Lehrstuhl für Theoretische Elektrotechnik Priv.-Doz. Dr.

Lehrstuhl für Theoretische Elektrotechnik
Priv.-Doz. Dr.-Ing. Thomas Mussenbrock
Technische Elektrodynamik
Theorie elektromagnetischer Wellen
Übungsaufgaben
Aufgabe 1
~ (~r , t) = ŷ E0 cos(ωt − kz).
Die elektrische Feldstärke einer elektromagnetischen Welle ist gegeben durch E
~ r , t).
Berechnen Sie die zugehörige magnetische Feldstärke H(~
Aufgabe 2
~ (~r , t) = ŷ E0 [f+ (z − ct) + f− (z + ct)]. Überprüfen Sie, ob das gegebene
Gegeben ist das elektrische Feld E
elektrische Feld die Maxwell-Gleichungen für Vakuum erfüllt.
Aufgabe 3
~ = x̂E0 e −jkz , b)
Gegeben sind die Phasoren der elektrischen Feldstärke einer elektromagnetischen Welle: a) E
−j(π/2+kz)
jkz
~
~
E = x̂E0 e
und c) E = (x̂ − j ŷ )E0 e . Berechnen die jeweils zugehörige magnetische Feldstärke
~ r , t).
H(~
Aufgabe 4
Gegeben sind Phasoren von elektrischen Feldstärken im Vakuum E~1 = ŷ E0 e −3jkz , E~2 = x̂E0 e jkz und E~3 =
(x̂ + 2j ẑ)E0 e jky . a) Geben Sie an, welchen Phasoren die Helmholtz-Gleichung erfüllen. Geben Sie ggf. die
Dispersionsrelation an. b) Geben Sie an, welche Phasoren zu einer elektromagnetischen Welle gehören.
Aufgabe 5
~ = x̂E0 e −j3πy . a) Berechnen Sie die Ausdrücke ∇ × E
~ und
Gegeben ist eine elektromagnetische Welle mit E
~
∇ · E in kartesischen Koordinaten und zeigen Sie, dass sie konsistent zu den Maxwell-Gleichungen sind. b)
~ c) Berechnen Sie die Wellenlänge λ der Wellen und geben
Berechnen die zugehörige magnetische Feldstärke H.
~ (y , t = 0) und H(y
~ , t = 0) als Funktion von y .
Sie die Ausbreitungsrichtung an. d) Skizzieren Sie E
Aufgabe 6
~ = 2x̂ − ŷ + ẑ und A
~ = x̂ + 2ŷ + ẑ. Berechnen Sie i) A
~ + B,
~ ii)
a) Geben sind die beiden Vektorfelder A
~
~
~
~
~
~
~
~
A · B, iii) A × B, iv) |A| und v) den Winkel zwischen A und B. b) A ist jetzt ein Phasor und gegeben durch
~ = x̂ + (1 − j)ŷ + j ẑ. Geben Sie das korrespondierenden Vektorfeld ~a(~r , t) an. c) Das Vektorfeld ~b(~r , t) ist
A
~ an. d)
gegeben durch ~b = 2x̂ cos(ωt − π/4) + ŷ sin(ωt + π/2). Geben Sie den korrespondierenden Phasor B
~
~
Skizzieren Sie die Ortskuven des Vektors d, wenn sein Phasor durch D = j x̂ + 2ŷ gegeben ist.
Aufgabe 7
~ (j ŷ + ẑ)e −jkx , ii) E
~ = [x̂(2 + j) +
Gegeben sind die Phasoren von elektrischen bzw. magnetischen Feldern i) E
jkz
jky
~ = (x̂ − j ŷ )e . Geben sie die Polarisation der entsprechenden elektromagnetischen
ẑ(3j + 1)]e und iii) H
Welle an.
Aufgabe 8
~ kann dargestellt werden durch eine Überlagerung von
Jede monochromatische elektromagnetische Welle E
~ = (x̂ + j ŷ )e −jkz und E
~ = (x̂ − j ŷ )e −jkz . Berechnen
zwei entgegengesetzt zirkular polarisierten Wellen, z.B. E
r
l
~ = aE
~ +bE
~ = 3j x̂ − 2ŷ für z = 0 gilt, die Konstanten a und b.
Sie für den Fall, dass E
r
l
Aufgabe 9
Eine elektromagnetische Welle breitet sich im freien Raum (Vakuum) aus und wird beschrieben durch das
~ = x̂e −ŷ −j2ẑ . a) Handelt es sich um eine homogene ebene Wellen? b) Geben Sie
komplexe elektrische Feld E
die Frequenz der Welle an. c) Berechnen Sie die zeitlich gemittelte Leistung.
Aufgabe 10
Eine rechts-zirkular polarisierte elektromagnetische Welle breitet sich im freien Raum in +ŷ -Richtung aus
~ (~r , t) beschrieben. Sie besitzt die Wellenlänge λ. Für die elektrische
und wird durch das elektrische Feld E
~
Feldstärke gilt E (x, y = 0, z, t = 0) = x̂E0 . a) Geben Sie den Phasor der elektrischen Feldstärke an. b) Geben
die Wellenzahl k sowie die Frequenz f als Funktionen der gegebenen Parameter an. c) Berechnen Sie den
Phasor der zugehörigen magnetischen Feldstärke. d) Berechnen Sie den zeitlich gemittelten Poynting-Vektor.
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Aufgabe 11
Eine in x̂-Richtung polarisierte elektromagnetische Welle breitet sich im Vakuum in ŷ -Richtung aus. Die
Welle besitzt eine Wellenlänge von 10 µm und eine Leistungsflussdichte von 1011 W/m2 . (Z.B. ein 10-WLaser, der auf eine 100 µm2 große Fläche fokussiert ist). Die elektrische und magnetische Feldstärke ist
~ (~r , t) und H(~
~ r , t) an. b) Zwei Wellen dieser Art breiten sich
proportional zu sin(ωt − ky ) ist. a) Geben Sie E
nun in entgegengesetzte Richtungen aus, so dass sie interferrieren und die elektrische Feldstärke proportional
zu sin(ωt − ky ) + sin(ωt + ky ). Berechnen Sie für die resultierende Welle die elektrische und magnetische
Feldenergiedichten für t = 0 und für y = 0. c) Berechnen Sie für die elektromagnetischen Wellen aus a) und
b) den komplexen Poynting-Vektor.
Aufgabe 12
Die komplexe Leistung, die an ein elektrisches Bauelement übergeben wird, ist gegeben durch V I ∗ /2. Dabei
sind V und I die komplexe Spannung bzw. der komplexe Strom. a) Eine Stromquelle mit I0 cos ωt betreibt eine
Kapazität C . Geben Sie die komplexe Leistung der Kapazität an. Wie groß ist die umgesetzte Wirkleistung.
b) Die selbe Stromquelle betreibt nun eine Reihenschaltung aus einer Kapazität C und einer Induktivität L.
Geben Sie die komplexe Leistung der Reihenschaltung als Funktion der Frequenz ω an. Bei welcher Frequenz
ω0 ist die komplexer Leistung gleich null? d) Interpretieren Sie die Ergebnisse aus b) physikalisch.
Aufgabe 13
Ein 1 m langer dünner Draht verbindet zwei Ladungsreservois, so dass ein Gleichstrom von 1 A fließt. a)
Berechnen Sie das Vektorpotential in der Ebene senkrecht zum Draht. b) Berechnen Sie die magnetische
Feldstärke in der selben Ebene.
Aufgabe 14
a) Welche Ladung Q im Zentrum einer Kugel mit dem Durchmesser
Feldstärke, die der nominalen Durchbruchfeldstärke von 3×107 V/m im
rechnen Sie das Potential für den Abstand von 0.5 cm. c) Die Ladung
moduliert. Berechnen Sie die elektrische Feldstärke und das Potential im
von 1 cm erzeugt eine elektrische
Abstand 0.5 cm entspricht? b) Beist nur gemäß Q = cos(2 × 1011 t)
Abstand von 1 cm von der Ladung.
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