7. Die Nukleosynthese der leichten Elemente - Physik

Universität Regensburg,
Naturwissenschaftliche Fakultät II - Physik
Big Bang
Die Nukleosynthese der leichten Elemente
am 05.12.2013
von Matthias Rosenauer
1
2
Abbildung 1: George Gamow (links) und Ralph Alpher (rechts)
1 Die Nukleosynthese der leichten Elemente
1.1 Einführung
Gamow und Alpher waren 1945 die Ersten, die aus kosmologischen Modellen gefolgert
haben, dass der Beginn des Universums auf einen heißen Anfang hindeutet.
Die Theorie der Nukleosynthese begann zusammen mit Robert Herman. Sie glaubten, Protonen und Neutronen wären beim Abkühlen der heißen Phase zu Atomkernen kondensiert.
Jedoch wurde ihnen bald klar, dass es aufgrund fehlender stabiler Kerne mit Massenzahl
5 und 8 kaum zu Fusionsprozessen jenseits 7Li gekommen sein kann. Beispielsweise würde
für die Entstehung von 12C eine Fusion von 3 4He benötigt, was aber aufgrund der
geringen Baryonendichte nicht möglich war. (Auch durch „Warten“, dass zwei 4He-Kerne
fusionieren und einen dritten Kern einfangen war dies so gut wie unmöglich, da das
entstandene Zwischenprodukt 8Be mit einer Halbwertszeit von T 1 = 6.722 · 10−17 s nicht
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lange stabil ist und wieder zerfallen würde.)
Somit ist klar, dass schwerere Kerne nur in den Zentren massereicher Sterne erbrütet
worden sein können, wie Fred Hoyle und Alfred Fowler 1946 zeigten.
Dennoch würde eine reine Fusion nur durch Sterne nicht die hohe Menge an Helium im
Kosmos erklären, welches 24 % der baryonischen Materie ausmacht. Aus diesem Grund
muss eine hohe Menge an Helium bereits kurz nach dem Urknall fusioniert worden sein.
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http://de.wikipedia.org/wiki/George_Gamow
http://www.daviddarling.info/encyclopedia/A/Alpher.html
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3
Abbildung 2: Schematische (nicht maßstäbliche) Darstellung des zeitlichen Verlaufs nach
dem Big Bang.
Gamow, der keine Gelegenheit für einen guten Witz ausließ, hatte sich über den Erfolg des
jüngere Holye mit einer Umdichtung der Genesis (Moses 1) verbreitet: Gott schuf die Elemente.
Gott vergaß aber die Massen 5 und 8 aufzurufen, so konnten keine schweren Elemente gebildet
werden. Gott war enttäuscht und wollte den Kosmos wieder zusammenfallen und neu beginnenl
assen. Aber er besann sich auf eine höchst ungewöhnliche Art, seinen Fehler zu korrigieren: Gott
sprach: „Es werde Hoyle!“ Und es ward Hoyle. Und Gott sah ihn und sprach zu ihm, er solle schwere
Elemente machen, so wie es ihm gefällt. Und Hoyle entschied sich, schwere Elemente in Sternen zu
machen und sie durch Supernova-Explosionen auszustreuen.
1.2 Der Anfang
1.2.1 Inflation
q
Nach der Planck-Ära (Planck-Zeit, tP = ~G
≈ 5.391 · 10−44 s) folgte eine Zeit, in der das
c5
Universum sehr schnell expandierte. Diese sogenannte Inflation beschreibt den Zeitraum
von 10−33 s bis 10−30 s, in der sich das Universum etwa um einen Faktor 1030 bis 1050
ausdehnte. Diese Ausdehnung des Raumes kommt einer überlichtschnellen Ausdehnung
gleich, was jedoch nicht der Relativitätstheorie widerspricht, die nur überlichtschnelle
Bewegungen im Raum verbietet, aber nicht dessen Ausdehnung. Die Größe des heute
sichtbaren Universums hätte sich zu jener Zeit von etwa 10−15 m auf 10 cm expandiert.
Die genauen Details dieser Inflation sind nicht bekannt, jedoch zählen die WMAP Messungen der Temperaturschwankungen der kosmischen Hintergrundstrahlung als starkes
Indiz.
3
http://de.wikipedia.org/wiki/Urknall
3
1.3 Primordiale Nukleosynthese
Nach dem Ende der Inflation sank die Temperatur auf etwa 1025 K ab. Es bildeten
sich aufgrund der hohen Energie Quark-Antiquark-Paare in einem Quark-Gluon-Plasma
aus annähernd freien Teilchen (Quark-Ära). Für die Bildung von Hadronen war das
Universum noch zu heiß. Jedoch bei der zeit 10−6 s war der Kosmos bereits auf 1013 K
abgekühlt, wobei die Quarks nicht mehr als freie Teilchen existieren konnten und sich zu
Hadronen vereinigten.
Nach 10−4 s bei einer Temperatur von 1012 K wurde die Bildung von Proton-Antiprotonund Neutron-Antineutron-Paaren unterbunden, was dazu führte, dass sich nahezu alle
Teilchen-Antiteilchen-Paare gegenseitig annihilierten. Aus bisher ungeklärten Gründen
gab es ein Ungleichgewicht in den Baryonen, wodurch 1:109 mehr Materie als Antimaterie
zur Verfügung stand (Baryogenese). Wäre dieses Ungleichgewicht nicht aufgetreten, hätte
sich alle Materie mit der Antimaterie annihiliert und außer Strahlung wäre im Kosmos
nichts weiter gewesen.
Im weiteren Verlauf des Abkühlens zerfielen auch die schwereren Hadronen, bis nur noch
Protonen und Neutronen übrig blieben („Hadronen-Ära“). Durch ständige gleichmäßige
Umwandlung von Neutronen zu Protonen und zurück enstand auch eine große Zahl an
Neutrinos. Jedoch blieb die Umwandlung von Protonen zu Neutronen ab einer Temperatur
von 1010 K aus, da das Universum nicht mehr „heiß genug“ für diese Umwandlung war.
1.4 Die Nukleosynthese
1.4.1 Der heiße Strahlungskosmos
Anhand des heißen Strahlungskosmos kann man die Nukleosynthese der leichten Elemente
gut veranschaulichen. Jedoch darf der Kosmos nicht mehr „zu heiß“ sein. Man nimmt
an, die Temperatur des heißen Plasmas sei mittlerweile unter 1.160 · 1010 K gesunken (=
b
1 MeV), was weit unter der Bindungsenergie des Deuterons von 2.23 MeV liegt, welches ein
wichtiges Zwischenprodukt der Nukleosynthese ist. In Grafik 3 ist die Planck-Verteilung
bei dieser Temperatur zu sehen. Würde die Temperatur etwas höher (bei 2.320 · 1010 K)
liegen, wäre zwar die Energie des heißen Plasmas nur bei ≈ 2 MeV, jedoch gäbe es
laut Planck-Verteilung viele Photonen, die genug Energie hätten, um das Deuteron zu
dissoziieren. Wir wissen, dass sich die Energiedichte des Strahlungsfeldes wie εr ∝ T 4 ∝
a−4 verhält, so gilt:
a0
T
=
a
T0
(1)
Mit T0 = (2.725 ± 0.002) K, a0 = 1 und T = 1010 K ergibt sich:
a ≈ 2.73 · 10−10
Was uns folgende Baryonendichte ergibt:
ρB =
ρc 2
kg
· h ΩB = 19.2 3
a3
m
4
Abbildung 3: Planck-Verteilung bei 1.160 · 1010 K (blau) und bei 2.320 · 1010 K (rot).
2
km
2
−26
0
H0 = h· 100 s MPc
, h = 0.72 ± 0.04, ΩB = 0.04 und ρc = 3·H
8·π·G ≈ h · 1.88 · 10
wobei die Gesamdichte durch die Dichte der Strahlung bestimmt ist:
ργ (T ) =
b · T4
c2
b=
⇒ ργ (1010 K) = 84.8 · 107
kg
,
m3
4·σ
c
kg
m3
Anschließend benötigen wir die Zeit, zu der der Kosmos auf etwa 1010 K abgekühlt ist:
1
a2 (t) = 2 · Ωγ 2 · H0 · t =
⇒ a(t) =
32 · π · G · ργ
3
32 · π · G · b · T0 4
3 · c2
!1
4
1
2
1
·t
1
· t 2 ≈ 1.8 · 10−10 · t 2
1
1
a0
t− 2
1 ⇒ T = T0 = 2.725 ·
· K = t− 2 · 1.51 · 1010 K
−10
a
1.8 · 10
Daraus folgern wir: 1 Sekunde nach dem Big Bang ist die Temperatur auf 1.5 · 1010 K
abgesunken, somit wird T = 1010 K nach ≈ 2.25 s erreicht. Nach weiteren 225 s ist das
Universum um eine weitere Größenordnung auf 109 K abgekühlt (=
b 0.086 keV), was für
Nukleosynthesen nicht mehr heiß genug ist.
⇒ Das meiste der Synthesen hat sich in den ersten drei Minuten abgespielt (daher
rührend auch der Titel von Steven Weinberg „Die ersten drei Minuten“)
5
4
Abbildung 4: Schema der wichtigsten Kernprozesse kurz nach dem Big Bang
1.5 Kernprozesse
Bei T > 1010 K und t < 1 s sorgen die Reaktionen
p + e− ←→ n + ν
n + e+ ←→ p + ν̄
für ein thermisches Gleichgewicht. Mit dem Verhältnis:
n
Q
= exp −
p
kT
Q = (mn − mp ) · c2 ≈ 1.293 MeV
(2)
Für T > 1.5 · 1010 K und t < 1 s ⇒ np ≈ 1
Da die Temperatur, bei der freie Neutronen „ausfrieren“etwa 1010 K beträgt, wird für
sinkende Temperaturen das Verhältnis kleiner, da freie Neutronen instabil sind und unter
β − -Zerfall zerfallen:
n −−→ p + e− + ν̄
(Lebensdauer: (881.5 ± 1.5) s)
Somit würde ohne Kernreaktionen der Kosmos am Ende nur aus Wasserstoff bestehen.
Deswegen müssen in den ersten 3 Minuten des Kosmos die meisten Kernreaktionen
stattgefunden haben. So ist es möglich, Deuteron herzustellen:
p + n ←→ d + γ
(3)
∆D = 2.23 MeV =
b 2.59 · 1010 K
4
Prof. W. Gebhardt - Skript zu „The Big Bang“
6
Bindungsenergie des Deuterons
Zunächst verzögern noch Photonen mit E > ∆D die Bildung von Deuteronen (Rückreaktion von 3)
Die hierzu wirksame Photonendichte:
nγ ∝ η
−1
∆D
· exp −
kT
η = 6.1 · 10−10 (WMAP)
ist Verhältnis von Baryonen zu Photonen
(4)
Da mehr als 109 Photonen auf ein Nukleon kommen, liegen die Bildungstemperaturen
allgemein etwa einen Faktor 30 niedriger als eine Abschätzung allein an den Bildungsenergien.
Sinkt die Temperatur auf 109 K übersteigt die Bildungsrate die Photodissoziationsrate.
Somit können sich mehr Deuteronen bilden und können weiter reagieren:
d + n −−→ 3H + γ
3
H + p −−→ 4He + γ
d + p −−→ 3He + γ
3
He + n −−→ 4He + γ
Diese sind allesamt elektromagnetische Wechselwirkungen, die am Ende bei 4He landen
mit einer Bindungsenergie von ∆He = 28.30 MeV, viel größer als die Energie des Kosmos.
Weitere mögliche Reaktionen sind Reaktionen, die unter starker Wechselwirkung ablaufen:
d + d −−→ 3He + n
d + d −−→ 3H + p
3
H + d −−→ 4He + n
3
He + d −−→ 4He + p
⇒ Bei T 109 K sind so gut wie alle Neutronen in 4He-Kernen gebunden. Somit stellt
sich die wichtige Frage, wie groß der 4He-Anteil (=: Y) an der baryonischen Gesamtmasse
ist. Wir wissen, dass die Neutronen bei etwa 1010 K „ausfrieren“. Somit ergibt Gleichung
2 dann:
n
≈ 0.223
p
Aus Bild 5 wird ersichtlich, dass die 4He-Bildung erst dann gesättigt ist, wenn Neutronen
zerfallen. Dann sinkt np auf ≈ 17 (≈ 2 · 109 K).
Wir wissen, dass NHe = n2 , da von fast allen Neutronen (bis auf den sehr geringen Anteil,
der in Deuteron, Tritium, etc. gebunden ist) je zwei an ein Helium-Atom gebunden sind.
Und wir wissen auch, dass mHe ≈ 4 · mp ≈ 4 · mn . Daraus können wir für den Massenanteil
des Deuteriums folgern:
Y4 =
n
2
· 4 · mp
2 · n · mp
2
=
=
n · mn + p · mp
n · mp + p · mp
1+
7
p
n
≈ 25 %
4
Abbildung 5: Anteil der verschiedenen Istope.
Alle schwereren Isotope bis 7Li und 7Be kommen sehr gering vor ⇒ Die Synthese leichter
Eleemnte ist abgeschlossen. Es gibt keine stabilen Kerne mit Massenzahl 5 (einziges Isotop
mit Massenzahl 5: 5He −−→ 4He; mit einer Halbwertszeit t 1 = 7.618 · 10−22 s) und mit
2
Massenzahl 8 (einziges Isotop mit Massenzahl 8: 8Be −−→ 2 4He; mit einer Halbwertszeit
t 1 = 6.722 · 10−17 s) gibt. Deswegen kann sich nichts dergleichen durch 4He + p oder
2
4He
+ n oder 4He + 4He stabil bilden. (um zum Beispiel 12C zu erzeugen, müsste ein
ohnehin instabiles 8Be in dessen kurzer Lebensdauer ein weiteres 4He treffen, wofür die
Dichte jedoch zu gering ist.) Das Erbrüten schwererer Elemente war somit zunächst nicht
möglich und gelang erst später in den Zentren massereicher Sterne (Fred. Hoyle)
⇒ Ergebnis: War das Universum am Anfang wirklich heiß, so wie angenommen, findet
man Isotope der leichten Elemente mit Häufigkeiten, die sich über 10 Größenordnungen
erstrecken. Die Häufigkeiten lassen sich berechnen: man benötigt nur die Reaktionsraten
der Kernprozesse, (größtenteils aus Labormessungen bekannt) das Baryonen-PhotonenVerhältnis und die Zahl der Neutrinos, da sie bei der schwachen Wechselwirkung immer
eine Rolle spielen. Um die gemessene Häufigkeit zu erhalten, sollte ΩB zwischen 0.009 <
ΩB · h2 < 0.025 (vgl. 6) liegen, die Zahl der Neutrinos sollte 3 sein.
1.6 Ergebnisse der Beobachtungen
1.6.1 Helium
Mit Zunahme schwerer Kerne nimmt auch 4He-Häufigkeit zu. In Bild 7 ist zu sehen,
welchen Massenanteil von Sauerstoff, bzw. Stickstoff Helium hat. Diese Zunahme kommt
durch Abstoßen von Hüllen im Riesenstadium der Sterne, sowie durch SopernovaExplosionen zustande. Zur Berechnung von Yp (primordialer Massenanteil von 4He)
8
4
Abbildung 6: Berechnete Häufigkeiten der leichten Elemente in Abhängigkeit von der
Baryonendichte.
9
4
Abbildung 7: Y4 , gemessen in Gebieten, in denen noch wenig Sternentwickung stattgefunden hat (um möglichst genau den Anteil an primordialem 4He zu
finden)
10
trägt man Y gegen den Anteil schwerer Elemente Z auf und extrapoliert gegen Z = 0:
Systematischer Fehler
z }| {
Yp = 0.238 ± 0.002
| {z } ± 0.005
Statistischer Fehler
1.6.2 Lithium
Zur Bestimmung der Konzentrationen von 6Li und 7Li eignen sich metallarme, heiße
Sterne in unserer Galaxie. Für kleine Z: Kein Einfluss auf Li-HÄufigkeit. Erst bei größerem
Z steigt Häufigkeit (kann auf Kernreaktionen durch kosmische Strahlung zurückgeführt
werden)
Würde Li durch Konvektion in heiße zentrale Zonen eines Sterns gelangen, würden
signifikant viele durch Fusionsreaktionen
verloren gehen
−10
⇒ [Li/H]p = 1.23 ± 0.06+0.68+0.56
·
10
−0.32
1.6.3 Deuterium
Deuterium wurde in hoch aufgelösten Spektren von Quasaren mit großer Rotverschiebung
entdeckt. Die Absorption von Deuterium in primordialen Gaswolken ist gegenüber der
Lyα-Absorption um 0.27 % langwellig verschoben. Wenn man annimmt, dass außer der
primordialen Nukleosynthese keine Deuterium-Quelle existiert, aber das Deuterium abgebaut werden kann, dann zeigen die Messungen eine untere Grenze des Deuteriumgehalts
(siehe Bild 9). Die Häufigkeit von Deuterium lässt sich nur in relativ weiten Grenzen
angeben:
1.3 · 10−5 < [D/H]p > 9.7 · 10−5
1.6.4 Helium-3
In Bild 10 sieht man, dass die 3He-Häufigkeit kaum von der Lage in der Galaxie abhängt.
Stattdessen ließe sich vermuten, dass der Einfluss stellarer Nukleosynthese umso größer
ist, je näher die entsprechende Region zum galaktischen Zentrum liegt. Für 3He gibt es
nur Beobachunten im Sonnensystem und in H II Wolken in unserer Galaxie, aus welchen
sich eine Obergrenze für den Gehalt an primordialem 3He geben lässt:
[ 3He/H]p < (1.9 ± 0.6) · 10−5
1.6.5 Vergleich
Im Bezug auf die Werte für Deuterium, liegt die relative Baryonendichte im Bereich von:
0.0095 ≤ ΩB · h2 ≤ 0.023
Was im Bereich dessen liegt, was uns aus den neusten Daten des WMAP ergeben:
ΩB · h2 = 0.0224 ± 0.0009
η = (6.1 ± 0.3) · 10−10
11
4
Abbildung 8: Häufigkeit der Lithium-Isotope aufgetragen gegen die Häufigkeit von Eisen.
4
Abbildung 9: Beobachtete Häufigkeit von Deuterium im interstellaren Medium.
12
4
Abbildung 10: 3He-Häufigkeit im Abstand vom galaktischen Zentrum.
4
Abbildung 11: Diese Grafiken zeigen den Bereich der Häufigkeiten, in denen die Isotope jeweils beobachtet wurden und deren berechnete Kurven. Die gelbe
Vertikale gibt das von WMAP bestimmte η an.
13
1.7 Zusammenfassung
Deuteron, Helium und LIthium sind in den ersten drei Minuten des Kosmos bei Temperaturen 109 K-1010 K entstanden. Die Nukleosynthese stoppte bei 7Li, da es keine stabilen
Elemente mit Massenzahl 5 oder 8 gibt. Schwereres, we z.B. 12C würde Stöße von 3 4He
benötigen, wofür das Universum nicht dicht genug war. Häufigkeit in Massenanteilen:
4
He :0.24,
D :10−4 − 10−5 ;
He :1 · 10−5 − 2 · 10−5 ;
3
Li :1 · 10−10 − 2 · 10−10
7
Dementsprechend kommen alle schwereren Elemente aus dem Zentrum massereicher
Sterne, und wurden bei Supernovae im Universum verstreut.
5
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http://vimeo.com/64964298
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Literatur / Quellen
1. Wolfgang Gebhardt - Vom Urknall zu den Sternen
2. Steven Weinberg - Die ersten 3 Minuten
3. Andrew Liddle - Einführung in die moderne Kosmologie
4. Craig J. Copi - Big-Bang Nucleosynthesis and the baryon density of the universe
5. http://de.wikipedia.org/
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