Ising Modell I - Institut für Theoretische Physik

Ising Modell I - Grundlagen und Lösung in
einer Dimension
Seminar zur Theorie der Teilchen und Felder
Westfälische Wilhelms-Universität Münster
MSc Physik
5. Dezember 2011
Patrick Hamers
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1
2 Grundlagen
1
3 Lösung des Ising-Modells
3.1 Lösung ohne externes Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Lösung mit externem Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
3
4 Thermodynamik des Ising-Modells
5
5 Weitere Deutungen des Ising-Modells
10
6 Schlussbetrachtung
11
Patrick Hamers
1
Ising Modell I
5. Dezember 2012
Einleitung
Das Ising-Modell ist ein theoretisches Modell zur Beschreibung des Ferromagnetismusses.
Entwickelt wurde es ursprünglich von Wilhelm Lenz im Jahre 1920, detaillierter ausgearbeitet hat es aber Ernst Ising um 1924 im Rahmen seiner Doktorarbeit, die von
Lenz betreut wurde. Das Ising-Modell kann als Spezialfall des sogenannten n-VektorModells aufgefasst werden. Darin werden die Gitterpunkte eines d-dimensionalen Gitters
mit n-dimensionalen Vektoren besetzt. Ising beschränkte sich in seiner Arbeit auf eine
eindimensionale Spinkette, deren Spins die skalaren Ausrichtungen ±1 annehmen konnten
(dies entspräche dem n-Vektor-Modell mit d = 1, n = 1). Die Spinkette kann sich dabei
in einem externem Magnetfeld befinden. Ising fand heraus, dass es im eindimensionalen
Fall keinen Phasenübergang von der paramagnetischen zur ferromagnetischen Phase bei
endlichen Temperaturen gibt. Enttäuscht über dieses Ergebnis postulierte er, dass auch
für höhere Raumdimensionen des Modells (quadratisches Spingitter mit d = 2, kubisches
Spingitter mit d = 3) kein Phasenübergang bei endlichen Temperaturen auftritt. Dieses
Postulat konnte von Lars Onsager widerlegt werden, der 1944 das zweidimensionale
Ising-Modell ohne externes Magnetfeld exakt löste und dabei einen Phasenübergang beobachtete.
Das Ising-Modell ist heute eines der am häufigsten untersuchten Modelle der statistischen
Physik mit weitreichenden Anwendungsmöglichkeiten. So lassen sich z.B. Flüssigkeiten mit
dem (Ising-)Gittergas-Modell untersuchen.
Im Folgenden wird das Ising-Modell sowohl mit als auch ohne externes Feld in einer Dimension gelöst und die Thermodynamik des Modells genauer untersucht.
2
Grundlagen
Der Hamiltonoperator des Ising-Modells ist gegeben durch
X
X
H=−
Jij Si Sj − B
Si , Jij > 0 ,
i,j
(1)
i
wobei Jij die Kopplungskonstante zwischen zwei Spins Si und Sj darstellt und mit B das
Magnetfeld bezeichnet ist. Direkt ablesbar aus dem Hamiltonoperator ist, dass J für J > 0
gleichgerichtete Spins energetisch bevorzugt und dass der Spin die einzige Variable ist1 .
Dabei beschreibt der erste Term die Spin-Spin-Wechselwirkung und der zweite Term den
Einfluss eines externen Magnetfelds. Weiterhin kann generell eine Wechselwirkung zwischen
zwei beliebig weit entfernten Spins betrachtet werden. Dies unterbindet man jedoch meist
mit der Näherung, dass die Wechselwirkung nur zwischen nächsten Nachbarn stattfindet
(siehe Abb. 1).
1
Wählt man J < 0 würde kein ferromagnetisches, sondern ein antiferromagnetisches System beschrieben.
1
Patrick Hamers
Ising Modell I
5. Dezember 2012
Abbildung 1: Modell der linearen Spinkette mit isotroper Wechselwirkung und nächsterNachbar-Wechselwirkung (entnommen aus [Nol05]).
Geht man zudem von einem isotropen Gitter aus, sei die Kopplung also zwischen jedem
Spinpaar gleich (Jij ≡ J), kann der Hamiltonoperator ohne externes Feld wie folgt vereinfacht werden
N
−1
X
H = −J
Si Si+1 .
(2)
i=1
Dieser Hamiltonoperator kann nun zur exakten Berechnung der Zustandssumme angesetzt
werden.
3
3.1
Lösung des Ising-Modells
Lösung ohne externes Magnetfeld
Wir betrachten zunächst den Fall ohne externes Magnetfeld. Unter Berücksichtigung der
Wechselwirkung nächster Nachbarn und der Annahme eines isotropen Gitters ist der Hamiltonoperator gegeben durch
N
−1
X
H = −J
Si Si+1
(3)
i=1
und die kanonische Zustandssumme durch
ZN =
XX
S1
S2
···
X
exp βJ
N
−1
X
!
Si Si+1 ,
(4)
i=1
SN
Für die Berechnung von ZN gibt es allgemein unterschiedliche Möglichkeiten. Wir wollen
hier eine Berechnung mittels Rekursion anwenden und fügen dafür ein (N + 1)-tes Glied
an ZN an
!
N
−1
XX
X
X
X
ZN +1 =
···
exp βJ
Si Si+1
exp (βJSN SN +1 ).
(5)
S1
S2
SN
i=1
2
SN +1
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Für das zusätzliche Glied ergibt sich leicht
±1
X
exp (βJSN SN +1 ) = 2 cosh(βJSN ) = 2 cosh(βJ),
(6)
SN +1
wobei ausgenutzt wurde, dass der cosh eine gerade Funktion ist.
Für die Zustandssumme ergibt sich damit die Rekursionsformel
ZN +1 = Z1 2N coshN (βJ),
(7)
wobei Z1 die Zustandssumme eines Spins beschreibt. Da ein einzelner Spin keine nächsten
Nachbarn hat und deshalb nicht wechselwirkt, ergibt sich
X
Z1 =
e0 = 2.
Si
Die Zustandssumme nimmt damit die folgende Gestalt an
ZN (T ) = 2N coshN −1 (βJ) .
3.2
(8)
Lösung mit externem Magnetfeld
Das Ising-Modell mit externem Magnetfeld kann mithilfe der von Lars Onsager 1944
entwickelten Transfermatrix-Methode exakt gelöst werden. Dabei wird neben den bereits
geforderten Randbedingungen (Isotropie des Gitters, nächste-Nachbar-Wechselwirkung)
zusätzlich die periodische Randbedingung SN +1 = S1 gefordert, die also den N -ten Spin
an den ersten Spin koppelt; es entsteht ein geschlossener Spin-Ring (siehe Abb. 2).
Abbildung 2: Skizzierte Darstellung der periodischen Randbedingung SN +1 = S1 , die die
zuerst offene Spinkette (siehe Abb. 1) zu einem Ring schließt.
3
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Diese periodische Randbedingung erleichtert die Berechnug der Zustandssumme erheblich
im Zusammenhang mit der Transfermatrix-Methode. Wie sinnvoll sie jedoch ist, lässt sich
erst nach Berechnung der Zustandssumme mit externem Feld sagen. Der Hamiltonoperator
des Ising-Modells mit externem Magnetfeld lautet
H=
N
X
(−J Si Si+1 − BSi )
(9)
i=1
und die kanonische Zustandssumme ist gegeben durch
!
N X
X
XX
1
···
exp β
J Si Si+1 + B(Si + Si+1 ) ,
ZN =
2
i=1
S
S
S
1
2
(10)
N
wobei im Term mit externem Feld B die Summation über zwei Spins läuft und mit dem
Faktor 12 normiert wird, was später rechnerische Vorteile bietet. Zur Lösung dieser Zustandssumme definieren wir eine Transfermatrix P , die der folgenden Bedinung genügen
soll
0
0 1
S, S 0 = ±1.
(11)
hS|P |S 0 i = eβ (JSS + 2 B(S+S )) ,
Die einzelnen Elemente der Transfermatrix können durch Einsetzen der möglichen Spinwerte bestimmt werden und es ergibt sich für die gesamte Transfermatrix
β(J+B)
e
e−βJ
P =
.
(12)
e−βJ eβ(J−B)
Aufgrund der Definitionsgleichung von P können wir die Zustandssumme wie folgt umschreiben
XX
X
ZN =
···
hS1 |P |S2 i hS2 |P |S3 i · · · hSN |P |S1 i
S1
=
S2
X
SN
S1 P N S1
S1
= Sp P N ,
wobei Sp die Spur bezeichnet. Dabei wurde die periodische Randbedingung (SN +1 = S1 )
ausgenutzt und im ersten Schritt eingesetzt.
Der gewonnene Ausdruck ZN = Sp P N kann noch weiter aufgelöst werden. Nutzt man aus,
dass P symmetrisch und diagonalisierbar ist, zu jeder diagonalisierbaren Matrix A eine
Matrix B existiert, sodass P = B −1 AB, wobei A Diagonalmatrix mit den Eigenwerten als
Elementen, und die Spur unter zyklischer Vertauschung invariant bleibt, ergibt sich
ZN = E+N + E−N
(13)
mit den Eigenwerten E+ und E− der Transfermatrix P . Diese können über det(P −E± 1) =
0 bestimmt werden zu
q
2
βJ
E± = e
cosh(βB) ± cosh (βB) − 2e−2βJ sinh(2βJ) .
(14)
4
Patrick Hamers
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In Voraussicht auf den thermodynamischen Limes schreiben wir Gl. (13) um zu
"
N #
E
−
ZN (B, T ) = E+N 1 +
.
E+
(15)
Da für alle Feldstärken B E+ > E− gilt, kann im therm. Limes N → ∞ E− vernachlässigt
werden. Für die Zustandssumme ergibt sich damit der finale Ausdruck
N
q
2
N
βJN
−2βJ
cosh(βB) + cosh (βB) − 2e
lim ZN (B, T ) = E+ = e
sinh(2βJ)
. (16)
N →∞
Um, wie am Anfang dieses Abschnittes beschrieben, die Sinnhaftigkeit der geforderten
periodischen Randbedingung zu untersuchen, wird in Gl.(16) das Magnetfeld zu 0 gesetzt
und der resultierende Term mit der Zustandssumme ohne externes Feld (Gl. (8)) verglichen.
Dabei ergibt sich
ZN (0, T ) = 2N coshN (βJ) 1 + tanhN (βJ) .
(17)
Im thermodynamischen Limes geht dieser Ausdruck über in
lim ZN (0, T ) = 2N coshN (βJ)
N →∞
für
T 6= 0 .
(18)
Dieser Ausdruck stimmt mit der Zustandssumme ohne externes Feld (8) bis auf eine Potenz
des Cosinus Hyperbolicus überein, welche gerade durch die periodische Randbedingung
zustande kommt, da über ein zusätzliches Spinpaar summiert wird. Die Äquivalenz der
Zustandssummen bekräftigt damit die Wahl der periodischen Randbedingungen.
4
Thermodynamik des Ising-Modells
Mit der Berechnung der Zustandssummen (8) und (16) und lässt sich der Übergang zur
Thermodynamik machen. Für das thermodynamische Potential der freien Energie F ergibt
sich mit
F = −kB T ln Z
(19)
leicht
F = F = −N kB T ln (2 cosh(βJ))
ohne externes Magnetfeld und
q
2
2
−2βJ
sinh (2βJ)
F (B, T ) = −N J + kB T cosh(βB) + cosh (βB) − 2e
(20)
(21)
mit eingeschaltetem Magnetfeld. Setzt man in Gl. (21) B = 0 und betrachtet das Ergebnis
im thermodynamischen Limes, erhält man
F (0, T ) = −N kB T ln (2 cosh(βJ)) + ln 1 + tanhN (βJ)
N →∞
→ −N kB T ln (2 cosh(βJ)) .
5
(22)
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Dieser Ausdruck stimmt exakt mit der Freien Energie des Ising-Modells ohne externes Feld
(20) überein und bestätigt damit erneut die Wahl der periodischen Randbedingungen.
Aufschluss über einen möglichen Phasenübergang von der paramagnetischen zur ferromagnetischen Phase kann über die Magnetiseirung gewonnen werden. Zeigt sich hier eine
sogenannte spontane Magnetisierung M
M (T ) = hSi ,
(23)
wobei hSi den Gesamtspinerwartungswert beschreibt, findet ein Phasenübergang statt.
Zur Berechnung der Magnetisierung ohne externes Magnetfeld betrachten wir zunächst die
Spinkorrelation Γ(j) = hSi Si+j i. Diese gibt an, wie stark die Korrelation zweier Spins im
Abstand j zueinander ist.
Γ(j) = hSi Si+j i
"N −1
#
X
1 X
=
βJSm Sm+1
(Si Si+j ) exp
ZN
m=1
{Si }
1 X
=
(Si Si+1 )(Si+1 Si+2 ) · · · (Si+j−1 Si+j ) exp [. . .]
ZN
{Si }
1
∂j
ZN
ZN ∂(βJ)j
j
∂
1
ZN
=
ZN ∂(βJ)
= tanhj (βJ) .
=
(24)
Zu erkennen ist, dass mit größer werdendem Abstand j die Korrelation abnimmt, bis
im Grenzfall j → ∞ die Spins schließlich unkorreliert sind (siehe Abb. 3), es gilt also
hSi Si+j i → hSi i hSi+j i.
j→∞
6
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Abbildung 3: Graphische Darstellung der Spinkorrelation Γ(j) zweier Spins abhängig von
deren Abstand j zueinander.
Da ein isotropes Gitter angenommen wurde ist zudem der Spinerwartungswert eines jeden
Spins Sk gleich: hSk i = hSi. Damit ergibt sich hSi Si+j i → hSi i hSi+j i = hSi2 . Dieses
j→∞
Ergebnis lässt sich nun ausnutzen, um die Magnetisierung zu bestimmen (siehe auch Abb.
4):
M 2 (T ) = hSi2 = lim hSi Sj i = lim tanhj (βJ)
j→∞
j→∞
(
0
für T > 0
⇒ M (T ) =
1
für T = 0
(25)
Abbildung 4: Spontane Magnetisierung des Ising-Modells ohne externes Magnetfeld.
7
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Erst bei T = 0 K tritt eine spontane Magnetisierung auf. Bei endlichen Temperaturen
weist das Ising-Modell ohne externes Magnetfeld also keinen Phasenübergang auf.
Um die Magnetisierung mit externem Magnetfeld zu bestimmen, greifen wir auf die Relation
∂
F
(26)
M =−
∂B kB T
zurück und mit (21) ergibt sich
M (B, T ) = N
sinh(βB)
q
.
cosh(βB) + cosh2 (βB) − 2e−2βJ sinh(2βJ)
(27)
In der folgenden Abbildung 5 ist der Verlauf von M (B, T ) dargestellt.
Abbildung 5: Spontane Magnetisierung des Ising-Modells mit externem Magnetfeld.
Zu erkennen ist, dass, wie beim Fall ohne Feld, bei keiner endlichen Temperatur eine Restmagnetisierung vorhanden bleibt. Erst bei T = 0 K wäre dies der Fall.
Das Ising-Modell in einer Dimension zeigt also keinen Phasenübergang bei endlichen Temperaturen.
Die Tatsache, dass bei T = 0 K eine spontane Magnetisierung vorhanden ist, kann durch
die Suszeptibilität χ auch anderweitig bestätigt werden. Diese sollte dafür an der kritischen Temperatur T = 0 K divergieren. Zur Berechnung von χ für den Fall ohne externes
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Magnetfeld nutzen wir das Fluktuations-Dissipations-Theorem:
X
χT (B = 0) = βµ20
Γ(j) − M 2
X
= βµ20
(hSi Sj i − hSi i hSj i)
i,j
=
βµ20
X
tanhj (βJ)
j
=
βµ20
.
1 − tanh(βJ)
(28)
Graphisch sieht der Verlauf der inversen Suszeptibilität χ−1 wie folgt aus:
Abbildung 6: Inverse Suszeptibilität χ−1 für das feldlose Ising-Modell (entnommen aus
[Nol05]).
Deutlich zu erkennen ist die Divergenz von χ bei T = 0 K. Weiterhin verläuft χ ∝ T1 für
große Temperaturen. Die Suszeptibilität erfüllt damit das Curie-Gesetz χT = ∂M
= CT
∂B T
mit der Curie-Konstanten C.
Zuletzt überprüfen wir, ob das Ising-Modell den dritten Hauptsatz der Thermodynamik
lim S = 0 erfüllt. Dazu berechnen wir
T →0
S=
∂F
∂T
(29)
V
und es ergibt sich
S = N kB (ln[2 cosh(βJ)] − βJ tanh(βJ)) .
9
(30)
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Dieser Ausdruck der Entropie verschwindet im Grenzfall T → 0, sodass der das IsingModell den dritten Hauptsatz der Thermodynamik erfüllt.
5
Weitere Deutungen des Ising-Modells
Das Ising-Modell kann leicht auf weitere, nicht ausschließlich magnetische Modelle angewendet werden. So können beispielsweise binäre Legierungen mit dem Ising-Modell untersucht werden. Dabei können die Gitterpunkte entweder mit Molekülen des Typs A
(Si = +1) oder Molekülen des Typs B (Si = −1) besetzt sein. Für eine positive Kopplung
J wird die Gruppierung gleichartiger Moleküle bevorzugt. Ein möglicher Phasenübergang
kann damit z.B. in Form von Kondensation bzw. Ausflockung der einen Molekülsorte aus
der anderen oder allgemein zwischen Mischung und Trennung der beiden Molekülsorten
beobachtet werden. Anwendung findet das Modell der binären legierungen z.B. bei GasFluid-Gemischen.
Eine weitere Deutung des Ising-Modells ist das sogenannte Gittergas, welches zur Beschreibung von Flüssigkeiten angesetzt werden kann. Dabei ist das Volumen V in A molekülgroße
Zellen unterteilt und die Moleküle des Systems wechselwirken über ein hard-core-Potential.
Beim Gittergas können die Gitterplätze entweder besetzt (Si = 1) oder unbesetzt (Si = −1)
sein. In der Praxis substituiert man häufiger jedoch ei = 21 (Si + 1), damit besetzte Plätze
mit einer +1 und unbesetzte Plätze mit einer 0 gewertet werden können. Zudem lässt sich
so die Gesamtzahl der untersuchten Teilchen bestimmen durch
X
N=
ei .
(31)
i
Die Zustandssumme des Gittergases hat damit die Form
"
#
X
X
∗
ZG =
exp βJ
ei ej ,
(32)
i,j
{ej }
wobei
PN das (*) an der Summe bedeutet, dass bei der Summation die Nebenbedingung
j=1 ej beachtet werden muss. Dies verkompliziert die Berechnung, jedoch kann dem einfach entgegengewirkt werden, indem man den Übergang zur großkanonischen Zustandssumme macht, in der die Summation über alle Besetzungszustände direkt enthalten ist:
"
#
∞
X
X
Z=
z N exp βJ
ei ej , z = eβµ .
(33)
N =0
i,j
z beschreibt dabei die Fugazität und µ das chemische Potential.
Durch umformen der großkanonischen Zustandssumme des Gittergases erhält man
"
#
N
X
X
X
Z=
exp ln z
ei + βJ
ei ej ,
{ej }
i=1
10
i,j
(34)
Patrick Hamers
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was der Zustandssumme des Ising-Modells für ferromagnetische Systeme
" N
#
X
X
X
ZIsing =
exp B
Si + βJ
Si Sj
{Si }
i=1
(35)
i,j
bereits sehr ähnlich sieht. Über die Substitution ei ej = 41 Si Sj + 14 (Si + Sj ) + 14 kann Z
schließlich auf eine ähnliche Form wie ZIsing gebracht werden.
Es sei angemerkt, dass dieser Zusammenhang zwischen einem Fluid-Modell und einem
magnetischen Modell kein Zufall ist. In der Tat lassen sich viele Gemeinsamkeiten und
Äquivalenzen zwischen Fluid- und magnetischen Modellen aufzeigen, auf welche an dieser
Stelle jedoch nicht weiter eingegangen werden soll.
6
Schlussbetrachtung
Das Ising-Modell wurde in einer Dimension sowohl mit als auch ohne externes Magnetfeld
B exakt gelöst. Die Wahl der periodischen Randbedingungen für den Fall mit Feld wurde im
Vergleich der beiden ermittelten Zustandssummen ZN positiv bestätigt. Der Übergang zur
Thermodynamik über die Zustandssumme wurde durchgeführt und verschiedenste thermodynamische Größen berechnet. Dabei galt der spontanen Magnetisierung M besonderes
Augenmerk, da an ihr ein Phasenübergang von der paramagnetischen zur ferromagnetischen Phase zu beobachten wäre. Für den eindimensionalen Fall konnte gezeigt werden,
dass kein Phasenübergang bei endlichen Temperaturen möglich ist. Dies gilt sowohl mit
als auch ohne externem Feld. Das Divergieren der Suszeptibilität χ am kritischen Punkt
Tc (kritische Temperatur) bestätigt dieses Ergebnis. Weiterhin erfüllt das Ising-Modell den
dritten Hauptsatz der Thermodynamik, wie anhand der Entropie S gezeigt werden konnte.
Neben der Beschreibung magnetischer Systeme eignet sich das Ising-Modell auch zur Beschreibung von Fluiden und vielen weiteren Modellen, was anhand des Gittergases kurz
erläutert wurde.
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Patrick Hamers
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Literatur
[Bru67] S. Brush: History of the Lenz-Ising Model, Revies of Modern Physics, Band 39,
(1967)
[Hua64] K. Huang: Statistische Mechanik - Dritter Band, (John Wiley & Sons, Inc., New
York 1964)
[Nol05] W. Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 6 - Statistische Physik, 5. Aufl,
(Springer, Berlin 2005)
[Röm94] H. Römer, T. Filk: Statistische Mechanik, (VCH, Weinheim 1994)
[Sha89] A. Shaukat: Path Integral Method, Lattice Gauge Theory and Critical Phenomena, (World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. 1989)
[Sta71] E. Stanley: Introduction to Phase Transitions and Critical Phenomena, (Oxford
University Press, New York 1971)
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