Kapitel 3.3 und 3.4

3.3 Quellen des magnetischen Feldes
3.3.1 Biot-Savart-Gesetz
Magnetfeld eines differentiell kleinen Stromfadens
Biot-Savart-Gesetz
Magnetfeld einer Spule
Magnetfeld eines geraden Leiters
Amperesches Gesetz
r
µ I ⋅ dl × r
dB = 0
4π
r3
1
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3.3.1 Biot-Savart-Gesetz
2
© R. Girwidz
3.3.1 Biot-Savart-Gesetz
Magnetfeld einer Leiterschleife
a) Im Schleifenmittelpunkt
B=
3
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3.3.1 Biot-Savart-Gesetz
2R
4
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3.3.1 Biot-Savart-Gesetz
Magnetfeld einer Leiterschleife
b) auf der Mittelsenkrechten im Abstand x:
Bx =
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µ0 ⋅ I
5
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µ0 I ⋅ 2 π R 2
3/ 2
4π (x 2 + R 2 )
By=Bz=0
6
–1
3.3.1 Biot-Savart-Gesetz
3.3 Quellen des Magnetfeldes
Feld eines Kreisstromes
für x >> R :
=>
(x
2
+R
)
2 3/ 2
≈x
3
Bx =
µ0 I ⋅ 2π R 2
x3
4π
Bx =
µ0 pm
⋅
4π x 3
vgl. elektrostatisches Dipolmoment
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3.3 Quellen des Magnetfeldes
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© R. Girwidz
3.3.1 Biot-Savart-Gesetz
von der Schleife zur Spule
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3.3.1 Biot-Savart-Gesetz
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© R. Girwidz
3.3.1 Biot-Savart-Gesetz
1
b
a


Bx = µ0 ⋅ n ⋅ I ⋅  2
+

2
2
a2 + R 2 
 b +R
1
b
a


Bx = µ0 ⋅ n ⋅ I ⋅  2
+

2
2
a2 + R 2 
 b +R
für sog. "lange Spule" (d.h. a >> R; b >> R):
B = µ0 ⋅ n ⋅ I = µ0 ⋅
N
⋅I
L
ÎFeldmessung mit Hallsonde
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–2
3.3 Quellen des Magnetfeldes
3.3.1 Biot-Savart-Gesetz
Feld eines geraden stromdurchflossenen Leiters
Regel: Sieht man auf die Spulenfläche:
µ0 I ⋅ dx
⋅ sin Θ
4π r 2
µ I ⋅ dx
dB = 0 2 ⋅ cosϕ
4π r
dB =
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3.3.1 Biot-Savart-Gesetz
dB =
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3.3.1 Biot-Savart-Gesetz
µ0 I ⋅ dx
⋅ cosϕ
4π r 2
B=
µ0 I
(sinϕ1 + sinϕ 2 )
4π a
x = a * tanϕ
"Trick": Integration über φ – Substitution:
sehr lange Leiter:
2
dx
r
1
=a
=a 2
dq
y
cos2 ϕ
ϕ1 →
π
2
; ϕ2 →
r2
dx = dϕ
a
B=
B=
µ0
4π
ϕ
1
I ⋅ ∫ ( cos ϕ ) dϕ
ϕ a
B=
1
2
π
2
µ0 ⋅ I
2π a
für ∞ langen geraden Leiter
µ0 I
(sinϕ1 + sinϕ 2 )
4π a
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3.3.2 Amperesches Gesetz
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© R. Girwidz
3.3.2 Amperesches Gesetz
Beispiel: Gerader Leiter
∫ Bdl = µ
0
⋅I
(im Vakuum)
geschlossene Schleife
allg.
∫ Hds = I
B = µ0
„magn. Umlaufspannung“
I
2π a
Bei einem geschlossenen Umlauf ist die Wegsumme (Linienintergral)
der magnetischen Feldstärke gleich dem umfassten Strom.
Î Feldlinienbild
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© R. Girwidz
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–3
3.3.2 Amperesches Gesetz
3.3.2 Amperesches Gesetz
Beispiel: Lange Spule
Toroidspule
L
Î Feldlinienbild
Î Feldlinienbild
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3.3.2 Amperesches Gesetz
3.3.2 Amperesches Gesetz
Toroidspule
Definition des Ampere
a<r <b
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3.3.2 Amperesches Gesetz
3.4 Materie im Magnetfeld
Definition der Stromstärke 1 Ampere
Atomare Kreisströme
Diamagnetismus
Paramagnetismus
Ferromagnetismus
Eichung:
µ0 = 4π * 10−7
N
A2
Zwei geradlinige, sehr lange parallele Leiter im Abstand 1 m werden von einem
Strom 1 A durchflossen, wenn auf 1 m Leiter eine Kraft von 2*10-7 N wirkt.
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3.4 Materie im Magnetfeld
3.4 Materie im Magnetfeld
Elementare Kreisströme in Addition
Mikroskopische magn. Momente werden
durch atomare Kreisströme erzeugt
Elementarmagnete über:
m =I⋅A
Anschauliche Vorstellungshilfe:
Kreisende Elektronen nach dem bohrschen Atommodel stellen Ringströme dar.
Auch mit dem Elektronenspin ist ein magn. Moment verknüpft, das klassisch nicht zu
erklären ist.
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3.4 Materie im Magnetfeld
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© R. Girwidz
3.4 Materie im Magnetfeld
Die magn. Flussdichte resultiert aus makroskopischen und mikroskopischen Anteilen:
Def. Magnetisierung:
 ∆m  dm
M =
=
 ∆V  dV
B = µ0 ⋅
N
⋅ I + µ 0⋅M
L
(„Magn. Momente pro Volumeneinheit“)
H
allg.:
Vorstellung vom Zusammenwirken
differentieller Magnetisierungsströme
M=∑
( AN ⋅ IN ) N
= ⋅ I0
A⋅L
L
M vom äußeren Feld abhängig:
(analog zur Spule)
)
M = χm * H
magn. Suszeptibilität
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(
B = µ0 ⋅ H + M
3.4 Materie im Magnetfeld
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3.4 Materie im Magnetfeld
Den Zusammenhang zwischen Feldstärke H und Magnetisierung M beschreibt die
magnetische Suszeptibilität
Weitere Beschreibungen - Zusammenhang zwischen B und H:
χm :
AL:
2,3*10-5
Mg:
1,2*10-5
Ti:
7,06*10-5
Cu:
-0,98*10-5
Ag:
-2,6*10-5
Fe:
5000 – 7000
Permalloy (55% Fe, 45% Ni):
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B = µ ⋅ H = µ0 µr ⋅ H ;
µr = 1 + χ m
25000
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–5
3.4 Materie im Magnetfeld
3.4 Materie im Magnetfeld
Diamagnetismus
χm < 0 :
Paramagnetismus
„Abschwächung“ des Magn.feldes
χm > 0 :
"Verstärkung" des Magnetfeldes
Vorstellung:
Ausrichtung permanenter magn. Dipole
Vorstellung: Atomare Kreisströme werden beeinflusst
=> Magnetisierung wirkt dem äußeren Feld entgegen
(siehe Lentzsche Regel)
Î Bi im inhom. Feld
ÎKerzenflamme im inhom. Feld
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3.4 Materie im Magnetfeld
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© R. Girwidz
3.4 Materie im Magnetfeld
Ferromagnetismus
Paramagnetismus
χ m >> 0 : (≈ 1000)
Energiebetrachtung:
„große Verstärkung“
Vorstellung:
Ausrichtung ganzer Domänen
EPot = − p m ⋅ B
Analog E-Feld:
(E
Pot
= − pe ⋅ E
)
a) Ausrichtung ist energetisch „günstiger“
b) Paramagnete werden in ein (inhom.) Feld gezogen - Diamagnete abgestoßen
ÎBarkhausen-Effekt (akustisch)
ÎMagnetnadelmodell
ÎParamagnetische Stoffe (z. B. Sauerstoff) wird ins Feld hinein gezogen
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3.4 Materie im Magnetfeld
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3.4 Materie im Magnetfeld
Ferromagnetismus
Magnetische Domänen
Ferromagnetismus geht oberhalb der sog. Curie-Temperatur
(Eisen Tc ≈ 1042 K = 730 °C) in Paramagnetismus über
Îmagnetisierter Nagel wird erhitzt
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3.4 Materie im Magnetfeld
3.4 Materie im Magnetfeld
Hysterese (Magnetisierung ist auch von der "Vorgeschichte" abhängig)
Hysterese
Ummagnetisierung verlangt Energie
! Maßstab:
B > 1000 µ0 H
BR: Remanenzflussdichte;
Hc: Koerzitivfeldstärke
magnetisch weiche Stoffe: 0,1 < Hc < 103 A/m
magnetisch harte Stoffe:
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0,1 < Hc < 103 A/m
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