Lösungsstrategien Bildungsoffensive Mathematik.

copyright 2000 Fachschaft Mathematik - Gabelsberger Gymnasium Mainburg
Bildungsoffensive Mathematik Gabelsberger Gymnasium Mainburg
Inhaltsverzeichnis
==============================================================================
Problemlösungsstrategien in Mathematik S. 11
I.
Prozesse und Invarianten
S. 1
II.
Das Extremalprinzip
S. 3
III.
Färbungstechniken
S. 5
IV.
Zahlentheorie
S. 7
1. Teilbarkeit und Primzahlen
2. Reste
3. Das Rechnen mit Resten
4. Diophantische Gleichungen
S. 7
S. 10
S. 11
S. 17
V.
Ungleichungen
S. 21
VI.
Das Induktionsprinzip
S. 29
VII. Das Schubkastenprinzip
S. 35
VIII. Funktionalgleichungen
S. 40
IX.
Polynome
S. 44
X.
Folgen
S. 56
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Aufgaben aus Schülermathematikwettbewerben S. 60
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Spezielle Themengebiete S. 72
- Eikurven
- Kurven konstanter Breite
- Kugelpackungen
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Programmieren in Visual-Basic S. 75
- Folgen (Fibonacci-Folge, Wurmfolgen, 3n+1- Folge)
- Ägyptische Brüche
- Micro-Schach
- Künstliche Intelligenz
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Programmieren in Delphi (Einführung) S. 79
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3UREOHPO|VXQJVVWUDWHJLHQLQ0DWKHPDWLN
I. Prozesse und Invarianten
==============================================================================
Analysiert man sich wiederholende Vorgänge, dann sucht man nach Größen, die sich nicht ändern.
Beispiel :
Sei n eine ungerade Zahl. Nachdem man die Zahlen von 1 bis 2n an eine Tafel geschrieben hat, wählt man zwei
Zahlen a und b aus, löscht sie und schreibt statt dessen den Betrag ihrer Differenz an die Tafel.
Zeige, dass am Ende eine ungerade Zahl übrig bleibt.
Beweis :
Die Summe der Zahlen von 1 bis 2n ist gleich n⋅(2n + 1) und daher ungerade. Gilt für die zu entfernenden Zahlen a und b die Ungleichung b > a und führt man mit ihnen die oben beschriebene Operation durch, dann wird
die Summe der Zahlen an der Tafel um a + b − (b − a) = 2a kleiner und bleibt daher ungerade.
Aufgaben :
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1. Die natürlichen Zahlen von 1 bis 100 werden an eine Tafel geschrieben. Jemand löscht zwei dieser Zahlen
und schreibt statt dessen ihre Summe an; dann löscht er die nächsten zwei, schreibt deren Summe an usw.
Welche Zahl bleibt am Schluss an der Tafel stehen ?
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2. Die natürlichen Zahlen von 1 bis 101 werden an eine Tafel geschrieben. Jemand löscht zwei dieser Zahlen
und schreibt statt dessen ihre Differenz an; dann löscht er die nächsten zwei und schreibt deren Differenz an
usw. Kann die Zahl 0 am Ende übrig bleiben ?
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------3. Man schreibt die Zahlen 3, 4 und 5 an eine Tafel. Man wählt zwei Zahlen a und b aus und ersetzt sie durch
0,6a − 0,8b bzw. 0,8a + 0,6b usw.
Kann man nach endlich vielen Schritten die Zahlen 4, 6 und 12 an der Tafel haben ?
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------4. Fünf Einsen und vier Nullen sind kreisförmig angeordnet.
Sind zwei benachbarte Ziffern gleich, dann schreibt man zwischen sie eine Null, andernfalls eine Eins. Danach werden die ursprünglichen Ziffern ausgelöscht. Wie oft man diesen Prozess auch wiederholt, man erhält niemals lauter Nullen. Zeige dies !
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------5. In nebenstehender Figur kann man die Vorzeichen in einer Reihe, in einer Spalte
oder in einer Parallelen zu den beiden Diagonalen ändern. Weiterhin kann man das
Vorzeichen einer Zahl in einer der vier Ecken ändern. Zeige, dass mindestens einmal
− 1 stehen bleibt.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2
6. Es liegen a weiße, b schwarze und c rote Spielmarken auf dem Tisch. Man darf sich jeweils zwei Spielmarken verschiedener Farbe aussuchen, und jede durch eine Spielmarke der anderen Farbe ersetzen.
Unter welchen Bedingungen kann man es erreichen, dass man nur mehr Spielmarken einer Farbe hat ?
Nimm speziell an, dass 13 weiße, 15 schwarze und 17 rote Chips auf dem Tisch liegen.
Kann man erreichen, dass am Schluss nur mehr Chips der gleichen Farbe auf dem Tisch liegen ?
Welche Farbverteilungen kann man erhalten ?
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------7. Ein kreisförmiges Spielfeld ist in n Sektoren unterteilt. Auf jedem Sektor
befindet sich ein Spielstein. Ein Spielzug besteht darin zwei Spielsteine in
unterschiedliche Richtungen um einen Platz zu verschieben. Ziel ist es,
alle Spielsteine auf einen Sektor zu bringen. Wann ist dies möglich ?
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3
II. Das Extremalprinzip
==============================================================================
Bei der Anwendung dieses Prinzips versucht man das Problem so zu lösen, dass man irgendeine Größe maximal oder minimal wählt.
Dabei kann man sich auf folgende Sätze stützen
E1 Jede nichtleere, endliche Menge von Zahlen besitzt ein kleinstes und ein größtes Element.
E2 Jede nichtleere Menge natürlicher Zahlen enthält eine Zahl, die kleiner als alle anderen ist.
Beispiel :
Sei Ω eine Menge von Punkten in der Ebene so, dass jeder Punkt aus Ω der Mittelpunkt von zwei weiteren
Punkten aus Ω ist. Zeige, dass dann Ω unendlich viele Punkte enthält.
Beweis :
Wir führen den Beweis durch Widerspruch und nehmen an, dass Ω nur aus endlich vielen Punkten besteht.
Dann gibt es zwei Punkte A und B in Ω, deren Abstand maximal ist.
B ist dann der Mittelpunkt einer Strecke [CD] mit C und D aus Ω .
D
Dann ist aber AC > AB oder AD > AB: Widerspruch !
B
A
C
Aufgaben :
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1. Jeder Gitterpunkt (Punkt mit ganzzahligen Koordinaten) in einem Koordinatensystem) soll so mit einer natürlichen Zahl beschriftet werden, dass diese Zahl gleich
dem Mittelwert der vier Zahlen ist, mit denen die vier am nächsten liegenden
Gitterpunkte beschriftet sind. Zeige, dass jeder Gitterpunkt mit der gleichen Zahl
beschriftet werden muss.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2. Zeige, dass es keine vier ganze Zahlen x, y, z und u gib,t so dass x2 + y2 = 3(z2 + u2) .
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------3. Wenn n Punkte in der Ebene nicht auf einer Geraden liegen, dann gibt es durch je zwei dieser n Punkte eine
Gerade, die durch keinen anderen der Punkte geht.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
4
4. Von 8 Punkten, die in einem Kreis mit Radius 1 liegen, haben mindestens zwei eines Abstand, der kleiner
als 1 ist.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------5. Auf einer kreisförmigen Rennstrecke stehen n Rennautos des gleichen Typs. Zusammen haben sie in ihren
Tanks Benzin für genau eine Runde. Zeige, dass es ein Auto gibt, das eine ganze Runde fahren kann, indem
es auf der Fahrt Benzin aus den Tanks der anderen Autos abzapft.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
6. (2n + 1) Personen stehen so, dass ihre gegenseitigen Abstände verschieden sind. Dann schießt jeder auf den,
der ihm am nächsten steht. Zeige, dass
(a) wenigstens eine Person überlebt (b) niemand mehr als fünfmal getroffen werden kann
(c) sich die Schusslinien nicht kreuzen (d) die Menge der Schusslinien kein geschlossenes Polygon bildet.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
5
III. Färbungstechniken
==============================================================================
Im Jahr 1961 bewies der theoretische Physiker M. E. Fischer, dass sich ein gewöhnliches 8 × 8 Schachbrett auf 24 ⋅ 9012 = 12988816 verschiedene Arten mit
2 × 1 Dominos überdecken lässt. Nebenstehendes Bild zeigt eine derartige Überdeckung. Der Beweis ist nicht einfach. Überraschend einfach wird jedoch die
Beantwortung derselben Frage für ein Schachbrett, dem zwei gegenüberliegende
Eckfelder fehlen.
Die Antwort darauf ist nämlich, dass es keine Überdeckung gibt und die Begründung ist ebenso einfach.
Jedes 2 × 1 Domino deckt nämlich jeweils ein schwarzes und ein weißes Feld zu. Ein Schachbrett ohne zwei
gegenüberliegende Eckfelder besitzt aber 30 Felder der einen und 32 Felder der anderen Farbe.
Diese Beweistechnik findet bei vielen Unmöglichkeitsbeweisen Anwendung.
Füllaufgaben
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1. Ein Rechteck ist mit 1 × 4 und 2 × 2 Dominos überdeckt. Beweise, dass es nicht möglich ist einen Stein der
einen Sorte durch einen Stein der anderen Sorte zu ersetzen und durch ein Umlegen der Dominos das Rechteck zu überdecken.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2. Untersuche, ob es möglich ist, aus den fünf Tetrominos
ein Rechteck zu bilden !
Die fünf Tetrominos heißen von links nach rechts :
gerades Tetromino, T-Tetromino, quadratisches Tetromino, L-Tetromino und schiefes Tetromino.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------3. Zeige : Ein 10 × 10 Schachbrett kann nicht mit 25 geraden Tetrominos überdeckt werden.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------4. Ist es möglich einen 10 × 10 × 10 Würfel mit 4 × 1 × 1 Quadern auszufüllen ?
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------5. Zeige :
Überdeckt man ein 6 × 6 Schachbrett mit 2 × 1 Dominos, dann gibt es stets eine
Bruchlinie d.h. eine Strecke, die das Schachbrett zerlegt und über die kein Domino führt.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
6
6. Ein 23 × 23 Schachbrett wird mit 1 × 1 , 2 × 2 und 3 × 3 Dominos überdeckt. Bestimme die minimale Anzahl
von 1 × 1 Dominos, die man dafür benötigt.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
7. Gegeben sei ein n × n -Schachbrett. Es soll mit Figuren, die aus vier Quadraten vollständig überdeckt werden.
a) Für welche n kann das Schachbrett mit Figuren der Form
b) Für welche n kann das Schachbrett mit Figuren der Form
überdeckt werden ?
und
überdeckt werden ?
(Norwegen)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Schachspielaufgaben
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1. Zeige, dass es unmöglich ist, mit einem Springer nacheinander alle Felder eines 7 × 7 Schachbretts je einmal zu besetzen so, dass der Springer am Ende auf einem dem Ausgangsfeld benachbarten Feld sitzt.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2. Ein Springer habe n Züge gemacht und sei nun wieder auf dem Ausgangsfeld. Zeige, dass n gerade ist.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------3. Zeige, dass es unmöglich ist, mit einem Turm von einer Ecke eines gewöhnlichen Schachbretts in die diagonal gegenüberliegende Ecke zu gelangen, so dass jedes Feld genau einmal besetzt wird.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Färbungsaufgaben
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1. Die Punkte der Ebene sind rot oder blau gefärbt. Zeige : Dann kommen unter den blau oder rot gefärbten
Punkten Punkte mit jedem beliebigen gegenseitigem Abstand vor.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2. Jeder Punkt der Ebene ist mit einer von drei Farben gefärbt. Begründe : Dann gibt es zwei Punkte mit dem
Abstand 1, die gleich gefärbt sind.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------3. Jeder Punkt der Ebene ist rot oder grün gefärbt. Zeige, dass es ein Rechteck gibt, dessen Eckpunkte gleich
gefärbt sind.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------4. Jeder Punkt des Raumes ist rot oder blau gefärbt. Begründe : Dann gibt es unter den Einheitsquadraten in
der Ebene mindestens eines mit mindestens drei roten oder mindestens eines mit vier blauen Eckpunkten.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
7
IV. Zahlentheorie
==============================================================================
Die Zahlentheorie beschäftigt sich mit den Eigenschaften der natürlichen Zahlen 1 und der ganzen Zahlen = .
Damit man zahlentheoretische Probleme lösen kann, muss man über einiges an Grundwissen verfügen.
1.Teilbarkeit und Primzahlen
Definition :
Eine ganze Zahl a teilt eine ganze Zahl b, wenn b ohne Rest durch a teilbar ist. Die Zahl b ist dann ein Vielfaches von a d.h. es gibt eine ganze Zahl q so, dass b = q⋅a .
Ist a ein Teiler von b, dann schreibt man ab, ist a kein Teiler von b dann a e b.
Beispiel : 312 , aber 3 e 7
Alle positiven Teiler einer natürlichen Zahl b faßst man zu ihrer Teilermenge Tb zusammen.
Beispiel : T15 = {1; 3 ; 5}
Allgemeine Regeln zur Teilbarkeit :
Additions- und Subtraktionsregel :
Teilt eine Zahl a die Zahlen b und c, dann teilt sie auch die Summe b + c und die Differenz b − c..
Teilt eine Zahl a die Zahl b, aber nicht die Zahl c, dann teilt sie weder b + c noch b − c
.
Beispiel : 3  48 und 3  15 ⇒ 3  (48 + 15) und 3  (48 − 15)
Multiplikationsregel :
Teilt eine Zahl a die Zahl b, dann teilt sie jedes Vielfache von b.
Beispiel : 3  15 ⇒ 3  (4 ⋅ 15)
Teilbarkeitsregeln :
(1) Eine Zahl ist genau durch 2 teilbar, wenn ihre Endziffer 0, 2, 4, 6 oder 8 ist.
(2) Eine Zahl ist genau dann durch 4 teilbar, wenn die aus ihrer Zehnerziffer und Einerziffer bestehende Zahl
durch 4 teilbar ist.
8
Teilbarkeitsregeln :
(3) Eine Zahl ist genau dann durch 8 teilbar, wenn die aus ihrer Hunderterziffer, Zehnerziffer und Einerziffer
bestehende Zahl durch 8 teilbar ist.
(4) Eine Zahl ist genau dann durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.
(5) Eine Zahl ist genau dann durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.
(6) Eine Zahl ist genau dann durch 11 teilbar, wenn ihre alternierende Quersumme durch 11 teilbar ist.
Bemerkung :
Die alternierende Quersumme einer Zahl erhält man, wenn man ihre Ziffern abwechselnd addiert und subtrahiert.
Beispiel : QSa(1232) = 1 − 2 + 3 − 2 = 0 ⇒ 111232
Definition :
Der größte gemeinsame Teiler zweier Zahlen a und b ist die größte Zahl, die a und b teilt, und wird mit
ggT(a ; b) bezeichnet.
Zwei Zahlen a und b heißen teilerfremd, wenn ihr ggT gleich 1 ist.
Beispiel : ggT(30; 84) = 6
Produktsatz :
Teilt eine Zahl a das Produkt aus b und c und ist ggT(a ; b) = 1 , dann ist a ein Teiler von c.
In mathematischer Kurzschreibweise : a  (b⋅c) und a e b ⇒ a  c
Definition :
Eine Zahl mit genau zwei Teilern heißt Primzahl. Eine Primzahl p hat nur die Teiler 1 und p und lässt sich
daher nicht als Produkt zweier kleinerer Zahlen darstellen. Man nennt Primzahlen deshalb unzerlegbar.
Satz :
Es gibt unendlich viele Primzahlen.
9
Beweis :
Wir führen den Beweis durch Widerspruch. Gäbe es nur unendlich viele Primzahlen p1, p2, ...., pn , dann wäre
n = p1⋅p2⋅...pn + 1 eine Zahl, die zu jedem pi teilerfremd ist. Also ist n selbst eine Primzahl oder enthält einen
Primfaktor, der von p1, p2, ...., pn verschieden ist. Widerspruch.
Satz von der Primzahlzerlegung (Hauptsatz der Arithmetik) :
Jede Zahl lässt sich (bis auf díe Reihenfolge) eindeutig als Produkt von Primzahlen schreiben.
Man nennt diese Zerlegung die Primfaktorisierung der Zahl.
Beispiel : 756 = 23⋅32⋅7 = 23⋅32⋅71
Aus der Primzahlzerlegung einer Zahl lässt sich in einfacher Weise ihre Teilermenge ermitteln. So ist z. B.
T756

p1
p1p2
p1p2p3
p1p2p3p4
p1p2p3p4p5 p1p2p3p4p5p6


756 
= 1; 2; 3; 7; 4; 6; 14; 21 8; 12; 28; 18; 42; 63; 24; 56; 36; 84; 126 ; 72; 168; 252;




die Menge der Teiler von 756.
Nach dem trivialen Teiler 1 notiert man die Primteiler von 756.
Es folgt die Gruppe der Teiler, die Produkt zweier (nicht notwendigerweise verschiedener) Primzahlen aus der
Primzahlzerlegung von 756 sind usw.
Es läßt sich auch zeigen :
Ist n = p1n1 ⋅ p2n2 ⋅ ...... ⋅ pknk die Primzahlzerlegung einer Zahl k, dann gilt für die Anzahl Tn ihrer Teiler
 
T  = (n + 1) ⋅ (n + 1) ⋅ .... ⋅ (n + 1)
1
2
k
 n
Aufgaben zur Teilbarkeit :
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1. Man denke sich alle natürlichen Zahlen von 1 bis 1000 fortlaufend auf folgende Weise hintereinander geschrieben :
1234567891011121314.....999899991000
Beweise, dass die so entstandene Zahl nicht durch 1971 teilbar ist.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2. Ermittle die Anzahl der Nullen, auf denen die Zahl 1000 ! = 1⋅ 2⋅ 3⋅ ........⋅ 998⋅ 999⋅ 1000 endet.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
10
3. Ermittle die größte siebenstellige Zahl, die aus lauter verschiedenen Ziffern besteht und durch 72 teilbar ist.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------4. Ermittle die kleinste natürliche Zahl, deren dritte Potenz durch 788 teilbar ist.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------5. Zeige, dass die Summe von 1000 aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen keine Primzahl sein kann.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------6. Bestimme alle Paare (x ; y) ganzer Zahlen, die die Gleichung x(y 1)
2
243y erfüllen
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------7. Wie viele Stellen hat die kleinste natürliche Zahl, die die dritte Potenz einer Zahl und die fünfte Potenz
einer davon verschiedenen Zahl ist ?
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------8. Wie viele Paare (x; y) ganzer Zahlen erfüllen die Gleichung
1
1 1
+ =
2
x y
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------9. Wie viele natürliche Zahlen n von 1 bis 100 gibt es so, dass n2 + n3 eine Quadratzahl ist ?
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2. Reste
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Viele Probleme der Zahlentheorie lassen sich dann lösen, wenn man die Reste betrachtet, die bestimmte Zahlen
beim Teilen lassen. Läßt eine Zahl n beim Teilen durch eine Zahl q den Rest r, dann kann sie in der Form
n = m⋅q + r
geschrieben werden.
Beispiel 1 :
17 : 5 = 3 Rest 2 und damit ist 17 = 3 ⋅ 5 + 2
==============================================================================
Beispiel 2 :
Zeige, dass für alle ungeraden natürliche Zahlen n die Zahl n2 − 1 durch 8 teilbar ist.
Beweis :
Ungerade Zahlen lassen beim Teilen durch 8 den Rest 1, 3, 5 oder 7.
Also ist n = 8q + 1 oder n = 8q + 3 oder n = 8q + 5 oder n = 8q + 7
1. Fall : n = 8q + 1
Dann ist n2 − 1 = (8q + 1)2 − 1 = 64q2 + 16q + 1 − 1 = 64q + 16q und durch 8 teilbar.
2. Fall : n = 8q + 3
11
Dann ist n2 − 1 = (8q + 3)2 − 1 = 64q2 + 48q + 9 − 1 = 64q + 48q + 8 und durch 8 teilbar.
Weil 7 = 8 − 1 und 5 = 8 − 3 ist, ist damit alles gezeigt.
==============================================================================
Aufgaben :
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1. Zeige, dass für jede Primzahl p ≥ 5 die Zahl p − 1 durch 24 teilbar ist.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2
2. Zeige, dass für jede natürliche Zahl n die Zahl n + 11n durch 6 teilbar ist
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------3
3. Zeige, dass die Summe der dritten Potenzen dreier beliebiger aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen
durch 3 teilbar ist.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------4. Beweise :
Ist die Summe zweier Kubikzahlen durch 7 teilbar, dann ist wenigstens eine von ihnen durch 7 teilbar.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------5. Zeige, dass es keine ganzzahligen x, y und z mit x + y − 8z = 6 gibt.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2
2
3. Rechnen mit Resten
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Das Umgehen mit den Resten, die sich beim Teilen von ganzen Zahlen ergeben, wurde von dem Mathemati-ker
C.F. Gauss zu einer mathematischen Theorie ausgebaut.
Definition :
Zwei ganze Zahlen a und b heißen restgleich bzgl. einer natürlichen Zahl n, wenn sie bei der Division
durch n den gleichen nichtnegativen Rest lassen. Ist dies so, dann schreibt man
a ≡ b mod n
und spricht a ist restgleich zu b bzgl. n oder a ist konguent b modulo n.
Beispiel :
16 ≡ 7 mod 3 , denn 16 = 5 ⋅ 3 + 1 und 7 = 2 ⋅ 3 + 1 d. h. beide Zahlen lassen beim Teilen durch 3 den Rest 1.
12
Da jede Zahl beim Teilen durch n nur die Reste 0, 1, ..., n − 1 lassen kann, gilt :
Satz :
Jede Zahl ist beim Teilen durch n restgleich zu genau einer Zahl aus der Menge


Rn = 0, 1, 2, .., n − 1 ,


der Restmenge Rn von n.
Ist man nur an Teilbarkeitsfragen interessiert, dann kann man seine Rechnung auf Reste beschränken. Es gilt
nämlich
Satz :
Ist die Zahl a bzgl n restgleich a1 zu und die Zahl b restgleich zu b1 dann ist :
1. Die Summe a + b ist restgleich zu a1 + b1
2. Das Produkt a⋅b ist restgleich zu a1⋅b1
Mit anderen Worten :
Der Rest einer Summe ist gleich der Summe der Reste der Summanden und der Rest eines Produkts ist gleich
dem Produkt der Reste der Faktoren.
Beispiel 1 :
Es ist 182 f 2 mod 3 und 275 ≡ 2 mod 3 .
Dann ist 182 ⋅ 275 ≡ (2 ⋅ 2) mod 3 ≡ 4 mod 3 ≡ 1 mod 3
==============================================================================
Beispiel :
Zeige, dass jede Quadratzahl beim Teilen durch 3 den Test 0 oder 1 läßt.
Lösung :
Für jede natürliche Zahl a gilt a ≡ 0 mod 3 oder a ≡ 1 mod 3 oder a ≡ 2 mod 3
Dann ist aber
a2 ≡ 02 mod 3 ≡ 0 mod 3 oder a2 ≡ 12 mod 3 ≡ 1 mod 3 oder a2 ≡ 22 mod 3 ≡ 4 mod 3 ≡ 1 mod 3
==============================================================================
13
Der obige Satz führt dazu, dass man auf der Restmenge Rn eine Restaddition und eine Restmultiplikation
definieren kann. Da Rn eine endliche Menge ist, kann man die Werte aller Summen und Produkte bilden.
Dazu bildet man sog. Verknüpfungstafeln
So ergibt sich für R6
+
0
1
2
3
4
5
0
0
1
2
3
4
5
1
1
2
3
4
5
0
2
2
3
4
5
0
1
3
3
4
5
0
1
2
4
4
5
0
1
2
3
5
5
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
5
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
4
5
2
0
2
4
0
2
4
3
0
3
0
3
0
3
4
0
4
2
0
4
2
5
0
5
4
2
2
1
Die Gleichungen 4 + 5 = 3 bzw. 4 ⋅ 5 = 2 in R6 bedeuten dann :
Gilt für ganze Zahlen a und a ≡ 4 mod 6 bzw. b ≡ 5 mod 6 , dann ist
a + b ≡ 3 mod 6 und a⋅b ≡ 2 mod 6
oder in Worten :
Lassen zwei ganze Zahlen a und b beim Teilen durch 6 die Reste 4 und 5, dann lässt ihre Summe beim Teilen
durch 6 den Rest 3 und ihr Produkt den Rest 2.
Man schreibt daher für 4 + 5 = 3 bzw. 4 ⋅ 5 = 2 in R6 besser4 + 5 ≡ 3 mod 6 und4⋅5 ≡ 2 mod 6
In R6 gibt es den Fall, dass das Produkt zweier von Null verschiedener Restzahlen gleich Null ist.
So ist 2 ⋅ 3 ≡ 0 mod 6 . Dies liegt daran, dass 6 eine zusammengesetzte Zahl ist.
Dagegen erhält man für für R7 (die triviale Multiplikation mit 0 lassen wir weg) die Multiplikationstafel
1
2
3
4
5
6
1
1
2
3
4
5
6
2
2
4
6
1
3
5
3
3
6
2
5
1
4
4
4
1
5
2
6
3
5
5
3
1
6
4
2
6
6
5
4
3
2
1
Für die Potenzen in Rn gilt
Kleiner Satz von Fermat :
Ist n eine Primzahl p und a zu p teilerfremd, dann gilt
ap − 1 ≡ 1 mod p
14
Ansonsten gilt
Satz von Euler :
Ist φ(n) die Anzahl der zu n teilerfremden Zahlen zwischen 0 und n und ist a teilerfremd zu n, dann gilt
aφ(n) ≡ 1 mod n
Beispiel 1 :
a) Es ist 34 ≡ 1 mod 5
b) Es ist φ(12) = 4. Also 54 ≡ 1 mod 12
==============================================================================
Beispiel 2 :
Bestimme die letzte Ziffer der Zahl 3100 .
Lösung :
Es ist ggT(3; 10) = 1 und φ(10) = 4.
Also ist 3100 = (34)
25
≡ 125 mod 10 ≡ 1 mod 10 d.h. die letzte Ziffer ist die Eins.
==============================================================================
Aufgaben :
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1. a) Weise nach, daß jede Quadratzahl die Einerziffer 0, 1, 4, 5, 6 oder 9 haben muss.
b) Welche Einerziffer können die vierten Potenzen von natürlichen Zahlen haben ?
c) Bestimme den kleinsten Exponenten k (k ∈ 1, k > 1, ) so, dass nk für alle natürlichen Zahlen n die gleiche Einerziffer wie n hat.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2. Zeige : Das Produkt von vier natürlichen Zahlen ist gerade, wenn ihre Summe ungerade ist.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------3. Für welche natürlichen Zahlen n ist die Summe 90n + 40n durch 13 teilbar?
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------4. a) Welches ist die größte natürliche Zahl, die man mit drei Ziffern schreiben kann ?
b) Wie heißen ihre letzten beiden Ziffern?
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------5. Beweise, daß die Summe aus einer vierstelligen Zahl vermehrt um das Doppelte ihrer Quersumme stets
durch 3 teilbar ist.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
15
6. Zeige, daß jede ungerade Quadratzahl bei Division durch 8 den Rest 1 ergibt.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------7. Auf der Suche nach großen Primzahlen vermutete der französische Mathematiker und Jurist Pierre de Ferk
mat (1601 bis 1665), dass Zahlen der Form 22 + 1 Primzahlen seien. Fü rn ∈{1,2,3,4} erhält man die Zahlen 5, 17, 257 bzw. 65537. Diese Zahlen sind Primzahlen, wie man weiß.
Für n = 5 erhält man die zehnstellige Zahl 4.294.967.297.
Die Untersuchung einer so großen Zahl mit Hilfe des aus dem Unterricht bekannten Primzahltests ist nicht
mehr sinnvoll, da die Zahl keinen kleinen Primfaktor enthält
Im Jahr 1732 konnte der Schweizer Mathematiker und Physiker Leonhard Euler (1707 bis 1783) nachweisen, dass diese Zahl durch 641 teilbar ist.
Weise dies mit Hilfe der Rechnung mit Resten nach.
Weise auch nach, dass mit Ausnahme von 3 und 5 alle Fermatschen Zahlen auf 7 enden.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------8. Beweise oder widerlege die Behauptung :
Ist p eine Primzahl größer als 3, so ist mindestens eine der beiden Zahlen 2p + 1 oder 2p − 1 keine Primzahl.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------9. Wie heißen die beiden letzten Ziffern von 71990 .?
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------436789
)
10. Bestimme die Einerziffer von 2(3
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
11. Für wie viele Primzahlen p ist p2 + 21p − 1 auch prim
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------12. Für welche natürlichen Zahlen n sind sowohl 2n + 1 als auch 2n+1 + 1 Primzahlen ?
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------13. Weise nach, dass 21 + 29 + 28 + 29 + 2n für keine natürliche Zahl n eine Quadratzahl ist.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------14. Die neun Ziffern 1, 2, 3, ..., 9 werden jeweils auf eine Karte geschrieben. Aus diesen neun Karten wird ein
3x3 Quadrat gelegt. Dadurch entsteht in jeder Zeile und in jeder Spalte jeweils eine dreistellige Zahl (Zeilenzahlen bzw. Spaltenzahlen).
a) Gib eine Verteilung so an, daß die Summe der drei Zeilenzahlen 1989 ergibt.
b) Gib eine Verteilung so an, daß die Summe der drei Zeilenzahlen und zugleich die Summe der drei Spaltenzahlen 1989 ergibt.
c) Weise nach, daß es keine Verteilung geben kann, bei der die Summe der drei Zeilenzahlen 1988 ist.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------15. Weise nach, daß die Summe von zwei ungeraden Quadratzahlen keine Quadratzahl sein kann.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------16. Zeige, daß die Summe 13 + 23 + ... + 19923 durch 1993 teilbar ist.
Erweiterung : Für welche natürlichen Zahlen n ist die Summe der ersten n Kubikzahlen durch n + 1 teilbar ?
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
16
17. Die Zahlen 4 ( = 22') und 2226064 (14922) sind Quadratzahlen mit lauter geraden Ziffern.
Bestimme alle Quadratzahlen, die nur aus ungeraden Ziffern bestehen, und weise nach, dass es keine weiteren geben kann.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------18. Addiert man die Einerziffern aller Teiler von 19911990 , so erhält man ein Vielfaches von 1991.
Welches Vielfache ist es ?
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------19. Es gibt natürliche Zahlen, für die die Summe s aller Teiler ungerade ist.
Beispiel : n = 18 T18 = {1,2,3,6,9,18} s = 39
Beschreibe möglichst viele natürliche Zahlen mit ungerader Teilersumme.
Begründe, weshalb die Teilersumme dieser Zahlen jeweils ungerade ist.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------20. In einer elfstelligen Zahl n wird die mittlere Ziffer gestrichen. Dadurch entsteht eine zehnstellige Zahl m.
Wie viele Zahlen n gibt es, die durch die zugehörige Zahl m teilbar sind?
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------21. Zeige, daß es unter den ersten 1989 Zahlen 9, 99, 999, ... mindestens eine gibt, die durch 1989 teilbar ist.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------22. a) Welche der Zahlen 11, 101, 1001, 10001, 100001, 1000001 sind Primzahlen ?
b) Zeige: Die Zahl 10000 ... 0000 1 (1989 Nullen) ist keine Primzahl.
Welche der Zahlen 101, 10101, 1010101, 101010101, ... sind Primzahlen ?
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------23. Erfüllen drei natürliche Zahlen a, b und c die Bedingung a2 + b2 = c2 , so ist mindestens eine dieser Zahlen
durch 3 teilbar.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------24. Sind a, b und c natürliche Zahlen und ist 9 ein Teiler von a2 + b2 + c2 ', so teilt 9 mindestens eine der Differenzen a2 − b2, a2 − c2 oder b2 − c2 .
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------25. Zeige: Für jede natürliche Zahl n (n > 0) läßt sich 9n als Summe von 3 aufeinanderfolgenden Zahlen darstellen.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------26. Weise für alle natürlichen Zahlen n einschließlich 0 nach :
Wenn 3n + 1 eine Quadratzahl ist, dann läßt sich n + 1 als Summe von drei Quadratzahlen darstellen.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------27. Zeige, daß der Term a2 + b2 + (ab)2 stets eine Quadratzahl darstellt, falls a und b zwei aufeinanderfolgende
ganze Zahlen sind.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

28. Begründe, weshalb der Ausdruck (a2 + b2)⋅(a + 1)2 + (b − 1)2 − (a + b)2 für beliebige ganze Zahlen a und b


stets das Quadrat einer ganzen Zahl ergibt.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------29. In der Gleichung x2 + 2ax + 2b = 0 sind a und b ungerade ganze Zahlen.
17
Zeige: Wenn die quadratische Gleichung lösbar ist, so sind die Lösungen keine natürlichen Zahlen.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------n−1
30. Für welche natürlichen Zahlen n läßt sich der Bruch
nicht kürzen ?
n2 + 1
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Forschungsthemen :
1. Eine Zahl heißt bunt, wenn sie die Summe aus einer Quadratzahl und einer positiven Kubikzahl ist.
Erstelle eine Übersicht für bunte Zahlen und untersuche bestimmte Eigenschaften
4. Diophantische Gleichungen
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ist nach den ganzzahligen Lösungen einer Gleichung mit mehreren Unbekannten gesucht, dann spricht man von
einer diophantischen Gleichung. Die bekannteste diophantische Gleichung hat ihren Ursprung in der
Geometrie.
Ist das Dreieck ABC rechtwinklig mit der Hypotenuse c und den Katheten a und b, dann ist die Fläche des
Quadrats über der Hypotenuse genauso groß wie die beiden Quadrate über den Katheten.
Es ist also
a2 + b2 = c2
(Satz des Pythagoras)
Ganzzahlige Lösungen sind z. B.
b
a = 3 , b = 4 und c = 5
c
a
bzw.
a = 5 , b = 12 und c = 13 .
Methoden Hilfsmittel beim Lösen diophantischer Gleichungen sind
D 1 Das Faktorisieren der Gleichung und die Teilbarkeitsregeln
D 2 Das Rechnen mit Resten
D 3 Die Diskriminante für quadratische Gleichungen
D 4 Das Extremalprinzip
Beispiel 1 :
Bestimme die ganzzahligen Lösungen von x(y 1)2
243y.
18
Lösung :
Weil die diophantische Gleichung Produktform hat, konzentriert man sich auf die Teilbarkeitsregeln.
Weil y und y + 1 zueinander teilerfremd sind, muss (y + 1)2 ein Teiler von 243 sein.
Wegen 243 = 35 besitzt 243 die quadratischen Teiler 32 und 34.
Aus (y + 1)2 = 32 bzw. (y + 1)2 = 34 ergibt sich y = 2 ∨ y = − 4 ∨ y = 8 ∨ y = − 10
Setzt man in die Gleichung ein, erhält man die zugehörigen x-Werte.
Die Lösungspaare sind dann (2; 54) , ( − 4; − 108) , (8; 24) und ( − 10; − 30)
==============================================================================
Beispiel 2 :
Zeige, dass die Gleichung x2
3y2 8 keine ganzzahligen Lösungen besitzt.
Lösung :
Hier ist Methode D 2 geeignet.
Als Quadrat ist x2 restgleich 0 oder 1. Als Vielfaches von 3 ist 3y2 restgleich 0 bzgl 3.
Wegen 8 ≡ 2 mod 3 ist die Gleichung dann in ganzen Zahlen nicht lösbar.
==============================================================================
Beispiel 3 :
Bestimme die ganzzahligen Lösungen der Gleichung x2 xy y
3
Lösung :
Fasst man die Gleichung als quadratische Gleichung in x mit der Formvariablen y auf, dann gilt für ihre
Diskriminante
D = y2 − 4(y − 3) = y2 − 4y + 12 = (y − 2)2 + 8
Damit es ganzzahlige Lösungen gibt, muss D selbst ein Quadrat sein, also (y − 2)2 + 8 = u2 (*)
Also ist u2 − (y − 2)2 = 8.
Mit der 3. Binomischen Formel gilt
(u − y + 2)(u + y − 2) = 8 d.h.u − y + 2 und u + y − 2 sind ganze Zahlen mit dem Produkt 8.
Wegen (u − y + 2) + (u + y − 2) = 2u
sind nur die Faktorenkombinationen 2 und 4 bzw. − 2 und 4 denkbar d. h. u = 3 oder u = − 3
In (*) eingesetzt ergibt sich y = 3 oder y = 1. Die Lösungspaare sind dann (0; 3), (3; 3), (2; 1) und ( − 1;1)
==============================================================================
19
Beispiel 4 :
Zeige, dass es keine positiven ganzzahligen Lösungen von x2 + y2 = 3(z2 + u2) gibt.
Lösung :
Wir führen den Beweis durch Widerspruch und nehmen an, dass es positive Lösungen gibt.
Dann gibt es eine Lösung, für die x2 + y2 am kleinsten ist. Diese sei (x0, y0, u0, z0) .
Aus der Gleichung sieht man, dass 3 ein Teiler von x02 + y02. Daher ist sowohl x02 als auch y02 durch 3 teilbar.
Da alle Quadrate jeden Faktor mindestens zweimal enthalten gilt daher
x02 = 32⋅x12 und y02 = 32⋅y12 mit x1 =
x0
y0
und y1 =
9
9
In die Gleichung eingesetzt und beidseitig mit 3 dividiert ergibt sich
3x12 + 3y12 = z02 + u02 ⇔ 3(x12 + y12 ) = z02 + u02 (1)
und mit der gleichen Begründung wie eben folgt
z02 = 32⋅z und u02 = 32⋅u2 mit z1 =
z0
u0
und y1 =
9
9
In (1) eingesetzt und beidseitig dividiert ergibt sich
x12 + y12 = 3(z12 + u12)
d. h. (x1, y1, u1, z1) ist eine Lösung mit x12 + y12 < x02 + y02
==============================================================================
Aufgaben :
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1. Bestimme die ganzzahligen Lösungen von x2 xy y2 x2y2
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2. Bestimme die ganzen Zahlen x und y mit 2x2 2xy 5x y 19 0
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------3. Ermittle alle natürlichen Lösungen der Gleichung a2 b2 c2 a2b2 .
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------4 Finde alle ganzzahligen Lösungen von x4 (x 1)4 y2 (y 1)2
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------5. Zeige : Zu jeder ganzen Zahl z gibt es ganzzahlige x und y mit x2 y2 z3 .
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
20
3
6. Gesucht sind die ganzzahligen Lösungen von 2x xy 7 0 .
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------7. Zeige, dass es keine ganzen Zahlen a, b und c mit a2 b2 8c 6 gibt.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------8. Zeige, dass die diophantische Gleichung 5m2 6mn 7n2 1988 unlösbar ist.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------9. Bestimme die Lösungen a und b der diophantischen Gleichung (a2 b)(a b2) (a b)2 mit a , b ≠ 0 .
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
21
V. Ungleichungen
==============================================================================
Durch die Einteilung der von Null verschiedenen rationalen bzw. reellen Zahlen in die positiven und negativen
Zahlen lassen sich die Zahlen anordnen. Man schreibt
a > 0 falls a ∈ 4+ bzw. 5+ und a < 0 falls a ∈ 4− bzw. 5−
und definiert
a > b ⇔
a−b > 0
und nennt a > b ⇔ b < a Ungleichungen.
Für Ungleichungen lassen sich folgende Rechenregeln beweisen
Transitivitätsgesetz : a < b und b < c ⇔ a < c
Additions- und Subtraktionsgesetz : a < b ⇒ a + c < b + c und a − c < b − c
Multiplikationsgesetz : a < b und c > 0 ⇒ ac < bc
Kehrwertsatz : 0 < a < b ⇒
1
1
>
a
b
Quadratsatz : a ≠ 0 ⇒ a2 > 0
Aus dem Quadratsatz lassen sich einige wichtige Ungleichungen herleiten..
Ersetzt man z. B. x durch u − v mit u > 0 und v > 0, dann erhält man mit der zweiten Binomischen Formel
(u − v)2 ≥ 0 ⇔ u2 − 2uv + v2 ≥ 0 ⇔ u2 + v2 ≥ 2uv ⇔
Setzt man u =
a d.h. v =
u2 + v2
≥ uv
2
b, dann ergibt sich
AGU
a+b
≥ ab
2
Definition :
Sind a und b zwei positive Zahlen, dann heißt
a+b
das arithmetische Mittel m, und ab das geometrische
2
Mittel g von a und b.
Bemerkungen :
a) Gilt a < b, dann ist das arithmetische Mittel m von a und b der Mittelpunkt des Intervalls [a; b], denn
m =
a+b
2
⇔ m−a = b−m
22
b) Für a, b > 0 erfüllt dasgeometrische Mittel g zweier Zahlen a und b die Proportion
b:g = g:a
⇔
g
b
=
a
g
⇔
g =
ab
Fasst man a und b als Seiten eines Rechtecks auf, dann ist ab die Seite eines dazu flächengleichen Quadrats.
6
4
9
6
Im Bild sind das Rechteck mit den Seiten a = 9 bzw. b = 4 und das Quadrat mit der Seite
9 ⋅ 4 = 6 flä9+4
chengleich. Die Ungleichung zwischen arithmetischem und geometrischem Mittel lautet dann
≥ 9⋅4
2
Die Ungleichung zwischen beiden Mittelwerten läßt sich aus der Figur
a
b
ableiten. In der Figur sind alle Dreiecke kongruent.
Multipliziert man U 2 beidseitig mit 2 ab und teilt beide Seiten der Ungleichung durch a + b, dann ergibt sich
GHU
ab ≥
2ab
=
a+b
1
=
1
1
a
+ 1b
2
Definition :
Sind a und b zwei positive Zahlen, dann heißt
1
a
+ 1b
2
2ab
das harmonische Mittel h von a und b.
a+b
Bemerkungen :
a) Das harmonische Mittel h zweier Zahlen a und b mit a < b erfüllt die Gleichung
h−a
b−h
d.h. die
=
a
b
relativen Abweichungen von h von den beiden Zahlen a und b sind gleich.
b) Sind a und b die parallelen Grundseiten eines Trapezes, dann ist die Länge der zu a und b parallelen Strecke
zwischen den Schenkeln durch den Diagonalenschnittpunkt gleich dem harmonischen Mittel von a und b
und die Länge der Mittenlinie gleich dem arithmetischem Mittel von a und b.
23
b
h
m
a
Eine weitere wichtige Ungleichung folgt, wenn man auf beiden Seiten von a2 + b2 ≥ 2ab die Quadratsumme
a2 + b2 addiert
2a2 + 2b2 ≥ a2 + 2ab + b2 ⇔ 2(a2 + b2) ≥ (a + b)2 ⇔
Zieht man beidseitig die Wurzel, dann erhält man
(a + b)2 a2 + b2
≤
4
2
AQU
a2 + b2
2
a+b
≤
2
Definition :
Sind a und b zwei positive Zahlen, dann heißt
a2 + b 2
das quadratische Mittel von a und b.
2
Ist m die kleinere der beiden Zahlen a und b und M die größere von beiden, dann hat man insgesamt
m≤
a+b
2ab
≤ ab ≤
≤
2
a+b
a2 + b 2
≤M
2
Das ist die Ungleichung vom harmonischen-geometrischen-arithmetischen-quadratischen Mittel.
Als Verallgemeinerung gilt :




Sind x1, ..., xn positive reelle Zahlen mit m : = minx1, x2, ...., xn und M : = maxx1, x2, ...., xn , dann gilt




m≤
n
1
x1
+
1
x2
+
1
x3
+ .... +
1
xn
≤
x1 + x2 + ... + xn
≤
n
n
x1⋅x2⋅...⋅xn ≤
x12 + x22 + ... + xn2
≤M
n
Das Gleichheitszeichen gilt nur dann, wenn x1 = x2 = ... = xn .
24
Beweis :
Wir beweisen nur die dritte Ungleichungen in der Kette und verwenden dabei eine Technik, die man Angleichung (engl. smoothing) nennt.
Man führt eine Reihe von Substitutionen durch, die die linke Seite der Ungleichung unverändert lassen, während die rechte Seite dabei echt zunimmt.
Wenn nicht alle xi gleich ihrem arithmetischen Mittel m gleich sind, dann gibt es ein i und ein j, 1 ≤ i, j ≤ n mit
xi < m < xj .
Ersetzt man das Paar xi und xj durch xi' = m und xj' = xi + xj − m , dann haben xi' und xj' die gleiche Summe,
aber ihr Produkt ist größer, denn
xi'⋅xj' = m⋅(xi + xj − m) = xi⋅xj + (xj − a)⋅(m − xi) > xi⋅xj
Die Zahl der xi, die gleich dem arithmetischen Mittel m sind, wird dadurch erhöht. Da das arithmetische Mittel
sich durch die Einsetzungen nicht ändert, während das geometrische Mittel echt zunimmt folgt die Behaup-tung.
Wichtig ist nun eine Folgerung aus der Ungleichung zwischen arithmetischem und harmonischem Mittel ::
Satz 1 :
Sind x1, ..., xn positive reelle Zahlen, dann dann ist die Summe der Kehrwerte dieser Zahlen mindestens
so groß wie das Quadrat ihrer Anzahl geteilt durch ihre Summe.
1
1
1
n2
+
+ ... +
≥
xn x1 + x2 + ...xn
x1 x2
Die folgenden Beispiele sollen zeigen, wie man mit den oben gezeigten Techniken bzw. angegebenen Ungleichungen andere Ungleichungen zeigt.
Beispiel 1 .
Zeige : Für a, b, c ∈ 5 gilt : a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca
Beweis :
Die Aufgabenstellung deutet auf die Verwendung binomischer Formeln beim Beweis hin.
1 2 1
1 2 1
1 2
1
Es ist ( a − b) + ( b − c) + ( c − a) ≥ 0 .
2
2
2
2
2
2
Mit der 2. Binomischen Formel ergibt sich
1
1
1 2 1 2 1 2 1
a + b + c − ab − bc − ca ≥ 0 und daraus folgt unmittelbar die Behauptung.
2
2
2
2
2
2
==============================================================================
25
Beispiel 2 :
a+b ≤
Zeige :
a+ b ≤
2(a + b) für a , b ≥ 0
Beweis :
Es ist
a+b
2
2
= a + b und ( a + b) = a + 2 ab + b .
Wegen a + b ≤ a + 2 ab + b ist dann auch a + b ≤ a + b
Aus der Ungleichung für das geometrische und arithmetische Mittel,
a + b ≥ 2 ab ⇔ 2a + 2b ≥ a + 2 ab + b ⇔ 2(a + b) ≥ ( a + b)
a+b
≥ ab , ergibt sich
2
2
Durch Radizieren ergibt sich die die behauptete zweite Ungleichung.
==============================================================================
Beispiel 3 :
 n + 1 n
n
!
≤

 .
Für natürliches n ist n ! = 1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ .... ⋅ (n − 1) ⋅ n . Zeige :
 2 
Beweis :
Wir beginnen mit der Ungleichung zwischen dem geometrischen und arithmetischem Mittel für die natürlichen
Zahlen von 1 bis n. Damit ist
n
1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ....⋅ (n − 1) ⋅ n =
n
n!≤
1 + 2 + 3 + ... + (n − 1) + n
=
n
1
n(n + 1)
2
n
=
n+1
2
Erhebt man beide Seiten zur n.ten Potenz folgt die Behauptung.
==============================================================================
Beispiel 4 :
Zeige, dass für positive reelle Zahlen a, b und c gilt
(1)
 1
1
1  und (2) 1
1
1
11 1 1
9
+
+
+
+
≤ 2
≤  + +  (Irland)

a+b b+c c+a 2a b c
a+b+c
a+b b+c c+a
Beweis :
(1) Die 9 im Zähler des linksstehenden Bruchterms lässt vermuten, dass sich die Ungleichung mit Satz 1
beweisen lässt
Setzt man u : = a + b , v : = b + c , w : = c + a
Dann gilt
1
1
32
1
9
1 1 1
+ +
+
+
≥
⇔
≥
u v w u+v+w
a + b b + c c + a 2a + 2b + 2c
26
4
1 1
>
(2) Wir zeigen zunächst : +
a b
a+b
Dies folgt aus
(a − b)2 ≥ 0 ⇔ a2 − 2ab + b2 ≥ 0 ⇔ a2 + 2ab + b2 ≥ 4ab ⇔ (a + b)2 ≥ 4ab
⇔
a+b
4
1 1
4
+ ≥
≥
⇔
ab
a b a+b
a+b
Natürlich gilt dann auch
Also ist
1 1
4
4
1 1
+
>
>
und +
b c
a c
a+c
b+c
4
4
1 1 1 1 1 1
2 2 2
4
+
+
+ +
≤ + + + + +
=
a b c
a+b a+c b+c a b a c b c
und dies ist äquivalent zur Behauptung.
==============================================================================
Beispiel 5 :
Zeige : Sind x, y und z nichtnegative Zahlen mit x + y + z = 1, dann gilt 0 ≤ xy + xz + yz − 2xyz ≤
7
27
Beweis :
Wir nützen die Nebenbedingung x + y + z = 1 aus. Die Produkte xy, yz und yz in der Doppelungleichung weisen
in Richtung Trinom.
Also (x + y + z)2 = 1 ⇔ x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz = 1 ⇔ xy + xz + yz =
1 1 2 2 2
− (x + y + z )
2 2
Mit der Ungleichung zwischem arithmetischem und quadratischem Mittel ist
x2 + y2 + z2
x+y+z
(x + y + z)3
1
≥
⇔ x2 + y2 + z2 ≥
=
3
3
3
3
Also ist xy + xz + yz =
Ferner ist
3
xyz ≤
1
1 1 1
1
1
− (x2 + y2 + z2) ≥ − ⋅ =
2
2 2 3
3
2
x+y+z
1
1
=
⇔ xyz ≤
3
3
27
Daraus ergibt sich xy + xz + yz − 2xyz ≤
Zuletzt ist xy + xz + yz − 2xy = xyz(
2
7
1
−
=
17
3 27
32
1 1 1
+ + − 2) ≥ xyz(
− 2) = 7xyz ≥ 0
x y z
x+y+z
==============================================================================
27
Aufgaben : Zeige
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1
≥ 2 für alle x > 0
x
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1. x +
2. Sind a, b und c positiv mit abc = 1 dann ist a + b + c ≥ 3
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1 1 1
+ + ≥3
a b c
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------3. Für positives a, b und c mit a + b + c = 1 ist
1
(x + y + z)3 , x, y, z ∈ 4 bzw. 5
3
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------4. Für alle x, y und z ist x2 + y2 + z2 ≥
a b c
+ + ≥3
b c a
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
5. Für positives a, b und c gilt :
6. Für alle x, y und z ist x2 + y2 + z2 ≥ xy + xz + yz
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
7. Für positives a, b und c ist a + b + c ≥ bc + ca + ab
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------8. Für positives a und b ist a3 + b3 ≥ a2b + ab2
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------9. Für natürliche n ist (n !)2 ≥ nn
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------10. Für ai > 0 , 1 ≤ i ≤ n, mit a1a2....an = 1 ist (1 + a1)(1 + a2).....(1 + an) ≥ 2n
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------11. Für alle a, b und c ist (a + b)(a + c)(b + c) ≥ 8abc
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------12. Seien x und y positive reelle Zahlen so, dass x + y = 1 ist. Dann ist (1 +
1
1
)(1 + ) ≥ 9 ist
x
y
(Canadian Mathematical Olympiad)
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------3
1
1
1
+
+
≥
a(b + 1) b(c + 1) c(a + 1) 1 + abc
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------13. Zeige : Sind a, b und c positive reelle Zahlen, dann ist
a2 + b2 a3 + b3
≤
a+b
a2 + b2
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1 1
16. Ist x eine von Null verschiedene reelle Zahl, dann ist x8 − x5 − + 4 ≥ 0 (Irland)
x x
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------14 Für a, b > 0 ist
28
3
b
c
a
+
+
≥ (Ungleichung von Nesbit 1903)
15 Für positives a, b und c gilt :
b+c a+c a+b 2
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------16 Sind a, b und c nicht-negative reelle Zahlen, dann gilt
9
b
c
a
+
+
≥
(Indien)
1 + bc 1 + ac 1 + ab 10
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
29
VI. Das Induktionsprinzip
==============================================================================
Das Induktionsprinzip ist recht einfach und gehört daher zum Standardrepertoire eines Mathematikers.
Stell dir vor, dass für das Wetter eines fiktiven Landes folgendes gilt :
Wenn es an einem Tag regnet, dann regnet es auch am darauffolgenden Tag.
Du kommst in das Land und es beginnt zu regnen. Welche Konsequenzen hat dies ?
Ganz richtig ! Ab sofort wird es jeden Tag regnen.
Das Induktionsprinzip ist eine analoge Regel für die natürlichen Zahlen.
Induktionsprinzip 1
Sei A(n) eine Aussage über jede natürliche Zahl n ∈ 1 .
Ist die Aussage A(1) wahr und lässt sich aus der Annahme der Gültigkeit von A(n) die Gültigkeit der Aussage A(n + 1) zeigen, dann ist die Aussage A(n) für jede natürliche Zahl n richtig.
Den Nachweis der Aussage A(1) nennt man den Induktionsbeginn ("es regnet am 1.Tag").
Der Beweis von A(n) ⇒ A(n + 1) ("wenn es an einem Tag regnet, dann auch am nächsten") heißt Induktionsschluss. Dabei nennt man A(n) die Induktionsvoraussetzung und A(n + 1) die Induktionsbehauptung.
Beispiel 1 :
Zeige : Für jede natürliche natürliche Zahl n gilt 1 + 2 + 3 + .... + n =
1
n(n + 1)
2
In diesem Fall ist A(n) eine Gleichung.
Beweis :
Induktionsbeginn : Sei n = 1 .
Dann ist die linke Seite der Gleichung gleich 1.
Für die rechte Seite erhält man
1
1
⋅1⋅(1 + 1) = ⋅2 = 1 und damit ist A(1) wahr.
2
2
Induktionsschluss :
Induktionsvoraussetzung : A(n) ist wahr d.h. 1 + 2 + 3 + ... + n =
1
n(n + 1)
2
Induktionsbehauptung : A(n + 1) ist wahr d. h. 1 + 2 + 3 + ... + n + (n + 1) =
1
(n + 1)((n + 1) + 1)
2
Es ist aber mit der Induktionsvoraussetzung
1 + 2 + 3 + ... + n + (n + 1) =
1
1
1
n(n + 1) + (n + 1) = (n + 1)( n + 1) = (n + 1)((n + 1) + 1) = A(n + 1)
2
2
2
==============================================================================
30
Beispiel 2 :
Zeige : 2n > 2n − 1 für jede natürliche Zahl n
Beweis :
Induktionsbeginn :
Sei n = 1 .
Dann ist die linke Seite der Ungleichung gleich 2. Für die rechte Seite erhält man 2⋅1 − 1 = 1 und damit ist A(1)
wahr. Ebenso zeigt man, dass A(2) wahr ist.
Induktionsschluss :
Induktionsvoraussetzung : A(n) ist wahr d.h. 2n > 2n − 1
Induktionsbehauptung : A(n + 1) ist wahr d. h. 2n+1 > 2(n + 1) − 1
Es ist aber mit der Induktionsvoraussetzung
2n+1 = 2 ⋅ 2n > 2 ⋅ (2n − 1) = 4n − 2 = 2n + 2 + 2n − 4 = 2(n + 1) − 1 + 2n − 3 > 2(n + 1) − 1
da 2n − 3 > 0 für n > 1
==============================================================================
Der Induktionsbeginn muss nicht mit der Zahl 1 erfolgen.
Induktionsprinzip 2
Sei A(n) eine Aussage über jede natürliche Zahl n ∈ 1 . Ist die Aussage A(k) für eine natürliche Zahl k wahr
und lässt sich aus der Annahme der Gültigkeit der Aussage A(n), n ≥ k, die Gültigkeit der Aussage A(n + 1)
zeigen, dann ist die Aussage A(n) für jede natürliche Zahl n ≥ k richtig.
Beispiel 3 (Bernoullische Ungleichung) :
Zeige : Es ist (1 + x)n > 1 + nx für alle reellen Zahlen x > − 1, x ≠ 0, und alle natürlichen Zahlen n ≥ 2 .
Beweis :
Induktionsbeginn : Sei n = 2 . Dann ist (1 + x)2 = 1 + 2x + x2 > 1 + 2x und damit ist A(2) wahr.
Induktionsschluss :
Induktionsvoraussetzung : A(n) ist wahr d.h. (1 + x)n > 1 + nx für n ≥ 2
Induktionsbehauptung : A(n + 1) ist wahr d. h. (1 + x)n+1 > 1 + (n + 1)x
Es ist aber mit der Induktionsvoraussetzung
(1 + x)n+1 = (1 + x)n(1 + x) > (1 + nx)(1 + x) = 1 + x + nx + nx2 > 1 + nx + x = 1 + (n + 1)x da 2n − 1 > 0
==============================================================================
31
Eine weitere Verallgemeinerung ist
Induktionsprinzip 3
Sei A(n) eine Aussage über jede natürliche Zahl n ∈ 1 .
Ist die Aussage A(1) wahr und lässt sich aus der Annahme der Gültigkeit von A(i) für1 ≤ i ≤ n die Gültigkeit
der Aussage A(n + 1) zeigen, dann ist die Aussage für jede natürliche Zahl n gültig.
Beispiel 4 :
Eine Zahlenfolge sei definiert durch a1 = 1 , a2 = 3 und ak+2 = 3ak+1 − 2ak . Zeige : ak = 2k − 1 .
Beweis :
Offensichtlich ist die Induktionsvoraussetzung für k = 1 und k = 2 und erfüllt.
Gilt die Behauptung für alle Folgenglieder ai mit 1 ≤ i ≤ k + 1 , dann ist
ak+2 = 3⋅(2k+1 − 1) − 2⋅(2k − 1) = 3⋅2k+1 − 3 − 2⋅2k + 2 = 2k⋅(3⋅2 − 2) − 1 = 2k+2 − 1
==============================================================================
Beispiel 5 :
Die Fibonacci-Folge ist definiert durch f1 = 1, f2 = 1 und fn+1 = fn + fn−1 für n ≥ 2 .
Zeige : Sind a und b die Lösungen der Gleichung x2 − x − 1 = 0 , dann gilt fn =
an − b n
a−b
Beweis :
Offensichtlich ist die Induktionsvoraussetzung erfüllt.
Gilt die Behauptung für alle Folgenglieder fi mit 1 ≤ i ≤ n , dann ist
fn+1 = fn + fn−1 =
an − bn an−1 − bn−1
an − bn + an−1 − bn−1
an−1(a + 1) + bn−1(b + 1)
an+1 − bn+1
+
=
=
=
a−b
a−b
a−b
a−b
a−b
da a2 − a − 1 = 0 bzw. b2 − b − 1 = 0 ist und damit a + 1 = a2 und b + 1 = b2 gilt.
(
1+ 5
1− 5
Für a bzw. b gilt a =
. Also ist fn =
bzw. b =
2
2
1+ 5 n
1− 5 n
) −( 2 )
2
5
==============================================================================
Beispiel 6 :
Zeige : Jedes 2n × 2n-Schachbrett, von dem ein Eckquadrat fehlt, lässt sich mit Spielsteinen der Form
überdecken.
32
Beweis :
Induktionsbeginn :
Sei die Induktionsvoraussetzung erfüllt. Das 2n+1 × 2n+1-Schachbrett zerlegen wir wie folgt in vier Teile
und setzen in die Mitte einen Spielstein so, dass die vier Teile die Induktionsvoraussetzung erfüllen.
==============================================================================
Beispiel 7 :
Dazu einiges über Graphentheorie. :
Vereinfacht gesagt ist ein (endlicher) Graph eine endliche Menge von Punkten, von denen einige durch Linien
verbunden sind. Die Punkte nennt man die Eckpunkte und die Linien heißen die Kanten des Graphen.
Es ist nur wichtig, ob zwei Eckpunkte durch eine Kante verbunden sind oder nicht. Die Form der Kanten ist
belanglos. Trotzdem veranschaulicht man die Kanten meist, wenn möglich, durch Strecken.
Ein Graph heißt zusammenhängend, wenn jeder Eckpunkt mit mindestens einem weiteren Eckpunkt durch eine
Kante verbunden ist und man nennt ihn planar, wenn die Kanten so gezeichnet werden können, dass sie sich
nicht überkreuzen. Ein zusammenhängender und planarer Graph heißt Netz.
Obiges Bild zeigt einen zusammenhängenden und planaren Graphen.
Ist e die Anzahl der Ecken, k die Anzahl der Kanten eines Netzes.und f die Anzahl der Flächen, in die die Ebene
durch den Graphen zerlegt wird, dann gilt
Eulerscher Satz :
e−k+f = 2
33
Für den obigen Graphen ist e = 10 , k = 11 und f = 3 und damit e − k + f = 2.
Beweis :
Wir führen den Beweis durch Induktion nach der Anzahl k der Kanten des Graphen..
Ist k = 0 , dann besteht der Graph aus einem Punkt und die Gleichung gilt.
Ist k = 1 , dann besteht der Graph aus zwei Ecken, die durch die einzige Kante verbunden sind.
Es ist also e = 2, k = 1 und f = 1 und die Eulersche Formel ist richtig.
Hat ein Graph k + 1 Kanten, dann können nach Entfernung einer Kante folgende Fälle auftreten :
a) Man erhält einen Graphen mit einem isolierten Punkt. Entfernt man diesen, dann erhält man einen Graphen
für den die Eulersche Formel gilt. Da der ursprüngliche Graph eine Ecke und eine Kante mehr besitzt gilt
der Eulersche Satz auch für ihn.
b) Man erhält wieder ein Netz. Da der ursprüngliche Graph eine Kante und Fläche mehr besitzt, gilt mit der
Induktionsvoraussetzung der wieder der Eulersche Satz.
Aufgaben :
==============================================================================1
1. Beweise die Richtigkeit für alle natürlichen Zahlen n
a) 1 + 3 + ... + 2n − 1 = n2
b) 12 + 22 + ... + n2 =
1
n(n + 1)(2n + 1)
6
c) 13 + 23 + ... + n3 =
1 2
n (n + 1)2
4
d) 12 + 42 + 72 + ... + (3n − 2)2 =
1
n(6n2 − 3n − 1)
2
e) 22 + 52 + 82 + ... + (3n − 1)2 =
1
n(6n2 + 3n − 1)
2
n(4n2 + 6n − 1)
3
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------f) 1⋅3 + 3⋅5 + ..... + (2n − 1)(2n + 1) =
2. Zeige : Für m ∈ 1 gilt :
n(n + 1)...(n + m)
m+1
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1⋅2⋅...⋅m + 2⋅...⋅(m + 1) + ..... + n⋅(n + 1)⋅...⋅(n + m − 1) =
sin2nx
.
2nsinx
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3. Zeige : Ist sinx ≠ 0 , dann gilt für jedes natürliche n die Gleichung cosx⋅cos2x⋅...⋅cos
n− 1
x =
34
4. Zeige : 3n > 2n für alle n ∈ 1
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------5. Zeige : n5 − n ist für alle natürlichen Zahlen n durch 30 teilbar.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------6. Zeige, dass 72n − 48n − 1 für jede natürliche Zahl n durch 2304 teilbar ist.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------7. Zeige : 3n > 2n für alle n ∈ 1
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1
1
1
2
n2
2
3
n
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------8. Zeige für alle natürlichen n ≥ 2 : (1 −
)(1 −
)....(1 −
n−1
9. Zeige für alle natürlichen Zahlen n : 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅...⋅
≤
n
2 4 6
) <
1
.
3n + 1
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------10. Zeige, dass für jede natürliche Zahl n gilt : 2( n + 1 − 1) <
1
+
1
+ ... +
1
< 2 n ----------------------1
2
n
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------1
1
1
3
+
+ .... +
<
2n
4
n+1 n+2
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------11. Beweise : Für jedes natürliche n ist
12. Zeige, dass für alle natürlichen Zahlen n ≥ 2 gilt :
1
1
1
+
+ ... +
< 1
n2
22 32
n−1
1
Hinweis : Zeige zuerst, dass 1 + 1 + ... +
=
n
(n − 1)n
2⋅3 3⋅4
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------13. Berechne für die Fibonacci-Folge f1, f2, ... für verschiedene n die Werte von n die Werte von
a) fn+12 − fn⋅fn+2
b)
fn+22 − fn+12
fn
c) fn−1 + fn+1
und stelle Vermutungen auf, die du dann mittels Induktion beweisen sollst.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
35
VII. Das Schubkastenprinzip
==============================================================================
Eingesetzt wurde diese Beweistechnik das erste Mal von dem französischen Mathematiker Dirichlet. Es ist so
einfach zu formulieren und zu verstehen, dass man sich wundert, wie viele und auch anspruchsvolle Probleme
sich damit lösen lassen. Es lautet
Verteilt man n + 1 Dinge auf n Schubkästen, dann enthält mindestens ein Schubkasten zwei Dinge.
oder allgemeiner
Verteilt man k⋅n + 1 Dinge auf n Schubkästen, dann enthält mindestens ein Schubkasten k Dinge.
Oftmals sind die Schubkästen die Reste, die beim Teilen durch eine Zahl n bleiben können.
Beispiel 1 :
Beweise, dass es unter 7 beliebigen natürlichen Zahlen stets zwei gibt, deren Differenz durch 6 teilbar ist.
Beweis :
Eine natürliche Zahl lässt beim Teilen durch 6 genau sechs verschiedene Reste, nämlich
0, 1, 2, 3, 4 oder 5.
Also müssen zwei der gegebenen Zahlen beim Teilen durch 6 den gleichen Rest lassen.
Dann ist aber die Differenz dieser beiden Zahlen durch 6 teilbar.
==============================================================================
Beispiel 2 :
Gegeben sei eine Folge a1, a2, ....., am ganzer Zahlen. Dann gibt es in der Folge aufeinanderfolgende Glieder so,
dass ihre Summe durch m teilbare ist.
Zum Beispiel ist für 5, 6, 9, 11, 15, 21, 27 die Summe 9 + 11 + 15 = 35 durch 7 teilbar.
Beweis :
Man betrachtet die m Summen
s1 = a1 , s2 = a1 + a2 , s3 = a1 + a2 + a3 ,
, sm = a1 + a2 + .... + am
Da es beim Teilen durch m nur m − 1 verschiedene Reste bleiben, gibt es 2 Summen si und sj, 1 ≤ i < j ≤ m ,
die beim Teilen durch m den gleichen Rest lassen. Die Differenz sj − si ist eine Summe aufeinanderfolgender a's
und durch m teilbar.
==============================================================================
36
Meist liegt die Schwierigkeit bei der Anwendung des Schubkastenprinzips darin, passende Kästen zu finden.
Beispiel 3 :
Beweise : Ist a eine reelle Zahl und n ∈ 1 , dann beträgt der Abstand einer der Zahlen a, 2a, ...., (n − 1)a zu
1
einer ganzen Zahl höchstens .
n
Beweis :
Wir definieren für i⋅a, 1 ≤ i ≤ n − 1 , die Zahl di als Abstand zur nächsgelegenen ganzen Zahl.
Dann ist 0 ≤ di ≤
1
.
2
Das Intervall [0;
1
] unterteilen wir in die n − 1 Schubläden
2
[0 ;
n−2 n−1
n−1 1
1
1 3
[,[ ;
[ , ..... [
;
[; [
; ] .
n
n 2n
2n
2n
2n
2
Liegt ein di in der ersten, dann ist alles gezeigt.
Ist dies nicht der Fall, dann gibt es k < l so, dass dk und dl in derselben Schublade der Breite
1
liegen.
2n
Dann ist der Abstand von l⋅a − d⋅a = (l − d)⋅a zur nächstgelegenen ganzen Zahl kleiner oder gleich 2⋅
1
1
=
n
2n
==============================================================================
Typisch für das Schubkastenprinzip ist auch
Beispiel 4 :
In einem Wartezimmer sitzen 6 Personen. Zeige, dass darunter mindestens drei sind, die sich gegenseitig kennen
oder mindestens drei, die nicht gegenseitig bekannt sind.
Beweis :
Sei Herr X eine der sechs Personen. Dann gibt es entweder 3 der restlichen fünf Personen, die Herr X kennt oder
die er nicht kennt. Nehmen wir an er kennt drei. Sind unter diesen dreien zwei etwa Y und Z miteinander
bekannt, dann kennen sich X, Y und Z gegenseitig. Andernfalls sind keine zwei von den dreien miteinander
bekannt. Analog geht man die andere Möglichkeit durch.
Bemerkung :
Veranschaulicht man die 6 Personen im Wartezimmer durch Punkt P1, P2, ..., P6 in der Ebene, und veranschaulicht man die gegenseitige Bekanntschaft bzw. das gegenseitige Fremdsein von Pi und Pj durch eine grüne
bzw. rote Verbindungsstrecke [PiPj], dann haben wir bewiesen :
Verbindet man 6 Punkte paarweise durch grüne bzw. rote Strecken, dann ergibt sich stets ein Dreieck mit Seiten
gleicher Farbe.
37
P1
Wegen des Schubladenprnzips muss ein Punkt P1 mit drei Punkten mit Strecken derselben Farbe etwa grün
verbunden sein. Sind zwei dieser drei Punkt mit einer grünen Strecke verbunden, dann existiert ein grünes
Dreieck, andernfalls ein rotes.
==============================================================================
Beispiel 5 :
Zeige : Unter 5 Punkten in einem Recheck der Länge 4 und der Breite 3 sind immer zwei Punkte, deren Abstand höchstens gleich
5 ist.
Beweis :
Unterteilt man dann das Recheck wie folgt in vier "Schubkästen",
dann folgt die Behauptung unmittelbar (Pythagoras)
==============================================================================
Schwierig sind die beiden letzten Beispiele
Beispiel 6 :
Jede Folge von n2 + 1 reellen Zahlen enthält eine streng monoton wachsende oder monton fallendeTeilfolge mit
n + 1 Gliedern.
Beweis :
Sind a1 , a2 , a3 , ...., an2 , an2+1 die Glieder der Folge, dann ordnen wir jedem ai ein Zahlenpaar (li ; ri) z mit
li : Länge der größten monoton wachsenden Teilfolge mit ai als größtem Element
ri : Länge der größten monoton fallenden Teilfolge mit ai als kleinstem Element
Für i ≠ j ist dabei li ≠ lj oder ri ≠ rj , da ai < aj oder ai > aj d.h. es gibt so viele verschiedene Zahlenpaare wie
Folgenglieder.
Gäbe es jetzt nur monoton wachsende oder monoton fallende Teilfolgen mit höchstens der Länge n, dann wäre
die Anzahl der möglichen Zahlenpaare nur n⋅n = n2 . Das ist ein Widerspruch.
==============================================================================
Beispiel 7 :
Ein Schüler löst 11Wochen lang jeden Tag ein mathematisches Problem. Damit er sich nicht überan-strengt,
bearbeitet er pro Woche nicht mehr als 12 Aufgaben. Zeige, dass es dann mehrere aufeinanderfolgende Tage im
Jahr gibt, an denen er zusammen genau 20 Aufgaben löst.
38
Beweis :
Sei x1, x2, .... die Gesamtanzahl der Aufgaben, die der Student nach dem ersten Tag, dem zweiten Tag usw. gemacht hat. Da er jeden Tag mindestens eine Aufgabe erledigt, erhalten wir 7⋅11 verschiedene natürliche Zahlen,
die die Ungleichung
1 ≤ x ≤ 132 ( = 11⋅12)
erfüllen müssen.
Addiert man zu jeder dieser Zahlen 20, dann erhält man 77 verschiedene Zahlen y1, y2, .... , für die die
Ungleichung
21 ≤ y ≤ 152
gelten muss.
Insgesamt hat man dann 77 + 77 = 154 Zahlen, für die die Ungleichung 1 ≤ z ≤ 152 gilt.
Dann müssen aber mindestens zwei dieser Zahlen gleich sein d.h. es gibt yj mit yj = xi. Es ist aber yj = xj + 20
und damit xi = xj + 20 d.h. vom j.ten bis zum i.ten Tag hat der Schüler 20 Aufgaben gemacht.
===================================================================
Aufgaben :
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1. Zeige, dass es unter n + 1 positiven Zahlen, von denen keine größer als 2n ist, wenigstens eine gibt, welche
eine andere teilt.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2. Zeige : Unter n + 1 Zahlen aus der Menge 1, 2, 3, ....., 2n sind immer zwei teilerfremde darunter.


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------3. Seien a, b, c und d ganze Zahlen. Zeige, dass dann das Produkt (b − a)⋅(c − a)⋅(d − a)⋅(c − b)⋅( d − b)⋅(d − c)
durch 12 teilbar ist.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------4. Als Gitterpunkte in einem Koordinatensystem bezeichnet man Punkte mit ganzzahligen Koordinaten. Zeige,
dass es unter 5 Gitterpunkten stets zwei so gibt, dass der Mittelpunkt ihrer Verbindungsstrecke selbst ein
Gittepunkt ist.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------5. Auf einer Party mit 50 Gästen sind stets zwei, die die gleiche Anzahl von Personen kennen.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------6. In einer Stadt gibt es 10000 verschiedene Telefonleitungen, die mit vierstelligen Zahlen numeriert sind.
Mehr als die Hälfte aller Telefonleitungen liegen in der Unterstadt. Beweise, dass es dann dort mindestens
zwei Telefonleitungen mit Nummern gibt, deren Summe wieder die Nummer einer Leitung in der Unterstadt
ist.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------7. Verbindet man 17 Punkte paarweise durch grüne, rote oder blaue Strecken, dann ergibt sich stets ein Dreieck mit Seiten gleicher Farbe.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
39
8. Unter fünf Punkten A, B, C, D und E im Innern eines Quadrats mit der Seitenlänge 1 gibt es zwei,deren Ab1
2 ist.
stand kleiner als
2
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------9. In einem Quadrat mit der Seitenlänge 1 liegen 51 Punkte. Beweise, dass drei dieser Punkte durch eine
Kreisscheibe mit Radius 1/7 überdeckt werden können.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------10. In einem gleichseitigen Dreieck mit der Seitenlänge 1 liegen 5 Punkte. Zeige, dass es zwei Punkte gibt,
deren gegenseitiger Abstand kleiner als 1 ist.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------11. Zeige, dass es unter 7 Geraden in der Ebene von denen keine zwei zueinander parallel sind, zwei gibt,
deren Schnittwinkel kleiner als 30° ist.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

12. Zeige : Zu jeder reellen Zahl r gibt es ganze Zahlen a und b mit b ≠ 0 so, da ss r − a  < 1
2
b

 b
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
40
VIII. Funktionalgleichungen
==============================================================================
In einer Wertetabelle ordnet man Zahlen oder Größen andere Zahlen oder Größen zu.
Beispiel :
Wir betrachten alle Rechtecke mit dem Umfang 12 und ordnen jeder möglichen Rechteckslänge den Flächeninhalt eines Rechtecks mit dieser Länge zu.
Länge l
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
5,5
Inhalt A
2,75
5
6,75
8
8,75
9
8,75
8
6,75
5
2,75
Allgemein gilt : A = (6 − l)⋅l = 6l − l2
Da der Wert von A von l abhängt, nennt man l unabhängige und A abhängige Variable.
Die Werte, die man für l verwenden darf, sind durch die Ungleichung 0 < l < 6 gegeben und A kann vermutlich
Werte zwischen 0 und 8 annehmen.
Zuordnungen nennt man in der Mathematik Funktionen. Meist verwendet für Funktionen die Abkürzung f und
bezeichnet die unbhängige Variable mit x und die abhängige Variable mit y und symbolisiert die Zuord-nung
durch
f:x→y
Oft benutzt man auch die Vorstellung einer Abbildung und sagt, dass x durch f auf y abgebildet wird.
Errechnet sich wie in unserem Beispiel das einem x zugeordnete y durch Einsetzen des x-Wertes in einen Term,
dann bezeichnet man diesen Term als Funktionsterm f(x) und die Gleichung y = f(x) als Funktions-gleichung.
Die Werte, die x annehmen darf bilden die Definitionsmenge D der Funktion und die zugeordneten y-Werte die
Wertemenge W der Funktion.
Ersetzt man in unserem Beispiel l durch x und A durch y, dann ist die Zuordnung gegeben durch
f : x → y = (6 − x)⋅x mit dem Funktionsterm (6 − x)⋅x und der Funktionsgleichung y = (6 − x)⋅x.
Die Definitionsmenge ist D = ]0;6[ und die Wertemenge W = ]0;9]
Da eine Wertetabelle meist keine vollständige Übersicht über eine Funktion ergibt, fasst man einander zugeordnete x- und y-Werte als Koordinaten von Punkten in einem Koordinatensystem auf. Alle so gewonnenen Punk-te
bilden dann den Graphen Gf der Funktion.
Für unser Beispiel erhält man
41
Der Graph der Funktion ist symmetrisch zur Geraden x = 3 . Algebraisch bedeutet das, dass f(3 + x) = f(3 − x).
Tatsächlich ist f(3 + x) = 6 − (3 + x)(3 + x) und f(3 − x) = 6 − (3 − x)(3 − x) = (3 + x)(3 − x)




Eine derartige Gleichung heißt Funktionalgleichung.
Zum Thema Funktionalgleichungen gibt es drei Aufgabenstellungen
a) Bestimmung des Funktionswerts einer Funktion an einer betimmten Stelle, bei gegebener Funktionalgleichung
b) Bestimmung des Funktionsterms einer Funktion bei gegebener Funktionalgleichung
c) Nachweis bestimmter Eigenschaften der Funktionen, die die Funktionalgleichungen erfüllen
Beispiel 1 :
Für die auf 5 definierte Funktion f gilt
(a) f(1) = 2
(b) f(x + y) = f(x) ⋅ f(y)
2
Bestimme f(0), f( − 1) und f( )
3
Lösung :
Es ist f(0) = f(0 + 0) = f(0)⋅ f(0): Da f(0) ≠ 0 ist (warum) ist f(0) = 1.
Allgemein folgt f(n) = f(1 + 1 + ... + 1) = 2n
Weiter ist 1 = f(n − n) = f() = f(n)⋅f( − n) ⇒ f( − n) =
1
1
1
=
. Also speziell f( − 1) =
n
2
f(2)
2
 1 n
1
1 1
1
Ferner ist f(1) = f( + + .... + ) = f( ) ⇒ f( ) =
n
n
n n
n


n
f(1) = 2
1
n
2
2
1 1
1 2
Damit ergibt sich f( ) = f( + ) = f( ) = 2 3
3
3 3
3
==============================================================================
Beispiel 2 :
Eine klassische Funktionalgleichung ist f(x + y) = f(x) + f(y). Bestimme f(x)
Lösung :
Setzt man y = 0, dann erhält man f(x + 0) = f(x) = f(x) + f(0) und damit ist f(0) = 0
Setzt man y = − x, dann erhält man f(x − x) = f(0) = 0 = f(x) + f( − x) und damit f( − x) = − f(x)
Setzt man f(1) = m, dann ergibt sich f(2) = f(1 + 1) = f(1) + f(1) = m + m = 2m .
Mit Induktion ergibt sich f(k) = km für alle natürlichen Zahlen k.
42
p
p
p
p
p
Ist x =
eine rationale Zahl, dann gilt f(p) = f( ⋅q) = q⋅f( ) . Wegen f(p) = m⋅p ist daher f( ) = m⋅ .
q
q
q
q
q
Ist als D = 4 , dann ist f(x) = mx mit einer konstanten Zahl m.
==============================================================================
Beispiel 3 :
Für die Funktion f gilt f(x) + 2f(6 − x) = x. Bestimme f.
Lösung :
Setzt man x1 = 6 − x in die Funktionalgleichung ein, dann ergibt sich f(6 − x) + 2⋅f(6 − (6 − x)) = 6 − x.
Also f(6 − x) + 2⋅f(x) = 6 − x.
Subtrahiert man das zweifache dieser Gleichung von der ursprünglichen Funktionalgleichung, dann ergibt sich
− 3⋅f(x) = x − 2⋅(6 − x) ⇔ f(x) = − x + 4
==============================================================================
Typische Lösungsstrategien sind
• das Einsetzen spezieller Werte wie x = 0 , y = 0 , x1 = k⋅x etc.
• das Testen bestimmter Funktionen wie lineare und quadratische Funktionen
• der Nachweis bestimmter hilfreicher Eigenschaften wie Monotonie etc.
• die Kenntnis bestimmter Funktionen und deren Funktionalgleichungen
Aufgaben :
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1. Es sei f eine Funktion so, dass f(x + f(x)) = 4f(x) und f(1) = 4 ist. Dann ist f(5) gleich
a) 16
b) 18
c) 20
d) 22
e) 24
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2. Sei f eine auf den reellen Zahlen definierte Funktion mit f(2) = 3 und f(a + b) = f(a) + f(b) + ab für alle a
und b. Dann ist f(11) gleich
a) 55
b) 66
c) 110 d) 120 e) keine dieser Zahlen
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3. Sei f eine Funktion mit f(x) + f(1 − x) = 11 und f(1 + x) = 3 + f(x). Dann ist f(x) + f( − x) gleich
a) 8
b) 9
c) 10
d) 11
e) 12
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
43
3. Sei f eine Funktion so, dass für alle ganzen Zahlen x und y gilt
f(x + y) = f(x) + f(y) + 6xy + 1
und f(x) = f( − x) ist. Dann ist f(3) gleich
a) 26
b) 27
c) 52
d) 53
e) 54
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------5. Wenn für die Funktion f und für alle x gilt 2f(x) + f(1 − x) = x2, dann ist f(x) gleich
x2 + 8x − 3
4x2 + 3x − 2
x2 + 2x − 1
x2 + 9x − 4
x2 − 3x + 1
b)
c)
d)
e)
2
9
6
3
9
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------a)
6. Bestimme alle Polynomfunktionen p mit p(x + 1) = p(x) + 2x + 1
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------7. Man bestimme alle Funktionen mit der Definitionsmenge 4 und den Eigenschaften
(a) f(1) = 1
(b) f(x + y) = f(x) + f(y) + xy(x + y)
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------8. Eine auf ganz 5 definierte Funktion erfülle die Funktionalgleichung x⋅f(x + 2) = (x2 − 9)⋅f(x). Zeige, dass f
mindestens drei Nullstellen besitzt.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------9. Für eine auf ganz 5 definierte Funktion f gelte
(a) f(2 + x) = f(2 − x) (b) f(6 + x) = f(6 − x) (c) f(0) = 0
Wie viele Nullstellen muss f dann mindestens besitzen ?
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------10. Bestimme den Funktionsterm einer Funktion f mit f(t2 + t + 1) = t für t ≥ 0 .(Norwegen)
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------11. Bestimme alle Polynomfunktionen p mit (x − 16)p(2x) = 16(x − 1)p(x) (Irland)
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------12. Bestimme alle Funktionen f mit f(x + y) − f(x)⋅f(y) = x + y
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
44
IX. Polynome
==============================================================================
In der Algebra ersetzt man Zahlen teilweise durch Platzhalter. Nicht notwendigerweise gleiche Zahlen werden
durch verschiedene Platzhalter ersetzt. Dabei werden gewöhnlich Rechenaufgaben zu sog. Termen oder Formeln.
Beispiele :
a) Formel zur Berechnung der Oberfläche eines Würfels mit der Kantenlänge a : OW = 6⋅a2 = 6a2
b) Formel zur Berechnung der Oberfläche eines Quaders mit der Länge l, der Breite b und der Höhe h :
OQ = 2⋅l⋅b + 2⋅l⋅h + 2⋅b⋅h = 2⋅(l⋅b + l⋅h + b⋅h)
Beschränkt man sich auf die Addition, die Subtraktion und die Multiplikation, dann erhält man Terme, die man
Polynome nennt. Je nach der Anzahl der Variablen unterscheidet man Polynome mit einer bzw. mehreren
Variablen.
Beispiel :
P1(x) = x2 − 1 , P2(x) = 2x + 3 und P3(x) = (x + 4)2 = x2 + 8x + 16 sind Polynome mit einer Variablen.
Polynome lassen sich addieren, subtrahieren und addieren und das Ergebnis ist stets wieder ein Polynom.
Es ist
P1(x) + P2(x) = (x2 − 1) + (2x + 3) = x2 − 1 + 2x + 3 = x2 + 2x + 2
P1(x) − P3(x) = (x2 − 1) − (x − 1)2 = x2 − 1 − (x2 − 2x + 1) = x2 − 1 − x2 + 2x − 1 = 2x − 2
P2(x) ⋅ P3(x) = (x2 − 1)⋅(x − 1)2 = (x2 − 1)⋅(x2 − 2x + 1) = x4 − 2x3 + x2 − x2 − 2x3 − 1 = x4 − 4x3 − 1
Definition :
Kann ein Term so umgeformt werden dass er die Form
P(x) = anxn + an−1xn−1 + .... + a1x + a0 , (an, an−1, ....., a0 ∈ = oder 4 oder 5)
hat, dann nennt man ihn Polynom vom Grad n mit ganzen bzw. rationalen bzw. reellen Koeffizienten und
der Variablen x.
Hat ein Polynom P(x) den Grad n; dann schreibt man deg P(x) = n
Welche Werte ein Polynom P(x) beim Ersetzen der Variablen x durch reelle Zahlen annimmt, erkennt man am
besten, wenn man den Graphen der Funktion x → P(x) zeichnet. Eine Funktion, deren Funktion ein Polynom ist,
heißt ganzrational.
So ergeben sich für die oben definierten Polynome P1(x), P2(x) und P3(x) folgende Graphen
45
Hat ein Polynom den Grad 1, dann ist der Graph der zugehörigen ganzrationalen Funktion immer eine Gerade
und man bezeichnet die Funktion als lineare Funktion.
Schreibt man: f : x → y = mx + t ,
dann heißt m die Steigung der Geraden und t ihr y-Abschnitt
Mit Hilfe der linearen Funktionen lassen sich dann viele geometrische Probleme algebraisch lösen.
Hat ein Polynom den Grad 2, dann heißt der Graph der zugehörigen ganzrationalen Funktion Parabel und man
bezeichnet die Funktion als quadratische Funktion.
Der Funktionsterm f(x) = ax2 + bx + c jeder quadratischen Funktion lässt sich auf die Form f(x) = a(x − s)2 + t
bringen. s ist dann die x- und t die y-Koordinate des Scheitels der Parabel.
Wichtig für den Verlauf des Graphen einer ganzrationalen Funktion mit dem Funktionsterm P(x) sind die Abszissen (x-Koordinaten) der Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen. Ihre Bestimmung führt auf die Lösung der
Gleichung
P(x) = 0
Definition :
Ist P(x) ein reelles Polynom n.ten Grades, dann heißt die Funktion P : x → y = P(x) rationale Funktion vom
Grad n. Die Gleichung P(x) = 0 , mit der man die Nullstellen von P bestimmt, heißt algebraische Gleichung
vom Grad n.
Algebraische Gleichungen vom Grad 1 heißen lineare Gleichung und sind leicht lösbar.
Algebraische Gleichungen vom Grad 2 heißen quadratische Gleichungen. Falls es Lösungen gibt, dann erhält
man sie mit der Lösungsformel
Satz :
Die Diskriminante D einer quadratischen Gleichung ax2 + bx + c = 0 ist definiert durch
D = b2 − 4ac.
46

D > 0 die zwei Lösungen x = − b + D und x = − b − D
1
2
2a
2a


b
Die quadratische Gleichung besitzt für D < 0 die einzige Lösung x = −
2a
D 0 keine Lösung
<

Aus der Lösungsformel folgen
Satz von Vieta :
Hat die quadratische Gleichung x2 + bx + c = 0 die Lösungen x1 und x2, dann gilt
x1 + x2 = − b und x1 ⋅ x2 = c
und
Zerlegungssatz :
Hat die quadratische Gleichung x2 + bx + c = 0 die Lösungen x1 und x2, dann gilt
x2 + bx + c = (x − x1)(x − x2)
Bemerkung :
Quadratische Gleichungen der Form 1⋅x2 + bx + c = 0 heißen normierte quadratische Gleichungen.
Für die zu den Polynomen höheren Grades gehörenden algebraischen Gleichungen gibt es (mit Ausnahme bei
den Polynomen dritten und vierten Grades) keine Lösungsformel. Trotzdem besteht manchmal die Möglichkeit
Lösungen zu finden. Ein Hilfsmittel ist die sog. Polynomdivision. Diese Polynomdivision ist ähnlich wie bei den
ganzen Zahlen meist nicht immer vollständig durchführbar, es ist eine Division mit Rest.
Beispiel :
Es ist 13 : 4 = 3 Rest 1 gleichbedeutend mit 13 = 3 ⋅ 4 + 1
Analog soll (x2 + 2x + 3) : (x − 1) definiert werden.
Man bestimmt zuerst ein eingliedriges Polynom Q1(x) so, dass
R1(x) = P(x) − Q1(x)(x − 1) = (x3 + 2x2 − 3) − Q1(x)(x − 1)
einen kleineren Grad als 3 besitzt. Es ist leicht einzusehen, dass Q1(x) = x2 ist Dann ist.
47
R1(x) = (x + 2x + 3) − x (x − 1) = (x + 2x − 3) − x (x − 1) = 3x2 − 3 .
3
2
2
3
2
2
Zu R1(x) bestimmt man ein eingliedriges Polynom Q2(x) so, dass
R2(x) = R1(x) − Q2(x)(x − 1)
einen kleineren Grad als 2 besitzt. Es ist Q2(x) = 3x und .R2(x) = 3x − 3
Analog bestimmt zu R2(x) ein eingliedriges Polynom Q3(x) so, dass
R3(x) = R2(x) − Q3(x)
den Grad Null besitzt. Es ist Q3(x) = 6 und R3(x) = 2 .
Hier stoppt das Verfahren.
Es ist jetzt
P(x) = Q1(x)(x − 1) + R1(x) =
= Q1(x)(x − 1) + Q2(x)(x − 1) + R2(x) =
= Q1(x)(x − 1) + Q2(x)(x − 1) + Q3(x)(x − 1) + R3(x) =
= Q1(x) + Q2(x) + Q3(x)(x − 1) + R3(x) = Q(x)(x − 1) + R3(x) mit Q(x) = Q1(x) + Q2(x) + Q3(x)


Eingesetzt ergibt sich x3 + 2x2 + 3 = (x2 + 3x + 3)(x − 1) + 6
Satz :
Zu zwei Polynomen P(x) und T(x) gibt es stets Polynome T(x) und R(x) so, dass
P(x) = Q(x)⋅T(x) + R(x) und
deg R(x) < deg T(x) .
Bemerkung :
Ist R(x) = 0, dann heißt das Polynom T(x) ein Teiler von P(x).
Ist x0 eine Lösung der algebraischen Gleichung P(x) = 0, dann gibt es zu dem Polynom T(x) = x − x0
Polynome Q(x) und R(x) so, dass
P(x) = Q(x)⋅T(x) + R(x) = Q(x)⋅(x − x0) + R(x)
ist.
Weil R(x) einen kleineren Grad als T(x) besitzt, ist R(x) gleich einer Konstanten r.
47
Setzt man x = x0 in P(x) = Q(x)⋅(x − x0) + r ein, dann ergibt sich
P(x0) = Q(x0)⋅(x0 − x0) + r = r = 0 d. h. x − x0 ist ein Teiler von P(x)
Satz:
Ist x0 eine Lösung der algebraischen Gleichung P(x) = 0, dann gibt es ein Polynom Q(x) mit
P(x) = Q(x) ⋅ (x − x0)
x − x0 heißt dann ein Linearfaktor von P(x).
Gilt für ein Polynom P(x) = (x − x0)⋅Q(x) und ist x0 auch eine Nullstelle von Q(x), dann heißt x0 eine mehrfache Nullstelle von P(x).
Definition :
Gilt für ein Polynom P(x) = (x − x0)mQ(x) mit Q(x0) ≠ 0 , dann heißt t x0 eine m-fache Nullstelle von P(x).
Damit lässt sich der Satz von Vieta auf beliebige Polynome verallgemeinern :
Satz :
Hat ein normiertes Polynom n-ten Grades P(x) = xn + an−1xn + ... + a1x + a0 unter Berücksichtigung der
Vielfachheit n verschiedene Nullstellen x1,..... xn , dann gilt
x1⋅x2⋅....⋅xn = ( − 1)n⋅a0 und x1 + x2 + ... + xn = − an−1
Beweis :
Setzt man P(x) = (x − x1)(x − x2)....(x − xn) , multipliziert aus und vergleicht mit der ursprünglichen Form von
P(x), dann ergibt sich die Behauptung.
Bemerkung :
Da sich zeigen lässt, dass jede rationale Nullstelle eines normierten Polynoms mit ganzzahligen Koeffzienten
sogar ganzzahlig ist, ist also jede ganzzahlige Nullstelle eines derartigen Polynoms ein Teiler von a0
.
.Die Polynome mit zwei Variablen sind Summen von Termen der anmxnym. Die Zahl n + m heißt der Grad dieses
Terms und der Grad eines Polynoms ist das Maximum des Grades seiner Summanden.
Beispiel :
P(x; y) = 2x3y2 − 3xy2 + 4x2y4 ist ein Polynom vom Grad 6.
48
Ist P(x; y) ein Polynom mit zwei Unbekannten, dann besteht die Lösung der Gleichung P(x; y) aus allen Zahlenpaaren (x; y), die beim Einsetzen zum Polynomwert Null führen. Man kann die Gesamtheit dieser Lösunggen veranschaulichen, indem man die Zahlenpaare als Koordinaten von Punkten in der Ebene auffasst. Man
erhält dann Kurven in der Ebene.
Beispiele :
a) Ist P(x; y) ein Polynom vom Grad eins d.h. P(x; y) = ax + by + c, dann bilden die Lösungspunkte der
Gleichung ax + by + c = 0 eine Gerade.
Man nennt deshalb die Gleichung ax + by + c = 0 eine implizite Geradengleichung.
b) Ist P(x;y) ein Polynom vom Grad zwei d.h. P(x; y) = ax2 + by2 + cxy + dx + dy + e, dann bilden die
Lösungspunkte der zugehörigen Gleichung einen Kegelschnitt d.h. eine Parabel, Hyperbel, Ellipse etc.
Spezielle Polynome mit zwei Variablen sind
a) die homogenen Polynome, bei denen jeder Summand den gleichen Grad hat.
Beispiel : P(x; y) = x3 + 2x2y − 3xy2
b) die symmetrischen Polynome, bei denen ein Vertauschen der Variablen das Polynom unverändert lässt.
2
Beispiel : P(x; y) = x2 + 2x y + 2xy2 + y2
Alle symmetrischen Polynome lassen sich als Polynome der sog. elementarsymmetrischen Polynome darstellen,
Die elementarsymmetrischen Polynome mit zwei Variablen sind die Koeffizienten des Polynoms
P(t) = (t + x)(t + y) = t2 + (x + y)t + xy
d.h. es sind die Polynome S0(x; y) = 1, S1(x; y) = x + y und S3(x; y) = xy
Ergänzung :
Binomische und trinomische Formeln - das Pascalsche Zahlendreieck
Das Quadrat bzw. allgemein die n.te Potenz eines Polynoms ist wieder ein Polynoms. So ist
(x + y)2 = 1⋅x2 + 2⋅xy + 1⋅y2 = x2 + 2xy + y2
(x + y)3 = 1⋅x3 + 3⋅x2y + 3⋅xy2 + 1⋅y3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
(x + y)4 = 1⋅x4 + 4⋅x3y + + 6⋅x2⋅y2 + 4⋅xy3 + 1⋅y3 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + + 4xy3 + y4
Setzt man noch (x + y)1 = 1⋅x + 1⋅y = x + y bzw. (x + y)0 = 1
49
und ordnet die Koeffizienten der so erhaltenen Polynome mit zwei Variablen in der Form eines Dreiecks an,
dann erhält man das Pascalsche Zahlendreieck
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
5
7
8
9
10
21
56
1
4
10
20
35
84
1
3
6
15
28
36
3
4
6
1
2
5
15
35
70
126
1
21
56
126
1
6
1
7
28
84
1
8
36
1
9
Rechte und linke Seite des Dreiecks werden von Einsen gebildet. Ein im Innern stehende Zahl ist die Summe
der beiden über ihr stehenden Zahlen. Ergänzt man auf diese Art das Dreieck, dann erhält man auch die
Koeffizienten für höhere Potenzen von x + y. Man nennt diese Potenzen auch Binome.
Potenzen von des Polynoms x + y + z heißen Trinome. So ist
(x + y + z)2 = x2 + y2 + z3 + 2xy + 2xz + 2yz.
(x + y + z)3 = x3 + y3 + z3 + 3x2y + 3x2z + 3xy2 + 3y2z + 3xz2 + 3yz2 + 6xyz
Beispiel 1 :
Bestimme alle reellen Zahlen a so, dass die Polynome x2 + ax + 1 und x2 + x + a mindestens eine gemeinsame
Nullstelle haben.
(Kanadische Mathematikolympiade 1971)
Lösung :
Ist x0 eine gemeinsame Nullstelle, dann gilt
(1) x02 + ax0 + 1 = 0 und (2) x02 + x0 + a = 0
(1) − (2) ⇒ ax0 − x0 + 1 − a = 0 ⇔ x0(a − 1) + 1 − a = 0 ⇔ x0 = 1 ∨ a = 1
Für a = 1 ergeben sich zwei identische Polynome, für x0 = 1 ergibt sich a = − 2
==============================================================================
Beispiel 2 :
Welcher Rest ergibt sich, wenn man P(x) = x100 − 2x99 + 4 durch T(x) = x2 − 3x + 2 teilt ?
Lösung :
Es ist P(x) = Q(x)⋅T(x) + R(x) mit einem Polynom R(x) = r1x + r0 vom Grad 1.
50

P(1) = 3 = R(1) = r1 + r0
Setzt man die Nullstellen ein, dann ergibt sich 
P(2) = 4 = R(2) = 2r1 + r0

1
Damit ergibt sich R(x) = x + 2
==============================================================================
Beispiel 3 :
Zeige : Alle Punkte (x; y) mit x2 − xy + x − y = 0 bilden zwei sich schneidende Geraden.
Lösung :
x2 − xy + x − y = 0 ⇔ x(x − y) + (x − y) = 0 ⇔ (x + 1)(x − y) = 0
Da ein Produkt nur dann Null wird, wenn mindestens ein Faktor Null ist, muss gelten
x + 1 = 0 ∨ x − y = 0 d.h.
x = − 1 oder y = x. Das sind aber die Gleichungen zweier Geraden.
==============================================================================
Beispiel 4 :

 2 2
Löse das Gleichungssystem x + y = 4
3
3
x + y = 8

Lösung :
Verwendet man die elementarsymmetrischen Polynome s1 = x + y und s2 = xy, dann ergibt sich
(1) x2 + y2 = x2 + 2xy + y2 − 2xy = s12 − 2s2 = 4 und
3
(2) x3 + y = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 − 3x2y − 3xy2 = s13 − 3xy(x + y) = s13 − 3s1s2
Aus (1) ergibt sich s2 =
1 2
s −2
2 1
1
In (2) eingesetzt folgt s13 − 3s1⋅( s12 − 2) = 8 ⇔ s13 − 12s1 + 16 = 0
2
Die letzte Gleichung hat die Lösung s1 = − 4, 2, 2 .
Resubstitution führt auf die Lösungspaare (2; 0) und (0; 2).
==============================================================================
Beispiel 5 :
Die Lösungen der Gleichung x3 − 64x − 14 = 0 seien a, b und c. Berechne a3 + b3 + c3.
51
Lösung :
Aus der Gleichung ergibt sich
a3 + b3 + c3 = 64a + 14 + 64b + 14 + 64c + 14 = 64(a + b + c) + 42 = 42 , da aus der Darstellung
x3 − 64x − 14 = (x − a)(x − b)(x − c) durch Koeffizientenvergleich a + b + c = 0 folgt.
==============================================================================
Aufgaben :
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1. In wie vielen Punkten schneidet der Graph von p : x → p(x) = (x − 2)(2x2 − 5x + 4)(2x2 − 7x + 4) die
x-Achse ?
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 5
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2. Welche der folgenden Aussagen ist für die Gleichung x2 + 1994x + 3142 = 0 wahr ?
a) Die Gleichung besitzt keine reellen Lösungen
b) Die Gleichung besitzt eine ganzzahlige Lösung
c) Die Gleichung besitzt eine positive Lösung
d) Die Summe der Kehrwerte der Lösungen ist rational
e) Keine der Aussagen ist wahr
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------3. Sei p(x) ein quadratisches Polynom mit p(2) = − 3 und p(-2) = 21. Dann ist der Koeffizient von x in p(x)
gleich
a) -6
b) -4
c) 0
d) 4
e) Der Koeffizient kann nicht bestimmt werden.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------4. Wenn r und s die Lösungen von x2 − 6x + 2 = 0 sind., dann ist
1 1
+ gleich
r s
a) -3 b) 3 c) -6 d) 6 e) 2
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------5. Wenn die Gleichungen
(1) x2 + ax + b = 0 und (2) x2 + cx + d = 0
genau eine gemeinsame Lösung haben und abcd ≠ 0 ist, dann lautet die andere Lösung der Gleichung (2)
a+c
a+c
b+c
a−c
c−a
b)
c)
d)
e)
d
d
c
c
b−d
b+d
a+d
b−d
b−d
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------a)
52
6. E sei p(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e so, dass f(1) = f(2) = f(3) = f(4) = f(5). Dann ist a gleich
a) -8
b) 10
c) -15
d) 22
e) -35
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
7. Sei P(x) ein Polynom vom Grad 4 so, dass P(2) = P( − 2) = P( − 3) = − 1 und P(1) = P( − 1) = 1
Dann ist P(0) gleich
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------8. Zeige, dass 5 eine Lösung der Gleichung 2x3 − 40x − 50 = 0 ist und bestimme alle Lösungen der Gleichung.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------9. Eine Lösung von x3 + 5x2 − 2x − 4 = 0 ist x = 1 . Welche der folgenden Zahlen ist eine andere Lösung ?
a) − 1 + 7
b) − 3 + 5
c) − 2 + 5
d) − 5 + 3
e) − 5 + 2
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------10. Eine ganzzahlige Lösung von x3 + 8x2 + 12x − 385 = 0
a) ist kleiner als 6
b) liegt zwischen 7 und 11
c) liegt zwischen 12 und 20
d) liegt zwischen 22 und 34
e) ist größer als 50
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------11. Seien a und b zwei verschiedene Lösungen der Gleichung x3 + 3x2 − 1 = 0 . Welche der folgenden Gleichungen hat ab als Lösung ?
a) x3 − 3x − 1 = 0
b) x3 + x2 − 3x + 1 = 0
c) x3 + 3x2 + 1 = 0
d) x3 + x2 + 3x − 1 = 0
e) x3 − 3x2 + 1 = 0
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------12. Welcher Rest bleibt, wenn man x200 − 2x199 + x50 − 2x49 + x2 + x + 1 durch (x − 1)(x − 2) teilt.
a) 2x − 1
b) 7
c) 2x + 3
d) 1
e) 6x − 5
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------13. Es ist (x3 − x2 − 5x − 2)(x4 + x3 + kx2 − 5x + 2) = x7 − 4x5 − 14x4 − 5x3 + 19x2 − 4 .
Welchen Wert hat k ?
a) -2
b) -1
c) 0
d) 1
e) 2
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------14. Es sei p(x) ist ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten und 3 und 13 seien Lösungen der zugehörigen
Gleichung p(x) = 0. Welcher der folgenden Werte könnte gleich p(10) sein ?
a) 3
b) 10
c) 14
d) 39
e) 42
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
53
15. Welche der folgenden Polynome sind Teiler von x − x10 − x + 1
81
(1) x2 + x + 1
(2) x2 − x + 1
(3) x4 + x3 + x2 + x + 1
(4) x4 − x3 + x2 − x + 1
a) nur (1) und (2)
b) nur (3) und (4)
c) nur (1) und (3)
d) nur (2) und (4)
e) nur (1), (3) und (4)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
16. Das Polynom x6 + 4x5 + 6x4 + 6x3 + 4x2 + 2x + 1 kann in das Produkt (x2 + ax + 1)(x4 + bx3 + cx2 + dx + 1) zerlegt werden.
Welchen Wert hat dann a + b ?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------17. Für welches ganze k gilt
x4 + 2x3 + kx2 − x + 2 = (x2 + ax + 1)(x2 + bx + 2)
mit ganzen Zahlen a und b.
a) -2
b) -5
c) -12
d) -15
e) -23
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------18. Wie viele Punkte haben die Graphen von 4x2 − 9y2 = 36 und x2 − 2x + y2 = 15 gemeinsam ?
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
6
19. Wie lautet der Koeffizient von x3 im Polynom (1 + x + x2 + x3 + x4 + x5) ?
a) 40
b) 48
c) 56
d) 62
e) 54
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------20. Welchen Koeffizient hat x18 in dem Polynom (1 + x)20 + x(1 + x)19 + x2(1 + x)18 + .... + x18(1 + x)2
a) 1310
b) 1320
c) 1330
d) 1340 e) 1350
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------7
21. Es sei (1 + x + x3) = a0 + a1x + .... + a20x20 + a21x21 . Dann ist a3 + a4 + a5 + ... + a19 + a20 + a21 gleich
a) 2160
b) 2154
c) 2158
d) 2162 e) 2166
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------22 Wie viele Koeffizienten sind ungerade, wenn man
2
(x + 5)(x + 10)(2x2 + 3)(x3 + 6x + 16) (x + 9)(x + 4)3(x + 18)
ausmultipliziert und vereinfacht ?
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
54
1 1 1
23. Bestimme den Wert von + + , wenn a, b und c die Nullstellen von x3 − 2x2 − 11x + 12 sind.t
a b c
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------24. Sei 3(x − r)(x − s) = 3x2 − 12x + 8. Bestimme
i) r + s ii) rs iii) r2 − 2rs + s2 d) (r + s)2 e) r − s
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
25. Die Lösungen der quadratischen Gleichung ax2 + bx + c = 0 verhalten sich wie r : s.
Zeige, dass b2rs = ac(r + s)2
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------26. Für welchen Wert von b haben die Gleichungen 1988x2 + bx + 8891 = 0 und 8891x2 + bx + 1988 = 0 eine
gemeinsame Lösung ?
(Kanada)
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------27. a) Zeige : Sind p und q zwei verschiedene ganze Zahlen, dann besitzt mindestens eine der beiden quadratischen Gleichungen
x2 + px + q = 0 bzw. x2 + qx + p = 0
eine Lösung.
b) Bestimme im Fall, dass p = n2 + 1 mit einer natürlichen Zahl n ist, q so, dass beide Gleichungen lösbar
sind.
(Indien)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
55
X. Folgen
==============================================================================
Streng genommen ist eine unendliche Folge eine Funktion mit der Definitionsmenge 1 oder 10 . Die Schreibweise
f : n → f(n) , n ∈ 1
ist aber unüblich. Meist setzt man an : = f(n) und nennt an das n.te Folgenglied.
Um eine Folge zu beschreiben, gibt man entweder so viele Folgenglieder in Mengenschreibweise an, bis das
Bildungsgesetz der Folge erkennbar ist oder man beschreibt die Menge der Folgenglieder durch Angabe des
allgemeinen Folgengliedes oder Angabe der Zuordnungsvorschrift.. Vielfach ergibt sich ein Folgenglied auch
aus den vorhergehenden Folgengliedern. Dann spricht man von einer rekursiven Definition der Folge.
Beispiel :




  
2
1, 4, 9, 16, 25, 36, .... = n n ∈ 1 ist die Folge der Quadratzahlen.


  




1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, .... ist die Fibbonacci-Folge.


Das dritte und alle weiteren Folgenglieder ist die Summe der beiden vorhergehenden Folgenglieder. Ihre
rekursive Definition lautet
a0 : = 1
a1 : = 0
an : = an−1 + an−2 , n ≥ 2
Interessante Folgen (die sog. Collatzfolgen) erhält man durch folgende Vorschrift :
Das Anfangsglied der Folge ist eine beliebige natürliche Zahl größer als 1. Ist a ein weiteres Folgenglied, dann
a
ist das nächste Glied der Folge gleich , falls a gerade ist, andernfalls ist es gleich 3⋅a + 1 .
2
Beispiele :
3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 4, ....
14, 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, ...
Unbeantwortet ist die Frage ob unabhängig vom Startglied der Folge alle Folgen im Zyklus 4, 2, 1 enden.
Ähnliche Folgen sind die sog. Jongleur-Folgen. Bei ihnen wählt man als Anfangsglied eine natürliche Zahl
größer als 1. Ist ein Glied a der Folge gerade, dann erhält man den Nachfolge durch Abrunden von a . Ist a
ungerade, dann erhält man den Nachfolger durch Abrunden von
a3 .
Beispiele :
7, 18, 4, 2, 1
40, 6, 2, 1
56
Sogenannte Wurmfolgen erhält man nach folgender Vorschrift :
Das Anfangsglied der Folge ist eine beliebige zweistellige Zahl. Ist a ein weiteres Folgenglied, dann besteht die
folgende Zahl aus der Zahl, die aus den letzten beiden Ziffern des Vorgängers besteht. Man erhält so periodische
Folgen.
Beispiele :
12, 24, 48, 96, 92, 84, 68, 36, 72, 44, 88, 76, 52, 4, 8, 16, 32, 64, 28, 56, 12, 24, .....
48
24
96
92
12
72
55
36
68
28
84
44
64
88
32
76
16
52
8
4
Folgen können periodisch, monoton wachsend oder fallend sein und sich irgendeiner Zahl beliebig genau
nähern. Dann sagt man, die Folge besitzt einen Grenzwert.
In mathematischen Wettbewerben finden sich u. a. folgende Aufgabenstellungen :
a) Ermitteln eines bestimmten Folgengliedes
b) Nachweis, dass eine Folge einen Grenzwert besitzt und Ermitteln dieses Grenzwertes
c) Nachweis bestimmter Folgeneigenschaften, z. B. dass eine Folge in einem Zyklus endet
Beispiel (gelöst von Andreas Ertlmeier) :
Man wählt eine beliebige natürliche Zahl. Wenn diese Zahl eine Quadratzahl ist, dann zieht man die Wurzel. Ist
die Zahl kein Quadrat, dann addiert man 2 usw.
Zeigt die so entstehende Zahlenfolge irgendwann ein Muster , egal welche Zahl am Anfang gewählt wurde ?
Welche Muster sind möglich ? Beweise deine Behauptung !
Lösung :
A Konkrete Phase
Man kann mit einer Quadratzahl beginnen, da irgendwann ein Folgenglied quadratisch wird.
1, 1, 1, 1,...... ist eine konstante Folge, 4, 2, 4, 2, ...... hat den Zyklus 2,4
9, 3, 5, 7, 9, 3, .... hat den Zyklus 3, 5, 7, 9 , 16, 4, 2, 4, 2, 4, 2, hat den Grenzzyklus 2, 4
25, 5, 7, 9, 3, 5, 7, 9, ..... hat den Grenzyklus 3, 5, 7, 9
36, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 4, 2, 4, 2, .... hat den Grenzzyklus 2, 4
57
B Vermutung
Alle so erhaltenen Zahlenfolgen haben einen Grenzzyklus.
Ist a1 ≠ 1 und gerade, dann hat die Folge den Grenzzyklus 2, 4
Ist a1 ≠ 1 und ungerade, dann hat die Folge den Grenzzyklus 3, 5, 7, 9
a1 = 1 , dann erhält man eine konstante Folge
C Allgemeiner Beweis (abstrakte Phase)
Sei a1 gerade und größer als 4 (die Fälle a1 = 2 und a1 = 4 sind bereits in B untersucht worden).
Dann ist auch die erste Quadratzahl in der Folge (und so eine gibt es) eine gerade Quadratzahl
und sie hat die Form (2k)2 mit einer natürlichen Zahl k > 1.
Das nächste Folgenglied ist dann (2k)2 = 2k .
Behauptung : Es ist 2k < (2k − 2)2 für k > 1
Tatsächlich ist (2k − 2)2 − 2k = 4k2 − 10k + 4 = (2k − 2,5)2 − 2,25 > 0 für k > 2
Dies bedeutet, dass die Quadratzahlen in der Folge immer kleiner werden bis ein Folgenglied 4 ist.
Dann beginnt aber der Zyklus 2, 4.
==============================================================================
Aufgaben :
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1. Eine Folge sei definiert durch a1 = 1 und a1 + a2 + .... + an = n2⋅ an falls n ≥ 2
Bestimme a1995 !
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2. Eine Folge ganzer Zahlen a1, a2, ..... ist definiert durch a1 = 1, a2 = 2 und

5an−1 − 3an−2 , falls an−1⋅an−2 gerade ist
für n ≥ 3
an = 
falls an−1⋅an−2 ungerade ist
an−1 − an−2,

Zeige, dass an ≠ 0 für alle n.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------3. Sei a0, a1, a2, ..... eine Folge natürlicher Zahlen mit a0 = 1 und an2 > an−1an+1 für alle n > 0.
a) Zeige, dass an < a12 für alle n > 1 ist. b) Zeige, dass an > n für alle n ∈ 10 ist
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
58
4. Gegeben ist die Folge a0, a1, a2, ..... natürlicher Zahlen mit einer beliebigen (aber natürlichen) Zahl a0 und

 1 a , für gerades an−1
für n ≥ 1
an =  2 n−1
3 + an−1 , für ungerades an−1

Zeige, dass die Folge in einem Zyklus endet.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------5. Für die Folge a1, a2, ..... gelte 1 < a1 < 2 und an = 1 + an−1 −
1
a 2 . Zeige, dass für n ≥ 3
2 n− 1


1
xn − 2 < n gilt.

 2
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------6. Gegeben ist die Folge a1, a2, ..... mit a1 = 19 und a2 = 95 und an = kgV(an−1, an−2) + an−2 für n ≥ 3.
Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von a1995 und a1996.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------n
7. Die Folge der Fermat-Zahlen ist definiert durch Fn = 22 + 1 für n = 0, 1, 2, 3, ..... .
a) Zeige, dass Fn = Fn−1⋅Fn−2⋅...⋅F1⋅F0 + 2 für n = 1, 2, 3, ... ist.
b) Zeige, dass zwei verschiedene Fermat-Zahlen teilerfremd zueinander sind.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
59
$XIJDEHQDXV6FKOHUZHWWEHZHUEHQ
Bernhard Linseisen, Simon Hönnebeck, Andreas Irl, Andreas Ertlmeier und Fabian Sedlmeier haben
Aufgaben aus Schülerwettbewerben bearbeitet.
*UXSSH
==============================================================================


1. Wie viele Teilmengen von a, b, c, d, e, f, g enthalten sowohl a als auch b ?


a) 9
b) 12
c) 16
d) 25
e) 32
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2. b und c seien natürliche Zahlen größer als 1. Im Stellenwertsystem zur Basis b hat c2 die Darstellung 10.
Welche Darstellung hat dann b2 im Stellenwertsystem mit der Basis c.
a) 100
b) Die Aufgabe ist unlösbar
c) 101
d) 1010
e) 10000
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------3. Die natürlichen Zahlen 2, 3, 4, ....werden wie nachfolgend angeordnet
A
B
2
8
10
16
9
17
C
3
7
11
15
D
4
6
12
14
E
5
13
Die Zahl 1000 steht dann in der Spalte
a) A
b) B
c) C
d) D
e) E
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1. Die Operation ∗ ist definiert durch a∗b = a2 + b. Welchen Wert hat dann 3∗(2∗1) ?
a) 12
b) 14
c) 54
d) 170
e) 172
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------4. Wie viele ganze Zahlen zwischen 100 und 1000 sind Vielfache von 7 ?
a) 128
b) 130
c) 132
d) 134
e) 136
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------6. Wie viele natürliche Zahlen n mit 1 ≤ n ≤ 500 sind weder durch 2 noch durch 3 teilbar ?
a) 83
b) 84
c) 166
d) 167
e) 417
---------------------------------------------------------------------.----------------------------------------------------------------7. Die Anzahl der geraden positiven Teiler von 720 = 24 ⋅ 32 ⋅ 5 ist gleich
a) 15
b) 16
c) 24
d) 25
e) 29
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------8. Wie viele verschiedene natürliche Zahlen kleiner als 100 haben mindestens vier verschiedene Primteiler ?
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 5
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------9. Welches ist die kleinste natürliche Zahl n so, dass n ! = 1⋅2⋅3⋅...⋅(n − 1)⋅n auf 3 Nullen endet ?
a) 10
b) 12
c) 14
d) 15
e) 16
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
60
10. Sei q(n) die Quersumme von n. So ist z. B. q(197) = 1 + 9 + 7 = 17 .
Es sei q2(n) = q(q(n)), q3(n) = q(q(q(n))) . Was ist der Wert von q1996(1996) ?
a) 18
b) 4
c) 12
d) 7
e) 0
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------11. Ein n w n -Quadrat, dessen Felder mit den Zahlen 1, 2, 3,..., n2 beschriftet sind,
heißt magisches Quadrat, wenn die Summen der Zahlen in jeder Reihe und
Spalte gleich sind.
Welchen Wert muss a in nebenstehendem magischen Quadrat besitzen ?
a) 10
b) 15
c) 17
d) 18
e) 22
20 13
6
4
a
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
12. Wie groß ist die Summe einer Reihe bzw. Spalte in dem nebenstehenden magischen
Quadrat
a) 33
b) 34
c) 35
d) 36
e) 37
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------13. Werden von einem Kartenspiel je 7 Karten an mehrere Spieler verteilt, dann bleiben 10 Karten übrig.
Werden 8 Karten an jede Person ausgegeben, dann bleiben 5 Karten übrig. Wie viele Karten muss man
jedem Spieler geben, damit keine Karten übrig bleiben ?
a) 4
b) 5
c) 9
d) 10
e) 11
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------14. Auf einer Party schütteln sich alle Leute gegenseitig die Hände. Wie viele Leute sind auf dieser Party, wenn
man sich 66mal die Hände schüttelt ?
a) 12
b) 22
c) 33
d) 65
e) 67
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------15. Vom Sprungbrett eines Schwimmbeckens springt man einen Meter in die Höhe, fällt dann 5 Meter in die
Tiefe und kommt dann nach 2 Metern wieder an die Wasseroberfläche.
Wieviele Meter befindet sich das Sprungbrett über dem Wasser ?
a) 1 Meter
b) 2 Meter
c) 3 Meter d) 4 Meter e) 5 Meter
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------16. Albert und Anna sind Geschwister. Albert hat doppelt so viele Schwestern wie Brüder.
Anna hat doppelt so viele Brüder wie Schwestern. Wie viele Mädchen sind in der Familie ?
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) Keine dieser Zahlen stimmt.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------17. Wie viele Kinder muss eine Familie mindestens haben, damit jedes Kind mindestens eine Schwester und
einen Bruder hat ?
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------18. Wenn es zwei Stunden später ist, dann ist es nur mehr halb so lang bis Mitternacht als in einer Stunde.
Wie spät ist es jetzt ?
a) 21.00
b) 19.00
c) 20.00
d) 20.30
e) 21.30.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
61
1
1
, b = 1987 +
19. Sei a = 1987 +
1987
1987 +
1
1987
und c = 1987 +
1
1+
1987
1
1+ 1987
.
Wie müssen a, b und c in einer aufsteigenden Ungleichungskette angeordnet werden ?
a) a, b, c
b) c, a, b
c) b, c, a
d) c, b, a
e) b, a, c
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1
7
20. Die Zahl in der Mitte von und
ist
8
12
1
2
11
17
1
b)
c)
d)
e)
3
5
48
48
2
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

n
21. Wie viele verschiedene Zahlen lassen sich in der Form
mit n, m ∈ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 darm


stellen ?
a)
a) 34
b) 50
c) 51
d) 63
e) 90
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------22. Zwei aufeinanderfolgende Preisnachlässe von jeweils 10% haben den gleichen Effekt wie ein einziger
Preisnachlass von
a) 18%
b) 19%
c) 20%
d) 21%
e) 22%
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------23. Der Preis einer Ware wird um 20% gesenkt. Um wie viel Prozent muss der Preis wieder angehoben werden
damit der Preis wieder gleich dem ursprünglichen ist ?
a) 20
b) 22
c) 23
d) 24
e) 25
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------24. Ein Autoverkäufer handelt mit den Automarken Alfa und Beta. Einen Alfa verkauft er mit 40% Gewinn,
ein Beta bringt 60% Profit. Wenn er genauso viele Alfas wie Betas verkaufen würde, dann würde sein Gewinn 48% betragen. Tatsächlich verkauft er 50% mehr Betas als Alfas.
Wie groß ist sein prozentualer Gewinn. ?
Beispiel :
Wenn ein Auto für 20000 DM eingekauft und für 30000 DM verkauft wird, dann liegt der Gewinn bei 50%
1
2
b) 46 %
c) 50%
d) 52%
e) 53 %
3
3
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------a) 45%
*UXSSH
==============================================================================
1. Welche der folgenden Zahlen ist eine Lösung der Gleichung (x2 − 2)(x2 + 6)(x3 − 8) = 0
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2. Die Summe des dritten und vierten Gliedes einer Folge aufeinanderfolgender Zahlen ist 47. Dann ist die
Summe der ersten fünf Glieder der Folge gleich
a) 90
b) 72
c) 115
d) 93
e) Keiner dieser Werte stimmt.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
62
3. Die Operation ∗ ist definiert durch a∗b = a + b + ab. Wenn 3∗x = 23 , dann ist x gleich
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------4. Die Operation ∗ ist definiert durch a∗b = a + 2b + b.
Dann ist für je zwei Zahlen a und b der Wert von a∗(b∗a) der gleiche wie für
a) a∗b b) b∗a c) (3a)∗b d) b∗(4a) e) (5a)∗b
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1
1
=
5. Wenn 1 −
, dann ist x gleich
1−x
1−x
1
d) 2
e) 3
2
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------a+p
4a ist, dann ist p gleich
6. Wenn
=
3b
b−p
a) − 2
b) − 1
c)
b
ab
ab
ab
a
b)
c)
d)
e)
4a − 3b
4a − 3b
4a + 3b
3a + 4b
4a − 3b
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------20
2
7. Addiert man eine unbekannte Zahl x zum Zähler und Nenner der Brüche bzw.
, dann erhält man zwei
23
3
gleich große Brüche. x ist dann ein Teiler von
a)
a) 12
b) 15
c) 56
d) 143
e) 170
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1
1
8. Sei y =
und z =
. Wenn z = 2 ist, dann ist x gleich
1 + xy
1 + yx
16
12
d)
e) 3
5
5
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------9. Wenn − 1 < 2x + 3 < 1 ist, dann liegt − 2x + 4 zwischen
a) − 4
b) 2
c)
a) 2 und 6
b) -2 und 0
c) 0 und 2
d) 2 und 4
e) 6 und 8
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------10. Es ist x = − y, wobei y > 0 ist. Welche der folgenden Aussagen ist falsch ?
1 1
x
e) + 1 = 0
−
= 0
x y
y
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------11. Es ist y > 0 , x > y und z ≠ 0 . Welche der folgenden Ungleichungen ist nicht allgemein gültig ?
a) x2y > 0
b) x + y = 0
a) x − z > y − z
b) xz > yz
c) xy < 0
c)
x
y
>
2
z
z2
d)
d) xz2 > yz2
e) Alle Ungleichungen sind allgemein gültig
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

12. Wenn x < − 2 ist, dann ist 1 − 1 + x gleich a) 2 + x b) − 2 − xλ c) x d) − x e) − 2

 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
63
13.Wie viele reelle Lösungen besitzt die Gleichung x − 2x + 1 = 3


a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------14. Wenn die Punkte (2; − 3), (4; 3) und (5;
k
) auf einer Geraden liegen, dann ist k gleich
2
a) 6
b) 8
c) 9
d) 12
e) 16
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------15. Gegeben sind die Punkte P( − 2; − 1) und Q(2; 2) in der Ebene. Ist R(k; 1) ein Punkt für den PR + RQ minimal ist, dann ist k gleich
4
3
2
1
b)
c)
d) 1
e)
3
4
3
3
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------16. Für jede rationale Zahl x, ist T(x) die kleinste der Zahlen 4x + 1, x + 2 und − 2x + 4 . Der kleinste Wert, den
man dann für T(x) erhält, ist dann
a)
a) 2
b)
5
2
c)
8
3
d)
17
6
e) 3
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------17. Der Graph der Funktion f : x → 3x − 2 wird an der Geraden y = x gespiegelt.
Wo schneidet das Bild die y-Achse ?
2
1
1
2
)
b) (0; − )
c) (0; − 2)
d) (0; )
e) (0; )
3
2
2
3
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------18. Zwei Geraden liegen symmetrisch zur Geraden mit der Gleichung y = 4.
a) (0; −
Eine der Geraden hat die Gleichung y = 3x + 1. Welche Gleichung hat die andere Gerade ?
1
1
1
x + 1 b) y = − x + 7 c) y = − x + 6 d) y = − 3x + 6 e) y = − 3x + 7
3
3
3
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------19. Die Menge der Punkte (x; y) in der Ebene, deren Koordinaten die Gleichung x + y = 1 erfüllen ist
   
a) y =
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------20. Welche Funktionsgleichung hat die Funktion mit nebenstehendem Graphen ?
a) y = x + 1
 
b) y = x − 1
 
c) y = x − 1


d) y = x + 1
e) y = 1 − x


 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
64
21. Welche Funktionsgleichung besitzt die Funktion mit nebenstehendem
Graphen ?


a) y = x − 1 + 1 b) y = x − 1 + 1










c) y = x − 1 + x + 1 d) y = x + 1 + 1
e) y = x2 − 1 + 1

 



  
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------22.. Punkte mit ganzzahligen Koordinaten in einem Koordiantensystem heißen Gitterpunkte. Wie viele Gitterpunkte liegen auf der Strecke, die die Punkte (2; 0) und (16; 203) miteinander verbindet ?
a) 15
b) 8
c) 9
d) 14
e) Keiner dieser Werte stimmt.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------23. S sei eine Menge von Gitterpunkten mit folgender Eigenschaft :
Sind (x1; y1) und (x2; y2) in S, dann ist (
x1 + x2 y1 + y2
;
) kein Gitterpunkt.
2
2
Wie viele Punkte kann S höchstens besitzen ?
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------24. Wenn x + 2y = 11 und 3x + y = 13, dann ist x + y gleich
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------25. Wenn a + b = 7 und 2a − b = 17 ist, dann ist a − b gleich
a) 1
b) 3
c) 5
d) 7
e) 9
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2x + 3y = 5

26. Für welchen Wert von a hat das Gleichungssystem x + ay = 2 keine Lösung ?
1
1
3
d)
e) −
2
2
2
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------27. Welchen Wert muss k haben, damit das Gleichungssystem
a) 2
b) 0
c)

2x − 3y = − 4
 3x − y = 1
 x − ky = 5

eine Lösung besitzt ?
a) 4
b) -1
c) 3
d) -2
e) -3
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------28. Wenn x + 3y + 5z = 200 und x + 4y + 7z = 225 ist, dann ist x + y + z gleich
a) 90
b) 125
c) 150
d) 175
e) Keiner dieser Werte ist richtig.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
65
29. Wenn 2x − y = 1, 2y − z = 2 und 2z − x = 3 ist, dann ist x + y + z gleich
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) Keiner dieser Werte ist richtig.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------30. Jede der nebenstehenden Karten verdeckt eine Zahl.
Die darunterstehende Zahl ist gleich der Summe
aller Zahlen, die von den anderen Karten verdeckt
3
8
5
6
2
4
werden.
Wie lautet die Summe der verdeckten Zahlen ?
a) 4,2
b) 5
c) 5,6
d) 6,2
e) 6,8
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------31. Wenn x + y = 12, y + z = 10 und z + w = 16 ist, dann ist x + w gleich
a) 12
b) 14
c) 16
d) 18
e) 20
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------32. Wenn x + x + y = 10 und x + y − y = 12, dann ist x + y gleich
 
 
22
18
d) 22
e)
3
5
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------33. Wie viele Paare (x; y) ganzer Zahlen x und y gibt es, die die Gleichung x2 − 4y2 = − 3 erfüllen ?
a) -2
a) 0
b) 2
b) 2
c)
c) 3
d) 4
e) 6
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
*UXSSH
==============================================================================
1. In wie viele Gebiete wird die Ebene durch 100 waagrechte und 100 senkrechte Geraden zerlegt ?
a) 10000
b) 10001
c) 10004
d) 100201
e) 10204
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2. Die Punkte A, B und C liegen nicht auf einer Geraden. Wie viele Geraden gibt es, von denen A, B und C
gleichen Abstand haben ?
a) 1
b) 3
c) 4
d) 6
e) unendlich viele
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------3. Der kleinere Winkel, den der Stunden- und der Minutenzeiger um 12:35 miteinander einschließen, ist
a) 150°
b) 162,5°
c) 165°
d) 167,5°
e) 180°
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------4. In der Figur ist NPQR = 90° und NRQS ist 50° größer als NPQS.
P
S
Dann ist NPQS gleich
a) 20°
b) 40°
c) 45°
d) 50°
e) 70°
Q
R
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------5. In nebenstehender Figur ist α < 60° , β1 = 2β2 und γ1 = 2γ2 .
β2
ϕ
Dann ist ϕ gleich
a) 90° −
3
α
2
β1
b) 90° − α
c) 180° − 3α
d) α
e) 180° − 2α
α
γ1
γ2
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
66
6. Wie viele Seiten muss ein konvexes Vieleck besitzen, damit seine Winkelsumme gleich 2520° ist ?
a) 12
b) 14
c) 16
d) 28
e) 42
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------C
7. Im Dreieck ABC gilt α = 55° und β = 75° . D liegt auf [AC] und E auf [BC] so, dass
CD = CE .
D
Wie groß ist ist NCED ?
a) 50°
b) 55°
c) 60°
d) 65°
E
e) 70°
A
B
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ψ
8. Das Dreieck in nebenstehender Figur ist gleichschenklig.
Die Größe von α ist dann
a) 30°
b) 40°
c) 45°
d) 50°
e) 60°
α
100°
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
D
A
8. In der Figur ist ABCD ein Quadrat und ABE ein gleichschenkliges Dreieck.
E
Der Winkel NAED ist dann gleich
1
1
b) 12 °
c) 15°
d) 20°
e) 22 °
C
B
2
2
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------B
9. Es ist AB = AC = CD .
a) 10°
Wie groß ist der Winkel NADC ?
a) 24°
b) 28°
c) 32°
d) 36°
C
e) 40°
D
A
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------10. Wie viele Quadrate muss man in nebenstehender Figur färben, damit sich eine
punktsymmetrische Figur ergibt ?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------11. Die Punkte P(1; 0), Q(0; 2), R( − 1; 1) und T sind die Ecken eines Parallelogramms. Welche Koordinaten
sind für T möglich ?
a) (0; 0)
b) (-1; -1)
c) (2; 2)
d) (2; 0)
e) (-2; 3)
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------12. Der Umfang des nebenstehendes Trapezes ist 35.
D
C
100°
Ferner ist BC = 5 , β = 50° und δ = 100°
Wie lang ist [AD] ?
50°
a) 15
b) 16
c) 18
d) 20
e) 22
A
B
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
67
13. In einem Koordinatensystem ist die Einheit auf beiden Achsen 1 cm.
Das Dreieck PQR hat die Ecken P(0; 3), Q(4; 0) und R(k; 5) mit 0 < k < 4 . Der Inhalt des Dreiecks ist
8 cm2. Dann hat k den Wert
7
13
8
c) 2
d)
e)
2
4
3
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------14. Gegeben sind drei mathematische Aussagen :
a) 1
b)
I. Hat ein Viereck mit gleich langen Seiten einen Umkreis, dann sind auch die Winkel gleich groß.
II. Hat ein Viereck mit gleich großen Winkeln einen Umkreis, dann sind auch die Seiten gleich lang.
III Hat ein Viereck mit gleich langen Seiten einen Inkreis, dann sind auch die Winkel gleich groß.
a) I, II und III sind wahr
b) I und II sind wahr und III falsch
c) I und II sind wahr und II ist falsch
d) Nur I ist wahr
e) Keine der Aussagen ist wahr
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
B
15. In nebenstehendem Quadrat mit der Seitenlänge 1 sind A, B, C
und D die Mittelpunkte der Seiten. Berechne den Inhalt der
schraffierten Figur.
a)
1
4
b)
2
9
c)
1
3
d)
1
5
e)
1
2
C
A
D
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------16.Würde man die Breite eines Rechtecks verdoppeln und die Länge um 3 vergrößern , dann würde sich der
Flächeninhalt verdreifachen. Welche Länge hat das Rechteck ?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 6
e) 9
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------17. Die Summe der Anzahl der Flächen, Ecken und Kanten eines Würfels ist
a) 20
b) 22
c) 24
d) 26
e) 28
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------18. Die Seitenflächen eines Würfels liegen in sechs verschiedenen Ebenen. In wie viele Gebiete wird der Raum
durch diese Ebenen zerlegt ?
a) 9
b) 16
c) 24
d) 27
e) 32
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------19. Alle Seiten eines Holzwürfels mit der Kantenlänge 1 m werden rot angemalt.. Anschließend wird der Würfel in kleine Würfel von 1 cm Kantenlänge zersägt. Wie viele dieser Würfel haben genau zwei rote Seitenflächen ?
a) 1000
b) 1125
c) 1176
d) 980
e) Keiner dieser Werte stimmt.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
68
*UXSSH
==============================================================================
km
1. Ein Bus fährt mit 50
bergauf. Mit welcher Geschwindigkeit muss er bergab fahren, damit die Durchh
km
schnittsgeschwindigkeit auf der ganzen Strecke 60
beträgt ?
h
km
km
km
km
b) 70
c) 72
d) 73
e) Keine dieser Geschwindigkeiten ist die richtige.
h
h
h
h
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------km
2. Ein Zug durchfährt mit 100
einen Tunnel. Es dauert 3 Sekunden bis er vollständig im Tunnel ist und
h
zusätzlich 30 Sekunden bis er wieder heraus ist. Wie lang ist der Tunnel ?
a) 68
2
3
4
5
km
b) km
c) km
d) km
e) Keine dieser Anworten stimmt.
3
5
5
6
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------3. Anna benötigt 90 Minuten um ndie Wiese in ihrem Garten zu mähen. Bernhard benötigt dazu 6o Minuten.
Wie viele Minuten brauchen beide zusammen ?
a)
a) 36
b) 150
c) 40
d) 42
e) Keiner dieser Werte stimmt.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------4. Jede Stunde fährt ein Zug von A nach B. Die Fahrt dauert 3 Stunden. In B hat der Zug einen Aufenthalt von
einer halben Stunde und fährt dann nach A zurück ? Wie vielen Zügen die von A nach B fahren begegnet er
dann ?
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------km
km
5. Ein Auto fährt das erste Sechstel einer Strecke mit 10
, die nächsten zwei Drittel der Strecke mit 20
h
h
km
und das letzte Sechstel mit 30
.
h
Wie groß ist die Durchschnittsgeschwindigkeit auf der gesamten Strecke ?
a) 16 km/h
b) 18 km/h
c) 20 km/h
d) 22 km/h
e) 24 km/h
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------6. Wenn Albert 97 Punkte beim nächsten Mathematiktest erzielt, dann hat er durchschnittlich 90 Punkte pro
Test erzielt. Schreibt er dagegen 73, dann beträgt die durchschnittliche Punktezahl 87.
An wie vielen Tests hat Albert bis jetzt teilgenommen ?
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------8. Wie oft stehen der Minuten- und der Stundenzeiger einer Uhr zwischen 1 Uhr und 4 Uhr aufeinander senkrecht ?
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------9. David benötigt für jede Aufgabe in einem Test 6 Minuten. Michael kann jedes Problem in 1 Minute lösen.
Während sich Michael nach der Erledigung der Hälfte der Aufgaben für zwei Stunden ausruht, arbeitet
David ununterbrochen durch, so dass beide zur selben Zeit fertig werden. Wie lange hat David zur Bearbeitung aller Fragen benötigt ?
a) 2 h 10 min
b) 2 h 12 min
c) 2 h 15 min
d) 2 h 18 min
e) 2 h 24 min
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
69
10. In dem Behälter A sind 6 Liter reiner Alkohol und im Behälter B 6 Liter reines Wasser. Eine Flasche wird
vollständig mit Alkohol aus dem Behälter A gefüllt und in B entleert. Nachdem man den Inhalt von A gut
durchgemischt hat, wird die Flasche mit dem Gemisch aus B gefüllt und in den Behälter A entleert. Danach ist in A das Volumenverhältnis von Alkohol zu Wasser gleich 4 : 1. Welches Volumen hat die Flasche ?
a) 1,2 Liter
b) 1,5 Liter
c) 1,8 Liter d) 2,0 Liter
e) 2,5 Liter
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------11. Ein Professor macht einen zweistündigen Spaziergang auf eine Anhöhe und zurück. Auf dem Weg zur und
km
km
km
von der Abhöhe geht er mit 4
. Die Anhöhe besteigt er mit 3
, während er mit 6
h
h
h
von ihr hinabsteigt. Wie lange ist der Weg ?
a) 6 km b) 8 km
c) 9 km
d) 12 km
e) Zur Angabe der Länge des Weges fehlen Informationen.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------12. Ein Mann verteilt Goldstücke an seine drei Söhne. Der erste bekommt ein Goldstück mehr als die die
Hälfte der Goldstücke und der zweite ein Drittel der restlichen Goldstücke. Wie viele Goldstücke muss der
Mann mindestens besitzen, damit der dritte Sohn mehr als 10 Goldstücke bekommt ?
a) 32
b) 33
c) 38
d) 62
e) 100
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
*UXSSH
==============================================================================
1. Wenn man eine Seite eines Dreiecks um 10% vergrößert und die zugehörige Höhe um 10% verkleinert,
dann wird der Flächeninhalt um
a) 10% vergrößert
b) 10% verkleinert
c) 1% vergrößert
d) 1% verkleinert
e) Der Inhalt bleibt gleich.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------3. Ein Tank hat drei voneinander unabhängige Zuleitungen A, B und C. A und B füllen den Tank in z Minuten, A und C in y Minuten und B und C in x Minuten. Wie lange braucht die Zuleitung A alleine ?
xyz
2xy
2xyz
xyz
xz + xy − yz
b)
c)
d)
e)
2xy
2(xz + xy − yz)
xy + yz − xy
xz + xy − yz
xy + yz − xy
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------4. Wenn n Männer in n Tagen bei einer täglichen Arbeitszeit von n Stunden n Stück eine Produkts herstellen,
wieviel Stück fertigen dann m Männer in m Tagen bei einer täglichen Arbeitszeit von m Stunden ?
a)
m3
n2
m2
n3
b)
c)
d)
e) m
2
2
3
m
n
m
n3
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------5. Wie lautet der größte Primteiler von 216 − 16 ?
a)
a) 7
b) 11
c) 13
d) 17
e) 23
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------6. Ein Quadrat wird in ein Rechteck verwandelt, indem man zwei seiner Seiten um p% verlängert und die beiden anderen um p% verkürzt. Die Fläche verringert sich so um 1%. Dann ist der Wert von p gleich
1
b) 1
c) 5
d) 10
e) 11
2
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------a)
70
7. Wie viele der folgenden Aussagen über natürliche Zahlen sind richtig ?
• Jede ungerade natürliche Zahl kann in der Form 4k + 1 oder 4k + 3, k ∈ 10, dargestellt werden
• Jede Zahl kann in der Form 3k, 3k + 1 oder 3k + 2, k ∈ 10, dargestellt werden
• Jedes Quadrat einer ungeraden natürliche Zahl kann in der Form 8k + 1 , k ∈ 10 , dargestellt werden
• Jede Quadratzahl kann in der Form 3k oder 3k + 1, k ∈ 10, dargestellt werden
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------8. Ein Autohersteller fertigt m Autos pro Woche. Die Produktion wird um n% erhöht. Die Anzahl der Autos,
die nun pro Woche gefertigt werden, ist gegeben durch


mn
d) m1 + n 
e) 1 +
100
100


--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------a) m + n
b) m +
n
100
c)
mn
100
71
6SH]LHOOH7KHPHQJHELHWH
Eikurven
==============================================================================
Befinden sich die Mittelpunkte zweier aneinander grenzender Kreisbögen auf einer Geraden, dann ergibt sich an
der Nahtstelle kein Knick.
Moos
Thom
******
Kuven bzw. Fächen konstanter Breite
==============================================================================
Ein Auto muss nicht unbedingt kreisförmige Räder haben, damit es sich auf horizontaler Strecke ohne auf und
Abbewegung der Achse bewegt. Was man auch als Räder verwenden kann sind sog. Kurven konstanter Breite.
Wie man die Breite einer geschlossenen Kurve bzw. des von ihr umschlossenen Flächenstücks in eine betimmte
Richtung misst, kannst du dem folgenden Bild entnehmen.
Kurve
Breite
72
Eine Kurve konstanter Breite ist dann nach allen Seiten hin gleich breit. Die einfachste
derartige Kurve ist das Reuleaux-Dreieck. Das ist ein sog. Kreis-bogendreieck, das aus
drei gleich langen Kreisbögen besteht. Weil es eine konstante Breite hat (versuche dies zu
begründen), kann es in einem Quadrat rotieren, wobei es stets alle vier Seiten des Quadrats berührt.
Reuleaux-Fünfeck
Abrunden der Ecken
Kugelpackungen
==============================================================================
Ein altes und doch relativ unbekanntes Thema sind die Kugelpackungen oder allgemein die Verpackungen.
Der Lehrer Max Leppmeier hat ein Buch dazu geschrieben, und im Internet findet man eine ganze Menge
Anregungen dazu. Viele Fragen sind ungelöst.
Schüttet man Kugeln in ein Gefäß und schüttelt dieses dann vorsichtig durch,
dann liegt bei genügend vielen Kugeln der Anteil des Volumens aller Kugeln
am gesamten Gefäßvolumen immer bei 0,64. Man nennt diesen Anteil die
Packungsdichte der zufälligen Kugelpackung. Eine Theorie, aus der sich dieser Wert annähernd ergibt, gibt es noch nicht.
Nebenstehendes Bild zeigt als zweidimensionales Modell eine zufällige Kreispackung in einem Rechteck.
Hier ist die Packungsdichte gleich dem der Anteil der Kreisflächen an der Gesamtfläche.
Bessere Packungsdichten erhält man durch systematisches Anordnen.
73
Die Mittelpunkte der Kugeln bzw. Kreise sind die Punkte eines periodischen Gitters. In der linken Figur bilden
die Mittelpunkte der Kreise ein Quadratgitter, in der rechten Figur bilden die Mittelpunkte die Eckpunkte von
regelmäßigen Sechsecken. Man nennt dies ein hexagonales Gitter.
Unser Handwerker Simon Hönnebeck hat dazu Modelle angefertigt.
Auf den ersten Blick scheint die Packung im Quadratgitter dichter. Wenn man jedoch nachzählt, befinden sich
rechts 41 Kreise und links nur 40 Kreise untergebracht.
Bei einem angenommenen Kreisradius von 1 ergibt sich eine Packungsdichte
40⋅π⋅12
π
=
≈ 0,785398.... für die Packung im Quadratgitter.
4
10 ⋅ 16
und
41⋅π⋅12
≈ 0,80503311.... für die Packung im hexagonalen Gitter.
160
Zum Vergleich : Die zufällige Kreispackung im ersten Bild hat die Dichte
36 ⋅ π ⋅ 12
≈ 0,7068...
10 ⋅ 16
Denkt man sich die Packungen unendlich ausgedehnt, dann kommen im hexagonalen Gitter kommen auf ein
regelmäßiges Sechseck mit der Seitenlänge 2 zusammengefasst 3 Kreise. Damit ergibt sich als Packungsdichte
für unendlich ausgedehnte Packungen im hexagonalen Gitter
3 ⋅ π ⋅ 12
6
⋅ 12 ⋅
2⋅
1
2
=
3
π
≈ 0,9068996821.........
2 3
d. h. die Packungsdichte ist wesentlich höher als im gezeichneten Beispiel. Das rührt daher, dass bei einer
endlichen Packung am Rand Platz verschenkt wird.
Robert Slowinski hat sich auch mit derVerpackung von Kreisen in Kreisen beschäftigt. Hier eine kleine
Auswahl
74
3URJUDPPLHUHQPLW9LVXDO%DVLF
==============================================================================
Unser Programmierass Martin Schuster hat hat Computerprogramme geschrieben mit denen man Zahlen-folgen
untersuchen kann. Folgen, die er untersucht hat sind
a) die Fibonacci-Folge
b) die 3n + 1 (Collatz)-Folge mit verschiedenen Anfangsgliedern untersucht.
c) Wurmfolgen
d) die Folge der Zahlen im Pascalschen Zahlendreieck
Zusätzlich hat er ein Programm zu den Ägyptischen Brüchen geschrieben.
Ägyptische Brüche
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2
Die Ägypter hatten (außer für ) nur für die Stammbrüche d.h. die Kehrwerte der natürlichen Zahlen größer
3
a
als zwei Symbole zur Verfügung. Alle anderen Brüche stellten sie als Summe dieser Stammbrüche dar.
b
Beispiel :
1 1
1
4
+ +
=
2 5 10
5
Finden läßt sich eine derartige Darstellung mit dem Greedy-Algorithmus.
Hat man einen Bruch
1
a
a
, dann nimmt man den größten Stammmbruch
, der kleiner oder gleich ist
x1
b
b
75
1
1
a
Zur Differenz −
sucht man den größten Stammbruch
, der kleiner oder gleich dieser Differenz ist usw..
x2
b x1
Es ist dann
1
1
1
a
+
+
+ ....
=
x1 x2 x3
b
Fibonacci bewies 1202, dass man nach endlich vielen Schritten zum Ziel kommt. Gleichzeitig läßt sich seinem
a
< 1, die Anzahl der Stammbrüche die man durch diesen Algorithmus enthält
Beweis entnehmen, dass für
b
nicht größer als der Zähler a ist.
Die Mathematiker Erdös (über ihn ist erst kürzlich eine Biographie erschienen) und Straus vermuteten, dass es
immer eine Darstellung eines Bruches als Summe von höchstens drei Stammbrüchen gibt. Bewiesen ist das noch
nicht.
Man kann dazu unteruchen, ob sich ein Bruch der Form
4
stets als Summe von drei oder weniger Stammbrüb
chen schreiben läßt.
Ungelöst ist auch, ob sich jeder Bruch mit ungeradem Nenner als Summe von Stammbrüchen mit ungeradem
Nenner schreiben läßt.
Beeindruckend ist sein Program, das die Bewegung vonBillardkugeln simuliert.Es können sich auch refektierede
Hindernisse auf den Billardtisch befinden !
75
Zur Zeit arbeitet er an der Programmierung des Spieles Micro-Schach.
Jeder Bauer kann geradeaus vorrücken, wenn das betreffende Feld frei ist
oder schräg nach vorn schlagen, wenn dort ein Bauer des Gegners steht.
Eine Partie ist beendet, wenn kein Zug mehr möglich oder ein Bauer auf
die Grundlinie des Gegners vorgedrungen ist. Gewonnen hat, wer den letz
ten Zug durchführt. Weiß hat den ersten Zug.
Das Spiel ist programmiert. Jetzt möchte Martin seinem Computer Spielintelligenz verleihen.
Dazu arbeitet er an folgender "Einführungsaufgabe"
Agenten-Modellierung in einer Staubsauger-Welt
==============================================================================
Ein "Staubsauger-Agent" soll zur Raumreinigung eingesetzt werden.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------In der künstlichen Intelligenzforschung ist ein Agent etwas, das wahrnimmt und handelt.
Beispiele für Agenten :
- Mensch mit Sinnesorganen zur Wahrnehmung, und Körperteilen zum Handeln
- Roboter mit Kamera, Sonar etc. zur Wahrnehmung, und Effektoren zum Handeln
- Software-Agent
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Die Umwelt, in der der Agent eingesetzt wird, besteht aus einem rechteckigen Raum, in dem Hindenisse ste-hen
können. An manchen Stellen im Raum liegt Schmutz, der vom Roboter aufgesaugt werden soll.
Der Agent verfügt über 3 Sensoren, über die er seinen Input erhält:
A Berührungssensor
B Fotosensor
C Infrarotsensor
Funktionen des Agenten :
A Vorwärtsgehen :
Der Agent bewegt sich nach vorne, es sei denn, er gerät dabei an ein Hindernis. In diesem Fall wird der Berührungssensor auf 1 gesetzt. Erreicht der Agent durch die Bewegung seinen Aufbewahrungsort, so wird der Infrarotsensor auf 1 gesetzt.
B Drehen um 90 Grad nach links : Drehung nach links auf der Stelle.
76
C Drehen um 90 Grad nach rechts : Drehung nach rechts auf der Stelle.
D Schmutz aufsaugen : Entfernt den evtl. vorhandenen Schmutz an der Stelle, an der der Agent steht
E Abschalten : Schaltet den Agenten ab.
Die Aufgabe jedes Staubsauger-Agenten ist es, den Raum zu reinigen und anschließend wieder an seinen Aufbewahrungsort zurückzukehren. Für die Erfüllung dieser Aufgabe gilt ein Zeitlimit. Die Aktionen des Agenten
werden durch Vergabe von Punkten nach folgendem Schema bewertet:
A Aufsaugen von Schmutz : Für jeden aufgesaugten Schmutzhaufen gibt es 100 Punkte.
B Für jede ausgeführte Aktion wird ein Punkt abgezogen.
C Für jeden nicht aufgesaugten Schmutzfleck werden 300 Punkte abgezogen.
D Rückkehr:
Ist der Staubsauger nicht an seinem Aufbewahrungsort,wenner sichabschaltet, werden 1000 Punkte abgezogen.
Aufgabe 1 :
Die Umwelt ist aufgeteilt in quadratische Felder. Für jedes Feld gilt entweder, dass es frei ist, dass sich ein Hin
dernis in diesem Feld befindet oder dass der Agent sich in diesem Feld aufhält. In freien Feldern und solchen,
auf denen sich der Agent befindet, kann Schmutz liegen. Die Abmessungen des Raumes, die Lage der Hindernisse, des Staubs und der eigenen Ausgangsposition sind dem Agenten bekannt. Jede Aktion des Agenten wird
erfolgreich beendet und es gibt keine Fremdeinflüsse, durch die die Umwelt verändert wird.
Aufgabe 2 :
Gehe jetzt davon aus, dass deinem Agenten zu Beginn die Position der verschmutzten Felder nicht bekannt ist.
Ansonsten bleibt die Umwelt identisch. Welche Strategie sollte der Agent jetzt anwenden ? Skizziere dein Verfahren möglichst genau - es gibt möglicherweise einige Sonderfälle zu beachten.
Aufgabe 3 :
Gehe bei einer weiterhin in Felder aufgeteilten Umwelt nun davon aus, dass dein Agent diese zu Beginn nicht
kennt d.h. er kennt weder die Umrisse des Raums, noch die Positionen von Hindernissen oder Schmutz. Beschreibe ein Verfahren, mit dem der Agent jetzt seine Aufgabe lösen soll.
Aufgabe 4 :
Um der Realität einen weiteren Schritt näher zu kommen, kann es sein, dass sich die Umgebung des Agentenverändert. Dabei sind zwei (evtl.) unterschiedliche Phänomene interessant :
Zum einen werden beliebige (nicht von Hindernissen blockierte) Felder des Raums auch während der Arbeit des
Agenten mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit schmutzig, zum anderen gibt es bewegliche Hindernisse
(üblicherweise Menschen oder andere Agenten).
Aufgabe5 :
Die Realität ist bekannterweise nicht in Felder unterteilt. Zusätzlich zu den obigen Beschreibungen der Umwelt
gilt also für die Umgebung deines Agenten nun auch, dass sie nicht in gleich große Quadrate unterteilt ist. Die
Hindernisse füllen dann natürlich auch nicht mehr zwangsläufig Rechtecke aus, sondern können beliebige Formen annehmen. (Wir bleiben aber weiterhin im 2-dimensionalen.) Mit welchen Verfahren kannst du deinen
Agenten dazu bewegen, die Aufgabe immer noch möglichst gut zu erfüllen ?
77
Kettenbrüche
==============================================================================
Fabian Sedlmeier hat ebenfalls in Visual-Basic programmiert. Hier eine von ihm gelöste Programmierauf-gabe.
Mehrfachbrüche der Form
a0 +
1
a1 +
1
a2 +
1
a3 +
1
a4 + ......
1
an
nennt man Kettenbrüche. Man schreibt sie abgekürzt in der Form a0; a1; .....; an .


Beispiel :
2 +
1
3 +
= 2 +
1
2+
1
1 +
1
4
1
3 +
1
2+
= 2 +
4
5
1
3 +
5
14
= 2 +
14
108
=
47
47
77
Aufgabe 1 :
Schreibe ein Programm, das einen Kettenbruch, der in der abgekürzten Form eingegeben wird, in einen
einfachen Bruch verwandelt. Verwende den Variablentyp array.
Umgekehrt läßt sich jeder Bruch in einen Kettenbruch verwandeln.
Beispiel :
Es ist
11
3
1
1
1
1
= 1+ = 1+ 8 = 1+
= 1+
= 1+
2
1
8
8
2+ 3
2+ 3
2 + 11
3
2
1+
1+
1
2
78
3URJUDPPLHUHQLQ'HOSKL
1. Ereignisorientierte Programmierung
==============================================================================
Andreas Irl und Andreas Ertlmeier haben sich etwas mit Pascal und Delphi beschäftigt. Hier ein kleiner
Einführungskurs.
Delphi ist wie Visual-Basic eine ereignisorientierte Programmiersprache, die auf Objekt Pascal aufbaut.
Ereignisorientiert bedeutet, dass der Ablauf des Programms durch bestimmte Tätigkeiten des Programmbenutzers wie zum Beispiel dem Anklicken einer Befehlsschaltfläche (engl. button) gesteuert wird.
Diese Schaltflächen und auch die anderen Bausteine (Objekte) werden ähnlich wie bei einem CAD-Programm
auf dem sog. Formular (engl form) angeordnet.
Diese Form erscheint dann bei der Ausführung des Programms mit allen ihren Objekten als Fenster.
Entworfen wird diese Form in der sog. IDE (engl. integrated development environment).
Die IDE oder das Delphi-Fenster setzt sich aus mehreren Fenstern zusammen. Es sind dies
a) das Formularfenster
b) der Objektinspektor
c) das Quelltextfenster
c) die Menüleiste
d) die Symbolleiste.
Im Formularfester wird die Form mit der Maus entworfen. Die Objekte die man auf der Form platzieren möchte,
kann man in der Symbolleiste auswählen. Jedes Objekt hat gewisse Eigenschaften und reagiert auf gewisse Ereignisse. Welche dies sind, kann man dem Objektinspektor entnehmen.
Klickt man ein Objekt mit der linken Maustaste an, dann kann man im Objektinspektor die Eigenschaften des
Objekts festlegen. Die Eigenschaften eines Objekts können auch während der Laufzeit des Programms geän-dert
werden. Angesprochen werden diese Eigenschaften durch Angabe des Objektnamens der durch einen Punkt vom
Namen der Eigenschaft getrennt ist.
Der Code, der ausgeführt werden soll, wenn es zu bestimmten Ereignissen kommt, wird im Quelltextfenster
entworfen. In das zu einem Objekt gehörenden Quelltextfenster gelangt man durch doppeltes Anklicken mit der
rechten Maustaste. Es erscheint dann ein Fenster mit einem Programmgerüst
procedure Ereignis auf das das Programm reagiert
begin
end;
Das Gerüst beginnt mit dem reservierten Wort procedure mit dem die Prozedurdeklaration eingeleitet. Eine
Prozedur ist ein abgeschlossener Anweisungsblock, der dann aufgerufen wird, wenn das zugehörige Ereignis
eintritt. Das resvervierte Wort begin´leitet den eigentlichen Anweisungsteil ein und mit end; wird dieser Teil
abgeschlossen
Einige Objekte :
79
Objekt
Wichtige Eigenschaften
Ereignisse, auf die es reagiert
Button (Befehlsschaltfläche)
Name (Bezeichner)
Caption(Beschriftung)
Height (Höhe)
Width (Breite)
OnClick (Anklicken mit der Maus)
Editfenster (Textein- und ausgabe)
Name (Bezeichner)
Text (Textinhalt)
OnChange (Änderung)
Label (Textmarkierung)
Caption (Beschriftung)
OnClick (Anklicken mit der Maus)
CheckBox (Kontrollfeld)
Enabled (true or false)
OnClick (Anklicken mit der Maus)
Radiobutton (Auswahlknopf)
Enabled (true or false)
OnClick (Anklicken mit der Maus)
Die Eigenschaften eines Objekts werden mit dem Punktoperator angesprochen.
Beispiel :
Button1.Caption := 'OK;'
80
2. Einfache Datentypen und Programmstrukturen in Objekt Pascal
==============================================================================
Dies Gerüst wird nun mit dem eigentlichen Programmcode ergänzt. So folgt nach der Prozedurdeklaration die
Variablendeklaration. Jedes veränderliche Datum (sog. Variable) erhält hier einen Namen (Bezeichner). Er-gänzt
wird der Bezeicher durch die Angabe des Variablentyps, der festlegt welche Arten von Daten die Variab-le
aufnehmen kann.
Die wichtigsten einfachen (nicht zusammengesetzten) Datentypen sind
Ganzzahltypen
Bereich
Format
Integer
-2147483648..2147483647
32 Bit mit Vorzeichen
Variablen des Typs char nehmen die 256 Zeichen ASCII-Zeichen auf.
Mit
integerbezeichner := integer(charbezeichner);
bzw.
charbezeichner := char(integerbezeichner);
läßt sich der ASCII-Code eines Zeichens betimmen und umgekehrt
Variablen des Typs boolean können nur die Werte true oder false annehmen.
Reeller Datentyp
Bereich
Signifikante Stellen
Größe in Byte
Real
5 ⋅ 10−324 − 1,7 ⋅ 10308
15 - 16
8
Die Deklaration einer Variablen erfolgt allgemein mit
var bezeichner : variablentyp;
Nach dem Schlüsselwort begin folgen die eigentlichen Anweisungen des Programms. Dies sind i.a.. Zuordnungen, die mit dem Zuweisungsoperator ":=" erfolgen. Mit ihm wird einer Variablen der Wert einer an-deren
Variablen oder das Ergebnis einer Rechenoperation zugeordnet.
Beispiele :
zahl := 1; weist der Variablen Zahl den Wert 1 zu.
zahl1 := zahl2 + zahl3; belegt die Variable zahl1 mit der Summe der Werte, die zahl2 und zahl3 haben;
zahl := zahl +1; ordnet der Variablen zahl einen um eins vergrößerten Wert zu.
buchstabe := 'a'; weist der Variablen buchstabe vom Typ char das Zeichen "a" zu.
81
Wichtige Rechenoperatoren für Real oder Integer-Operanden sind :
Operator
Operation
Operandtyp
Ergebnistyp
Beispiel
+
ADDIT
integer, real
integer, real
z := x+y;
-
Subtraktion
integer, real
integer, real
z := x-y;
*
Multiplikation
integer, real
integer, real
z := x*y;
/
Gleitkommadivision
integer, real
real
z := x/y;
div
Ganzahldivision
integer
integer
z:= x div y;
mod
Restberechnung
integer
integer
z := x mod y;
Die Abfolge der Anweisungen wird mit Kontrollstrukturen gesteuert. Diese sind
a) die einseitige Auswahl
Die Programmstruktur einer einseitigen Auswahl lautet
Beispiel :
if bedingung then
begin
anweisung 1;
anweisung 2;
...................;
if zahl > 0 then
begin
zahl : = zahl + 1;
end;
end;
Erläuterung.
zahl > 0 ist vom Typ boolean. Der Anweisungsteil wird nur ausgeführt, wenn zahl > 0 den Wert true hat.
b) Die zweiseitige Auswahl
Programmstruktur :
if bedingung then
begin
anweisung 1;
anweisung 2;
...................;
end
else
begin
anweisung 1;
anweisung 2;
...................;
end;
if bedingung then
begin
anweisung 1;
anweisung 2;
...................;
end
else if bedingung then
begin
anweisung 1;
anweisung 2;
...................;
end;
Die Struktur ist selbst erklärend
82
c) Die mehrseitige Auswahl mit case ... of
Allgemeine case-Anweisung :
case Selektor of
Auswahlelemente 1 : Anweisung 1;
Auswahlelemente 2 : Anweisung 2;
else Anweisung;
end;
Der Selektor ist der Bezeichner eines Datentyps der die angegebenen Auswahlelemente annehmen kann.
Beispiele :
case note of
1 : writeln('sehr gut');
2 : writeln('gut');
3 , 4 : writeln('in Ordnung');
5 , 6 : writeln('na ja');
end;
case buchstabe of
'a' , 'e', 'i' , 'o' , 'u' : writeln('Vokal');
else writeln('Konsonant');
end;
d)Schleifen
Mit Schleifen kann man Programmteile wiederholen. Abbruchbedingungen bzw. Durchführungsbedingungn
steuern wie oft eine Schleife durchlaufen wird. Man entscheidet demgemäß zwischen kopf- und fußgesteuerten Schleifen.
Fußgesteuerte Schleife
Kopfgesteuerte Schleife
repeat
anweisung 1;
...................;
until abbruchbedingung;
while durchführungsbedingung do
begin
anweisung 1;
...................;
end;
Steht bereits fest, wie oft ein Programmteil ausgeführt werden soll, dann verwendet man zählergesteuerte
Schleifen.
for zählervariable = anfangswert to endwert do
begin
anweisung 1;
...................;
end;
for zählervariable = anfangswert downto endwert do
begin
anweisung 1;
...................;
end;
83
Bemerkungen :
i) Schleifen können ineinander verschachtelt sein.
ii) Mit den Prozeduren Break bzw. Continue die sich in der unit System befinden, kann aus der Schleife
heraus zur nächsten der Schleife folgenden Anweisung gegangen werden bzw. zum nächsten Schleifendurchgang. Eine unit ist ein modularer Baustein eines Programms.
e) Ausnahmebehandlungen
Diese Art von Anweisungen dienen speziell zur Fehlerbehandlung. Ihre Programmstruktur ist
try
Anweisungsliste
except
ExceptionBlock
end;
84
3. Units
==============================================================================
Wie schon erwähnt wird in Delphi das Programm in units aufgeteilt, die relativ unabhängig voneinander sind.
Das Grundgerüst einer unit ist :
unit Name der Unit
interface
uses Liste von units
implementation
uses Liste von units
initialization
finalization
end.
Auf das Wort interface folgt dann die Deklaration von Datentypen, Variablen, Konstanten, Prozeduren und
Funktionen, die von anderen Units mit benutzt werden können d. h.. dieser Teil der Unit ist die Schnittstelle
nach außen. Nach dem Schlüsselwort implementation erfolgt dann der eigentliche Programmcode. Nach
initialization kann ein Abschnitt eingefügt werden, der bei Beginn des Programms ausgeführt wird. Auf
finalization stehen dann Programmteile, die beim Beenden des Programms ausgeführt werden.
85
4. Prozeduren und Funktionen
==============================================================================
In jedem Programm ist es sinnvoll bestimmte Anweisungen zu einer Einheit zusammenzufassen. Diese Einheiten werden dann als Routinen oder Unterprogramme bezeichnet. Diese dann abgeschlossenen Programm-teile
bieten einige Vorteile
- die Struktur des Quellcodes wird übersichtlicher
- die Programmeinheit kann mehrmals benutzt werden. Dadurch wird vermieden, dass der gleiche Code mehrmals geschrieben werden muss
- diese Strukturierung kommt der ereignisorientierten Programmierung zu Gute, denn damit läßt sich jedem
Ereignis eine Routine zuordnen.
In Delphi gibt es zwei Typen dieser Routinen - die Prozedur und die Funktion.
a) Prozeduren
Eine Prozedur kann wie eine Variable eine Deklaration und eine Definition haben. Die Deklaration gibt
nur die Form des Aufrufs bekannt, die Definition enthält den Code.
Die Deklaration wird mit dem reservierten Wort procedure eingeleitet. Dem folgt der Name der Prozedur
dem sich unmittelbar in Klammern eine Deklaration von Variablen anschließt. Diese Liste gibt an, welche
Variablen beim Aufruf der Prozedur an diese übergeben werden müssen. Man nennt diese Variablen auch
Parameter. Abgeschlossen wird diese Deklaration mit einem Strichpunkt /semikolon).
Deklaration einer Prozedur :
procedure prozedurname(variable1 : typ1; .......);
Die Definition einer Prozedur hat dann folgendes Aussehen
procedure prozedurname(variable1 : datentyp1; .......);
var bezeichner : Datentyp;
begin
........;
end;
Die an eine Prozedur übergebenen Parameter und die in ihr deklarierten Parameter sind sog. lokale Variablen d.h. sie existieren nur so lange die Prozedur abgearbeitet wird. Insbesondere sind daher die übergebenen
Parameter Kopien. Eine Manipulation an diesen Kopien in der Prozedur ändert die Originale nicht.
Der Aufruf einer Prozedur erfolgt dann durch
prozedurname(wert1, .....);
b) Funktionen
Funktionen unterscheiden sich außer in ihrer Deklaration und ihrer Definition, die mit dem Schlüsselwort
function erfolgt insofern von Prozeduren als sie einen Wert zurückgeben. Deshalb muss in ihrer Deklaration
bzw. Definition der Datentyp des Rückgabewertes mit angegeben werden.
Die Definition einer Funktion hat daher folgendes Aussehen :
86
function funktionsbezeichner(variable1: datentyp1; .....) : datentyp des rückgabewertes;
var bezeichner : datentyp;
begin
funktionsbezeichner := rückgabewert;
end.
Der Aufruf einer Funktion ist dann mit einer Wertzuweisung verbunden.
bezeichner := funktionsbezeichner(wert1, ....);
87
5. Der Datentypen array
==============================================================================
Oftmals sind die Daten, die mit dem Computer verarbeitet werden sollen alle vom selben Typ.
Beispiel :
Alle Kontostände der Kunden einer Bank sind vom Typ real.
Alle Noten der Schüler einer Klasse sind vom Typ integer.
Nimmt man für jede Variable eine extrige Vereinbarung vor, dann ist dies umständlich. Dies kann man durch
Verwendung eines Feldes umgehen. Die Vereinbarung eines Feldes geschieht mit
var Feldbezeichner : array[Untergrenze..Oberegrenze] of Datentyp;
Beispiel :
var kunde : array[1..10] of real;
reserviert im RAM-Speicher des Computers 10 Speicherplätze für die Speicherung von reeller Dezimalbrüche.
Ein einzelnes Feld wird dann
mit Kunde[index] angesprochen.
Dabei ist
Kunde[1]
Kunde[2]
Kunde[3]
Kunde[4]
Kunde
Untergrenze ≤ index ≤ Obergrenze
Es besteht darüber hinaus auch die Möglichkeit, mehrdimensionale Felder zu deklarieren. Dies geschieht z. B.
mit
var Feldbezeichner : array[Untergrenze1..Oberegrenze1][Untergrenze2..Oberegrenze2] of Datentyp;
88
6. Der Datentyp string
==============================================================================
Zur Speicherung von Zeichenketten z.B. Wörtern benutzt Pascal Felder vom Typ char d.h. Feldern deren Feldelemente einzelne Zeichen sind. Man unterscheidet Short Strings und und Long strings. Erstere speichern im
ersten Byte (Index 0 Nullbyte) die Länge des gespeicherten Wortes, danach folgt Byte für Byte die gespeicherte
Zeichenkette. Die Deklaration erfolgt mit der Angabe der Länge.
var Name : string[Zeichenkettenlänge];
Bei Long Strings entfällt die Angabe der Länge. Ihre Länge passt sich dynamisch den jeweiligen Erfordernis-sen
an. Sie kann aber auch mit
setlength(stringbezeichner, länge);
auf einen bestimmten Wert gesetzt werden. Die Länge eines Strings läßt sich mit
länge := len(stringbezeichner);
abfragen.
Ein einzelnes Zeichen aus dieser Kette kann dann mit Name[Index] angesprochen werden.
89
Beispielprogramm
==================================================================
=
Das Programm dient dazu Texte zu verschlüsseln. Die Verschlüsselung erfolgt mit einer Verschiebungschiffre,
bei dem zum ASCII-Code eines Buchstaben eine Konstante c, der Schlüssel, addiert wird, und der Buchstabe
durch das Zeichen mit diesem ASII-Code dargestelt wird.
Das Programm benötigt zwei Fenster zur Eingabe Textes und des Schlüssels, ein Fenster zur Ausgabe des
chiffrierten Textes und zwei Befehlsschaltflächen um die Verschlüsselung zu starten und das Programm zu
beenden. Der Programmausschnitt zeigt den eingegebenen Programmcode.
procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
var original, geheim : string;
index : integer;
buchstabe : char;
len : integer;
verschiebung : integer;
begin
verschiebung := strtoint(key.text);
original := eingabe.text;
len := length(original);
setlength(geheim,len);
for index:= 1 to len do
begin
buchstabe := original[index];
geheim[index] := char(integer(buchstabe)+verschiebung);
end;
ausgabe.text := geheim;
end;
procedure TForm1.BeendenClick(Sender: TObject);
begin
Close;
end;
end
90
Literaturverzeichnis :
Problem-Solving Strategies
Arthur Engel
Springer
Winning Solutions
Lozansky Rousseau
Springer
Problem-Solving Through Problems
Larson
Springer
Easy as π
Ivanov
Springer
Think of a Number
Lines
Adam Hilger
Die vollständige Induktion
Sominskij Golovina Jaglom
Deutsch
Mathematische Unterhaltungen
Dynkin Uspenski
Deutsch
Mathematische Olympiade-Aufgaben
The USSR Olympiad Problem Book
Aulis
Shklasrsky Chentzov Yaglom
Dover
Diverse Texte und Aufgaben aus dem Internet u.a. aus Belgien, den Niederlanden, Norwegen, Peru,
Irland, Indien, USA, Mexiko, Chile, Bulgarien, Rumänien, Polen, Österreich usw.