1 Aussagen und Beweise

1 Aussagen und Beweise
1 Aussagen und Beweise
• Erkenntnistheorie
• Wissenschaftstheorie
• Logik
Version 0.1 – 14. August 2003
c Dr. Theodor Lettmann
Modellierung WS 2003
1 . 1 (51)
1 Aussagen und Beweise
Erkenntnistheorie
Was ist Wissen? Wie erkennt das Subjekt? Wie ist unser Verhältnis zu Außenwelt?
Die Erkenntnistheorie beschäftigt sich mit der Natur, der Quelle und den Grenzen menschlicher Erkenntnis und menschlichen
Wissens.
Wissenschaftstheorie
Was ist Wissenschaft? Welches sind ihre Methoden?
Die Wissenschaftstheorie beschäftigt sich mit der methodologischen Begründung der Einzelwissenschaften und denjenigen
Fragen, die allen Einzelwissenschaften (als Wissenschaften) gemeinsam sind.
Logik
Was ist ein Argument? Was ist ein Beweis? Was ist Wahrheit?
Die Logik beschäftigt sich mit den Fragen nach der Gültigkeit von Argumenten und der Wahrheit von Aussagen.
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c Dr. Theodor Lettmann
Modellierung WS 2003
1 . 1-1 (51)
1 Aussagen und Beweise
Gute Entscheidungen kommen von Erfahrung. Leider kommt Erfahrung gewöhnlich von schlechten Entscheidungen.
unbekannt
Dies gilt auch für Modellierungen!!
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Modellierung WS 2003
1 . 2 (51)
1 Aussagen und Beweise
Kommunikation
Wahrig Deutsches Wörterbuch:
Kommunikation Verständigung (zwischen den Menschen) [<lat. communicatio Mitteilung ]
• Wie findet Kommunikation statt?
– Inhalte
– Medien
– Intention
• Wieso funktioniert Kommunikation?
Gemeinsame Basis für die Verständigung
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Modellierung WS 2003
1 . 3 (51)
1 Aussagen und Beweise
Symbolische Welt
Gegenstand der Kommunikation muss geeignet kodiert werden.
Modell
Kommunikation
Abstraktion
System 1
Modell
Transfer
?
=
System 2
Domäne
Modell ideell vorgestellt oder materiell realisiertes System, das einen Forschungsgegenstand adäquat
widerspiegelt oder spezifische Eigenschaften und Relationen analog reproduziert ...
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Modellierung WS 2003
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1 . 4 (51)
1 Aussagen und Beweise
Modellierung
Ziel: Erwerb von neuem Wissen
Modell
Simulation
Abstraktion
System
Verhalten
Transfer
Experiment
Verhalten
Domäne
Modell ideell vorgestellt oder materiell realisiertes System, das einen Forschungsgegenstand adäquat
widerspiegelt oder spezifische Eigenschaften und Relationen analog reproduziert und ihn so zu
vertreten vermag, dass sein Studium es dem Menschen ermöglicht, neue Erkenntnisse über diesen
Untersuchungsgegenstand zu erhalten oder zur besseren Beherrschung des
Untersuchungsgegenstandes selbst beizutragen.
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Modellierung WS 2003
1 . 5 (51)
1 Aussagen und Beweise
Terminologie (1)
Gegenstand
Sammelbegriff für das, worauf sich das Interesse oder die Beobachtung richtet und worüber berichtet
und diskutiert werden kann
In der Logik und Semantik wird all das als Gegenstand bezeichnet,
• wofür ein Eigenname eingesetzt werden kann, oder
• ein konkreter (singulärer) Gegenstand, d.i. ein Individuum oder abstrakter Gegenstand, d.i.
Klassen oder Relationen von Gegenständen oder die Eigenschaften oder Beziehungen von
Gegenständen, oder
• eine Aussage, über die eine Metaaussage getroffen wird.
Begriff
komplexe Gesamtheit von Gedanken über Unterscheidungsmerkmale eines untersuchten Objektes,
die in Urteilen ausgesprochen werden und allgemeine und gleichzeitig möglichst wesentliche
Eigenschaften des Objektes angeben sollen.
Jeder Begriff hat einen Begriffsinhalt, das ist die Gesamtheit der in ihm fixierten
Unterscheidungsmerkmale, und einen Begriffsumfang (Extension), das ist die Gesamtheit der durch
den jeweiligen Begriff bezeichneten Gegenstände.
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Modellierung WS 2003
1 . 6 (51)
1 Aussagen und Beweise
Für die Gegenstände unserer Umwelt haben wir eine Vielzahl von Begriffen geschaffen. Ein Begriff bezeichnet eine Idee oder ein Konzept,
allgemein eine Struktur im Denken, die uns Gegenstände vermitteln. Begriffe bezeichnen nicht nur Klassen von Gegenständen, sondern
auch abstrakte Vorstellungen.
Für die Begriffe haben wir sprachliche Ausdrücke, die wir verwenden, wenn wir miteinander kommunizieren (direkt im Gespräch oder indirekt z.B. über Telefon oder eine Notiz). Geprochene oder geschriebene Ausdrücke können wir als Symbole auffassen, die stellvertretend
für die Begriffe stehen.
Eine Voraussetzung für eine Kommunikation ist, dass die Kommunikationspartner gleiche Zuordnungen von Symbolen für Begriffe (vgl. Kryptographie) und von Begriffen für Konzepte (vgl. Rechts-Links-Verwechslung) und Gegenstände verwenden. Diese gleiche Zuordnung kann
man durch die Verwendung von Definitionen erreichen, die neue Begriffe durch Verwendung bekannter Begriffe beschreibt.
Allerdings kann man dieses Verfahren der Definition nicht beliebig weit anwenden. Es muss einen Anfangsbestand von Begriffen geben, von dem wir voraussetzen, dass er bei beiden Gesprächspartner fast gleich sein muss, zumindest soweit es den Gegenstand der
Kommunikation betrifft. Wie unsicher diese Voraussetzung ist, bemerkt man immer wieder bei Wörtern, die Begriffe zu Empfindungen
beschreiben, etwa Liebe.
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Modellierung WS 2003
1 . 6-1 (51)
1 Aussagen und Beweise
Terminologie (2)
Begriffsbestimmung
logische Operation, durch die der Inhalt eines Begriffes erklärt wird.
Um einen Begriff zu definieren, ist die Grenze zu finden, die die von dem jeweiligen Begriff erfassten
Gegenstände von allen ihm ähnlichen Gegenständen trennt. Dazu muss man die (möglichst
wesentlichen) Eigenschaften eines Gegenstandes feststellen.
Mit Zunahme des Begriffsinhalts wird der Begriffsumfang kleiner und umgekehrt.
• Definition über die nächste Gattung und den Artunterschied
• genetischen Begriffsbestimmung
Definition
Satz, der die Merkmale angibt, welche die Eigenschaften von Gegenständen widerspiegeln oder die
Bedeutung eines entsprechenden Terminus aufdecken.
Ein X
ist
Definiendum
ein Y mit Z .
Definiens
In logisch-semantischer Hinsicht ist die Definition ein Denkverfahren, mit dessen Hilfe die Bedeutung
eines Zeichenausdrucks ermittelt, präzisiert oder eine Sprache durch Einführung eines neuen
Zeichens erweitert wird.
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Modellierung WS 2003
1 . 7 (51)
1 Aussagen und Beweise
In der mathematischen Logik identifiziert man meistens den Begriff mit dem Begriffsumfang und versteht unter einem Begriff ein Prädikat,
das sich auf einen bestimmten Bereich von Gegenständen bezieht, über die die Diskussion geht und dessen Elemente nicht genauer
fixiert sind. Der Begriff Himmelskörper wird z.B. durch das Prädikat „x ist ein Himmelskörper “ beschrieben, dessen freie Variable x mit
einer beliebigen Art von Gegenständen belegt werden kann und das genau auf jene Gegenstände zutrifft, die Himmelskörper sind.
Die unmittelbar umfassendere Klasse von Gegenständen (Gattung), zu der die betrachteten Gegenstände gehören, wird als nächsthöhere
Gattung bezeichnet. Für Alkalimetall z.B. ist Metall die nächsthöhere Gattung
Artunterschied heißt ein Merkmal, durch das sich Gegenstände der einen Art von Gegenständen anderer Arten unterscheiden, die zur
selben Gattung gehören.
Eine genetische Begriffsbestimmung ist eine Definition, in der auf die Herkunft des Gegenstandes verwiesen wird, dessen Begriff definiert
wird, auf die Art und Weise, in der dieser Gegenstand geschaffen wird. In der Geometrie wird z.B. der Begriff Kreis genetisch definiert
durch Ein Kreis ist eine Kurve, die durch die Bewegung eines Punktes in einer Ebene mit gleichem Abstand um ein Zentrum gebildet
wird. Für die genetische Definition bleiben die Regeln der Definition über die nächste Gattung und den Artunterschied gültig. Im genetisch
erhaltenen Begriff sind Hinweis auf die nächste Gattung und den Artunterschied enthalten.
• Definitionen geben für Begriffe die (möglichst wesentliche) Merkmale und Erscheinungen eines Gegenstandes wieder, um den
Gegenstand durch Hinweis auf seine charakteristischen Eigenschaften von allen anderen Gegenständen zu unterscheiden.
• Definitionen geben eine Bedeutungserklärung eines Wortes, Namens oder eines Terminus, der einen Begriff bezeichnet. (Ein
neuer Terminus wird eingeführt als Abkürzung für einen anderen Ausdruck, es wird die Bedeutung eines neu in die Theorie
eingeführten Zeichens Wortes oder Ausdrucks erklärt.
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Modellierung WS 2003
1 . 7-1 (51)
1 Aussagen und Beweise
Für eine Definition muss die Forderung nach gegenseitiger Ersetzbarkeit von Definiendum und Definiens hinsichtlich der entsprechenden
Sätze der Sprache erfüllt sein, es sei denn, die Erfüllung dieser Forderung wird durch die Struktur der Definition selbst oder durch den
Wissensstand verhindert.
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1 . 7-2 (51)
1 Aussagen und Beweise
Feststellende Definition
Eine feststellende Definition eines Audrucks A der Sprache S bemüht sich, den Sinn genau wiederzugeben, den dieser Ausdruck
in der Sprache S besitzt.
Es gelingt nicht immer, eine feststellende Definition zu konstruieren. In einigen Fällen sogar ist diese Aufgabe nicht zu bewältigen.
Grund der Schwierigkeiten sind die Vagheit des Begriffsumfangs und die Unbestimmtheiten sowie Schwankungen im Sinn sehr
vieler Ausdrücke, vor allem derjenigen, die in weniger exakten Kontexten auftreten, z.B. in der Alltagssprache.
Festsetzende Definition
Eine festsetzende Definition des Ausdrucks A in der Sprache S liegt vor, wenn der Ausdruck A in der Sprache S vor der
Einführung der Definition ungebräuchlich war, oder wenn sie für den Ausdruck A einen neuen Sinn festsetzt, ohne sich um den
bereits festgestellten Sinn dieses Ausdrucks zu kümmern.
Die Anwendung der festsetzenden Definition auf einen bereits vorhandenen Terminus hat manchmal zum Ziel, die wissenschaftliche Verwendbarkeit eines Begriffes wiederherzustellen.
In anderen Fällen wird man dagegen mit Hilfe der festsetzenden Definition einigen Ausdrücken der Umgangssprache ein emotionales Potential verleihen oder ändern, um diese Termini zum Zweck der Überredung und zur Formung emotionaler Einstellungen
der Menschen benutzen zu können.
Regulierende Definition
Eine regulierende Definition des Ausdrucks A in der Sprache S liegt vor, wenn sich diese Definition teilweise an den Sinn hält,
den dieser Ausdruck in S bereits hatte, und teilweise von diesem Sinn abweicht, z.B. um den Begriffsumfang des Ausdrucks A
schärfer zu bestimmen und ihn so für bestimmte wissenschaftliche Zwecke brauchbar zu machen.
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1 . 7-3 (51)
1 Aussagen und Beweise
Häufige Fehler in Definitionen (1)
Inadäquatheit
In einer adäquaten feststellenden Definition muss das Definiens so gewählt werden, dass sein
Umfang dem festgestellten Umfang des Definiendum gleicht.
Zu weite Definition: Ein Rechteck ist eine geometrische Figur mit vier Ecken.
Zu enge Definition: Ein Rechteck ist eine Seitenfläche eines Würfels.
Zirkularität
Man kann einen Ausdruck nicht mit Hilfe desselben Ausdrucks definieren.
Unmittelbarer Zirkel: Ein Quadrat ist ein quadratisches Viereck.
Mittelbarer Zirkel: bei zwei oder mehr Definitionen
Definition des Unbekannten durch Unbekanntes
Das Definiendum wird durch ein Definiens bestimmt, das selbst unbekannt ist und daher zuvor
definiert werden muss.
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Modellierung WS 2003
1 . 8 (51)
1 Aussagen und Beweise
Häufige Fehler in Definitionen (2)
Widersprüchlichkeit
Eine Definition ist widersprüchlich, wenn aus ihr ein widersprüchliches Paar von Sätzen folgt, d.h.
Sätze, von denen der eine bestreitet, was der andere behauptet.
Beispiel:
Die Quadratwurzel einer Zahl x ist eine Zahl y , deren Quadrat der Zahl x gleicht, d.h. sqrt(x)
genau dann, wenn y 2 = x.
=y
Unklarheit
Eine Definition muss in verständlichen und bekannten Wörtern ausgedrückt werden, die eine
Mehrdeutigkeit ausschließen.
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Modellierung WS 2003
1 . 9 (51)
1 Aussagen und Beweise
Wissen
Der Planet Pluto dreht sich um die Sonne.
Wissen über einen Sachverhalt
• Wahrheit
Der Sachverhalt muss zutreffen.
• Glaube
Man muss von der Wahrheit des Sachverhaltes überzeugt sein.
• Begründung
Man muss die Wahrheit des Sachverhaltes begründen können.
Problem: Wie steht es mit den Begründungen?
• unendliche Regress: für jede Begründung eine neue Begründung finden
• Zirkelschluss: bereits vorgebrachte Begründung wiederverwenden
• Dogmatismus: Begründungskette irgendwo Ű– vielleicht willkürlich Ű– abbrechen
Der Skeptizismus bezweifelt prinzipiell die Möglichkeit sicherer Erkenntnis.
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Modellierung WS 2003
1 . 10 (51)
1 Aussagen und Beweise
Formen des Wissens
Wissen = Erkenntniszustand allgemeiner intersubjektiv-vermittelter Sicherheit
• Wissen-Dass: Propositionales Wissen
Wissen, dass etwas der Fall ist, dass eine bestimmte Proposition wahr ist
Ich weiß, dass Bonn am Rhein liegt.
• Wissen-Von: Kenntnis
Wissen durch Bekanntschaft
Ich kenne den Geruch von Ananas.
• Wissen-Wie: Verfahrenswissen
Wissen, wie etwas zu tun ist
Ich weiß, wie man ein Fahrrad fährt.
These: Wissen-Wie und Wissen-Von sind auf propositionales Wissen reduzierbar
Problem: Propositionales Wissen muss vorhanden sein und artikuliert werden können!
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Modellierung WS 2003
1 . 11 (51)
1 Aussagen und Beweise
Kurt Gödel (1906-1978)
Amerikanischer Logiker und Mathematiker österreichischer Herkunft. Emigrierte 1939 in die USA und lehrte in Princeton. Als einer der
größten Logiker aller Zeiten leistete er bahnbrechende Beiträge zur mathematischen Grundlagenforschung und zur Mengenlehre. 1930
bewies er die Vollständigkeit der Prädikatenlogik, 1938 bewies er, dass die Mengenlehre widerspruchsfrei bleibt, wenn man die Kontinuumshypothese zum Zermelo-Fraenkelschen Axiomensystem der Mengenlehre hinzunimmt.
Seine bedeutendste Leistung veröffentlichte er in dem Aufsatz Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme (1931). In dieser Arbeit bewies Gödel erstens, dass es mathematische Sätze gibt, die sich weder beweisen noch
widerlegen lassen. Überdies zeigte er zweitens, dass sich die Widerspruchsfreiheit der Zahlentheorie nicht mit Mitteln der Zahlentheorie
selbst beweisen läßt.
Die philosophische Bedeutung dieser beiden sog. Unvollständigkeitssätze liegt darin begründet, dass Gödel hier erstmals die formalen
Grenzen mathematischen Wissens aufgezeigt hat und damit jahrhundertelange Vorstellungen von Mathematik zerstört hat. Nicht einmal in
der exaktesten Wissenschaft ist es möglich, alles zu wissen, da es Sätze gibt, die sog. unentscheidbaren Sätze, die man weder beweisen
noch widerlegen kann.
Überdies können wir niemals sicher sein, dass selbst die Zahlentheorie frei von Widersprüchen ist, da ein Beweis dieser Tatsache Mittel
erfordern würde, die komplizierter als die Zahlentheorie selbst sein müßten. Diese Mittel wären in ihren Voraussetzungen noch problematischer als die Zahlentheorie selbst, in dem Sinne, dass jeder Beweis der Widerspruchsfreiheit dieser Mittel wieder kompliziertere Mittel
als diese erfordern würde.
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Modellierung WS 2003
c Dr. Theodor Lettmann
1 . 11-1 (51)
1 Aussagen und Beweise
Urteil
sowohl der sprachliche Ausdruck des Aussagesatzes wie „Prag liegt an der Moldau.“ — auch
Proposition oder Aussage genannt — als auch der Aussageinhalt selbst, der mit einem Aussagesatz
ausgedrückt wird.
In einem Urteil wird immer ein Sachverhalt zum Ausdruck gebracht. Daher sind Urteile entweder wahr
oder falsch.
SaP
SiP
Version 0.1 – 14. August 2003
c Dr. Theodor Lettmann
di
kt
or
---
ra
nt
ko
partikular verneinend
subaltern
SoP
h
isc
universal verneinend
or
kt
di
SeP
---
partikular bejahend
ra
SiP
nt
universal bejahend
subaltern
ko
SaP
SeP
konträr
isc
h
Logisches Quadrat
subkonträr
SoP
Modellierung WS 2003
1 . 12 (51)
1 Aussagen und Beweise
Ein kategorischesUrteil enthält keine weiteren Urteile und besteht lediglich darin, dass ein Prädikat von einem Subjekt ausgesagt wird.
Kategorische Urteile teilt man in singuläre Urteile, in denen der Subjektausdruck ein Name oder eine bestimmte Beschreibung eines
Einzeldings enthält, und generelle Urteile, die die universalen Urteile und die partikulären Urteile Zusammenfassen.
Universale Urteile (oder auch allgemeine Urteile) sind generelle Urteile die mit Hilfe von Quantoren wie alle oder keine formuliert werden.
Partikuläre Urteile sind solche die den Quantor einige enthalten.
definit partikulär: nur einige S sind (oder sind nicht) P
unbestimmt partikulär: mindestens einige — aber vielleicht auch alle — S sind (oder sind nicht) P
Den kategorischen Urteilen stehen Urteile gegenüber, die ein oder mehrere Urteile in Verbindung mit einer oder mehreren logischen
Konstanten enthalten. Hier unterscheidet man u.a. zwischen Negationen (Es regnet nicht), Konjunktionen (Es regnet, und die Straße ist
nass), Disjunktionen (Es regnet, oder es schneit), bedingten Urteilen und Bi-Konditionalen (Die Straße ist genau dann nass, wenn es
regnet).
Bedingt bzw. hypothetisch man also ein Urteil, in dem die Abhängigkeit einer Erscheinung von irgendwelchen Voraussetzungen, Bedingungen widergespiegelt wird, wobei Begründung und Folge meist durch die logische Kopula wenn ..., so ... verknüpft werden, z.B. Wenn
es regnet, so wird die Strraße nass. Die Kopula zeugt von einem Zusammenhang zwischen Begründung und Folge. Ein bedingtes Urteil
ist falsch, wenn die Begründung wahr ist, aber die Folge falsch. Es ist wahr, wenn sowohl Begrüdung als auch Folge wahr ist.
Statt von Negationen redet man auch von negierenden oder verneinenden Urteilen. Urteile die nicht verneinend sind heißen affirmativ
oder bejahend. Affirmative und negierende Urteile darf man nicht mit bejahten und negierten Urteilen verwechseln. Das Wesen der
verneinten oder negierten Urteile wird nicht durch die affirmative oder negierende Form bestimmt, sondern durch den Charakter der
Wechselbeziehung zwischen den jeweiligen Urteilen. Als verneinendes Urteil bezeichnet man ein Urteil, das auf die Falschheit eines
anderen Urteils hinweist, das dann verneint heißt.
Version 0.1 – 14. August 2003
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Modellierung WS 2003
1 . 12-1 (51)
1 Aussagen und Beweise
Durch die Vereinigung der Urteile in affirmative und negierende bzw. in partikuläre und allgemeine lassen sich die vier Urteilsarten
allgemein bejahendes Urteil, partikulaer bejahendes Urteil, partikulär bejahendes Urteil und partikulär verneinendes Urteil untrscheiden.
Die allgemein bejahenden und die partikulär verneinenden Urteile sowie die allgemein verneinenden und die partikular bejahenden Urteile
bilden jeweils ein Paar kontradiktorischer Urteile, sie können nicht zugleich wahr oder falsch sein. Die allgemein bejahenden Urteile und
die allgemein verneinenden Urteile sind ein Paar konträrer Urteile, sie können nicht zugleich wahr, aber zugleich falsch sein. Die partikular
bejahenden Urteile und die partikular verneinenden Urteile bilden ein Paar subkonträrer Urteile sie können nicht zugleich falsch, aber
zugleich wahr sein. Die allgemeinen bejahenden Urteile und die partikular bejahenden Urteile bzw. die allgemein verneinenden Urteile
und die partikular verneinenden Urteile sind subaltern.
Version 0.1 – 14. August 2003
c Dr. Theodor Lettmann
Modellierung WS 2003
1 . 12-2 (51)
1 Aussagen und Beweise
Aussagen
Zweck:
(mathematische) Aussagen über Eigenschaften von (mathematischen) Objekten machen
E Aussage:
E ist ein sprachliches Gebilde, dem genau einer der Wahrheitswerte
a) wahr (Abkürzung w , W , t, T , , L oder 1) oder
b) falsch (Abkürzung f , F , ⊥ oder 0)
zugeordnet werden kann.
Sprachliche Gebilde sind endlich!
Beispiele
• Die Woche hat 7 Tage.
• Der Ball ist rund.
• Wasser siedet bei 100 Grad Celsius.
• Die 458.594.758.234.te Stelle von π ist 8.
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c Dr. Theodor Lettmann
Modellierung WS 2003
1 . 13 (51)
1 Aussagen und Beweise
Die Tatsache, dass einer Aussage genau einer der Wahrheitswerte wahr oder falsch zugeordnet ist, darf nicht mit dem Problem verwechselt werden, den richtigen Wahrheitswert festzustellen. Dies kann ein überaus schwieriges, sogar unlösbares Problem sein.
Version 0.1 – 14. August 2003
c Dr. Theodor Lettmann
Modellierung WS 2003
1 . 13-1 (51)
1 Aussagen und Beweise
Prinzip der Zweiwertigkeit
Prinzip der Zweiwertigkeit bzw. Bivalenzprinzip:
Semantische Prinzip, wonach jeder Satz entweder wahr oder falsch sein muss, unabhängig von unserer
Fähigkeit, seinen Wahrheitswert festzustellen.
Aus dem Prinzip der Zweiwertigkeit folgen zwei Prinzipien:
• Prinzip vom ausgeschlossenen Widerspruch:
Keine Aussage ist zugleich wahr und falsch.
• Prinzip vom ausgeschlossenen Dritten:
Jede Aussage ist wahr oder falsch.
Version 0.1 – 14. August 2003
c Dr. Theodor Lettmann
Modellierung WS 2003
1 . 14 (51)
1 Aussagen und Beweise
Aussageformen
Zweck:
Aussagen über Eigenschaften aller oder weniger Objekte machen
Eine Variable ist ein Platzhalter für ein beliebiges Objekt, das wir an seiner Stelle einsetzen.
E(x1 , . . . , xn ) Aussageform mit freien Variablen x1 , . . . , xn :
E(x1 , . . . , xn ) ist ein sprachliches Gebilde, das die Variablen x1 , . . . , xn enthält.
Durch Einsetzen von Objekten für die Variablen wird aus der Aussageform eine Aussage und erhält damit
einen Wahrheitswert.
Die Anzahl der Variablen ist endlich!
Beispiele
• x hat 7 Tage.
• x ist nicht rund.
• x siedet bei y Grad Celsius und x ist y .
Wir können Aussageformen als Schemata auffassen, die stellvertretend für die Menge aller Aussagen
stehen, die durch die möglichen Einsetzungen von Objekten für Variable entstehen.
Version 0.1 – 14. August 2003
c Dr. Theodor Lettmann
Modellierung WS 2003
1 . 15 (51)
1 Aussagen und Beweise
Verknüpfungen von Aussagen (1)
Mit verschiedenen Verknüpfungsoperationen lassen sich aus einzelnen Aussagen neue Aussagen
zusammensetzen. Den zusammengesetzten Aussagen werden in folgender Weise Wahrheitswerte
zugeordnet:
a) Der Aussage „E und F “ ist der Wahrheitswert wahr zugeordnet, wenn beiden Aussagen also E
und F der Wahrheitswert wahr zugeordnet ist. Ansonsten wird E und F der Wahrheitswert falsch
zugeordnet.
b) Der Aussage „E oder F “ ist der Wahrheitswert wahr zugeordnet, wenn einer der beiden Aussagen E
oder F der Wahrheitswert wahr zugeordnet ist. Ansonsten wird E oder F der Wahrheitswert falsch
zugeordnet.
Beispiele
• Die Woche hat 7 Tage und Wasser siedet bei 100 Grad Celsius.
• Der Ball ist rund oder eckig.
Abkürzung für: Der Ball ist rund oder der Ball ist eckig.
Version 0.1 – 14. August 2003
c Dr. Theodor Lettmann
Modellierung WS 2003
1 . 16 (51)
1 Aussagen und Beweise
Verknüpfungen von Aussagen (2)
c) Der Aussage „nicht E “ ist der Wahrheitswert wahr zugeordnet, wenn der Aussagen E der Wahrheitswert falsch zugeordnet ist. Ansonsten wird nicht E der Wahrheitswert falsch zugeordnet.
Beispiele
• Die Woche hat nicht 7 Tage.
• Der Ball ist nicht rund.
• Wasser siedet nicht bei 100 Grad Celsius.
• Die Nacht ist nicht weiß, sondern ...
Die Wahrheitswerte der zusammengesetzten Aussagen werden über die Wahrheitswerte der enthaltenen
Teilaussagen bestimmt.
Analog können auch Aussageformen und Aussagen oder nur Aussageformen miteinander verknüpft
werden: es entstehen wieder Aussageformen.
Durch Einsetzen entstehen dann zusammengesetzte Aussagen, deren Wahrheitswert wie oben bestimmt
wird.
Version 0.1 – 14. August 2003
c Dr. Theodor Lettmann
Modellierung WS 2003
1 . 17 (51)
1 Aussagen und Beweise
Achtung:
Gegensätze und Verneinungen dürfen nicht verwechselt werden. Beispiele für Gegensätze sind
• weiß und schwarz
• heiß und kalt
• oben und unten
Aber jedes Objekt, dessen Farbe nicht weiß ist, sondern z.B. rosa oder himmelblau hat die Eigenschaft nicht weiß.
Version 0.1 – 14. August 2003
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Modellierung WS 2003
1 . 17-1 (51)
1 Aussagen und Beweise
Wenn-Dann-Aussagen
„Wenn es regnet, wird die Straße nass.“
Allgemein: „Wenn Aussage E , dann Aussage F .“
• Wenn-Dann-Aussagen sind häufig Aussagen über Ursache-Wirkung-Zusammenhänge.
• Wenn-Dann-Aussagen werden für Voraussagen über die Wahrheit von Aussagen benutzt.
• Die Wahrheit von Wenn-Dann-Aussagen wir über die Wahrheitswerte der Teilaussagen bestimmt.
Wahrheitswert von Wenn-Dann-Aussagen
d) Der Aussage „wenn E , dann F “, in Zeichen „E ⇒ F “, ist der Wahrheitswert wahr zugeordnet,
wenn beiden Aussagen also E und F der Wahrheitswert wahr zugeordnet ist oder wenn E der
Wahrheitswert falsch zugeordnet ist. Ansonsten wird Wenn E , dann F der Wahrheitswert falsch
zugeordnet.
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c Dr. Theodor Lettmann
Modellierung WS 2003
1 . 18 (51)
1 Aussagen und Beweise
All-Aussagen
Zweck:
Aussagen über Eigenschaften aller Objekte machen
a) Ist E(x) eine Aussageform und x die einzige darin enthaltene freie Variable, so entsteht eine AllAussage durch:
„Für alle x gilt E(x).“
Die Aussage ist wahr, falls für keine Einsetzung von Objekten für x die entstehende Aussage falsch
ist.
b) Ist E(x1 , . . . , xn ) eine Aussageform und xi mit 1 ≤ i ≤ n eine der vorkommenden Variablen,
aber nicht die einzige Variable, so entsteht eine Aussageform durch:
„Für alle xi gilt E(x1 , . . . , xn ).“
Diese Aussageform hat die freien Variablen x1 , . . . , xi−1 , xi+1 , . . . , xn .
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Modellierung WS 2003
1 . 19 (51)
1 Aussagen und Beweise
Beispiele für All-Aussagen
• Für alle x gilt, dass x 7 Tage hat.
• Für alle x gilt, dass x rund ist.
• Für alle x gilt x ist y .
Die Wahrheit von All-Aussagen wird über die Wahrheitswerte der durch Einsetzung entstehenden Teilaussagen bestimmt.
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c Dr. Theodor Lettmann
Modellierung WS 2003
1 . 20 (51)
1 Aussagen und Beweise
Allgemeine Wenn-Dann-Aussagen
Zweck:
Aussagen über Eigenschaften aller Objekte, meist in Wenn-Dann-Form
• Für alle x gilt, dass
wenn E(x), dann F(x).
• Für alle x gilt, dass F(x), wenn E(x).
• Für alle x mit E(x) gilt F(x).
• F(x) für alle x mit E(x).
• Die Erfolgsaussichten sind rosig für alle fleißigen Studenten.
Version 0.1 – 14. August 2003
c Dr. Theodor Lettmann
Modellierung WS 2003
1 . 21 (51)
1 Aussagen und Beweise
Woher kommen Allgemeine Wenn-Dann-Aussagen?
Hypothetisch-deduktive Methode in den Wissenschaften nach Karl Raimund Popper (1902-1994):
1. Zu erklärendes Problem (Menge von Beobachtungen)
2. Hypothesenbildung (mögliche Erklärung des Problems, Theorie)
3. Ableitung von Voraussagen aus der Hypothese
4. Test der Hypothese durch Beobachtung bzw. Experiment
Eine Allgemeine Wenn-Dann-Aussage kann man auffassen als Theorie zu einer Menge von Beobachtungen, die noch nicht falsifiziert
wurde.
Beispiel:
Basis:
Messreihen mit verschiedenen festen Widerständen und unterschiedlichen Spannungen
Theorie:
Ohmsches Gesetz: U = R · I
Voraussage der Ergebnisse über den Rahmen der Experimente hinaus
• für beliebige Widerstände
• für beliebige Spannungen
innerhalb vernünftiger Grenzen (Experimentierumgebung, Messgenauigkeit, Messbarkeit,...).
Version 0.1 – 14. August 2003
c Dr. Theodor Lettmann
Modellierung WS 2003
1 . 21-1 (51)
1 Aussagen und Beweise
Existenz-Aussagen
Zweck:
Aussagen über Eigenschaften einzelner Objekte machen
a) Ist E(x) eine Aussageform und x die einzige darin enthaltene freie Variable, so entsteht eine
Existenz-Aussage durch:
„Es gibt ein x mit E(x).“
Die Aussage ist wahr, falls es Einsetzung eines Objektes für x gibt, so dass die entstehende Aussage
wahr ist.
b) Ist E(x1 , . . . , xn ) eine Aussageform und xi mit 1 ≤ i ≤ n eine der vorkommenden Variablen,
aber nicht die einzige Variable, so entsteht eine Aussageform durch:
„Es gibt ein xi mit E(x1 , . . . , xn ).“
Diese Aussageform hat die freien Variablen x1 , . . . , xi−1 , xi+1 , . . . , xn .
Version 0.1 – 14. August 2003
c Dr. Theodor Lettmann
Modellierung WS 2003
1 . 22 (51)
1 Aussagen und Beweise
Beispiele für Existenz-Aussagen
• Es gibt ein x mit x hat 5 Tage.
• Es gibt ein x mit x ist rund.
• Es gibt ein x mit x siedet bei y Grad Celsius.
• Für alle x gibt es ein y mit x ist y .
Die Wahrheit von All- und Existenz-Aussagen wird über die Wahrheitswerte der durch Einsetzung entstehenden Teilaussagen bestimmt.
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c Dr. Theodor Lettmann
Modellierung WS 2003
1 . 23 (51)
1 Aussagen und Beweise
Beweise
Wir unterscheiden zwei Typen von Aussagen:
• Axiome sind Aussagen, deren Wahrheit wir ohne Begründung hinnehmen.
• Für alle anderen Aussagen muss eine Begründung für deren Wahrheitswert wahr oder falsch
gegeben werden.
Eine solche Begründung nennen wir Beweis.
Ein Beweis für eine Aussage A besteht aus einer Folge von Aussagen A1 , . . . , An mit An = A und der
Eigenschaft, dass jedes Ai entweder ein Axiom ist oder die Konklusion eines Schlusses mit Prämissen
aus A1 , . . . , Ai−1 ist.
Beispiel:
1
2
3
4
5
A ⇒ (B ⇒ C)
A
B
B⇒C
C
Axiom
Axiom
Axiom
Modus Ponens mit 1,2
Modus Ponens mit 3,4
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Modellierung WS 2003
1 . 24 (51)
Modellierung WS 2003
1 . 25 (51)
1 Aussagen und Beweise
Zulässige Schlüsse (1)
• Schluss vom Allgemeinen auf das Einzelne
Für alle x gilt E(x)
E(t)
• Schluss vom Allgemeinen auf das weniger Allgemeine
Für alle x gilt (E(x) ⇒ F(x))
Für alle z gilt (F(z) ⇒ G(z))
Für alle x gilt (E(x) ⇒ G(x))
• Schluss vom Einzelnen auf das Partikuläre
E(t)
Es gibt x mit E(x)
• Distributiver Schluss
nicht E
E oder F
F
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1 Aussagen und Beweise
Zulässige Schlüsse (2)
• Modus Ponens
E
E ⇒F
F
• Modus Tollendo Tollens
nicht F
E ⇒F
nicht E
• Widerspruchsbeweis
E ⇒G
(nicht F) ⇒ (nicht G)
E ⇒F
Um einen Beweis einer Wenn-Dann-Aussage zu führen, nehmen wir die Aussagen des Wenn-Teils als
zusätzliche Voraussetzung (Axiom) und versuchen, einen Beweis für den Dann-Teil zu führen.
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Modellierung WS 2003
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1 . 26 (51)
1 Aussagen und Beweise
Schlüsse mit Wenn-Dann-Aussagen
Wenn-Dann-Aussagen sind unmittelbare Folgerungen für Spezialfälle:
„Wenn 36 durch 12 teilbar ist, dann ist 36 auch durch 6 teilbar.“
Bestimmung der Wahrheitswertes von E
⇒F
• Die Wahrheitswerte von E und gegebenenfalls auch für F müssen bekannt sein.
Bestimmung der Wahrheitswertes von F
• Die Wahrheitswerte von E und von E ⇒ F müssen bekannt sein.
E
In Zeichen:
E ⇒F
F
Wenn-Dann-Aussagen führen
• nicht zur Festlegung eines Wahrheitswertes für F ,
• sondern zur Entdeckung des Wahrheitswertes für F .
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Modellierung WS 2003
1 . 27 (51)
1 Aussagen und Beweise
Anwendung von allgemeinen Wenn-Dann-Aussagen
1. Der Wahrheitswert der Aussage E(a) für ein Objekt a ist wahr.
2. Der Wahrheitswert der Regel ist wahr :
„Für alle x gilt (E(x) ⇒ F(x))“.
3. Bilde den für die Anwendung der Wenn-Dann-Aussage benötigten Spezialfall der
Wenn-Dann-Aussage durch Einsetzung von a für x.
„Wenn E(a) gilt, dann gilt F(a).“
Der Spezialfall der Wenn-Dann-Aussage ist wahr.
4. Die Voraussetzung des Spezialfalles der Wenn-Dann-Aussage ist erfüllt, daher ist der Wahrheitswert
der Aussage F(a) wahr.
In Zeichen:
E(a)
Für alle x gilt (E(x) ⇒ F(x))
F(a)
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Modellierung WS 2003
1 . 28 (51)
1 Aussagen und Beweise
Fehlschlüsse (1)
• Unterschieben einer These
Nachdem man begonnen hat, eine These zu beweisen, beginnt man im Verlaufe der Beweisführung
eine andere These zu beweisen, die der ersten nur äußerlich ähnelt.
• Wer zuviel beweist, beweist gar nichts!
Aus dem Gegebenen folgt bei diesem Fehlschluss nicht nur eine These, sondern auch eine direkt
entgegengesetzte oder falsche These.
• Fundamentaler Fehler
Eine These wird mit bewusst falschen Argumenten begründet. Ein Argument dieses Typs geht also
von falschen Voraussetzungen aus.
• Fehlender Kausalzusammenhang post hoc, ergo propter hoc
Aus der zeitlichen Aufeinanderfolge wird auf einen Kausalzusammenhang geschlossen. Nicht alles,
was einer Erscheinung zeitlich vorausgeht, bildet auch ihren Grund.
• Falsche Disjunktion
Falscher disjunktiver Schluss, weil im Obersatz nicht alle Alternativen aufgeführt werden. Beispiel:
Jeder Winkel ist entweder ein rechter oder ein spitzer Winkel. Der gegebene Winkel ist nicht spitz.
Daraus folgt: Der gegebene Winkel ist ein rechter Winkel.
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Modellierung WS 2003
1 . 29 (51)
1 Aussagen und Beweise
Fehlschlüsse (2)
• Vorwegnahme des Grundes
Als Begründung für eine These wird eine These angeführt, die zwar nicht offensichtlich falsch ist, aber
selber eines Beweises bedarf.
• Tautologie in der Definition
In einer Definition ist das Definiens nur eine einfache Wiederholung dessen, was im Definiendum
enthalten ist. Die Tautologie in der Definition ist ein Spezialfall des unmittelbaren Zirkel.
• Zirkelschluss
Eine These wird aus Argumenten abgeleitet, die ihrerseits aus derselben These gefolgert werden.
• Vermengung vieler Fragen zu einer
In einer Frage werden gleichzeitig mehrere mit ja oder nein zu beantwortenden Fragen
zusammenfasst, so dass sich die Antwort auf jede beliebige aus der Reihe der gestellten Fragen
beziehen kann. Auf derartige Fragen kann man nicht nur mit ja oder nein antworten.
Ein klassisches Beispiel ist der Sophismus: Schlägst Du jetzt Deinen Vater? Die Antwort Nein
bedeutet anzuerkennen, daß es früher so war.
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Modellierung WS 2003
1 . 30 (51)
1 Aussagen und Beweise
Fehlschlüsse (3)
• Zu viele Begriffe
Der Fehler besteht darin, dass im Schluss (Jedes A ist B . Jedes B ist C . Daraus folgt: Jedes A ist
C .) ein vierter Begriff erscheint. Gewöhnlich kommt dieser Fehler bei der Homonymie (gleiches Wort,
verschiedene Bedeutung) vor.
Bereits in der Antike war folgende Fehlschluss bekannt: Die vom Kranken eingenommene Arznei ist
gut. Je mehr Gutes man tut, desto besser ist es. Daraus folgt: Arznei muss man möglichst viel
einnehmen. In diesem Sophismus wird die Mehrdeutigkeit des Wortes gut ausgenutzt. Es bezeichnet
im Obersatz die Wirkung einer Arznei auf den Kranken, kennzeichnet aber im Untersatz das Handeln
von Menschen, anderen Gutes, Angenehmes, Nützliches zu tun.
• Schluss vom bedingt Gesagten zum schlechthin Gesagten
Eine nur unter bestimmten Bedingungen wahre These wird als ein Argument verwendet wird, das
unter allen Bedingungen richtig ist.
• Schluss vom Nichtwissen auf die Nichtexistenz
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Modellierung WS 2003
1 . 31 (51)
1 Aussagen und Beweise
Beweis von Allaussagen
Eine Allaussage
Für alle x gilt E(x).
kann bewiesen werden, indem man einen Beweis für die Aussage E(x) angibt, ohne konkrete Objekte für
x einzusetzen.
Der Beweis für E(x) ist also ein Beweisschema, das für jede Einsetzung eines Objektes a für x zu einem
Beweis für E(a) wird. Daher kann in einem solchen Beweis kein Gebrauch von Eigenschaften bestimmter
Objekte gemacht werden, die für x eingesetzt werden können.
Satz 1.1 Für jedes x
∈ R gilt x = x.
Beweis:
Sei x ∈
R.
=⇒ x = x.
Satz 1.2 Für jedes x
∈ N gibt ein y ∈ N mit x < y .
Beweis:
Sei x ∈ N fest aber beliebig.
Wähle y = x + 1.
=⇒ y ∈ N mit x < y
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1 . 32 (51)
1 Aussagen und Beweise
Beweis von Existenzaussagen
Eine Existenzaussage
Es gibt ein x mit E(x).
kann bewiesen werden, indem man angibt, wie ein Wert für x zu ermitteln ist und zeigt, dass für diesen so
ermittelten Wert x die Aussage E(x) gilt.
Enthält die Existenzaussage freie Variable, so muss zur Ermittlung von x ein Verfahren angewendet
werden, dass die möglichen Einsetzungen für die freien Variablen berücksichtigt.
Satz 1.3 Es gibt eine Quadratzahl x (Quadrat einer natürlichen Zahl), die kleiner als 10 ist.
Beweis:
Wähle x = 9.
=⇒ 9 ist Quadratzahl und 9
Satz 1.4 Für jedes x
< 10
∈ N gibt ein y ∈ N mit x < y .
Beweis:
Sei x ∈ N fest aber beliebig.
Wähle y = x + 1.
=⇒ y ∈ N mit x < y
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Modellierung WS 2003
1 . 33 (51)
1 Aussagen und Beweise
Induktive Definition und Vollständige Induktion
Induktive Definitionen sind eine spezielle Form von Definitionen für Grundbereiche. Es wird beschrieben,
wie Objekte aus Grundbausteinen aufgebaut werden.
Beispiel: Lego (mit beliebig vielen Bausteinen)
Man definiert induktiv Konfigurationen von zusammengebauten Steinen. Spezielle Konfigurationen sind
die fertigen Bausätze.
Für eine induktiv definierte Menge M kann man mit dem Prinzip der Vollständigen Induktion Aussagen
dieses Types zeigen:
Für alle x ∈ M gilt E(x).
Unabgekürzt:
Für alle x gilt: ( wenn x ∈ M , dann gilt E(x)).
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1 . 34 (51)
1 Aussagen und Beweise
Induktive Definition
Eine induktive Definition beschreibt die Elemente einer Menge von Objekten durch Bildungsgesetze für die
Objekte.
Eine induktive Definition einer Menge M besteht aus
• Vorschriften über die Anfangselemente:
Induktionsanfang: Welche Elemente sollen als Anfangselemente in M enthalten sein?
• Vorschriften über die Konstruktion weiterer Elemente:
Induktionsvoraussetzung: Wir verfügen bereits über Elemente aus M .
Induktionsschluss: Wie konstruiere ich aus bekannten Elementen von M ein oder mehrere neue
Elemente von M ?
• Abgrenzung:
Nur nach den Vorschriften erhaltene Elemente sollen in M enthalten sein.
Es können sowohl mehrere Vorschriften für Anfangselemente als auch mehrere Konstruktionsvorschriften
für M angegeben werden, aber immer nur endlich viele.
Insgesamt sollte aber für jedes Element nur genau eine Vorschrift zutreffen: es ist entweder ein
Anfangselement oder ein nach genau einem Konstruktionsprinzip gewonnenes Element.
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1 . 35 (51)
1 Aussagen und Beweise
Induktive Definition
Definition 1.5 (Zeichenketten über Alphabet Σ)
Sei Σ eine endliche Menge von Zeichen, Σ = {s1 , ..., sk } mit k
Zeichenketten über dem Alphabet Σ wird induktiv definiert durch
∈ N. Die Menge aller nicht-leeren
1. Für jeden Buchstaben si ∈ Σ ist si eine Zeichenkette über Σ.
2. Ist w eine Zeichenkette und si ∈ Σ, dann ist wsi eine Zeichenkette über Σ.
3. Nur so gebildete Zeichenketten sind nicht-leere Zeichenketten über Σ.
Die Menge dieser Zeichenketten wird mit Σ+ bezeichnet.
Definition 1.6 (leere Zeichenkette)
Die leere Zeichenkette wird mit ε bezeichnet. Sie besteht aus einer Folge von 0 Zeichen.
Für das Alphabet Σ bezeichnet Σ∗ := Σ+ ∪ {ε} die Menge aller Zeichenketten über Σ.
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1 . 36 (51)
1 Aussagen und Beweise
Induktive Definition der natürlichen Zahlen
Es bezeichne N die Nachfolgerfunktion, also N (x)
:= x + 1.
Definition 1.7 (natürlichen Zahlen N)
Die Menge der natürlichen Zahlen N wird induktiv definiert durch
1. 0 ist natürliche Zahl.
2. Mit der natürlichen Zahl x ist auch N (x) eine natürliche Zahl.
3. Nur nach 1. und 2. gebildete Zeichenketten sind natürliche Zahlen.
Natürliche Zahlen kann man also als Zeichenketten sehen (Terme) und diese Terme zur Abkürzung mit
den üblichen Zahlen bezeichnen (Schachtelungstiefe der Funktion N ).
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1 . 37 (51)
1 Aussagen und Beweise
Induktive Definition
Definition 1.8 (Endliche Summen über R)
Sei (ak )k∈N eine Folge reeller Zahlen und m
n
endlichen Summe
∈ Z . Für n ∈ Z mit m ≤ n wird der Wert der endlichen
ai induktiv definiert durch
i=m
m
1.
ai := am
i=m
2. Für n ∈ N mit m ≤ n sei
n+1
ai :=
i=m
n
i=m
Definition 1.9 (Endliche Summen über R)
Sei (ak )k∈N eine Folge reeller Zahlen und m
n
endlichen Summe
ai definiert durch
i=m
ai + an+1
m
∈ Z . Für n ∈ Z mit m < n wird der Wert der endlichen
ai := 0.
i=m
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Modellierung WS 2003
1 . 38 (51)
1 Aussagen und Beweise
Beweis durch Vollständige Induktion
Ein Beweis durch Vollständige Induktion liefert eine Begründung für eine Aussage über alle Elemente einer
induktiv definierten Menge von Objekten.
Ein induktiver Beweis prüft für jedes Bildungsgesetz die hierdurch erzeugbaren Elemente.
Ein induktiver Beweis für eine induktiv definierte Menge M besteht aus
• Induktionsanfang:
Gilt die Aussage für alle Anfangselemente von M ? Beweis
• Induktionsvoraussetzung:
Wir nehmen an, dass die Aussage bereits für Elemente aus M nachgewiesen wurde.
Induktionsschluss:
Gilt die Aussage für die aus diesen Elementen von M erzeugbaren neuen Elemente von M ? Beweis
• Abgrenzung:
Andere Elemente sind in M nicht enthalten.
Mit dem Prinzip der vollständigen Induktion können wir dann schließen, dass die Aussage für ALLE
Elemente von M gilt.
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Modellierung WS 2003
1 . 39 (51)
1 Aussagen und Beweise
Typen der Vollständigen Induktion
Die Induktion wird in zwei Spezialfälle unterschieden:
a) In der Induktionsvoraussetzung wird gefordert, dass die zu beweisende Eigenschaft nur für die
Elemente schon gezeigt ist, die unmittelbar für die Konstruktion der neuen Elemente benötigt werden.
b) In der Induktionsvoraussetzung wird gefordert, dass die zu beweisende Eigenschaft für alle bisher
konstruierten Elemente gilt.
Version 0.1 – 14. August 2003
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Modellierung WS 2003
1 . 40 (51)
1 Aussagen und Beweise
Beispiel: Typen der Vollständigen Induktion für die natürlichen Zahlen
Aussage: Für alle n
∈ N gilt E(n).
Induktion Typ I
• Induktionsanfang: Zeige E(0).
• Induktionsvoraussetzung: Es gilt E(n) für EIN n ∈ N.
Induktionsschluss: Zeige E(n + 1).
Induktion Typ II
• Induktionsanfang: Zeige E(0).
• Induktionsvoraussetzung: Es gilt E(k) für ALLE k ∈ N, k ≤ n, wobei n ∈ N fest.
Induktionsschluss: Zeige E(n + 1).
Mit dem Prinzip der vollständigen Induktion können wir in beiden Fällen schließen, dass die Aussage
E(n) für alle n ∈ N gilt.
Version 0.1 – 14. August 2003
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Modellierung WS 2003
1 . 41 (51)
1 Aussagen und Beweise
Vollständige Induktion
Definition 1.10 (Potenzen mit natürlichen Exponenten)
Für x ∈ R wird der Wert xn induktiv definiert durch
x0 := 1
Satz 1.11 Für alle natürlichen Zahlen n
xn+1 := xn · x
und
∈ N gilt n < 2n .
Beweis: Induktion über den Aufbau der natürlichen Zahlen
Induktionsanfang: n = 0
Es gilt 0 < 1 und nach Definition 20
0
=⇒ 0 < 2
= 1.
Induktionsvoraussetzung: Für n ≥ 0 gilt n < 2n .
Induktionsschluss n → n + 1: Zeige n + 1 < 2n+1
Es gilt nach Definition 2n+1
= 2n · 2 und 2n · 2 = 2n + 2n .
=⇒ 2n+1 = 2n + 2n
Nach I.V. gilt n < 2n .
=⇒ n + 1 ≤ 2n und 0 < 2n
=⇒ n + 1 < 2n + n + 1 ≤ 2n + 2n = 2n+1
Version 0.1 – 14. August 2003
Modellierung WS 2003
c Dr. Theodor Lettmann
1 . 42 (51)
1 Aussagen und Beweise
Vollständige Induktion
Satz 1.12 Für alle natürlichen Zahlen n
∈ N und n ≥ 3 gilt 2 · n + 1 ≤ n2 .
Beweis: Induktion über den Aufbau der natürlichen Zahlen
Induktionsanfang: n
=3
Es gilt nach Definition 2 · 2 + 1
= 5 ≤ 8 = 23 .
Induktionsvoraussetzung: Für ein n
Induktionsschluss n
≥ 3 gilt 2n + 1 ≤ n2 .
→ n + 1: Zeige 2(n + 1) + 1 ≤ (n + 1)2
Es gilt nach Definition (n + 1)2
Nach I.V. gilt 2 · n + 1
= n2 + 2n + 1.
≤ n2 und n ≥ 3, also 2n + 1 ≥ 2.
=⇒ 2(n + 1) + 1 = 2n + 2 + 1 ≤ 2n + 1 + 2n + 1 ≤ n2 + 2n + 1 = (n + 1)2
Alternative Formulierung der Behauptung:
Für alle natürlichen Zahlen n ∈ N gilt 2 · (n + 3)
≤ (n + 3)2 .
Für diese Aussage läge der Induktionsanfang bei n
Version 0.1 – 14. August 2003
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= 0.
Modellierung WS 2003
1 . 43 (51)
1 Aussagen und Beweise
Vollständige Induktion
Satz 1.13 Für alle natürlichen Zahlen n
∈ N und n ≥ 4 gilt n2 ≤ 2n .
Beweis: Induktion über den Aufbau der natürlichen Zahlen
Induktionsanfang: n
=4
Es gilt nach Definition 42
= 16 und 24 = 16.
=⇒ 42 ≤ 24
Induktionsvoraussetzung: Für n
Induktionsschluss n
→ n + 1: Zeige (n + 1)2 ≤ 2n+1
Es gilt nach Definition 2n+1
Nach I.V. gilt n2
≥ 4 gilt n2 ≤ 2n .
= 2n · 2 = 2n + 2n .
≤ 2n . Mit obigem Satz gilt 2n + 1 ≤ n2 .
=⇒ (n + 1)2 = n2 + 2n + 1 ≤ n2 + n2 ≤ 2n + 2n = 2 · 2n = 2n+1
Version 0.1 – 14. August 2003
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Modellierung WS 2003
1 . 44 (51)
Modellierung WS 2003
1 . 45 (51)
1 Aussagen und Beweise
Vollständige Induktion
Satz 1.14 Für alle natürlichen Zahlen n
∈ N gilt
n
i=0
i=
1
n(n + 1)
2
Beweis: Induktion über den Aufbau der natürlichen Zahlen
Version 0.1 – 14. August 2003
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1 Aussagen und Beweise
Induktive Definition
Definition 1.15 (Spezielle Zeichenketten über Alphabet Σ)
Sei Σ eine endliche Menge von Zeichen, Σ = {s1 , ..., sk } mit k
∈ N mit k ≥ 2.
Die Menge M1 von Zeichenketten über dem Alphabet Σ wird induktiv definiert durch
1. ε ∈ M1
2. Ist w ∈ M1 eine Zeichenkette und si ∈ Σ, dann ist si wsi ∈ M1 .
3. Nur so gebildete Zeichenketten gehören zu M1 .
Die Menge M2 von Zeichenketten über dem Alphabet Σ wird induktiv definiert durch
1. ε ∈ M2
2. Ist w ∈ M2 eine Zeichenkette, dann ist s1 ws2 ∈ M2 .
3. Nur so gebildete Zeichenketten gehören zu M2 .
Welche Zeichenketten gehören zu M1 , welche zu M2 ?
Version 0.1 – 14. August 2003
Modellierung WS 2003
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1 . 46 (51)
1 Aussagen und Beweise
Vollständige Induktion
Satz 1.16 Alle Zeichenketten w
∈ M1 haben eine gerade Länge.
Beweis: Induktion über den Aufbau der Zeichenketten in M1
Satz 1.17 In allen Zeichenketten w
∈ M2 kommt s1 genauso oft vor wie s2 .
Beweis: Induktion über den Aufbau der Zeichenketten in M2
Version 0.1 – 14. August 2003
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Modellierung WS 2003
1 . 47 (51)
1 Aussagen und Beweise
Induktive Definition
Vorgriff auf Termbereiche
Definition 1.18 (Arithmetischer Ausdruck über Z)
Die Menge der arithmetischen Ausdrücke über Z wird induktiv definiert durch
1. Jede Zahl aus Z ist ein arithmetischer Ausdruck.
2. Jede Variable x ist ein arithmetischer Ausdruck.
3. Sind t1 und t2 arithmetische Ausdrücke, so sind auch (t1 + t2 ), (t1 − t2 ) und (t1 · t2 )
arithmetische Ausdrücke.
4. Keine anderen Zeichenketten sind arithmetische Ausdrücke.
Beispiele: 123, (x + (3 · y)), (((x + x) + x) + x)
Version 0.1 – 14. August 2003
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Modellierung WS 2003
1 . 48 (51)
1 Aussagen und Beweise
Vollständige Induktion
Vorgriff auf Termbereiche
Satz 1.19 Jeder Term mit n Funktionssymbolen enthält genau 2n Klammern.
Beweis: Induktion über den Aufbau der Terme
Version 0.1 – 14. August 2003
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Modellierung WS 2003
1 . 49 (51)
1 Aussagen und Beweise
Induktive Definition
Vorgriff auf ungerichtete Graphen
Definition 1.20 (gerichteter Baum) Die Menge der gerichteten Bäume wird induktiv definiert durch
1. Jeder Graph B mit nur einem Knoten ist ein gerichteter Baum.
B
2. Ist k ∈ N und sind B1 , . . . , Bk gerichtete Bäume, so ist auch B ein gerichteter Baum:
B
B1
Bk
3. Keine anderen Strukturen sind gerichteten Bäume.
Version 0.1 – 14. August 2003
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Modellierung WS 2003
1 . 50 (51)
1 Aussagen und Beweise
Vollständige Induktion
Satz 1.21 Alle binären gerichteten Bäume der Tiefe n haben maximal 2n Blätter.
Beweis: Induktion über den Aufbau binärer Bäume
fehlende Begriffe: binärer Baum, Blatt, Tiefe
Version 0.1 – 14. August 2003
c Dr. Theodor Lettmann
Modellierung WS 2003
1 . 51 (51)