Darstellung, Verarbeitung und Erwerb von Wissen - LS1

Darstellung, Verarbeitung und Erwerb von Wissen
Gabriele Kern-Isberner
LS 1 – Information Engineering
TU Dortmund
Wintersemester 2015/16
WS 2015/16
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
1 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Konstruktive Revisionsmethoden
Übersicht Kapitel 7
7.1 Einführung
7.2 AGM-Theorie
7.3 Konstruktive Revisionsmethoden
7.4 Wissensrevision und nichtmonotone Logiken
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
55 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Konstruktive Revisionsmethoden
Kapitel 7
7. Wissensrevision (Belief Revision)
7.3 Konstruktive Revisionsmethoden
(Grundlagen)
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
56 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
AGM-Theorie
AGM-Basispostulate
Nr
Expansion
Revision
Kontraktion
1
K + A Wissensmenge
2
A∈K +A
K ∗ A Wissensmenge
K − A Wissensmenge
K ∗A⊆K +A
A∈
/ K ⇒ K −A=K
K ∗ A inkonsistent
gdw. A ≡ ⊥
K ⊆ (K − A) + A
3
4
5
6
A∈K ∗A
K ⊆K +A
A∈K ⇒ K +A=K
K
⊆
H
K +A⊆H +A
K + A minimal
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
⇒
¬A ∈
/ K ⇒ K +A⊆K ∗A
A≡B ⇒
K ∗A=K ∗B
DVEW
K −A⊆K
A 6≡ > ⇒ A ∈
/ K −A
A≡B ⇒
K −A=K −B
WS 2015/16
52 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Konstruktive Revisionsmethoden
AGM-Postulate – und was noch?
• Die AGM-Postulate stecken einen Rahmen für logisch zulässige
Wissensrevisionsoperationen ab,
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
57 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Konstruktive Revisionsmethoden
AGM-Postulate – und was noch?
• Die AGM-Postulate stecken einen Rahmen für logisch zulässige
Wissensrevisionsoperationen ab, aber
• Logik alleine reicht nicht aus, um zu entscheiden, wie sinnvolle
Wissensrevision erfolgen soll.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
57 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Konstruktive Revisionsmethoden
AGM-Postulate – und was noch?
• Die AGM-Postulate stecken einen Rahmen für logisch zulässige
Wissensrevisionsoperationen ab, aber
• Logik alleine reicht nicht aus, um zu entscheiden, wie sinnvolle
Wissensrevision erfolgen soll.
• Es wird zusätzliche Information benötigt, um zu konstruktiven
Revisionsmethoden zu kommen.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
57 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Konstruktive Revisionsmethoden
AGM-Postulate – und was noch?
• Die AGM-Postulate stecken einen Rahmen für logisch zulässige
Wissensrevisionsoperationen ab, aber
• Logik alleine reicht nicht aus, um zu entscheiden, wie sinnvolle
Wissensrevision erfolgen soll.
• Es wird zusätzliche Information benötigt, um zu konstruktiven
Revisionsmethoden zu kommen.
• Es werden zwei Ansätze verfolgt:
• Revision/Kontraktion via Selektionsfunktionen;
• Revision/Kontraktion via Relationen auf Formeln.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
57 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Konstruktive Revisionsmethoden
Kontraktion via Selektionsfunktionen
Wir betrachten Kontraktionsoperationen; mittels der Levi-Identität können
damit auch Revisionsoperationen definiert werden.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
58 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Konstruktive Revisionsmethoden
Kontraktion via Selektionsfunktionen
Wir betrachten Kontraktionsoperationen; mittels der Levi-Identität können
damit auch Revisionsoperationen definiert werden.
K a priori-Wissensmenge,
A die Aussage, die aus K entfernt werden soll.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
58 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Konstruktive Revisionsmethoden
Kontraktion via Selektionsfunktionen
Wir betrachten Kontraktionsoperationen; mittels der Levi-Identität können
damit auch Revisionsoperationen definiert werden.
K a priori-Wissensmenge,
A die Aussage, die aus K entfernt werden soll.
Idee:
Man entferne Propositionen aus K nach einem gewissen Rezept,
so dass die verkleinerte Menge A nicht mehr impliziert; nach
dem Minimal-Change-Paradigma sollte die verkleinerte Menge so
groß wie möglich sein.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
58 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Konstruktive Revisionsmethoden
Maximale Kontraktionsmengen 1/3
Eine Menge M heißt maximale Kontraktionsmenge von K bzgl. A, wenn
gilt:
• M ⊆ K;
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
59 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Konstruktive Revisionsmethoden
Maximale Kontraktionsmengen 1/3
Eine Menge M heißt maximale Kontraktionsmenge von K bzgl. A, wenn
gilt:
• M ⊆ K;
• A 6∈ Cn(M );
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
59 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Konstruktive Revisionsmethoden
Maximale Kontraktionsmengen 1/3
Eine Menge M heißt maximale Kontraktionsmenge von K bzgl. A, wenn
gilt:
• M ⊆ K;
• A 6∈ Cn(M );
• für jedes M 0 mit M ⊆ M 0 ⊆ K, M 6= M 0 , ist A ∈ Cn(M 0 ).
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
59 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Konstruktive Revisionsmethoden
Maximale Kontraktionsmengen 1/3
Eine Menge M heißt maximale Kontraktionsmenge von K bzgl. A, wenn
gilt:
• M ⊆ K;
• A 6∈ Cn(M );
• für jedes M 0 mit M ⊆ M 0 ⊆ K, M 6= M 0 , ist A ∈ Cn(M 0 ).
K⊥A
= Menge aller maximalen Kontraktionsmengen von K bzgl. A
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
59 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Konstruktive Revisionsmethoden
Maximale Kontraktionsmengen 2/3
Ist M eine maximale Kontraktionsmenge von K bzgl. A, so gilt:
• Ist K eine Wissensmenge, so ist auch M eine Wissensmenge, d.h.
deduktiv abgeschlossen.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
60 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Konstruktive Revisionsmethoden
Maximale Kontraktionsmengen 2/3
Ist M eine maximale Kontraktionsmenge von K bzgl. A, so gilt:
• Ist K eine Wissensmenge, so ist auch M eine Wissensmenge, d.h.
deduktiv abgeschlossen.
• Ist B ∈ K\M , so ist B ⇒ A ∈ M .
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
60 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Konstruktive Revisionsmethoden
Maximale Kontraktionsmengen 2/3
Ist M eine maximale Kontraktionsmenge von K bzgl. A, so gilt:
• Ist K eine Wissensmenge, so ist auch M eine Wissensmenge, d.h.
deduktiv abgeschlossen.
• Ist B ∈ K\M , so ist B ⇒ A ∈ M .
Jede solche maximale Kontraktionsmenge M definiert via
K −A=M
eine Kontraktionsoperation, die die Basispostulate (AGM-1) – (AGM-6)
erfüllt.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
60 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Konstruktive Revisionsmethoden
Maximale Kontraktionsmengen 3/3
Für deduktiv abgeschlossene Teilmengen M ⊆ K gilt:
Mod (M ) = Mod (K) ∪ {ω0 }
M ∈ K ⊥ A gdw.
für ein ω0 ∈ Mod (¬A)
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
61 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Konstruktive Revisionsmethoden
Maximale Kontraktionsmengen 3/3
Für deduktiv abgeschlossene Teilmengen M ⊆ K gilt:
Mod (M ) = Mod (K) ∪ {ω0 }
M ∈ K ⊥ A gdw.
für ein ω0 ∈ Mod (¬A)
Sei ϕ0 die (Voll)Konjunktion, die Mod (ϕ0 ) = ω0 erfüllt, sei K = Cn(ψ).
Dann lässt sich nach obiger Aussage jedes M ∈ K ⊥ A schreiben in der
Form
M = K ∩ Cn(ϕ0 ) = Cn(ψ ∨ ϕ0 ).
Umgekehrt ist jedes solche M ein Element von K ⊥ A.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
61 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Konstruktive Revisionsmethoden
Notizen
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
61 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Konstruktive Revisionsmethoden
Notizen
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
61 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Konstruktive Revisionsmethoden
Kontraktionsmengen und Selektionsfunktionen
Eine Selektionsfunktion S wird realisiert durch Auswahl einer Teilmenge
der “besten” Mengen aus K ⊥ A
S(K ⊥ A) ⊆ K ⊥ A
mit
• S(K ⊥ A) 6= ∅, wenn K ⊥ A 6= ∅, und
• S(K ⊥ A) = K, wenn K ⊥ A = ∅.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
62 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Konstruktive Revisionsmethoden
Notizen
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
62 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Konstruktive Revisionsmethoden
Partial Meet-Kontraktion
Ist S eine Selektionsfunktion auf K ⊥ A, so wird durch
K −A=
T
S(K ⊥ A)
eine Kontraktion definiert (Partial Meet-Kontraktion).
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
63 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Konstruktive Revisionsmethoden
Partial Meet-Kontraktion
Ist S eine Selektionsfunktion auf K ⊥ A, so wird durch
K −A=
T
S(K ⊥ A)
eine Kontraktion definiert (Partial Meet-Kontraktion).
Theorem 2
Sei K eine Wissensmenge. Ein Kontraktionsoperator − erfüllt genau dann
die AGM-Postulate (AGM -1) – (AGM -6), wenn er als Partial
Meet-Kontraktion realisiert werden kann.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
63 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Konstruktive Revisionsmethoden
Notizen
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
63 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Konstruktive Revisionsmethoden
Relationale Selektionsfunktionen
Wir betrachten die Menge aller maximalen Kontraktionsmengen von K
M(K) =
S
A∈K,6`A
K⊥A
d.h. M(K) ist die Menge aller echten Untertheorien von K.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
64 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Konstruktive Revisionsmethoden
Relationale Selektionsfunktionen
Wir betrachten die Menge aller maximalen Kontraktionsmengen von K
M(K) =
S
A∈K,6`A
K⊥A
d.h. M(K) ist die Menge aller echten Untertheorien von K.
Eine Selektionsfunktion kann z.B. mittels einer (reflexiven) Relation ≤
über M(K) definiert werden:
S(K ⊥ A) = {M ∈ K ⊥ A | M < M 0 für kein M 0 ∈ K ⊥ A}
S heißt dann relationale Selektionsfunktion, und der dadurch definierte
Kontraktionsoperator heißt relationale Partial Meet-Kontraktion.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
64 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Konstruktive Revisionsmethoden
Relationale Partial Meet-Kontraktion
Theorem 3
Sei K eine Wissensmenge. Der Kontraktionsoperator − erfüllt die
AGM-Postulate (AGM -1) – (AGM -8) genau dann, wenn − eine
relationale Partial Meet-Kontraktion ist mit einer transitiven Relation.
Eine wichtige Konsequenz der Transitivität ist die folgende Aussage:
Ist (K ⊥ A) ∩ S(K ⊥ AB) 6= ∅, so ist
S(K ⊥ A) ⊆ S(K ⊥ AB).
Dies impliziert: K − (A ∧ B) ⊆ K − A
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
(→ (AGM -8))
WS 2015/16
65 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Konstruktive Revisionsmethoden
Notizen
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
65 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Konstruktive Revisionsmethoden
Partial Meet-Kontraktion – Beispiel 1/2
A
B
B⇒C
A∧C ⇒D
a priori-Wissen:
(Knut ist ein) Bär . . .
. . . (und lebte in) Berlin.
Berlin ist eine Stadt in Europa.
Alle europäischen Bären sind braun.
K = Cn({A, B, B ⇒ C, A ∧ C ⇒ D})
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
66 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Konstruktive Revisionsmethoden
Partial Meet-Kontraktion – Beispiel 1/2
A
B
B⇒C
A∧C ⇒D
(Knut ist ein) Bär . . .
. . . (und lebte in) Berlin.
Berlin ist eine Stadt in Europa.
Alle europäischen Bären sind braun.
a priori-Wissen:
neue Information:
K = Cn({A, B, B ⇒ C, A ∧ C ⇒ D})
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Vergiss D!
DVEW
WS 2015/16
66 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Konstruktive Revisionsmethoden
Partial Meet-Kontraktion – Beispiel 2/2
maximale Kontraktionsmengen von K bzgl. D z.B.

M1 =Cn({B, C, A ⇔ D})




K⊥D3




G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
67 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Konstruktive Revisionsmethoden
Partial Meet-Kontraktion – Beispiel 2/2
maximale Kontraktionsmengen von K bzgl. D z.B.

M1 =Cn({B, C, A ⇔ D})



 M =Cn({A, B ⇔ D, C ⇔ D})
2
K⊥D3




G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
67 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Konstruktive Revisionsmethoden
Partial Meet-Kontraktion – Beispiel 2/2
maximale Kontraktionsmengen von K bzgl. D z.B.

M1 =Cn({B, C, A ⇔ D})



 M =Cn({A, B ⇔ D, C ⇔ D})
2
K⊥D3

M
3 =Cn({A, B, C ⇔ D})



M4 =Cn({A, B, C})
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
67 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Konstruktive Revisionsmethoden
Partial Meet-Kontraktion – Beispiel 2/2
maximale Kontraktionsmengen von K bzgl. D z.B.

M1 =Cn({B, C, A ⇔ D})



 M =Cn({A, B ⇔ D, C ⇔ D})
2
K⊥D3

M
3 =Cn({A, B, C ⇔ D})



M4 =Cn({A, B, C})
Wähle S(K ⊥ D) = {M1 , M4 };
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
67 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Konstruktive Revisionsmethoden
Partial Meet-Kontraktion – Beispiel 2/2
maximale Kontraktionsmengen von K bzgl. D z.B.

M1 =Cn({B, C, A ⇔ D})



 M =Cn({A, B ⇔ D, C ⇔ D})
2
K⊥D3

M
3 =Cn({A, B, C ⇔ D})



M4 =Cn({A, B, C})
Wähle S(K ⊥ D) = {M1 , M4 }; die resultierende Kontraktion ist dann
K − D = M1 ∩ M 4
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
67 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Konstruktive Revisionsmethoden
Partial Meet-Kontraktion – Beispiel 2/2
maximale Kontraktionsmengen von K bzgl. D z.B.

M1 =Cn({B, C, A ⇔ D})



 M =Cn({A, B ⇔ D, C ⇔ D})
2
K⊥D3

M
3 =Cn({A, B, C ⇔ D})



M4 =Cn({A, B, C})
Wähle S(K ⊥ D) = {M1 , M4 }; die resultierende Kontraktion ist dann
K − D = M1 ∩ M4 = Cn({B, C, D ⇒ A})
d.h. z.B. B, C ∈ K − D.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
♣
DVEW
WS 2015/16
67 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Konstruktive Revisionsmethoden
Notizen
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
67 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Konstruktive Revisionsmethoden
Partial Meet-Kontraktion – Extremfälle 1/2
Die Selektionsfunktion S wählt (z.B.) genau eine Menge aus K ⊥ A aus:
| S(K ⊥ A) |= 1
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
68 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Konstruktive Revisionsmethoden
Partial Meet-Kontraktion – Extremfälle 1/2
Die Selektionsfunktion S wählt (z.B.) genau eine Menge aus K ⊥ A aus:
| S(K ⊥ A) |= 1
−→ Maxichoice-Kontraktionsoperator:
K − A = S(K ⊥ A)
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
68 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Konstruktive Revisionsmethoden
Partial Meet-Kontraktion – Extremfälle 1/2
Die Selektionsfunktion S wählt (z.B.) genau eine Menge aus K ⊥ A aus:
| S(K ⊥ A) |= 1
−→ Maxichoice-Kontraktionsoperator:
K − A = S(K ⊥ A)
Theorem 4
Der Revisionsoperator ∗ werde mittels der Levi-Identität durch einen
Maxichoice-Kontraktionsoperator definiert. Dann ist für jedes A mit
¬A ∈ K die Wissensmenge K ∗ A maximal, d.h. für jede Formel B liegt
entweder B oder ¬B in K ∗ A.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
68 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Konstruktive Revisionsmethoden
Partial Meet-Kontraktion – Extremfälle 1/2
Die Selektionsfunktion S wählt (z.B.) genau eine Menge aus K ⊥ A aus:
| S(K ⊥ A) |= 1
−→ Maxichoice-Kontraktionsoperator:
K − A = S(K ⊥ A)
Theorem 4
Der Revisionsoperator ∗ werde mittels der Levi-Identität durch einen
Maxichoice-Kontraktionsoperator definiert. Dann ist für jedes A mit
¬A ∈ K die Wissensmenge K ∗ A maximal, d.h. für jede Formel B liegt
entweder B oder ¬B in K ∗ A.
Eine Maxichoice-Revision lässt also keine Unwissenheit mehr zu.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
68 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Konstruktive Revisionsmethoden
Partial Meet-Kontraktion – Extremfälle 2/2
Die Selektionsfunktion S wählt (z.B.) alle Mengen aus K ⊥ A aus:
S(K ⊥ A) = K ⊥ A
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
69 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Konstruktive Revisionsmethoden
Partial Meet-Kontraktion – Extremfälle 2/2
Die Selektionsfunktion S wählt (z.B.) alle Mengen aus K ⊥ A aus:
S(K ⊥ A) = K ⊥ A
−→ Full Meet-Kontraktionsoperator:
K −A=
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
T
(K ⊥ A)
DVEW
WS 2015/16
69 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Konstruktive Revisionsmethoden
Partial Meet-Kontraktion – Extremfälle 2/2
Die Selektionsfunktion S wählt (z.B.) alle Mengen aus K ⊥ A aus:
S(K ⊥ A) = K ⊥ A
−→ Full Meet-Kontraktionsoperator:
K −A=
T
(K ⊥ A)
Theorem 5
Der Revisionsoperator ∗ werde mittels Levi-Identität durch einen Full
Meet-Kontraktionsoperator definiert. Dann gilt für jedes A mit ¬A ∈ K:
K ∗ A = Cn({A}).
Eine Full Meet-Revision wird also in der Regel viel zu kleine
Wissensmengen berechnen.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
69 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Konstruktive Revisionsmethoden
Notizen
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
69 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Konstruktive Revisionsmethoden
Epistemische Verwurzelung 1/3
Der Begriff der epistemischen Verwurzelung bezieht sich darauf, dass Teile
unseres Wissens tiefer und fester verankert sind als andere, im Fall von
konfligierender Information also weniger leicht aufgegeben werden.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
70 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Konstruktive Revisionsmethoden
Epistemische Verwurzelung 1/3
Der Begriff der epistemischen Verwurzelung bezieht sich darauf, dass Teile
unseres Wissens tiefer und fester verankert sind als andere, im Fall von
konfligierender Information also weniger leicht aufgegeben werden.
Besonders tief epistemisch verwurzelt ist z.B.
• das Wissen um Naturgesetze: Wegen der Schwerkraft fallen Dinge
nach unten, wenn wir sie loslassen;
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
70 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Konstruktive Revisionsmethoden
Epistemische Verwurzelung 1/3
Der Begriff der epistemischen Verwurzelung bezieht sich darauf, dass Teile
unseres Wissens tiefer und fester verankert sind als andere, im Fall von
konfligierender Information also weniger leicht aufgegeben werden.
Besonders tief epistemisch verwurzelt ist z.B.
• das Wissen um Naturgesetze: Wegen der Schwerkraft fallen Dinge
nach unten, wenn wir sie loslassen;
• das Wissen um definitorische Hierarchien: Pinguine sind Vögel sind
Tiere.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
70 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Konstruktive Revisionsmethoden
Epistemische Verwurzelung 1/3
Der Begriff der epistemischen Verwurzelung bezieht sich darauf, dass Teile
unseres Wissens tiefer und fester verankert sind als andere, im Fall von
konfligierender Information also weniger leicht aufgegeben werden.
Besonders tief epistemisch verwurzelt ist z.B.
• das Wissen um Naturgesetze: Wegen der Schwerkraft fallen Dinge
nach unten, wenn wir sie loslassen;
• das Wissen um definitorische Hierarchien: Pinguine sind Vögel sind
Tiere.
Epistemische Verwurzelung und Kontraktion sind eng miteinander
gekoppelt: Wenn auf einer Wissensmenge K eine Kontraktionsoperation
durchgeführt werden muss, so wird zunächst das Wissen aufgegeben, dass
am wenigstens tief epistemisch verwurzelt ist.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
70 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Konstruktive Revisionsmethoden
Epistemische Verwurzelung 2/3
Epistemische Verwurzelung wird durch eine Relation < zwischen logischen
Formeln/Sätzen ausgedrückt:
bedeutet:
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
A<B
B ist epistemisch mehr verwurzelt als A
DVEW
WS 2015/16
71 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Konstruktive Revisionsmethoden
Epistemische Verwurzelung 2/3
Epistemische Verwurzelung wird durch eine Relation < zwischen logischen
Formeln/Sätzen ausgedrückt:
bedeutet:
A<B
B ist epistemisch mehr verwurzelt als A
wobei < die folgenden Eigenschaften besitzt:
(EE1) Irreflexivität: Es gilt nicht A < A.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
71 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Konstruktive Revisionsmethoden
Epistemische Verwurzelung 2/3
Epistemische Verwurzelung wird durch eine Relation < zwischen logischen
Formeln/Sätzen ausgedrückt:
bedeutet:
A<B
B ist epistemisch mehr verwurzelt als A
wobei < die folgenden Eigenschaften besitzt:
(EE1) Irreflexivität: Es gilt nicht A < A.
(EE2↑) Aufwärts-Folgerung: Wenn A < B und B |= C, dann A < C.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
71 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Konstruktive Revisionsmethoden
Epistemische Verwurzelung 2/3
Epistemische Verwurzelung wird durch eine Relation < zwischen logischen
Formeln/Sätzen ausgedrückt:
bedeutet:
A<B
B ist epistemisch mehr verwurzelt als A
wobei < die folgenden Eigenschaften besitzt:
(EE1) Irreflexivität: Es gilt nicht A < A.
(EE2↑) Aufwärts-Folgerung: Wenn A < B und B |= C, dann A < C.
(EE2↓) Abwärts-Folgerung: Wenn A < B und C |= A, dann C < B.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
71 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Konstruktive Revisionsmethoden
Epistemische Verwurzelung 2/3
Epistemische Verwurzelung wird durch eine Relation < zwischen logischen
Formeln/Sätzen ausgedrückt:
bedeutet:
A<B
B ist epistemisch mehr verwurzelt als A
wobei < die folgenden Eigenschaften besitzt:
(EE1)
(EE2↑)
(EE2↓)
(EE3↑)
Irreflexivität: Es gilt nicht A < A.
Aufwärts-Folgerung: Wenn A < B und B |= C, dann A < C.
Abwärts-Folgerung: Wenn A < B und C |= A, dann C < B.
Aufwärts-Konjunktion: Wenn A < B und A < C, dann
A < B ∧ C.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
71 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Konstruktive Revisionsmethoden
Epistemische Verwurzelung 3/3
(EE3↓) Abwärts-Konjunktion: Wenn A ∧ B < B, dann A < B.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
72 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Konstruktive Revisionsmethoden
Epistemische Verwurzelung 3/3
(EE3↓) Abwärts-Konjunktion: Wenn A ∧ B < B, dann A < B.
(EE4) Virtuelle Konnektivität: Wenn A < B, dann A < C oder
C < B für eine beliebige Formel C.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
72 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Konstruktive Revisionsmethoden
Epistemische Verwurzelung 3/3
(EE3↓) Abwärts-Konjunktion: Wenn A ∧ B < B, dann A < B.
(EE4) Virtuelle Konnektivität: Wenn A < B, dann A < C oder
C < B für eine beliebige Formel C.
(EE5) Minimalität: Wenn K konsistent ist, dann A ∈ K gdw.
B < A für mindestens ein B.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
72 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Konstruktive Revisionsmethoden
Epistemische Verwurzelung 3/3
(EE3↓) Abwärts-Konjunktion: Wenn A ∧ B < B, dann A < B.
(EE4) Virtuelle Konnektivität: Wenn A < B, dann A < C oder
C < B für eine beliebige Formel C.
(EE5) Minimalität: Wenn K konsistent ist, dann A ∈ K gdw.
B < A für mindestens ein B.
(EE5’) K-Repräsentation: Wenn A ∈ K und B 6∈ K, dann B < A.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
72 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Konstruktive Revisionsmethoden
Epistemische Verwurzelung 3/3
(EE3↓) Abwärts-Konjunktion: Wenn A ∧ B < B, dann A < B.
(EE4) Virtuelle Konnektivität: Wenn A < B, dann A < C oder
C < B für eine beliebige Formel C.
(EE5) Minimalität: Wenn K konsistent ist, dann A ∈ K gdw.
B < A für mindestens ein B.
(EE5’) K-Repräsentation: Wenn A ∈ K und B 6∈ K, dann B < A.
(EE6) Maximalität: Wenn A keine Tautologie ist, dann A < B für
mindestens ein B.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
72 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Konstruktive Revisionsmethoden
Epistemische Verwurzelung – Eigenschaften
Eine Verwurzelungsrelation < erfüllt weiterhin die folgenden Aussagen:
• Extensionalität: Wenn A < B und A ≡ A0 und B ≡ B 0 , dann auch
A0 < B 0 .
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
73 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Konstruktive Revisionsmethoden
Epistemische Verwurzelung – Eigenschaften
Eine Verwurzelungsrelation < erfüllt weiterhin die folgenden Aussagen:
• Extensionalität: Wenn A < B und A ≡ A0 und B ≡ B 0 , dann auch
A0 < B 0 .
• Wenn A ∧ C < B ∧ C, dann A < B.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
73 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Konstruktive Revisionsmethoden
Epistemische Verwurzelung – Eigenschaften
Eine Verwurzelungsrelation < erfüllt weiterhin die folgenden Aussagen:
• Extensionalität: Wenn A < B und A ≡ A0 und B ≡ B 0 , dann auch
A0 < B 0 .
• Wenn A ∧ C < B ∧ C, dann A < B.
• Wenn A < B und C < D, dann A ∧ C < B ∧ D.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
73 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Konstruktive Revisionsmethoden
Epistemische Verwurzelung – Eigenschaften
Eine Verwurzelungsrelation < erfüllt weiterhin die folgenden Aussagen:
• Extensionalität: Wenn A < B und A ≡ A0 und B ≡ B 0 , dann auch
A0 < B 0 .
• Wenn A ∧ C < B ∧ C, dann A < B.
• Wenn A < B und C < D, dann A ∧ C < B ∧ D.
• Asymmetrie: Wenn A < B, dann nicht B < A.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
73 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Konstruktive Revisionsmethoden
Epistemische Verwurzelung – Eigenschaften
Eine Verwurzelungsrelation < erfüllt weiterhin die folgenden Aussagen:
• Extensionalität: Wenn A < B und A ≡ A0 und B ≡ B 0 , dann auch
A0 < B 0 .
• Wenn A ∧ C < B ∧ C, dann A < B.
• Wenn A < B und C < D, dann A ∧ C < B ∧ D.
• Asymmetrie: Wenn A < B, dann nicht B < A.
• Transitivität: Wenn A < B und B < C, dann A < C.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
73 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Konstruktive Revisionsmethoden
Epistemische Verwurzelung – Eigenschaften
Eine Verwurzelungsrelation < erfüllt weiterhin die folgenden Aussagen:
• Extensionalität: Wenn A < B und A ≡ A0 und B ≡ B 0 , dann auch
A0 < B 0 .
• Wenn A ∧ C < B ∧ C, dann A < B.
• Wenn A < B und C < D, dann A ∧ C < B ∧ D.
• Asymmetrie: Wenn A < B, dann nicht B < A.
• Transitivität: Wenn A < B und B < C, dann A < C.
• A < A ∨ B gdw. A ∨ ¬B < A ∨ B.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
73 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Konstruktive Revisionsmethoden
Epistemische Verwurzelung und Kontraktion 1/2
Eine Verwurzelungsrelation < und ein Kontraktionsoperator − können
durch die folgenden beiden Bedingungen miteinander verknüpft werden:
(C<)
A < B gdw. A 6∈ K − (A ∧ B) und B ∈ K − (A ∧ B).
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
74 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Konstruktive Revisionsmethoden
Epistemische Verwurzelung und Kontraktion 1/2
Eine Verwurzelungsrelation < und ein Kontraktionsoperator − können
durch die folgenden beiden Bedingungen miteinander verknüpft werden:
(C<)
(C−)
A < B gdw. A 6∈ K − (A ∧ B) und B ∈ K − (A ∧ B).
B ∈ K − A gdw. B ∈ K, und es gilt
oder
oder
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
A<A∨B
A 6∈ K
nicht A < >
WS 2015/16
74 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Konstruktive Revisionsmethoden
Motivation für (C−) 1/2
Idee:
(C<) und (C−) sollen so zusammenpassen, dass
• mittels (C<) eine Verwurzelungsrelation aus einem
AGM-Kontraktionsoperator und
• mittels (C−) ein AGM-Kontraktionsoperator aus einer
Verwurzelungsrelation
definiert werden können, wobei die jeweils andere Bedingung auch erfüllt
sein soll.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
75 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Konstruktive Revisionsmethoden
Motivation für (C−) 2/2
• Ist A 6∈ K oder nicht A < >, so besagt (C−): K − A = K.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
76 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Konstruktive Revisionsmethoden
Motivation für (C−) 2/2
• Ist A 6∈ K oder nicht A < >, so besagt (C−): K − A = K.
• Sei A ∈ K. Wir benutzen (C<) mit A ∨ B anstelle von B, wobei zu
beachten ist, dass A ∧ (A ∨ B) = A ist :
A < A ∨ B gdw. A 6∈ K − A und A ∨ B ∈ K − A
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
76 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Konstruktive Revisionsmethoden
Motivation für (C−) 2/2
• Ist A 6∈ K oder nicht A < >, so besagt (C−): K − A = K.
• Sei A ∈ K. Wir benutzen (C<) mit A ∨ B anstelle von B, wobei zu
beachten ist, dass A ∧ (A ∨ B) = A ist :
A < A ∨ B gdw. A 6∈ K − A und A ∨ B ∈ K − A
Nehmen wir nun die Gültigkeit des Recovery-Postulats
(AGM -5) K ⊆ (K − A) + A
an, so kann man auch K − A 3 A ⇒ B ≡ ¬A ∨ B wegen B ∈ K
annehmen.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
76 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Konstruktive Revisionsmethoden
Motivation für (C−) 2/2
• Ist A 6∈ K oder nicht A < >, so besagt (C−): K − A = K.
• Sei A ∈ K. Wir benutzen (C<) mit A ∨ B anstelle von B, wobei zu
beachten ist, dass A ∧ (A ∨ B) = A ist :
A < A ∨ B gdw. A 6∈ K − A und A ∨ B ∈ K − A
Nehmen wir nun die Gültigkeit des Recovery-Postulats
(AGM -5) K ⊆ (K − A) + A
an, so kann man auch K − A 3 A ⇒ B ≡ ¬A ∨ B wegen B ∈ K
annehmen. Insgesamt also
A < A ∨ B gdw. A 6∈ K − A und B ∈ K − A
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
76 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Konstruktive Revisionsmethoden
Notizen
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
76 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Konstruktive Revisionsmethoden
Epistemische Verwurzelung und Kontraktion 2/2
Zwischen AGM-Kontraktion und epistemischer Verwurzelung besteht der
folgende Zusammenhang:
• Ist < eine epistemische Verwurzelung, so definiert (C−) eine
Kontraktionsfunktion, die die AGM-Kontraktionspostulate
erfüllt, und die Bedingung (C<) ist erfüllt.
• Ist − eine AGM-Kontraktion, so definiert (C<) eine
epistemische Verwurzelung, und die Bedingung (C−) ist
erfüllt.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
77 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Konstruktive Revisionsmethoden
Epistemische Verwurzelung und Kontraktion 2/2
Zwischen AGM-Kontraktion und epistemischer Verwurzelung besteht der
folgende Zusammenhang:
• Ist < eine epistemische Verwurzelung, so definiert (C−) eine
Kontraktionsfunktion, die die AGM-Kontraktionspostulate
erfüllt, und die Bedingung (C<) ist erfüllt.
• Ist − eine AGM-Kontraktion, so definiert (C<) eine
epistemische Verwurzelung, und die Bedingung (C−) ist
erfüllt.
Das Problem, geeignete Kontraktionen (und damit auch Revisionen) zu
definieren, lässt sich also auf das Problem zurückführen, Wissen (i.e.
Formeln) nach ihrem Verwurzelungsgrad zu ordnen.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
77 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Konstruktive Revisionsmethoden
Epistemische Verwurzelung – Beispiel
A
B
B⇒C
A∧C ⇒D
a priori-Wissen:
(Knut ist ein) Bär . . .
. . . (und lebte in) Berlin.
Berlin ist eine Stadt in Europa.
Alle europäischen Bären sind braun.
K = Cn({A, B, B ⇒ C, A ∧ C ⇒ D})
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
78 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Konstruktive Revisionsmethoden
Epistemische Verwurzelung – Beispiel
A
B
B⇒C
A∧C ⇒D
(Knut ist ein) Bär . . .
. . . (und lebte in) Berlin.
Berlin ist eine Stadt in Europa.
Alle europäischen Bären sind braun.
a priori-Wissen:
neue Information:
K = Cn({A, B, B ⇒ C, A ∧ C ⇒ D})
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
Vergiss D!
DVEW
WS 2015/16
78 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Konstruktive Revisionsmethoden
Epistemische Verwurzelung – Beispiel
A
B
B⇒C
A∧C ⇒D
(Knut ist ein) Bär . . .
. . . (und lebte in) Berlin.
Berlin ist eine Stadt in Europa.
Alle europäischen Bären sind braun.
a priori-Wissen:
neue Information:
K = Cn({A, B, B ⇒ C, A ∧ C ⇒ D})
Vergiss D!
Epistemische Verwurzelungs-Relation eines Agenten:
A<A∧C ⇒D <B <B ⇒C
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
78 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Konstruktive Revisionsmethoden
Epistemische Verwurzelung – Beispiel
A
B
B⇒C
A∧C ⇒D
(Knut ist ein) Bär . . .
. . . (und lebte in) Berlin.
Berlin ist eine Stadt in Europa.
Alle europäischen Bären sind braun.
a priori-Wissen:
neue Information:
K = Cn({A, B, B ⇒ C, A ∧ C ⇒ D})
Vergiss D!
Epistemische Verwurzelungs-Relation eines Agenten:
A<A∧C ⇒D <B <B ⇒C
Dann ist
K − D = Cn({B, B ⇒ C, A ∧ C ⇒ D})
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
78 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Wissensrevision und nichtmonotone Logiken
Übersicht Kapitel 7
7.1 Einführung
7.2 AGM-Theorie
7.3 Konstruktive Revisionsmethoden
7.4 Wissensrevision und nichtmonotone Logiken
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
79 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Wissensrevision und nichtmonotone Logiken
Kapitel 7
7. Wissensrevision (Belief Revision)
7.4 Wissensrevision und nichtmonotone
Logiken
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
80 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Wissensrevision und nichtmonotone Logiken
Revision (BR) und nichtmonotone Logik (NMR)
1/2
• Wissensrevision behandelt das Problem, wie sich der Wissenszustand
eines Agenten bei neuer Information ändert.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
81 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Wissensrevision und nichtmonotone Logiken
Revision (BR) und nichtmonotone Logik (NMR)
1/2
• Wissensrevision behandelt das Problem, wie sich der Wissenszustand
eines Agenten bei neuer Information ändert.
• Nichtmonotone Logiken bilden einen logischen Rahmen für die
Modellierung revidierbaren Schlussfolgerns.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
81 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Wissensrevision und nichtmonotone Logiken
Revision (BR) und nichtmonotone Logik (NMR)
1/2
• Wissensrevision behandelt das Problem, wie sich der Wissenszustand
eines Agenten bei neuer Information ändert.
• Nichtmonotone Logiken bilden einen logischen Rahmen für die
Modellierung revidierbaren Schlussfolgerns.
• Beide Gebiete beschreiben “sinnvolle” Operationen durch eine Menge
von Postulaten bzw. Eigenschaften.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
81 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Wissensrevision und nichtmonotone Logiken
Revision (BR) und nichtmonotone Logik (NMR)
2/2
Wissensrevision ist nichtmonoton:
• Möglich: K1 ⊆ K2 , aber K1 ∗ A 6⊆ K2 ∗ A
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
82 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Wissensrevision und nichtmonotone Logiken
Revision (BR) und nichtmonotone Logik (NMR)
2/2
Wissensrevision ist nichtmonoton:
• Möglich: K1 ⊆ K2 , aber K1 ∗ A 6⊆ K2 ∗ A;
• Möglich: Cn(A) ⊆ Cn(B), aber K ∗ A 6⊆ K ∗ B.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
82 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Wissensrevision und nichtmonotone Logiken
Revision (BR) und nichtmonotone Logik (NMR)
2/2
Wissensrevision ist nichtmonoton:
• Möglich: K1 ⊆ K2 , aber K1 ∗ A 6⊆ K2 ∗ A;
• Möglich: Cn(A) ⊆ Cn(B), aber K ∗ A 6⊆ K ∗ B.
Zentrale Idee:
B ∈K ∗A
bzw.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
gdw. A |∼ (K) B
CK (A) = K ∗ A
DVEW
WS 2015/16
82 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Wissensrevision und nichtmonotone Logiken
AGM-BR → NMR 1/3
Die AGM-Postulate für Revision lassen sich in Eigenschaften der
(zugehörigen) nichtmonotonen Inferenz |∼ = |∼K übersetzen:
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
83 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Wissensrevision und nichtmonotone Logiken
AGM-BR → NMR 1/3
Die AGM-Postulate für Revision lassen sich in Eigenschaften der
(zugehörigen) nichtmonotonen Inferenz |∼ = |∼K übersetzen:
(AGM *2)
A ∈ K ∗ A.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
83 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Wissensrevision und nichtmonotone Logiken
AGM-BR → NMR 1/3
Die AGM-Postulate für Revision lassen sich in Eigenschaften der
(zugehörigen) nichtmonotonen Inferenz |∼ = |∼K übersetzen:
(AGM *2) A ∈ K ∗ A.
Hieraus folgt die Reflexivität von |∼K , denn:
A∈K ∗A
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
gdw. A |∼K A
DVEW
WS 2015/16
83 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Wissensrevision und nichtmonotone Logiken
AGM-BR → NMR 1/3
Die AGM-Postulate für Revision lassen sich in Eigenschaften der
(zugehörigen) nichtmonotonen Inferenz |∼ = |∼K übersetzen:
(AGM *2) A ∈ K ∗ A.
Hieraus folgt die Reflexivität von |∼K , denn:
A∈K ∗A
gdw. A |∼K A
(AGM *6) Gilt A ≡ B, dann gilt auch K ∗ A = K ∗ B.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
83 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Wissensrevision und nichtmonotone Logiken
AGM-BR → NMR 1/3
Die AGM-Postulate für Revision lassen sich in Eigenschaften der
(zugehörigen) nichtmonotonen Inferenz |∼ = |∼K übersetzen:
(AGM *2) A ∈ K ∗ A.
Hieraus folgt die Reflexivität von |∼K , denn:
A∈K ∗A
gdw. A |∼K A
(AGM *6) Gilt A ≡ B, dann gilt auch K ∗ A = K ∗ B.
Hieraus folgt (direkt):
Wenn
A ≡ B,
dann (A |∼K C gdw. B |∼K C)
D.h. aus logisch äquivalenten Formeln kann nichtmonoton dasselbe
gefolgert werden.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
83 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Wissensrevision und nichtmonotone Logiken
AGM-BR → NMR 2/3
(AGM *7) K ∗ (A ∧ B) ⊆ (K ∗ A) + B.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
84 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Wissensrevision und nichtmonotone Logiken
AGM-BR → NMR 2/3
(AGM *7) K ∗ (A ∧ B) ⊆ (K ∗ A) + B.
Hieraus folgt (im Wesentlichen) die Schnitteigenschaft:
Wenn A |∼K B, A ∧ B |∼K C, dann A |∼K C
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
84 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Wissensrevision und nichtmonotone Logiken
AGM-BR → NMR 2/3
(AGM *7) K ∗ (A ∧ B) ⊆ (K ∗ A) + B.
Hieraus folgt (im Wesentlichen) die Schnitteigenschaft:
Wenn A |∼K B, A ∧ B |∼K C, dann A |∼K C
denn: A |∼K B
bedeutet B ∈ K ∗ A
A ∧ B |∼K C bedeutet C ∈ K ∗ (A ∧ B)
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
84 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Wissensrevision und nichtmonotone Logiken
AGM-BR → NMR 2/3
(AGM *7) K ∗ (A ∧ B) ⊆ (K ∗ A) + B.
Hieraus folgt (im Wesentlichen) die Schnitteigenschaft:
Wenn A |∼K B, A ∧ B |∼K C, dann A |∼K C
denn: A |∼K B
bedeutet B ∈ K ∗ A
A ∧ B |∼K C bedeutet C ∈ K ∗ (A ∧ B)
Gemeinsam mit (AGM *3) und (AGM *4) folgt wegen (AGM *7)
K ∗ (A ∧ B) ⊆ (K ∗ A) + B = K ∗ A,
also auch C ∈ K ∗ A und damit A |∼K C.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
84 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Wissensrevision und nichtmonotone Logiken
AGM-BR → NMR 3/3
(AGM *8) Ist ¬B ∈
/ K ∗ A, dann gilt: (K ∗ A) + B ⊆ K ∗ (A ∧ B).
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
85 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Wissensrevision und nichtmonotone Logiken
AGM-BR → NMR 3/3
(AGM *8) Ist ¬B ∈
/ K ∗ A, dann gilt: (K ∗ A) + B ⊆ K ∗ (A ∧ B).
Hieraus folgt (im Wesentlichen) die vorsichtige Monotonie:
Wenn A |∼K B, A |∼K C, dann A ∧ B |∼K C
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
85 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Wissensrevision und nichtmonotone Logiken
AGM-BR → NMR 3/3
(AGM *8) Ist ¬B ∈
/ K ∗ A, dann gilt: (K ∗ A) + B ⊆ K ∗ (A ∧ B).
Hieraus folgt (im Wesentlichen) die vorsichtige Monotonie:
Wenn A |∼K B, A |∼K C, dann A ∧ B |∼K C
unter der Annahme, dass A konsistent ist, denn:
A |∼K B bedeutet B ∈ K ∗ A
A |∼K C bedeutet C ∈ K ∗ A.
A ist konsistent, also ist (wegen (AGM *5)) auch K ∗ A konsistent; mit
B ∈ K ∗ A ist dann ¬B ∈
/ K ∗ A, d.h. es gilt
K ∗ A = (K ∗ A) + B ⊆ K ∗ (A ∧ B).
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
85 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Wissensrevision und nichtmonotone Logiken
AGM-BR → NMR 3/3
(AGM *8) Ist ¬B ∈
/ K ∗ A, dann gilt: (K ∗ A) + B ⊆ K ∗ (A ∧ B).
Hieraus folgt (im Wesentlichen) die vorsichtige Monotonie:
Wenn A |∼K B, A |∼K C, dann A ∧ B |∼K C
unter der Annahme, dass A konsistent ist, denn:
A |∼K B bedeutet B ∈ K ∗ A
A |∼K C bedeutet C ∈ K ∗ A.
A ist konsistent, also ist (wegen (AGM *5)) auch K ∗ A konsistent; mit
B ∈ K ∗ A ist dann ¬B ∈
/ K ∗ A, d.h. es gilt
K ∗ A = (K ∗ A) + B ⊆ K ∗ (A ∧ B).
Damit ist dann C ∈ K ∗ (A ∧ B), also A ∧ B |∼K C.
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
85 / 85
Wissensrevision (Belief Revision)
Wissensrevision und nichtmonotone Logiken
Notizen
G. Kern-Isberner (TU Dortmund)
DVEW
WS 2015/16
85 / 85