Rationales vs. Irrationales und Anwendungen

Rationales vs. Irrationales und Anwendungen
J ÖRN S TEUDING (U NI W ÜRZBURG )
A LZENAU, 18. M ÄRZ 2014
– p. 1
Rationales
Eine Zahl x heißt rational, wenn es ganze Zahlen a, b mit x =
(wie z.B. 13, 12 , − 10
15 usw.).
a
b
gibt
Rationales vs. Irrationales und Anwendungen – p. 2
Der Calkin-Wilf-Baum
entsteht vermöge der Iteration
a
b
a+b
,
b
a
,
a+b
7→
aus der Wurzel 11 . Die ersten Iterationen liefern
1
3
1
4
uu
u
u
uu
777
4
3
1
2
jj
j
j
j
jj
j
j
j
jjjj
II
II
II
3
2
3
5
1
1
TTTT
TTTT
TTTT
TT
2
3
777
5
2
2
5
uu
u
u
uu
777
5
3
2
1
II
II
II
3
4
3
1
777
4
1
Jede positive rationale Zahl tritt in dem Baum
auf, und zwar als gekürzter Bruch.
Calkin & Wilf (2000):
Rationales vs. Irrationales und Anwendungen – p. 3
Wie macht man einen guten Kalender?
Ein tropisches Jahr dauert exakt
365 Tage 5 Stunden 48 Minuten und 45.8 Sekunden
419
Tage.
≈
365 +
1730
Unglücklicherweise keine ganze Zahl!
Rationales vs. Irrationales und Anwendungen – p. 4
Wie macht man einen guten Kalender?
Ein tropisches Jahr dauert exakt
365 Tage 5 Stunden 48 Minuten und 45.8 Sekunden
419
Tage.
≈
365 +
1730
Unglücklicherweise keine ganze Zahl!
Mit dem euklidischen Algorithmus finden wir
1730
=
4 · 419 + 54,
419
=
7 · 54 + 41,
54
=
1 · 41 + 13,
...
Rationales vs. Irrationales und Anwendungen – p. 4
Eine erste Näherung
und erhalten
365 +
419
= 365 +
1730
1730
419
−1
≈ 365 +
1
.
4
Dies ist der Julianische Kalender (nach Julius Caesar, 45 v.u.Z.; mit
Hilfe des griechischen Astronomen Sosigenes von Alexandria): alle
vier Jahre ein Schaltjahr!
Rationales vs. Irrationales und Anwendungen – p. 5
Ein Kettenbruch
Für das tropische Jahr finden wir darüber hinaus
419
365 +
= 365 +
1730
1
.
1
4+
1
7+
1
1+
3+
1
1
6+
2
Ohne den letzten Bruch ergibt sich die bessere rationale Näherung
419
194
≈ 365 +
,
365 +
801
1730
welche den Gregorianischen Kalender (nach Papst Gregor XIII,
1582; mit Hilfe von Aloysius Lilius und Pietro Pitati): in 800 Jahren
fallen 6 (= 200 − 194) Schaltjahre aus.
Rationales vs. Irrationales und Anwendungen – p. 6
Irrationales
Eine Zahl heißt irrational, wenn sie nicht rational ist (wie z.B.
√
P
2 , π, n≥1 n−3 usw.).
Rationales vs. Irrationales und Anwendungen – p. 7
Georg Cantor (1845-1918)
Es gibt viel mehr irrationale Zahlen als rationale.
Georg Cantor (1873):
Die reellen Zahlen lassen sich nicht auflisten.
Insbesondere lassen sich die irrationalen Zahlen im Gegensatz zu
den rationalen Zahlen nicht auflisten!
Rationales vs. Irrationales und Anwendungen – p. 8
Das Din A-Format
Welches Längen–Seiten–Verhältnis steckt hinter dem Din A-Format?
Rationales vs. Irrationales und Anwendungen – p. 9
Das Din A-Format
Welches Längen–Seiten–Verhältnis steckt hinter dem Din A-Format?
Die Stapeleigenschaft zeigt, dass dieses Längen–Seiten–Verhältnis
gleich
√
2=1+
1
2+
− −ein unendlicher Kettenbruch!
1
2+
1
2+ 1
..
.
√
Aber 2 ist irrational; wie realisiert man das in der Praxis?
Rationales vs. Irrationales und Anwendungen – p. 9
Das Din A-Format
Welches Längen–Seiten–Verhältnis steckt hinter dem Din A-Format?
Die Stapeleigenschaft zeigt, dass dieses Längen–Seiten–Verhältnis
gleich
√
2=1+
1
2+
− −ein unendlicher Kettenbruch!
1
2+
1
2+ 1
..
.
√
Aber 2 ist irrational; wie realisiert man das in der Praxis?
cm
99
Mit der Näherung 29,7
=
, dem fünften Näherungsbruch an den
21 cm
70√
√
unendlichen Kettenbruch zu 2; Fehler: | 2 − 99
70 | < 0.00007 . . ..
Rationales vs. Irrationales und Anwendungen – p. 9
Ein Ausblick (Hochschulmathe)
Rationales vs. Irrationales und Anwendungen – p. 10
Eine Frage von König & Szücs aus dem Jahr 1913
Tübinger Studenten beim Billardspiel, frühes 19. Jahrhundert, Städtische Sammlungen
Tübingen (Quelle: R.A. Müller, Geschichte der Universität, 1990
Rationales vs. Irrationales und Anwendungen – p. 11
Billard auf quadratischen Tischen
Wann ist die Bahn einer Billardkugel auf einem quadratischen
(rechtwinkligen) Billardtisch periodisch?
Rationales vs. Irrationales und Anwendungen – p. 12
Billard auf quadratischen Tischen
Wann ist die Bahn einer Billardkugel auf einem quadratischen
(rechtwinkligen) Billardtisch periodisch?
Die Kugel bewege sich reibungsfrei auf geradlinigen Bahnen,
wird reflektiert mit Einfallswinkel=Ausfallswinkel
und treffe niemals eine Ecke!
Rationales vs. Irrationales und Anwendungen – p. 12
Billard auf quadratischen Tischen
Wann ist die Bahn einer Billardkugel auf einem quadratischen
(rechtwinkligen) Billardtisch periodisch?
Die Kugel bewege sich reibungsfrei auf geradlinigen Bahnen,
wird reflektiert mit Einfallswinkel=Ausfallswinkel
und treffe niemals eine Ecke!
Ist der Tangens des Einfallswinkels rational, so ist die Bahn
der Kugel auf dem Billardtisch periodisch.
Satz:
Die Kugelbahn sei anfänglich in der xy-Ebene beschrieben durch
y = y0 + αx.
Die Steigung dieser Geraden ist der Tangens des Einfallswinkels
oder dessen Kehrwert.
Rationales vs. Irrationales und Anwendungen – p. 12
Periodische Bahnen
Wir legen ein Gitter in die xy-Ebene durch die Geraden
x = k,
y=j
für k, j ∈ 21 {. . . , −2, , −1, 0, 1, 2, . . .}
und denken uns den Billardtisch als die Masche mit den
Eckpunkten (0, 0), ( 21 , 0), ( 12 , 12 ), (0, 21 ).
Rationales vs. Irrationales und Anwendungen – p. 13
Periodische Bahnen
Wir legen ein Gitter in die xy-Ebene durch die Geraden
x = k,
y=j
für k, j ∈ 21 {. . . , −2, , −1, 0, 1, 2, . . .}
und denken uns den Billardtisch als die Masche mit den
Eckpunkten (0, 0), ( 21 , 0), ( 12 , 12 ), (0, 21 ).
Statt die Kugelbahn an der Bande zu reflektieren, spiegeln wir den
Billardtisch an der berandenden Geraden...
Rationales vs. Irrationales und Anwendungen – p. 13
Periodische Bahnen
treten genau dann auf, wenn es eine ganzzahlige Translation
(x, y) 7→ (x + q, y + p) gibt;
Rationales vs. Irrationales und Anwendungen – p. 14
Periodische Bahnen
treten genau dann auf, wenn es eine ganzzahlige Translation
(x, y) 7→ (x + q, y + p) gibt;
in diesem Fall ist α = pq .
Also ist die Kugelbahn genau dann periodisch, wenn α rational ist.
Rationales vs. Irrationales und Anwendungen – p. 14
Nicht-periodische Bahnen
Was lässt sich über die Bahn sagen, wenn sie nicht periodisch ist?
wenn also α irrational ist?
Rationales vs. Irrationales und Anwendungen – p. 15
Nicht-periodische Bahnen
Was lässt sich über die Bahn sagen, wenn sie nicht periodisch ist?
wenn also α irrational ist?
Ist der Tangens des Einfallswinkels irrational, so kommt die
Bahn der Kugel jedem Punkt des Billardtisches beliebig nahe.
Satz:
Rationales vs. Irrationales und Anwendungen – p. 15
Nicht-periodische Bahnen
Was lässt sich über die Bahn sagen, wenn sie nicht periodisch ist?
wenn also α irrational ist?
Ist der Tangens des Einfallswinkels irrational, so kommt die
Bahn der Kugel jedem Punkt des Billardtisches beliebig nahe.
Satz:
Der Beweis basiert auf folgendem Resultat aus der diophantischen
Approximationstheorie:
Rationales vs. Irrationales und Anwendungen – p. 15
Nicht-periodische Bahnen
Was lässt sich über die Bahn sagen, wenn sie nicht periodisch ist?
wenn also α irrational ist?
Ist der Tangens des Einfallswinkels irrational, so kommt die
Bahn der Kugel jedem Punkt des Billardtisches beliebig nahe.
Satz:
Der Beweis basiert auf folgendem Resultat aus der diophantischen
Approximationstheorie:
Sei α irrational. Zu jedem x mit 0 < x < 1 und
jedem ǫ > 0 gibt es eine natürliche Zahl n, so dass
Satz von Bohl (1909):
|nα − ⌊nα⌋ − x| < ǫ,
d.h. die gebrochenen Anteile von nα kommen jedem Punkt
x ∈ [0, 1) beliebig nahe; die Aussage ist falsch für rationale α.
Rationales vs. Irrationales und Anwendungen – p. 15
Fragen...
Wie oft besucht eine Kugel ein gegebenes Gebiet auf dem
Billardtisch?
Rationales vs. Irrationales und Anwendungen – p. 16
Fragen...
Wie oft besucht eine Kugel ein gegebenes Gebiet auf dem
Billardtisch?
Im nicht-periodischen Fall vermutlich
proportional zur Größe des Gebietes...
Rationales vs. Irrationales und Anwendungen – p. 16
Fragen...
Wie oft besucht eine Kugel ein gegebenes Gebiet auf dem
Billardtisch?
Im nicht-periodischen Fall vermutlich
proportional zur Größe des Gebietes...
... dies lässt sich mit der Theorie der Gleichverteilung zeigen;
Rationales vs. Irrationales und Anwendungen – p. 16
Fragen...
Wie oft besucht eine Kugel ein gegebenes Gebiet auf dem
Billardtisch?
Im nicht-periodischen Fall vermutlich
proportional zur Größe des Gebietes...
... dies lässt sich mit der Theorie der Gleichverteilung zeigen;
Gleichverteilung ist eine einfache Form von Ergodizität...
Rationales vs. Irrationales und Anwendungen – p. 16
Ergodizität
findet man bei der Abbildung n 7→ nα − ⌊nα⌋ bei irrationalem α;
Rationales vs. Irrationales und Anwendungen – p. 17
Ergodizität
findet man bei der Abbildung n 7→ nα − ⌊nα⌋ bei irrationalem α;
ergodische Abbildungen besitzen ein chaotisches (unstetes,
schwer vorhersagbares) Verhalten.
Rationales vs. Irrationales und Anwendungen – p. 17
Ergodizität
findet man bei der Abbildung n 7→ nα − ⌊nα⌋ bei irrationalem α;
ergodische Abbildungen besitzen ein chaotisches (unstetes,
schwer vorhersagbares) Verhalten.
Die Physiker Boltzmann (1871) und Maxwell (1879) stellten
Fragen/Vermutungen zu den Trajektorien von physikalischen
Teilchen in geschlossenen Systemen auf (z.B. die Hauptsätze zur
Thermodynamik);
Rationales vs. Irrationales und Anwendungen – p. 17
Ergodizität
findet man bei der Abbildung n 7→ nα − ⌊nα⌋ bei irrationalem α;
ergodische Abbildungen besitzen ein chaotisches (unstetes,
schwer vorhersagbares) Verhalten.
Die Physiker Boltzmann (1871) und Maxwell (1879) stellten
Fragen/Vermutungen zu den Trajektorien von physikalischen
Teilchen in geschlossenen Systemen auf (z.B. die Hauptsätze zur
Thermodynamik); die Mathematiker Poincaré (1890), Weyl (1914),
Neumann, Birkhoff (1931) und Khintchine (1933) behandeln diese
Probleme erfolgreich mit Methoden der Wahrscheinlichkeitstheorie
und Analysis ...
Rationales vs. Irrationales und Anwendungen – p. 17
Ergodizität
findet man bei der Abbildung n 7→ nα − ⌊nα⌋ bei irrationalem α;
ergodische Abbildungen besitzen ein chaotisches (unstetes,
schwer vorhersagbares) Verhalten.
Die Physiker Boltzmann (1871) und Maxwell (1879) stellten
Fragen/Vermutungen zu den Trajektorien von physikalischen
Teilchen in geschlossenen Systemen auf (z.B. die Hauptsätze zur
Thermodynamik); die Mathematiker Poincaré (1890), Weyl (1914),
Neumann, Birkhoff (1931) und Khintchine (1933) behandeln diese
Probleme erfolgreich mit Methoden der Wahrscheinlichkeitstheorie
und Analysis ...
Es gibt eine Vielzahl von zahlentheoretischen Anwendungen!
Rationales vs. Irrationales und Anwendungen – p. 17
Arnold’s Cat Map
”Arnold’s cat map” ist die Abbildung
x
y
7→
2 1
1 1
x
y
mod 1.
Rationales vs. Irrationales und Anwendungen – p. 18
Eine Knobelaufgabe: Kreisbillard
Wie verhält sich eine Billardkugel im Inneren einer Kreislinie?
Rationales vs. Irrationales und Anwendungen – p. 19
Eine Knobelaufgabe: Kreisbillard
Wie verhält sich eine Billardkugel im Inneren einer Kreislinie?
Ein periodisches Beispiel mit Einfallswinkel
π
5
= 36◦
Rationales vs. Irrationales und Anwendungen – p. 19
Billard in Parabeln
Parabolantennen nutzen die Geometrie von Parabeln.
Rationales vs. Irrationales und Anwendungen – p. 20
Billard in Parabeln
Parabolantennen nutzen die Geometrie von Parabeln.
Jeder Strahl wird so reflektiert, dass er durch den Brennpunkt geht!
(Die Bilder sind dem wikipedia-Artikel zu Parabolantennen entnommen.)
Rationales vs. Irrationales und Anwendungen – p. 20
Irgendein Raum mit spiegelnden Wänden...
... kann man diesen stets vollends beleuchten? fragte Straus 195?.
Rationales vs. Irrationales und Anwendungen – p. 21
Irgendein Raum mit spiegelnden Wänden...
... kann man diesen stets vollends beleuchten? fragte Straus 195?.
Roger Penrose gab 1958 das erste Beispiel eines nicht komplett
beleuchtbaren Raumes.
Rationales vs. Irrationales und Anwendungen – p. 21
Irgendein Raum mit spiegelnden Wänden...
... kann man diesen stets vollends beleuchten? fragte Straus 195?.
Roger Penrose gab 1958 das erste Beispiel eines nicht komplett
beleuchtbaren Raumes.
Links ein Bild von Wolfram eines solchen Raumes; rechts ein Bild von
Penrose
auf dem nach ihm benannten Parkett; in den 1980er Jahren entdeckte man
Quasikristalle mit eben dieser Symmetrie! Mehr unter http://en.wikipedia.org/wiki/Penrose tiling
Rationales vs. Irrationales und Anwendungen – p. 21
Vielen Dank!
Die Folien gibt es auch auf meiner webseite
http://www.mathematik.uni-wuerzburg.de/∼steuding/,
ebenso ein Skript zur Ergodentheorie unter
http://www.mathematik.uni-wuerzburg.de/∼steuding/ergod.htm
Rationales vs. Irrationales und Anwendungen – p. 22