Beweis der Umkehrung des Satz des Thales Lernsequenz 5

Beweis der Umkehrung des Satz des Thales
Lernsequenz 5
Du hast in Lernsequenz 3 den Satz des Thales bewiesen. Dabei handelte es sich um einen direkten Beweis,
da du aus den Voraussetzungen die Behauptung gefolgert hast.
Es gibt auch indirekte Beweise. Mit einem indirekten Beweis läßt sich zum Beispiel die Umkehrung des
Satzes des Thales beweisen.
Bei dieser Art der Beweisführung nimmt man an, dass die Behauptung falsch ist und leitet dann irgendeinen
Widerspruch her.
Umkehrung des Satz des Thales:
Wenn ein Dreieck ABC im Punkt
Voraussetzung
C
einen rechten Winkel besitzt, dann liegt der Punkt
C
auf dem Thaleskreis über
AB
.
Behauptung
Um einen indirekten Beweis zu führen, setzt man also voraus, dass das Dreieck ABC im Punkt C einen
rechten Winkel besitzt, der Punkt aber nicht auf dem Thaleskreis liegt.
Man nimmt also an, dass C innerhalb oder außerhalb des Kreises liegt und versucht einen Widerspruch zu
finden.
Beweis:
Voraussetzungen:
(1) ABC sei ein Dreieck mit den Innenwinkeln  ,  und  , wobei =90 ° ist.
(2) M sei der Mittelpunkt von AB , dem Durchmesser des Thaleskreis.
Annahme: C liegt innerhalb des Thaleskreises.
Dann trifft die Verlängerung der Strecke AC den Thaleskreis im Punkt D .
Nach dem Satz des Thales folgt, dass =90 ° .
Außerdem muss gelten ' =180 ° . Da =90 ° laut Voraussetzung, ist
auch  '=90 ° . Dies bedeutet, das Dreieck BDC besitzt zwei rechte Winkel
und die Innenwinkelsumme beträgt somit mehr als 180°.
Daraus ergibt sich ein Widerspruch zum Innenwinkelsummensatz von Dreiecken.
D.h. unter den gegebenen Voraussetzungen kann C nicht innerhalb des
Thaleskreises liegen.
Zeige nun durch einen Widerspruch, dass C auch nicht außerhalb des Thaleskreises liegen kann.
Da nun bewiesen ist, dass der Punkt C unter den gegebenen Voraussetzungen weder innerhalb noch
außerhalb des Thaleskreises liegen kann, muss C auf dem Thaleskreis liegen.
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Beweis der Umkehrung des Satz des Thales
Lernsequenz 5
Plakat zum eigenständigen Abgleich
Du hast in Lernsequenz 3 den Satz des Thales bewiesen. Dabei handelte es sich um einen direkten Beweis,
da du aus den Voraussetzungen die Behauptung gefolgert hast.
Es gibt auch indirekte Beweise. Mit einem indirekten Beweis läßt sich zum Beispiel die Umkehrung des
Satzes des Thales beweisen.
Bei dieser Art der Beweisführung nimmt man an, dass die Behauptung falsch ist und leitet dann irgendeinen
Widerspruch her.
Umkehrung des Satz des Thales:
Wenn ein Dreieck ABC im Punkt
Voraussetzung
C
einen rechten Winkel besitzt, dann liegt der Punkt
C
auf dem Thaleskreis über
AB
.
Behauptung
Um einen indirekten Beweis zu führen, setzt man also voraus, dass das Dreieck ABC im Punkt C einen
rechten Winkel besitzt, der Punkt aber nicht auf dem Thaleskreis liegt.
Man nimmt also an, dass C innerhalb oder außerhalb des Kreises liegt und versucht einen Widerspruch zu
finden.
Beweis:
Voraussetzungen:
(1) ABC sei ein Dreieck mit den Innenwinkeln  ,  und  , wobei =90 ° ist.
(2) M sei der Mittelpunkt von AB , dem Durchmesser des Thaleskreis.
Annahme: C liegt innerhalb des Thaleskreises.
Dann trifft die Verlängerung der Strecke AC den Thaleskreis im Punkt D .
Nach dem Satz des Thales folgt, dass =90 ° .
Außerdem muss gelten ' =180 ° . Da =90 ° laut Voraussetzung, ist
auch  '=90 ° . Dies bedeutet, das Dreieck BDC besitzt zwei rechte Winkel
und die Innenwinkelsumme beträgt somit mehr als 180°.
Daraus ergibt sich ein Widerspruch zum Innenwinkelsummensatz von Dreiecken.
D.h. unter den gegebenen Voraussetzungen kann C nicht innerhalb des
Thaleskreises liegen.
Zeige nun durch einen Widerspruch, dass C auch nicht außerhalb des Thaleskreises liegen kann.
Annahme: C liegt außerhalb des Thaleskreises.
Dann schneidet die Strecke AC den Thaleskreis im Punkt D . Gemäß
des Satz des Thales folgt, dass =90 ° .
Außerdem muss gelten ' =180° , also ist auch  ' =90 ° .
Da laut Voraussetzung =90 ° ist, besitzt das Dreieck BDC zwei
rechte Winkel und die Innenwinkelsumme beträgt somit mehr als 180°.
Daraus ergibt sich ein Widerspruch zum Innenwinkelsummensatz von
Dreiecken.
D.h. unter den gegebenen Voraussetzungen kann C nicht außerhalb des
Thaleskreises liegen.
Da nun bewiesen ist, dass der Punkt C unter den gegebenen Voraussetzungen weder innerhalb noch
außerhalb des Thaleskreises liegen kann, muss C auf dem Thaleskreis liegen.
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