Ising Modell I - Institut für Theoretische Physik

Ising Modell I: Grundlagen und Lösung in einer
Dimension
Ansgar Hebbelmann
13.12.2009
2
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung
3
2 Annahmen des Ising-Modells
3
3 Eindimensionales Ising-Modell ohne äußeres Magnetfeld (B0 =
0)
4
3.1 Berechnung der Zustandssumme . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
3.2 Berechnung der Magnetisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
4 Eindimensionales Ising-Modell mit äußerem Magnetfeld (B0 6= 0) 7
4.1 Berechnung der Zustandssumme anhand der Transfer-Matrix-Methode 7
5 Thermodynamik des eindimensionalen Ising-Modells
6 Gitter-Gas-Analogie
6.1 Definition des Gitter-Gas-Modells . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Zusammenhang der Zustandssumme mit der des Ising-Modells . .
8
11
11
12
3
1
Einführung
Das Ising-Modell ist ein Modell der Theoretischen Statistischen Physik, dass dem
Verständnis von Ferromagnetismus im Festkörper dienen soll. Es soll insbesondere der Untersuchung von Phasenübergängen und kritischen Phänomenen dienen.
Das Modell wurde von Ernst Ising, nach dem es auch benannt ist, im Rahmen seiner Dokorarbeit an der Universität Hamburg im Zeitraum 1922-1924 entwickelt.
Die Anregung dazu kam von seinem Doktorvater Wilhelm Lenz.
Ernst Ising selber konnte das von ihm entwickelte Modell nur in einer Dimension
lösen und fand dort nur einen Phasenübergang bei T = 0. Dies war eine große
Entäuschung für ihn, da er im Voraus hoffte einen bei endlicher Temperatur zuf
finden.
Das Modell konnte im Jahr 1944 von Onsager in zwei Dimensionen exakt gelöst
werden. Diese Lösung zeigte einen Phasenübergang bei endlicher Temperatur,
womit das Modell an Bedeutung gewann.
In drei Dimensionen konnte das Modell bisher noch nicht exakt, aber durch Simulationen quasiexakt gelöst werden.
Das Ising-Modell ist bis heute eines der meistuntersuchtesten Modelle der Statistischen Physik. Es ist bis heute das einzig halbwegs realistische Modell eines Viel-Teilchen-Systems, dass einen Phasenübergang zeigt und mathematisch
streng behandelt werden kann. Für ein Viel-Teilchen-System besitzt es eine antitypische Fülle an exakten Resultaten. Es ist aufgrund seiner einfachen Annahmen auch ein Demonstrationsmodell der Statistischen Physik. Dennoch steht es
im Mittelpunkt vieler Überlegungen zur Theorie der Phasenübergänge und kritischen Phänomene, da es trotz seiner Einfachheit einen Phasenübergang zweiter
Ordnung zeigt.
Außerdem zeigt es Analogien zu anderen Modellen, wie dem Gittergas-Modell
oder dem 2-atomigen Legierungs-Modell.
2
Annahmen des Ising-Modells
Das Ising-Modell ist ein Spezialfall des Heisenberg-Modells. Es nimmt an, dass
das ferromagnetische System in ein d dimensionales Gitter mit N Gitterpunkte
eingeteilt ist. Diese sind alle mit einem permanenten magnetischen Moment
µi = µSi
i = 1, ..., N
(1)
versehen, wobei Si = ±1 die klassische Spinvariable ist. Das bedeutet sie können
sich parallel oder antiparallel zu einer ausgezeichneten Richtung einstellen. Diese
ausgezeichnete Richtung wird falls ein äußeres Magnetfeld existiert, von diesem
vorgegeben.
Diese magnetischen Momente wechselwirken als nächste Nachbarn untereinander und mit dem äußeren Magnetfeld B~0 . Das ergibt dann folgende Hamilton-
4
Funktion:
H=−
X
Jij Si Sj − µB0
X
i,j
Si
mit B~0 = B0 · e~z
(2)
i
wobei Jij die Wechselwirkungskonstante zur Beschreibung der Wechselwirkung
zwischen den magnetischen Momenten ist. Das Magnetfeld B~0 = B0 e~z definiert
die z-Achse als Auszeichungsrichtung für die magnetischen Momente. Diese stellen sich nun antiparallel oder parallel zum Magnetfeld.
Die Zustandssumme und damit wichtige thermodynamische Größen kann bei Beschränkung auf Wechselwirkung unter nächsten Nachbarn und unter bestimmten
Rahmenbedingungen, wie z.B. isotroper Wechselwirkung (Jij = J für alle i,j), für
d = 1, 2 exakt berechnet werden.
3
Eindimensionales Ising-Modell ohne äußeres
Magnetfeld (B0 = 0)
Das eindimensionale Ising-Modell kann man als eine Kette von Spins auffassen,
die entweder nach oben oder nach unten zeigen (s. Abb. 1).
Abbildung 1: Darstellung der Spinkette (Quelle: W. Nolting - Grundkurs Theoretische Physik: Band 6)
Bei der Betrachtung ohne äußerem Magnetfeld, wird untersucht ob es eine
Temperatur T = TC gibt unterhalb der sich eine spontante Magnetisierung MS (T )
einstellt, also ob das System einen Phasenübergang zeigt. Dazu wird zunächst die
Zustandssumme des Systems berechnet.
3.1
Berechnung der Zustandssumme
Die Hamilton-Funktion lautet nun:
H=−
N
−1
X
Ji Si Si+1
(3)
i=1
Dabei wird nur eine Wechselwirkung zwischen nächsten Nachbarn betrachtet, die
zunächst als anisotrop angesehen wird. Wir definieren zunächst:
ji = βJi
(4)
5
um die Zusandsumme
ZN = ZN (j1 , ..., jN ) =
XX
S1
...
S2
X
e
PN −1
i=1
ji Si Si+1
(5)
SN
zu berechnen. Die Berechnung erfolgt über eine Rekursionsformel. Wenn man die
Spinkette um einen weiteren Spin ergänzt würde die Zustandsumme
X X X PN −1
X
ZN +1 =
...
e i=1 ji Si Si+1
ejN SN SN +1
S1
= ZN
S2
X
SN
SN +1
ejN SN SN +1
SN +1
= 2ZN cosh(jN Sn )
= 2ZN cosh(jN )
lauten. Dabei hat man ausgenutzt, dass SN +1 = ±1 und cosh(−x) = cosh(x) ist.
Mit N-facher Ausführung dieser Rekursionsformel erhält man dann:
ZN +1 = Z1 2N
N
Y
cosh(ji )
(6)
i=1
Dabei ist Z1 die Zustandssumme eines Einzelspins. Er besitzt zwei Zustände
S1 = ±1 zur Energie Null, da er keine Wechselwirkungsmöglichkeiten hat. Damit
gilt:
X
Z1 =
e0 = 2
(7)
S1
und für die Spinkette mit N-Gitterpunkten ergibt sich:
ZN (T ) = 2
N
N
−1
Y
cosh(βJi )
(8)
i=1
Das heißt bei isotroper Wechselwirkung Ji = J für alle i ergibt sich:
ZN (T ) = 2N coshN −1 (βJ)
3.2
(9)
Berechnung der Magnetisierung
Die spontante Magnetisierung ist proportional zum Erwartungswert des Spins:
MS (T ) = µhSi
(10)
6
Um hSi zu erhalten berechnet man zunächst den Erwartungswert vom Produkt
zweier Spins:
hSi Si+j i =
PN −1
1 X
(Si Si+j )e i=1 ji Si Si+1
ZN
{S}
PN −1
1 X
=
(Si Si+1 )(Si+1 Si+2 ). . .(Si+j−1 Si+j )e i=1 ji Si Si+1
| {z } | {z } | {z }
ZN
{S}
1
1
1
∂ ∂
∂
1
...
ZN
=
ZN ∂ji ∂ji+1 ∂ji+j−1
cosh j1 ... cosh ji−1 sinh ji ... sinh ji+j−1 cosh ji+j ... cosh jN −1
=
cosh j1 ... cosh ji−1 cosh ji ... cosh ji+j−1 cosh ji+j ... cosh jN −1
j
Y
=
tanh(βJi+k−1 )
k=1
Bei isotroper Wechselwirkung (Ji = J für alle i) ergibt sich dann:
hSi Si+j i = tanhj (βJ)
(11)
Mit diesem Term kann man nun den Erwartungswert eines einzelnen Spins hSi
bestimmen. Wenn j → ∞ ist die Korrelation zwischen Spin i und Spin j gi,i+j = 0.
Damit folgt:
lim hSi Si+j i = hSi ihSi+j i = hSi2
(12)
j→∞
Damit gilt für die spontante Magnetisierung
MS (T )2 = µ2 lim hSi Si+j i
j→∞
Da
tanh(βJ) =
< 1, für T > 0
1, für T=0
gilt für die spontane Magnetisierung
0, für T > 0
MS (T ) =
µ, für T=0
(13)
(14)
(15)
Das bedeutet es gibt bei endlichen Temperaturen keine spontante Magnetisierung
und damit keinen Phasenübergang. Man kann zwar sagen, dass es bei T=0 einen
Phasenübergang gibt und damit TC = 0 die kritische Temperatur ist. Dieser
Phasenübergang spielt in der Realität aber keine Rolle.
7
4
4.1
Eindimensionales Ising-Modell mit äußerem
Magnetfeld (B0 6= 0)
Berechnung der Zustandssumme anhand der TransferMatrix-Methode
Die Zustandssumme für das eindimensionale Ising-Modell mit äußerem Magnetfeld kann man sehr gut mit der Transfer-Matrix-Methode berechnen. Diese wurde
von Lars Onsager im Jahr 1944 entwickelt um das Modell in 2 Dimensionen zu
berechnen.
Bei der Berechnung wird wieder nur eine Nächste-Nachbar-Wechselwirkung angenommen. Diese soll diesmal von Beginn an isotrop sein. Mit den Definitionen
j = βJ und b = βµB0 gilt nun:
−βH = j
N
X
Si Si+1 + b
i=1
N
X
Si
(16)
i=1
Bei der Berechnung benutzt man eine periodische Randbedingung. Man schließt
die Spinkette zu einem Ring zusammen, so dass gilt:
S1 = SN +1
(17)
Diese Randbedingung ist im thermodynamischen Limes N → ∞ keine Einschränkung auf das System.
Zur Berechnung der Zustandssumme definiert man zunächst die Transferfunktion:
1
Ti,i+1 = ejSi Si+1 + 2 b(Si +Si+1 )
(18)
Damit gilt unter Berücksichtigung der periodischen Randbedingung Gl.17:
e−βH = T1,2 T2,3 ... TN,N +1
| {z }
(19)
j+b −j e
e
T̂ =
e−j ej−b
(20)
=TN,1
Mit der Transfermatrix:
und Spinzuständen:
1
|Si = +1i =
0
0
|Si = −1i =
1
(21)
ergibt sich für die Transferfunktion
hSi |T̂ |Si+1 i = Ti,i+1
(22)
8
Damit ergibt sich für die Zustandssumme:
XX X
ZN (T, B0 ) =
...
T1,2 T2,3 ...TN,1
S1
S2
=
XX
=
X
S1
S2
SN
X
...
hS1 |T̂ |S2 ihS2 |T̂ |S3 i...hSN |T̂ |S1 i
SN
hS1 |T̂ N |S1 i = Sp T̂ N
S1
P
Dabei hat man die Beziehung Si |Si ihSi | = 1, die aus der Vollständigkeit der
Spinzustände folgt, verwendet.
Die Spur einer Matrix ist invariant unter Basistransformationen und daher gilt:
ZN (T, B0 ) = E+N + E−N
(23)
wobei E± die Eigenwerte der Transfermatrix T̂ sind. Diese lassen sich aus det|T̂ −
E1| = 0 berechnen und ergeben:
q
2
j
E± = e cosh b ± cosh b − 2e−2j sinh(2j)
(24)
Da E+ > E− gilt für die Zustandssumme:
"
ZN (T, B0 ) = E+N 1 +
E−
E+
N #
−→ E+N
N 1
(25)
Bei abgeschaltetem Magnetfeld gilt:
E± (T, B0 = 0) = ej ± e−j
(26)
Damit gilt für die Zustandssumme:
ZN (T, B0 = 0) = 2N coshN (βJ)
N 1
(27)
Diese ist im thermodynamischen Limes äuquivalent zu der ohne Randbedingung
Gl.9.
5
Thermodynamik des eindimensionalen IsingModells
Die thermische Zustandsgleichung des eindimensionalen Ising-Modells kann über
das magnetische Moment ausgedrückt werden. Das magnetische Moment berech-
9
net sich mit:
N
PN −1
PN
1 X X
(µ
Si )eβJ i=1 Si Si+1 +βµB0 i=1 Si
ZN
i=1
{S}
∂
1
ln ZN (T, B0 )
=
β ∂B0
T
N >>1 N 1 ∂E+
=
β E+ ∂B0
M (T, B0 ) =
Die partielle Ableitung des positiven Eigenwertes der Transfermatrix ist:
µβ sinh(µβB0 )
∂E+
= E+ q
∂B0
cosh2 (µβB ) − 2e−2βJ sinh(2βJ)
0
Damit ist das Magnetische Moment:
sinh(βµB0 )
M (T, B0 ) = N µ q
cosh2 (βµB0 ) − 2e−2βJ sinh(2βJ)
(28)
Abbildung 2: Isothermen des Magnetischen Moments (Quelle: W. Nolting Grundkurs Theoretische Physik: Band 6)
In Abb.2 erkennt man, dass keine spontane Magnetiesierung bei B0 = 0 für
T > 0 vorliegt und dass die Magnetisierung sich bei B0 6= 0 mit dem Magnetfeld
ausrichtet. Das bedeutet das d=1 Ising Modell ist für T 6= 0 paramagnetisch.
Das Magnetisches Moment nimmt für B0 → ∞ einen Sättigungswert M (T, B0 ) →
N µ an, d.h. alle magnetischen Momente richten sich parallel zum Magnetfeld aus.
Um die Entropie des Systems für B0 = 0 zu berechnen muss man zunächst die
Freie Energie F bei B0 = 0 bestimmen:
F (T ) = −kB T ln ZN (T, 0) = −N kB T ln[2 cosh(βJ)]
(29)
Damit erhält man die Entropie durch Bildung der negativen partiellen Ableitung
nach T:
∂F
S(T ) = −
= N kB {ln[2 cosh(βJ)] − βJ tanh(βJ)}
(30)
∂T
10
Abbildung 3: Entropie S(T) bei B0 = 0 (Quelle: W. Nolting - Grundkurs Theoretische Physik: Band 6)
In Abb.3 sieht man, dass das System den dritten Hauptsatz der Thermodynamik S(T → 0) = 0 erfüllt. Bei hohen Temperaturen beträgt die Entropie
S(T → ∞) = N kB ln 2, d.h. jeder Spin trägt den gleichen Wert kB ln 2 zur Entropie bei.
Aus der Entropie lässt sich nun die Wärmekapazität bei ausgeschaltetem Magnetfeld ableiten:
∂S β 2J 2
=
k
(31)
CB0 =0 (T ) = T
B
∂T B0 =0
cosh2 (βJ)
Abbildung 4: Wärmekapazität C(T) bei B0 = 0 (Quelle: W. Nolting - Grundkurs
Theoretische Physik: Band 6)
In Abb.4 erkennt man, dass die Wärmekapazität ebenfalls den dritten Hauptsatz der Thermodynamik CB0 =0 (T → 0) → 0 erfüllt.
Zuletzt ist noch die Suszeptibilität zu bestimmen. Mit dem Fluktuations-Dissipations-
11
Theorem gilt:
χT (B0 = 0) = βµ2 µ0
X
(hSi Sj i − hSi ihSj i)
i,j
= βµ2 µ0
X
tanhj (βJ)
j
2
=
βµ µ0
1 − tanh(βJ)
Dabei hat man Gl.11, hSi i = hSj i = 0 für B0 = 0 und die geometrische Reihe
verwendet.
Abbildung 5: Inverse Suszeptibilität χT bei B0 = 0 (Quelle: W. Nolting - Grundkurs Theoretische Physik: Band 6)
In der Abb.5 ist das Inverse der Suszeptibilität zu sehen. Man sieht, dass χT
bei T = 0 divergiert, was ebenfalls auf einen Phasenübergang bei T = 0 hindeutet.
Für höhere Temperaturen gehorcht die Suszeptibilität dem Curie-Gesetz χ = CT
(C: Curie-Konstante)
6
Gitter-Gas-Analogie
Wie bereits in der Einführung erwähnt, weißt das Ising-Modell Analogien zu
anderen Modellen auf. Hier soll die Analogie zum Gitter-Gas-Modell diskutiert
werden.
6.1
Definition des Gitter-Gas-Modells
Im Gitter-Gas-Modell wird ein Fluid mit Volumen V in n gleiche Zellen mit
Volumen v aufgeteilt. Dabei ist v ≈ das Volumen eines Fluidmoleküls. Eine Zelle
ist besetzt, wenn das Zentrum eines Moleküls innerhalb der Zelle ist, ansonsten
ist sie leer. Eine Zelle kann von höchstens einem Molekül besetzt werden, da
12
v ≈ VM ol .
Dieses Verbot der doppelten Besetzung wird durch Hard-Core-Potential verboten

 ∞, für i = j
−J, falls i,j nächste Nachbarn
u(i, j) =
(32)

0, sonst
welches eine Grobe Näherung des Lennard-Jones Potentials ist. Die Zellen sind
entweder besetzt oder leer was anhand der Zellvariable ei ausgedrückt werden
kann.
1, falls Zelle i besetzt
ei =
(33)
0, falls Zelle i leer
P
Dabei gilt ni=1 ei = N , mit N Anzahl der Moleküle.
6.2
Zusammenhang der Zustandssumme mit der des IsingModells
Es besteht eine Proportionalität von der kanonischen Zustandssumme des IsingModells
X
P
P
ZIsing =
eβJ hi,ji Si Sj +µβB0 i Si
{S}
und der des Gitter-Gas Modells im Großkanonischen Ensemble
∞
X
ΞGG =
z N eβJ
P
hi,ji ei ej
(34)
N =0
mit z = eβµ Fugazität und µ chemisches Potential. Die eckigen Klammern um die
Summationsvariablen bedeuten, dass nur über nächste Nachbarn summiert wird.
Im Ising-Modell ist die Spinvariable Si = ±1. Man kann nun die Zellvariable
durch die Spinvariable ausdrücken:
1
ei = (1 + Si ),
2
d.h. besetzt =
ˆ ↑,
leer =
ˆ ↓
(35)
Für die großkanonische Zustandssumme des Gitter-Gas-Modells kann man nun
noch einige Umformungen vornehmen, so dass sie ohne Einschränkung von N ist.
ΞGG =
=
∞
X
N =0
∞
X
z N ej
z
P
hi,ji ei ej
Pn
i=1 ei
j
e
P
mit j = βJ
hi,ji ei ej
i=1
N =0
=
X
{e}
mit
n
X
Pn
eln(z)
i=1 ei +j
P
hi,ji ei ej
ei = N
13
Für das Produkt der Zellvariablen gilt:
1
1
1
1
1
ei ej = (1 + Si ) (1 + Sj ) = Si Sj + (Si + Sj ) +
2
2
4
4
4
Dieses kann man jetzt einfach in die Zustandssumme einsetzen:
X
Pn 1
P
1
1
1
⇒ ΞGG =
eln(z) i=1 2 (1+Si )+j hi,ji ( 4 Si Sj + 4 (Si +Sj )+ 4 )
(36)
(37)
{S}
j
n
= e 2 (ln z+ 2 )
= Qn0
X
X
{S}
P
e J0
e(
hi,ji
ln z
+ 2j
2
)
Pn
Si Sj +B0
i=1
Pn
Si + 4j
i=1
Si
P
hi,ji
Si Sj
(38)
(39)
{S}
1
j
wobei Q0 = e 2 ln z+ 4 , B0 = ln2z + 2j und J0 = 4j Konstanten sind. Damit hat man
die großkanonische Zustandssumme ΞGG auf eine Form gebracht, die proportional
zur kanonischen Zustandssumme des Ising Modells ist.