aufbaukurs mechanik - Universität Innsbruck

Studienblätter zum
AUFBAUKURS MECHANIK
LVA Nr. 844.501
Wintersemester 2010/11
Verfasser:
Univ.Prof. Dipl.-Ing. Dr. Christoph Adam
Vortragende:
Univ.Prof. Dipl.-Ing. Dr. Christoph Adam
Dipl.-Ing. Alexander Tributsch
Arbeitsbereich für Angewandte Mechanik
Institut für Grundlagen der Bauingenieurwissenschaften
Leopold-Franzens-Universität Innsbruck
Studienblätter1 zum
AUFBAUKURS MECHANIK
LVA Nr. 844.501
Wintersemester 2010/11
Verfasser:
Univ.Prof. Dipl.-Ing. Dr. Christoph Adam
Vortragende:
Univ.Prof. Dipl.-Ing. Dr. Christoph Adam
Dipl.-Ing. Alexander Tributsch
Diese Unterlagen1 dienen ausschließlich als begleitendes Studienmaterial zum Aufbaukurs
aus Mechanik (LVA Nr. 844.501), der von C. Adam und A. Tributsch an der LeopoldFranzens-Universität Innsbruck abgehalten wird. Ohne schriftliche Genehmigung des Verfassers ist es nicht gestattet, die Studienblätter oder Teile daraus zu vervielfältigen.
Die Studienblätter wurden nach bestem Wissen und Gewissen angefertigt. Für den Inhalt wird
aber keine Gewähr übernommen. Entsprechende Hinweise über Fehler nimmt der Verfasser
gerne entgegen.
___________________________________________________________________________
Copyright©2010 Christoph Adam. Alle Rechte vorbehalten.
1
AUFBAUKURS MECHANIK (LVA Nr. 844.501) WS 2010/11
Univ.Prof. Dipl.-Ing. Dr. Christoph Adam
ii
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Vorwort
Mechanik ist eines der wesentlichsten Fundamente der Ingenieurin und des Ingenieurs, und
gute Kenntnisse in diesem Fach werden Ihnen bei Ihrem weiteren Studium, aber noch wichtiger, in Ihrem Berufsleben eine unentbehrliche Stütze sein. Im Aufbaukurs sollen Sie in die
Welt der Mechanik hineinschnuppern. Je nach besuchtem Schultypus haben Sie schon einiges
davon im Physik/Mechanik/Statik-Unterricht gehört. Es werden die wichtigsten Grundprinzipien der Mechanik vorgestellt und Beispiele dazu gerechnet. Besonderes Augenmerk wird
dabei auf die mechanische Modellbildung gelegt. Außerdem werden die für die Vorlesung aus
Mechanik 1 notwendigen mathematischen Grundlagen erläutert.
Viel Erfolg bei Ihrem Studium!
Innsbruck, im September 2010
Christoph Adam
AUFBAUKURS MECHANIK (LVA Nr. 844.501) WS 2010/11
Univ.Prof. Dipl.-Ing. Dr. Christoph Adam
1
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
GRUNDBEGRIFFE DER MECHANIK
Einteilung der Mechanik
Die Mechanik ist die Lehre von ruhenden und bewegten Körpern, auf die Kräfte einwirken.
Sie ist eine Erfahrungswissenschaft, bei der die entwickelten Theorien durch Experimente
bestätigt werden müssen. Die Grundlage sind Axiome (Erfahrungssätze), die das reale Verhalten der Körper unter Verwendung von Idealisierungen und Abstraktionen hinlänglich genau beschreiben. Ein Axiom ist damit eine Aussage, die grundlegend ist und deshalb nicht innerhalb ihres Systems begründet werden kann bzw. muss.
Nach dem Untersuchungsgegenstand unterscheidet man zwischen der
Mechanik der festen Körper (starr oder verformbar) und der
Mechanik der flüssigen Körper (tropfbar bzw. gasförmig).
Das Gesamtgebiet der Mechanik lässt sich in die Gebiete
Kinematik,
Statik und
Dynamik
einteilen.
Kinematik
In der Kinematik wird die Bewegung von Körpern studiert, ohne auf deren Ursache einzugehen.
Statik
In der Statik wird die Wirkung von Kräften auf Körper untersucht, die sich in Ruhe oder in
gleichförmiger Bewegung (d.h. im Gleichgewicht) befinden.
Dynamik
Die Dynamik studiert den Zusammenhang zwischen der beschleunigten Bewegung von Körpern und der Einwirkung von Kräften.
AUFBAUKURS MECHANIK (LVA Nr. 844.501) WS 2010/11
Univ.Prof. Dipl.-Ing. Dr. Christoph Adam
2
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Grundgrößen der Mechanik
SI Einheiten
Länge (Meter [m])
Zeit (Sekunde [s])
Masse (Kilogramm [kg])
Abgeleitete Einheiten
Geschwindigkeit [m/s]
Beschleunigung [m/s2]
Kraft (Newton [N], [kg m/s2])
Ein Newton entspricht derjenigen Kraft, die einem Körper mit der Masse von einem Kilogramm eine Beschleunigung von einem Meter je Sekundenquadrat erteilt.
SI Präfixe
1 000 000 000
1 000 000
1 000
0,001
0,000 001
0,000 000 001
109
106
103
10-3
10-6
10-9
Giga
Mega
Kilo
Milli
Mikro
Nano
G
M
k
m
μ
n
Die Newtonschen Axiome der Mechanik
Das erste Newtonsche Axiom - Trägheitsprinzip
Ein Körper beharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen geradlinigen Bewegung, solange die Summe aller auf ihn einwirkenden Kräfte gleich Null ist. Die Geschwindigkeit eines
solchen sich „frei “ bewegenden Körpers ist nach Betrag und Richtung konstant.
Das zweite Newtonsche Axiom - Beschleunigungsprinzip (Aktionsprinzip bzw. dynami-
sches Grundgesetz)
Durch einwirkende Kräfte erfährt ein Körper eine Beschleunigung, die der Kraft proportional ist
und deren Richtung besitzt. Bei konstanter Masse gilt: Kraft = Masse x Beschleunigung.
Das dritte Newtonsche Axiom - Wechselwirkungsprinzip (Reaktionsprinzip)
Übt ein Körper auf einen zweiten Körper eine Kraft aus, so übt der zweite Körper auf den ersten
eine gleich große Gegenkraft aus, die entgegengesetzt der ersten Kraft gerichtet ist.
AUFBAUKURS MECHANIK (LVA Nr. 844.501) WS 2010/11
Univ.Prof. Dipl.-Ing. Dr. Christoph Adam
3
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
KINEMATIK DER GERADLINIGEN BEWEGUNG
Ein Punkt bewegt sich entlang einer geraden Linie, deren Richtung durch den Einheitsvektor e
vorgegeben ist. Der Ursprung des Vektors e ist das sogenannte Bezugssystem, von dem der
Punkt beobachtet wird. Die Lage des Punktes zum Zeitpunkt t ist durch die Ortskoordinate
r(t) festgelegt, deren Ursprung im Bezugssystem liegt.
"t0 "
P2
s(t)
Bezugssystem
e
"t2 "
"t "
P
Δr
r2
r
P0
r0
Die Ortskoordinate r(t) gibt keinen Aufschluss über den zeitlichen Ablauf der Bewegung. Bezieht man die Differenz der Ortskoordinaten r2 und r zu den Zeitpunkten t2 > t und t auf
das zugehörige Zeitintervall t = t2 t , erhält man die mittlere Geschwindigkeit,
( )
vm =
r2 r(t) r(t + t) r(t) r
=
=
= tan t2 t
t + t t
t
(
)
welche ein Maß für die Schnelligkeit der Bewegung zwischen den betrachteten Orten ist. Je
schneller sich der Punkt von P nach P2 bewegt, desto größer ist vm . Je kleiner das Zeitintervall
t gewählt wird, eine desto genauere Aussage gibt vm über die Geschwindigkeit des Punktes
beim Passieren des Ortes P(t) . Durch den Grenzübergang t 0 erhält man die (Momentan-)
Geschwindigkeit
r dr
=
r
t0 t
dt
( )
v(t) = lim
r
r2
v(t)
Δr
α β
r
Ort-Zeit-Diagramm
Δt
r0
t0
t
t2
t
AUFBAUKURS MECHANIK (LVA Nr. 844.501) WS 2010/11
Univ.Prof. Dipl.-Ing. Dr. Christoph Adam
4
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
des Punktes zum Zeitpunkt t . Im Ort-Zeit-Diagramm verläuft die Geschwindigkeit tangential
zur Ort-Zeit-Kurve, d.h.
v(t) = tan Mit r(t) und v(t) ist die geradlinige Bewegung eines Punktes vollständig beschrieben.
Wenn die Geschwindigkeit im Zeitraum zwischen t0 und t immer größer gleich Null ist, v 0 ,
berechnet sich der in diesem Zeitraum zurückgelegte Weg s gemäß
s(t) = r(t) r0
Dabei ist r0 die Lage des Punktes bei Beginn der Beobachtung zum Zeitpunkt t0 .
In der Mechanik spielt zusätzlich die kinematische Größe der Beschleunigung eine wesentliche
Rolle (zweites Newtonsches Axiom). Die mittlere Beschleunigung ist wie folgt definiert:
am =
v2 v(t) v(t + t) v(t) v
=
=
t2 t
t + t t
t
Der Grenzübergang t 0 ergibt die (Momentan-)Beschleunigung
v dv
d 2r
a(t) = lim
=
v =
r
t0 t
dt
dt 2
( )
( )
Damit entspricht die Steigung der Tangente der Kurve im Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm zum
Zeitpunkt t der Beschleunigung,
a(t) = tan v
v0
v2
Δv
v
Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm
γ
t0
t2
t
a(t)
Δt
t
AUFBAUKURS MECHANIK (LVA Nr. 844.501) WS 2010/11
Univ.Prof. Dipl.-Ing. Dr. Christoph Adam
5
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Bewegung des freien Falls
An einem festen Ort auf der Erde und ohne Vorhandensein von Luftwiderstand fallen alle
Körper mit derselben konstanten Beschleunigung. Der Vektor der Fallbeschleunigung ist gegen den Erdmittelpunkt gerichtet und entspricht in etwa der Erdbeschleunigung. Deren Betrag
g hat einen Wert von ungefähr 9,81 m/s2.
v0
r0
v
r
"t = 0"
−g ez
"t"
ez
Integration von
a=
dv
dt
dt
nach der Zeit liefert unter Berücksichtigung, dass beim freien Fall a = g = const , das folgende Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz:
t
v(t) =
a d + v0 = g t + v0
t=0
v0 = v(t = 0) ist die zum Zeitpunkt t = 0 bekannte Anfangsgeschwindigkeit. Mit einer weite-
ren Zeitintegration von
v=
dr
dt
dt
erhält man mit der Anfangslage r0 = r(t = 0) das Ort-Zeit-Gesetz des freien Falls,
t
r(t) =
t=0
v d + r0 = g
t2
+ v0t + r0
2
AUFBAUKURS MECHANIK (LVA Nr. 844.501) WS 2010/11
Univ.Prof. Dipl.-Ing. Dr. Christoph Adam
6
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
KRAFT UND KRÄFTEGRUPPEN. GLEICHGEWICHTSBEDINGUNGEN
Eine Kraft ist eine gerichtete Größe, die sich der unmittelbaren Beobachtung entzieht. Man
erkennt sie an ihren Auswirkungen:
Festgehaltene Körper werden verformt.
Bewegliche Körper werden in Bewegung gesetzt.
Nach ihrer Ausdehnung unterscheidet man zwischen
Einzelkräften (Maßeinheit: Newton [N]),
Linienkräften (Maßeinheit [N/m]),
Flächenkräften (Maßeinheit [N/m2]) und
Volumenkräften (Maßeinheit [N/m3]).
Die Einzelkraft
Eine Einzelkraft F ist eine vektorielle Größe, die durch
den Betrag F ,
die Richtung und
Angriffspunkt
den Angriffspunkt
festgelegt ist.
F
Wirkungslinie
F= F
Eine in der (x,y)-Ebene liegende Einzelkraft kann durch ihre koordinatenparallelen Komponenten X und Y dargestellt werden,
y
F
X
Y
F = X ex + Y e y = Y
X
0
x
Die Addition von zwei Kräften liefert die Resultierende R ,
R = F1 + F2 = F2 + F1
F1
F1
F2
F2
R
R
≡
F2
Lageplan
Kräfteplan
F1
AUFBAUKURS MECHANIK (LVA Nr. 844.501) WS 2010/11
Univ.Prof. Dipl.-Ing. Dr. Christoph Adam
7
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Die Gewichtskraft
Gemäß dem zweiten Newtonschen Axiom entsteht während des freien Falls eines Körpers mit
der Masse m durch die Fallbeschleunigung g die Gewichtskraft G , die gegen die Erdoberfläche gerichtet ist,
G = mg ez = G ez , G = mg
Ihr Betrag G wird als Gewicht bezeichnet.
freier Fall
Ruhelage
Reaktionskraft
Ruhelage
Reaktions- und Aktionskraft
G G
m
G = mg bzw.
ez
G = −mg ez
Untergrund
A=G
ez
G
A=G
G
ez
A = −G
Schnitt
B = A= G B = −A= G
A = −G
Untergrund
Wenn sich der Körper nach dem Auftreffen auf den Untergrund in Ruhe befindet, verschwindet die auf ihn wirkende Gewichtskraft nicht. Da das erste Newtonsche Axiom besagt, dass
die auf den ruhenden Körper wirkende Gesamtkraft (resultierende Kraft) Null ist, muss auf
den Körper eine betragsmäßig gleich große nach oben gerichtete Gegenkraft A wirken:
(vektoriell)
G + A = 0 A = G
ez : G + A = 0 A = G
(skalar)
Diese Gegenkraft wird Kontaktkraft oder Reaktionskraft genannt.
Laut dem dritten Newtonschen Axiom ist die vom Körper auf den Untergrund ausgeübte Kraft
B entgegengesetzt der Kraft A gerichtet:
B = A= G
(vektoriell)
B= A=G
(skalar)
AUFBAUKURS MECHANIK (LVA Nr. 844.501) WS 2010/11
Univ.Prof. Dipl.-Ing. Dr. Christoph Adam
8
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Das zentrale ebene Kraftsystem
Ein zentrales ebenes Kraftsystem besteht aus mehreren in einer Ebene liegenden Einzelkräften, die einen gemeinsamen Angriffspunkt haben.
F2
Fi
Yi
y
A
F1
Xi
Fn
R
A
y
x
x
Reduktion des zentralen ebenen Kraftsystems im Angriffspunkt
Die Resultierende R im Angriffspunkt ersetzt die Wirkung der Einzelkräfte statisch äquivalent,
n R = F1 + F2 + ... + Fn = Fi
i=1
Die Ebene, in der die Kräfte liegen, wird hier durch ein kartesisches (x,y)-Koordinatensystem
festgelegt. Werden die Kräfte in Richtung dieser Koordinaten zerlegt,
Fi = X i ex + Yi e y
kann die Resultierende wie folgt komponentenweise dargestellt werden:
n
Rx = X1 + X 2 + ... + X n = X i ,
i=1
n
Ry = Y1 + Y2 + ... + Yn = Yi
i=1
R = Rx ex + Ry e y
Gleichgewichtsbedingungen des ebenen zentralen Kraftsystems
Für ein zentrales ebenes Gleichgewichtssystem gilt, dass
R=0
bzw.
n
n
i=1
i=1
Rx = X i = 0 , Ry = Yi = 0
Diese beiden skalaren Gleichgewichtsbedingungen sind für Gleichgewicht eines zentralen
Kraftsystems notwendig.
AUFBAUKURS MECHANIK (LVA Nr. 844.501) WS 2010/11
Univ.Prof. Dipl.-Ing. Dr. Christoph Adam
9
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Das Moment einer Kraft
Unter dem Moment einer Kraft in Bezug auf einen Punkt 0, der nicht auf der Wirkungslinie
liegt, versteht man das Produkt aus dem Betrag F der Kraft F und dem Normalabstand a
der Wirkungslinie von diesem Punkt,
Drehrichtung
0
M = Fa
F
a
a wird auch Hebelarm genannt. Die Maßeinheit des Moments ist Newtonmeter [Nm].
Das Kräftepaar
Ein Kräftepaar besteht aus zwei parallelen, gleich großen, entgegengesetzt gerichteten Einzelkräften, die nicht auf derselben Wirkungslinie liegen.
positive
Drehrichtung
y
F
Y
y
a
y′
−F
A
X
A′
z
x′
x
x
Ein Kräftepaar übt auf einen Körper eine Drehwirkung aus und stellt somit eine Kraftwirkung
dar, die durch zwei Bestimmungsstücke charakterisiert ist, nämlich
dem Moment M und
der Orientierung der Wirkungsebene, welche durch den Normalenvektor en festgelegt ist.
Diese Bestimmungsstücke werden zum Momentenvektor M zusammengefasst, der orthogonal zur Wirkungsebene gerichtet ist. Liegt das Kräftepaar in einer (x,y)-Ebene, besitzt der
Momentenvektor nur eine Komponente in z-Richtung. Er berechnet sich zu
M = x x Y y y X ez
(
) (
)
,
M = M = Fa
x und y sind dabei die Koordinaten eines beliebigen Punktes A auf der Wirkungslinie von F ,
und x , y die Koordinaten eines beliebigen Punktes A auf der Wirkungslinie von F .
AUFBAUKURS MECHANIK (LVA Nr. 844.501) WS 2010/11
Univ.Prof. Dipl.-Ing. Dr. Christoph Adam
10
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Reduktion einer Einzelkraft
Eine Einzelkraft F mit dem Angriffspunkt A soll in einen Punkt 0 reduziert werden, der nicht
auf der Wirkungslinie liegt.
F
y
A
0
x
Dazu wird durch den Reduktionspunkt 0 ein zentrales Gleichgewichtssystem aus den beiden
Kräften F und F gelegt. Man erkennt, dass die Kraft F mit dem Angriffspunkt A und die
Kraft F mit dem Angriffspunkt 0 ein Kräftepaar in 0 mit dem Momentenvektor M 0 bilden.
Die Wirkung der Einzelkraft F bezüglich eines Punktes 0, der nicht auf der Wirkungslinie
liegt, wird damit statisch äquivalent durch den Momentenvektor M (0) und der Einzelkraft F
in 0 beschrieben.
F
y
F
y
F
Y
y
0
A
X
0
x
a
x
−F
x
M (0)
Kräftepaar
Liegt die Kraft in einer (x,y)-Ebene und wird diese in den Koordinatenursprung 0 reduziert,
kann der Momentenvektor M (0) wie folgt berechnet werden:
M (0) = M (0) ez = xY y X ez
(
)
x und y sind dabei die Koordinaten vom Bezugspunkt 0 zu einem beliebigen Punkt auf der
Wirkungslinie von F (und nicht notwendigerweise von 0 zu A).
AUFBAUKURS MECHANIK (LVA Nr. 844.501) WS 2010/11
Univ.Prof. Dipl.-Ing. Dr. Christoph Adam
11
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Das allgemeine ebene Kraftsystem
Das allgemeine ebene Kraftsystem ist eine Kräftegruppe aus mehreren in einer Ebene liegenden Kräften, die verschiedene Angriffspunkte haben.
Fi
F1
F2
R
Yi
y
ri
A′
0
Xi
yi
y
Fn
xi
0
x
M A′
A′
x
Reduktion des allgemeinen ebenen Kraftsystems in den Bezugspunkt A
Jede Kraft wird getrennt in den Punkt A reduziert. Anschließend werden die Kräfte und die
Momentenvektoren addiert.
F1 in A und M1 = x1 Y1 y1 X1 ez
(
)
Fi in A und M i = xi Yi yi X i ez
(
)
Fn in A und M n = xn Yn yn X n ez
(
)
n
n R = Fi in A und M A = xi Yi yi X i ez
(
i=1
)
i=1
Rx = X i , Ry = Yi , R = Rx ex + Ry e y
n
n
i=1
i=1
Gleichgewichtsbedingungen des allgemeinen ebenen Kraftsystems
R = 0 , M A = 0
bzw.
n
n
n
i=1
i=1
i=1
(
)
Rx = X i = 0 , Ry = Yi = 0 , M A = xi Yi yi X i = 0
Für eine einzelne starre Scheibe sind die drei Gleichgewichtsbedingungen notwendig, da diese drei Freiheitsgrade (unabhängige Bewegungsmöglichkeiten) besitzt.
AUFBAUKURS MECHANIK (LVA Nr. 844.501) WS 2010/11
Univ.Prof. Dipl.-Ing. Dr. Christoph Adam
12
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Das ebene Parallelkraftsystem
Der Spezialfall eines ebenen Parallelkraftsystems liegt vor, wenn die Wirkungslinien der
Kräfte eines allgemeinen ebenen Kraftsystems parallel sind.
y
y
Fi
F1
Fn
R
F2
0
x1
x2
0
xn x
xi
x
M (0)
Für die folgenden Betrachtungen wird angenommen, dass die Kräfte in einer (x,y)-Ebene liegen. Wird die y-Koordinate so gewählt, dass diese parallel zu den Wirkungslinien liegt, besitzen die Kräfte nur eine Y-Komponente,
Fi = Yi e y , i = 1,..., n
Reduktion des ebenen Parallelkraftsystems in einen allgemeinen Bezugspunkt 0
Die Reduktion in den Punkt 0 ergibt:
n
n
n n
n
R = Fi = e y Yi = R e y , R = Yi , M (0) = ez xi Yi = M (0) ez , M (0) = xi Yi
i=1
i=1
i=1
Der Kräftemittelpunkt
i=1
i=1
Der momentenfreie Angriffspunkt AM der Resultierenden R wird Kräftemittelpunkt genannt. Da das Moment um den Kräftemittelpunkt AM definitionsgemäß Null ist, gilt:
ez : M ( M ) 0 = M (0) x M R
R
y
R
0
M (0)
AM
xM
x
AUFBAUKURS MECHANIK (LVA Nr. 844.501) WS 2010/11
Univ.Prof. Dipl.-Ing. Dr. Christoph Adam
13
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Aus dieser Beziehung folgt die Koordinate des Kräftemittelpunktes in x-Richtung,
xM
M (0)
=
=
R
n
1
xi Yi
n
Yi i=1
i=1
F1′ R
y
y1
F1
yi
R′
yM
yn
R′
Fi′
0
M (0)′
Fi
AM
Fn
Fn′ π / 2
x
xM
Zur Berechnung der Koordinate y M denkt man sich die Kräfte positiv um / 2 verschwenkt,
Fi = Yi ex , i = 1,..., n
Reduktion der verschwenkten Kräfte in den Punkt 0 liefert:
n
n
n n
n
R = Fi = ex Yi = R ex , R = Yi , M (0) = ez yi Yi = M (0) ez , M (0) = yi Yi
i=1
i=1
i=1
i=1
i=1
Das Moment der verschwenkten Kräfte muss um den Kräftemittelpunkt AM verschwinden,
ez : M ( M ) 0 = M (0) y M R
Auflösen dieser Beziehung nach y M ergibt:
yM =
M 0
=
R
1
n
n
yi Yi
Yi i=1
i=1
Zusammenfassend können die Koordinaten des Kräftemittelpunktes AM wie folgt angeschrieben werden:
xM =
1
n
Yi
i=1
n
xi Yi , y M =
i=1
1
n
n
yi Yi
Yi i=1
i=1
AUFBAUKURS MECHANIK (LVA Nr. 844.501) WS 2010/11
Univ.Prof. Dipl.-Ing. Dr. Christoph Adam
14
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Schwerpunkt einer Scheibe
Man stößt auf ein eben verteiltes Parallelkraftsystem, wenn man eine Scheibe mit konstanter
Dicke betrachtet, deren Mittelebene normal zur Erdoberfläche steht. Denkt man sich die Fläche der Scheibe A mosaikförmig aus n kleinen Flächenelementen Ai ( i = 1,..., n )
zusammengesetzt, so besitzt jedes dieser Teilchen das Volumen Vi und die Masse mi ,
Vi = h Ai , mi = i Vi = i h Ai ,
i = 1,..., n
h ist die Scheibendicke und i bezeichnet die Massendichte im iten Scheibenelement.
ΔAi , ρi
z
zi
zS
ΔGi
V=hA
z
zS
S
dy
z
V=hA
dz
ρ
dA
dG
G
yS
yi
S
G
y
y
Auf dieses Element wirkt die Gewichtskraft Gi ,
Gi = mi g ez = Gi ez , Gi = mi g ,
yS
y
i = 1,..., n
wobei die z-Koordinate von der Erdoberfläche nach oben positiv gerichtet ist. Gi ist das
Gewicht des Scheibenelementes. Die Resultierende der Gewichtskräfte aller Scheibenelemente ist gleich der Gewichtskraft der gesamten Scheibe,
n
n n
n
G = Gi = Gi ez = g ez mi = h g ez i Ai = m g ez = G ez
i=1
i=1
i=1
i=1
m ist die Masse und G ist das Gewicht der Scheibe,
n
n
i=1
i=1
m = mi = h i Ai ,
G = mg
Der Kräftemittelpunkt AM eines schweren Körpers wird Schwerpunkt S genannt. Diesen gewinnt man für die betrachtete Scheibe gemäß den zuvor hergeleiteten Beziehungen für ein
ebenes Parallelkraftsystem. Für das in der oben stehenden Abbildung eingezeichnete (y,z)Koordinatensystem erhält man:
AUFBAUKURS MECHANIK (LVA Nr. 844.501) WS 2010/11
Univ.Prof. Dipl.-Ing. Dr. Christoph Adam
15
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
n
1
yS =
n
Gi
hg n
h n
yi Gi = G yi i Ai = m yi i Ai
i=1
i=1
i=1
i=1
zS =
1
n
n
zi Gi =
Gi i=1
hg n
h n
zi i Ai = zi i Ai
G i=1
m i=1
i=1
Da die Schwerkraft über die ganze Scheibenfläche A kontinuierlich verteilt ist, muss man sich
die Flächenelemente Ai unendlich klein vorstellen. Mathematisch ausgedrückt wird der
Grenzübergang Ai 0 ausgeführt. Aus der Summe von ursprünglich endlich vielen und
endlich großen Summanden wird daraus beim Grenzübergang die Summe von unendlich vielen, unendlich kleinen Summanden, welche man als Integral bezeichnet. Das heißt:
, Ai dA , yi y , zi z , i (xi , yi ) (x, y)
Die exakten Gleichungen für die Koordinaten des Schwerpunktes lauten also:
yS =
h
h
y dA , z S = z dA ,
mA
mA
m = h dA
A
Die Lage des geometrischen Schwerpunktes S ( A) (auch Flächenschwerpunkt genannt) einer
ebenen Fläche entspricht dem Schwerpunkt einer homogenen Scheibe, da bei dieser die Dichte in jedem Punkt gleich groß ist ( = const ). Die Lage von S ( A) berechnet sich dann gemäß
yS ( A) =
1
1
y dA , z S ( A) = z dA
AA
AA
Mit dA = dy dz wird daraus
yS ( A) =
1
1
y dy dz , z S ( A) = z dy dz
A A
A A
Ist eine ebene Fläche A aus n Teilflächen Ai zusammengesetzt, deren Teilschwerpunkte
( yi , zi ) bekannt sind, können die Integrale wieder in eine endliche Summe umgewandelt werden:
yS ( A) =
1 n
1 n
( A)
y
A
,
z
=
i i S
zi Ai
A i=1
A i=1
AUFBAUKURS MECHANIK (LVA Nr. 844.501) WS 2010/11
Univ.Prof. Dipl.-Ing. Dr. Christoph Adam
16
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
EBENE STABTRAGWERKE
Mechanische Modellbildung für Stabtragwerke
Ein Tragwerk, dessen Querschnittsabmessungen klein im Verhältnis zu seiner Längserstreckung sind, kann als Stab idealisiert werden. Im mechanischen Modell wird ein Stab durch
seine Stabachse repräsentiert, welche als die Verbindungslinie der geometrischen Querschnittsschwerpunkte definiert ist. Gerade Stäbe, die vorwiegend quer zu ihrer Stabachse belastet werden, bezeichnet man als Balken bzw. Träger.
Mechanische Modellbildung am Beispiel einer Fußgängerbrücke
Tragwerk: Fußgängerbrücke
Zugehöriges mechanisches Modell: Einfeldträger
q
Gleichlast (z.B. Eigengewicht)
Gelenk
Stabachse
Festlager
Gleitlager
Auflagerreaktionen
L
Stützweite
Ausgewählte Trägerquerschnittsformen
Rechteckquerschnitt
I-Querschnitt
Kastenquerschnitt,
Verbundquerschnitt
Kreisquerschnitt
AUFBAUKURS MECHANIK (LVA Nr. 844.501) WS 2010/11
Univ.Prof. Dipl.-Ing. Dr. Christoph Adam
17
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Auflager
Ein Auflager (Lager) verbindet ein Tragwerk mit seiner Umgebung. Kräfte, welche über Auflager in die Umgebung übertragen werden, heißen Auflagerreaktionen. Die Anzahl der eingeschränkten Bewegungsmöglichkeiten ist die Wertigkeit r eines Auflagers.
Gelenkiges Gleitlager: einwertig, r = 1
Rollenlager
Bewegungsmöglichkeit
Symbol,
Kraftübertragung
Pendelstütze
Gelenkiges Festlager: zweiwertig, r = 2
Zapfenlager
Lagerbock
Vollständige Einspannung: dreiwertig, r = 3
Statische Bestimmtheit eines Tragwerks
Ein Tragwerk ist (äußerlich) statisch bestimmt, wenn die Auflagerreaktionen allein aus den
Gleichgewichtsbedingungen berechnet werden können. Bei einem (äußerlich) statisch unbestimmten Tragwerk sind zur Bestimmung der Auflagerreaktionen neben den Gleichgewichtsbedingungen auch Formänderungsbedingungen zu erfüllen, d.h. hier spielen auch die Querschnittsabmessungen und die Werkstoffeigenschaften eine Rolle.
Überprüfung der statischen Bestimmtheit eines ebenen Tragwerks:
> 0 : bewegliches (kinematisches) System
3n r = 0 : notwendige Bedingung für statisch bestimmte Lagerung
< 0 : notwendige Bedingung für statisch unbestimmte Lagerung
n Anzahl der Tragwerksscheiben
r Summe der Auflagerwertigkeiten
Summe der Wertigkeiten der Bindungselemente zwischen den Tragwerksscheiben.
z.B. Vollgelenk: = 2
AUFBAUKURS MECHANIK (LVA Nr. 844.501) WS 2010/11
Univ.Prof. Dipl.-Ing. Dr. Christoph Adam
18
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Mechanische Modelle von Stabtragwerken
Kragträger
Einfeldträger/
beidseitig gelenkig gelagerter Träger
Einspannung
n = 1, r = 3
n = 1, r = 3
Gerberträger
Gerbergelenk (Vollgelenk)
n = 2, r = 4, ν = 2
Durchlaufträger (hier Zweifeldträger)
n = 1, r = 4
Halbgelenk
Rahmen
biegesteife
Rahmenecke
Riegel
Stiel
n = 1, r = 3
Dreigelenkbogen
n = 2, r = 4, ν = 2
AUFBAUKURS MECHANIK (LVA Nr. 844.501) WS 2010/11
Univ.Prof. Dipl.-Ing. Dr. Christoph Adam
19
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Einfluss der Konstruktion auf das statische System
Beispiele
anliegende
Leiter
Dachträger aus Holz
eingehängte
Leiter
AUFBAUKURS MECHANIK (LVA Nr. 844.501) WS 2010/11
Univ.Prof. Dipl.-Ing. Dr. Christoph Adam
20
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Schnittgrößen
Die inneren Kräfte
Innerhalb eines Tragwerks wirken zwischen den Elementen die sogenannten inneren Kräfte,
welche durch die von außen einwirkenden Kräfte verursacht werden. Durch die inneren Kräfte wird das Material des Tragwerks beansprucht. Es ist der Nachweis zu erbringen, dass die
Materialbeanspruchung eines Tragwerks innerhalb der zulässigen Grenze liegt.
Die inneren Kräfte werden über den Stabquerschnitt zu Resultierenden zusammengefasst. Bei
ebenen Stabtragwerken sind diese Resultierenden der inneren Kräfte
das Biegemoment M,
die Querkraft Q und
die Normalkraft N.
In einem Stab kann dann ein Biegemoment auftreten, wenn die Relativverdrehung zweier
benachbarter Querschnitte verhindert ist (d.h. es ist kein Gelenk dazwischen geschaltet). Die
Querkraft entsteht dadurch, dass zwei benachbarte Querschnitte keine Relativverschiebung
normal zur Stabachse ausführen können. Voraussetzung für das Auftreten einer Normalkraft
ist die verhinderte Relativverschiebung zweier benachbarter Querschnitte in Längsrichtung.
F
q
Schnittgrößen:
M(x) Biegemoment an der Stelle x
x
Q(x) Querkraft an der Stelle x
N(x) Normalkraft an der Stelle x
Schnitt
z
Q(x)
F
M(x)
M(x)
x
N(x)
q
N(x)
Q(x)
z
positives Schnittufer
negatives Schnittufer
AUFBAUKURS MECHANIK (LVA Nr. 844.501) WS 2010/11
Univ.Prof. Dipl.-Ing. Dr. Christoph Adam
21
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Schnittprinzip
Die Resultierenden der inneren Kräfte werden durch das Aufschneiden des Tragwerks freigelegt. Deshalb werden sie auch Schnittgrößen genannt. Gemäß dem Schnittprinzip wird der
abgetrennte Tragwerksteil statisch äquivalent durch das Biegemoment, die Querkraft und die
Normalkraft ersetzt, damit er wie das Gesamtsystem reagiert. Am Schnitt des zweiten Tragwerksteiles (d.h. am gegenüberliegenden Schnittufer) sind die Schnittgrößen entgegengesetzt
gerichtet anzusetzen. Wenn beide Teile wieder zusammengefügt werden, heben sich so die
Resultierenden der inneren Kräfte auf. Die Schnittgrößen werden mit Hilfe der Gleichgewichtsbeziehungen des ebenen allgemeinen Kraftsystems bestimmt, welche auf einen der beiden Tragwerksteile angewendet werden. Wenn das Gesamtsystem im Gleichgewicht ist, müssen auch alle Teilsysteme im Gleichgewicht sein.
Schnittgrößenverläufe
In Abhängigkeit von den äußeren Kräften kann à priori eine qualitative Aussage gemacht
werden, welcher Funktion die Schnittgrößen entlang der Stabachse gehorchen. Untenstehend
ist exemplarisch das Verhalten der Querkraft und des Momentes in einem Stabteil in
Abhängigkeit von der äußeren Belastung dargestellt.
Belastung q(x)
unbelastet
Einzelkraft
F
dQ
= −q
dx
dM
=Q
dx
d2 M
dx 2
= −q
Querkraftverlauf Q(x)
konstant
Sprung
Gleichlast
q0
Trapezlast
linear
quadrat. Parabel
1
F
Biegemomentenverlauf M(x)
linear
Knick
1
F
q0
quadrat. Parabel kub. Parabel
AUFBAUKURS MECHANIK (LVA Nr. 844.501) WS 2010/11
Univ.Prof. Dipl.-Ing. Dr. Christoph Adam
22
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
EBENE FACHWERKE
Ein Fachwerk ist ein Tragwerk, welches aus miteinander gelenkig verbundenen geraden Stäben besteht. Liegen alle Stabachsen in einer Ebene, spricht man von einem ebenen Fachwerk.
Mechanische Modellbildung bei Fachwerken
Die statischen Untersuchungen erfolgen am mechanischen Modell des idealen Fachwerks,
welches die folgenden Eigenschaften besitzt:
Die Achsen der Fachwerkstäbe sind gerade.
Die Stäbe sind an den Knoten durch reibungsfreie Gelenke verbunden.
Die Achsen der an einem Knoten angeschlossenen Stäbe schneiden sich in einem Punkt.
Die äußeren Kräfte werden als Einzelkräfte idealisiert, die nur in den Knoten angreifen.
Mechanische Modellbildung am Beispiel eines Dachträgers
Tragwerk: Dachträger
Zugehöriges mechanisches Modell
Obergurt
Diagonale/Strebe
Knoten
Pfosten/Ständer
Untergurt
Statische Bestimmtheit eines ebenen Fachwerks
Notwendige Bedingung für ein innerlich und äußerlich statisch bestimmtes ebenes Fachwerk:
n + r = 2k
n Anzahl der Stäbe
r Summe der Auflagerwertigkeiten
k Anzahl der Knoten
AUFBAUKURS MECHANIK (LVA Nr. 844.501) WS 2010/11
Univ.Prof. Dipl.-Ing. Dr. Christoph Adam
23
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Stabkräfte
In den Stäben eines idealen Fachwerks werden nur Normalkräfte und keine Biegemomente
und Querkräfte übertragen. Die Normalkraft in einem Fachwerkstab wird Stabkraft genannt.
Berechnung der Stabkräfte mit dem Rundschnittverfahren
Für die Berechnung der Stabkräfte werden die einzelnen Knoten des Fachwerks freigeschnitten und die unbekannten Stabkräfte als Zugkräfte (Konvention) am jeweiligen Knoten angebracht. Die Stabkräfte werden mit den Gleichgewichtsbedingungen des so an jedem Knoten
entstandenen zentralen Kraftsystems bestimmt. Bei jedem Rundschnitt dürfen nur zwei unbekannte Stabkräfte freigelegt werden.
Rundschnitt
F1
B
1
A
4
3
2
Rundschnitt
Knoten A
S1
∑Vi = 0 :
S2
AH
S1 = − AV
∑ H i = 0 : S2 = − AH
AV
Knoten B
F1
α =π /4
S4
S1
S3
∑Vi = 0 :
S1 +
∑ Hi = 0 :
S3
2
S3
2
+ F1 = 0 ⇒ S3
+ S4 = 0 ⇒ S4
AUFBAUKURS MECHANIK (LVA Nr. 844.501) WS 2010/11
Univ.Prof. Dipl.-Ing. Dr. Christoph Adam
24
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
ANHANG: MATHEMATISCHE FORMELSAMMLUNG FÜR MECHANIK
Vektoralgebra
Komponentendarstellung für einen zweidimensionalen Vektor c in Bezug auf ein kartesisches Koordinatensystem:
y
cx
cx
c = = cx ex + c y e y
c
c
y
ey
cy
c = cx2 + c 2y
Betrag (Länge) von c :
α
x
ex
cx = c cos , c y = c sin Komponenten von c :
1 0 Einheitsvektoren in Richtung der x- und y-Achse: ex = , e y = , ex = e y = 1
0
1
Komponentendarstellung für einen dreidimensionalen Vektor a in Bezug auf ein kartesisches
Koordinatensystem:
z
ax a = a y = ax ex + a y e y + az ez
a
a ez
z
a
az
Betrag (Länge) von a :
y
ey
ex
a = ax2 + a 2y + az2
ax
x
Einheitsvektoren in Richtung der x-, y- und z-Achse:
1
0
0
ex = 0 , e y = 1 , ez = 0 , ex = e y = ez = 1
0
0
1
Einheitsvektor in Richtung von a :
a
ea = a
ay
AUFBAUKURS MECHANIK (LVA Nr. 844.501) WS 2010/11
Univ.Prof. Dipl.-Ing. Dr. Christoph Adam
25
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
ax a = a = a y a Multiplikation mit skalarer Größe :
z
a+b
Vektoraddition und -subtraktion:
a ± b = ax ± bx ex + a y ± by e y + az ± bz ez
(
)
(
)
(
b
)
b
a
a
Rechenoperationen mit 2 Vektoren
Skalares Produkt (inneres Produkt): ergibt einen skalaren Wert
ax bx a b
a b = b a = a y by = ax bx + a y by + az bz , a b = a b cos cos = a b
a b z
z
b
: Winkel zwischen (sich schneidenden Vektoren) a und b
a
α
a b = 0 a b
b cos α
Vektorielles Produkt (äußeres Produkt, Kreuzprodukt, Ex-Produkt): ergibt einen Vektor
a×b
a b x x
a b = b a = a y by =
a b z
z
ex
ey
= ax
ay
bx
by
a y bz by az az = ax bz + bx az bz ax by bx a y ab =0 ab
b
a×b
ez
α
a
a′
Fläche: a × b
a × b = a′ × b
ab
a b = a b sin sin = a b
ax bx ax bx Multiplikation mit skalarer Größe : a b = a y by = a y by a b a b z
z
z
z
(
)
a−b
AUFBAUKURS MECHANIK (LVA Nr. 844.501) WS 2010/11
Univ.Prof. Dipl.-Ing. Dr. Christoph Adam
26
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Winkelfunktionen
Grundlegende Definitionen:
sin =
a
a = c sin c
c
a
α
cos =
b
b = c cos c
tan =
sin a
=
a = b tan cos b
cot =
1
cos b
=
=
b = a cot tan sin a
b
Vorzeichen:
cot α
Quadrant
sin cos tan cot I
+
+
+
+
II
+
III
+
+
IV
+
P
1
II
sin α
I
α
cos α
III
tan α
IV
Auswertungen für spezielle Winkel:
1
2
1
2
, cos cos 45° =
, tan tan 45° = 1
sin sin 45° =
2
2
4
4
4
2
2
( )
( )
( )
3
1
3
, cos cos 60° = , tan tan 60° =
sin sin 60° =
3
2
2
3
3
3
3
( )
( )
( )
3
1
3
1
, tan tan 30° =
sin sin 30° = , cos cos 30° =
2
3
2
6
6
6
3
( )
( )
( )
AUFBAUKURS MECHANIK (LVA Nr. 844.501) WS 2010/11
Univ.Prof. Dipl.-Ing. Dr. Christoph Adam
27
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
UNTERLAGEN
Skripten, Bücher
Fotiu, P.A., 2006. Technische Mechanik I. Skriptum. Fachhochschule Wr. Neustadt.
Giancoli, D.C., 2006. Physik. 3., aktualisierte Auflage. München: Pearson Studium.
Hahn, H.G., 1992. Technische Mechanik fester Körper. 2. Auflage. München, Wien: Hanser.
Heuer, R., 2006. Studienblätter für den Aufbaukurs Mathematik, gehalten im Wintersemester
2006/07. Technische Universität Wien.
Mann, W., 1997. Vorlesungen über Statik und Festigkeitslehre. Einführung in die Tragwerkslehre. 2. Auflage. Aardt KG.
Papula, L., 2000. Mathematische Formelsammlung für Ingenieure und Naturwissenschaftler.
6.Auflage. Braunschweig/Wiesbaden: Vieweg.
Meyer, H., 2006. Holzmann, Meyer, Schumpich Technische Mechanik Kinematik und Kinetik. 9., neu bearbeitete Auflage. Wiesbaden: Teubner Verlag / GGWV Fachverlage GmbH.
Ziegler, F., 1998. Technische Mechanik der festen und flüssigen Körper. 3. Auflage. Wien,
New York: Springer.
Fotoverzeichnis und Quellenangabe
Foto 1, Seite 16: Pankebrücke in Berlin. Quelle: Gregull + Spang. Ingenieurgesellschaft für
Stahlbau mbH, Berlin. http://www.gregull-spang.de/_content/Referenzen/FussgaengerBruecken.htm
Foto 2, Seite 22: Pratt truss in Las Vegas, Nevada. Photographer: William G. Godden. Courtesy of the National Information Service for Earthquake Engineering, EERC, University of
California, Berkeley. http://nisee.berkeley.edu/elibrary/Image/GoddenD5