Kombinatorik und Permutation - ttp
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SS 2016 Torsten Schreiber 145 Ein lineares Gleichungssystem besteht immer aus einer ______________ Anzahl an Variablen und Gleichungen. Die Zahlen vor den Variablen werden in der sogenannten ______________ zusammen gefasst und die Zahlen ohne Variable werden durch den ______________ beschrieben. Werden alle Gleichungen mit Null verglichen, so nennt man das Gleichungssystem ______________, sonst ist es ______________. Wenn es sich um zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten handelt, wird grafisch gesehen die gegenseitige Lage ______________ ______________ untersucht. Zur Lösung eines solchen Systems können drei verschiedene Verfahren genutzt werden. ______________: Eine der Gleichungen wird nach einer Variablen freigestellt und das Ergebnis in die verbleibende Gleichung eingesetzt. ______________: Beide Gleichungen werden nach ein und derselben Variablen aufgelöst und die beiden entstehenden Terme Gleichgesetzt. ______________: Mittels elementaren Umformungen und anschließender Addition wird versucht jeweils eine Variable zu eliminieren, wodurch am Ende eine Stufenstruktur entsteht. Haben wir ein Gleichungssystem, das aus drei Unbekannten und drei Gleichungen besteht, so empfiehlt es sich die ______________ ______________ anzuwenden. Voraussetzung ist das die Koeffizientenmatrix ___________ sein muss. So wird im ersten Schritt deren ____________ gebildet. Anschließend wird jeweils der ______________ an jede der vorhandenen Spalten eingesetzt und ebenfalls die Determinante bestimmt. Der ______________ aus Determinante der ersetzten Spalte und der Hauptdetertminaten liefert die zugehörige ______________. Bei dem Gaußschen Eliminationsverfahren sucht man sich zuerst eine ______________ aus. Diese wird dann auf alle übrigen Gleichungen so bezogen, dass eine Spalte komplett zur ___________ wird. Zum Schluss entsteht die Stufenstruktur, durch die man mittels Einsetzen den Lösungsraum erhält. Stehen in der letzten Zeile mehr als eine Variable, so können _______ Variable frei gewählt werden und dann von unten nach oben eingesetzt werden. Bei dem entstehenden ____________ werden die frei gewählten Variablen von den Konstanten getrennt und es entsteht somit die ________________ des Lösungsraums (Gerade, Ebene). SS 2016 Torsten Schreiber 146 Themen, die Sie nach dieser Veranstaltung kennen sollten: Aufgaben und Anwendungen zu linearen Gleichungssystemen. Was ist eine Permutation? Wann sprechen wir von einer Kombination? Wann handelt es sich um ein Laplace-Experiment? Welche Formen der Wahrscheinlichkeit gibt es? Was ist eine Zufallsvariable? Wann sollte man über das Gegenereignis gehen? Wann handelt es sich um eine Binomialverteilung? Aufgaben und Übungen zu den benannten Themen. SS 2016 Torsten Schreiber 147 1) Lösen Sie das folgende Gleichungssystem mittels dem Cramer-Verfahren. − 2 x + 3 y − z = −1 4x − 5 y + 2z = 4 2x − 5 y + 6z = 2 2) Bestimmen Sie die Lösung des folgenden LGS mittels Eliminationsverfahren von Gauß. SS 2016 2 x1 − x1 3x1 + x2 − x2 − 2 x2 − 3 x3 + 2 x3 − x3 − x4 + 2 x4 − x4 = −2 = −4 = 6 − x1 − 3x2 + 2 x3 + 3 x4 = −3 Torsten Schreiber 148 3) 4) Untersuchen Sie das gegebene Gleichungssystem hinsichtlich der Lösungsmannigfaltigkeit. a + 2⋅b + 2⋅c = a − 2 ⋅b + 3⋅ c = − 4 2⋅a + x⋅b + SS 2016 c y = −8 Torsten Schreiber 149 • Permutationen: Unter einer Permutation versteht man die Anzahl an Möglichkeiten eine bestimmte Anzahl von Elementen anzuordnen. Man kann folgende beiden Möglichkeiten dabei unterscheiden: Ohne Wiederholungen: ! Es müssen alle Elemente unterscheidbar sein. Für die Planung der Reihenfolge eines 5-Gang-Menüs ergeben sich folgende Möglichkeiten: 5! Mit Wiederholung: 5∙4∙3∙2∙1 120 Es dürfen Elemente auch mehrfach vorkommen. ! !∙ !∙⋯ ! Am 1.Tag der Freibadsaison wurden 6 Karten für Schüler und 4 für Erwachsene verkauft. Betrachtet man jede Person als einzeln, so ergeben sich 10! Verschiedene Möglichkeiten. Soll nur berücksichtigt werden, ob es sich um einen Schüler oder einen Erwachsenen handelt, so können die Permutationen wie folgt berechnet werden: 10! 6! ∙ 4! SS 2016 210 Torsten Schreiber 150 • Stichprobe: Unter einer Stichprobe verstehen wir die zufällige Auswahl von k Elementen aus einer Gesamtheit von n Elementen. Die Anzahl der Möglichkeiten bezeichnet man auch als Kombination. Innerhalb dieser Auswahl der Elemente unterscheidet man eine: Geordnete Stichprobe: Die Reihenfolge der Elemente spielt eine Rolle. Zieleinlauf der ersten drei Autos beim Formel 1-Rennen (Sieger, Zweiter, Dritter). Ungeordnete Stichprobe: Die Reihenfolge der Elemente spielt keine Rolle. Qualifizierte Fussballmannschaften für die Fußballweltmeisterschaft 2014. Mit Wiederholungen: Eine Element kann mehrfach gezogen werden. Beim mehrfache Wurf eines Würfels kann eine Zahl mehrfach vorkommen. Ohne Wiederholung: Die Reihenfolge der Elemente spielt eine Rolle Beim Ziehen der Lottozahlen kann eine Zahl nur einmal gezogen werden. SS 2016 Torsten Schreiber 151 • ! Ohne Wiederholung und ohne Reihenfolge: Aus 50 Studenten werden zufällig 5 nach ihrer Meinung zu Mathematik befragt. 50 5 • ! ! ∙ ! ! 22 Teilnehmern können die ersten drei Plätze wie folgt vergeben werden: 22 ∙ 3! 3 • 2.118.760 ! !∙ Ohne Wiederholung und mit Reihenfolge: In der Formel 1 gibt es bei (Binomialkoeffizient) ! !∙ !∙ ! ! ! ! !∙ 9.240 1 Mit Wiederholung und ohne Reihenfolge: !∙ ! ! Beim zweimaligen Würfeln werden die entstehenden zweistelligen Zahlen (kleiner, größer) notiert. 6 • 2 2 1 !∙ ! ! !! !∙ ! 21 Mit Wiederholung und mit Reihenfolge: Im Spiel „Super 6“ wird eine sechsstellige Zahl aus den Ziffern 0-9 gebildet. Anzahl an Kombinationen: 10 SS 2016 1.000.000 Torsten Schreiber 152 Zusammenfassung: Die Gesetze und Regeln bzgl. der Permutation und Kombination lassen sich wie folgt zusammenfassen: KOMBINATIONEN ohne Wiederholung mit Wiederholung 1 ohne Reihenfolge mit Reihenfolge PERMUTATIONEN SS 2016 ∙ ! ! Torsten Schreiber !∙ ! !∙⋯ #! 153 Aufgaben: 1. Heute haben in der ersten Stunde 15 Autos getankt. Darunter waren 5 Diesel-, 3 Gas- und 7 Benzinmotoren. a) Bestimmen Sie die möglichen Variationen bei Beachtung der Fahrzeuge. b) Bestimmen Sie die möglichen Kombinationen bzgl. des Treibstoffs. 2. Sie möchten sich ein Eis bestehend aus drei Kugeln an einer Eisdiele kaufen. Ihre Lieblingssorten sind Schokolade, Erdbeere, Nuss und Vanille. Wie viele verschiedene Kombinationen können Sie wählen? 3. Beim Pferderennen starten 6 Tiere. Wie viele Möglichkeiten können für die ersten drei Plätze entstehen? 4. In einer Urne befinden sich 10 Kugeln mit unterschiedlichen Buchstaben. Es sollen nun 4 dieser Kugeln gezogen und die entstehenden Worte notiert werden. a) Bestimmen Sie die möglichen Variationen, wenn Sie die gezogene Kugel nicht zurücklegen. b) Bestimmen Sie die möglichen Kombinationen mit Wiederholungen. 5. Auf einem Würfel gibt es die Zahlen 1, 2 und 3 jeweils zweimal. Sie würfeln dreimal und sortieren die Zahlen aufsteigen, d.h. beginnen an der ersten Stelle mit der kleinsten. a) Wie viele verschiedene dreistellige Zahlen entstehen. b) Notieren Sie alle möglichen Ereignisse. SS 2016 Torsten Schreiber 154 • Laplace-Experiment: Sind bei einem Zufallsexperiment mit einer endlichen Ergebnismenge alle Ergebnisse mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auftreten, dann spricht man von einem Laplace-Versuch. Die Wahrscheinlichkeit berechnet sich dann durch den Quotienten: $ % % & % '()*+,-.ü-%0ü 1230, 4ä**, % '()*+,-6ö0*38), 4ä**, Folgende Eigenschaften existieren bzgl. der Wahrscheinlichkeit: Axiom 1: Jede Wahrscheinlichkeit liegt zwischen 0% und 100%, so dass0 9 $ % 9 1. Axiom 2: Das sichere Ereignis hat die Wahrscheinlichkeit 100% und es gilt$ Ω Axiom 3: Sind % und % disjunkte Ereignisse, so gilt $ % ∪ % 1. $ % +$ % . Beispiel: Beim einmaligen Wurf einer Münze sind die beiden Ereignisse % : =(>>, und % : Zahl disjunkt zueinander, so dass die Wahrscheinlichkeit $ % ∪ % $ % +$ % 1 die sogenannte sichere Wahrscheinlichkeit $ & darstellt. SS 2016 Torsten Schreiber 155 Aufgrund der zuvor beschriebenen Axiome können noch zusätzliche einige Folgerungen getätigt werden: • Komplementär-Ereignis: Unter dem komplementären Ereignis verstehen wir das Gegenteil des günstigen Ereignis, so dass % ∪ %̅ Ω das sichere Ereignis beschreibt und die beiden Ereignisse disjunkt zueinander sind und es muss gemäß Axiom 3 folgendes gelten: $ % ∪ %̅ • $ % + $ %̅ 1 Eigenschaften des Gegenereignis: Die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses kann dann auch wie folgt berechnet werden: $ %̅ 1 $ % Beispiel: In einer Schachtel Praline sind sechs verschiedene Geschmacksrichtungen mit jeweils 5 Pralinen eingepackt. Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen keine Marzipanpraline blind zu ziehen, bestimmt man diese durch das Gegenereignis %̅ @(-'3>( . $ % SS 2016 1 $ %̅ ⇒ $ ,3 @(-'3>( 1 Torsten Schreiber $ @(-'3>( 1 5 30 25 30 156 Sind die beiden Ereignisse % und % nicht disjunkt, dann existiert mindestens ein Ereignis, das die Aussage % ∩ % erfüllt. Um nun auch hier die Wahrscheinlichkeit gemäß des Axioms 3 zu bestimmen, muss die Schnittmenge beider Ereignisse einmalig abgezogen werden. $ % ∪% $ % +$ % % $ % ∩% % % ∩% Beispiel: In einem Ruderbootrennen (Achter mit Steuermann) sind die Länder Schweiz, Belgien, Polen und Italien beteiligt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein zufällig ausgewählter Ruderer Steuermann oder Schweizer? $ C2,D,-6( E+,-C8)F,3',$ C2,D,-6( SS 2016 $ C2,D,-6( $ C8)F,3',$ C8)F,3',-C2,D,-6( 4 9 1 12 E+,-C8)F,3',36 36 36 36 Torsten Schreiber 157 Um eine bessere Übersicht der Aufgabenstellung zu erhalten, nutzt man die grafische Darstellung in Form eines Baumdiagramms. Hier werden entlang des Astes die Wahrscheinlichkeiten und an den Knoten die Ereignisse notiert, wobei entlang eines Astes die Wahrscheinlichkeiten stets multipliziert und mehrere Äste addiert werden. Beispiel: In einer ersten Urne befinden sich 10 rote und 20 blaue Kugeln. In Urne zwei befinden sich 6 rote, 9 grüne und 3 blaue Kugeln. 2K 6 1K 3 2K 3 3 6 1K 6 SS 2016 $ % ∙ H I ∙ b) Die Wahrscheinlichkeit für zwei verschiedene Kugeln erhalten Sie über die Produkte der zugehörigen Äste und deren Summe. 2K 6 $ J 3 6 1K 6 a) Um zwei gleiche Kugeln zu ziehen, multipliziert man die beiden roten bzw. blauen Wahrscheinlichkeiten miteinander und addiert anschließend die Ergebnisse. ∙ ∙ ∙ ∙ H I ! oder durch das Gegenereignis $ J 1 Torsten Schreiber $ % 1 ! 158
