wie a n R2 • c ) An R I wird mehr
Leistung umgesetzt als an R 2 oder an R). d) An R I wird we ni ger
Le istung umgese tzt als a n R z ode r a n R 3•
R3
' - - - - - - -+'-11--- - - - - - '
u
25.3
•
Zwei Widerstände R I und R 2 werden parallel
geschaltet. Wie groß ist ungefähr der Ersatzwiderstand der
Schaltung, wenn R I :::P R2 ist? a) Rb b) R 2, c) 0, d) unendlich groß.
25.45 Zu Aufgabe 25.10.
25.4
•
Wiederholen Sie Aufgabe 3 für eine Reihenschaltung von R I und R 2 .
25.11 ••
Ein 3 m langes Fre mdsta rtkabe l für Auto enthält mehrere Kupferdrähte mit einer äquivale nten Que rschnittsfläche von 10 mm 2 . a) Ge be n Sie den Widersta nd de
Kabels an. b) Beim Fre mdstarten e ines Auto fli eßt durch da
Kabel e in Strom von 90 A . Be rechnen Sie de n Spannung abfall
übe r dem Kabe l. c) We lche Lei tung wird im Kabel umgesetzt?
25.5
••
Eine Reihenschaltung zweier identischer Widerstände ist an die Klemmen einer Batterie angeschlossen, die
dabei eine Leistung von 20 W abgibt. Welche Leistung gibt die
Batterie ab, wenn dieselben Widerstände parallel geschaltet
sind? a) 5 W, b) 10 W, c) 20 W, d) 40 W, e) 80 W.
25.6
•
SoUte der Innenwiderstand eines idealen Voltmeters a) unendlich groß oder b) null sein?
25.7
•
Sollte der Innenwiderstand eines idealen Amperemeters a) unendlich groß oder b) null sein?
Schätzungs- und Näherungsaufgaben
25.12 ••
Der Que r chni tt de r im Hau halt verleg te n e le ktrischen Leitun gen mus hinreichend groß sein , da s sich die
Kabel nicht so weit e rhitze n, dass ein Brand e ntste ht. Durch
ein e bestimmte Le itun g soll e in trom von 20 A fli eß n; di e J Oll le 'sche Erwärmung des Kupfe rdraht darf in die em Fa ll 2 W/m
nicht über tei gen. We lchen Durchme er mu ss de r Draht habe n,
um der Anforderung zu ge nügen?
25.8
•
Sollte der Innenwiderstand einer idealen Spannungsquelle a) unendlich groß oder b) null sein?
25.9
••
An eine Reihenschaltung, bestehend aus einem
Schalter, einem Ohm 'sehen Widerstand und einem anfänglich
entladenen Kondensator, wird eine Batterie ange chlossen.
Zum Zeitpunkt t = 0 wird der Schalter geschlossen. Welche
der folgenden Aussagen ist (sind) richtig? a) Die Stromstärke
nimmt mit steigender Ladung des Kondensators zu . b) Der
Spannungsabfall über dem Ohm 'sehen Widerstand nimmt mit
steigender Ladung des Kondensators zu . c) Die Stromstärke
bleibt bei steigender Ladung des Kondensators konstant.
d) Der Spannungsabfall über dem Kondensator nimmt mit
steigender Ladung des Kondensators ab. e) Der Spannungsabfall über dem Ohm'schen Widerstand nimmt mit steigender
Ladung des Kondensators ab.
25.10 ••
Die Widerstände Rh R2 und R 3 in Abbildung 25.45 seien identisch. Welche der folgenden Aussagen ist
(sind) richtig? a) An R I wird die gleiche Lei tung umge etzt
Elektrischer Strom und die Bewegung von
Ladungsträgern
25.13.
Gegebe n i t eine Leucht to ffrö hre mit e ine m
Durchmesser von 3 cm. E ine Que r chnill fl äche der R ö hre (in
einem bestimmte n Punkt über der Lä nge ) durchqueren pro
Sekunde 2,0 · 10 1M Ele ktrone n und 0.2 · 101l! Io ne n mit de r
Ladung +e. Be rechne n ie die tromstä rke in de r Röhre.
25.14.
Ein zylindri eher Ele ktro ne n trahl mit e in em
Durchmesser von 1 mm e nth ä lt 5,0 . 101> E le ktro ne n pro Kubikzentim ete r, jeweils mit e in er kin eti sche n Ene rgie vo n 10 keY.
a) Wie schnell bewegt sich e in E le ktro n diese trahl ? b ) Berechnen Sie die Strom tärke des Strahls.
25.15..
Die Protone n ei nes 5-mA -Strahl in eine m Pr tone n peicherrin g bewegen sich nahezu mit Lichtge chwindigke it. a) Be rechne n Sie die Proto ne nza hl pro Meter de
818
I»
25 ELEKTRISCHER STROM - GLEICHSTROM KREISE
Strahls. b) D e r Strahlquerschnitt sei 10 (, m 2• Geben Sie di e
Anzahldichte der Protonen an.
Widerstand und Ohm'sches Gesetz
25.16.
Durch einen 10 m langen Draht mit einem
Widerstand von 0,2 Q fließt ein Strom von 5 A. a) Wie groß
i t der Spannungsabfall über dem Draht? b) Geben Sie die
elektrische Feldstärke im Draht an.
25.17 ••
Gegeben sind ein Kupferdraht und ein Eisendraht gleichen Durchmessers; durch beide fließt der gleiche
Strom. a) Berechnen Sie das Verhältnis der Spannungsabfälle
über beiden Drähten. b) In welchem Draht ist die elektrische
Feldstärke größer?
25.18 ••
Für Stromstärken bis zu 30 A werden Kabel
benutzt, deren Kupferdrähte einen Durchmesser von 2,6 mm
aufweisen. a) Wie groß ist der Widerstand eines solchen Kabels
von 100 m Länge? b) Wie groß ist die elektrische Feldstärke im
Draht, wenn ein Strom von 30 A lließt? c) Wie lange dauert es
unter diesen Bedingungen, bis sich ein Elektron entlang des
Drahts um 100 m weiterbewegt hat?
25.19 ••• Geben Sie einen Ausdruck für den Widerstand
zwischen den Enden des in Abbildung 25.46 dargestellten Halbrings an. Der spezifische Wider ta nd des Materials sei ,.
25.46 Zu Aufgabe 25.19.
Temperaturabhängigkeit des Widerstands
25.20 ••
Die Heizschlange eines Toasters bestehe aus der
Legierung Nichrom und habe bei 20 °C einen Widerstand von
80 Q; die Stromstärke beträgt dann 1,5 A. Nachdem die Heizschlange ihre Endtemperatur erreicht hat, beträgt die Stromstärke nur noch 1 3 A. Wie heiß wird das Heizelement?
25.21 • •• Zwei Drähte mit gleicher Querschnittsfläche A,
den Längen EI bzw. Ez, den spezifischen Widerständen 'I bzw.
' 2 und den zugehörigen Temperaturkoeffizienten a l bzw. az
sind an den Enden so miteinander verbunden, dass durch
beide der gleiche Strom fließt. a) Zeigen Sie, dass der Widerstand R der gesamten Anordnung für kleine Temperaturänderungen nicht von der Temperatur abhängt, wenn gilt:
'I t'1 al + ' zt'z az = O. b) D er eine Draht bestehe aus Kohlenstoff,
der andere aus Kupfer. In welchem Verhältnis müssen die Längen der Drähte zueinander stehen, damit R nä herungsweise
unabhängig von der Temperatur ist?
25.22 • •• Eine kleine, in einem Elektronikpraktikum verwendete Kohlefadenlampe hat einen zylinderförmigen Glühfaden mit einer Länge von 3 cm und einem Durchmesser
d = 40 ,...m . Der spezifische Widerstand von Kohlenstoff, der
zur Herstellung von Glühfäden eingesetzt wird, beträgt bei Temperaturen zwischen 500 und 700 K ungefä hr 3· 10- 5 Q . m.
a) Wie heiß wird der Glühfaden, wenn an ihm ein e Spannung
V = 5 V anliegt? Behandeln Sie die Glühlampe als idealen
schwarze n Strahler. b) Der spezifische Widerstand von Kohle nstoff nimmt mit steigender Temperatur ab. der von Wolfram
nicht. Bei Kohlefadenlampen kann es deshalb zu Problemen
komme n, die bei Glühlampen mit Wol[ramdraht nicht auftreten. Erklären Sie, warum .
Energie in elektrischen Stromkreise n
25.23.
Ein Kohle chichtwiuer tand mit R = 10000 Q ,
der in elektronischen Schaltkreisen verwendet wird, ist laut
Angabe für 0,25 W a usge legt. a) Wie stark kann der Strom
maximal sein, der durch dieses Bauelement fließt? b) Welche
Spannung kann maximal a n den Wider tand angelegt werden?
25.24.
An e ine Ba tt e ri e mit einer Quellenspannung von
6 V und einem Innenwiderstand von 0.3 Q wird ein regel barer
La twider tand R angeschlo en. Be rechnen Sie die Stromtärke und die Lei tung abgabe der Batterie für a) R =O,
b) R = 5 Q, c) R = 10 Q und d) für einen unendlich großen
Lastwiderstand.
25.25 • •
Ein mit einem Elektromo tor a usgerüstetes
Leichtfahrzeug wird mit zehn 12-V-Akkum ulatoren betrieben.
Die mittlere Reibungskraft bei einer Geschwindigkeit von
80 km/h beträgt 1200 . a) Wie groß mu s die vom Motor abgegebene Leistung sein, damit da Auto sich mit einer Geschwindigkeit von 80 km/h bewegt? b) Jeder Akkumulator kann
eine Ladungsmenge von 160 A · h abgeben, bevor er nachgeladen werden mu s. Geben Sie die Ge amtladungsmenge in Coulomb an, die alle Akkumulatoren zusammengenommen während eines Ladezyklu liefern können. c) Wie viel elektrische
Energie geben die Akkumulatoren zusammengenommen während eines Ladezyklus ab? d) Wie weit kann das Auto mit
einer Geschwindigkeit von 80 km/h fahren, bevor die Akkumulatoren nachgeladen werden müssen? e) Das Aufladen der
Akkumulatoren koste 9 EUTOcent pro Kilowattstunde. Geben
Sie die (Strom-) Kosten pro gefahrenem Kilometer a n.
Zusammenschaltungen von Widerständen
25.26.
a) Zeigen Sie, dass der Ersatzwiderstand zwischen den Punkten a und b in Abbildung 25.47 gleich Rist.
b) Welchen Effekt hat das Einfügen eines weiteren Widerstands
R zwischen den Punkten c und d?
c
d
25.47 Zu Aufgabe 25.26.
25.27 ••
Eine Batterie hat die Quellenspannung V Q und
den Innenwiderstand R in • An die Klemmen wird ein Lastwiderstand R I = 5 Q angeschlossen; die Stromstärke im Stromkreis
beträgt dann 0,5 A Wird aber stattdessen ein Widerstand
25 AUFGABEN
R 2 = 11 Q angeschlossen, so fließt ein Strom von nur 0,25 A.
Berechnen Sie a) die Quellenspannung V Q und b) den Innenwiderstand R in .
25.28 ••
Eine ideale Stromquelle liefert unabhängig von
ihrer Belastung stets die gleiche Stromstärke. Eine nahezu ideale
Stromquelle erhält man , indem man einen großen Widerstand R
in Reihe mit einer idealen Spannungsquelle schaltet. a) Wie
groß muss man R wählen, um aus einer idealen 5-V-Spannungsquelle eine fast ideale 10-mA-Stromquelle zu erhalten?
b) Wenn wir diese Stromquelle belasten, soll die Stromstärke
höchstens um 10 % abfallen. Wie groß darf ein Lastwiderstand,
den wir mit der Stromquelle in Reihe schalten, dann höchstens
sein?
'<
I8
1000
500
1,SV
25.50 Zu Aufgabe 25.31.
25.29 • •
Gegeben ist die in Abbildung 25.48 skizzierte
Schaltung. Zu berechnen ist a) R 3 , wenn Rab= R] sein soll,
b) R 2 , wenn R ab = R 3 sein soll, und c) R \, wenn Rab = R \ sein soll.
+
12 V
60
+
12V
a
b
25.48 Zu Aufgabe 25.29.
25.51 Zu Aufgabe 25.32.
Kirchhoff'sche Regeln
25.30.
Gegeben ist der in Abbildung 25.49 skizzierte
Stromkreis. Berechnen Sie a) die Stromstärke, b) die von
jeder der Spannungsquellen abgegebene oder aufgenommene
Leistung sowie c) die Rate der Joule'schen Erwärmung jedes
Ohm'schen Widerstands. (Die Innenwiderstände der Batterien
seien zu vernachlässigen.)
25.33 ••
Die in Abbildung 25.52 kizzierte chaltung
nennt man Spannungs/eiler. a) Zeigen ie, da
Vau, =
URzI(R\ + R2 ) ist, wenn kein Lastwiderstand Ru" angeschlo sen ist. b) Es sei R 1 = R 2 = 10 O . Wie groß mu s Ru>! dann
mindestens sein, damit die Au gangsspannung Vaus im Vergleich
zu ihrem Wert ohne Last um weniger als 10 % abnimmt? (VBU'
wird relativ zur Erde geme sen.)
20
u
+
40
25.49 Zu Aufgabe 25.30.
25.52 Zu Aufgabe 25.33.
25.31 • •
Betrachten Sie den Stromkreis in Abbildung 25.50: Das Amperemeter zeigt den gleichen Wert an,
wenn die Schalter beide geöffnet oder beide geschlossen sind.
Wie groß ist R?
25. 34 • •
Gegeben sind zwei Batterien: Batterie I mit
U O•1= 9 V und Ron,1 = 0, Q , Batterie 2 mit U02 = 3 V und
Rin •2 = 0,4 Q. a) Wie würden Sie die Batterien chalten.
damit die Stromstärke an ein em Ohm ehen Wider ta nd R maxi mal wird? Berechnen Sie diese trom tärke für b) R = 0,2 Q ,
c) R = 0,6 Q , d) R = 1,0 Q und e) R = 1,5 Q .
25.32 ••
Gegeben ist der Stromkreis in Abbildung 25.51 ;
die Innenwiderstände der Batterien seien zu vernachlässigen.
Berechnen Sie a) den durch jeden Ohm'schen Widerstand fließenden Strom, b) die Spannung zwischen den Punkten a und b
sowie c) die von jeder der bei den Batterien abgegebene Leistung.
Strom- und Spannungsmessgeräte
25.35 ••
De r Zeiger eines Galvanometers chlage voll
au , wenn ein Strom von 50 flA durch da Mes gerät fli e ßt.
Der Spannungsabfall über dem Galvanometer betrage dabei
0,25 V. Geben Sie den Innenwiderstand de Galvanometer an.
820
I »>
25 ELEKTRISCHER STROM - GLEICHSTROMKREISE
25.36 ••
Angenommen, wir wollen das in Aufgabe 35
beschriebene Messgerät in ein Amperemeter umwandeln, mit
dem man Ströme bis zu 100 mA messen kann. Zeigen Sie, dass
wir dazu einen Ohrn 'schen Widerstand parallel zum Messgerät
schalten müssten. Wi e groß muss der Widerstand sein?
Re-Stromkreise
25.37.
Ein Kondensator mit C = 6 lJ.F wird auf 100 V
aufgeladen und dann mit einem Ohm 'schen Widerstand R = 50
o Q verbunden. a) Berechnen Sie die im vollständig aufgeladenen Kondensator gespeicherte Energie. b) Zeigen Sie, dass
diese Energie gegeben ist durch E el = E e l•O e- 2t / r mit E el,o als
Anfangsenergie und r = R C als Zeitkonstante. c) Skizzieren
Sie den Graphen der Energie E e ) des Kondensators als Funktion
von t.
Allgemeine Aufgaben
25.41 ••
An einer Reihenschaltung aus einer 25-W- und
einer lOO-W-Glühlampe liegt eine Spannung U an . Welche
Lampe leuchtet heller? Begründen Sie Ihre E ntscheidung.
25.42 ••
Gegeben ist die in Abbild ung 25.55 skizzierte
Schaltung. Zu Versuchsbeginn sind beide Kondensatoren entladen. a) Wie groß ist der durch die Batterie fließende Strom
unmittelbar nach dem Schließen des Schalters S? b) Wie groß
ist dieser Strom, nachdem der Schalter lange Zeit geschlossen
war? c) Geben Sie di e maximale Ladung (Endladung) beider
Kondensatoren an.
25.38 ••
Betrachten Sie den in Abbildung 25.53 skizzierten Stromkreis und tragen Sie in Gedanken alles zusammen,
was Sie bereits über das Verhalten von Kondensatoren in Stromkreisen wissen. Berechnen Sie dann a) den Strom durch die
Batterie unmittelbar nach dem Schließen des Schalters,
b) den Strom durch die Batterie im stationären Zustand (nachdem der Schalter lange geschlossen war) und c) die maximale
Spannung am Kondensator.
25.55 Zu Aufgabe 25.42.
1,2MQ
600kQ
2,5
~F
25.53 Zu Aufgabe 25.38.
25.39 ••
Zeigen Sie, dass sich Gleichung 25.35 auch folgendermaßen aufschreiben lässt:
dq
UC-q
dt
Re"
Integrieren Sie diesen Ausdruck, um zu der in Gleichung 25.36
angegebenen Lös ung zu gelangen.
25.40 • •• Betrachten Sie die in Abbildung 25.54 skizzierte
Schaltung. a) Berechnen Sie den Strom, der unmittelbar nach
dem Schließen des Schalters S durch die Batterie fueßt. b) Wie
groß ist dieser Strom, nachdem der Schalter lange geschlossen
war? c) Geben Sie den Strom, der durch den Ohm'schen Widerstand mit R = 600 Q fließt , als Funktion der Zeit an.
50V
- ~
200Q
SOV
25.43 ••
Das Schaltbild in Abbildung 25 .56 zeigt eine
Widerstandsmessbrücke (eine so genannte Wheatstone-Brücke)
zur Messung eines unbekannten Wide rstands R x anhand dreier
bekannter Widerstände R h R 2 und R o. Ein 1 m langer Draht
wird durch einen Gleitkontakt (in Punkt a) in zwei (in A bhängigkeit voneinander) variable Widerstände R 1 und R z un terteilt,
wobei die Größe von R ) proportional zum Absta nd des Gleitkontakts vom linken Drahtende (,,0 cm" ) und die Größe von
R 2 proportional zum Abstand des Gleitkontakts vom rechten
Drahtende (,,100 cm") ist. Die Summe aus R) u nd R z ist konstant. Befinden sich die Punkte a und b auf gleichem Potenzial,
so fließt kein Strom durch das Galvanometer G , und die Brücke
ist ausgeglichen. (Das Galvanometer wird hier verwendet, um
die Abwesenheit eines Stroms anzuzeigen; man nennt es deshalb
auch Nulldetektor.) Gegeben sei für diese Schaltu ngR o = 200 Q
. Berechnen Sie den Wert von Rn wenn die Brücke bei folgenden
Positionen von a (relativ zum Nullpunkt links) ausgeglichen ist:
a) 18 cm , b) 60 cm, c) 95 cm.
Ii
5~F
u
1 - - - --1 It -- - - I
25.56 Zu Aufgabe 25.43.
600Q
25.54 Zu Aufgabe 25.40.
25.44 ••
Die Ladungsdichte auf der Oberfläche des
Ladungsbands eines Van-de-Graaff-Generators sei 5 mC/m2•
Das Band sei 0,5 m breit und bewege sich mit einer Geschwindigkeit von 20 rn/so a) Wie groß ist der fließende Strom?
25 AUFGABEN < ,'<
b) Die Ladung werde nun auf ein Potenzial von 100 kVangehoben. Wie viel Leistung muss ein Motor mindestens abgeben, um
das Band zu bewegen?
25.45 ••
Die Spulen großer Elektromagneten werden in
der Regel mit Wasser gekühlt, um eine Überhitzung zu verhindern . Durch die Spulen eines großen Labormagneten fließe
ein Strom von 100 A, wenn eine Spannung von 240 V anliegt.
Das Kühlwasser habe eine Anfangstemperatur von 15 °C. Wie
viele Liter Wasser pro Sekunde müssen an den Spulen vorbeigeführt werde n, wenn deren Temperatur 50 oe nicht übersteigen
soll?
25.46
• •• In Abbildung 25 .57 sehen Sie die Prinzipschaltung eines Sägezahngenerators, wie er in Oszillographen verwendet wird . Der e lektroni sche Schalter S schließt sich, wenn
die an ihm anliegende Spannung den Wert Uzu erreicht, und öffnet sich, wenn die Spannung auf 0,2 Vabgesunken ist. Die Spannungsquelle U( U ist viel größer als U zu ) lädt den Kondensator C
über den Ohm'schen Widerstand R j auf. Der Ohm 'sehe Widerstand R 2 steht für einen kleinen, aber endlichen Innenwiderstand des Schalters. Für einen typischen Sägezahngenerator gelten folgende Werte: U = 800 V, V zu = 4,2 V, R 2 = 0, 001 Q , R I =
0,5 MQ und C = 0, 02 I-1F. a) Berechnen Sie die Zeitkonstante
für die Aufladung des Kondensators C. b) Während der Zeit,
die erforderlich ist, um über dem Schalter die kritische Spannung von 4,2 V aufzubauen, steigt die Spannung am Kondensator nahezu linear mit der Zeit an. Zeigen Sie dies. (Hinweis:
Verwenden Sie die Reihenentwicklung der Exponentialfunktion für kleine Exponenten.) c) Wie groß ist R 1 zu wählen ,
damit der Kondensator innerhalb von 0,1 s von 0,2 V auf 4,2 V
aufgeladen wird? d) Wie lange dauert es, bis sich der Konden sator über den Schalter S entladen hat? e) Geben Sie die Rate
der Wänneerzeugung am Ohm'schen Widerstand R 1 und am
Innenwid erstand des Schalters R 2 an.
25.57 Zu Aufgabe 25.46.
25.48 ••• Für Bauelemente, die das Ohm 'sehe Gesetz
nicht befolgen, ist ein differenzieller Widerstand (auch dynamischer Widerstand, dynamische Impedanz) R d •f f definiert mit
R diff = dU / d/; U ist die am Bauelement anliegende Spannung,
1 der durch das Element fließende Strom. Für eine Diode (ein
ausgeprägt nichtlineares Bauelement) sei der Zusammenhang
1 = 10(e U/( 25mV) - 1) gegeben (10 rv 2 . 10 9 A). Zeigen Sie,
dass der differenzielle Widerstand der Diode für U > 0.6 V näherungsweise R diff = (25m V )I 1 beträgt, und dass er für U < 0 exponentiell mit I U I zunimmt.
25.49 • •
Abbildung 25.58 zeigt den Zusammenhang zwischen Strom und Spannung für eine Esaki-Diode. Skizzieren
Sie den Graphen des differenziellen Widerstands der Diode
(siehe Aufgabe 48) als Funktion der Spannung. Bei welcher
Spannung wird der differenzielle Wider tand negativ?
20
15
5
0,1
Rin,IRin.2/(Rin ,l
0,3
0,4
0,5
0,6
25.58 Zu Aufgabe 25.49.
25.50 ••• Ein Linearbeschleuniger erzeugt eine n gepulsten Elektronenstrahl. Jeder Puls dauert 0 , I f.\S . wobei ein
Strom von 1,6 A fließt. a) Wie viele E lektronen enthält ein
Puls? b) Berechnen Sie den mittleren Strahlslrom bei einer
Pulsfrequenz von 1000 Pulsen pro Sekunde. c) Wie groß ist
die mittlere Leistungsabgabe de Beschleunigers, wenn jedes
Elektron ein e E nergie vo n 400 MeVerwirbt? d) Wie groß ist
die maximale Leistung abgabe? e) In welchem Bruchteil der
Gesamtzeit werden tal äch lich Elektronen be ch leunigl?
(Man ne nnt diesen Anteil auch Nutzfaktor oder DUIY Faclor
des Beschleuniger .)
25.51 ••• Berechnen ie den Ersatzwider ta nd zwischen
den Punkten a und h für eine unendlichen elektrischen "Le iter"
aus Ohm'schen Wider länden (einen Ausschnitt zeigl Abbildung 25.59). Die Werte von R 1 und R2 sind beliebig.
• •• Gegeben sind zwe i parallel geschaltete Batterie n
mit den Quellenspannungen V a .1 bzw. V a.2 und den Innenwiderständen Rin,1 bzw. R in,2 sowie ein zu dieser Kombination parallel geschalteter Lastwiderstand R. Beweisen Sie: D er optimale Lastwiderstand (die Belastung, für die die Leistungsabgabe
der
Batterien
maximal wird)
beträgt
=
0,2
Spannung, V
25.47
R
I
+ R in .2).
25 .59 Zu Aufgabe 25.51 .
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