Die Mathematik der Babylonier

Franz Lemmermeyer
Die Mathematik der Babylonier
Franz Lemmermeyer
[email protected]
http://www.rzuser.uni-heidelberg.de/∼ hb3
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Vorwort
Auf die Frage, was sich menschheitsgeschichtlich zwischen der letzten Eiszeit etwa
20 000 v.Chr. und dem Aufblühen der griechischen Kultur nach 500 v.Chr. getan
hat, vielleicht noch Ackerbau und Viehzucht, den Umgang mit Metall, sowie den
Bau der Pyramiden als Antwort bekommen. Die “richtige” Kulturgeschichte der
Menschheit scheint immer noch mit den Griechen zu beginnen. Auch die Geschichte
der Mathematik lässt man in den meisten Büchern nach einer kurzen und eher
verschämten Einführung in die babylonische und ägyptische Mathematik mit der
griechischen Mathematik, vor allem natürlich mit Euklid, beginnen. Angesichts
der riesigen Leistung der griechischen Mathematik ist das durchaus gerechtfertigt;
allerdings sollte man sich vor der Vorstellung hüten, die andern alten Kulturen
wären in Sachen Mathematik nicht über das Zählen bis 20 hinausgekommen.
Die Mathematik der Babylonier ist bis heute ein Nischenthema geblieben, über
das außer einigen wenigen Spezialisten nicht sehr viele Leute Bescheid wissen,
selbst wenn sie sich für die Geschichte der Mathematik interessieren. Die Aussage,
dass Babylonier und vor allem Ägypter für die Entwicklung der Mathematik eine
eher marginale Rolle gespielt haben sollen, findet sich daher an nicht wenigen
Stellen, auch wenn nur wenige Autoren sich so weit aus dem Fenster gelehnt haben
wie etwa Morris Kline in [30, S. 14]:
Vergleicht man ägyptische und babylonische Leistungen in der Mathematik mit denjenigen von älteren und ähnlich alten Kulturen, kann man in
der Tat Gründe finden, deren Errungenschaften zu loben. Beurteilt man
sie aber mit anderen Maßstäben, dann sind ägyptische und babylonische
Beisträge zur Mathematik praktisch unbedeutend [. . . ]. Verglichen mit
den Leistungen ihrer unmittelbaren Nachfolgern, den Griechen, verhält
sich die Mathematik der Ägypter und Babylonier wie Kritzeleien von Kindern, die eben das Schreiben lernen, zu großer Literatur. [. . . ] Ägyptische
und babylonische Mathematik wird am besten als empirisch beschrieben
und verdient kaum den Namen Mathematik angesichts dessen, was wir
seit den Griechen als die Hauptmerkmale dieser Wissenschaft betrachten.
Griechische Geschichtsschreiber haben dagegen wiederholt erklärt, sie hätten ihre
Mathematik von den Ägyptern gelernt. Das erste Mal taucht diese Geschichte bei
Herodot auf; nachdem dieser aber erklärt hatte, welche Rolle die Geographie, also
die Vermessung der Erde, bei den Ägyptern im Zusammenhang mit den jährlichen Überschwemmungen des Nil und der Festsetzung der Steuern gespielt hatte,
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erwähnte er, dass die Sonnenuhr und die Einteilung des Tages in 12 Stunden aus
Babylonien nach Griechenland gekommen seien. Bis heute ist der Vollwinkel in
360◦ eingeteilt, und Stunden haben 60 Minuten, eine Minute 60 Sekunden: dies
sind alles Überreste des Sexagesimalsystems, das die Babylonier entwickelt haben.
Otto Neugebauer, einer der besten Kenner der griechischen und vorgriechischen
Mathematik, hat in [46, S. 13] denn auch betont, dass die Griechen wohl kaum
Reisen ihrer ersten Mathematiker nach Ägypten und Babylonien erwähnt hätten,
wenn sie dort nichts hätten lernen können:
In der Tat sind diese immer wiederholten Studienreisen kaum zu verstehen (selbst wenn man bei den Griechen zunächst absolute Kenntnislosigkeit voraussetzt), falls es dort nicht mehr zu holen gegeben hätte, wie die
elementarsten Sätze über Drei- und Viereck.
Dass die alten Kulturen Ägyptens und Mesopotamiens über erstaunliche Fähigkeiten (nicht nur in der Mathematik, sondern auch in Astronomie, Architektur und
Literatur) verfügten, ist eigentlich erst im Laufe des 20. Jahrhunderts bekannt geworden. Es ist daher einigermaßen erstaunlich, dass bereits 1911 Edmund Hoppe
(1854–1928) in seiner Geschichte der Mathematik und Astronomie im klassischen
Altertum [22] nach dem obligatorischen Lobgesang auf die griechische Mathematik
die Frage stellt, ob die Griechen wirklich, wie man bisher glaubte, nur Schöpfer
und keine Empfänger gewesen seien, und dann Herodot erwähnt, dessen Ansichten über ägyptische und babylonische Einflüsse auf das griechische Denken als
unzuverlässig angesehen worden seien. Dann schreibt er:
Nahezu gleichzeitig erschienen nun zwei Funde, welche den Anstoß gaben,
unsere Anschauungen über die Selbständigkeit der griechischen Forschung
einer Revision zu unterziehen, indem sie plötzlich zwei Quellen mathematischer Kentnisse aufdeckten, welche um mehr als 1000 Jahre früher
als die ersten Spuren griechischer Mathematik uns eine Kultur eröffneten, die wohl geeignet ist, als Quelle griechischer Wissenschaft betrachtet
zu werden. Ich meine die Auffindung der beiden Tontafeln von Senkereh
durch Loftus 1854 und des Papyrus Rhind , welcher erst nach dem Tode
seines Entdeckers bekannt wurde, dessen Auffindung und Erwerb durch
Rhind aber um das Jahr 1862 stattfand.
Es ist wahrlich erstaunlich, wie nahe Hoppe mit seinen spärlichen Quellen (einige
Tafeln mit Quadratzahlen und Multiplikationstabellen – mehr war damals noch
nicht verstanden) der heute allgemein anerkannten Sichtweise gekommen ist, wie
sie J. Friberg etwa in seinem Buch [19] dargelegt hat.
Die Entwicklung der babylonischen Mathematik ist eng mit der Geschichte
Mesopotamiens verknüpft; diese Geschichte, mit ihrem ständigen Wechsel der
herrschenden Völker und Sprachen und den vielfältigen Verbindungen zu andern
Völkern der Antike wie den Ägyptern, Persern, Griechen oder den Römern, ist
sicherlich zu verworren, als dass man daraus in kurzer Zeit viel lernen könnte.
Anders sieht es mit der Geschichte der babylonischen Mathematik aus: das meiste
von dem, was Schüler in der 8. und 9. Klasse lernen sollten (lineare und quadratische Gleichungen, binomische Formeln, Satz des Pythagoras, Strahlensatz),
F. Lemmermeyer
27. Oktober 2015
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haben bereits die Babylonier gekannt. Dieses Buch soll den Versuch machen, auf
dem schmalen Grat zwischen historischer Genauigkeit und Verständlichkeit eine Einführung in die babylonische Mathematik zu geben, die auch für Schüler
verständlich sein soll. Es möchte zeigen, dass die Mathematik sehr wohl zu den
kulturellen Errungenschaften der Menschheit gehört und dass diese ein Spiel ist,
dessen Regeln man verstehen kann, wenn man sich etwas Mühe gibt.
Die Geschichte der babylonischen Mathematik ist erst im 20. Jahrhundert entstanden; zuvor war fast gar nichts über die intellektuellen Leistungen dieser alten
Kulturen Mesopotamiens bekannt, wenn man von einigen literarischen Werken
absieht: das Gilgamesch-Epos und die Tatsache, dass viele von der Bibel verwendete Bilder wie etwa die Sintflut auch in babylonischen Mythen auftauchen, haben
bereits Ende des 19. Jahrhunderts für Schlagzeilen gesorgt; die Aufregung war
deutlich kleiner, als Irving Finkel 2014 die Entdeckung einer weiteren Keilschrifttafel mit dem Bauplan der babylonischen Arche publik machte: nachlesen kann
man das in [13], bisher allerdings nur auf Englisch oder Fränzösisch.
Nachdem E. Weidner [61] 1916 erkannt hatte, dass die Babylonier den Satz
des Pythagoras gekannt haben müssen, passierte erst einmal nichts – die Welt
hatte andere Sorgen. 1928 veröffentlichte C. Frank “Straßburger Keilschrifttexte in
sumerischer und babylonischer Sprache”, und danach haben sich in den 30er Jahren
vor allem Otto Neugebauer und François Thureau-Dangin um die Übersetzung
mathematischer Keilschrifttexte verdient gemacht.
Einführungen in die babylonische Mathematik gibt es zuhauf; nach steigendem
Schwierigkeitsgrad geordnet seien die folgenden Werke allen empfohlen, die sich
näher mit den Leistungen der alten Babylonier und dem Ringen um ein adäquates
Verständnis ihrer mathematischen Leistungen beschäftigen möchten:
• Das Büchlein [32] von Johannes Lehmann hat sehr elementaren Charakter,
ist für Schüler gemacht und sollte viel bekannter sein, als es ist.
• Kurt Vogel schon 1959 ein kleines Büchlein [58] bei Schroedel herausgebracht,
das ebenfalls für Gymnasiasten gedacht war, heute aber etwas trocken rüberkommt.
• Ebenfalls einen Blick wert ist das Buch [50] von Reimer, dessen Titel “Count
like an Egyptian” eine Anspielung auf einen Bangles-Klassiker ist und insofern
etwas irreführend ist, als es auch auf die babylonische Mathematik eingeht.
• Flüssig lesbar, wenn auch bisher nur in Englisch, ist das Buch [53] von Rudman.
• Wer keine Angst vor der holländischen Sprache hat, ist mit [7] von E.M. Bruins
bestens bedient, wenn es auch vielleicht antiquarisch etwas schwer zu beschaffen sein dürfte.
• Anspruchsvoller ist Jens Høyrups Einführung in die babylonische Algebra auf
Französisch [26] oder auch [62] von Piedad Yuste auf Spanisch.
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Darüberhinaus gibt es eine ganze Reihe von Büchern, die eher an das Fachpublikum gerichtet sind; hier sind in erster Linie Maurice Caveing [9], Jöran Friberg
[17, 18, 19], Jens Høyrup [25] und Eleanor Robson [51] zu nennen.
Von den vielen Seiten im Netz möchte ich hier nur ganz wenige vorstellen.
• http://www.livius.org/ ist eine vorzügliche Sammlung von Quellen und
Kommentaren zu antiker Geschichte und Mathematik.
• Auf http://it.stlawu.edu/ dmelvill/mesomath/index.html gibt Duncan Melville eine sehr gute Einführung in die Mathematik Babyloniens
• http://www.ams.org/samplings/feature-column/fc-2012-05 ist eine Seite mit
sehr schönen Bildern von Keilschrifttafeln zu Multiplikation und Reziproken
etc., welche Tony Phillips für die AMS (American Mathematical Society) zusammengestellt hat.
Die im Buch vorgestellten Keilschrifttafeln tragen Bezeichnungen, die einen
Hinweis auf die Sammlung geben, zu der sie gehören. Die bekanntesten sind
• AO Antiquités Orientales, Louvre, Paris. Eine digitale Sammlung der Objekte
im Louvre findet man online.
• BM British Museum London
• CBS Catalogue of the Babylonian Section, University of Pennsylvania
• Db2 Tafeln im Irakischen Museum Bagdad, die vom Tell Dhibai stammen
• HS Frau Professor Hilprecht Sammlung an der Friedrich-Schiller-Universität
in Jena
• IM Irakisches Museum Bagdad
• Ist S Museum in Istanbul, Keilschrifttafeln aus Sippur
• MLC Morgan Library Collection, Yale University
• MS Manuskripte der Martin Schøyen Sammlung
• SKT Straßburger Keilschrift-Texte in der Bibliothèque Nationale et Universitaire in Straßburg
• VAT Vorderasiatische Abteilung Tontafeln, Museum Berlin, heute Teil des
Pergamon-Museums auf der Museumsinsel im Zentrum Berlins, von welchem
das Vorderasiatische Museum nur einen Teil ausmacht
• YBC Yale Babylonian Collection
Inhaltsverzeichnis
1.
Mesopotamien – Kultur und Geschichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Die Geschichte Babyloniens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Die Entzifferung der Keilschrift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Die Schreiberlehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Babylonische Mythen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5 Die Entdeckung der mathematischen Kultur Babyloniens . . . . . . . . . 17
2.
Das
2.1
2.2
2.3
2.4
Babylonische Zahlensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Das Sexagesimalsystem auf Tafeltexten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Grundrechenarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Reziprokentafeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Das Babylonische Maßsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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20
29
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44
3.
Babylonische Algebra: Lineare Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1 Lineare Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Die Methode des falschen Ansatzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Arithmetische und Geometrische Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Zins und Zinseszins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
49
51
51
52
53
4.
Quadratwurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1 Quadratwurzeln durch
√Faktorisieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Näherungsformel für 1 + x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Das Heron-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Die babylonische Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
55
57
60
62
5.
Babylonische Algebra: Quadratische Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.1 Binomische Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.2 Quadratische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.
Babylonische Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1 Der Satz des “Pythagoras” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Pythagoreische Dreiecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Rationale Exponenten; MLC 2078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 YBC 7289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
69
71
73
73
xii
6.5 Das pythagoreische Dreieck (3,4,5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.6 IM 55357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
7.
Plimpton 322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1 Neugebauer: Pythagoreische Tripel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Reziproke Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Die Fehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.
Die Komposition rechtwinkliger Dreiecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
8.1 TMS 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
8.2 Die “Verdopplung” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
9.
Babylonische Geometrie: Kreise und Polygone . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
9.1 Das babylonische Pi: YBC 7302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
9.2 Die Konstanten der Polygone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
10. Die
10.1
10.2
10.3
10.4
10.5
10.6
10.7
10.8
77
78
79
79
Zahlengeometrie der Babylonier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Ein diophantisches Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Die Keilschrifttafel IM 58045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Parametrisierung von Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Die Komposition Babylonischer Trapeze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Ein Erbschaftsproblem aus AO 17 264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Die Keilschrifttafel VAT 8512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Eins geht noch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Warum Trapeze? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
A. Hinweise und Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Namensverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Tafelverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
1. Mesopotamien – Kultur und Geschichte
Von den mathematischen Leistungen der Völker, die älter als 2500 Jahre sind,
wissen wir nur wenig; im Wesentlichen die einzige Ausnahme ist die babylonische Kultur, die sich vor 5000 Jahren in Mesopotamien (das Land zwischen den
Flüssen Euphrat und Tigris) auf dem Gebiet des heutigen Irak entwickelt hat.
Unser Wissen über die ganze Bandbreite der babylonischen Kultur verdanken wir
dem Umstand, dass die dort lebenden Völker Tontafeln zum Schreiben benutzt
haben: während Dokumente, die auf vergänglichen Materialien wie Papyrus, Pergament oder Baumrinden geschrieben wurden, bis auf ganz wenige Bruchstücke
längst zerfallen sind, haben sich Tausende dieser Tontafeln erhalten. Die meisten
Tontafeln befassen sich mit verwaltungstechnischen Angaben, Geschichte, Religion
und Literatur – nur bei einem kleinen Teil der Tafeln geht es um mathematische
Probleme.
Für eine ganz grobe geschichtliche Einordnung, die in erster Linie die Orientierung erleichtern soll, genügt vielleicht das folgende Raster:
• 3. Jahrtausend vor Christus: die Sumerer schreiben auf Tontafeln, zuerst in
Piktogrammen, später in Keilschrift.
• Zu Beginn des 2. Jahrtausends v.Chr. übernehmen die Akkader die Macht;
die sumerische Sprache wird zurückgedrängt, und die Akkader benutzen die
Keilschrift, um ihre eigene Sprache zu schreiben.
• Während der altbabylonischen Periode um 1800 v.Chr., die mit der Herrschaft
von Hammurabi verknüpft ist, entstehen die meisten Keilschrifttafeln, die wir
heute kennen.
• Nach einem Niedergang der babylonischen Kultur gibt es ein Aufblühen in
der neubabylonischen Periode (626–539 v.Chr.), in welcher Nebukadnezar II
Babylon mit dem “Turm zu Babel” samt Ischtar-Tor zu einem Weltwunder
der Architektur macht.
• Nach den Eroberungen durch Dareios I., Kyros II. und Alexander dem Großen
ist Babylon ein von den Einwohnern verlassener Ruinenhaufen; aus der Zeit
der Seleukiden (so nennt man die Nachfolger Alexander des Großen, die nach
weiteren Kriegen dessen Weltreich unter sich aufteilten) sind wieder einige
Keilschrifttafeln erhalten. Das Hauptinteresse gilt aber inzwischen der Astronomie.
2
1. Mesopotamien – Kultur und Geschichte
Ein Zweck des babylonischen Interesses an Astronomie war die Sterndeutung. Die
Astrologie stand, ebenso wie andere Methoden, aus gewissen Vorzeichen k ünftige
Ereignisse vorherzusagen, bei den Babyloniern hoch im Kurs; zu Zeiten der Römer
galten die Chaldäer, also die damaligen Bewohner Mesopotamiens, in erster Linie
als Sternkundige. Als solche tauchen sie auch im Neuen Testament als die drei
Weisen aus dem Morgenland auf.
1.1 Die Geschichte Babyloniens
Die Sumerer bewohnten um 3500 v.Chr. Mesopotamien, die Gegend zwischen Euphrat und Tigris im heutigen Irak. Sie benutzten Tontafeln zur Buchhaltung und
Verwaltung; Zahlen wurden additiv aus Symbolen für 1, 10, 60, 600, 3600 usw,
zusammengesetzt. Die ältesten bekannten Tontafeln stammen von Ausgrabungen
in Uruk, das im Alten Testament als Erech auftaucht: im ersten Buch Mose geht
es in Kapitel 10 um die Nachfahren Noahs; einer von ihnen, Nimrod, errichtete
ein großes Reich, zu welchem die Städte Babel, Erech, Akkad, Aschur und Ninive
gehörten.
Tafeln der “Grabungsschicht IV” wurden etwa 3200 v.Chr. hergestellt. Die
Schrift bestand damals aus Piktogrammen: ein Mensch wurde durch einen Kopf,
Wasser durch zwei Wellen symbolisiert. Im Laufe der Jahrhunderte begann man,
Linien durch Keile zu symbolisieren, und die Piktogramme wurden um 90◦ gedreht.
Mit der Ausbildung der Keilschrift um 2700 v.Chr. wurden auch die Zahlensymbole
in Keilschrift geschrieben.
Nach 2300 v.Chr. fielen die Akkader in Babylonien ein, und deren König Sargon I begründete die Dynastie der Akkader. Diese übernahmen die Keilschrift,
um fortan ihre eigene Sprache zu schreiben. Auch die darauffolgenden Jahrhunderte sind von Einwanderungen fremder Völker und Kriegen beherrscht; etwa um
1700 v.Chr. gelingt es Hammurabi, ganz Mesopotamien und Syrien wieder zu einem Reich zu vereinigen. Er erlässt Gesetze (den Codex Hammurabi), von denen
Teile auf der über 2 m hohen Stele des Hammurabi eingemeißelt sind, und die
Blüte der “altbabylonischen Kultur” unter seiner Herrschaft führt dazu, dass die
meisten heute erhaltenen Keilschrifttafeln aus dieser Zeit stammen.
Die Einführung neuer Gesetze erforderte göttliche Legitimation; Hammurabi
ließ also auf dem Kopf seiner Gesetzesstele ein Bild einmeißeln, das ihm beim
Empfang der königlichen Insignien vom Sonnengott Schamasch zeigte, ein Bild,
das an den Empfang der Zehn Gebote auf dem Berg Sinai durch Moses direkt vom
jüdischen Gott erinnert. Auch das Gesetz “Auge um Auge, Zahn um Zahn” findet
sich, zusammen mit anderen biblischen Gesetzen, bereits im Codex des Hammurabi, der sich selbst als “Enlils auserwählter Hirte” bezeichnet. Das Original der
Stele steht im Louvre in Paris, eine Nachbildung kann man im Vorderasiatischen
Museum in Berlin bewundern. Hammurabi ließ die Stele vermutlich in Sippar aufstellen, aber die Elamer nahmen sie im 12. Jhdt. v.Chr. als Kriegsbeute mit nach
Susa, wo sie dann 1902 von einem französischen Team ausgegraben wurde.
Die Gesetze Hammurabis regelten das komplette tägliche Leben;
1.1 Die Geschichte Babyloniens
3
Abb. 1.1. Karte von Elam
Abb. 1.2. Stele des Hammurabi (Louvre, Paris; Kopie im Vorderasiatischen Museum in
Berlin)
4
1. Mesopotamien – Kultur und Geschichte
• § 8: Stiehlt ein Mann Rind, Schaf, Esel, Schwein oder Schiff, so soll er, wenn
dieses Gott oder dem Palast gehört, das 30fache zurückggeben; gehört es
einem Beamten, so soll er das 10fache zurückggeben; hat der Dieb nichts zu
geben, soll er sterben.
• § 111: Ein Tempelmädchen, das zum Trinken in eine Schenke geht, soll verbrannt werden.
• § 211: Wenn ein Arzt die Tochter eines Beamten durch Schläge zum Abtreiben
ihres Fötus bringt, soll er 5 Schekel zahlen.
§ 212: Wenn diese Frau stirbt, soll er eine halbe Mine Geld zahlen.
§ 213: Wenn er die Sklavin eines Mannes schlägt und sie zum Abtreiben ihres
Fötus bringt, soll er 2 Schekel bezahlen.
§ 214: Wenn diese Sklavin stirbt, soll er
1
3
Mine Geld zahlen.
Dem Zeitalter des Hammurabi folgt ein Niedergang nach der Einwanderung
von Hethitern und Kassiten; um 650 v.Chr. gründet Assurbanipal eine riesige Bibliothek, und der letzte babylonische Herrscher, Nebukadnezar II., wird im Alten
Testament verewigt, als er und sein Reich dem Perser Kyros unterliegen. Nebukadnezar hatte in Babylon noch das Ischtar-Tor errichten lassen, ein gewaltiges
Bauwerk zu Ehren der Göttin Ischtar (Venus) und eines der Haupt-Tore der Stadt,
das auf die Prozessionsstraße führte. Das Tor war Teil der riesigen Stadtmauern
Babylons, die vor ihrer Vernichtung zu den sieben Weltwundern zählten.
Abb. 1.3. Das Ischtar-Tor nach seiner Freilegung durch Koldewey und auf einer Briefmarke von 2013
Babylon ist danach nur noch eine Sammlung von Ruinen; als Alexander der
Große um 330 v.Chr. das Reich erobert, plant er noch, Babylon wieder aufzubauen,
1.1 Die Geschichte Babyloniens
5
aber vor seinem Tod gelingt es seinen Arbeitern nur, den Schutt wegzuräumen –
wie viele Tontafeln dabei endgültig zerstört wurden, lässt sich kaum erahnen.
Abb. 1.4. Tierfiguren am Ischtar-Tor und der Prozessionsstraße
In der Neuzeit wurden erstmals 1851–54 einige glasierte Ziegel in den Ruinen
Babylons entdeckt; Ausgrabungen von Robert Koldewey am Anfang des 20. Jahrhunderts legten das vollständige Ischtar-Tor frei. Die Ziegel wurden in knapp 400
Kisten gepackt und per Schiff nach Berlin gebracht; weitere 400 Kisten konnten
erst nach dem Ende des Ersten Weltkriegs 1927 ihren Weg nach Berlin antreten,
wo das Tor Ziegel für Ziegel wie ein Puzzle zusammengesetzt und wieder aufgebaut wurde. Heute kann man dieses Meisterwerk der Baukunst zusammen mit der
Prozessionsstraße im Vorderasiatischen Museum bewundern.
Die Kurzversion der Geschichte Mesopotamiens zwischen Alexander dem Großen
und heute ist folgende:
• 636 n.Chr. wird Mesopotamien muslimisch.
• 762 n.Chr. wird Bagdad gegründet und entwickelt sich zur bedeutendsten
Stadt der islamischen Welt.
• Ab 1534 wird Mesopotamien Teil des Osmanischen Reichs.
• Im ersten Weltkrieg wird Mesopotamien von den Briten besetzt, im zweiten
ebenfalls.
6
1. Mesopotamien – Kultur und Geschichte
• 1958 erklärt sich der Irak für unabhängig.
• 1979: Nach jahrelangen Machtkämpfen kommt Saddam Hussein an die Macht
und greift 1980 den Iran an; der Krieg dauert bis 1988.
• 1990 überfällt der Irak Kuwait und wird im zweiten Golfkrieg wieder von dort
vertrieben.
• Am 20.03.2003 marschieren die USA und ihre Koalition der Willigen ebenso
völkerrechtswidrig in den Irak ein wie zuvor Hussein in den Iran und Kuwait, verwüsten das Land; Zehntausende sterben, Museen werden geplündert,
Kunstschätze auf dem Schwarzmarkt berscherbelt, und bei ihrem Abzug hinterlassen die USA ein machtpolitisches Vakuum, das in den letzten Jahren
vom Islamischen Staat gefüllt worden ist, der seither alle historischen Stätten
in die Luft sprengt, derer er habhaft werden kann, und der mit seiner Barbarei
Flüchtlingsströme produziert, um die sich vor allem diejenigen Länder nicht
kümmern, deren Politik der “Demokratisierung” des Nahen Ostens für dieses
Chaos in erster Linie verantwortlich ist, nämlich die USA, England und Polen.
1.2 Die Entzifferung der Keilschrift
Dass man alte, längst tote Sprachen entziffern kann, hat François Champollion am
Anfang des 19. Jahrhunderts gezeigt. Im Zuge der militärisch nutzlosen Expedition
Napoleons nach Ägypten, die ihn bis zu den Pyramiden führte, kamen Dutzende
von Wissenschaftlern mit Hieroglyphen in Kontakt; die Entzifferung gelang durch
den Fund des Rosetta-Steins (benannt nach dem Fundort), auf dem ein und dieselbe Inschrift in drei verschiedenen Sprachen eingemeißelt waren. Weil eine davon
griechisch war, konnte Champollion nach und nach erst die Namen (Kleopatra
und Ptolemäus) und dann ganze Sätze entschlüsseln. Der Rosetta-Stein wanderte
übrigens als Kriegsbeute ziemlich schnell nach England und steht heute im British
Museum in London.
Die Keilschrift wurde erstmals im 17. Jahrhunderts in Europa zur Kenntnis
genommen: Beispiele der Keilschrift brachte der Reisende Pietro della Valle mit,
später hat S. Flowers einige Zeilen aus den Inschriften an den Ruinen von Persepolis kopiert.
Carsten Niebuhr (1733–1815) brach 1749 nach dem Tod seines Vaters die Lateinschule ab und beendete seine Schulausbildung erst nach seinem Umzug 1755
nach Hamburg. Nach einem dreijährigen Mathematikstudium in Göttingen ging
er zum dänischen Militär und wurde 1761 von König Frederik V. als Kartograph
für eine Expedition nach Arabien berufen, auf der unter Anderem Beweise für den
Wahrheitsgehalt des Alten Testaments gesucht werden sollten. 1765 gekangte Niebuhr nach Persepolis, wo er mehrere Inschriften in Keilschrift mit großer Sorgfalt
kopierte. 1767 kehrte Niebuhr nach Kopenhagen zurück und veröffentlichte seine
Daten; weiter gelingt es ihm, den jungen Friedrich Münter für die Archäologie zu
begeistern.
1.2 Die Entzifferung der Keilschrift
Jahr
1621
1772
1798
1802
1802
1826
1833
1835
1836
1838
1839
1844
1846
1846
1847
1847
1851
1853
1857
Ereignis
Pietro della Valle berichtet am 21. Oktober von seiner Reise (1614–
1626) über die Türkei nach Ägypten, Palästina, Persien und Indien in
einem Brief über Zeichen auf Monumenten in Persepolis und vermutet, dass es sich dabei nicht um Verzierungen, sondern um eine Schrift
handelt.
Carsten Niebuhr beginnt mit den Veröffentlichungen der Ergebnisse
seiner Arabischen Reise; der letzte Band erscheint 1778.
Oluf Tychsen erklärt, die Inschrift in Behistun sei ein Text in drei verschiedenen Sprachen.
Friedrich Münter erkennt in einer Inschrift aus Persepolis einen dreisprachigen Text.
Friedrich Grotefend entziffert Teile der von Niebuhr kopierten Inschrift
in Persepolis
Rasmus Rask erklärt weitere grammatikalische Besonderheiten der Inschrift von Persepolis
Eugène Burnouf veröffentlicht Commentaire sur le Yaçna
Rawlinson kopiert dreisprachige Inschrift am Berg Elwand bei Hamadan, einer Stadt in der Nähe der antiken Stadt Ekbatana
Burnouf [8] findet in altpersischen Inschriften, die Niebuhr in Naksh-iRustam kopiert hatte, eine Liste von Ländernamen.
Christian Lassen veröffentlicht Die altpersischen Keil-Inschriften von
Persepolis. Entzifferung des Alphabets und Erklärung des Inhalts
Rawlinson entziffert die ersten zwei Paragraphen der altpersischen Inschrift in Behistun
Rawlinson schickt einen Bericht nach London, der die altpersische und
die elamitische Inschrift in Behistun enthält
Nils Ludwig Westergaard entziffert elamitische Inschriften aus Persepolis und Naksh-i-Rustam.
Am 9. Juni hält Hincks in Dublin einen Vortrag On the First and Second
Kinds of Persepolitan Writing
Rawlinson veröffentlicht The Persian Cuneiform Inscription at Behistun, Decyphered and Translated, with a Memoir
Hincks veröffentlicht einen Artikel mit Zahlen in Keilschrift
Rawlinson kopiert die babylonische Inschrift von Behistun
Rawlinson veröffentlicht die babylonische Inschrift von Behistun
Edwin Norris (1795–1872) veröffentlicht den elamitischen Text aus Behistun
Ein von William Henry Fox Talbot 1857 organisierter “Wettbewerb”
zwischen Hincks, Rawlinson und Oppert beweist, dass die Keilschriften
in der Tat im wesentlichen entziffert sind.
Abb. 1.5. Entzifferung der Keilschrift
7
8
1. Mesopotamien – Kultur und Geschichte
1798 entdeckte der Rostocker Orientalist Oluf Tychsen, dass ein schräger Keil
die Bedeutung eines Trennungszeichens zwischen zwei Wörtern hatte, und er behauptete, dass die drei Inschriften in Behistun nicht nur in drei verschiedene
Schriftarten, sondern drei verschiedene Sprachen geschrieben waren. Der Däne
Friedrich Münter zeigte in einem 1802 erschienenen Buch, dass die erste Inschrift
in Persepolis eine alphabetische, die zweite (mit über 100 verschiedenen Zeichen)
eine Silben- und die dritte eine Monogrammschrift ist. Er hat auch gesehen, dass
Wiederholungen von Wörtern in der ersten Inschrift auch Wiederholungen in der
zweiten und dritten entsprechen, dass also die drei Inschriften tatsächlich denselben Text wiedergeben. Auch das Wort “König” und “König der Könige” konnte
er bereits korrekt erahnen.
Die Entzifferung der akkadischen und sumerischen Keilschrifttexte verdanken
wir einer Reihe von Gelehrten: nach den ersten Erfolgen des Gymnasiallehrers Grotefend im Jahre 1802 gelang Löwenstern, Hincks und Rawlinson der Durchbruch.
Georg Friedrich Grotefend (1775 - 1853) war das sechste Kind eines Schuhmachermeisters aus Münden. 1795 begann er in Göttingen Theologie und Philologie
zu studieren. Im Juli 1802 ging er mit seinem Freund Rafaello Fiorillo, der Sekretär
der Göttinger Bibliothek war, spazieren; Grotefend behauptete, dass es möglich
sein müsse, Inschriften zu entziffern, von denen man weder weiß, in welcher Sprache sie geschrieben sind, noch, worum es darin geht. Fiorillo forderte Grotefend
daraufhin auf, die Keilschrift zu entziffern. Dieser begann mit einer Abschrift, die
er im Bericht von Carsten Niebuhr fand, der von 1761 bis 1767 den Vorderen Orient im Auftrag des dänischen Königs bereist hatte, und machte sich danach an
die Untersuchung einer Inschrift aus Persepolis, die sich über einem Relief befand.
Grotefend glaubte, dass es darin um einen König gehen müsse, und tatsächlich
gelang es ihm, dieses Wort mehrfach in der Inschrift zu entdecken. So fand er heraus, dass die Inschrift vom Perserkönig Dareios I. handelte, und ihm gelang die
Entzifferung von zehn Keilschriftzeichen.
Danach gelangen dem Franzosen Burnouf und dem Bonner Professor Lassen
1836 im wesentlichen die korrekte Übersetzung der bekannten Teile der Inschrift:
Darius, der große König, der König der Könige, der König der Länder,
des Hystaspes Sohn, der Achämenide, der diesen Palast gebaut hat.
Xerxes, große König, der König der Könige, des Königs Darius Sohn,
der Achämenide.
Christian Lassen erklärt im Vorwort seines Buchs [31], dass die Beschaffung
der Abschriften durch Niebuhr alles andere als ein Kinderspiel war:
Die hoch an den Mauern stehenden Inschriften waren nur dann deutlich
zu erkennen, wenn die Sonne sie beschien; da nun in dieser Luft der harte
ursprünglich polirte schwarze Marmor nicht verwittert, so wurden seine
Augen, schon von der ununterbrochenen Arbeit äußerst angegriffen, sehr
gefährlich entzündet; und diess, so wie der Tod seines armenischen Bedienten, nöthigte ihn, höchst widerstrebend das alte persische Heiligthum
zu verlassen, ohne es durch Abzeichnungen erschöpft zu haben.
1.2 Die Entzifferung der Keilschrift
9
Edward Hincks (1792–1866) stammte aus dem irischen Cork und war wie sein
Vater protestantischer Priester. Er studierte am Trinity College in Dublin und begann sich Anfang der 1830er Jahre für das Altpersische zu interessieren – 1823 war
Jean-Francois Champollion die Entzifferung der ägyptischen Hieroglyphen gelungen. 1842 entdeckte Paul Émile Botta in Niniveh die Keilschriftbibliothek des babylonischen Herrschers Assurbanipal, die Tausende von Keilschrifttafeln enthielt.
Deren Studium lieferten Hincks die Erkenntnis, dass die akkadische Keilschrift eine
Silbenschrift war, und dass ein und dasselbe Symbol je nach Kontext verschieden
interpretiert werden konnte.
Henry Rawlinson (1810–1895) hatte schon mit 17 Jahren Persisch gelernt und
wurde vom britischen Militär nach Persien geschickt. Im Jahre 1835 kopierte Rawlinson eine dreisprachige Inschrift am Mount Elwand bei Hamadan, und mit den
Erkenntnissen Grotefends sowie des Dänischen Philologen Rasmus Rask gelang
ihm die Entzifferung des Texts.
In Behistun (auch Bisutun, im heutigen Iran) kopierte Rawlinson 1836 oder
1837 eine drei-sprachige Inschrift in Altpersisch, Elamitisch und Akkadisch – allerdings war damals keine der drei Sprachen entziffert. Die Inschrift auf einer
Felswand nahe der Verbindungsstraße zwischen Babylon und Ekbatana hatte der
persische König Dareios anfertigen lassen, nachdem er 522 v.Chr. Aufständische
unter der Führung eines gewissen Gaumata besiegt hatte. Damit diese Inschrift
niemand beschädigen konnte, wurde der Felsvorsprung, auf dem die Schreiber gestanden hatten, während sie den Text und die Bilder in die Wand meißelten,
abgeschlagen. Vor Rawlinson hatten schon andere Reisende aus Europa das Relief
gesehen, es aber für ein Bild von Jesus und seinen 12 Aposteln gehalten. Rawlinson
gelang in Zusammenarbeit mit Lassen die Entzifferung des Altpersischen Textes,
die er 1845 veröffentlichte.
1844 kehrte Rawlinson noch einmal nach Behistun zurück und kopierte den
vollständigen Text; diese Kopie erlaubte Niels Westergaard und Edwin Norris die
Entzifferung der 131 Elamitischen Schriftzeichen, während Rawlinson selbst 1852
die Entzifferung des akkadischen Textes gelang. Das Relief selbst wurde im zweiten
Weltkrieg schwer beschädigt, als es von Soldaten als Zielscheibe benutzt wurde.
1857 organisierte William Henry Fox Talbot (1800–1877) eine Art Entzifferungswettbewerb: er gab Hincks, Rawlinson und Oppert die Abschrift einer jüngst
entdeckten Keilschrifttafel und bat sie, diese zu übersetzen. Alle drei lieferten
sinngemäß dieselbe Übersetzung ab und zeigten dadurch, dass die Keilschrift
tatsächlich entziffert worden war.
Jules Oppert (1825–1905) entstammte einer jüdischen Familie aus Hamburg.
Er studierte in Heidelberg, Bonn, Berlin und Kiel Orientalistik; 1847 emigrierte er
nach Frankreich und wurde schnell zu einem der besten Kenner des Altpersischen.
1855 nahm er an einer Expedition nach Mesopotamien teil; nach seiner Rückkehr
im Jahre 1854 ging er nach England, um die Sammlung im Britischen Museum zu
untersuchen. Nach 1857 befasste er sich vor allem mit Assyriologie und gab der
Sprache, die vor dem Akkadischen in Mesopotamien verwendet wurde, den Namen
“Sumerisch”; die Existenz der Sumerer konnte erst 20 Jahre später zweifelsfrei
nachgewiesen werden.
10
1. Mesopotamien – Kultur und Geschichte
Abb. 1.6. Relief in der Felswand in Behistun
Piktogramme der Sumerer
Abb. 1.7. Sumerische Tafeln mit Piktogrammen
Die Schrift der alten Sumerer bestand, ähnlich wie die Hieroglyphen der Ägypter, aus Piktogrammen. Die Piktogramme in der oberen Zeile in Abb. 1.8 aus [58,
S. 10] (vgl. auch [60]) wurden um etwa 3000 v.Chr. benutzt, die Keilschriftsymbole
in der Mitte um 2400 v.Chr.; die Keilschriftsymbole in der unteren Zeile waren im
Spät-Assyrischen etwa 650 v.Chr. in Gebrauch.
1.3 Die Schreiberlehre
11
Archaische Form
nach Drehung
sumerische Keilschrift
assyrische Keilschrift
Bedeutung
Vogel
Name
Mušen
Wasser
A
Auge
Korn
Igi
Še
essen
Kú
Abb. 1.8. Vom Piktogramm zur Keilschrift
Das Symbol für essen ist aus einem Kopf und einer kleinen Schale zusammengesetzt; wer sich die rechte Tafel in Abb. 1.7 genauer ansieht, wird das Symbol
dort erkennen. Es wurde verwendet, wenn es um die Rationen von Brot und Bier
ging, die Arbeitern als Lohn ausbezahlt wurden. Brot und Bier waren Grundnahrungsmittel; das Bier diente in erster Linie nicht dem Genuss, sondern wurde mit
Wasser verdünnt: der Alkohol war lediglich dazu da, die Keime abzutöten.
Die Keilschrift selbst ist wie jede Schrift sehr komplex, auch wenn manche
ihrer Strukturen einfach zu verstehen sind. So bedeutete das sumerische Symbol
KA den Mund, und es wurde als Kopf gezeichnet, bei dem der Mund stark betont
wurde. Dasselbe Symbol konnte je nach Kontext aber auch “sprechen”, “Wort”
oder “Zahn” bedeuten; schrieb man in das Symbol für KA das Zeichen A für
Wasser, bedeutete es “trinken”.
1.3 Die Schreiberlehre
Der Beruf des Schreibers (vgl. Abb. 1.10 und [14, S. 36]) war in Babylonien ebenso wie in Ägypten ein Beruf, zu dem man ausgebildet wurde, und stand in allerhöchstem Ansehen. Die Ausbildung begann damals wie heute mit 5-6 Jahren
und fand im “Tafelhaus” statt, wo erfahrene Schreiber dem Nachwuchs den Umgang mit Griffel und Tontafel beibrachte und die Schüler Listen von Königen oder
Pflanzen abschreiben ließ. Dort lernten sie die alten Sprachen (z.B. Sumerisch, als
das Akkadische zur Umgangssprache geworden war), und sie lernten Mathematik.
Selbst Könige prahlten damit, des Lesens und Schreibens mächtig zu sein, und
Assurbanipal, dessen Bibliothek in Niniveh wir Tausende von Keilschrifttafeln verdanken, rühmte sich gar damit, die Schrift aus der Zeit vor der großen Flut lesen zu
können. Diese Bibliothek wurde 612 v.Chr. bei der Einnahme von Niniveh durch
Meder und Babylonier niedergebrannt, was zwar viele Keilschrifttafeln zerstörte,
andere aber dadurch konservierte: gebrannte Tontafeln sind viel länger haltbar als
12
1. Mesopotamien – Kultur und Geschichte
solche, die nur getrocknet worden sind. Nebenbei bemerkt haben viele Tafeln 4000
Jahre im Wüstensand Iraks besser überstanden als einige Jahrzehnte in den Museen der westlichen Welt; heute stehen diese Tafeln in Glaskästen, deren Temperatur
und Luftfeuchtigkeit genauestens überwacht werden.
Sicherlich konnte nicht jeder, der schreiben lernen wollte, dies auch tun; vermutlich hatte man zu einer angesehenen und reichen Familie zu gehören. Dennoch
sollte man sich vor der Vorstellung hüten, dass es in Babylonien nur ganz wenige
Schreiber gegeben hat. Dies ließe sich nämlich nur schwer mit der Vielzahl an Verträgen und Tafeln zur Buchhaltung in Einklang bringen, die man gefunden hat.
Während die allermeisten Schreiber männlich waren, sind uns auch einige wenige
Frauen bekannt, die des Schreibens mächtig waren.
Abb. 1.9. Keilschrifttafel mit Umschlag
Auch heute kann man das Schreiben in Keilschrift erlernen; viele Verantwortliche in den Museen, die Keilschrifttafeln besitzen, haben diese Kunst erlernt, um
Kopien der Tafeln herzustellen. Empfehlen möchte ich ein Video [38], in dem der
1.3 Die Schreiberlehre
13
Leiter des Vorderasiatischen Museums in Berlin, Dr. Joachim Marzahn das Schreiben auf einer Keilschrifttafel vormacht. Marzahn arbeitete bis 1970 als Betriebsschlosser, machte dann sein Abitur an der Abendschule und studierte danach Vorderasiatische Archäologie und Altorientalistik in Halle. Nach seinem Diplom 1979
arbeitete er am Vorderasiatischen Museum im Berlin, und 1989 promovierte er in
Jena über die “Grundlagen der Getreidewirtschaft in Lagasch, 24. Jh. v.u.Z.”.
Ähnliche Videos gibt es vom Leiter des Britischen Museums, Irving Finkel und
von Christine Proust, Forschungsdirektorin des CNRS an der Universität Paris.
Abb. 1.10. Babylonische Schreiber: der vordere schreibt auf eine Tontafel, der hintere
auf eine Papyrusrolle.
Es gibt eine ganze Reihe von Tafeln, deren Einträge wie ein Lexikon wirken:
Königslisten, mit denen die Schüler das Schreiben von Namen übten, Namen verschiedener Fische, von Vögeln, von verschiedenen Gefäßen zum Aufbewahren von
Nahrungsmitteln bis hin zum Brauen von Bier.
Zu Beginn wurden diese Listen von Schülern abgeschrieben, um das Schreiben
zu lernen, in späteren Zeiten wurden sie von fortgeschrittenen Schreiberlehrlingen
kopiert. In den Zeiten, in welchen das Sumerische nur noch als Wissenschaftssprache benutzt wurde (wie in der europäischen Renaissance das Lateinische), während
die Bevölkerung die akkadische Sprache benutzte, dienten ähnliche Listen auch als
14
1. Mesopotamien – Kultur und Geschichte
Wörterbücher. Aus einer Liste von Sprichwörtern auf der Tafel Ni 5376 aus der
altbabylonischen Zeit kennen wir den Spruch
Ein Schreiber, der kein Sumerisch kann – wie will er eine Übersetzung
erstellen?
Im Rechenunterricht wurde Addition und Subtraktion (vornehmlich wohl als
Kopfrechnen, weil uns keine Schultafeln dazu bekannt sind), Multiplikation und
die Berechnung von Reziproken und das Ziehen von Quadratwurzeln unterrichtet,
bevor es an schwierigere, auch geometrische Probleme ging. Auf der Tafel A 29 985,
auf der es um die Berechnung der Reziproken einer Zahl geht, musste der Schüler
auf der Rückseite zwei Mal den Spruch
Ein schwätzender Schreiber; seine Schuld ist groß.
schreiben.
1.4 Babylonische Mythen
Die Keilschrifttafeln der Babylonier erzählen uns eine ganze Menge über die alten
Kulturen Mesopotamiens; die bekannteste Geschichte ist wohl diejenige von Gilgamesch, eine epische Erzählung, die sich mit Fragen von Leben, Tod, Unsterblichkeit
und dem Verhältnis zwischen Menschen und Göttern auseinandersetzt.
Die Geschichte einer Flut, in welcher fast die gesamte Menschheit umgekommen ist, findet sich in Kulturen auf jedem Kontinent. Etwa 20 000 v.Chr. endete
die letzte Eiszeit – damals war wegen der riesigen Eismassen auf dem Land der
Meeresspiegel mehr als 60 m unterhalb dem heutigen, und man hätte England
von Europa aus zu Fuß erreichen können. Der Anstieg des Meeresspiegels mit dem
Schmelzen des Eismantels muss an manchen Orten zu Katastrophen geführt haben, wenn plötzlich während einer Springflut eine ganze Tiefebene geflutet wurde.
Wie alle großen Mythen der alten Kulturen geht auch die Geschichte der großen
Flut auf eine Zeit zurück, in der es noch keine Schrift gab und diese Erzählung
mündlich weitergegeben wurde; auch die Ilias und die Odyssee, also die Geschichte
vom Trojanischen Krieg, wurden mündlich tradiert, bevor Homer sie niederschrieb.
Als die Babylonier daran gingen, ihre Geschichte der Flut niederzuschreiben, gab es
bereits drei solcher Mythen mit verschiedenen “Helden”, Atrahasis und Utnapishti.
Die sumerische Geschichte der Flut erzählt davon, dass die Götter der Menschen überdrüssig werden und sie, trotz Protesten der Schöpferin Nintur, vernichten wollen. König Ziusudra baut daraufhin ein Boot und erhält die Unsterblichkeit: in der Tat bedeutet sein Name “der mit dem langen Leben” (im babylonischen Gilgamesch-Epos heißt der Erbauer der Arche Utnapishti, was “Ich fand das
Leben” bedeutet). Diese Geschichte wurde vor 200 v.Chr. von Berossos ins Griechische übertragen; davon sind nur noch Fragmente erhalten, die erzählen, dass
Xisuthros im Traum vor einer Flut gewarnt wurde; er solle den Anfang, die Mitte
1.4 Babylonische Mythen
15
und das Ende aller Erzählungen in Sippar begraben und ein Boot bauen. Er befolgte den Befehl und nahm seine Familie und seine Freunde ebenso mit wie Tiere,
und ließ nach einer Weile Vögel frei, die aber wieder zurückkamen. Das zweite Mal
hatten die Vögel Schlamm an ihren Füßen, und beim dritten Mal kamen sie nicht
mehr zurück. Die Arche war in Armenien gelandet; Xisuthros und seine Familie
durften bei den Göttern wohnen, die anderen wurden beauftragt, nach Babylonien zurückzugehen, die Schriften auszugraben, und sie unter den Menschen zu
verbreiten.
Der Atrahasis-Epos beginnt damit, dass die jüngeren Götter, die für die älteren
arbeiten müssen, rebellieren. Daraufhin beschließen die älteren Götter, den Menschen zu erschaffen, damit dieser für sie arbeiten kann. Sie opfern einen Gott und
erschaffen aus ihm die Menschen; da diese unsterblich sind und sich schnell vermehren, machen sie einen solchen Lärm, dass sie den Göttern den Schlaf rauben.
Sie schicken zuerst eine Epidemie und dann Trockenheit, um die Menschheit zu
vernichten, aber der Gott Ea (sumerisch Enki), der für die Erschaffung des Menschen verantwortlich war, vereitelt diese Pläne. Der dritte Versuch besteht in der
Flut (“am Tage des Neumonds”: an diesem Tag stehen Mond und Sonne in einer
Richtung, was auch heute noch für “Springfluten” sorgt), und dieses Mal warnt
Ea Atrahasis und befiehlt ihm, eine Arche zu bauen, um sich und die Tiere der
Erde zu retten.
Letztendlich sind die andern Götter dankbar, dass einige Menschen die Katastrophe überlebt haben, müssten sie sich doch sonst selbst wieder um ihren Lebensunterhalt kümmern. Allerdings “erfinden” sie jetzt den Tod, Kindersterblichkeit
und zölibatäre Priesterinnen, um der menschlichen Überbevölkerung Einhalt zu
gebieten. Bereits damals gab es Probleme mit der Einhaltung des Zölibats, wie
die autobiographische Skizze des ersten akkadischen Herrschers Sargon I beweist:
dieser hat etwa um 2200 v.Chr. regiert und erzählte von sich, dass sein Vater unbekannt sei und seine Mutter, eine Priesterin, ihn heimlich zur Welt gebracht habe.
Die Geschichte, wonach sie ihn auf einem kleinen Schiffchen auf dem Euphrat ausgesetzt hat, wo ihn jemand herausgefischt und aufgezogen hat, wurde im Alten
Testament dann für den Lebenslauf von Moses verwendet.
Im Zusammenhang mit der Entdeckung einer Keilschrifttafel, welche einen
Bauplan der babylonischen Arche enthielt, hat Irving Finkel ein Buch [13] über
diese Entdeckung geschrieben.
Der Urvater der Israeliten Abraham stammt der Bibel nach aus der babylonischen Stadt Ur. Die Geschichte der Flut ist bei weitem nicht die einzige Geschichte,
die es ins Alte Testament geschafft hat; über die Parallelen zu babylonischen Mythen im Talmud und dem Alten Testament sind ganze Bücher geschrieben worden.
Die Entdeckung der sumerischen Schrift
Dass die Sumerer nicht nur die Erhaltung der Tierwelt für bedeutend gehalten
haben, sondern auch die Bewahrung ihrer Schrift, zeigt, welche Bedeutung sie
der Erfindung der Keilschrift und ihrer eigenen literarischen Tradition zugemessen
haben. Die Sumerer hatten auch eine Geschichte, die sich um die Erfindung der
16
1. Mesopotamien – Kultur und Geschichte
Abb. 1.11. Irving Finkel und die von ihm gefundene Keilschrifttafel mit der Bauanleitung der babylonischen Arche
Schrift dreht und auf die Zeit um 2100 v.Chr. zurückgeht. In dem Gedicht “Enmerkar und der Herr von Aratta” schickt Enmerkar, der zweite Herrscher der ersten
Dynastie von Uruk, einen Boten nach Aratta, einer Stadt, die durch sieben Berge
von Uruk getrennt ist, und fordert die Bewohner von Aratta auf, ihm Gold, Silber,
Lapislazuli und andere Edelsteine zu schicken. Der Herrscher von Aratta stellte
dem Boden Bedingungen, von denen er glaubte, dass sie nicht annehmbar waren,
und schickte den Boten zurück. Dieses Spiel wiederholte sich, und die Bedingungen
wurden von Mal zu Mal komplizierter, bis der Bote die zu überbringende Nachricht
kaum mehr verstand:
Der Bote, dessen Mund schwer war, konnte es nicht wiederholen. Da
der Mund des Boten schwer war und er die Nachricht nicht wiedergeben
konnte, drückte der Herr von Kulaba etwas Lehm flach und schrieb die
Nachricht auf eine Tafel. Zuvor gab es kein Schreiben auf Lehm. Jetzt,
unter der Sonne und an diesem Tag, gab es sie. Der Herr von Kulaba
schrieb die Nachricht auf eine Tafel. So ist es geschehen.
Die Wiederholung von Informationen wie in diesem Gedicht ist typisch bei Geschichten, die zuerst nur mündlich überliefert und erst viel später niedergeschrieben worden sind.
Der Adressat, der Herrscher von Aratta, konnte die Tafel problemlos lesen;
entweder war die Schrift auf einem andern Medium also bereits zuvor bekannt,
oder es handelt sich hier um eine Inkonsistenz, wie sie sich in alten Mythen zuhauf
finden lassen.
1.5 Die Entdeckung der mathematischen Kultur Babyloniens
17
1.5 Die Entdeckung der mathematischen Kultur
Babyloniens
Dass die Babylonier ein Zahlensystem mit der Basis 60 benutzt haben sollen,
hatten bereits die Griechen geschrieben, lange bevor Hypsikles und Ptolemäus
solche Systeme für ihre astronomischen Rechnungen benutzten. Formaleoni aus
Venedig behauptete 1788, dass das Sexagesimalsystem wegen der Einteilung des
Jahrs in 360 Tage und wegen der Eigenschaften des regelmäßigen Sechsecks gewählt
worden sei. Es war ebenfalls “allgemein bekannt”, dass die Chaldäer die Schrift
erfunden hatten. Genaueres wurde aber erst bewannt, nachdem die Keilschrift
entziffert worden war.
Es war wohl Edward Hincks, der 1854 durch die Untersuchung eines kurzen
astronomischen Texts erkannte, dass das Zahlensystem der Babylonier auf der
Basis 60 aufgebaut ist. Ebenfalls 1954 übersetzte Rawlinson einen nur teilweise
erhaltenen Zylinder, von dem er zeigen konnte, dass er Tafeln von Quadrat- und
Kubikzahlen enthielt, die im Sexagesimalsystem geschrieben waren. Die ernsthafte
Auseinandersetzung mit der babylonischen Mathematik begann erst, als Ernst
Weidner während des ersten Weltkriegs auf einer Keilschrifttafel eine Anwendung
des Satzes von Pythagoras erkennt.
Am Ende des 19. Jahrhunderts stellte die Universität von Pennsylvania Ausgrabungen in Nippur, bei denen ca. 50 000 Keilschrifttafeln ausgegraben wurden,
fast 1000 davon mathematischen Inhalts. Je die Hälfte der Tafeln gingen an die
Universität und das Osmanische Reich, also an ein Museum in Istanbul, einige
Tafeln erhielt der Leiter der Ausgrabungen, Professor Hilprecht, für sich. Diese
letzteren stiftete er nach seinem Tod der Universität Jena, einige davon hatte er
in seinem Bericht aus dem Jahre 1906 der Öffentlichkeit zugänglich gemacht. In
den letzten Jahren wurden diese drei Sammlungen untersucht und von Eleanor
Robson und Christine Proust [49] veröffentlicht.
Die Erkenntnis, dass die Mathematik der Babylonier ein ganz erstaunliches
Niveau besessen hat, verdanken wir in erster Linie den Arbeiten von Otto Neugebauer und Thureau-Dangin in den 1930er Jahren. Neben Tabellen von Vielfachen,
Quadratzahlen, Reziproken gibt es vor allem reine Aufgabentexte, Aufgabentexte
mit Angabe der Lösungen, und Aufgabentexte mit den durchgeführten Rechnungen.
Nur wenige Mathematiker des 20. Jahrhunderts haben sich um die Geschichte
von Mathematik und Astronomie so verdient gemacht wie Otto Neugebauer. Dieser wurde am 26. Mai 1899 in Innsbruck geboren und studierte nach dem Ende
des ersten Weltkriegs in Graz, München und schließlich in Göttingen, dem damaligen Mekka der Mathematik. Neben seinen mathematischen Studien befasste er
sich mit Ägyptologie und altorientalischen Sprachen, und an 1928 unterrichtete er
Geschichte der Mathematik in Göttingen. Nach der Machtergreifung der Nationalsozialisten emigrierte er nach Kopenhagen und 1939 an die Brown Unversity in den
USA. Unter Mathematikern ist er heute vor allem als Gründer des Zentralblatts
und später der Mathematical Reviews bekannt, also Zeitschriften, in welchen die
18
1. Mesopotamien – Kultur und Geschichte
neuesten mathematischen Artikel und Bücher kurz besprochen werden. Neugebauer ist am 19. Februar 1990 in Princeton gestorben.
Für uns ist Otto Neugebauer vor allem als
Autor der Bücher Mathematische KeilschriftTexte bekannt, die von 1935 bis 1937 erschienen sind, sowie für den Ergänzungsband Mathematical Cuneiform Texts zusammen mit
Abraham Sachs (1945). Auch wenn manche
seiner Interpretationen babylonischer Mathematik sich als zu mutig herausgestellt haben,
hat er doch mehr für die Geschichte der Mathematik getan als viele seiner schärfsten Kritiker.
Bereits vor Neugebauer hat sich der französische Altorientalist Jean Geneviève
François Thureau-Dangin, (1872–1944), der von 1895 bis 1928 als Chefkonservator
am Louvre Experte für babylonische Keilschrifttexte war, um die Übersetzung
sumerischer Tafeln verdient gemacht. 1938 erschien sein großes Werk [57] über
mathematische Keilschrifttexte aus Babylonien.
Nach dem zweiten Weltkrieg hat sich vor allem Evert Marie Bruins (1909–1990)
für die Mathematik der Babylonier interessiert. Bruins wurde am 4. Januar 1909 in
Woudrichem (Niederlande) geboren und studierte von 1927 bis 1932 Mathematik,
Physik und Chemie in Amsterdam. Sein erster Artikel über die Berechnung von
Quadratwurzeln in der babylonischen und griechischen Mathematik stammt aus
dem Jahre 1948; zwischen 1953 und 1956 nahm er eine Stelle an der Universität
von Baghdad an, und 1961 veröffentlich er zusammen mit Marguerite Rutten die
Textes mathématiques de Suse [6], eine Sammlung von Keilschrifttafeln, die in Susa
(im heutigen Iran) gefunden worden waren.
Ein weiterer Mathematikhistoriker, der sich in [58] auch mit babylonischer
Mathematik auseinandergesetzt hat, ist Kurt Vogel (1888–1985). Nach dem Abitur
in Ansbach studierte er Mathematik und Physik in Erlangen und unterrichtete als
Lehrer am Maximiliansgymnasium München und als Professor an der Universität
München.
Heute ist eine Vielzahl von Wissenschaftlern auf diesem Gebiet aktiv; daneben
gab und gibt es eine ganze Reihe interessierter Laien: Johannes Lehmann (1922–
1995) [32] hat 20 Jahre lang die mathematische Schülerzeitschrift alpha geleitet, die
in ihren besten Jahren eine Auflage von fast 100 000 Exemplaren (in der ehemaligen
DDR) hatte. Weiter hat Peter Rudman, in seiner aktiven Zeit Professor für Physik,
eine Leidenschaft für die Geschichte der Mathematik entwickelt und mit [53] ein
sehr unterhaltsames und empfehlenswertes Buch über babylonische Mathematik
vorgelegt.
2. Das Babylonische Zahlensystem
Die Schreibweise der Zahlen hat sich im Lauf der Jahrtausende auch in Babylonien
gewandelt. Die Sumerer um 3000 v.Chr. hatten, ähnlich wie viel später auch die
Römer, eigene Zeichen für die 1, 10, 60, 600 usw.; daraus wurden die Zahlen additiv zusammengesetzt. Insbesondere konnte man mit endlich vielen Symbolen nicht
beliebig große Zahlen schreiben: mit den römischen Zeichen I, V, X, L, C, D, M
beispielsweise kommt man bis 5000 oder 10 000 und muss dann für jede neue Zehnerpotenz ein neues Symbol erfinden. Für die Wahl der Grundzahl 60 (anstatt wie
bei den Römern 10) dürfte es verschiedene Gründe gegeben haben. Zum einen ist
die Zahl 60 durch sehr viele kleine Zahlen teilbar, was den Händlern sehr gelegen
kam: wir werden weiter unten bei der Besprechung der babylonischen Maßeinheiten sehen, dass deren Einheiten für Längen, Flächen und Gewichte ebenfalls einen
engen Bezug zum Sexagesimalsystem haben. Auf der andern Seite dürfte die Tatsache, dass ein Monat etwa 30 Tage und das Jahr grob 360 Tage hat, auch eine
Rolle bei der Wahl des Sexagesimalsystems ebenfalls eine Rolle gespielt haben –
Belege dafür zu finden ist natürlich unmöglich, weil sich diese Dinge bereits in
Zeiten abgespielt haben, als die Sumerer noch gar keine Schrift entwickelt hatten.
Abb. 2.1. Sumerische Zahlzeichen
Die Symbole für die Zahlen 1, 10 und 60 gehen auf sogenannte Zählsteine
zurück: um den Besitz eines babylonischen Bürgers zu fixieren, hat man in ein
Tongefäß kleine Kugeln, Kegel und Zylinder aus Ton gelegt, auf die man das
Symbol einer Ziege oder eines Rinds geritzt hat.
Einige dieser Zahlen kann man auf den Tafeln in Abb. 1.7 gut erkennen; sie
wurden mit einem runden Griffel in den Lehm gedrückt. Als die piktographischen
Symbole 500 Jahre später durch Keilschriftsymbole ersetzt wurden, hat man einen
eckigen Griffel benutzt, mit dem man Keile und Winkelhaken eindrücken konnte.
Nochmal ein halbes Jahrtausend später kam das akkadische System in Gebrauch,
20
2. Das Babylonische Zahlensystem
das auf den allermeisten Keilschrifttafeln verwendet wird, und auf das wir weiter
unten genauer eingehen werden.
Die linke Spalte beginnt mit dem
Symbol einer 1, in der zweiten Zeile
taucht die Zahl 7 auf.
Die Symbole in der rechten Spalte
bezeichnen die Zahlen
4 · 36 000,
5 · 3 600,
4 · 600 + 2 · 60,
5 · 10 + 1.
Zusammen macht dies 164 571. In
der letzten Zeile der rechten Spalte
sieht man noch die Zahl 3.
Die Erklärung für die dazugehörige Rechnung werden wir unten auf
S. 38 liefern.
Abb. 2.2. Tontafel aus Shuruppak
Unsere heutigen Zahlensymbole kamen auf dem Weg über die Araber von den
Indern, die in der zweiten Hälfte des ersten Jahrtausends n.Chr. das Dezimalsystem
entwickelten, das wir noch heute benutzen. Wer mehr darüber wissen möchte, sollte
einen Blick in das Buch [27] von George Ifrah werfen.
Unser heutiges Alphabet geht dagegen auf die Phönikier zurück, einem Volk von
Händlern und Seefahrern aus dem Gebiet des heutigen Palästina; deren Idee, jeden
Laut durch einen eindeutigen Buchstaben auszudrücken, kopierten die Griechen
ebenso wie die Etrusker (die Toskana trägt ihren Namen, und dort findet man auch
die wenigen heute noch erhaltenen Überreste ihrer Kultur), von denen es dann die
Römer übernahmen.
2.1 Das Sexagesimalsystem auf Tafeltexten
Während die Entzifferung der Keilschrift ein schwieriges und langwieriges Unternehmen war, machte das Lesen der babylonischen Zahlen keine großen Probleme.
Mit der Einführung der Keilschrift kam auch eine Schreibweise von Zahlen in
Gebrauch, die es erlaubte, beliebig große Zahlen darzustellen. Schaut man sich
Tafeln an, die im wesentlichen aus Zahlen bestehen, so stellt man schnell fest, dass
die Babylonier ihre Zahlen durch Zusammensetzung von nur zwei verschiedenen
Symbolen geschrieben haben, nämlich den Keil und den Winkelhaken
. Das
Symbol taucht dabei allein oder in Gruppen bis zu neun solcher Symbole auf,
und es ist nicht schwer zu erraten, dass diese die Zahlen 1 bis 9 repräsentieren.
2.1 Das Sexagesimalsystem auf Tafeltexten
21
Das Symbol
dagegen tritt maximal fünfmal nebeneinander auf und bezeichnet
die Zehnerzahlen von 10 bis 50.
Um mehr über das babylonische Sexagesimalsystem herauszufinden, schauen
wir uns wie die ersten Orientalisten Keilschrifttafeln an, die fast ausschließlich aus
Zahlen bestehen, also Tabellen mit Quadratzahlen oder Multiplikationstabellen.
Quadrattafeln
Die Entschlüsselung des von den Babyloniern gebrauchten Sexagesimalsystems
geht bereits auf Rawlinson zurück, und zwar hatte er zu diesem Zweck eine von
William Loftus in Senkereh (Larsa) gefundene Tafel studiert. Dieser hatte auf
seiner Forschungsreise zwei Tafeln mitgebracht; die zweite enthielt auf Vorder- und
Rückseite 60 Zahlen samt ihrer Quadrate, die Rückseite der ersten Tafel enthielt
entsprechend eine Tabelle von Kubikzahlen.
Dieselbe Tafel wurde 1868 von François Lenormant, einem Schüler von Jules
Oppert, unterucht. Er veröffentliche seine Ergebnisse auf fast 400 Seiten handschriftlich (das Setzen von Keilschriftsymbolen in Druckereien war in den Anfängen
der Assyriologie natürlich kein kleines Problem) in [36]. Wie viele andere längst
vergessener Bücher kann man eine digitaler Kopie dieses Werkes auf der Seite
www.archive.org finden; außerdem gibt es noch eine Version in der digitalen
Sammlung der Bayerischen Staatsbibliothek.
Die damalige französische Schule um Oppert, insbesondere auch Lenormant,
hatten die Überzeugung gewonnen, die würde neben der 1 auch 50 (und nicht
60) bedeuten, während sie mit Rawlinson darin übereinstimmten, dass die Brüche
1
Vielfache von 60
sind. Dies zwang Lenormant dazu, die Tafel der Quadratzahlen
1
als Quadrate zwischen 60
und 1 zu betrachten.
Die allererste Seite gibt einen Ausschnitt aus besagter Tafel wieder. Über diese
Tafel schreibt Lenormant:
C’est par conséquent, d’après toutes les vraisemblances, le plus ancien
monument mathématique qu’aucun pays nous ait conservé. A ce titre il
est digne de toute l’attention des savants et mérite une place à part entre
les monuments relatifs à l’histoire des connaissances humaines, car seul
il nous donne idée des progrès que la science des nombres avait deja faits
à une époque aussi reculée chez les habitants de la Chaldée.
Aller Wahrscheinlichkeit nach ist dies das älteste mathematische Relikt,
das irgend ein Land uns hinterlassen hat. Es ist daher der ganzen Aufmerksamkeit der Wissenschaftler würdig und verdient einen Platz unter
den Denkmalen der Geschichte der menschlichen Kenntnisse, denn es
gibt uns eine Idee vom Fortschritt, den die Zahlentheorie bereits in einer
so weit zurückgehenden Epoche bei den Einwohnern Chaldäas gemacht
hat.
Die Floskel “der ganzen Aufmerksamkeit der Wissenschaftler würdig” wirkt heute
antiquiert, war im 19. Jahrhundert aber gang und gäbe. Wüssten wir also nicht, wie
22
2. Das Babylonische Zahlensystem
Abb. 2.3. Auszug aus Lenormants Dissertation
alt ein Manuskript ist, könnten wir mit Hilfe solcher linguistischer Mittel das Alter
bis auf ein Jahrhundert genau festlegen. Diese Methode spielt für die Datierung von
Keilschrifttafeln eine ganz große Rolle: neben den für Zahlen benutzten Symbole
kann man babylonische Texte anhand der Sprache (sumerisch bzw. akkadisch)
und teilweise mit Hilfe verschiedener Dialekte (auch akkadisch wurde nicht zu
allen Zeiten und an allen Orten genau gleich gesprochen oder geschrieben) grob
datieren.
Die Chaldäer waren ein semitisches Volk, das im 1. Jahrtausend v.Chr. den
Süden Mesopotamiens bewohnte und mit den Aramäern verwandt ist. Die älteren
Völker wie die Akkader oder gar die Sumerer waren im 19. Jahrhundert noch
gänzlich unbekannt.
Die Tafel selbst, deren Anfang in Abb. 2.4 zu sehen ist, enthält knapp links
von der Mitte eine Spalte, in welcher man ohne große Mühe die Zahlen 1, 2, 3,
. . . erkennen kann, die dort als ,
,
usw. auftauchen. Nach der 9, also
,
kommt mit natürlich die 10, und danach geht es wieder ganz regelmäßig weiter.
In der linken Spalte stehen also nacheinander die Zahlen (1),
(4),
(9),
(16),
(25) usw., d.h. die Tafel gibt die Quadratzahlen der Zahlen
von 1 bis 60 (oder, das kann man anhand der Zahlen allein nicht erkennen, die
Quadratwurzeln der Quadratzahlen zwischen 1 und 3600) an.
Eine Überraschung erkennt man in der achten Zeile, wo das Quadrat 64 von 8
nicht durch 6 Winkelhaken und eine 4 geschrieben ist, sondern in der Form
.
Die Zahl 60 wird also durch dasselbe Symbol bezeichnet wie die 1. Das Quadrat
121 = 112 wird dementsprechend wegen 2 · 60 + 1 als
geschrieben.
2.1 Das Sexagesimalsystem auf Tafeltexten
Abb. 2.4. Auszug aus einer Keilschrifttafel von Lenormant
23
24
2. Das Babylonische Zahlensystem
Aufgabe 2.1. Führe die Tabelle der Quadratzahlen bis zu 602 = 3600 fort. Beachte, dass die erste und die letzte Zeile dabei identisch sind, denn dass
2
das
2
Quadrat von ist, kann sowohl 1 = 1 bedeuten als auch 3600 = 60 . Vergleiche
das Resultat mit den Tabellen A.1 im Anhang.
Wie die Quadrattafeln errechnet worden sind, wissen wir nicht. Es ist allerdings
nicht notwendig, jede Zahl von 1 bis 60 ins Quadrat zu erheben: vielmehr kann man
die Werte der Quadrate auch erhalten, wenn man, mit 1 beginnend, die ungeraden
Zahlen 3, 5, 7, . . . zu den jeweiligen Quadratzahlen addiert:
+3
1
+5
4
+7
9
+9
16
25
Hinter dieser Beobachtung steckt die binomische Formel:
(n + 1)2 − n2 = n2 + 2n + 1 − n2 = 2n + 1,
(2.1)
und die Folge von Zahlen der Form 2n + 1 ist einfach die Folge der ungeraden
natürlichen Zahlen. Zum Erstellen einer Quadrattafel muss man also nicht einmal
multiplizieren können – allerdings erfordert diese Einsicht wohl mehr mathematische Reife als eine einfache Technik zum Multiplizieren zweier Zahlen.
Multiplikationstafeln
Ebenfalls einfach zu verstehen sind Tabellen mit dem babylonischen “kleinen Einmaleins”, das sich allerdings nicht wie im Dezimalsystem auf Produkte bis 9 · 9
erstreckt, sondern bis 59 · 59 ausgeführt werden muss. Allerdings werden Produkte
der Zahlen ab 20 nicht mehr einzeln angegeben; vielmehr beschränkt man sich für
Zahlen größer als 20 auf die Produkte von Zehnerzahlen, also von 20, 30, 40 und
50.
Betrachtet man die Tabelle auf der Tafel HS 0217 in Abb. 2.5, so wird man
schnell zu der Überzeugung kommen, dass in der linken Spalte nacheinander die
Zahlen 1, 2, 3, . . . , 9 stehen. Die senkrechten Keile symbolisieren also die Zahlen 1
bis 9. Der horizontale Keil muss dann für die 10 stehen, und die letzte Zahl links
unten ist 14 (auf der Rückseite geht es mit 15 weiter, und nach 20 folgen 30, 40,
50 und 60.
Die rechte Spalte dieser Tabelle beginnt also mit den Zahlen 9, 18, 27 usw.; dies
legt die Vermutung nahe, dass es sich hierbei um eine Tabelle zur Multiplikation
mit 9 handelt. Nach 6 · 9 = 54 (also
) kommt 7 · 9 = 63 (
).
Die letzte Zeile in der rechten Spalte der Tabelle steht also für 9 · 14 = 126, und
126 = 2 · 60 + 6 wird
geschrieben. Entsprechend steht in der vorletzen Zeile
9 · 13 = 117, was wegen 117 = 60 + 57 als
geschrieben wird. Die Rückseite
der Tafel präsentiert die Vielfachen der 9 von 15 · 9 bis 20 · 9, sowie das Neunfache
von 30, 40 und 50. Damit konnte man dann jede Ziffer des Sexagesimalsystems
mit 9 multiplizieren: zur Bestimmung von 34 · 9 liest man aus der Tabelle 30 · 9
und 4 · 9 ab und addiert diese Zahlen.
2.1 Das Sexagesimalsystem auf Tafeltexten
Abb. 2.5. Tafel HS 217, Vorderseite und Rückseite
25
26
2. Das Babylonische Zahlensystem
Aus Untersuchungen weiterer Tafeln wird klar, dass die Babylonier vor 500 v.Chr.
kein Symbol für fehlende Ziffern hatten; in ihrem System konnte also sowohl für
die Zahl 1, also auch für 60 oder gar 602 , 603 usw. stehen; der Wert solcher Zahlen musste aus dem Kontext bestimmt werden. Insbesondere wird das Produkt
4 · 15 = 60 im babylonischen System ebenso mit bezeichnet wie die 1.
Abb. 2.6. VAT 7858. Wie man hier sehen kann, wurde die Rückseite einer Tafel nach
einer Drehung um die horizontale Achse beschriftet, d.h. die Tafeln wurden nicht wie in
einem heutigen Buch von links nach rechts gedreht, sondern von oben nach unten. Viele
Fälschungen von Keilschrifttafeln (auch solche gibt es) sind daran zu erkennen, dass die
Rückseite um die vertikale Achse gedreht wurde.
Die Tafel VAT 7858 ist zwar stark beschädigt, allerdings kann man mit wenig
Mühe erkennen, dass hier eine Multiplikationstabelle für den Faktor 10 vorliegt;
im Dezimalsystem wäre eine solche Tabelle natürlich ebenso überflüssig wie eine
Tabelle für die Multiplikation mit 60, also .
Hätten die Multiplikationstabellen nur der Multiplikation von Zahlen gedient,
dann würden Tabellen der Vielfachen der Zahlen 1, 2, . . . , 9 und der Zehnerzahlen
10, 20, . . . , 50 ausreichen, da man
39 · 54 = (30 + 9)(50 + 4) = 30 · 50 + 30 · 4 + 9 · 50 + 9 · 4
2.1 Das Sexagesimalsystem auf Tafeltexten
27
Abb. 2.7. TMS 4: Multiplikation mit 25
rechnen kann. Tatsächlich hat man aber auch Tafeln mit Vielfachen etwa von
gefunden, also von 16 23 , oder, da die Zahl nur bis auf Vielfache von 60
bestimmt ist, auch einfach von 1000.
Ein besonders interessantes Tafelwerk ist das altbabylonische Prisma A 7897
([45, S.24]), auf dessen 13 Flächen eine ganze Sammlung von Multiplikationstabellen eingetragen sind. In der Mitte des Prismas ist ein rundes, gut 1 cm breites
rundes Loch; vermutlich war es in einer Tafelhaus drehbar angebracht und diente
dem schnellen Nachschlagen von Produkten.
Die Existenz der Multiplikationstafeln bedeutet nicht, dass die Babylonier bei
jeder Multiplikation ihre Tafeln zu Rate gezogen haben: die wichtigsten Tafeln,
wenn nicht gar alle, kannten gute Schreiber sicherlich auswendig.
Verwandlung von Zahlen in das Sexagesimalsystem
Das Umrechnen von Zahlen aus dem Sexagesimalsystem in das Dezimalsystem
ist einfach: die Zahl
steht (unter anderem) für 35 · 60 + 17 = 2117.
Bei mehrstelligen Zahlen empfiehlt sich eine Technik, die man vor nicht allzu langer Zeit unter dem Namen Horner-Schema kannte: um
ins
Dezimalsystem umzurechnen, kann man statt
45 · 603 + 1 · 602 + 24 · 60 + 39 = 9 725 079
28
2. Das Babylonische Zahlensystem
besser
((((45 · 60) + 1) · 60) + 24) · 60 + 39 = 9 725 079
rechnen.
Will man umgekehrt 2117 im Sexagesimalsystem darstellen, muss man wiederholt durch 60 mit Rest teilen: 2117 : 60 = 35, 283 . . ., und 2117 − 35 · 60 = 17 ergibt
dann die Darstellung
2117 = 35 · 60 + 17
also
.
Wenn man die Zahl
N = 2020 = 104 857 600 000 000 000 000 000 000
im Sexagesimalsystem darstellen möchte, geht man ebenso vor (vgl. die Rechnung
in Abb. 2.8).
1
Da man im babylonischen Sexagesimalsystem 20 nicht von 20
60 = 3 unterschei20
20
den kann, könnte anstatt 20 auf der Tafel auch der Wert von (1/3) angegeben
sein, also das Reziproke von 320 . Ich halte dies für wahrscheinlicher, weil es andere
Tafeln gibt, auf denen solche Reziproke großer Zahlen ausgerechnet sind, wie wir
unten noch sehen werden.
Satz 2.1. Um eine Zahl N , die im Dezimalsystem gegeben ist, im System mit der
Basis b ≥ 2 darzustellen, dividiert man N wiederholt mit Rest durch b:
N = q1 b + r1 ,
q1 = q2 b + r2 ,
...
qn−1 = qn b + rn ,
qn = rn+1 ,
wo die letzte Zeile andeuten soll, dass qn < b ist. Die Darstellung der Zahl N im
System mit der Basis b ist dann (rn+1 rn . . . r2 r1 )b .
Die Richtigkeit des Satzes wollen wir uns an einem Beispiel klar machen, indem
man nur zweimal durch b teilen muss. Ist nämlich
N = q1 b + r1 ,
q1 = q2 b + r2
und q2 = r3 ,
dann folgt
N = q1 b + r1 = (q2 b + r2 )b + r1
= (r3 b + r2 )b + r1 = r3 b2 + r2 b + r1 .
Da die “Reste” r1 , r2 , r3 alle kleiner als b sind, ist dies die Darstellung von N im
System mit der Basis b.
2.2 Die Grundrechenarten
29
In diesem Buch wird es nur um das Dezimal- und das Sexagesimalsystem gehen;
in der Informatik spielt vor allem das Dualsystem eine Rolle, das auf der Basis
2 aufgebaut ist und nur die Ziffern 0 und 1 besitzt. Hier ist das Erlernen des
kleinen Einmaleins ein Kinderspiel, dafür sind die Zahlen recht lang. Um etwa 47
im Dualsystem zu schreiben, müssen wir wiederholt durch 2 mit Rest teilen:
45 = 22 · 2 + 1,
22 = 11 · 2 + 0,
11 = 5 · 2 + 1,
5 = 2 · 2 + 1,
2 = 1 · 2 + 0,
1 = 1,
woraus sich die Darstellung 47 = (101101)2 ergibt: in der Tat ist
1 · 25 + 0 · 24 + 1 · 23 + 1 · 22 + 0 · 21 + 1 = 47.
Für die Babylonier stellte sich das Problem der Verwandlung von Zahlen ins Dezimalsystem natürlich nicht. Als die Griechen in den letzten Jahrhunderten v.Chr.
die babylonische Astronomie entdeckten und deren Daten übersetzten, werden sie
um die Frage, wie man die babylonischen Sexagesimalzahlen in die in Griechenland
gebräuchliche Notation umwandelt, wohl nicht herumgekommen sein. Letztendlich
mussten sie aber einsehen, dass ihr eigenes Zahlensystem (das ähnlich wie das römische funktionierte) dem babylonischen in allen Belangen unterlegen war, und sie
führten alle astronomischen Rechnungen im Sexagesimalsystem aus.
Deutlich wird das am Bericht über die Messung des Erdradius durch Eratosthenes: dieser hatte durch die Beobachtung der Schattenlänge in Syene und Alexandria
herausgefunden, dass der Umfang der Erde etwa 250 000 Stadien waren, und hatte
diese Zahl dann auf 252 000 gerundet. Dies lässt sich einfach dadurch erklären,
dass
250 000 = 1, 09, 26, 40 =
ist, während
252 000 = 1, 10, 00, 00 =
sexagesimal in der Tat viel “runder” ist.
2.2 Die Grundrechenarten
Die Addition und Subtraktion von Zahlen im Sexagesimalsystem ist kein Problem:
und
zu addieren, rechnet man 5 + 8 = 13; die Summe endet
hat man
. Den einen Zehner überträgt man und rechnet 40 + 30 + 10 =
also in einer
30
2. Das Babylonische Zahlensystem
N = 1 747 626 666 666 666 666 666 666 · 60 + 40,
1 747 626 666 666 666 666 666 666 = 29 127 111 111 111 111 111 111 · 60 + 6,
29 127 111 111 111 111 111 111 = 485 451 851 851 851 851 851 · 60 + 51,
485 451 851 851 851 851 851 = 8 090 864 197 530 864 197 · 60 + 31,
8 090 864 197 530 864 197 = 134 847 736 625 514 403 · 60 + 17,
134 847 736 625 514 403 = 2 247 462 277 091 906 · 60 + 43,
2 247 462 277 091 906 = 37 457 704 618 198 · 60 + 26,
37 457 704 618 198 = 624 295 076 969 · 60 + 58,
624 295 076 969 = 10 404 917 949 · 60 + 29,
10 404 917 949 = 173 415 299 · 60 + 9,
173 415 299 = 2 890 254 · 60 + 59,
2 890 254 = 48 170 · 60 + 54,
48 170 = 802 · 60 + 50,
802 = 13 · 60 + 22,
also
2020 = 13, 22, 50, 54, 59, 9, 29, 58, 26, 43, 17, 31, 51, 06, 40
und damit sexagesimal:
Diese Zahl findet sich auf der Keilschrifttafel MS 2351.
Abb. 2.8. Die Zahl 2020 oder das Reziproke von 320
2.2 Die Grundrechenarten
31
80 = 60 + 20; die gesuchte Summe ist also
. Subtraktion macht ebensowenig
Probleme; selbstverständlich konnten die Babylonier nur kleinere von größeren
Zahlen abziehen: negative Zahlen wurden erst zwei Jahrtausende später erfunden.
Ein etwas größeres Beispiel ist folgendes:
und
Addiere
.
Wie im Dezimalsystem beginnen wir mit der letzten Ziffer: 26 plus 39 = 65, also
schreiben wir
und behalten einen Übertrag von . Jetzt kommt 35 + 44 + 1 =
80, also schreiben wir
und behalten einen Übertrag von . Schließlich rechnen
wir 1 + 12 + 1 = 14 und haben das Ergebnis
.
Bei der Kontrolle im Dezimalsystem (5726+45 879 = 51 605) müssen wir beachten,
dass das Ergebnis 14 · 602 + 20 · 60 + 5 = 51 605 und nicht etwa gleich 14 · 60 + 25
ist!
Es sind nur wenige Keilschrifttafel erhalten, aus der wir lernen können, wie
die Babylonier multipliziert haben. Die Berechnung von Quadratzahlen jedenfalls wurden im spätbabylonischen Zeitalter wie folgt durchgeführt. Um etwa
das Quadrat von 3,24 =
zu bestimmen, haben Sie (3, 24) · (3, 24) =
(3 · 3, 3 · 24 + 24 · 3, 24 · 24) gerechnet, und zwar in folgendem quadratischen Schema:
3 24
3 10 12
1 21 36
24
11 33 36
Dabei ist 3 · 24 = 72 = 1, 12, sowie 3 · 3 = 9; mit dem Übertrag von 3 · 24 ergibt
sich damit 3 · (3, 24) = 10, 12. In der nächsten Zeile ist 242 = 576 = 9, 36, und
wegen 24 · 3 = 1, 12 erhalten wir mit Übertrag 24 · 3, 24 = 1, 21, 36. Spaltenweise
Addition liefert dann 3, 24 · 3, 24 = 11, 33, 36, oder 2042 = 41616.
Wir wollen ein weiteres Beispiel zur schriftlichen Multiplikation im Sexagesimalsystem vorrechnen, nämlich 52 · 100 = 5000. Im Sexagesimalsystem haben wir
und
zu multiplizieren; das Produkt der “Einerziffern”
und
ist
; die
addieren wir zum Produkt von
und
und erhalten
:
In der Tat ist 50 · 602 + 23 · 60 + 20 = 5000.
Die Babylonier haben das Quadrieren solch kleiner Zahlen nicht auf Tafeln
hinterlassen. Auf der Tafel BM 34 601 (vgl. Abb. 2.9) finden sich Rechnungen, die
32
2. Das Babylonische Zahlensystem
sich lange nicht erklären ließen. John Britton kam der Lösung näher, als er eine
Zahl auf dieser Tafel als die Zahl
[3] 03 13 15 33 54 58 1[9 24 11 01 39] 06 45 = 5 · 348
identifizierte.
Abb. 2.9. BM 34601
Da augenscheinlich klar war, dass es sich bei der Tafel um eine Berechnung
eines Produkts mehrstelliger Zahlen handelte, muss es bei der Multiplikation um
das Produkt zweier Zahlen gegangen sein, deren eine etwa 325 ist und von der die
andere die Ziffer 5 enthielt; weitere Möglichkeiten sind, dass die Zahl 347 oder 346
und die entsprechende Ziffer 15 oder 45 gewesen ist.
Friberg ([18, S. 456]) hat die Rechnung als die Bestimmung des Quadrats der
Zahl 4041740451317455214421209 = 346 erkannt; bei der Multiplikation dieser
Zahlen taucht an einer Stelle das Proukt der Zahl mit der Sexagesimalziffer 45
auf. Die komplette Multiplikation lautet also:
2.2 Die Grundrechenarten
33
Die Tafel selbst enthält dagegen nur die Teilprodukte mit den Ziffern 17, 40,
45, 52, 14, 42, 12 und 9; während die Produkte mit den ersten Ziffern weggebrochen sind, fehlen die Produkte mit den Ziffern 13, 17 und 45. Offenbar hatte
ein nachlässiger Schreiber eine Tafel mit der korrekten Berechnung von (346 )2 kopiert, dabei aber drei Zeilen vergessen; anders kann man nicht erklären, warum
das Endergebnis wieder korrekt ist.
Drei Bruchstücke einer Tafel aus dem Britischen Museum
Mathieu Ossendrijver (Humboldt Univ. Berlin) hat 2014 drei Bruchstücke einer
Tafel aus dem Britischen Museum als Teile einer großen Tafel identifiziert. Die von
ihm anfangs untersuchte Keilschrifttafel war das kleine Bruchstück links oben in
Abb. 2.10. Diese Tafel BM 34249 ist keine 4cm auf 4cm groß, und auf ihr erkennt
man die Zahlen
16, 34, 39
1, 50, 31, 5
12, 16, 47, 10
1, 21, 51, 50
9, 5
1, 0
Die rechten Einerziffern in den Zeilen 3 und 4 sind abgebrochen; die letzte Zeile
enthält rechts von der Eins das Zeichen für eine fehlende Ziffer, die erst in der
Seleukidenzeit, also nach 300 v.Chr. eingeführt worden ist. Wie soll man ein solches
Bruchstück analysieren?
Wer ein gutes Gedächtnis hat wird sofort gesehen haben, dass diese Ziffern die
Anfangsziffern der Zahl
946 = 78 551 672 112 789 411 833 022 577 315 290 546 060 373 041.
aus BM 34 601 ist!
Der nächste Schritt war die Suche nach einem weiteren Teil dieser Tafel unter
den Tausenden von Bruchstücken, die zur Sammlung des Britischen Museums
gehören (es ist durchaus denkbar, dass es in andern Museen weitere Bruchstücke
34
2. Das Babylonische Zahlensystem
Abb. 2.10. Zwei der drei erhaltenen Bruchstücke einer Keilschrifttafel
davon gibt). Diese Suche förderte zwei weitere Tafeln zutage, nämlich BM 32401
(mit knappp 7 × 5 cm) und BM 34517 (wieder kaum 4 × 4 cm groß).
An der Rekonstruktion der Tafel in Abb. 2.11 kann man erkennen, welch kleiner
Bruchteil der Tafel überlebt habt, trotz des Anrufs der Götter Bel und Beltiya in
der ersten Zeile, dass die Tafel mit ihrem Segen intakt bleiben möge.
Ägyptische Multiplikation
Außer der oben vorgestellten “schriftlichen” Methode der Multiplikation, die sich
auch durch Keilschrifttafeln belegen lässt, sind im Laufe der Zeit eine ganze Reihe
weiterer Möglichkeiten zur Multiplikation zweier Zahlen in Betracht gezogen worden. So könnten die Babylonier ihre Nebenrechnungen auf Lehmtafeln geschrieben
haben, die sie nach Gebrauch wieder glätteten, oder sie haben gleich im Sand gerechnet. Denkbar ist ebenfalls, dass sie bereits mit Rechensteinen operiert haben,
also einer Vorstufe des Abakus.
Den Vorschlag, die Babylonier hätten die ägyptische Multiplikation verwendet,
die auf wiederholter Verdopplung beruht, halte ich angesichts der Tatsache, dass
die babylonische Methode der Multiplikation der ägyptischen haushoch überlegen
ist, für nicht sehr glaubwürdig. Dennoch hat sich dieses System des Multiplizierens
in verschiedenen Teilen der Welt bis in das späte 20. Jahrhundert hinein erhalten.
Um beispielsweise das Produkt 23 · 13 zu berechnen, haben die Ägypter die 23
wiederholt verdoppelt und dann wegen 13 = 1 + 4 + 8 die Zahl 23 zu ihrem 4- und
8-fachen addiert:
1
23 x
2
46
4
92 x
8
184 x
299
2.2 Die Grundrechenarten
Abb. 2.11. Rekonstruktion der Keilschrifttafel BM 34249 + BM 32401 + BM 34517
35
36
2. Das Babylonische Zahlensystem
in der Tat ist 23 + 92 + 184 = 299 = 23 · 13.
Eine Verbesserung dieses Algorithmus ist der folgende: zur Berechnung von
23 · 13 verdoppelt man die erste Zahl und halbiert die zweite (eventuell auftretende
Reste vergisst man):
23 13
46
6
92
3
184
1
299
dann addiert man diejenigen Zahlen auf der linken Seite, für welche die Zahl auf
der rechten Seite ungerade ist. Damit ist in der Tat
23 · 13 = 23 · 1 + 23 · 12
= 23 · 1 + 46 · 6
= 23 · 1 + 92 · 3
= 23 · 1 + 92 · 1 + 92 · 2
= 23 · 1 + 92 · 1 + 184 · 1.
Der Gebrauch dieser Technik bei den Babyloniern ist aber ebensowenig belegt
wie die bisweilen anzutreffende Behauptung, die Babylonier hätten Produkte mit
Hilfe der Formel
a + b 2 a − b 2
−
= ab
(2.2)
2
2
berechnet. So hätten die Babylonier das Produkt 13 · 15 durch
15 + 13 2 15 − 13 2
13 · 15 =
−
= 142 − 12 = 195
2
2
bestimmen können.
Aufgabe 2.2. Beweise die Gleichung (2.2) a) durch Ausmultiplizieren und b)
durch die Anwendung der dritten binomischen Formel.
Weniger geheimnisvoll, wenn auch gänzlich anders als vielleicht erwartet, ist
die babylonische Methode der Division. Tatsächlich war den Babyloniern, soweit
wir das ersehen können, eine unserer schriftlichen Division verwandte Methode
wohl unbekannt. Stattdessen haben sie eine Zahkl z.B. durch 5 geteilt, indem sie
sie mit der Reziproken von 5, also mit 12, multipliziert haben. Im Dezimalsystem
würde der Division durch 5 wegen 2 · 5 = 10 die Multiplikation mit 2 entsprechen:
statt 105 : 5 = 21 hätten die Babylonier also 105 · 2 = 210 gerechnet (und dabei
die hintere Null nicht gesehen, weil es eine solche bei ihnen nicht gab).
Diese Technik der “Division” setzt voraus, dass man in der Lage ist, die Reziproken aller “regulären” Zahlen (also solche, die nur durch 2, 3 oder 5 teilbar
sind) zu berechnen. Auf derartige Techniken werden wir im nächsten Abschnitt
eingehen.
Hier sei nioch erwähnt, dass die griechischen Astronomen (etwa der alexandrinische Astronom Ptolemaios), als sie das Sexagesimalsystem für ihre Rechnungen
2.2 Die Grundrechenarten
37
nutzten, eine schriftliche Methode zur Division besaßen. Eine Darstellung einer
solchen Division ist uns aber erst von Theon von Alexandria erhalten (vgl. [59,
S. 83]), der beschrieben hat, wie man die Zahl 1515;20,15 durch 25;12,10 dividiert.
Die Griechen benutzten dabei die Sexagesimalschreibweise nur für die nicht ganzen
Zahlen.
Theon geht so vor: aus 1515 : 25 = 60, 6 folgert er, dass der Quotient etwa 60
ist. Division der gegebenen Zahl durch 60 liefert einen Quotienten, der größer ist
als 25;12,10. Substraktion von 60 · 25; 12, 10 liefert einen Rest von 3;10,15. Um eine
Schätzung des Quotienten zu erhalten, nimmt man die ersten beiden Ziffern 3;10
= 0;190 und teilt durch 25, was etwa 7 ergibt. Zieht man 7 · 25; 12, 10 von 3;10,15
ab, bleibt ein Rest von 0;13,49,50, mit dem man wieder so verfährt.
Die Rolle der Sieben
Die Tatsache, dass 7 die kleinste natürliche Zahl ist, deren Reziproke man nicht als
endlichen Sexagesimalbruch schreiben kann, dürfte für die besondere Rolle der 7 in
der babylonischen (und später der jüdischen) Mythologie verantwortlich sein. “Sieben Lügen sind zuviel”, hieß es schon im 3. Jahrtausend v.Chr., und Gilgamesch
musste in seinem Epos über sieben Berge gehen (dies hat sich bis heute erhalten:
die sieben Zwerge wohnen hinter den sieben Bergen, und man muss über sieben
Brücken gehen, nicht über sechs oder acht). Auch in der Astronomie spielt die 7
eine besondere Rolle: das Siebengestirn, die Plejaden, waren ein sehr bekanntes
Sternbild; es gibt sieben “Wandelsterne”, nämlich Sonne, Mond und die fünf Planeten; und der Mondmonat ist durch die vier Phasen des Mondes (Neumond, aufgehender Halbmond, Vollmond, abnehmender Halbmond) in vier “Wochen” zu je
7 Tagen eingeteilt; diese babylonische Woche ist letztendlich auch für die Erschaffung der Welt in sieben Tagen im jüdisch-christlichen Glauben verantwortlich. Die
Juden lernten den babylonischen Kalender während der Zeit der “babylonischen
Gefangenschaft” kennen, aus der sie erst von Kyros wieder entlassen wurden; auch
die heutigen hebräischen Namen für die 12 Monate sind babylonischen Ursprungs.
Wenn Divisionen durch 7 ausgeführt werden mussten, behalfen die Babylonier
. Angesichts der Tatsasich mit der Näherung 71 = 0; 8, 34, 17 =
che, dass die Babylonier Reziproke von Zahlen mit sehr vielen Sexagesimalstellen
berechnet haben, ist es ziemlich verwunderlich, dass es keine Versuche gab, die
Reziproke von 7 genauer zu bestimmen. Der einzige Grund für das Fehlen solcher
Rechnungen, den ich mir vorstellen kann, ist dass die Babylonier wussten, dass
das Reziproke von 7 keine endliche Sexagesimaldarstellung besitzt. Hätte 17 eine
endliche Sexagesimaldarstellung mit etwa n Sexagesimalziffern, dann wäre 60n /7
eine ganze Zahl, also 60n durch 7 teilbar. Haben die Babylonier also gesehen, dass
das nur der Fall sein kann, wenn 60 durch 7 teilbar ist?
Auf der Tafel YBC 10 529 (sh. [45, ], [59, S. 70]) finden sich Approximationen
der Reziproken aller Zahlen von 50 bis 80, unter anderem
38
2. Das Babylonische Zahlensystem
Auf einer von bereits 1937 von Raymond Jestin untersuchten Keilschrifttafel
(sh. Abb. 2.2 und [23]), die offenkundig noch die sumerischen Zahlensymbole vor
der Einführung des Sexagesimalsystems benutzt, sollen 1 152 000 sila (eine Raumeinheit, die grob einem Liter entspricht) Getreide so an Männer aufgeteilt werden,
dass jeder von ihnen 7 sila bekommt. Das Ergebnis der Rechnung wird mitgeteilt:
das Getreide reicht für 164 571 Männer, und es bleiben 3 sila übrig.
Auf der Seite mesocalc lassen sich Dezimalzahlen in Sexagesimalzahlen umwandeln und die Grundrechenarten ausführen. Man kann die Webseite auch herunterladen und offline verwenden.
2.3 Reziprokentafeln
Zu den Keilschrifttafeln, die weniger leicht zu enträtseln sind als einfache Tabellen
von Produkten oder Quadratzahlen, gehört die Tafel MS 3874 in Abb. 2.12.
Ab der dritten Zeile stehen an zweiter Stelle Zahlen, die wir ohne Mühe als 3,
4, 5, 6, 8, . . . , 30 entziffern. Die fehlenden Zahlen sind 7, 11, 13, 14 und einige
,
weitere. In der rechten Spalte stehen die Zahlen 20, 15, 12, 10, und dann
was eigentlich 7 · 60 + 30 entspricht, aber so gar nicht in die Folge der Zahlen
1
passen will, die von 20 an abnehmen. Tatsächlich muss diese Zahl als 7 + 30
60 = 7 2
gelesen werden: die babylonische Mathematik hat notationell nicht zwischen 1 oder
1
bezeichnet, und man
60 oder 60
unterschieden: alle diese Zahlen wurden mit
musste die Bedeutung aus dem Kontext ableiten.
Schaut man sich die Zahlen nun genauer an, so stellt man fest, dass das Produkt der Zahlen in der zweiten und in der letzten Spalte immer 60 ergibt. Dies
erklärt das Fehlen der Zahlen 7 und 11 usw.: die Zahl 60 ist nicht durch 7 oder
11 teilbar. Genausogut könnten wir aber sagen, das Produkt dieser Zahlen sei 1,
da es notationell keinen Unterschied zwischen 1 und 60 gibt:
steht dann für
20
1
1
30
für 60 = 3 . In dieser Interpretation enthält jede Zeile einen Teiler
60 = 2 und
der 60 und ihr Reziprokes. Die Tafel MS 3874 ist also eine Reziprokentafel, die zu
jeder “regulären Zahl” (das sind Zahlen, die nur durch 2, 3 oder 5 teilbar sind)
1
2
deren reziproke Zahl angibt. Die letzte Zeile lautet daher 30
= 60
, die vorletzte
2
13
20
1
dagegen 27 = 60 + 60 + 603 .
Es macht nun keinerlei Probleme mehr, die Tafel nachzurechnen. Interessanter
ist aber die Frage, wie man diese Werte errechnet. Eine Möglichkeit, die Standardtabelle der Reziproken zu berechnen, ist folgende: ausgehend von 2 = 30 (wir
bezeichnen das Reziproke einer Zahl n im Folgenden durch Überstreichen: n = n1 )
erhält man durch verdoppeln der ersten und gleichzeitiges halbieren der zweiten
Zahl
2.3 Reziprokentafeln
39
Abb. 2.12. MS 3874
4 = 0; 15,
8 = 0; 7, 30,
16 = 0; 3, 45 32 = 0; 1, 52, 30
usw.
Um 3,45 zu halbieren, nimmt man sich eine 1 von der 3 und schiebt sie als 60
in die nächste Stelle: 3,45 = “2,105”; weil 105 ungerade ist, nehmen wir wieder
eine 1 und schieben sie als 60 in die nächste Stelle; dann haben wir 2,104,60 zu
halbieren und erhalten 1,52,30 oder, wenn wir das “Komma” wieder richtig setzen,
0;01,52,30. Auf diese Art und Weise ist das Halbieren von Sexagesimalzahlen ein
Kinderspiel.
Aufgabe 2.3. Berechne
15
16
durch fortgesetztes Halbieren im Dezimalsystem.
Entsprechend erhalten wir ausgehend von 3 = 0; 20 nacheinander
6 = 0; 10,
12 = 0; 5,
24 = 0; 2, 30
und 48 = 0; 1, 15.
Auf dieselbe Art folgen aus 5 = 12 die Reziproken von 10, 20 und 40. Weiter ist
2
9 = 32 , also 9 = 3 = 0; 6, 40 wegen 202 = 400 = 6, 40. Daraus wiederwum folgen
die Reziproken von 18 und 36, und eine ähnliche Vorgehensweise liefert endlich die
noch fehlenden Reziproken von 25 = 52 , 27 = 33 und 54.
Eine andere Möglichkeit, wie wir die Reziproke von 27 ausrechnen können,
1
1
dieselbe Sexagesimaldarstellung besitzt wie 27
· 60n für
ist die folgende: da 27
40
2. Das Babylonische Zahlensystem
eine geeignete Potenz von 60, können wir den Nenner durch Multiplikation mit
1
einer solchen Potenz einfach beseitigen. Offenbar ist 27
· 603 = 8000, und die
Standardmethode zur Transformation in das Sexagesimalsystem liefert nun
8000 = 133 · 60 + 20,
133 = 2 · 60 + 13,
also 8000 = (2 · 60 + 13) · 60 + 20 = 2 · 602 + 13 · 60 + 20. Die Sexagesimaldarstellung
1
ist also
wie erwartet.
von 27
A.J. Sachs [54] entschlüsselte 1947 eine Methode zur Berechnung von Reziproken, die auf der Tafel VAT 6505 enthalten war. Seine Transkription der Tafel sieht
so aus:
1. 2,[13],20 ist das igum. [Was ist das igibum?]
2. [Du, wenn du rechnest,] gehe so vor:
3. Nimm das Reziproke von 3,20; [du findest 18]
4. Multipliziere 18 mit 2,10; [du findest 39]
5. Addiere 1; du findest 40.
6. Nimm das Reziproke von 40; [du findest] 1,30.
7. Multipliziere 1,30 mit 18,
8. du findest 27. Das igibum ist 27.
9. So geht die Methode.
Was passiert hier? Mit igibum bezeichneten die Babylonier das Reziproke der
Größe, die sie igum nannten. Es ist also das Reziproke der Zahl
= 2, 13, 20 = 8 000
zu berechnen. Dazu schreibt man die Zahl 2,13,20, als Summe des Hauptteils
2,10,0 und des Rests 3,20, und multipliziert den Hauptteil mit dem Reziproken
des Rests, der natürlich so gewählt sein muss, dass er ein Reziprokes besitzt, das
man in den Tafeln nachschlagen kann oder auswendig weiß. Im Falle von 3,20 =
200 ist das Reziproke 18 wegen 18 · 200 = 602 , und das Produkt des Hauptteils
2,10 mit dem Reziproken 18 ist 39 (wir kümmern uns wie die Babylonier nicht um
die richtige Setzung des Kommas, unterscheiden also nicht zwischen 2,10,0 und
2,10). Addition von 1 ergibt 40, und das Reziproke von 40 ist 1,30 (Kopfrechnen:
60
3
1
40 = 2 = 1 2 = 1, 30). Dieses Ergebnis wird wieder mit 18 multipliziert, was 27
ergibt, und das ist in der Tat das Reziproke von 2,13,20 wegen 8000 · 27 = 603 .
Auf den ersten Blick ist kaum zu glauben, dass nach all der seltsamen Rechnerei
tatsächlich das richtige Ergebnis herauskommt – was um alles in der Welt geht
hier vor? Hinter der babylonischen Technik steckt eine ganz einfache Formel; es
2.3 Reziprokentafeln
41
ist vermutlich ein offenes Problem herauszufinden, wie die Babylonier auf diese
Methode gekommen sind. Durch zufälliges Rechnen mit Zahlen wird das kaum
möglich sein.
Um nachvollziehen zu können, was sich hinter der babylonischen Methode verbirgt, bezeichnen wir das Reziproke einer Zahl mit n1 ; das geht etwas am Kern der
Methode vorbei, weil unsere moderne algebraische Schreibweise die sexagesimalen
Kommaverschiebungen (also das Weglassen von Potenzen der 60) nicht wirklich
widerspiegeln kann. Mathematisch steckt aber folgendes dahinter: Um das Reziproke von n = a + b zu finden, multiplizieren wir a mit dem Reziproken von b und
n
erhalten a · 1b = ab . Addition von 1 liefert ab + 1 = a+b
b = b . Das Reziproke hiervon
b
ist n , und wenn wir dieses mit dem Reziproken von b multiplizieren, erhalten wir
b 1
1
n · b = n , also das Reziproke von n.
Satz 2.2. Das Reziproke von der regulären Zahl a + b mit dem regulären Ende b
lässt sich über
1
1
1
= a
·
a+b
+
1
b
b
berechnen.
Aufgabe 2.4. Berechne das Reziproke von
mit der babylonischen Methode.
Aufgabe 2.5. Berechne das Reziproke von
thode.
mit der babylonischen Me-
Zur Beschaffung eines hinreichend großen Zahlenmaterials gingen die Babylonier von einem kleinen Paar reziproker Zahlen aus, etwa 2,5 und 28,48; dann
verdoppelten sie die Zahl links wiederholt, während sie gleichzeitig die Zahl rechts
hablierten:
2, 5
28,48
4,10
14,24
8,20
7,12
16,40
3,36
33,20
1,48
1,06,40
54
2,13,20
27
Um beispielsweise 7,12 zu halbieren bringt man 1,00 = 60 nach rechts und
denkt sich die Zahl als 6,72; deren Hälfte ist dann 3,36. Halbieren ist damit eine
einfache Kopfrechenübung, die ebenso leicht zu erledigen ist wie das fortgesetzte
Verdoppeln.
Zur Bestimmung der Reziproken etwa von 1,06,40 setzen wir b = 6, 40, die
Reziproke davon ist 9 (mit etwas Übung erkennt man derartige Reziproken kleiner
Zahlen sehr schnell). Also bestimmen wir das Produkt von 1 und 9 und erhalten
42
2. Das Babylonische Zahlensystem
9; Addition von 1 ergibt 10, die Reziproke von 10 ist 6. Damit erhalten wir die
Reziproke der Ausgangszahl als Produkt von 6 und 9 zu 54.
Hätten wir dagegen den Ansatz a = 1, 06 und b = 40 versucht, so wäre die
Rechnung wie folgt verlaufen: Die Reziproke von 40 ist 1,30; Multiplikation von
1,06 mit 1,30 ergibt 1,39. Mit dem neuen Ansatz a0 = 1, 30 und b0 = 9 finden wir
die Reziproke 6,40 von 9, und das Produkt von 1,30 und 6,40 ist 10. Die Reziproke
von 10 ist 6, Addition von 1 ergibt 7, aber diese Zahl hat keine Reziproke. In der
Tat ist 1,06 = 66 nicht regulär, sodass unser Ansatz von vornherein zum Scheitern
verurteilt war.
Die Tafel YBC 4704
Auf der altbabylonischen Tafel YBC 4704 ([45, S.16]) finden sich die Reziproken
von drei großen Zahlen, nämlich von
Die dazugehörigen Reziproken sind
Das Geheimnis dieser Zahlen enthüllt sich, wenn man sich deren Primfaktorzerlegung ansieht: die drei Zahlen sind 10 · 314 , 10 · 316 und 324 . Haben sich die
babylonischen Schreiber davon überzeugen wollen, dass Zahlen dieser Form immer
eine abbrechende Sexagesimaldarstellung besitzen?
Auch die Frage, wie die Babylonier diese Werte errechnet haben könnten, ist
interessant. Die Reziproken der ersten Potenzen von 3 sind
31
32
33
34
3
0; 20
9
0; 6, 40
27
0; 2, 13, 20
81 0; 0, 44, 26, 40
Division durch 3 im Sexagesimalsystem ist dasselbe wie Multiplikation mit 20; die
Babylonier werden diese Werte also wohl durch fortgesetzte Multiplikation mit 20
erhalten haben. Wenn man die Tabelle der Vielfachen von 20 beherrscht, ist das
kein Problem: 202 = 400 = 6 · 60 + 40; 40 · 20 = 800 = 13 · 60 + 20, schreibe 20,
behalte 13, (6 · 20 + 13 = 2 · 60 + 13, also 203 = 2, 13, 20.
Auf der andern Seite ist die Division durch 3 nur unwesentlich komplizierter im
Kopf durchzuführen als das Halbieren: um etwa 6,40 durch 3 zu teilen, wird die 40
durch 39 + 1 ersetzt und die 1 als 60 in die nächste Sexagesimalstelle verfrachtet.
Also ist ein Drittel von 6,40 gleich einem Drittel von 6,39,60 und damit gleich
2,13,20.
2.3 Reziprokentafeln
43
Arithmetische Rechnungen
Es gibt viele Tafeln, die in offenkundigem Zusammenhang mit Reziproken stehen,
deren Bedeutung sich uns bisher aber nicht vollständig erschlossen hat. Ein Prototyp einer solchen Tafel ist YBC 11127 (sh. [45, S. 15] und [58, S. 32]). Der Inhalt
der etwa 9 × 8 cm großen Tafel ist schnell erklärt (vgl. Abb. 2.13):
1
1
2
2
2
30
1
2
3
20
40
2
4
15
30
2
5
12
24
2
6
10
20
2
4,54
Abb. 2.13. YBC 11127
Die erste Spalte enthält die ersten sechs regulären Zahlen, die zweite deren
Reziproke; die dritte Spalte erhält man, indem man die Zahlen in der zweiten
Spalte mit dem konstanten Faktor 2, der in Spalte vier angegeben ist, multipliziert.
Die Zahl rechts oben gibt die Summe der Zahlen in der dritten Spalte an: in der
Tat ist
1 1 1 1 1
9
54
49
1+ + + + +
=4
=4 .
·2=
2 3 4 5 6
10
10
60
Worum es dabei wirklich geht, ist meines Wissens nach noch nicht geklärt. Vielleicht war es eine Art Standardaufgabe beim Unterricht des Bruchrechnens für
Anfänger?
Teilbarkeitsregeln
Auf der altbabylonischen Keilschrifttafel MS 2242 finden sich folgende Zahlen:
Alle diese Zahlen enden auf
, also auf 225. Dies bedeutet, dass die Zahl bei
der Teilung durch 602 den Rest 225 lässt. Weil auch 602 durch 225 teilbar ist, muss
die ganze Zahl durch 225 teilbar sein, also durch
. Eine analoge Regel im
Dezimalsystem besagt, dass jede Zahl, die im Dezimalsystem auf 25 endet, auch
44
2. Das Babylonische Zahlensystem
durch 25 teilbar ist, weil sie bei der Teilung durch 102 = 100 den Rest 25 lässt
und sowohl 102 als auch 25 durch 25 teilbar sind.
Wenn die Aufgabe also gelautet hat, die Zerlegung der regulären Zahl in der
ersten Zeile zu finden, dann hätte der Schreiberlehrling gewusst, dass die Zahl
durch
teilbar ist; die Reziproke dieser Zahl ist 16, und Multiplikation der
,
gegebenen Zahl mit 16 ergibt die zweite Zahl. Da diese ebenfalls auf
ergibt. Dies bedeutet, dass
wird dieses Spiel fortgesetzt, bis sich am Ende
die Ausganszahl gleich 156 = 36 · 56 ist.
2.4 Das Babylonische Maßsystem
Wer glaubt, das Umrechnen von Quadratmetern in Quadratzentimeter sei eine intellektuelle Leistung, die man als Schüler nicht mehr zu erlernen braucht, weil die
neueste Generation der Taschenrechner entsprechende Tasten besitzen, wird sich
wundern, wenn er sieht, was man babylonischen “Söhnen des Tafelhauses” zugemutet hat. Dass unser Maßsystem im Vergleich zum babylonischen von geradezu
kindlicher Einfachheit ist verdanken wir den Franzosen, die im Zuge ihrer Revolution am Ende des 18. Jahrhunderts beschlossen haben, konsequent Längen- und
Gewichtsmaße einzuführen, die auf dem Dezimalsystem beruhen: aus der Grundeinheit Meter lassen sich dann Zentimeter, Millimeter und Kilometer auf dieselbe
Art und Weise zurückführen wie Milligramm und Kilogramm auf das Gramm.
Dass sie es dabei etwas zu gut meinten und auch die Zeit dezimalisieren wollten,
indem sie jedem Monat genau 30 Tage gaben und diese in drei Wochen zu je
10 Tagen einteilten, darüberhinaus den Tag in 10 Stunden, jede Stunde in 100
Minuten und jede Minute in 100 Sekunden, hat das Volk nicht beeindruckt: zwar
wurden einige Uhren mit einem Ziffernblatt von 10 Stunden hergestellt, aber die
Tatsache, nun nur noch jeden zehnten Tag arbeitsfrei zu haben, hat die Freude an
der Umsetzung der Dezimalisierung der Zeit doch arg gedämpft.
Auch vor der Abschaffung der Einteilung des Winkels in 360◦ sind die Revolutionäre nicht zurückgeschreckt: sie haben auch dem rechten Winkel statt 90◦
den dezimalen Wert von 100 Neugrad gegeben. Auch diese Idee versank schnell
wieder in der Versenkung und wurde erst wieder ausgegraben, als die Taschenrechnerhersteller beschlossen, für dieses heute nicht mehr gebrauchte Winkelmaß
neben Grad (degree) und Bogenmaß (radian) eine Taste auf jedem Rechner zu
reservieren (nämlich grad).
Das metrische System wurde peu à peu in vielen anderen Ländern eingeführt
und ist heute Standard in allen Ländern der Welt mit Ausnahme von Liberia und
den USA. In England wurden die alten “imperialen Einheiten” 1971 durch das
metrische System ersetzt. Ein inch ist 2,54 cm lang; 12 inch ergeben einen Fuß, 3
Fuß ein yard, 22 yard eine chain, 10 chains ein furlong und 8 furlong eine Meile,
die etwa 1,609 km entspricht. Auf der See wurden Längen dagegen in Faden und
Seemeilen gemessen. Das Volumen hatte von der Länge unabhängige Einheiten:
ein gallon entspricht 4,546 Liter, daneben gab es quarts (ein Viertel einer gallon),
pints (ein Achtel gallon, mit 0,568 l also etwas mehr als ein halber Liter, auch
2.4 Das Babylonische Maßsystem
45
heute noch die gebräuchliche Einheit bei Bier) und für die kleinen Mengen Unzen
(fluid ounces), die den 160ten Teil einer gallon bezeichnen; die entsprechenden
US-Einheiten haben dieselben Namen, aber leicht andere Werte.
Das babylonische System der Maße ist ähnlich verwirrend wie das britische,
weil es doch etwas mehr System enthält. Dennoch hat das Erlernen des Umrechnens der Maßeinheiten ineinander einen großen Teil der ersten Ausbildung der
Schreiberlehrlinge eingenommen.
Die einfachsten Längeneinheiten der altbabylonischen Periode sind
• še (Gerstenkorn, etwa 28 mm)
• 6 še sind ein šu-si (Finger, etwa 1,7 cm)
• 30 šu-si sind ein kuš (Elle, etwa 50 cm)
• 6 kuš sind ein gi (Schilfrohr, etwa 3 m)
• 2 gi sind ein GAR, also etwa 6 m
• 10 GAR sind ein TIR (Seil, etwa 60 m)
• 6 TIR sind ein UŠ, also etwa 360 m.
Die Grundeinheit der Fläche ist das SAR (Beet), was einem Quadrat-GAR
1
eines SAR, und der 180te Teil
entspricht, also etwa 36 m2 . Ein gin (0,6 m2 ) ist 60
eines gin ist das še.
Auch die kleinste Gewichtseinheit wurde še genannt; 180 še sind ein gin (Schekel), 60 gin ein mina (Mine). Diese Gewichtseinheiten wurden auch für Silber
gebraucht; dieses diente als Zahlungsmittel, und 60 Minen ergaben ein Talent.
Um die Tafel von Shuruppak (Abb. 2.2) zu verstehen, benötigen wir auch
Hohlmaße. Ein sila ist etwa 1 Liter, der aus 60 gin besteht, und jedes gin aus 180
še (das Gerstenkorn musste für viele kleine Maßeinheiten herhalten). Die Tafel
stammt etwa von 2500 v.Chr., und die Aufgabe besteht darin, ein Silo Getreide
so zu verteilen, dass jeder Mann 7 sila bekommt. Man nimmt an, dass ein Silo
2400 gur und ein gur (damals) 480 sila entsprochen haben. Tatsächlich hat man
das komplette Maßsystem der Babylonier im wesentlichen aus den auf derartigen
Tafeln angegebenen Rechnungen herausgelesen.
SAR war auch das sumerische Wort für 3600; weil es durch den Kreis dargestellt
wurde, konnte es auch einen solchen symbolisieren. Als Edmund Halley ein Wort
für den etwa 18-jährigen Zyklus suchte, in dem sich Sonnen- und Mondfinsternisse
wiederholen, benannte er es nach dem von den Griechen aus dem Babylonischen
entlehnten Wort “saros” (σαρoς) den Saroszyklus. Diesen Zyklus hatten die Babylonier spätestens um 700 v.Chr. entdeckt. Dem ersten griechischen Mathematiker
Thales wird die Vorhersage einer Sonnenfinsternis in Kleinasien zugeschrieben, was
man lange Zeit nicht geglaubt hat, weil die griechische Astronomie damals noch gar
nicht so weit entwickelt war, um eine derartige Vorhersage zu erlauben. Da Thales
aber seine Kenntnisse von Reisen nach Ägypten und Mesopotamien mitgebracht
46
2. Das Babylonische Zahlensystem
hatte, scheint eine solche Vorhersage durchaus im Bereich seiner Möglichkeiten
gelegen zu haben.
Ein anderes von den Griechen aus dem Babylonischen entlehntes Wort ist “sossos” (σωσσoς); das babylonische “soss” konnte sowohl 16 als auch 60 bedeuten, was
damit erklärt wird, dass der sechste Teil eines Jahres etwa 60 Tage sind. Man kann
dies durchaus als Hinweis darauf verstehen, dass die Entstehung des Sexagesimalsystems durchaus etwas mit den etwa 360 Tagen im Jahr zu tun gehabt haben
könnte.
Übungen
2.1 Verwandle folgende Zahlen ins Dezimalsystem:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
2.2 Verwandle folgende Zahlen ins Sexagesimalsystem: 12; 153; 1 024; 2 844; 10 000.
2.3 Verwandle folgende Brüche ins Sexagesimalsystem:
1 1 1 1
, , , , 5 , 7 , 17 .
2 4 5 6 12 20 36
2.4 Erstelle eine Tafel für die Reziproken der 2er-Potenzen von 21 = 2 bis 210 = 1024.
2.5 Führe die 9er-Multiplikationstabelle bis einschließlich 20 · 9 fort.
2.6 Worum handelt es sich bei der folgenden Tafel?
2.4 Das Babylonische Maßsystem
47
2.7 Kontrolliere die folgenden Tafel:
Zwischen 18 und 20 steht hier übrigens keine 21, sondern das Symbol für 20 − 1: wie
später die Römer, die 19 bisweilen in der Form XIX statt XVIIII geschrieben haben,
kam auch bei den Babyloniern die subtraktive Schreibweise von Zahlen schon vor.
2.8 Erstelle ähnliche Multiplikationstabellen für die andern Zahlen zwischen 1 und 10.
2.9 Was ist auf der folgenden Tafel gerechnet?
2.10 Erkläre die folgende Tafel (YBC 7354) (vgl. [45, S.17]):
48
2. Das Babylonische Zahlensystem
2.11 Bestimme die Reziproken der Zweierpotenzen von 1/2 bis 1/210 . Gibt es eine
Möglichkeit, solche Tafeln ohne große Mühe zu berechnen?
Erstelle ähnliche Tafeln für die Reziproken von 3n , 5n , 2 · 5n usw.
2.12 Die einfachsten periodischen Dezimalbrüche sind wohl die Vielfachen von 19 =
0, 1111 . . .. Wie sieht das Reziproke von 59 im Sexagesimalsystem aus, wie seine
Vielfachen?
2.13 Sexagesimalzahlen, die auf 12, 24, 36 oder 48 enden, sind durch 12 teilbar. Auf der
Tafel MS 2242 findet sich eine Rechnung, die mit der Zahl
= 3 11 06 10 42 48 57 36
beginnt. Teile diese Zahl so lange durch 12 (durch wiederholte Multiplikation mit
5), bis man die Faktorzerlegung dieser Zahl ablesen kann.
3. Babylonische Algebra: Lineare Probleme
Mit “babylonischer Algebra” sind im folgenden Techniken gemeint, mit deren Hilfe
die Babylonier Probleme gelöst haben, die wir durch das Lösen von Gleichungen
mit einer oder mehrerer Unbekannten behandeln würden. Da den Babyloniern
die algebraische Schreibweise noch gänzlich unbekannt ist, mussten sie für jeden
Aufgabentyp ein eigenes Rezept entwickeln. Man nimmt an, dass sie sich dabei
von einfachen geometrischen Vorstellungen haben leiten lassen.
3.1 Lineare Gleichungen
Auf der Tafel YBC 4652 (sh. [45, S. 100-102] und [58, S. 45–46]) sind eine Reihe von
Problemen nebst der Angabe ihrer Lösungen enthalten. Die ersten sechs Probleme
sind so unvollständig erhalten, dass sie nicht rekonstruiert werden können; sie
drehen sich aber wie alle andern Aufgaben auch um die Bestimmung des Gewichts
eines Steins. Die Aufgaben sind, wie auf vielen anderen Lehrtexten auch, nach
steigendem Schwierigkeitsgrad angeordnet.
Das siebte Problem lautet:
Ich fand einen Stein. Ich habe ihn nicht gewogen. Ich habe ein Siebtel
addiert, dann ein Elftel; er wog eine Mine.
Ein Vergleich mit der Lösung zeigt, dass damit folgendes gemeint war: zum unbe1
des
kannten Gewicht x eines Steines wird 71 des Gewichts addiert. Dann wird 11
neuen Gewichts dazu gezählt, und am Ende hat man ein Gewicht von einer Mine.
Wir schreiben dies als Gleichung
x
1
x
x+ +
x+
= 60,
(3.1)
7 11
7
wobei wir 1 Mine durch 60 gin ersetzt haben.
Mit den heutigen Mitteln der Algebra ist die Lösung kein Problem. Ohne Nachdenken und mit reinem Rechnen erhalten wir durch Auflösen der Klammern
x
x
x
+
= 60,
x+ +
7 11 77
also nach Multiplikation mit 77
77x + 11x + 7x + x = 4620,
50
3. Babylonische Algebra: Lineare Probleme
was auf 96x = 4620 und damit auf x = 48 18 . Der Stein wog daher 48 18 gin, was
mit der angegebenen Lösung von 32 Mine 8 gin 22 12 še übereinstimmt (wir erinnern
daran dass 1 Mine 60 gin und 1 gin gleich 180 še sind).
Mit etwas weniger Rechnung kommt man aus, wenn man den Term x + x7 x + x7
ausklammert: dann folgt
also
12
11
1+
x
1 x+
= 60,
11
7
· 87 x = 60. Multiplikation mit den Reziproken liefert
x=
11 7
1
· · 60 = 48
12 8
8
wie oben. Die Substitution z = x + x7 hätte im wesentlichen dieselbe Rechnung
geliefert.
Die weiteren Probleme sind die folgenden:
8. Ich fand einen Stein. Ich habe ihn nicht gewogen. Ich subtrahierte ein Siebtel
und dann nocheinmal ein Dreizehntel und wog ihn: 1 Mine. Wiewiel wog der
Stein?
Antwort: 1 Mine 15
5
6
gin.
9. Ich fand einen Stein. Ich habe ihn nicht gewogen. Ich subtrahierte ein Siebtel,
addierte ein Elftel und subtrahierte dann nocheinmal ein Dreizehntel: 1 Mine.
Wiewiel wog der Stein?
Antwort: 1 Mine 9 12 gin 2 12 še,
Die dazugehörigen Gleichungen sind also
x
1
x
−
x−
= 60;
7 13
7
x
1
x
1
x
1
x
x− +
x−
−
x− +
x−
= 60.
7 11
7
13
7 11
7
x−
(3.2)
(3.3)
Vielleicht haben die Babylonier solche Schachtelgleichungen mit “Substitution”
gelöst: setzt man in der letzten Gleichung die letzte Klammer, also das Gewicht
des Steins, bevor man ein Dreizehntel wegnimmt, gleich z, so lautet das Problem
z
13
z − 13
= 60, oder 12
13 · z = 60. Dies ergibt z = 12 · 60 = 65, d.h. der Stein wog vor
der Subtraktion des Dreizehntels 65 gin. Setzt man jetzt das Gewicht des Steins
w
vor der Addition des Elftels gleich w, so ist w + 11
= 65, also w = 11
12 · 65. Damit
x
11·65
7·11·65
37
1
ist x − 7 = 12 und endlich x = 6·12 = 69 72 , was wegen 69 37
=
60 + 9 12 + 72
72
1
5
1
1
1
und 72 = 2 · 180 gleich 1 Mine, 9 2 gin und 2 2 še sind.
Dabei soll der Gebrauch des Wortes “Substitution” nicht bedeuten, die Babylonier hätten eine Bezeichnung für Unbekannte oder eine algebraische Notation
besessen. Im Falle der Gleichung (3.2) beispielsweise hätten sie zur Lösung so vorgehen können: hat man vom Stein ein Siebtel weggenommen, und subtrahiert man
dann ein Dreizehntel, dann hat man noch 12
13 vom Stein, von welchem man ein
3.2 Die Methode des falschen Ansatzes
51
13
Siebtel subtrahiert hat. Dieser wiegt dann 12
von 60, also 65 gin. Da dies nur 67
7
vom ursprünglichen Stein sind, muss dieser 6 · 65 = 455
6 gin gewogen haben.
Eine andere Möglichkeit, solche Schachtelgleichungen zu lösen, ist die Methode
des falschen Ansatzes, der im Mittelalter bei derartigen Aufgaben oft angewandt
wurde, und den wir als nächstes vorstellen werden.
3.2 Die Methode des falschen Ansatzes
Die Methode des falschen Ansatzes ist schnell erklärt. Nehmen wir an, wir haben
eine Gleichung wie
x x
+ = 60
3
5
zu lösen. Setzen wir x = 15 (um links einen ganzzahligen Ausdruck zu erhalten,
ergibt sich 8 statt 60. Wir müssen also unseren Ausgangswert mit 60
8 multiplizieren,
1
=
112
zu
erhalten.
um die richtige Lösung x = 15 · 60
8
2
Satz 3.1. Sei f (x) = ax eine lineare Funktion; um die Gleichung f (x) = b zu
lösen, setzt man x = x0 · f (xb 0 ) , d.h. man wählt den “falschen Ansatz x = x0 und
korrigiert den Ansatz mit dem Korrekturfaktor f (xb 0 ) .
Zum Beweis müssen wir nur nachrechnen, dass f (x) = b ist:
f (x) = ax = a · x0 ·
b
b
= a · x0 ·
= b.
f (x0 )
ax0
Die Gleichungen (3.2) und (3.3) sind von der angegebenen Gestalt, auch wenn
wir die Konstante a nicht direkt ablesen können: diese ergibt sich erst nach Ausmultiplizieren und Zusammenfassen. Wählen wir im Falle (3.2) x0 = 7 · 13, dann
erhalten wir
7 · 13
1
7 · 13 7 · 13 −
−
7 · 13 −
= 7 · 13 − 13 − 7 + 1 = 13(7 − 1) − (7 − 1)
7
13
7
= 13 · 6 − 6 = 12 · 6 = 72.
Also multiplizieren wir unsere erste Wahl mit dem Korrekturfaktor
= 455
erhalten x = 7·13·5
6
6 .
60
72
=
5
6
Aufgabe 3.1. Löse (3.1) und (3.3) mit der Methode des falschen Ansatzes.
3.3 Lineare Gleichungssysteme
Ein Problem auf SKT 6 ([41, S. 124]) liest sich wie folgt:
Der siebte Teil der Länge addiert zur Fläche ist 27.
0;30 ist die Breite. Berechne Länge und Fläche.
42 ist die Länge, 21 die Fläche.
und
52
3. Babylonische Algebra: Lineare Probleme
Bezeichnen wir die Länge mit L und die Breite mit B, so jaben wir also
1
L + LB = 27,
7
B=
1
.
2
Unglücklicherweise ist uns keine Lösung der Babylonier bekannt, sondern nur
die Antwort. Wir können das Problem leicht lösen; im wesentlichen haben wir
L
9
L
7 + 2 = 27, woraus wir sofort 14 · L = 27 und damit L = 42 und F = LB = 21
erhalten.
Wegen des Bruchs mit Nenner 7 sind die Babylonier sehr wahrscheinlich anders
vorgegangen. Mit dem falschen Ansatz L = 14 folgt L7 + L2 = 2 + 7 = 9 anstatt 27,
sodass wir unseren Ansatz mit 3 multiplizieren müssen. Auch bei dieser Variante
hätten sie nicht 14 durch 7 geteilt, sondern gefragt, womit man 7 malnehmen muss,
um 14 zu erhalten.
3.4 Arithmetische und Geometrische Reihen
Das Problem no. 5 auf der Keilschrifttafel SKT 362 (vgl. [15, S. 19], [43, S. 239],
[9, S. 123]) dreht sich um 10 Brüder, die 1;40 Minen, also 100 Schekel erben.
Der achte Bruder soll dabei 8 Schekel bekommen. Bei solchen Aufgaben wird es
oft als selbstverständlich angenommen, dass der älteste Sohn ebensoviel mehr als
der zweitälteste wie dieser mehr als der drittälteste usw. bekommt. Bezeichnet
man also die Anteile der Brüder mit b1 , . . . , b10 , so ist d = bk+1 − bk konstant,
b1 + . . . + b10 = 100, und b8 = 6. Wenn man möchte, kann man dieses Problem
als lineares Gleichungssystem mit 9 Unbekannten auffassen. Wegen b7 = 6 + d,
b6 = b + 2d, . . . , b1 = 6 + 7d und b9 = 6 − d, b10 = 6 − 2d erhalten wir
100 = (6 + 7d) + (6 + 6d) + . . . + 6 + (6 − d) + (6 − 2d)
= 60 + (7 + 6 + 5 + 4 + 3)d = 60 + 25d,
8
was auf d = 40
25 = 5 führt.
Der babylonische Text geht (natürlich) anders vor. Zuerst bestimmt der Schreiber das mittlere Erbe: wegen 100 : 10 = 10 erhält jeder Bruder im Durchschnitt
10 Schekel. Der dritte Bruder erhält so viel mehr als der Mittelwert wie der achte
Bruder weniger erhält: a3 − m = m − a8 . Also ist 2m − 2a8 = a3 − a8 , und die
letztere Differenz ist gleich dem 5-fachen der konstanten Differenz d. Der Schreiber rechnete daher 2 · 10 − 2 · 6 = 8 und teilte dies durch 5 (natürlich, indem er
8
8 mit 12, dem Reziproken von 5, multiplizierte. Das Ergebnis 96
60 = 5 ist dann
die gemeinsame Differenz, und daraus kann man leicht den Erbteil jedes Bruders
ausrechnen.
Auf der Tafel AO 6484 aus der Seleukidenzeit soll die Summe aller Quadratzahlen von 1 bis 10 bestimmt werden. Um diese Summe zu finden, geht der Schreiber
wie folgt vor:
3.5 Zins und Zinseszins
Multipliziere 1 mit 13 :
1
3
10
3
Ergebnisse: 31
Multipliziere 10 mit 23 :
Addiere die
+
10
3
=
11
3
Multipliziere die Summe mit 55: macht 385
1
3
2n
3
2n+1
3
2n+1
2
·
53
n(n+1)
2
In der rechten Spalte haben wir die moderne algebraische Interpretation für
die Berechnung der Summe der Quadratzahlen von 12 bis einschließlich n2 aufgeschrieben. Die ersten Schritte sind klar; die Zahl 55, die unvermittelt auftaucht,
ist die Summe der Zahlen
1 bis 10, die durch 10·11
= 55 gegeben ist. Für
2
Pn von
2
2
2
2
1 + 2 + . . . + n = k=1 k erhalten wir also
n
X
k=1
k2 =
n(n + 1)(2n + 1)
2n + 1 n(n + 1)
·
=
.
3
2
6
3.5 Zins und Zinseszins
Um 2400 v.Chr. ließ Enmetena, der Herrscher von Lagash, einen Tempel bauen, auf
dessen Grundstein in Form eines gebrannten Kegels aus Ton er Details über seine
siegreiche Schlacht gegen die Nachbarstadt Umma festhalten ließ. Daraus wird
klar, dass Enmetena Urlumma, dem Führer von Umma, Getreide geliehen hatte,
dieser aber, anstatt sie nach sieben Jahren mit Zins und Zinseszins zurückzuzahlen,
die Stadt Lagash angegriffen habe. Die Auseinandersetzung endete mit Urlummas
Tod, und dessen Nachfolger Il ist für die Schulden seines Vorgängers aufgekommen
(sh. Kazuo Muroi [40]).
Der Standardzins für Getreide im alten Sumer war ein Drittel pro Jahr. Nach
sieben Jahren wäre also wegen ( 34 )7 ≈ 7, 5 das 7,5-fache des geliehenen Getreides
fällig gewesen.
Es gibt eine ganze Reihe altbabylonischer Keilschrifttafeln, in denen es um Zinseszinsrechnungen geht, unter Anderem YBC 4669, VAT 8528 # 1, und AO 6770
# 2.
54
3. Babylonische Algebra: Lineare Probleme
4. Quadratwurzeln
Im nächsten Kapitel werden wir sehen, dass die Babylonier in der Lage waren,
“quadratische Gleichungen” zu lösen. Die Anführungszeichen sollen andeuten, dass
den Babyloniern das Konzept von Formeln und Gleichungen natürlich fremd war,
Anstatt x2 + x = 6 hätten sie etwa gesagt: “Ich habe Fläche und Seite eines
Quadrats addiert: 6. Was ist die Seite?”
Um solche Probleme lösen zu können, mussten die Babylonier in der Lage
sein, Quadratwurzeln zu berechnen. Wie sie das angestellt haben, werden wir in
diesem Kapitel erklären. Dabei werden wir mehr als an andern Stellen auf spätere
Techniken zur näherungsweisen Berechnung von Wurzeln eingehen.
4.1 Quadratwurzeln durch Faktorisieren
Teilbarkeitsregeln können auch beim Berechnen von Quadratwurzeln nutzbringend
angewandt werden, die größer sind als diejenigen, die man aus Tabellen ablesen
auszurechnen, liest man aus
kann. Um etwa die Quadratwurzel aus
der letzten Sexagesimalstelle 45 ab, dass diese Zahl durch 15 (und falls sie eine
Quadratzahl ist, sogar durch 225) teilbar ist. Teilen durch 15, also Multiplikation
mit 4, ergibt
, und nochmalige Multiplikation mit 4 liefert
= 81;
diese Zahl hat die Quadratwurzel 9. Die Ausgangszahl ist also das Quadrat von
9 · 15 = 135.
Auf der altbabylonischen Keilschrifttafel TMS 19b ([25, S. 194], [19, S. 402])
wird ein geometrisches Problem gelöst, und im Verlauf der Rechnung taucht die
Quadratwurzel der Sexagesimalzahl 3,50,35,23,27,24,26,40 auf; ohne Kommentar wird das Ergebnis 15,11,06,40 genannt. Eine Möglichkeit, diese Wurzel zu
berechnen, besteht in der Faktorisierungsmethode. Da die Zahl auf 40 endet,
muss sie durch 20 teilbar sein, und wenn sie eine Quadratzahl ist, sogar durch
202 : dies lässt sich durch betrachten der beiden letzten Ziffern bestätigen, denn
26, 40 = 26 · 60 + 40 = 1600. Division durch 202 entspricht einer Multiplikation
mit 32 = 9: Multiplikation der letzten Ziffer 40 mit 9 ergibt 360 = 6 · 60, was eine
nicht aufzuschreibende Null und einen Übertrag von 6 ergibt. Als nächstes folgt
aus 9 · 26 + 6 = 240 = 4 · 60 eine weitere “Null” und ein Übertrag von 4; dann
kommt 9 · 24 + 4 = 220 = 3 · 60 + 40, was eine Sexagesimalziffer 40 und einen
Übertrag 3 ergibt. Die vollständige Rechnung liefert
56
4. Quadratwurzeln
3, 50, 35, 23, 27, 24, 26, 40 = 202 · 34, 35, 18, 31, 06, 40.
Auch hier zeigen die beiden letzten Ziffern, dass die Zahl wegen 6 · 60 + 40 = 400
durch 202 teilbar sein muss, und eine weitere Rechnung wie oben ergibt
34, 35, 18, 31, 06, 40 = 202 · 5, 11, 17, 46, 40.
Wieder ist das Ergebnis durch 202 teilbar, und wir finden
5, 11, 17, 46, 40 = 202 · 46, 41, 40.
Dieses Mal ist das Ergebnis nicht mehr durch 202 , sondern nur noch durch 102
teilbar; Multiplikation mit 62 = 36 liefert dann
46, 41, 40 = 102 · 28, 01.
Diese Zahl ist klein genug, um die Quadratwurzel aus Tafeln abzulesen: 28,01
(dezimal 1681) ist das Quadrat von 41.
Jetzt müssen wir nur noch die Divisionen rückgängig machen: da wir die Ausgangszahl drei Mal durch 202 und einmal durch 102 dividiert haben, muss die
Quadratwurzel dieser Zahl gleich 20 · 20 · 20 · 10 · 41 sein, was das Endergebnis
3, 50, 35, 23, 27, 24, 26, 40
ist das Quadrat von
15, 11, 06, 40
ergibt.
Noch hübscher ist ein Beispiel, das auf der Tafel Ist S 428 zu finden ist. Neugebauer konnte in [43, S. 80] zwar bereits erkennen, dass es dabei um die Berechnung
einer Quadratwurzel geht, war aber angesichts der ziemlich schwer lesbaren Tafel
nicht in der Lage, der gesamten Rechnung einen Sinn zu geben. Dies ist erst Huber
[80] (vgl. auch Friberg [19, S. 400]) gelungen.
Danach wird auf Ist S 428 die Quadratwurzel der Zahl 2,02,02,02,05,05,04 zumindest teilweise durch Faktorisierung bestimmt. Die Rechnungen verlaufen dabei
wie folgt:
2, 02, 02, 02, 05, 05, 04 = 22 · 30, 30, 30, 31, 16, 16
30, 30, 30, 31, 16, 16 = 42 · 1, 54, 24, 24, 27, 16
1, 54, 24, 24, 27, 16 = 42 · 7, 09, 01, 31, 42, 15
4 · 7, 09, 01, 31, 42, 15 =
28, 36, 06, 06, 49
Hier erstaunt zuerst, dass die Sexagesimalzahl 1,54,24,24,27,16 nach der Teilung
durch 16 größer wird. Dies liegt daran, dass 1,54,24,24,27,16 nicht durch 16, sondern nur durch 4 teilbar ist, die Zahl rechts somit als 7,09,01,31,42;15 zu lesen
wäre. Diesen “Bruch” bekommt man durch Multiplikation mit 4 (also nicht wie
bei Friberg [19, S. 403] mit einer Division durch 15) wieder weg. Denkbar ist, dass
ein Schüler versehentlich geglaubt hatte, die Zahl 30,30,30,31,16,16 wäre durch
16 teilbar, und sein Versehen dann durch eine anschließende Multiplikation mit 4
wieder ausgebügelt hat.
4.2 Näherungsformel für
√
1+x
57
Die Quadratwurzel dieser Zahl ist jetzt ohne weitere Rechnung angegeben, obwohl sich das Ergebnis sicherlich nicht aus Tafeln ablesen lässt. Sehr wahrscheinlich
wurde die Quadratwurzel dieser Zahl näherungsweise mit dem “Heron-Verfahren”
bestimmt, das wir im Rest dieses Kapitels erklären werden. Nach der Bestimmung
von
28, 36, 06, 06, 49 ist das Quadrat von 5, 20, 53
müssen die Divisionen wieder rückgängig gemacht werden, und als Ergebnis der
Quadratwurzelberechnung erhält man jetzt
2, 02, 02, 02, 05, 05, 04
ist das Quadrat von2 · 4 · 4 · 30 · 5, 20, 53 = 1, 25, 34, 08.
Noch interessanter als die Frage, wie die Babylonier diese Quadratwurzel berechnet haben, ist wohl die Frage, wie der Autor dieses Problems auf diese Aufgabe
gekommen ist. Offenbar hat er die Quadratwurzel aus der Zahl 2,02,02,02,02,02,02
näherungsweise berechnet, dann das Ergebnis 1,25,34,08 quadriert und die Quadratzahl 2,02,02,02,05,05,04 erhalten, also die kleinste Quadratzahl größer als
2,02,02,02,02,02,02.
Kubikwurzeln
Auch Kubikwurzeln von Kubikzahlen, die außerhalb der angelegten Tafeln lagen,
wurden in der Regel mit Hilfe von Teilbarkeitsregeln bestimmt (vgl. [58, S. 35]).
Um etwa die Kubikwurzel aus
= 3,22,30,00 = 729 000
zu bestimmen (diese Aufgabe wird auf YBC 6295 behandelt), beachte man, dass
eine Kubikzahl, die ein Vielfaches der 60 ist, notwendig durch die dritte Potenz
von 2 · 3 · 5 = 30 teilbar sein muss. Division durch 30 entspricht einer Verdopplung,
Division durch 303 also einer Multiplikation mit 8, was die Zahl
ergibt, also
27 und damit die Kubikzahl von 3. Die dritte Wurzel aus der ursprünglichen Zahl
muss also 30 · 3 = 90 gewesen sein.
4.2 Näherungsformel für
√
1+x
Die folgende Näherung für Zahlen, die nahe
√ bei 1 liegen, hat den Vorteil, dass sie
sich sehr leicht herleiten lässt: setzen wir 1 + x = 1 + h, und nehmen wir an, dass
x und damit h kleine Zahlen sein sollen, dann liefert Quadrieren 1+x = 1+2h+h2 .
Wenn h klein ist, ist h2 noch viel kleiner: bei h = 0, 1 ist ja schon h2 = 0, 01. Wenn
wir also h2 aus der letzten Gleichung einfach weglassen, machen wir nur einen
kleinen Fehler (der umso kleiner ist, je kleiner x ist). Dann haben wir 1+x ≈ 1+2h,
was auf h = x2 und damit auf
√
1+x≈1+
x
2
(4.1)
58
4. Quadratwurzeln
Abb. 4.1. YBC 6295: Berechnung einer Kubikwurzel
führt. Diese Gleichung gilt natürlich auch, wenn x negativ (und betragsmäßig
klein) ist.
Binomische Formeln haben eine klassische geometrische Interpretation. Beispielsweise beruht die Formel (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 in geometrischer Hinsicht
auf der Berechnung des Flächeninhaltes eines Quadrats mit der Seitenlänge a + b
auf zwei verschiedene Arten.
Zum einen ist der Flächeninhalt des
großen Quadrats gleich (a + b)2 , zum
andern besteht das Quadrat aus zwei
Teilquadraten mit Flächeninhalt a2 und
b2 , sowie zwei Rechtecken, deren Fläche
jeweils gleich ab ist. Also muss
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
sein (vgl. [33, Kap. 3]).
Dieselbe geometrische Idee lässt sich auf die√Verwendung der binomischen Formel bei der Herleitung der Näherungsformel 1 + x ≈ 1 + x2 verwenden. Dies
macht die Sache nicht unbedingt klarer, erleichtert aber das Verständnis für das
Vorgehen der Babylonier,
das wir weiter unten vorstellen werden.
√
Die Größe 1 + x beschreibt die Kantenlänge eines Quadrats mit Flächeninhalt 1 + x, wobei wir wieder annehmen wollen, dass x klein ist. Zum Flächeninhalt
4.2 Näherungsformel für
√
1+x
59
eines Quadrats mit Kantenlänge 1 müssen wir also noch eine Fläche von x dazulegen.
Dies machen wir, indem wir rechts und
oben an das Quadrat zwei kleine Rechtecke
mit den Seitenlängen x2 anlegen. Die sich
hier ergebende Figur ist kein Quadrat, weil
rechts oben noch ein kleines Quadrat mit
Flächeninhalt x2 /4 fehlt. Für sehr kleine x
ist diese Fläche allerdings sehr klein, sodass
wir nur einen kleinen Fehler machen, wenn
wir das kleine Quadrat mit Flächeninhalt
x2 /4 einfach dazu addieren und dann ein
Quadrat mit Kantenlänge 1 + x2 und einer
Fläche von etwas mehr als 1 + x erhalten.
Erklärung der Näherung mit modernen Hilfsmitteln
√
Das Schaubild der Funktion y = x ist eine liegende Parabel, oder genauer deren
√
(obere) Hälfte. Dies kann man dadurch einsehen, dass man die Gleichung y = x
quadriert: dann ist y 2 = x, und diese Beziehung beschreibt die Normalparabel
nach Vertauschen von x- und y-Achse.
√
Das Schaubild von f (x) =
1+x
erhält man, wenn man diese liegende
Parabel um 1 nach links verschiebt.
Man erhält Näherungswerte für f in
der Nähe von x = 0, indem man die
Funktion durch ihre Tangente approximiert. Die Bestimmung der Tangen1
te ist Standard: es ist f 0 (x) = 2√1+x
und damit f 0 (0) = 12 ; da die Tangente durch (0|1) geht, ist ihre Gleichung
daher y = 12 x + 1.
√
Satz 4.1. Die Tangente an die Funktion f (x) = 1 + x in x = 0 ist gegeben
durch y = 1 + x2 .
√
√
Beispiel.
Für 1, 2 erhält man mit x = 0, 2 sofort 1, 2 ≈ 1, 1; der richtige Wert
√
ist 1, 2 ≈ 1, 095445 . . ..
√
Beispiel. Um eine Näherung für 17, kann man (4.1) nicht direkt anwenden,
sondern muss erst etwas umformen:
r
r
r
√
17
17
1
17 = 16 ·
=4
=4 1+ .
16
16
16
60
4. Quadratwurzeln
Ziel dieser Aktion war es, die 17 unter der Wurzel in eine √
Zahl nahe bei 1 zu
verwandeln, was wir dadurch erreicht haben, dass wir die 16 ausgeklammert
haben.
Jetzt können wir (4.1) darauf loslassen und finden
r
√
1
1
1
17 = 4 1 +
= 4 + = 4, 125.
≈4 1+
16
32
8
√
Wegen 17 ≈ 4, 123 . . . ist das eine sehr gute Näherung; für Zahlen, die von einer
Quadratzahl weiter entfernt sind, sind die Näherungen nicht so gut.
Beispiel. Wenn eine Zahl
√ nicht in der Nähe einer Quadratzahl liegt, kann man
vorgehen wie folgt: um 20 zu approximieren, nutzt man aus, dass 4 · 20 = 80 in
der Nähe einer Quadratzahl liegt:
r
r
√
1√
1
3
1
80
20 =
80 = · 3 ·
=
1− ,
2
2
81
2
81
und jetzt fährt man fort wie oben.
Beispiel. Mit dem eben angewandten Trick lässt
√ sich auch eine gegebene Näherung verbessern. Wir haben oben gesehen, dass 1, 2 ≈ 1, 1 ist. Wegen 1, 12 = 1, 21
gilt nun weiter
r
r
p
1 1, 2
1
1
= 1, 1 · 1 −
= 1, 1 · 1 −
1, 2 = 1, 21 ·
= 1, 1 −
1, 21
121
242
220
= 1, 095454 . . . ,
während der genau Wert
p
1, 2 = 1, 095445 . . .
ist.
4.3 Das Heron-Verfahren
Zum Ziehen der Quadratwurzel aus kleineren Quadratzahlen hatten die Babylonier Tafeln (oder sie wussten sie auswendig). Daneben gab es Techniken zum
Bestimmen der Quadratwurzeln aus großen Quadratzahlen, ebenso wie eine Methode, Näherungen von Quadratwurzeln aus Nichtquadratzahlen zu berechnen.
Bevor wir diese Methode vorstellen, wollen wir uns ansehen, wie man Näherungen
von Quadratwurzeln heute findet.
Die babylonische Methode des Berechnens von Quadratwurzeln ist nach dem
griechischen Mathematiker Heron von Alexandria benannt, weil dessen Schriften
lange bekannt waren, bevor man die babylonische Keilschrift entziffern konnte. Wir
tun uns leichter, wenn wir die Sprache der
√ modernen Algebra benützen können.
√
Angenommen, wir haben eine Näherung N ≈ a; wir machen den Ansatz N =
a+h und versuchen etwas
liefert N = a2 +2ah+
√ über h herauszufinden. Quadrieren
√
2
h . Nun ist aber h = N − a “klein” gegenüber N , weil doch a eine Näherung
4.3 Das Heron-Verfahren
61
√
für N sein sollte. Verglichen mit a2 ≈ N und 2ah ist also h2 klein. Wenn wir
diesen Term vernachlässigen, folgt N ≈ a2 + 2ah; löst man diese “Gleichung” nach
h auf, erhält man
N − a2
,
h≈
2a
also
√
N − a2
N ≈a+h=a+
.
(4.2)
2a
Diese “babylonische Formel” ist also eine einfache Folgerung aus der binomischen
Formel, und mit ihrer Hilfe kann man aus einer Näherung a eine bessere Näherung
a1 = a + h berechnen.
√
Beispiel. Um eine Näherung für 2 zu finden, beginnen wir mit dem (schlechten)
Näherungswert a = 1 und finden mit der Formel (4.2) und N = 2 im ersten Schritt
√
2≈1+
2−1
3
= .
2
2
√
Diese Näherung 2 ≈ 1, 5 können wir schrittweise verbessern, indem wir die alte
Näherung a = 1 durch die neue ersetzen; damit finden wir
√
2≈
3 2 − 94
3
1
17
= −
+
=
,
2
2 12
12
2 · 32
und dann
√
2
17 2 − 17
577
122
2≈
+
17 = 408 .
12
2 · 12
Diese Näherung ist schon sehr gut; wir haben
3
= 1, 5
2
17
= 1, 41666 . . . ,
12
577
= 1.414215686 . . . ,
408
während
√
2 ≈ 1.414213562 . . .
ist. Die nächste Näherung 665857
470832 ist schon auf mehr als zehn Nachkommastellen
genau.
√
Wir bemerken ebenfalls, dass mit einer Näherung a √
von 2 auch die Zahl 2/a
eine Näherung ist; liegt die eine Approximation über 2, dann liegt die andere
darunter und umgekehrt. Aus der Näherung a = 57 = 1, 4 erhalten wir so die
Näherung a2 = 10
7 ≈ 1, 4286.
62
4. Quadratwurzeln
Übrigens erhält man denselben Wert, wenn man statt (4.1) die Formel (4.2)
mit a = 4 verwendet: dann ist ja
√
17 ≈ 4 +
17 − 42
1
=4+
2·4
8
wie oben, nur dass man hier durch Wiederholung mit der neuen Approximation
a = 4 18 = 33
8 eine noch bessere Näherung erhalten kann.
4.4 Die babylonische Methode
Das Ziehen von Quadratwurzeln aus kleinen Zahlen erfolgte mit Hilfe von Quadrattabellen, also Tabellen, welche kleine Zahlen und deren Quadrate angaben.
Ähnliche Tafeln gibt es auch für Kubikzahlen und sogar für Zahlen der Form
n3 + n2 , nämlich MS 3048, BM 85200 und VAT 6599.
Auf der Tafel IM 52301 (vgl. Bruins [5] und Vogel [58, S. 34–35]) findet sich
eine Anleitung zum Ziehen der Quadratwurzel aus Zahlen, die sich nicht auf Quadrattafeln finden. Ist N eine solche Zahl, so hat man eine Quadratzahl a2 kleiner
als N zu suchen; den Rest N − a2 = r muss man in vier Teile zerlegen und jeden
dieser Teile “in die vier Windrichtungen” antragen.
Für N = 20 ist a2 = 16 und r = N − a2 = 4. Teilt man diese Fläche in vier
gleich große Teile, so hat man, damit man sie an die vier Seiten des Quadrats mit
Kantenlänge a = 4 anlegen kann, daraus vier Rechtecke mit den Kanten a = 4
und b = 41 zu machen.
Anstatt als wie wir das Ausgangsquadrat durch
das Anlegen zweier Rechtecke “fast” zu einem
Quadrat zu ergänzen, legen die Babylonier vier
halb so große Rechtecke an jede Seite des Ausgangsquadrat.
√
Ein besserer Näherungswert für N als a ist daher a + 2b = 4 + 2 · 0, 25 = 4, 5; das Quadrat von
4, 25 ist, wie man an der Skizze ablesen kann, um
die vier kleinen Quadrate, also um 4b2 , zu groß.
Im Vorliegenden Fall ist 4b2 = 14 , und in der Tat
ist 4, 52 = 20, 25 um 41 = 0, 25 zu groß.
Im allgemeinen Fall wähle man eine Näherung a <
r
und b = 4a
und erhält den neuen Näherungswert
a0 = a + 2b = a +
√
N , berechne r = N − a2
N − a2
.
2a
Bei Quadratwurzeln ist es übrigens ein großer Unterschied, ob die Sexsagesimalzahl als 1 oder als 60 gelesen wird, da 1 eine Quadratzahl ist, 60 dagegen
nicht. Ist in einer babylonischen Rechnung die Wurzel aus wieder , so steht
4.4 Die babylonische Methode
für die Zahl 1 (oder 602 = 3600 bzw.
1
602
=
1
3600
63
usw.). Liegt die Quadratwurzel
aus dagegen zwischen 7 und 8, so muss als 60 gelesen werden.
Um für diese Quadratwurzel eine Näherung mit Hilfe des babylonischen Verfahrens zu gewinnen, setzen wir N = 60 und a = 7; dann ist
a+
11
N − a2
=7+ .
2a
14
Division durch 14 ist nun für die Babylonier ein Problem; wir behelfen uns mit
√
12
48
der Näherung 11
60 die Zahl
,
14 ≈ 15 = 60 und erhalten als Näherung für
√
7, 8.
also 60 ≈ √
√
2
√ Um für 2 eine brauchbare Näherung√zu erhalten, betrachten
√ wir 2 · 60 =
7200 (im Dezimalsystem wäre die Wahl 200
natürlicher:
aus
200
≈
14
wegen
√
142 = 196 folgt dann sofort
die Näherung 2 ≈ 1, 4) und finden, dass 7200 =
√
144
144
842 + 144 ist; damit folgt 7200 ≈ 84 + 2·84
= 84 + 168
= 84 + 67 . Quadrieren
6 2
liefert (84 7 ) = 7200, 7, was erstaunlich genau ist. Als gute Babylonier sollten wir
die 67 allerdings durch einen regulären Bruch approximieren. Dazu beachten wir
6
7
· 60 =
360
7
≈ 51, was sexagesimal
geschrieben wird. Addieren wir dies zu 84
√
=
erhalten wir die Näherung
für 2.
Tatsächlich existieren verschiedene altbabylonische Tafeln mit Listen von Konstanten; auf einer von ihnen, nämlich YBC 7243 (sh. [45, Plate 49]), findet sich
in der zehnten Zeile die Länge einer Diagonale eines Quadrats mit Seitenlänge 1
angegeben als
was noch genauer ist als unsere obige Näherung.
Übungen
4.1 Bestimme die Quadratwurzel der folgenden Quadratzahlen:
(BM 13901) 0;0,17,21,40
4.2 Bestimme die Kubikwurzel der folgenden Kubikzahlen:
4.3 Benutze zwei Schritte der Formel (4.2), um gute Näherungswerte für die folgenden
Quadratwurzeln zu erhalten:
√
1. 37 ≈
√
2. 102 ≈
√
3. 3 ≈
4.4 Benutze die Formel (4.1), um eine Näherung der folgenden Quadratwurzeln zu
finden:
√
1. 1, 1 ≈
√
2. 0, 98 ≈
√
3. 37 ≈
Kontrolliere mit dem Taschenrechner.
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74. J. Friberg, A historically motivated study of families of Pythagorean or Babylonian triples and their generating semigroups of P- or B-orthonormal matrices,
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79. P. Huber, Zu einem mathematischen Keilschrifttext, Isis 46 (1955), 104–106
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matematiche 1 (1981), 103–132
110
Namensverzeichnis
Namensverzeichnis
Aaboe, A., 71
Anagnostakis, C., 77
Assurbanipal, 9
Atrahasis, 14
Berossos, 14
Botta, É., 9
Britton, J., 32
Bruins, E.M., ix, 18, 60, 77
Burnouf, E., 7, 8
Caveing, M., x
Champollion, J.-F., 6, 9
Damerow, P., 71
Dareios I., 1, 8
Eratosthenes, 29
Finkel, I., 13, 15
Frank, C., ix
Friberg, J., viii, x, 32
Gilgamesch, 14
Gilllings, R.J., 77
Goldstein, B.R., 77
Grotefend, 7
Grotefend, G., 8
Høyrup, J., ix
Hammurabi, 1, 2
Herodot, vii
Heron, 57
Hincks, E., 9, 17
Hoppe, N., viii
Huber, P., 56, 77
Ifrah, G., 20
Ischtar, 4
Jestin, R., 37
Kline, M., vii
Koldewey, R., 5
Kyros II., 1
Lassen, Ch., 8, 9
Lehmann, J., ix, 18
Lenormant, F., 21
Loftus, W., viii, 21
Marzahn, J., 13
Melville, D., x
Münter, F., 7, 8
Muroi, K., 53
Nebukadnezar II, 4
Neugebauer, O., viii, ix, 17, 56, 64,
68, 76
Niebuhr, 8
Niebuhr, C., 7, 8
Norris, E., 7
Oppert, J., 9, 21
Ossendrijver, 33
Phillips, T., x
Plimpton, G., 75
Proust, Ch., 13, 17
Rask, R., 7
Rawlinson, H., 9, 21
Reimer, D., ix
Robson, E., x, 17
Rudman, P., ix, 18
Rutten, M., 18
Sachs, A., 18, 39
Sargon I, 2, 15
Schamasch, 2
Schøyen, M., x
Solla Price, D.J. de, 77
Thureau-Dangin, F., ix, 17, 18, 64
Tychsen, O., 7, 8
Utnapishti, 14
Vogel, K., ix, 18, 60
Namensverzeichnis
Weidner, E., ix, 17, 67
Westergaard, N., 7
Yuste, ix
Ziusudra, 14
111
112
Sachverzeichnis
Sachverzeichnis
Akkader, 22
Aramäer, 22
Uruk, 2
Zahl
Babylon, 1
Behistun, 9
Bisutun, 9
British Museum, 6
Chaldäer, 22
Etrusker, 20
Gilgamesch-Epos, ix
Heron-Verfahren, 57
Horner-Schema, 27
Ischtar-Tor, 1
Larsa, 21
Louvre, 2
Nioppur, 17
Papyrus Rhind, viii
Persepolis, 6
Phönikier, 20
pythaogreische Tripel, 76
Quadratwurzeln, 55
Satz
Pythagoras, ix
Seleukiden, 1
Semiten, 22
Senkereh, viii, 21
Sexagesimalsystem, 19
Sintflut, ix, 11, 14
Stein von Rosetta, 6
Sumerer, 2, 22
Susa, 2
Teilbarkeitsregeln, 55
Ur, 15
regulär, 36
Tafelverzeichnis
Tafelverzeichnis
A 29985, 14
A 7897, 27
AO 17264, 93
AO 6486, 52
AO 6770, 53
BM
BM
BM
BM
BM
BM
BM
BM
BM
13091,
15285,
32401,
34249,
34517,
34601,
85196,
85200,
96957,
64
70, 99
34
33
34
31, 33
68, 69
60
67
DB2 -146, 68
HS 0217, 24
IM 52301, 60
IM 55357, 73
IM 58045, 87
Ist S 428, 56
MS
MS
MS
MS
2242,
2351,
3048,
3874,
47
30
60
38
Ni 5376, 14
Plimpton 322, 75, 86
SKT 362, 52
SKT 6, 51
TMS 23, 94
TMS I, 79, 98
VAT
VAT
VAT
VAT
6505,
6598,
6599,
7531,
39
67, 69
60
96
VAT
VAT
VAT
VAT
7848,
7858,
8512,
8528,
97
26
94
53
YBC
YBC
YBC
YBC
YBC
YBC
YBC
YBC
YBC
YBC
YBC
YBC
10529, 37
11127, 42
4652, 49
4669, 53
4675, 86
4704, 41
6295, 57
6967, 63
7243, 61
7289, 72, 99
7302, 83
7354, 47
113