Übungsaufgaben zur Vorlesung Geometrie

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Übungsaufgaben zur Vorlesung Geometrie
Dr. Ivan Izmestiev, Moritz Firsching
Sommersemester 2014
Blatt 1
Abgabe: Freitag, 25.IV.2014
Albrecht Dürer, aus „Underweysung der Messung, mit dem Zirckel und Richtscheyt, in Linien,
Ebenen unnd gantzen corporen“, 1525
Aufgabe 1 (Über Treue und Freiheit)
Es sei φ : G → SX eine Gruppenwirkung.
a) Man zeige, dass folgende Bedingungen äquivalent sind:
i)
ii)
iii)
iv)
φ ist injektiv.
ker φ = {e} ⊂ SX .
φ : G → im φ ist ein Isomorphismus.
Wenn φ(g)(x) = x für alle x ∈ X, dann folgt g = e.
Eine Gruppenwirkung, die eine (und damit alle) dieser Bedingungen erfüllt heißt treu.
b) Man zeige, dass folgende Bedingungen äquivalent sind:
i) Für alle x ∈ X und alle g ∈ G mit g 6= e gilt φ(g)(x) 6= x.
ii) Für alle x ∈ X gilt: {g | φ(g)(x) = x} = {e}.
iii) Wenn φ(g)x = x für ein x ∈ X, dann folgt g = e.
Eine Gruppenwirkung, die eine (und damit alle) dieser Bedingungen erfüllt heißt frei.
c) Beweise oder widerlege: Wenn φ frei ist, so ist φ auch treu.
d) Beweise oder widerlege: Wenn φ treu ist, so ist φ auch frei.
1
Aufgabe 2 (Streckscherungen)
Man betrachte in GL2 (R) die Menge aller Matrizen der Form
!
A=
a b
, mit a 6= 0,
0 1
und zeige, dass sie eine Gruppe G bilden. Ist diese Gruppe abelsch? Man gebe zwei abelsche
Untergruppen an. Man folgere daraus, dass es auf G0 = R× × R eine Gruppenstruktur gibt,
nämlich
(a, b) ∗ (a0 , b0 ) := (aa0 , ab0 + b),
die nicht isomorph zur Produktgruppe R× × R ist.
Aufgabe 3 (Wirkungen von Untergruppen der Permutationsgruppen.)
Jede Untergruppe der endlichen Permutationsgruppe Sn wirkt auf natürlicher Weise auf der
Menge {1, 2, . . . , n}. In folgenden Beispielen betrachten wir jeweils die Gruppe G = {ak | k ∈
Z}, wobei das Element a in der Zykelschreibweise angegeben wird. Sind die entsprechenden
Wirkungen frei? Transitiv?
1. n = 5, a = (1 2 3 4 5)
2. n = 5, a = (1 2 3)(4 5)
3. n = 6, a = (1 2 3)(4 5 6)
Aufgabe 4 (Erzeugte Wirkungen)
Sei φ eine Wirkung von G auf X. Zeige, dass φ eine Wirkung φ × φ von G auf dem kartesischen
Produkt X × X, sowie eine Wirkung φ(2) von G auf der Menge der zweielementigen Teilmengen
von X erzeugt. Welche der folgenden Behauptungen sind richtig?
a) Wenn φ transitiv ist, dann ist auch φ × φ transitiv.
b) Wenn φ frei ist, dann ist auch φ × φ frei.
*c) Wenn φ(2) transitiv ist, dann ist φ transitiv. (Ändert sich die Antwort, wenn man |X| > 2
voraussetzt?)
*Aufgabe 5 (Transpositionen erzeugen Sn )
Man zeige, dass jede Permutation g ∈ Sn als Produkt von höchstens n − 1 Transposition dargestellt werden kann.
Jens Jordan, http://www.mathematik.uni-wuerzburg.de/~jordan/Kram2/Gruppenoperation.html
2
Übungsaufgaben zur Vorlesung Geometrie
Dr. Ivan Izmestiev, Moritz Firsching
Sommersemester 2014
Blatt 2
Abgabe: Freitag, 2.V.2014
J. F. Rigby, Napoleon revisited, Journal of Geometry 33, Seite 130 und 145, 1988
Aufgabe 6 (Drei Punkte sind genug)
Man zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:
a) Jede Isometrie von E2 ist durch die Bilder von drei nicht kollinearen Punkten eindeutig
definiert.
b) Wenn für eine beliebige Isometrie f und beliebige nicht-kollineare A, B, C ∈ E2 gilt: f (A) =
A, f (B) = B, f (C) = C und A, B, C dann ist f = id.
Aufgabe 7 (Komposition von Drehungen)
a) Seien `1 und `2 zwei Geraden durch einen Punkt P ∈ R3 . Man zeige, dass die Komposition
der Drehungen um `1 und `2 wieder eine Drehung um eine Gerade durch P ist.
b) Man zeige, dass die Komposition der Drehungen mit dem Winkel π um `1 und `2 (Achsensymmetrien) die Drehung um die zu `1 und `2 senkrechte Gerade ist, und der Drehwinkel
gleich dem doppelten Winkel zwischen `1 und `2 entspricht.
c)
∗
Was kann man im Allgemeinen über den Drehwinkel der Komposition sagen?
1
Aufgabe 8 (Ein besonderer Punkt im Dreieck)
Sei ABC ein Dreieck mit allen Winkeln < 120◦ . Seien auf den Seiten AB, BC und CA reguläre
Dreiecke ABC 0 , BCA0 und CAB 0 nach außen konstruiert.
C0
A0
B
C0
A0
A0
C0
B
B
O
C
A
O
C
A
C
A
B0
a) Man zeige, dass die Strecken AA0 und CC 0 gleich lang sind und sich unter dem Winkel 60◦
schneiden. (Hinweis: Betrachte die Drehung um B mit dem Winkel 120◦ , unter Annahme,
dass ABC positiv orientiert ist.)
b) Sei O der Schnittpunkt der Strecken AA0 und CC 0 . Zeige: ∠BOA0 = ∠BOC 0 = 60◦ und
folgere daraus, dass alle drei Strecken AA0 , BB 0 , CC 0 gleich lang sind, sich in einem Punkt
schneiden und dabei sechs Winkel je 60◦ bilden.
c)
∗
Man zeige, dass AO + BO + CO = AA0 und dass der Punkt O die Summe der Abstände
zu A, B und C minimiert.
Aufgabe 9 (Napoleons Verwandte)
Sei ABC ein beliebiges Dreieck, und seien ABC 0 und BCA0 gleichschenklige rechtwinklige Dreiecke mit Hypothenusen AB, bzw. BC, nach außen von ABC konstruiert. Sei B 0 der Mittelpunkt
der Seite AC.
C0
A0
B
C
A
B0
Man zeige, dass das Dreieck A0 B 0 C 0 ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck mit Hypothenuse
A0 C 0 ist.
Hinweis: Man vergleiche den Beweis des Satzes von Napoleon aus der Vorlesung.
*Aufgabe 10 (Tanzübung)
Stehen sie auf, Beine schulterbreit. Drehen Sie sich um das linke Bein um 90◦ nach links (halten
sie dabei den Abstand zwischen den Füßen konstant). Drehen Sie sich anschliessend um den
rechten Bein um 90◦ nach rechts. Wie hat sich Ihre Lage verändert?
2
Übungsaufgaben zur Vorlesung Geometrie
Dr. Ivan Izmestiev, Moritz Firsching
Sommersemester 2014
Blatt 3
Abgabe: Freitag, 9.V.2014
A. F. Möbius, Anwendungen der Statik auf die Lehre von den geometrischen Verwandtschaften
Crelle Band 21, Seite 170, 1840
Aufgabe 11 (Affine Abhängigkeit)
Es seien p1 , . . . , pm Punkte eines affinen Raums. Man zeige die Äquivalenenz der drei folgenden
Aussagen:
a) Die Punkte {p1 , . . . , pm } sind affin abhängig.
b) Einer der Punkte {p1 , . . . , pm } kann als affine Kombination von den anderen dargestellt
werden;
c) Die Vektoren p2 − p1 , . . . , pm − p1 sind linear abhängig.
Aufgabe 12 (Affine Abbildungen)
Man zeige, dass die folgenden Abbildungen eines affinen Raumes auf sich selbst affin sind:
a) Translation Tv : p 7→ p + v.
b) konstante Abbildung p 7→ p0 für ein festes p0 .
c) Zentrische Streckung p 7→ p0 + k(p − p0 ).
1
Aufgabe 13 (Affiner Raum)
Sei A ein affiner Raum mit dem zugehörigen Vektorraum V , und sei D : A × A → V die durch
p + D(p, q) = q
definierte Abbildung.
a) Man zeige
D(p + v, q) = D(p, q) − v,
D(p, q + w) = D(p, q) + w
und folgere daraus
D(p + v, q + w) = D(p, q) + (w − v)
b) Man zeige: D(p, p) = 0, D(p, q) = −D(q, p).
P
c) Man zeige: für i λi = 0 gilt
λ1 D(p, p1 ) + · · · + λm D(p, pm ) = λ1 D(q, p1 ) + · · · + λm D(q, pm )
und für
P
i λi
= 1 gilt
p + λ1 D(p, p1 ) + · · · + λm D(p, pm ) = q + λ1 D(q, p1 ) + · · · + λm D(q, pm ).
Aufgabe 14 (Satz von Menelaus)
Man beweise:
Die Punkte A0 , B 0 , C 0 auf den Geraden BC, CA, AB sind kollinear genau dann, wenn
−−→0
AC
−−0→
CB
−−→0
BA
· −−→
A0 C
−−→0
CB
· −−→ = −1
B0A
B
A0
C0
B0
A
C
*Aufgabe 15 (Satz von Pappus)
Seien p, q, r ∈ ` und p0 , q 0 , r0 ∈ `0 zwei Tripel kollinearer Punkte. Seien pq 0 k p0 q und qr0 k q 0 r. Zeige, dass
pr k p0 r0 .
p
Menelaus, Tahrir Kitab Menelaus
fi al-Kurat al-Samawiyyah übersetzt von Nasir ad-Din al Tusi
Persia, 16. Jahrhundert
r0
2
q
q0
r
p0
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Dr. Ivan Izmestiev, Moritz Firsching
Sommersemester 2014
Blatt 4
Abgabe: Freitag, 16.V.2014
Bild zur Hopffaserung,
Aufgabe 16 (Affine Unterräume und Untervektorräume)
Sei L ⊂ Rn der affine Unterraum
L = {x ∈ Rn | Ax = b} mit b 6= 0
und V der zu ihm paralleler Untervektorraum
V = {x ∈ Rn | Ax = 0}
Zeige, dass für p1 , . . . , pn ∈ L gilt
X
λi pi ∈ L ⇔
i
X
λi = 1
i
X
λi pi ∈ V ⇔
i
X
λi = 0
i
Aufgabe 17 (Hyperebene und zugehörige Abbildungen)
Sei c ∈ Rn , und sei
H = {x | hc, xi = 0}
die Hyperebene mit Normalenvektor c.
a) Man gebe die Formel für die Orthogonalprojektion πH : Rn → H an. (Hinweis: πH (x) hat
die Form x + λc mit λ ∈ R.)
b) Man gebe die Formel für die Spiegelung SH : Rn → Rn an der Hyperebene H an.
c) Man prüfe hSH (x), SH (y)i = hx, yi.
1
Aufgabe 18 (Dilatationsgruppe)
Mit R∗ bezeichnen wir die Gruppe der invertierbaren Elemente in R. Die Gruppe Dil(En ) aller
Dilatationen ist die Gruppe aller Ähnlichkeitstransformationen, die als Komposition von zentrischen Streckungen und Translationen dargestellt werden können.
Man zeige:
a) Durch Linksmultiplikation wirkt R∗ auf En . Diese Wirkung bezeichnen wir mit φ.
b) Dil(En ) ∼
= R∗ nφ Rn .
c) Dil(En ) kann als Untergruppe von GLn+1 (R) aufgefasst werden.
Aufgabe 19 (Parallelprojektion)
Sei V = U ⊕ W eine direkte Summenzerlegung eines Vektorraums V in zwei Untervektorräume.
a) Zeige, dass für alle p, q ∈ V die affinen Unterräume p + U und q + W sich in genau einem
Punkt schneiden. Folgere daraus, dass die Parallelprojektion
πLW : V → L
auf den affinen Unterraum L = p + U entlang des Untervektorraums W wohldefiniert ist.
b) Zeige, dass die Abbildung πLW affin ist.
c) Sei U 0 ⊂ V noch ein Untervektorraum, sodass V = U 0 ⊕ W . Sei L0 = p0 + U 0 ein zu U 0
paralleler affiner Raum. Zeige, dass die Einschränkung
πLW : L0 → L
eine Bijektion ist.
Aufgabe 20 (Affinitäten im R2 )
Zwei Punktmengen X, Y ⊂ Rn heißen affin-äquivalent, wenn es eine Affinität f : Rn → Rn gibt,
deren Einschränkung f|X auf X eine Bijektion von X → Y induziert.
Sind die folgenden Punktmengen im R2 affin-äquivalent? Wenn nein, woran kann man das sehen
– z.B. an affinen Abhängigkeiten? Falls ja, dann gib eine Affinität wie oben beschrieben in der
Form Ax + b mit A ∈ GLR (2) und b ∈ R2 an. Bestimme die Fixpunkte dieser Affinitäten.
a) {(0, 0), (1, 0), (1, 1)} und {(0, 0), (1, 0), (2, 2)}
b) {(0, 0), (1, 1), (2, 2)} und {(0, 0), (2, 2), (4, 4)}
c) {(0, 0), (1, 1), (2, 2)} und {(1, 0), (3, 2), (5, 4)}
d) {(0, 0), (1, 1), (2, 2)} und {(0, 0), (2, 2), (5, 5)}
e) {(0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1)} und {(0, 0), (1, 0), ( 21 , 1), ( 12 , −1)}
f) {(0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1)} und {(0, 0), (1, 0), ( 12 , 1), ( 12 , −2)}
*Aufgabe 21 (Hopffaserung)
Sei Mt ∈ SO(4) für jedes t ∈ R eine Orthogonalmatrix der folgenden Form:
!
Dt 0
,
0 Dt
Mt =
wobei Dt ∈ SO(2) die Drehmatrix mit dem Winkel t ist. Sei außerdem
S3 = {x ∈ R4 | kxk2 = 1}
die 3-Sphäre vom Radius 1.
2
a) Zeige, dass t 7→ Mt eine freie Wirkung der Gruppe R/2πZ auf S3 definiert, sodass die Orbits
dieser Wirkung die Sphäre S3 als disjunkte Vereinigung der Kreise darstellen.
b) Wie sieht die Vereinigung der Orbits der Punkte
1
{ √ (1, 0, cos α, sin α) | α ∈ [0, 2π)}
2
aus?
3
Übungsaufgaben zur Vorlesung Geometrie
Dr. Ivan Izmestiev, Moritz Firsching
Sommersemester 2014
Blatt 5
Abgabe: Freitag, 23.V.2014
Titel eines Vortrages von C[arl]. Brochmann, gehalten am 21.V.1887, Felix Klein Protokolle
http://page.mi.fu-berlin.de/moritz/klein/#id-466 und Billard im 7-Eck.
Aufgabe 21 (Spiegelungen im R2 )
a) Zeige, dass die Abbildung R2 → R2 ,
x
cos φ
sin φ
x
7→
y
sin φ − cos φ
y
eine Spiegelung an der durch den Vektor (cos φ2 , sin φ2 ) aufgespannten Geraden ist.
b) Zeige, dass die Komposition der Spiegelungen an zwei den Winkel
mit Winkel φ um den Schnittpunkt dieser Geraden ist.
φ
2
bildenden Geraden eine Drehung
c) Wie sehen Spiegelungen (an durch den Ursprung gehenden Geraden) und Drehungen (mit Drehzentrum im Ursprung) in Polarkoordinaten aus? Beweise die Aussage aus Aufgabe b) mit Hilfe der
Polarkoordinaten.
Aufgabe 22 (O(3))
Nach dem fast-Diagonalisierung-Satz für Orthogonaltransformationen hat jedes f ∈ O(3) in einer geeigneten Orthonormalbasis die Form




1
0
0
−1
0
0
M = 0 cos φ − sin φ oder  0 cos φ − sin φ
0 sin φ cos φ
0 sin φ cos φ
1
a) Zeige, dass jede Abbildung R3 → R3 , x 7→ M x + b mit M ∈ SO(3) eine Schraubung ist. (Man darf die
Tatsache, dass die Komposition einer Drehung und Translation in R2 eine Drehung ist, benutzen.)
b) Zeige, dass jede Abbildung R3 → R3 , x 7→ M x + b mit M ∈ O(3) \ SO(3) eine Drehspiegelung ist.
Aufgabe 23 (Triangulierung eines Würfels)
Sei (e1 , . . . , en ) die Standardbasis von Rn . Für jede Permutation σ ∈ Sn betrachte das Simplex
∆(σ) := ∆(0, vσ(1) , vσ(1) + vσ(2) , . . . , vσ(1) + . . . + vσ(n) )
a) Zeige, dass diese Simplexe den Würfel [0, 1]n überdecken, während ihre Inneren disjunkt sind:
[
∆(σ), int(∆(σ)) ∩ int(∆(τ )) = ∅ for σ 6= τ
P (e1 , . . . , en ) =
σ∈Sn
1
1
, und dass kein Simplex mit Ecken in {0, 1}n Volumen kleiner als n!
hat.
b) Zeige, dass Voln (∆(σ)) = n!
*c) Eine Vereinigung von Simplexen heißt Triangulierung, wenn der Schnitt von je zwei Simplexen eine
Seite (Untersimplex) von den beiden ist. Gibt es eine Triangulierung des Würfels [0, 1]3 , die aus
weniger als 6 Simplexen besteht?
Aufgabe 24 (Diagonalenlängen im Viereck)
Sei ABCD ein Viereck mit den Seitenlängen AB = a, BC = b, CD = c, DA = d. Zeige, dass die
Diagonalenlängen x = AC und y = BD die Gleichung
x2 y + xy 2 + k11 xy + k10 x + k01 y + k00 = 0
erfüllen, wobei
k11 = −(a + b + c + d)
k10 = (a − d)(b − c)
k01 = (a − b)(d − c)
k00 = (ac − bd)(a + c − b − d)
*Aufgabe 25 (Drehungen und Standardblockform)
a) Bestimme die Achse und den Winkel der Drehung

0 0
1 0
0 1

1
0
0
b) Bestimme die Standardblockform der Orthogonaltransformation mit der Matrix


0 1 0 0
1 0 0 0


0 0 0 1
0 0 1 0
c) Bestimme die Standardblockform der Orthogonaltransformation
(
1, wenn j = σ(i)
Mij =
0, sonst
wobei σ ∈ Sn eine Permutation ist.
*Aufgabe 26 (Billard berechnet π)
In einer von einer Seite abgeschlossenen und in die andere Seite unendlichen waagerechten Rille liegt
eine schwarze Billardkugel. Sie wird aus der Unendlichkeit mit einer weißen Kugel angeschossen. Wir
nehmen an, dass beim Rollen, Zusammenstoßen und Abprallen keine Energie verloren geht. Zeige, dass
die Gesamtzahl der Zusammenstöße gleich
a) 3 ist, wenn die Kugeln gleich viel wiegen;
b) 314159 ist, wenn die weiße Kugel 1 Gramm und die schwarze 10 Kilogramm wiegt.
2
Übungsaufgaben zur Vorlesung Geometrie
Dr. Ivan Izmestiev, Moritz Firsching
Sommersemester 2014
Blatt 6
Abgabe: Freitag, 30.V.2014
Albrecht Dürer, aus „Underweysung der Messung, mit dem Zirckel und Richtscheyt, in Linien,
Ebenen unnd gantzen corporen“, 1525
Aufgabe 27 (Brennpunkte und Direktrices)
a) Skizziere die Ellipse
x2 y 2
+
=1
25
9
und finde die Koordinaten ihrer Brennpunkte, sowie die Gleichungen der entsprechenden
Direktrices.
b) Die gleiche Aufgabe für die Hyperbel
x2 − y 2 = 1
*c) Die gleiche Aufgabe für die Hyperbel
xy = 1
1
Aufgabe 28 (Optische Eigenschaften der Hyperbel und Parabel)
a) Seien A und B Punkte auf unterschiedlichen Seiten der Geraden `, sodass dist(A, `) >
dist(B, `). Man zeige: es gibt genau einen Punkt P ∈ `, sodass ` der Bisektor des Winkels
AP B ist.
Zeige ausserdem, dass der Punkt P die Differenz der Abstände von A und B zu einem
Punkt auf ` maximiert:
AP − P B = max{AX − XB | X ∈ `}
b) Gegeben sei eine Parabel mit Brennpunkt F und Direktrix `. Man zeige, dass wenn ein
Punkt X nicht auf der selben Seite von der Parabel wie F liegt, dann gilt
XF > dist(X, `)
c) Man zeige: Für jeden Punkt X auf einer Parabel mit Brennpunkt F und Direktrix ` bildet
die Tangente t durch X den Bisektor des Winkels F XP , wobei XP das Lot auf ` ist.
Aufgabe 29 (Konfokale Familien)
a) Sei a > b > 0. Zeige, dass die Quadriken
(
Qλ =
)
y2
x2
+ 2
=1 ,
(x, y) | 2
a −λ b −λ
λ < a2 , λ 6= b2
konfokal sind. Was geschieht bei λ → b2 und bei λ → a2 ?
b) Schreibe die Gleichungen der konfokalen Familie von Parabeln mit Brennpunkt (0, 0) und
Direktrices parallel zu der x-Achse.
Aufgabe 30 (Rank und Typ einer Quadrik)
Sei Q = {x ∈ R2 | P (x) = 0}, wobei
!
>
P (x) = x̃ Ãx̃,
x̃ =
1
, Ã =
x
Bezeichnen wir r = rank A, r̃ = rank Ã. Man zeige:
• r̃ = 1 ⇔ Q ist eine Gerade.
• r̃ = 2 ⇔ Q ist ein Punkt oder zwei Geraden.
• r̃ = 3, r = 1 ⇔ Q ist eine Parabel.
• r̃ = 3, r = 2 ⇔ Q ist eine Ellipse oder eine Hyperbel.
*Aufgabe 31 (Der Satz von Ivory)
Zeige, dass jedes von konfokalen Quadriken berandete
Viereck gleichlange Diagonalen hat. Gibt es ein Analogon in Dimension 3? Und in Dimension n?
2
c b>
b A
!
Übungsaufgaben zur Vorlesung Geometrie
Dr. Ivan Izmestiev, Moritz Firsching
Sommersemester 2014
Blatt 7
Abgabe: Freitag, 6.VI.2014
Cartonmodelle. Flächen zweiter Ordnung nach Alexander Brill von Schilling, Mathematische
Modellsammlung Philipps Universität Marburg.
Aufgabe 32 (Affin vs. euklidisch)
Sei C eine Hyperbel mit Asymptoten a1 und a2 , und sei ` eine Gerade. Seien P1 , P2 die Schnittpunkte von ` mit a1 und a2 . Man zeige: wenn ` die Hyperbel in zwei Punkten Q1 und Q2
schneidet, dann gilt P1 Q1 = P2 Q2 , und wenn ` an C tangential ist, dann ist der Tangentialpunkt Q der Mittelpunkt von P1 P2 .
1
Aufgabe 33 (Polarität bezüglich einer Parabel) Für jeden Punkt p = (a, b) ∈ R2 definiere die Polare
p◦ als die Gerade mit der Gleichung y = ax − b; für jede Gerade ` mit der Gleichung y = cx + d
definiere ihr Pol `◦ als der Punkt (c, −d). Man zeige:
a) die so definerte Polarität ist involutiv: (p◦ )◦ = p und (`◦ )◦ = `;
b) p ∈ ` ⇔ `◦ ∈ p◦ ;
c) p ∈ p◦ genau dann, wenn p auf der Parabel y =
x2
2
liegt.
*Formuliere die Sätze von Brianchon und Pascal für Parabel, benutze die Polarität um zu zeigen,
dass sie zueinander äquivalent sind, und beweise einen dieser Sätze mit Hilfe der Geraden auf
dem hyperbolischen Paraboloid.
Aufgabe 34 (Geraden auf dem Hyperboloid und die Polarität)
Sei Q ⊂ R3 ein einschaliges Hyperboloid mit Zentrum im Koordinatenursprung, und sei ` ⊂ Q
eine Gerade auf dem Hyperboloid. Man zeige:
a) die Polare jedes Punktes auf ` enthält `;
b) die Gerade `◦ ist selbstdual: `◦ = `;
c) jede selbstduale Gerade liegt vollständig auf dem Hyperboloid.
Aufgabe 35 (Lineare Kovarianz der Polarität)
Sei Q = {p ∈ Rn | α(p, p) = 1} eine Quadrik mit einer nicht ausgearteten und nicht negativ
definiten symmetrischen Bilinearform α. Sei f : Rn → Rn eine lineare Abbildung. Man zeige für
jeden affinen Unterraum L ⊂ Rn , 0 ∈
/ L:
f (L◦ ) = (f (L))◦
wobei links die Polarität bezüglich der Quadrik Q, und rechts die Polarität bezüglich der Quadrik
f (Q) gemeint wird.
Aufgabe 36 (Geraden auf dem Hyperboloid)
Ist es möglich, R3 in paarweise windschiefe Geraden zu partitionieren? (Eine Partition einer
Menge M ist eine Menge P von nicht-leeren Teilmengen von M , so dass jedes Element von M
in genau einer Menge von P enthalten ist.)
Ist es möglich, R3 in Kreise zu partitionieren?
2
Übungsaufgaben zur Vorlesung Geometrie
Dr. Ivan Izmestiev, Moritz Firsching
Sommersemester 2014
Blatt 8
Abgabe: Freitag, 13.VI.2014
„La scuola di Atene“ von Raffaello Sanzio, Zentralperspektive
http://www.martin-missfeldt.de/perspektive-zeichnen-tutorial/perspektive-kunst-entwicklung.php
*Welche der dargestellen Personen ist Πυθαγoρας?
Aufgabe 37 (Eine projektive Abbildung)
Seien `, `1 und `2 drei paarweise windschiefe Geraden in R3 . Für jeden Punkt P ∈ `1 definiere
f (P ) ∈ `2 als den Schnittpunkt von `2 mit der von P und ` aufgespannten Ebene. Man zeige,
dass die (fast überall definierte) Abbildung f : `1 → `2 projektiv ist.
Aufgabe 38 (Fixpunkte von Projektivitäten)
a) Sei φ : RP n → RP n eine Projektivität, dargestellt durch einen Automorphismus f ∈
GL(n + 1). Wenn [v] ∈ RP n ein Fixpunkt von φ ist, welche Eigenschaft hat dann der
Vektor v bezüglich der Abbildung f ?
b) Finde eine Projektivität RP 1 → RP 1 ohne Fixpunkte.
c) Zeige, dass jede Projektivität RP 2 → RP 2 mindestens einen Fixpunkt hat.
d) Finde eine Projektivität RP 2 → RP 2 mit genau zwei Fixpunkten.
1
Aufgabe 39 (Desargues und Pappos mit unendlich fernen Elementen)
a) Wie lautet der Satz von Desargues, wenn die Gerade `3 unendlich fern ist?
b) Man zeige, dass der folgende Satz ein Spezialfall des Satzes von Pappos ist.
Seien a1 k b1 , a2 k b2 , a3 k b3 drei Paare paralleler Geraden. Dann sind die Punkte
a1 ∩ b2 ,
a2 ∩ b3 ,
a3 ∩ b1
, a2 ∩ b1 ,
a3 ∩ b2
genau dann kollinear, wenn die Punkte
a1 ∩ b3 ,
kollinear sind.
Aufgabe 40 (Konstruktion mit Lineal)
Auf einem Blatt Papier sind Segmente zweier Geraden `1 und `2 gezeichnet; diese Geraden
schneiden sich allerdings außerhalb des Blattes. Erkläre, wie man mit Hilfe eines Lineals eine
Gerade durch einen gegebenen Punkt P ein Segment zeichnet, dessen Verlängerung durch den
Schnittpunkt der Geraden `1 und `2 geht.
(Hinweis: Der Satz von Desargues.) Man achte darauf, während der Konstruktion nicht vom
Blatt abzukommen.
*Man zeige, dass es unmöglich ist, nur mit Hilfe eines Lineals durch einen gegebenen Punkt die
zu einer gegebenen Geraden parallele zu zeichnen.
*Aufgabe 41 (Kachelboden zeichnen)
Der Boden ist mit quadratischen Kacheln gepflastert. Auf einer Zeichnung ist das Bild einer
Kachel gegeben. Erkläre, wie man alle anderen Kacheln zeichnet.
2
Übungsaufgaben zur Vorlesung Geometrie
Dr. Ivan Izmestiev, Moritz Firsching
Sommersemester 2014
Blatt 9
Abgabe: Freitag, 20.VI.2014
Die erste Verwendung von homogenen Koordinaten, 1827
Aufgabe 42 (Gerade durch zwei Punkte und der Schnittpunkt zweier Geraden)
a) Seien p1 = (x1 : y1 : z1 ) und p2 = (x2 : y2 : z2 ) zwei Punkte in RP 2 . Man zeige, dass die
projektive Gerade durch p1 und p2 die folgende Gleichung hat:


x1 x2 x


{(x : y : z) ∈ RP 2 | det  y1 y2 y  = 0}
z1 z2 z
b) Seien
`i = {(x : y : z) | ai x + bi y + ci z = 0},
i = 1, 2
zwei Geraden in RP 2 . Man zeige, dass die Komponenten des Kreuzproduktes




a1
a2
   
 b1  ×  b2 
c1
c2
homogene Koordinaten des Schnittpunktes der Geraden `1 und `2 sind.
Aufgabe 43 (Das Baryzentrum und projektive Transformationen)
Sei A = {x ∈ Rn+1 | x0 + · · · + xn = 1} eine affine Hyperebene. Betrachte die affine Basis
(e0 , . . . , en ) von A. Beschreibe die projektive Transformation [f ] ∈ PGL(n + 1), die diese Basis1
1
punkte festhält, und den Punkt mit baryzentrischen Koordinaten ( n+1
, . . . , n+1
) auf den Punkt
P
(λ0 , . . . , λn ) mit λi 6= 0, i λi = 1 abbildet.
1
Aufgabe 44 (Projektive Quadriken in RP 2 )
Man zeige, dass die projektiven Abschlüsse der folgenden affinen Quadriken zueinander projektiv
äquivalent sind:
a) die Sphäre x2 +y 2 +z 2 = 1, das zweischalige Hyperboloid x2 −y 2 −z 2 = 1 und das elliptische
Paraboloid x2 + y 2 = 2z;
b) das einschalige Hyperboloid x2 +y 2 −z 2 = 1 und das hyperbolische Paraboloid x2 −y 2 = 2z.
*Man zeige, dass das einschalige Hyperboloid den projektiven Raum in zwei Volltori zerschneidet.
Aufgabe 45 (Projektive Unterräume auf projektiven Quadriken)
a) Sei Q ⊂ P (V ) eine projektive Quadrik, und U ⊂ V ein Untervektorraum. Man zeige, dass
der Schnitt Q ∩ P (U ) entweder eine Quadrik in P (U ) oder das ganze P (U ) ist.
b) Sei Q = {[v] ∈ P (V ) | α(v, v) = 0} eine projektive Quadrik. Man zeige:
P (U ) ⊂ Q ⇔ U ⊂ U ⊥
wobei U ⊥ das Orthogonalkomplement des Untervektorraums U ⊂ V bezüglich der Form α
ist.
c) Man zeige, dass eine nicht-ausgeartete Quadrik im n-dimensionalen projektiven Raum keinen projektiven Unterraum der Dimension ≥ n2 enthalten kann.
d) Man finde einen m-dimensionalen projektiven Unterraum auf der Quadrik
{x20 + · · · + x2m − x2m+1 − · · · x22m+1 } ⊂ RP 2m+1
e) *Man zeige, dass durch jeden Punkt auf der obigen Quadrik mindestens (m + 1)! in der
Quadrik enthaltende m-dimensionale projektive Unterräume gehen.
Aufgabe 46 (Projektive Polarität in Koordinaten)
Jeder Punkt in RP n wird durch homogene Koordinaten (x0 : x1 : . . . : xn ) beschrieben. Jeder
Hyperebene kann man auch homogene Koordinaten zuordnen, und zwar die Koeffizienten der
homogenen linearen Gleichung, deren Lösungsmenge diese Hyperebene ist.
Sei α(x, x) =
Pn
i,j=0 aij xi xj
eine nicht-ausgeartete Quadrik.
a) Was sind die Koordinaten (im oben beschriebenen Sinne) der Polare des Punktes (x0 : x1 : . . . : xn )?
b) Wie berechnet man die Koordinaten des Pols der Hyperebene mit Koordinaten (y0 : y1 : . . . : yn )?
*Aufgabe 47 (Schließungssatz von Poncelet: ein Spezialfall)
Seien C und c zwei Kreise, wobei c innerhalb von C
liegt. Von einem Punkt p1 auf C zieht man eine Tangente zu c, die den großen Kreis wieder im Punkt p2
schneidet. Dann zieht man von p2 eine weitere Tangente zu c und erhält den Punkt p3 ∈ C (jedes Mal nimmt
man eine neue Tangente, sodass pi+1 6= pi−1 ).
Angenommen, dieser Polygonzug schließt sich nach n
Schritten: pn+1 = p1 . Man zeige: dann passiert das
Gleiche auch für jede andere Wahl des Anfangpunktes
p1 ∈ C.
2
Übungsaufgaben zur Vorlesung Geometrie
Dr. Ivan Izmestiev, Moritz Firsching
Sommersemester 2014
Blatt 10
Abgabe: Freitag, 27.VI.2014
Zeichnung aus dem “Barycentrischen Calcul” von Möbius.
Aufgabe 48 (Doppelverhältnis und Zentralprojektion)
Auf zwei Geraden `, m ⊂ RP 2 mit dem Schnittpunkt a seien zwei Punktetripel b1 , b2 , b3 ∈ ` und
c1 , c2 , c3 ∈ m so gewählt, dass
DV(a, b1 ; b2 , b3 ) = DV(a, c1 ; c2 , c3 )
Man zeige, dass die Geraden b1 c1 , b2 c2 und b3 c3 konkurrent sind.
b3
b2
b1
a
c1
c2
c3
1
Aufgabe 49 (Formel der Doppelverhältnis)
a) Man zeige, dass jede gebrochene lineare Transformation x 7→ ax+b
cx+d als Komposition von
1
Abbildungen der Form x 7→ x , x 7→ sx, x 7→ x + t dargestellt werden kann.
Folgere daraus, dass gebrochene lineare Transformationen das Doppelverhältnis erhalten.
b) Seien p1 , p2 , q1 , q2 , q3 fünf verschiedene kollineare Punkte. Man beweise die folgende Identität:
DV(p1 , p2 ; q1 , q2 ) · DV(p1 , p2 ; q2 , q3 ) · DV(p1 , p2 ; q3 , q1 ) = 1
Aufgabe 50 (Das vollständige Vierseit)
a) Beweise den Satz vom vollständigen Vierseit DV(p14 , p23 ; q2 , q3 ) = −1 durch das Schicken
von q3 auf die unendlich ferne Gerade.
p12
p13
q1
p24
p34
p23
p14
q3
q2
m1
m2
b) Gegeben sind drei Punkte A, B, C auf einer Geraden `, sodass B der Mittelpunkt von AC
ist. Konstruiere mit Hilfe eines Lineals die zu ` parallele Gerade durch einen gegebenen
Punkt P außerhalb `.
Aufgabe 51 (Harmonische Punktepaare und konjugierte Durchmesser)
Seien p1 , p2 , q1 , q2 verschiedene Punkte auf einem Kegelschnitt Q. Man zeige, dass
DV(p1 , p2 ; q1 , q2 ) = −1
genau dann gilt, wenn die Geraden p1 p2 und q1 q2 parallel zu einem Paar konjugierter Durchmesser von Q sind.
*Aufgabe 52 (Allgemeine projektive Abbildung zwischen zwei Geraden in der Ebene)
Seien ` und m zwei Tangenten zum Kegelschnitt Q. Für jeden Punkt p ∈ ` sei f (p) ∈ m der
Schnittpunkt zwischen m und der Tangenten zu Q durch p. Man zeige, dass die Abbildung
f : ` → m projektiv ist.
Umgekehrt, zeige, dass für jede projektive Abbildung f : ` → m zwischen zwei Geraden in RP 2
alle Geraden pf (p) tangential zu einem Kegelschnitt sind.
*Aufgabe 53 (Eine lineare Darstellung der symmetrischen Gruppe)
Die Symmetrien des Doppelverhältnisses liefern einen Gruppenmonomorphismus S3 → PGL(2)
(und sogar S3 → GL(2)). Können Sie einen Gruppenmonomorphismus Sn → GL(n − 1) konstruieren?
2
Übungsaufgaben zur Vorlesung Geometrie
Dr. Ivan Izmestiev, Moritz Firsching
Sommersemester 2014
Blatt 11
Abgabe: Freitag, 4.VII.2014
Hirzebruch erwähnt in einem autobiographischen Vortrag den Kosinussatz.
Video unter https://bitly.com/1rC6lOL ab Minute 3:07.
Aufgabe 54 (Kongruente sphärische Dreiecke)
Seien A1 B1 C1 und A2 B2 C2 zwei Dreiecke auf S2 (d.h. die Vektoren Ai , Bi , Ci ∈ S2 ⊂ R3 sind
linear unabhängig), bei welchen die entsprechenden Seiten gleich lang sind. Man zeige: es existiert
genau eine Orthogonaltransformation f ∈ O(3), sodass
f (A1 ) = A2 ,
f (B1 ) = B2 ,
f (C1 ) = C2 .
Aufgabe 55 (Partielle Ableitungen der Winkel) Man betrachte die Winkel α, β, γ eines sphärischen
Dreiecks als Funktionen seiner Seitenlängen und zeige:
∂γ
1
1
=
=
,
∂c
sin a sin β
sin b sin α
∂γ
cot β
=−
∂a
sin a
Aufgabe 56 (Reguläre sphärische n-Ecke)
Ein Vieleck in S2 heißt regulär, wenn alle seine Seiten gleich lang und alle Winkel gleich groß
sind.
a) Man zeige, dass es reguläre sphärische Drei-, Vier- und Fünfecke mit allen Winkel gleich
120◦ existieren. Hingegen gibt es kein sphärisches Sechseck mit allen Winkel gleich 120◦ .
b) Berechne die Seitenlänge des regulären n-Ecks mit allen Winkeln gleich 120◦ .
Aufgabe 57 (Der Satz über die Seitenhalbierenden)
Man zeige, dass die Seitenhalbierenden eines sphärischen Dreiecks sich in einem Punkt schneiden.
*Aufgabe 58 (Isometrien der Sphäre als Kompositionen von Spiegelungen)
Eine Spiegelung der Sphäre ist definiert als die Einschränkung der Spiegelung von Rn+1 in einer
Hyperebene durch 0. Man zeige, dass jede Isometrie von Sn als Komposition von höchstens n + 1
Spiegelungen dargestellt werden kann.
1
Übungsaufgaben zur Vorlesung Geometrie
Dr. Ivan Izmestiev, Moritz Firsching
Sommersemester 2014
Blatt 12
Abgabe: Freitag, 11.VII.2014
Mehr über die spezielle Relativitätstheorie auf dieser Webseite von Andrew Hamilton, Professor an
der University of Colorado Boulder: http://casa.colorado.edu/~ajsh/sr/sr.shtml
Aufgabe 59 (Gram-Schmidt-Verfahren im Minkowski-Raum)
a) Seien v0 , . . . , vn ∈ Rn,1 linear unabhängige zeitartige Vektoren: kvi k2n,1 < 0. Man zeige,
dass es eine Lorentz-Orthonormalbasis w0 , . . . , wn von Rn,1 gibt mit span{w0 , . . . , wk } =
span{v0 , . . . , vk } für alle 0 ≤ k ≤ n.
b) Erweitern wir die Definition der Lorentz-Orthonormalbasis zu
kwi k2n,1 = ±1,
hwi , wj in,1 = 0
Gibt es eine Lorentz-Orthonormalbasis (w0 , w1 , w2 ) mit span{w0 , . . . , wk } = span{v0 , . . . vk }
für die Vektoren
v0 = (0, 1, 0), v1 = (1, 1, 1), v2 = (0, 0, 1)?
Woran scheitert das Gram-Schmidt Orthonormierungsverfahren?
Aufgabe 60 (Geodäten)
Sei p ∈ Hn ⊂ Rn,1 und sei v ∈ Rn,1 so, dass kvk2n,1 = 1 und hp, vin,1 = 0. Man zeige:
a) die Kurve {γ(t) = p cosh t + v sinh t} liegt auf Hn ;
b) dist(γ(t), γ(s)) = |s − t|).
Aufgabe 61 (Lorentz-Matrizen)
a) Man zeige, dass


cosh t sinh t 0


At =  sinh t cosh t 0
0
0
1
eine Lorentz-Matrix ist.
1
b) Sei f eine Isometrie der hyperbolischen Ebene mit f (e0 ) = e0 im Hyperboloid-Modell. Man
zeige, dass die Matrix von f bezüglich der Standardbasis die folgende Form hat:


1
0
0


Bt = 0 cos t − sin t
0 sin t cos t
*c) Die Matrizen {At | t ∈ R} sowie {Bt | t ∈ R} bilden Untergruppen von PO(n, 1). Skizziere
die Orbits dieser Gruppen im Cayley-Klein-Modell.
Aufgabe 62 (Spezielle Kurven in der hyperbolischen Ebene)
Sei v ∈ Rn,1 , v 6= 0. Sei
Ev := {p ∈ Hn | hv, pin,1 = −1}
a) Man zeige, dass das Bild der Menge Ev im Cayley-Klein-Modell entweder eine Ellipse, oder
ein Ellipsebogen, oder ein Punkt, oder leer ist.
b) Ist jede Ellipse im Cayley-Klein-Modell das Bild einer Menge der Form Ev ?
c) Man zeige, dass jeder Kreis (die Menge aller Punkte im konstanten Abstand von einem
festen Punkt) im Cayley-Klein-Modell als Ellipse aussieht.
*Aufgabe 63 Man zeige, dass die Menge aller Geraden in der hyperbolischen Ebene, sowie die Menge
aller Geraden in der euklidischen Ebene homöomorph zum offenen Möbiusband ist.
2
Übungsaufgaben zur Vorlesung Geometrie
Dr. Ivan Izmestiev, Moritz Firsching
Sommersemester 2014
Blatt 13
Abgabe: Freitag, 18.VII.2014
Hyperbolische Ebene, Häkelarbeit von Daina Taimina
Aufgabe 64 (Die Dreiecksungleichung)
Man zeige, dass in jedem hyperbolischen Dreieck a + b > c gilt.
Aufgabe 65 (Parallelitätswinkel und Inkreis eines ideales Dreiecks)
a) Sei p ein Punkt im Abstand b von einer Geraden ` und sei m eine Gerade durch p, die den
Winkel α mit dem Lot von p auf ` bildet. Man zeige, dass m
• ` schneidet, wenn α < arccos tanh b;
• zu ` parallel ist, wenn α = arccos tanh b;
• zu ` ultraparallel ist, wenn α > arccos tanh b.
p
α
b
m
`
b) Man zeige, dass jedes
√ ideale hyperbolische Dreieck ein Inkreis hat, und dass der Radius des
Inkreises gleich log 3 ist.
*c) Man zeige, dass jedes (kompakte)
hyperbolische Dreieck ein Inkreis hat, und dass der Radius
√
des Inkreises kleiner als log 3 ist.
1
Aufgabe 66 (Abstand zwischen ultraparallelen Geraden)
Seien `1 und `2 zwei ultraparallele Geraden in H2 und seien q1 ∈ `1 , q2 ∈ `2 die Fußpunkte ihres
gemeinsamen Lotes. Man zeige:
dist(q1 , q2 ) = min dist(x1 , x2 )
xi ∈`i
Aufgabe 67 (Reguläre rechtwinklige Vielecke)
a) Man zeige: für jedes n ≥ 5 existiert ein reguläres rechtwinkliges hyperbolisches n-Eck.
Berechne seine Fläche.
√
b) Man zeige: die Seitenlänge eines regulären rechtwinkligen Sechsecks ist gleich log(2 + 3).
*Aufgabe 68 (Der Hyperzyklus oder Abstandslinie)
Sei ` eine Gerade in H2 , und sei h ⊂ H2 die Menge aller Punkte im konstanten Abstand von `:
h = {p ∈ H2 | dist(p, `) = b
a) Man zeige, dass der Winkel zwischen den Parallelen zu ` durch p von der Wahl des Punktes
p ∈ h nicht abhängt.
b) Man zeige, dass im Cayley-Klein-Modell h ein Ellipsebogen ist, der den Rand von B2 in
denselben Punkten wie ` schneidet.
*Aufgabe 69 (Konstruktion mit Lineal)
a) Man zeige, dass es unmöglich ist, nur mit Hilfe eines Lineals das Zentrum eines Kreises zu
finden.
b) Gegeben sei ein Parallelogramm im Inneren des Kreises. Konstruiere mit Hilfe eines Lineals
das Zentrum des Kreises.
2
Übungsaufgaben zur Vorlesung Geometrie
Dr. Ivan Izmestiev, Moritz Firsching
Sommersemester 2014
Blatt 14
Eine Pflasterung der hyperbolischen Ebene im Kreisscheibenmodell von Poincaré;
Holzschnitt von M. C. Escher “Circle Limit IV (Heaven and Hell)”, 1960
*Aufgabe 70 (Doppelverhältnis auf S1 und Winkel in H2 )
Seien (p1 , p2 ) und (q1 , q2 ) zwei sich trennende Punktepaare auf S1 . Man zeige:
DV(p1 , p2 ; q1 , q2 ) = − tan2
α
2
wobei α der Winkel zwischen den Geraden p1 p2 und q1 q2 der hyperbolischen Ebene im CayleyKlein oder Poincaré-Modell ist (und zwar der Winkel von der orientierten Geraden p1 p2 zu der
orientierten Geraden q1 q2 ).
*Aufgabe 71 (Kompositionen von Isometrien von H2 )
Man zeige, dass Komposition von zwei elliptischen Isometrien der H2 nicht immer elliptisch ist,
sondern parabolisch oder hyperbolisch sein kann.
*Aufgabe 72 (Möbiustransformationen und projektive Transformationen)
Gebe Isomorphismen PO(2, 1) ∼
= PGL(2) und PSO(3, 1) ∼
= PGL(C, 2) explizit an.
*Aufgabe 73 (Doppelverhältnis in CP 1 und Eigenschaften der Möbiustransformationen von R2 )
Für vier Punkte z1 , z2 , z3 , z4 ∈ CP 1 kann das Doppelverhältnis durch dieselbe Formel wie im
reellen Fall
z1 − z3 z1 − z4
:
DV(z1 , z2 ; z3 , z4 ) :=
z2 − z3 z2 − z4
definiert werden. Die gebrochene lineare Abbildungen (d. h. projektive Transformationen von
CP 1 ) erhalten DV.
1
a) Man zeige: DV(z1 , z2 ; z3 , z4 ) ∈ R genau dann, wenn die Punkte z1 , z2 , z3 , z4 auf einem
Kreis liegen. Folgere daraus, dass projektive Transformationen von CP 1 Kreise auf Kreise
abbilden.
b) Zeige, dass die Winkel zwischen den Kreisen erhalten bleiben. (Man wähle dafür z1 , z2 , z3
auf dem ersten und z1 , z2 , z4 auf dem zweiten Kreis.)
c) Wir haben jetzt zwei Definitionen des Doppelverhältnisses auf einem Kreis. Wie hängen die
beiden zusammen?
*Aufgabe 74 (Abstand im Poincaré-Modell)
Seien p und q zwei Punkte im Inneren des Einheitskreises. Man zeige, dass wenn der Einheitskreis
als Poincaré-Modell der hyperbolischen Ebene betrachtet wird, dann gilt
dist(p, q) = | log DV(p, q; p0 , q0 )|
Hier sind p0 und q0 die Schnittpunkte der Geodäten pq mit dem Rand des Kreises.
*Aufgabe 75 (Sphären und Äquidistanten im Poincaré-Modell)
a) Man zeige, dass jede Sphäre (die Menge der Punkten im konstanten Abstand von einem
Punkt) im Poincaré-Modell auch als Sphäre aussieht.
b) Man zeige, dass die Menge der Punkte im konstanten Abstand von einer Hyperebene im
Poincaré-Modell als Schnitt von Sn−1 mit einer Sphäre oder mit einer Hyperebene aussieht.
2
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