Lehrstuhl für Theoretische Elektrotechnik Priv.-Doz. Dr.

Lehrstuhl für Theoretische Elektrotechnik
Priv.-Doz. Dr.-Ing. Thomas Mussenbrock
Technische Elektrodynamik
Theorie elektromagnetischer Wellen
Übungsaufgaben
Aufgabe 1
~ (~r , t) = ŷ E0 cos(ωt − kz).
Die elektrische Feldstärke einer elektromagnetischen Welle ist gegeben durch E
~ r , t).
Berechnen Sie die zugehörige magnetische Feldstärke H(~
Aufgabe 2
~ (~r , t) = ŷ E0 [f+ (z − ct) + f− (z + ct)]. Überprüfen Sie, ob das gegebene
Gegeben ist das elektrische Feld E
elektrische Feld die Maxwell-Gleichungen für Vakuum erfüllt.
Aufgabe 3
~ = x̂E0 e −jkz , b)
Gegeben sind die Phasoren der elektrischen Feldstärke einer elektromagnetischen Welle: a) E
−j(π/2+kz)
jkz
~
~
E = x̂E0 e
und c) E = (x̂ − j ŷ )E0 e . Berechnen die jeweils zugehörige magnetische Feldstärke
~ r , t).
H(~
Aufgabe 4
Gegeben sind Phasoren von elektrischen Feldstärken im Vakuum E~1 = ŷ E0 e −3jkz , E~2 = x̂E0 e jkz und E~3 =
(x̂ + 2j ẑ)E0 e jky . a) Geben Sie an, welchen Phasoren die Helmholtz-Gleichung erfüllen. Geben Sie ggf. die
Dispersionsrelation an. b) Geben Sie an, welche Phasoren zu einer elektromagnetischen Welle gehören.
Aufgabe 5
~ = x̂E0 e −j3πy /m . a) Berechnen Sie die Ausdrücke ∇ × E
~
Gegeben ist eine elektromagnetische Welle mit E
~
und ∇ · E in kartesischen Koordinaten und zeigen Sie, dass sie konsistent zu den Maxwell-Gleichungen sind.
~ c) Berechnen Sie die Wellenlänge λ der Wellen und
b) Berechnen die zugehörige magnetische Feldstärke H.
~ (y , t = 0) und H(y
~ , t = 0) als Funktion von y .
geben Sie die Ausbreitungsrichtung an. d) Skizzieren Sie E
Aufgabe 6
~ = 2x̂ − ŷ + ẑ und B
~ = x̂ + 2ŷ + ẑ. Berechnen Sie i) A
~ + B,
~ ii)
a) Geben sind die beiden Vektorfelder A
~
~
~
~
~
~
~
~
A · B, iii) A × B, iv) |A| und v) den Winkel zwischen A und B. b) A ist jetzt ein Phasor und gegeben durch
~ = x̂ + (1 − j)ŷ + j ẑ. Geben Sie das korrespondierenden Vektorfeld ~a(~r , t) an. c) Das Vektorfeld ~b(~r , t) ist
A
~ an. d)
gegeben durch ~b = 2x̂ cos(ωt − π/4) + ŷ sin(ωt + π/2). Geben Sie den korrespondierenden Phasor B
~
~
Skizzieren Sie die Ortskuven des Vektors d, wenn sein Phasor durch D = j x̂ + 2ŷ gegeben ist.
Aufgabe 7
~ = (j ŷ + ẑ)E0 e −jkx , ii) E
~ =
Gegeben sind die Phasoren von elektrischen bzw. magnetischen Feldern i) E
jky
jkz
~
[x̂(2 + j) + ẑ(3j + 1)]E0 e
und iii) H = (x̂ − j ŷ )H0 e . Geben sie die Polarisation der entsprechenden
elektromagnetischen Welle an.
Aufgabe 8
~ kann dargestellt werden durch eine Überlagerung von
Jede monochromatische elektromagnetische Welle E
~ = (x̂ + j ŷ )E0 e −jkz und E
~ = (x̂ − j ŷ )E0 e −jkz .
zwei entgegengesetzt zirkular polarisierten Wellen, z.B. E
r
l
~ = aE
~ +bE
~ = (3j x̂ − 2ŷ )E0 für z = 0 gilt, die Konstanten a und b.
Berechnen Sie für den Fall, dass E
r
l
Aufgabe 9
Eine elektromagnetische Welle breitet sich im freien Raum (Vakuum) aus und wird beschrieben durch das
~ = x̂E0 e −y /m−j2z/m . a) Handelt es sich um eine homogene ebene Wellen? b)
komplexe elektrische Feld E
Geben Sie die Frequenz der Welle an. c) Berechnen Sie die zeitlich gemittelte Leistung.
Aufgabe 10
Eine rechts-zirkular polarisierte elektromagnetische Welle breitet sich im freien Raum in +ŷ -Richtung aus
~ (~r , t) beschrieben. Sie besitzt die Wellenlänge λ. Für die elektrische
und wird durch das elektrische Feld E
~ (x, y = 0, z, t = 0) = x̂E0 . a) Geben Sie den Phasor der elektrischen Feldstärke an. b) Geben
Feldstärke gilt E
die Wellenzahl k sowie die Frequenz f als Funktionen der gegebenen Parameter an. c) Berechnen Sie den
Phasor der zugehörigen magnetischen Feldstärke. d) Berechnen Sie den zeitlich gemittelten Poynting-Vektor.
1
Aufgabe 11
Eine in x̂-Richtung polarisierte elektromagnetische Welle breitet sich im Vakuum in ŷ -Richtung aus. Die
Welle besitzt eine Wellenlänge von 10 µm und eine Leistungsflussdichte von 1011 W/m2 . (Z.B. ein 10-WLaser, der auf eine 100 µm2 große Fläche fokussiert ist). Die elektrische und magnetische Feldstärke ist
~ (~r , t) und H(~
~ r , t) an. b) Zwei Wellen dieser Art breiten sich
proportional zu sin(ωt − ky ) ist. a) Geben Sie E
nun in entgegengesetzte Richtungen aus, so dass sie interferieren und die elektrische Feldstärke proportional
zu sin(ωt − ky ) + sin(ωt + ky ). Berechnen Sie für die resultierende Welle die elektrische und magnetische
Feldenergiedichten für t = 0 und für y = 0. c) Berechnen Sie für die elektromagnetischen Wellen aus a) und
b) den komplexen Poynting-Vektor.
Aufgabe 12
Die komplexe Leistung, die an ein elektrisches Bauelement übergeben wird, ist gegeben durch V I ∗ /2. Dabei
sind V und I die komplexe Spannung bzw. der komplexe Strom. a) Eine Stromquelle mit I0 cos ωt betreibt eine
Kapazität C . Geben Sie die komplexe Leistung der Kapazität an. Wie groß ist die umgesetzte Wirkleistung.
b) Die selbe Stromquelle betreibt nun eine Reihenschaltung aus einer Kapazität C und einer Induktivität L.
Geben Sie die komplexe Leistung der Reihenschaltung als Funktion der Frequenz ω an. Bei welcher Frequenz
ω0 ist die komplexer Leistung gleich null? d) Interpretieren Sie die Ergebnisse aus b) physikalisch.
Aufgabe 13
Ein 1 m langer dünner Draht verbindet zwei Ladungsreservois, so dass ein Gleichstrom von 1 A fließt. a)
Berechnen Sie das Vektorpotential in der Ebene senkrecht zum Draht. b) Berechnen Sie die magnetische
Feldstärke in der selben Ebene.
Aufgabe 14
a) Welche Ladung Q im Zentrum einer Kugel mit dem Durchmesser von 1 cm erzeugt eine elektrische
Feldstärke, die der nominalen Durchbruchfeldstärke von 3×107 V/m im Abstand 0.5 cm entspricht? b) Berechnen Sie das Potential für den Abstand von 0.5 cm. c) Die Ladung ist nun gemäß Q = Q0 cos(2 × 1011 t)
moduliert. Berechnen Sie die elektrische Feldstärke und das Potential im Abstand von 1 cm von der Ladung.
Aufgabe 15
Ein Dielektrikum mit µ = µ0 habe die Permittivität

9
~
~ε = ε0  0
0
0
4
0

0
0 .
4
Wie ist das Dielektrikum zu positionieren und welche Abmessungen muss es haben, um eine x̂-polarisierte
Welle mit Ausbreitung in ẑ-Richtung in eine ŷ -polarisierte Welle zu transformieren? Die Frequenz der Welle
sei f = 1014 Hz.
Aufgabe 16
~ = (ŷ − 2j ẑ)H0 e 2jx/m . a) Bestimmen Sie die Polarisation der
Gegeben sei die elektromagnetische Welle mit H
Welle. b) Die Welle trete durch ein λ/4-Plättchen mit εy > εz . Wie ist die Polarisation der Welle, die das
Plättchen verlässt? c) Wie dick muss ein λ/4-Plättchen mit εy = 4ε0 und εz = ε0 mindestens sein?
Aufgabe 17
Ein uniaxiales Medium habe die Permittivität


9
0
0
~
.
0
~ε = ε0  0 4(1 − j10−3 )
0
0
4(1 − j10−3 )
Wie kann man aus diesem Material eine Sonnenbrille herstellen, die eine lineare Polarisation absorbiert, die
anderen aber transmittieren lässt? Wie ist die geeignete Dicke des Materials für Licht mit der Frequenz
6.3 × 1014 Hz zu wählen?
Aufgabe 18
Eine homogene ebene Welle breitet sich in einem sehr leitfähigen Medium mit der Leitfähigkeit σ ωε in
positive ẑ-Richtung aus. Die Permittivität und Permebilität des Mediums entsprechen denjenigen im Vakuum.
Das elektrische Feld bei z = 0 ist x̂ E0 . Wie groß ist die Leistung, die in diesem Medium für z > 0 dissipiert
wird?
Aufgabe 19
Gegeben ist eine Platte der Dicke L in x̂-Richtung, die in ŷ - und ẑ-Richtung unendlich weit ausgedehnt sei.
2
~ , die dielektrische Verschiebung D,
~ die Raumladungsdichte der freien LaWie groß ist das elektrische Feld E
dungsträger %f und der gebundenen Ladungsträger %p für folgende Fälle: a) Die Platte besitzt die Leitfähigkeit
σ(x) = σ0 /(1 + x/L) und die Permittivität ε0 . Durch die Platte fließt dabei der Strom ~J = x̂J0 , b) die Platte
ist nicht leitfähig und besitzt die Permittivität ε(x) = ε0 (1 + x/L). Entlang der x̂-Richtung fällt über der
Platte die Spannung V0 ab und c) die Platte besitzt die Leitfähigkeit aus a) und die Permittivität aus b).
3