kern- und teilchenphysik

K ERN -
UND
T EILCHENPHYSIK
Prof. Dr. Uli Katz
Sommersemester 2005
µ+
µ−
γ
e−
e+
γ
e−
e+
INHALTSVERZEICHNIS
INHALTSVERZEICHNIS
Inhaltsverzeichnis
1
Einführung
4
2
Kerne:Aufbau, Masse, Bindungsenergie
2.1 Zusammensetzung der Kerne, Ladungs- und Neutronenzahl
2.1.1 Protonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Neutronen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Nuklide, Isotope, Isobare, Isotone . . . . . . . . . . . . .
2.3 Kernmassen und Bindungsenergie . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Messung von Kernmassen . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Die atomare Masseneinheit u . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Bindungsenergie . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.4 Die Massenformel von Weizsäcker . . . . . . . . .
3
Kernzerfall und Kernspaltung
3.1 Zerfallsarten . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Der α - Zerfall . . . . . . . .
3.1.2 Der β + /β − - Zerfall . . . . .
3.1.3 Spontane Kernspaltung . . . .
3.1.4 Kernanregungen . . . . . . .
3.2 Das radioaktive Zerfallsgesetz . . . .
3.2.1 Mittlere Lebensdauer . . . . .
3.2.2 Zerfallsketten . . . . . . . . .
3.2.3 Altersbestimmung . . . . . .
3.3 Der Alpha- Zerfall . . . . . . . . . .
3.4 Beta- Zerfall . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Zerfallsreihen (-ketten) . . . . . . . .
3.6 Kernspaltung (spontan und induziert) .
3.7 Zerfall angeregter Kerne . . . . . . .
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4
Untersuchung von Kernen in Streuexperimenten
4.1 Relativistische Kinematik von Streuprozeßen . . . . . . . .
4.1.1 Lorentz-Transformation und Vierervektoren . . . . .
4.1.2 Energie, Impuls und invariante Masse . . . . . . . .
4.1.3 Charakteristische Variablen von Streuprozessen . . .
4.2 Wirkungsquerschnitt und Fermis Goldene Regel . . . . . . .
4.2.1 Definition und geometrische Interpretation . . . . .
4.2.2 Fermis Goldene Regel . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Rutherford-Streuung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Elastische Elektron-Kern-Streuung . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Der Impulsübertrag . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2 Formfaktoren und geometrische Gestalt von Kernen
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INHALTSVERZEICHNIS
INHALTSVERZEICHNIS
5
Leptonenstreuung am Nukleon
5.1 Elastische Elektron-Nukleon-Streuung . . . . . . . . .
5.2 Rückstoßkorrektur . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Streuung punktförmiger Spin- 12 -Teilchen . . .
5.2.2 Elektrische und magnetische Formfaktoren . .
5.3 Resonanzanregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Tiefinelastische Streuung . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.1 Strukturfunktionen . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.2 Partonverteilung und Scaling . . . . . . . . . .
5.4.3 Wirkungsquerschnitt tiefinelastischer Streuung
5.4.4 Summenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.5 Scaling-Verletzung . . . . . . . . . . . . . . .
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6
Die Elektromagnetische Wechselwirkung
6.1 Theoretische Behandlung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.1 Die Dirac-Gleichung, Lösungen für freie Teilchen
6.1.2 Strom-Strom-Kopplung . . . . . . . . . . . . . .
6.1.3 Elemente von Feynman-Graphen . . . . . . . . . .
6.1.4 WQ und Lebensdauer . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 e+ e− - Reaktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1 e+ e− → µ + µ − - Reaktionen . . . . . . . . . . . .
6.2.2 e+ e− → qq → Hadronen . . . . . . . . . . . . . .
6.2.3 qq Resonanzen und Breit-Wigner Resonanzkurve .
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7
Die Starke Wechselwirkung
7.1 QCD = Quantenchromodynamik (Die Regeln) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Prozesse der starken Wechselwirkung (Beispiele) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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90
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8
Die schwache Wechselwirkung
8.1 Die Mitspieler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.1 Die Leptonen . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.2 Die Quarks . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.3 Die W ± - und Z-Bosonen . . . . . . . . . . .
8.2 Regeln der schwachen Wechselwirkung . . . . . . .
8.2.1 Geladene Ströme (W ± -Austausch) . . . . . .
8.2.2 Neuatrale Ströme (Z-Austausch) . . . . . . .
8.3 Paritätsverletzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.1 Das Wu-Experiment . . . . . . . . . . . . .
8.3.2 (V − A)-Theorie und maximale P-Verletzung
8.4 Ladungskonjugation, CP und CP-Verletzung . . . . .
8.4.1 Ladungskonjugation C . . . . . . . . . . . .
8.4.2 Die CP-Transformation . . . . . . . . . . . .
8.4.3 CP-Verletzung . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5 Aktuelles zur ν -Physik . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5.1 Direkte Messung von ν -Massen . . . . . . .
8.5.2 Atmosphärische Neutrinos . . . . . . . . . .
8.5.3 Solare Neutrinos . . . . . . . . . . . . . . .
2
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120
122
122
123
124
INHALTSVERZEICHNIS
8.5.4
9
INHALTSVERZEICHNIS
Neutrino-Oszillationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Das Standardmodell
9.1 Eichtheorien . . . . . . . . .
9.1.1 Die Lagrangedichte .
9.1.2 Lokale Eichinvarianz
9.2 Elektroschwache WW . . .
9.3 Der Higgs-Mechanismus . .
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131
10 Mesonen und Baryonen
10.1 (Leichte) Mesonen . . . . . . . . . . . . .
10.1.1 Starker Isospin . . . . . . . . . . .
10.1.2 Meson Multipletts . . . . . . . . .
10.2 Baryonen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.1 Baryon Multipletts . . . . . . . . .
10.2.2 Massen und magnetische Momente
10.3 Quarkonia . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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11 Kernmodelle
144
11.1 Das Nukleon-Nukleon-Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
11.2 Fermi-Gas-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
11.3 Das Schalenmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
3
1 EINFÜHRUNG
1 Einführung
Typische Skalen von Kernen und Teilchen
Atom
Kern
Teilchen
10−10 m
10−15 m
10−18 m
10 eV
1 MeV
>1GeV
Eigenschaften der Kerne
• Sie vereinigen fast die gesamte Masse der Materie
• Sie bilden das Zentrum der Atome
• Sie wurden von Rutherford entdeckt
• Der Kernradius entspricht etwa 10 −4 . . . 10−5 Atomradien
• Sie bestehen aus Z Protonen und N Neutronen. Die Summe = A = Massenzahl
• Die Ladung beträgt Ze
• Das Ordnungsschema ist die Nuklidkarte
• Protonen und Neutronen sind dabei nicht elementar (punktförmig)
Abbildung 1: Ausschnitt aus der Nuklidkarte
4
1 EINFÜHRUNG
Elementarteilchen
• Sind punktförmig
– Elektronen, µ ,τ , Neutrinos (νe , νµ , ντ ) als Leptonen
– Quarks (welche die Nukleonen bilden) als Hadronen
• Das Standardmodell beruht auf der elektroschwachen Theorie und der Quantenchromodynamik
• Die fundamentalen Teilchen sind 12 Fermionen ( Spin 1/2 Teilchen)
– darunter 6 Quarks
– und 6 Leptonen
• die Einteilung erfolgt in sog. “ Generationen“ mit aufsteigender Masse
• Materie ist aus den Elementarteilchen und ihren Antiteilchen aufgebaut
• zu jedem der genannten Teilchen existiert also noch das entsprechende Antiteilchen
1.Generation
2.Generation
3.Generation
Quarks
d (down
u (up)
s (strange
c (charme)
b (bottom
t (top)
Q/e
−1/3
+2/3
−1/3
+2/3
−1/3
+2/3
Leptonen
Elektron-Neutrino νe
Elektron e−
Myon-Neutrino ν µ
Myon
Tau-Neutrino ντ
Tau τ
Q/e
0
−1
0
−1
0
−1
• νe und e gehören in die “ normale Welt“, ν τ , νmu , µ , τ in eine “ künstliche Welt “ bzw. Urknall
Fundamentale Wechselwirkungen
• Die Theorie der Wechselwirkungen unterliegt der Universalität.
– Dies bedeutet, dass sich die Teilchenfamilien nur hinsichtlich ihrer Masse,
– nicht jedoch hinsichtlich der Wechselwirkungen unterscheiden.
• Die bekannte Welt wird durch 4 fundamentale Wechselwirkungen vollständig beschrieben
– Gravitation
– Elektromagnetische Wechselwirkung
– Starke Kernkraft
– Schwache Kernkraft
• im Sinne der großen vereinheitlichtenTheorie lassen sich die letzten drei Kräfte auf eine universelle Kraft zurückführen. Dies konnte jedoch noch nicht genügend bestätigt werden. Die
Gravitation fällt zunächst heraus
5
1 EINFÜHRUNG
Wechselwirkung
starke
elektromagnetische
schwache
Gravitation
Stärke
(relativ)
Reichweite
(m)
1
10−2
10−14
10−38
≈ 10−15
∞
≈ 2 · 10−18
∞
Wechselwirkung
zwischen
Farbladungen und Quarks
elektrische Ladungen
Leptonen und Hadronen
allen Teilchen
Feldquanten
(Eichbosonen)
Gluonen g
Photonen γ
W ± -, Z 0 -Bosonen
Gravitonen
Die Wechselwirkungen werden durch vier Austauschteilchen, die Vektorbosonen, vermittelt. Dies
wird am besten bildlich in den Feynman-Diagrammen dargestellt.
Auch für die Gravitation:
p
p
G
Graviton
p
p
Elektromagnetische Wechselwirkung
• Klassisch:
geladene Teilchen
→ elektromagnetisches Feld wirkt auf andere geladene Teilchen
→ wechselseitige Beeinflussung
• Quantenmechanik:
Quantisierung des elektromagnetischen Feldes
→ Photon als Feldquant ( γ )
→ γ “koppelt“ an die Ladungen und vermittelt so die elektromagnetsiche Wechselwirkung
e−
e−
e−
γ
e−
Schwache Wechselwirkung
• massive Austauschteilchen: W + , W − oder Z 0
• M » 0 (≈ 80 Protonenmassen)
• Spin 1
• Bei Ladungsübertrag trägt das Austauschteilchen die entsprechende Ladung fort
• einzige Wechselwirkung, bei der Elementarteilchen ineinander übergehen können
6
1 EINFÜHRUNG
e−
νe
W
νe
νe
e−
νe
e−
Z0
e−
Starke Wechselwirkung ( “Kernkraft“)
• verantwortlich für die Kernbindungen
• verantwortlich für die Bindung von Quarks in Hadronen
• Feldquanten: Gluonen g
• Masse 0
• Spin 1
• “elm. Ladung“= “Farbladung“
q
q
g
q
q
Grundsätzliches zu Experimenten der Kern- und Teilchenphysik
Kleine Längenskalen
Demzufolge große Impulsunschärfen, hohe Impulse und Energien der Teilchen
∆p ∆x ≥ h̄
|{z} |{z}
gro
klein
Für gezielte Experimente sind noch weit größere Impulse und Energien erforderlich: Beschleuniger
und Teilchendetektoren
Der Weg zum Teilchen:
Von der Atomphysik gelangt man zur Kernphysik und von dort zur Teilchenphysik
Die Theorie der Teilchenphysik beinhaltet vor allem
• Quantenfeldtheorie
• Eichtheorien
Die Experimentalphysik dagegen setzt sich vor allem auseinander mit
• Beschleunigern und Detektoren ( experimentell)
• Beispielsweise: Nachweis und Untersuchung von kosmischer Strahlung
7
1 EINFÜHRUNG
Weitere Richtungen:
• Astroteilchenphysik
• Astrophysik
• Kosmologie
Einheiten und Konventionen
die Teilchen müssen hochenergetisch sein: E min E0 = mc2
• dies erfordert relativistische Rechnungen
• Lichtgeschwindigkeit ist von Bedeutung (3 · 10 8 ms )
• Die Dynamik muss quantenmechansich beschrieben werden
→ Plancksches Wirkungsquantum h̄ = 1, 05 · 1034 Js
• Zur Rechnung bzw. Darstellung verwendet man das “ natürliche “ Einheitensytem ( c = 1 , h̄=
1)
• Dies erfordert eine geeignete Wahl von Weg, Zeit, Masse, Energie und Impuls
• c = Weg / Zeit = 1 → Weg und Zeit brauchen gleiche Einheit
• h̄= Energie · Zeit → Energie und Zeit haben inverse Einheiten
• E 2 = p 2 c2 + m 2 c4 → E 2 = p 2 + m 2
Größe
E
p
m
x
t
-
natürliche Einheiten
eV
eV
eV
5 · 106 eV −1
1, 5 · 1015 eV −1
1eV −1
SI- Einheiten
1, 6 · 10−19 J
5, 3 · 10−28 kg ∗ m/s
1, 8 · 10−36 kg
1m
1s(für> 10−15 s )
6, 6 · 10−16 s(sonst)
Die Längen- und Energieskalen der subatomaren Physik sind durch die Heisenbergsche
Unschärferelation verknüpft.
Dabei kann man sich die Plancksche Konstante gemäß der folgenden Relation merken:
h̄c = 197MeV f m
Am besten rechnet man zwischen natürlichen und SI- Einheiten über Dimensionsbetrachtungen um.
Dazu sucht man Faktoren h̄n,c m , die eine gegebene Einheit in das SI- System umrechnen, also
beispielsweise
GeV −2 → m2
In diesem Fall gilt n = m = 2, also muss mit h̄2 ∗ c2 multipliziert werden.
Längen und Flächen
1fm = 10−15 m
8
1 EINFÜHRUNG
1b = 10−28 m2 ( 1 barn)
1mb = 10−31 m2
Energieeinheiten
immer in Elektronenvolt ( Kilo, Mega, Giga, Tera,...)
1ev = 1, 6 · 10−19 J
(h̄c)2 = 0, 388GeV 2 mb
9
2 KERNE:AUFBAU, MASSE, BINDUNGSENERGIE
2 Kerne:Aufbau, Masse, Bindungsenergie
2.1 Zusammensetzung der Kerne, Ladungs- und Neutronenzahl
2.1.1
Protonen
1911: Rutherford entdeckt bei Streuversuchen, dass die Masse der Atome in puntkförmigen Streuzentren vereinigt ist. Im Kern befinden sich Z Protonen. Die Ladung ist Z · e.
1909-1911: C.G. Barkla, H.G.J. Moseley beschießen Atome mit Alpha- Teilchen, Elektronen und
Positronen und Gammastrahlen. Dabei tritt charakteristische Röntgenstrahlung auf, deren Spektrum
vermessen wurde:
Wie durch das Liniendiagramm schematisch dargestellt, entsteht das Spektrum durch den Fall angeregter Elektronen in den Grundzustand, wobei sie ein Photon emittieren. Die Messung der charakteristischen Röntgenstrahlung der Atome zeigte, dass die Kα - Linie proportional zu ( Z-1) 2 ist.
E(Kα ) = 10, 2eV · (Z − 1)2
Man kann auch schreiben:
(Z − 1) ≈ Ze f f
E(γ ) = Ry · (Ze f f )2 · [(1/n f 2 ) − (1/ni2 )]
Ry = m(e)c2 α /2= natürliche Einheiten = m(e)α /2=13,6eV
Dabei ist m(e) eigentlich die reduzierte Masse des Systems Elektron/Kern, kann aber etwa gleich der
10
2.2 Nuklide, Isotope, Isobare, Isotone
2 KERNE:AUFBAU, MASSE, BINDUNGSENERGIE
Elektronenmasse gesetzt werden
α ist die Feinstrukturkonstante, also etwa 1/137
Für die Kα - Linie gilt: nf=1,ni=2
Außerdem gilt in natürlichen Einheiten: E γ = w = 2π /λ
Somit ergibt sich das Moseleysche Gesetz gemäß:
Eγ = Ry(Z − 1)2 · 3/4
2.1.2
Neutronen
wurden bereits 1920 vermutet, da M( Kern) > Z*M(p)
die Ladung des Kerns stimmte jedoch präzise mit Z*e überein ( Genauigkeit 10 −18 )
entdeckt wurden die Neutronen 1932 von Chadwick und James
Chadwick nutzte dabei ein Berylliumpräparat, welches mit Alpha- Teilchen aus einer Poloniumquelle
bestrahlt wurde. Die dabei bereits manifestierte neutrale Strahlung wurde auf Paraffin geleitet, eine
Substanz mit viel Wasserstoffatomen.
Die Neutronen schlugen aus dem Paraffion Protonen heraus. Deren Energie konnte exakt vermessen
werden.
Dabei zeigte sich: die neutrale Strahlung besteht aus Teilchen ähnlicher Masse wie die Protonen.
Chadwick nannte sie Neutronen.
2.2 Nuklide, Isotope, Isobare, Isotone
Ein Nuklid ist ein definierter Anregungszustand eines Kerns mit den Nulkleonenzahlen Z und N und
einer Halbqwertszeit über 10−13 s.
Unter Berücksichtigung A = Z + N , X = chemisches Elementsymbol schreibt man:
A
Z XN
beispielsweise:
12 C
6 6
14 C
6 8
Isotope: besitzen festes Z, verschiedene N und A, sind als gleiche chemische Elemente
Isobare: besitzen festes A, verschiedene Z und N, haben also die gleiche Masse
Isotone: haben festes N, verschiedene Z und A
In der Nuklidkarte:
stehen Isotope nebeneinander
stehen Isobare auf der Diagonalen Z = A - N ( A fest)
stehen Isotone untereinander
11
2.3 Kernmassen und Bindungsenergie
2 KERNE:AUFBAU, MASSE, BINDUNGSENERGIE
2.3 Kernmassen und Bindungsenergie
Die Masse eines Kerns ist ungleich der Summe der Massen seiner Protonen und seiner Neutronen,
wenn man die Masse freier, ruhender Neutronen und Protonen annimmt.
M(Kern) 6= Z · MP + N · MN
2.3.1
Messung von Kernmassen
Die Standardmethode ist der Massenspektrometer.
Im Massenspektrometer wird die Ablenkung von Ionen in elektrischen und magnetischen Feldern gemessen:
Die geltenden Beziehungen kann man sich leicht klarmachen:
Für ein magnetisches Feld ~B:
F~Lor = Q ·~v × ~B
Was eine Kreisbahn erzwingt, falls Geschw. und B- Feld senkrecht zueinander stehen.
In diesem Fall gilt Lorentzkraft = Zentripetalkraft
Auch relativistisch richtig gilt fuer Impulse P: P = Q · B · R B
Und somit gilt: RB =
M v
QB
RB = Radius der Kreisbahn des Elektrons im B-Feld
12
2.3 Kernmassen und Bindungsenergie
2 KERNE:AUFBAU, MASSE, BINDUNGSENERGIE
Zur Massenbestimmung werden elektrische Felder vorgeschalten.
Beim Wien- Filter verwendet man zuerst ein elektrisches Feld, das von einem magnetischen Feld
durchdrungen wird.
In diesem Bereich gilt im Falle eines Kräftegleichgewichts: v = E/B 1
Setzt man diese Bedingung für RB ein, so ergibt sich:
M = Q · R B2 ·
B1 B2
E
Für sektorielle E- Felder gilt aus der Bedingung Zentripetalkraft = Coulombkraft ( F = Q · E für Beträge und Vektoren)
RE =
Mv2
QE
Somit ergibt sich die Masse in Abhängigkeit vom Radius zu:
M = Q · R B2 ·
B1 B2
E
Die Genauigkeit beträgt 10−6 . . . 10−9
⇒ Massendublett-Methode
Bestimmung über Kernreaktionen
Auch über Kernreaktionen kann die Masse bestimmt werden.
1
6
3
6
3
4
1 H +3 Li → 2 He + 2 He ⇐⇒ 3 Li(p, α )2 He
|{z}
|{z}
p
α
Kennt man drei Massen, so kann man die kinetischen Energien messen und daraus die vierte Masse
bestimmen.
13
2.3 Kernmassen und Bindungsenergie
2 KERNE:AUFBAU, MASSE, BINDUNGSENERGIE
Nämlich:
E(p) + E(Li) = E(He-3) + E(He-4)
Dabei: E = M + T → E(p) = M(p) + T(p) (T=kin. Energie)
Q = ∑ Mi − ∑ M f = ∑ T f − ∑ Ti (i=Anfangszustand, f=Ende)
i
f
f
i
Q > 0 → exotherm
Q < 0 → endotherm
Q ist die Wärmeentwicklung bei einer Kernreaktion.
Die Wärme allerdings, die alleine durch den Zerfall entsteht, als “Geschwindigkeit“ der Bruchstücke
vorliegt.
Bei Kernreaktoren wird vor allem die kinetische Energie der Teilbruchstücke in Wärme umgewandelt.
2.3.2
Die atomare Masseneinheit u
Besonders geeignet zu Festlegung der atomaren Masseneinheit ist
12C
6 6
1u ist dabei exakt 1/12 der Masse eines 12 C- Atoms
1u = 931,494013(37)MeV = 1,6653873(13)·10 −27 kg
M p = 1,00727646688(13) u
Mn = 1,00866491578(55) u
2.3.3
Bindungsenergie
M
A
ZX
< Z · MP + (A − Z) ·MN
| {z }
N
B = Z · M(p) + (A − Z) · M(n) + Z · M(e) − M(Atom) (für neutrale Atome)
Kerne: B/M≈0,01, Atome: B/M≈ 10−6
⇒ Kerne sind stark gebundene Systeme!
Dies folgt trivial aus der Einsteinschen Masse- Energie- Äquivalenz: E = mc 2
Die Bindungsenergie wird frei, wenn ein Atom aus seinen Bestandteilen gebildet wird.
Die Atomkerne mit den höchsten Bindungsenergien sind dabei im Allgemeinen stabiler.
Dementsprechend ist die Lebensdauer der Elemente und damit die Häufigkeit im Universum eng verknüpft mit der mittleren Bindungsenergie ( B / A)
In die Häufigkeit der Elemente im Universum spielt natürlich aber auch die mittlere Bildungdauer
schwerer Kerne mit ein.
Der stabilste Kern ist Fe-56. Alle leichteren Kerne fusionieren exotherm, wenn die mittlere Bindungsenergie des Produktes größer ist als die mittlere Bindungsenergie der Ausgangselemente.
Dementsprechend können alle Nuklide bis zum Eisen durch Fusion erzeugt werden. Schwerere Kerne
14
2.3 Kernmassen und Bindungsenergie
2 KERNE:AUFBAU, MASSE, BINDUNGSENERGIE
entstehen bei Supernovaexplosionen beispielsweise durch “ Zusammenschuß“ leichterer Kernfragmente.
15
2.3 Kernmassen und Bindungsenergie
2 KERNE:AUFBAU, MASSE, BINDUNGSENERGIE
Funktion der mittleren Bindungsenergie:
16
2.3 Kernmassen und Bindungsenergie
2 KERNE:AUFBAU, MASSE, BINDUNGSENERGIE
17
2.3 Kernmassen und Bindungsenergie
2.3.4
2 KERNE:AUFBAU, MASSE, BINDUNGSENERGIE
Die Massenformel von Weizsäcker
Der Kern ist ein “ kugelförmiges Tröpfchen“.
Dementsprechend müssen versch. phänomenologische Aspekte zur Bindungsenergie beitragen (angen. konstante, homogene Dichte)
Dabei gilt: ( kann nicht oft genug betont werden):
Jede Form der Energie geht in die Masse eines Objekts mit ein.
Besitzt ein Objekt ein Potenzial, so setzt sich die Masse aus seiner Eigenmasse und der Energie seines
Potenzialfeldes zusammen:
e−Bindungsenergie
M(A, Z) =
−





Z · (M(p) + M(e)) + (A − Z) · M(n) −
av A
−as A2/3
|{z}
| {z }



Volumenterm Oberflächenterm
z}|{
∆Be





(N − Z)2
δ
Z2
−aa
−ac 1/3
− 1/2
A }

{z4A }
|
| {z
| A
{z } 


Coulomb-Term Asymmetrieterm Paarungsterm
Die Werte der Parameter sind:
av = 15,67 MeV
as = 17,32 MeV
ac = 0,714 MeV
aa = 93,15 MeV

 −11, 2MeV (Z und N gerade (gg-Kerne))
(A ungerade (gu oder ug- Kerne))
δ= 0

+11, 2MeV Z und N ungerade( uu- Kerne))
Volumenterm
Kernkräfte sind sehr kurzreichweitig. Jedes Nukleon sieht dementsprechend nur eine feste Zahl von
Nachbarn, nicht jedoch alle.
Unter der Annahme eines unendlich ausgedehnten Kerns ist B v = 1/2 · A · B0 · N0 , falls B0 die Bindungsenergie zu einem Nachbarn ist und N0 die Zahl der Nachbarn, die ein Nukleon “ sieht“.
→ av = 1/2 · N0 · B0
Oberflächenterm
Nukleonen an der Oberfläche haben weniger Nachbarn ( Effekt der Oberflächenspannung).
Dies muss folglich von Bv abgezogen werden. Unter Berücksichtigung von konstanter Dichte ist
Bs = −Nauen · ∆N0 · B0
Der Term ist ∼ R2 , also ∼ A2/3
Coulomb- Term
Die starke Kernkraft muss natürlich diesen Betrag an Energie aufbringen, nämlich die elektromagnetische Abstoßung zweier Kerne.
Als gesamte potenzielle Energie einer geladenen Kugel mit Radius R und Ladung +Ze ergibt sich:
2
Bc = 53 ZRα (h̄c)
|{z}
=1
18
2.3 Kernmassen und Bindungsenergie
2 KERNE:AUFBAU, MASSE, BINDUNGSENERGIE
Herleitung:
Pot. Energie zweier Punktladungen im Abstand r
E=
Z1 Z2 e2
Q1 Q2
=
h̄c
4πε0 r
r 4πε0 h̄c
| {z }
=α
Aufbau einer homogenen geladenen Kugel aus Kugelschalen:
dEC
=
α
Q(r) dQ(r)
e
e
r
r 3
Ze 4π 3
4π 3
Q(r) = ρe r =
r
=
Ze
3
4/3π R3 3
R
2
r
dQ(r) = ρe 4π r2 dr = 3Ze 3 dr
R
4 dr
r
⇒ dEC = 3Z 2 α 6
R
Z
Z R
r4 dr
R5
⇒ EC =
dEC =
3Z 2 α 6 = 3Z 2 α 6 = 3Z 2 α 1/R
R
5R
Kern
0
α
Oft auch: EC = 53 Z(Z−1)
R
(=Z·(pot. Energie von Punktladung in homogen geladener Kugel mit Z-1 Ladungen)
Asymmetrieterm
Dieser Term berücksichtigt eine lange rein empirische Tatsache: Stabile Kerne liegen bei Z = N.
Dies kann man auch erklären: p und n füllen den Potentzialtopf des Kerns getrennt nach dem Pauliprinzip auf.
Dabei wird für den Potenzialtopf nur die starke Kernkraft, nicht das Coulombpotenzial berücksichtigt.
Wie man an der grafischen Veranschaulichung sieht, steigt die Energie bei Asymmetrie.
2
Der Term Ba ∼ − (N−Z)
4A , steigt also vom Betrag her deutlich, wenn N-Z groß ist. Die Kerne werden
in diesem Fall höchst instabil. Das Ganze lässt sich im QM Kernmodell (z.B. Fermigas-Modell) begründen.
19
2.3 Kernmassen und Bindungsenergie
2 KERNE:AUFBAU, MASSE, BINDUNGSENERGIE
In Wirklichkeit liegt der Potenzialtopf der Neutronen aber insgesamt tiefer als der der Protonen.
Dementsprechend ist es sogar günstiger, wenn N > Z
Paarungsterm
Eine systematische Betrachtung der Kernmassen zeigt, dass eine gerade Zahl von Protonen oder Neutronen die Stabilität des Kerns erhöht. Dies wird interpretiert als die Kopplung von Neutronen und
Protonen zu Paaren.
Die Paarungsenergie ist von der Massenzahl abhängig, weil die Überlappung dieser Wellenfunktionen
bei größeren Kernen geringer ist.
14
Dies führt sogar dazu, dass uu- Kerne bis auf wenige Ausnahmen (Deuterium 21 H, 63 Li, 10
5 B, 7 N) instabil sind .
Das Maximum der Bindungsenergien beim Eisen ergibt sich als Summe all dieser Effekte.
Massenformel für Isobare:
Man betrachte die Weizsäckerformel:
Z2
(N − Z)2
δ
M(A = const, Z) = A · Mn + Z (MP + Me − Mn ) − aν A − aS A2/3 − aC 1/3 − 1/2 − aa
|
{z
}
A
A
| 4A
{z }
δ M=−0,782MeV
= (A/2−Z)
A
20
2
2.3 Kernmassen und Bindungsenergie
2 KERNE:AUFBAU, MASSE, BINDUNGSENERGIE
δ
A
= AMN − aν A + aS A + 1/2 + aa
4}
A
|
{z
2/3
−
unabhngigvonZ
⇒ Parabel in Z!
Minimum: ∂ M(A,Z)
=0
∂Z
h
i
C
+ aAa = aa − δ M
→ 2Z Aa1/3
⇒Z=
A a a −δ M
2 aa +aC A2/3
=
A
1
2 0,992+0,0076A2/3
21
1
aa
Z[aa − δ M] + Z aC 1/3 +
A
A
2
3 KERNZERFALL UND KERNSPALTUNG
3 Kernzerfall und Kernspaltung
Von ca. 2000 bekannten Nukliden sind nur etwa 261 stabil.Der schwerste stabile Kern ist
⇒ wie zerfallen die anderen?
209 Bi
83
3.1 Zerfallsarten
Ein Kernzerfall ist der Übergang eines Kerns in zwei oder mehr Kernbruchstücke, wobei noch Neutrinos, Elektronen oder deren Anteiteilchen oder Photonen frei werden können.
A
Z XN
0
→AZ 0 X 0 N 0 +
...
|{z}
weitere Kerne, γ , e± , ν
Kernzerfälle unterliegen der Energieerhaltung: ( f kennzeichnet final state objects, also die entstehenden Spaltprodukte, i die Ausgangssubstanzen, nämlich initial state objects)
Für einen ruhenden Ausgangskern gilt folglich:
Mi (A, Z) = ∑(M f + T f )
|{z}
f
>0
Natürlich muss auch die Zahl der Nukleonen erhalten bleiben:
A = ∑Af
f
⇒Ein Zerfall findet nur statt, wenn die Endprodukte im Mittel stärker gebunden sind als die Edukte:
∑ B f − Bi (A, Z) > 0
(δ M = Mn − M p vernachlässigt)
f
Somit könnte man sich fragen, ob ein Nuklid beispielsweise freiwillig ein Neutron abgeben kann?
A
Z XN
→ZA−1 X 0 N−1 + n
Dies wäre nur möglich, wenn B ( A-1, Z) > B( A,Z), was jedoch nicht erfüllt sein kann
( stabilisierender Effekt der Neutronen).
132
Am ehesten würde man
o das bei n- reichen Kernen vermuten, z.B. 49 In (uu!), aber:
B(132,49) = 1089,56MeV
B(131,49) = 1087,22MeV
3.1.1
⇒ Zerfall verboten!
Der α - Zerfall
Das Alpha Teilchen ( He-4) ist von den leichten Kernen am stärksten gebunden. Die Gesamtbindungsenergie liegt bei 28,3 MeV.
AX
Z N
A−4 0
→Z−2
XN−2 +42 He2
ist für viele Nuklide energetisch erlaubt.
22
3.1 Zerfallsarten
3 KERNZERFALL UND KERNSPALTUNG
2-Körper-Zerfall ⇒ Tα =fest
0
Z−2
< NZ )
Für N > Z wird Z / N kleiner (d.h. NZ 0 = N−2
⇒ Kerne , die Alpha- Zerfall betreiben, bewegen sich in der Nukidkarte auf der Winkelhalbierenden
nach unten.
Liegen die Kerne über der Region stabiler Kerne, haben aber mehr Neutronen als Protonen, so nähern
sie sich bei diesem Prozeß an diese an. ( von oben).
Kerne, die im Verhältnis zu ihrer Neutronenzahl zu viele Protonen haben ( zwischen N=Z und Region
stabiler Kerne) können sich über Alpha- Zerfall stabilisieren.
3.1.2
Der β + /β − - Zerfall
freie Neutronen zerfallen:
n → p + e− + ν̄e , mit ν̄e = Elektronenantineutrino.
Die Massenbilanz beträgt: Mn − M p − Me − Mν = δ M = 0, 782MeV <<
|{z}
B
A
≈0
Ob ein solcher Zerfall erlaubt ist, hängt folglich von der Differenz der Summe der finalen Bindungsenergien und der initialen Bindungsenergie ab.
Zusätzlich erlaubt:
p(Kern) → n ( Kern) + e+ + νe
(β + -Zerfall; Dies kann ein freies Proton wegen δ M < 0 nicht!)
p(Kern) + e− → n( Kern) + νe
(K- Einfang, ε )
Für Kerne ergibt das:
AX
Z N
→AZ+1 X0N−1 + e− + ν¯e (β − -Zerfall)
AX
Z N
→AZ−1 X0N+1 + e+ + νe (β + -Zerfall)
AX
Z N
+ e− →AZ−1 X0N+1 + νe + γ (ε = K-Einfang)
Das γ beim K-Einfang kommt typischerweise aus Abregung elektrischer Anregung.
In der Nuklidkarte ergibt sich das folgende Bild:
3.1.3
Spontane Kernspaltung
Einige sehr schwere Kerne können sich ( vor allem für Z > 110, also nicht für natürlich vorkommende
Kerne) spontan in 2 oder mehr Kernbruchstücke spalten. Dabei wird meist eine gewisse Zahl von
Neutronen frei.
A2 0 2
A1 0 1
A
Z XN → Z1 X N1 + Z2 X N2 + k · n
23
3.2
Das radioaktive Zerfallsgesetz
3.1.4
3 KERNZERFALL UND KERNSPALTUNG
Kernanregungen
Für Kerne mit gegebenem ( A,Z) existieren i.a. mehrere Anregungszustände mit gewissen mittleren
Lebenszeiten, die über γ -Emission zerfallen:
A ∗
Z XN
→ AZ XN +
γ
|{z}
typisch einige MeV
Die Bindungsenergie des angeregten Kerns entspricht dabei der Summe aus Bindungsenergie des abgeregten Kerns, Energie der Gammaquanten und kinetischer Energie des Kerns nach Abregung (im
Allgemeinen sehr klein).
B(X ∗ ) = B(X) + Eγ + TX
|{z}
klein
3.2
Das radioaktive Zerfallsgesetz
Allgemeine Voraussetzung: Objekte zerfallen mit konstanter Wahrscheinlichkeit in der Zeit
( irreversibel)
∆N = −const · N∆t
Dabei ist ∆N die Zahl der Zerfälle in ∆t und N die Zahl der Kerne zur Zeit t
Somit:
dN
dt
−const
·N
| {z }
Zerfallskonstante λ
−
λ
t
N(t) = N0 e
[N0 = N(t = 0)]
Als Aktivität wird die gemäß Voraussetzung konstante Zerfallsrate pro Zeiteinheit angenommen:
=
−λ t = A e −λ t
A(t) = | dN
0
dt | = λ N0 e
24
3.2
Das radioaktive Zerfallsgesetz
3 KERNZERFALL UND KERNSPALTUNG
Die Einheit der Aktivität ist das Bequerel, Bq = 1/s. Umrechnung: 1Ci = 1 Curie = 3,7 10 10 Bq
(die Aktivität von 1 g Radium)
3.2.1
Mittlere Lebensdauer
τ=
t| dN
dt |dt
R dN
| dt |dt
R
R∞ −λ t
te dt
0
= R∞
0
e−λ t dt
=
1
λ
Bekanntlich ist die mittlere Lebensdauer gerade die Zeit, in der der Anfangsbestand auf 1/e gesunken
ist.
Für die Halbwertszeit t 1/2 gilt: N(t 1/2 ) = 1/2 · N0
somit folgt durch Einsetzen: t1/2 = ln2
λ = ln2 · τ
25
3.2
Das radioaktive Zerfallsgesetz
3 KERNZERFALL UND KERNSPALTUNG
Mehrere Zerfallskanäle
dN
dt
= (−λ1 − λ2 − .. − λn ) N(t)
|
{z
}
λ = ∑ i λi
Somit addieren sich die Zerfallskonstanten einfach. Für die mittlere Lebensdauer gilt folglich:
τ=
1
∑ λi
i
3.2.2
Zerfallsketten
Zerfallsketten sind Reihen von sukzessiven Zerfällen
λ
λ
λ
1
2
n
N1 −→
N2 −→
N3 . . . −→
Nn+1
Dadurch ergibt sich ein System n gekoppelter Differentialgleichungen mit n Randbedingungen
dN1
dt
= −λ1 N1 mit N1 (0) = N10
dN2
dt
= −λ2 N2 + λ1 N1 mit N2 (0) = 0
dN3
dt
= λ2 N2 − λ3 N3 mit N3 (0) = 0
Als Lösungsansatz wählen wir:
N1 (t) = N10 e−λ1 t
N2 (t) = C21 e−λ1t +C22 e−λ2 t
N3 (t) = C31 e−λ1t +C32 e−λ2 t +C33 e−λ3 t
Dieser Lösungsansatz wird in die Differenzialgleichungen eingesetzt. für dN / dt beispielsweise kann
man den Lösungsansatz differenzieren. Das Ergebnis wird mit den rechten Seiten des DGS gleichgesetzt, wobei für N1 , N2 , etc... wieder die Werte aus dem Lösungsansatz verwendet werden:
dN2
dt
= −λ1C21 e−λ1t − λ2C22 e−λ2 t = −λ1 N10 e−λ1t − λ2 (C21 e−λ1t +C22 e−λ2t )
Ein Koeffizientenvergleich liefert
−λ1C21 = λ1 N10 − λ2C21
−λ2C22 = −λ2C22
Zusätzlich können die Anfangsbedingungen verwendet werden
N2 (0) = 0 → C21 +C22 = 0
26
3.2
Das radioaktive Zerfallsgesetz
3 KERNZERFALL UND KERNSPALTUNG
Und die Koeffizienten C21 und C22 sind bestimmt:
C21 = N10 λ2λ−1λ1
C22 = −C21 = N10 λ1λ−1λ2
Die Lösung ist also gefunden: N2 (t) = N10 λ2λ−1λ1 (e−λ1t − e−λ2t )
oder für die Aktivität: A2 (t) = λ2 N2 (t) = N10 λλ21−λλ21 (e−λ1t − e−λ2t )
3.2.3
Altersbestimmung
Idee: N( radioaktiv)/ N( geeicht) = f(t)
Bestimmung der geeichten Nuklide ( Aktivität) durch Probe bekannten Alters.
Anschließend: Bestimmung des Alters über Aktivität einer Probe
Prominentestes Beispiel: C-14- Methode
C-12 ist stabil ( 98,89 Prozent)
C-13 ebenso mit 1,11 Prozent
C-14 dagegen:
14
6 C
−
→14
7 N + e + ν̄e
Die Halbwertszeit beträgt: 5730 Jahre
C-14 wird dabei aber in der Atmosphäre ständig neu gebildet. Dies geschieht durch Kollision von
Neutronen der kosmischen Höhenstrahlung mit Stickstoff:
n + 147 N →14
6 C
In der Geschichte hat sich inzwischen ein Gleichgewicht eingestellt. In diesem ist die Konzentration
an C-14 ≈ 10−12 Prozent.
Nach dem Absterben eines Organismus wird jedoch kein Kohlenstoff mehr durch Stoffwechsel ausgetauscht. Dementsprechend verhält sich die Konzentration an C-14:
t
− t1/2
ln2
N(C−14)
N(C−12)
=e
N(C−14)
N(C−12)
= R 0 e −λ t
10−12
Anwendung: Altersbestimmung:
Zuerst beschaffe man sich eine Probe mit Kohlenstoff:
A(C−14)
N(C−12)
= λ R 0 e −λ t
somit ergibt sich: t = − λ1 ln λ RA(C−14)
0 N(C−12)
Die Aktivität des C-14 kann bei Kontrolle aller weiteren potenziellen radioaktiven Quellen gemessen
27
3.2
Das radioaktive Zerfallsgesetz
3 KERNZERFALL UND KERNSPALTUNG
werden. Lambda ist bekannt und R0 ist eben der Wert der Gleichgewichtskonzentration ( 1, 2 · 10 −12
), der aus Eichmessungen bestimmt wurde.
Zur Durchführung des Prozesses wird eine Probe Kohlenstoff präpariert und abgewogen.
Direkte Messung von N( C-14) / N( C-12)
Dies geschieht durch den Einsatz von C − - Ionen in Beschleunigern ( Massenspektrometern).
Beispiel: “AMS“ ( Accelerator / Mass Spectrometer)
28
3.3 Der Alpha- Zerfall
3 KERNZERFALL UND KERNSPALTUNG
3.3 Der Alpha- Zerfall
AX
Z N
A−4 0
→Z−2
XN−2 +42 He2
Massen- und Energiebilanz
M(A, Z) = M(A − 4, Z − 2) + M(α ) + TX 0 + Tα
M(A, Z) = Z(M p + Me ) + (A − Z)(Mn) − B(A, Z)
M(A − 4, Z − 2) = (Z − 2)(MP + Me ) + (A − Z − 2)Mn − B(A − 4, Z − 2)
M(α ) = 2(MP + Me ) + 2Mn − Bα
Die Differenz zwischen den Bindungsenergien muss direkt in kinetische Energie = Wärmeenergie der
Bruchstücke übergegangen sein ( dB = Q = Wärme)
dB = B(α ) + B(A − 4, Z − 2) − B(A, Z) = ∑ T f
f
α
(A, Z)
(A − 4, Z − 2)
~p(α ) = −~p(A − 4)
kinetische Energien:
T (α ) + T (A − 4) = Q =
Q = Tα (1 +
|p(α )|2
2M(α )
2
+ |p(A−4)|
2M(A−4)
M(α )
)
M(A − 4)
| {z }
i.a.klein
also gilt etwa: Q ≈ Tα
Typische Werte für Q liegen ca. zwischen 4 und 9 MeV.
Die potenzielle Energie V(α ) des α - Teilchens ist in der Nähe durch die starken Kernkräfte bestimmt.
In der Ferne, also in einem Abstand, der etwa dem Radius R( A-4) + R(α ) ≈ 1,2 fm·((A−4) 1/3 +41/3 )
entspricht,überwiegt jedoch das Coulombfeld.
Hier trifft das Alpha- Teilchen auf die Coulombbarriere.
Klassisch ist sein Zustand entschieden. Entweder es überspringt die Coulombbarriere oder es bleibt
vor ihr stehen.
Quantenmechanisch besteht jedoch eine gewisse Tunnelwahrscheinlichkeit. Diese Tunnelwahrscheinlichkeit entspricht der Zerfallswahrscheinlichkeit eines Kerns.
Vc (Ri ) = 2α (Z−2)
Ri (hier: α = Feinstrukturkonstante)
(Z−2)
Vc (Ra ) = 2α (Z−2)
Ra = T (α ) → Ra = 2α T (α )
29
3.3 Der Alpha- Zerfall
3 KERNZERFALL UND KERNSPALTUNG
Beispiel:
Z = 71
A = 155
Ri = 6,63 fm
Vc = 2α (Z−2)
Ri → Dabei wurden h̄ und c auf 1 gesetzt
Für Rechnung:
Vc = 2α (Z−2)
Ri 197MeV f m ≈ 30MeV >> T (α ) = 5, 63MeV
Klassisch ist also das Austreten des Alphateilchens aus dem Potenzialtopf nicht möglich.
Für den Tunnelprozess muss eine quantenmechanische Rechnung angesetzt werden. Diese soll hier
nur kurz skizziert werden:
Wichtigste Schritte:
Schrödingergleichung
h̄2
2m ∆Φ + (E −V )Φ
=0
Als Ansatz separieren wir in der Wellenfunktion Radial- und Angularanteil:
Φ = ρ (r)ξ (ϑ , φ ) dabei: u(r):= rρ (r)
Für die Schrödingergleichung folgt:
h̄2 ∂ 2 u(r)
2m ∂ r 2
2
+ (E −V − l(l+1)h̄
2mr )u = 0
Der Drehimpulsterm ist dabei die Zentrifugalbarriere, die Rotationsenergie des Teilchens im Zentralpotenzial.
30
3.3 Der Alpha- Zerfall
3 KERNZERFALL UND KERNSPALTUNG
Hier jedoch l = 0 ( Entweichgeschwindigkeit parallel zum Radius)
Lösungsansatz
1. Welle ( sin,cos) für U>0: e±ikr mit k =
2. Exponentialfunktion für U<0:
e±kr
√
2mU
h̄
mit k =
√
2m|U|
h̄
Die Tunnelwahrscheinlichkeit ergibt sich gemäß:
2
√
− h̄2 2mUd
Ptv = u(v+d)
=
e
u(v)
Dies läßt sich übertragen auf die Coulomb- Barriere
In diesem Fall wird die Coulombbarriere durch Stufenpotentiale approximiert (Abb. 2).
Abbildung 2: Coulomb-Barriere
Die gesamte Tunnelwahrscheinlichkeit ergibt sich gemäß
√
√
2
2
Ptv = ∏ e− h̄ 2m|Ui |4di = e− h̄ ∑i 2m|Ui |4di
i
31
3.3 Der Alpha- Zerfall
3 KERNZERFALL UND KERNSPALTUNG
Dabei kann die Summe durch ein Integral ersetzt werden:
Ptv = e
− h̄2
R
Ra
Ri
√
2m|U(r)|dr
Definition des Gamow- Faktors:
G = − 1h̄
RRa p
Ri
2m|U(r)|dr
In den Gamow- Faktor kann man U(r) = E −V = T (α ) −Vc (r) einsetzen mit
Vc (r) = α 2(Z−2)
r
q
q
i
hq
α)
Ri
Ri
Ri
−
(1
−
)
Dann folgt: G = 2M(
α
2(Z
−
2)
arccos
Ra
Ra
Ra
T (α )
Für Ri Ra kann dies genähert werden:
q
α)
G = 2M(
T (α ) πα (Z − 2)
Dies ist allerdings eine schlechte Näherung für realistische Fälle !
Es ergibt sich der Zusammenhang
1 −2G
e
λ = w(α ) 4t
w(α ) = Bildungswahrscheinlichkeit eines α - Teilchens im Kern ≈ 0,003
4t = Zeitdauer eines Tunnelversuchs.
Dabei kann man setzen: 4t = 2Ra /v(α , a)
wobei v(α , a) = Geschwindigkeit eines α - Teilchens im Kern ≈ 0,1 c
somit folgt: 4t ≈ 4 · 10−22
Das Ergebnis ist die Geiger- Nuttall´sche Regel:
)v(α ,a)
+ 2G
lnτ = −lnλ = −ln w(α2R
a
Beispiele
Kern
Po-212
Ra-224
Nd-144
T(α )[MeV]
8,78
5,70
1,83
f
0,48
0,69
1,01
G
16,8
31,1
60,3
VS [MeV]
26,2
27,1
22,6
t1/2 ( theor.)
7µ s
145d
6, 2 · 1024 a
die Lebensdauer des α - Zerfalls variiert also um etwa 30 Größenordnungen
32
t1/2 ( gemessen)
0,3µ s
3,6d
2 · 1015 a
3.4 Beta- Zerfall
3 KERNZERFALL UND KERNSPALTUNG
3.4 Beta- Zerfall
Historisch:
1914: Elektronen haben kontinuierliches Energiespektrum ( Chadwick)
1933: Pauli postuliert das Neutrino, ein Teilchen mit Spin 1/2, Ladung 0 und Masse ≈ 0 wegen der
Energie- und Drehimpulserhaltung
Das heutige Bild : Beta- Zerfall erfolgt aufgrund der schwachen Wechselwirkung durch Austausch
von Eichbosonen W ± , M(W)≈80GeV
einfache Feynman- Diagramme:
d
u
d
d
u
u
W−
e−
ν¯e
n → p + e− + ν¯e
u
d
u
u
d
d
W+
e+
νe
p → n + e + + νe
Beim Beta- Zerfall gilt dabei Leptonenzahlerhaltung:
Le = N(e− ) − N(e+) + N(νe ) − N(ν̄e )
Es kann also kein Endzustand eines Beta- Zerfalls existieren, bei dem Elektron und Elektroneneutrino oder Positron und Elektronenantineutrino frei werden.
Neutrinos können dabei ( unwahrscheinlich, siehe unten) auch mit Protonen und Neutronen wechselwirken:
p + ν̄e → n + e+
n + νe → p + e −
K- Einfang:
33
3.4 Beta- Zerfall
3 KERNZERFALL UND KERNSPALTUNG
u
d
u
u
d
d
W+
e−
νe
p + e− → n + ν e
Energiebilanzen:
β − -Zerfall:
A
Z XN
→ (AZ+1 XN−1 )+ + e− + ν̄e
Stellt man die Energiebilanz auf, so erhält man:
M(A, Z) = [M(A, Z + 1) − me ] + me + ∑ T f = M(A, Z + 1) + ∑ T f
f
f
Q = M(A,Z) - M(A,Z+1)
Dieses Ergebnis läßt sich vereinfachen:
Q = Z(M p + me ) + NMn − (Z + 1)(M p + me ) − (N − 1)Mn − B(A, Z) + B(A, Z + 1)
= B(A, Z + 1) − B(A, Z) + (Mn − M p − me )
{z
}
|
δM
β + -Zerfall:
A
Z XN
→ (AZ−1 XN+1 )− + e+ + νe
Wir stellen wieder die Energiebilanz auf:
M(A, Z) = [M(A, Z − 1) + me ] + me + ∑ T f
f
Q = M(A,Z) + me - M(A,Z-1)
Auch hier läßt sich die obige Vereinfachung anwenden:
Q = B(A, Z − 1) − B(A, Z) − δ M − 2me
| {z }
−1,8MeV
K-Einfang:
A
Z XN
Die Energiebilanz dafür lautet:
→ (AZ−1 XN+1 )0 + νe
M(A, Z) = M(A, Z − 1) + ∑ T f
f
Q = M(A,Z) - M(A,Z-1)
Q = B(A, Z − 1) − B(A, Z) − δ M
34
3.4 Beta- Zerfall
3 KERNZERFALL UND KERNSPALTUNG
⇒ Offensichtlich ist der K-Einfang energetisch günstiger als der β + -Zerfall, da mehr Reaktionswärme frei wird.
Massenparablen
Zmin =
αakt = 43, 7
1
· 50, 5 = 43, 3
1 + 7, 67 · 10−3 · 21, 69
35
3.4 Beta- Zerfall
3 KERNZERFALL UND KERNSPALTUNG
36
3.5 Zerfallsreihen (-ketten)
3 KERNZERFALL UND KERNSPALTUNG
Isobarenregel
• Bei Isobaren mit ungeradem A existiert genau ein stabiles Nuklid.
• Bei Isobaren mit geradem A existieren mindestens zwei stabile Nuklide meistens gg-Nuklide
2
und keine stabilen uu-Nuklide außer
D, 6 Li, 10 B, 14
7 N
}
|1 3 {z5
∆(Asymmetrieterm) >∆(Paarungsterm)
3.5 Zerfallsreihen (-ketten)
Die allermeisten natürlichen Isotope zerfallen über α - und β -Zerfall (|∆A| = 4, 0).
⇒ Nur Kerne mit ∆A = 4n können durch Zerfall auseinander hervorgehen.
⇒ 4 verschiedene Zerfallsreihen
Nuklidzahl
A = 4n
A = 4n + 1
A = 4n + 2
A = 4n + 3
Name
Thorium
Neptunium
Uran
Actinium
Mutternuklid
232 T h
237 N p
238U
235U
37
Halbwertszeit
1, 4 · 1010 a
2, 1 · 106 a †
4, 5 · 109 a
7, 9 · 108 a
3.5 Zerfallsreihen (-ketten)
3 KERNZERFALL UND KERNSPALTUNG
38
3.5 Zerfallsreihen (-ketten)
3 KERNZERFALL UND KERNSPALTUNG
39
3.6 Kernspaltung (spontan und induziert)
3 KERNZERFALL UND KERNSPALTUNG
Nuklide in diesen Zerfallsreihen kommen „natürlich“vor.
(Dazu weitere, z.B. 40 K (β ± , t1/2 = 1, 25 · 109 a))
3.6 Kernspaltung (spontan und induziert)
Die Bindungsenergie B/A nimmt für
mit A ab.
große A
| {z }
jenseits von Fe
A
Z XN
→ÄZ̈ XN̈ +ȦŻ XṄ
A = Ȧ + Ä
Z = Ż + Z̈
N = Ṅ + N̈
Diese Reaktion hat einen positiven Q-Wert für A ≥ 100.
Beispiel:
238
92 U
→ 2119
46 Pd (Q = 214MeV )
Aber: Große Coulombbarriere
Bsp.
Ż Z̈
Vc = α Ṙ+
= 257, 7MeV > Q
R̈
√
Erinnerung: Gamov-Faktor G ∼ m
wobei m die Masse des tunnelnden Teilchens ist.
Für asymmetrische Fälle (Ż > Z̈) kann Vc ' Q sein → spontane Spaltung
40
3.6 Kernspaltung (spontan und induziert)
3 KERNZERFALL UND KERNSPALTUNG
Quantitative Beschreibung:
Ersetze kugelförmiges „Tröpfchen“durch ein Rotationsellipsoid mit Halbachsen a = R(1+ ε ), b = c =
√R
1+ε
V ell =
4π
4π 3
abc =
R = V Kugel
3
3
ohne Rechnung:
Esell − EsKugel
2
= EsKugel ( ε 2 + O(ε 3 ))
| {z } 5
as A2/3
Ecell − EcKugel
=
1
EcKugel (− ε 2 + O(ε 3 ))
| {z } 5
ac Z 2 A1/3
⇒ ∆E(ε ) = E(ε ) − E(0) =
⇒ Kern instabil, wenn: ∆E(ε ) < 0
Z2
A
>
2as
ac
ε2
(2as A2/3 − ac Z 2 A−1/3 )
5
' 48
⇒ Nuklide mit A > 300 sind instabil.
∆E(ε ) > 0:
spontane Spaltung ist Tunnelprozeß; umso unwahrscheinlicher, desto größer ∆E(ε ) ist.
41
(1)
3.7 Zerfall angeregter Kerne
Induzierte Spaltung
Neutronen-Einfang:
3 KERNZERFALL UND KERNSPALTUNG
A
Z XN
Anregungsenergie:
∗
+ n →ZA+1 XN+1
M(A, Z) + Mn + Tn = M(A + 1, Z) + TȦ +E anr
|{z}
klein
E anr = ∆MA + Tn
233
239
• ∆MA > E akt ⇒ spontane Spaltung; Beispiel: 235
92 U,90 T h,94 Pu
⇒Kernspaltung mit langsamen Neutronen
⇒Kettenreaktionen (Kernreaktor, Atomwaffen)
• ∆MA < E akt ⇒ brauchtTn für Spaltung; Beispiel: 238
92 U
⇒Spaltung nur durch „schnelle Neutronen“
⇒keine Kettenreaktion
3.7 Zerfall angeregter Kerne
Kerne haben i.A. ein reiches Anregungsspektrum.
∆E ≈ σ (1MeV )
Jedes Anregungsniveau ist gekennzeichnet durch
J = Spin
P = Parität = ± 1 (Eigenwert der Wellenfunktion unter Raumspiegelung)
Notation
Niveau mit J, P wird geschrieben als J ±
42
3.7 Zerfall angeregter Kerne
3 KERNZERFALL UND KERNSPALTUNG
„Abregung“angeregter Zustände
A ∗
Z XN
Drehimpulserhaltung:
→AZ XN + γ
|J f − Ji | ≤ Jγ ≤ J f + Ji
|{z}
l
Parität:
Pγ = (−1)l ·
1
−1
:
:
Pi = Pγ · Pf
El : elektrische Multipolentwicklung
Ml : magnetische Multipolentwicklung
Übergangswahrscheinlichkeit:
λ ∼ Eγ (Eγ
B)2l
·
1
−1
:
:
El
Ml
(2)
typische Werte:
A = 100, Eγ = 1MeV
⇒ Eγ B = 0, 03
⇒ (Eγ B)2 ≈ 10−3
→ pro Einheit in l wird „Abregung“um 10 −3 unwahrscheinlicher
→ nur die niedrigsten erlaubten l tragen zum Abregungsprozeß bei
∆J = Ji − J f
Pi
Pf
Pi
Pf
=1
= −1
0
M1
E2
1
M1
E2
E1
|{z}
E1
2
E2
M2
E3
kein0 → 0
lγ = l ≥ 1
Stark unterdrückte Übergänge (∆J ≥ 4) sind sehr langlebig
Beispiel:
110
M4 110
Ag(6+) −→
Ag(2+);t1/2 = 235d
→ soche metastabilen Zustände heißen „Isomere“
43
3
M3
E4
E3
3.7 Zerfall angeregter Kerne
3 KERNZERFALL UND KERNSPALTUNG
44
4 UNTERSUCHUNG VON KERNEN IN STREUEXPERIMENTEN
4 Untersuchung von Kernen in Streuexperimenten
Prinzip eines Streuexperiments
Strahl (e± ), E - r
PP
gestreutes Strahlteilchen (E’, ϑ )
1
P
PP
Target
PP
q
P gestreutes Targetteilchen
(z.B. Kern)
oder System von Teilchen
Messung:
• Energie E’ und Streuwinkel ϑ , ϕ
• Target-System nach Streuung (nicht immer möglich)
• Reaktionswahrscheinlichkeit (→ Wirkungsquerschnitt)
Eigenschaften von Target, Strahlteilchen und Wechselwirkung
4.1 Relativistische Kinematik von Streuprozeßen
Typische Strahlenergien: 1MeV ... 100 GeV
T /M ∼
−3
10
|{z} ...
α ,T =4MeV
106
|{z}
e,T =511GeV
→ Relativistische Rechnung notwendig!
4.1.1
Lorentz-Transformation und Vierervektoren
Transformationen zwischen gleichförmig bewegten Inertialsystemen
45
4.1 Relativistische Kinematik
4 von
UNTERSUCHUNG
Streuprozeßen VON KERNEN IN STREUEXPERIMENTEN
z
z’
6
6
t
t’
- y
x
S
β = vc ; 0 ≤ β ≤ 1;
γ = √ 1 2 ;1 ≤ γ ≤ ∞
S’
x’
β=
t = t’ ⇒ S = S’
→ Lorentztransformation
- y’
v
c
-
0 
t
γ
−β γ
 x   −β γ
γ
  =
 y   0
0
0
0
z

0
0
1
0

0
t
 x
0 

0  y
1
z




1−β
→ inverse Lorentztransformation
  
t
 x  
 =
 y  
z
γ βγ
βγ γ
0
0
0
0
0
0
1
0
→ LT (β ) · LT (−β ) = 14

t
0
 x
0 

0  y
z
1
0



Hintereinanderausführen zweier Lorentztransformationen:
6
6
6
S
S’
-
S”
-
β1
-
β12 -
-
β2
-
LT (β12 ) = LT (β2 )LT (β1 )
Hierfür verwendet man das Additionstheorem der Geschwindigkeiten:
β12 =
β1 + β 2
1+β1 β2
46
(3)
4.1 Relativistische Kinematik
4 von
UNTERSUCHUNG
Streuprozeßen VON KERNEN IN STREUEXPERIMENTEN
⇒ −1 ≤ β12 ≤ 1
Vierer-Vektoren
µ = (0, 1, 2, 3)
 
t
 x 
  = xµ = (t,~x)
 y 
z


E
 px 


 py  = pµ = (E,~p)
pz
(ϕ , ~A): elektromagnetisches PotentialA µ
Skalarprodukte (invariant unter Lorentztransformationen!)
aµ bµ = a0 b0 −~a ·~b = aµ gµγ bγ
metrischer Tensor g µγ

1 0
0
0
 0 −1 0
0 


 0 0 −1 0 
0 0
0 −1

Einschub
Alle physikalischen Gesetze sind Lorentz-kovariant!
4.1.2
Energie, Impuls und invariante Masse
Ein Teilchen mit Masse M ruht in S’:
p0µ = (M,~p = 0)
Nun führen wir eine Lorentztransformation nach S durch:
E
=
γM
↔
γ
=
E
M
px
=
β γM
↔
βγ
=
|~p|
M
py
=
pz = 0
β
=
|~p|
E
→ |~p|
=
β γM
T=E-M
=
(γ - 1)M
47
4.1 Relativistische Kinematik
4 von
UNTERSUCHUNG
Streuprozeßen VON KERNEN IN STREUEXPERIMENTEN
M ist stets die Ruhemasse!
System von Teilchen
Gesamtimpuls:
n
tot tot
ptot
p )
µ = ∑ p µ = (E ,~
(i)
i=1
invariante Masse:
Geschwindigkeit:
q
q
µ tot ) = M tot =
(ptot
·
p
((E tot )2 − (~ptot )2 )
µ
β tot =
|~ptot |
E tot
(4)
⇒ Schwerpunktsystem der Teilchen: LT (β tot )
4.1.3
Charakteristische Variablen von Streuprozessen
• Fixed target:
C
A
- r
H
B HHD
H
*
HH
H
j
H
oft: A = C(e, µ , γ )
elastisch: D = B
inelastisch: D 6= B
D: System vom Target
• Collider:
C
A
- r
D
48
*
B
4.2 Wirkungsquerschnitt und
4 Fermis
UNTERSUCHUNG
Goldene RegelVON KERNEN IN STREUEXPERIMENTEN
Beispiele:
• e+ e− (LEP, SLAC)
• p+ p− (Levatron)
• p+ e− (HERA)
• p+ p+ (LHC)
→ Invariante Masse des Anfangszustandes
S = (pA = pB )2 = p2A + p2B +2(pA pB )
|{z} |{z}
MA2
=
MB2
MA2 + MB2 + 2EA MB
2
2
MA + MB + 2(EA EB −~pA~pB )
: Fixed Target
: Collider
speziell: Strahlenergie M
→ SFT = 2EA MB
→ SColl = 4EA EB
Impulsübertrag
t = (pC − pA )2
=
ME
=
MA2 + MC2 − 2(EE 0 − pp0 cos θ )
−EE 0 1 − cos θ ) = −Q2
| {z }
2 sin2
Außerdem: U = (pD − pA )2
θ
2
s, t, u : Mandelstamen - Variablen
s + t + u = ε M 2 = MA2 + MB2 + MC2 + MD2
4.2 Wirkungsquerschnitt und Fermis Goldene Regel
Der Wirkungsquerschnitt bestimmt, wie häufig (= mit welcher Wahrscheinlichkeit) eine bestimmte
Reaktion bei gegebenem Anfangszustand stattfindet.
Der Wirkungsquerschnitt ist eine zentrale Größe für
experimentelle Messungen und deren theoretische
Deutung in Kern- und Teilchenphysik.
49
4.2 Wirkungsquerschnitt und
4 Fermis
UNTERSUCHUNG
Goldene RegelVON KERNEN IN STREUEXPERIMENTEN
4.2.1
Definition und geometrische Interpretation
H H
HH
HH
HH
HH
H Hd
Strahl - rr
- rrr
rr
- HH
A
HH
50
HH
4.2 Wirkungsquerschnitt und
4 Fermis
UNTERSUCHUNG
Goldene RegelVON KERNEN IN STREUEXPERIMENTEN
d ist dünn, so daß keine Mehrfachstreuung vorkommt.
Definition:
Reaktionen /Zeit
Wirkungsquerschnitt := (Zahl der Streuteilchen
/cm 2 s)(Zahl der Targetteilchen )
σ=
Ṅ
jStrahl · ρS trom · |{z}
Ad
V
geometrische Interpretation
σ = ”effektive Trefferfläche”
= f(Strahl, Target, Reaktion)
Ṅ
σ =
j · NStrom
Ṅ
σ · NStreu
⇒
=
A· j
A }
| {z
|{z}
effektive Trefferfläche
Teilchen, die auf
(Projektion
auf Richeinfallenden Strahl
tung senkrecht zum
„reagieren“
Strahl)
⇒ Ṅ =
j · NStrom ·σ
}
| {z
L =Luminosität
ACHTUNG: Bei Collider-Experimenten wird L anders berechnet!
Immer gilt: Ṅ = L · σ
Differentieller Wirkungsquerschnitt
Wirkungsquerschnitt für Reaktionen mit Endzustandskinematik in „infinitesimalem Phasenraumvolumen“
dσ
dσ =
dπ
|{z}
dπ
Phasenraum
Typische Beispiele
• d π = dΩ = sin ϑ d ϑ d ϕ = Raumwinkelelement
Strahl
HH
HH
ϕ
j
H rm
- udΩ =
HHϑ
HH
H
51
dA
r
= sin ϑ d ϑ d ϕ
4.2 Wirkungsquerschnitt und
4 Fermis
UNTERSUCHUNG
Goldene RegelVON KERNEN IN STREUEXPERIMENTEN
= lim∆Ω→0 Ṅ(∆Ω)
LR·∆Ω
R dσ
R
dσ
σ = Ω dΩ
dΩ = 02π d ϕ 0π sin ϑ d ϑ dΩ
dσ
dΩ
• d π = dΩ · dE 0
0
d2 σ
dΩdE 0
)
= lim∆Ω→0,∆E 0 →0 Ṅ(∆Ω,∆E
L ∆Ω∆E 0
Elastisch: A + B → A + B
Inelastisch: A + B → X 6= A + B
4.2.2
(5)
(6)
σel + σin = σtot
(7)
Fermis Goldene Regel
Streuvorgang:
*
ψi
ψ f -
Hfi
QM-Störungsrechnung: Übergangswahrscheinlichkeit i → f ist:
∼ | < ψ ∗f |H f i |ψi > |2
Übergangsrate:
Wf i =
Zustandsdichte des Endzustandes =
2π
|
h̄
< ψ ∗f |H f i |ψi > |2 ρ (E 0 )
dN f
0
dE f |E f =E
Allgemeine Bemerkungen
• (i) und (f) sind (Ein-)Teilchen-Wellenfunktionen freier Teilchen
µ
ψ (x) ∼ e−ipµ x = e−i(Et−~p~x)
• Wenn H f i zeitunabhängig ist:
<
ψ ∗f |H f i |ψi
>= N
Z
|
dte
{z
2πδ (Ei −Et )
Z
d 3 re~p~x−~p ~x H f i (~x)
}|
{z
}
−i(Ei −Et )t
0
Mfi
52
(8)
4.3 Rutherford-Streuung
4 UNTERSUCHUNG VON KERNEN IN STREUEXPERIMENTEN
4.3 Rutherford-Streuung
→ Kinematik (A + B → A + B)
A
A
pA
Bϑ
- r
HH
pB
HH
*
p 0
A
HH
H
j
H
B
p0B
pA = (E, p, 0, 0)
pB = (M, 0, 0, 0)
p0A = (E 0 , p0 cos ϑ , p0 sin ϑ , 0)
p0B = pA + pB − p0A
(pA + pB )2 = (p0A + p0B )2
02
0 0
p2A + p2B +2pA pB = p02
A + pB +2pA pB
|{z}
|{z}
|{z}
|{z}
MB2
MA2
⇒ p A pB =
MA2
p0A p0B
=
=
MB2
p0A (pA + pB − p0A )
p0A pA + p0A pB − p02
A
|{z}
MA2
EM = E 0 M + EE 0 − pp0 cos ϑ − MA2
EE 0 − pp0 cos ϑ − MA2
⇒ E0 = E −
M
|
{z
}
MA E
⇒ E0 = e −
>0;klein, wennME
EE 0 (1 − cos ϑ )
M
Für elastische Streuung (z. B. von Elektronen) mit MA E gilt also:
E0 =
E
E
1+ M
(1−cos ϑ )
⇒ Für niederenergetische Strahlteilchen mit E MTarget ist E’ ' E
→ Rutherford: |{z}
α +Au → α + Au
Mα +T
53
(9)
4.3 Rutherford-Streuung
4 UNTERSUCHUNG VON KERNEN IN STREUEXPERIMENTEN
→ e-Streuung an Kernen: Ee ≈ 40MeV
In dieser Näherung (E 0 ' E):
ρ (E 0 ) = ρ (E) =
dN f
0
dE f |E f =E
d 3 pV
dE 0 (2π h̄)3
(10)
Heisenberg: ein Zustand pro Phasenraumvolumen:
(∆px ∆x)(∆py ∆y)(∆pz ∆z) = (2π h̄)3
∆x∆y∆z = V
∆px ∆py ∆pz = d 3 p
!
V = Normierungsvolumen für ψi , ψ f
µ
ψ (x) = √1V eipµ x
weil
R
V
d 3 r|ψ (x)|2 = 1
Zusammenhang W f i ↔ σ
Ṅ
Wf i =
N N
| A{z B}
=
jA NB σ
NA NB
=
vA σ
V
ZahlderinV vorhandenenTeilchen
NA
V vA )
02 d p0 dΩ
V 2π
= v h̄ | < ψ ∗f |W f i |ψi > |2 (2πVh̄)3 p dE
0
A
( j A = v A ρA =
⇒ dσ
|
mit d 3 p = p2 d pdΩ
{z
∼
1
V2
}
p02 = E 02 = MA2
2pd p = 2E 0 dE
d p0
c
E0
1
⇒
=
= 0=
0
0
dE
p
β
vA
ab hier: c = h̄ = 1
Z
d 3 re−i~p ~x H f i ei~p~x |2 dΩ
|
{z
}
(11)
4φB = ∇2 φB = − ρBε(~0r) = −ZB e fBε(~0r)
(12)
dσ =
E 02
|
(2π )2
0
M˜f i
M˜ f i = V M f i = ZA e d 3 rei~q~r φB (~r)
~q = ~p −~p0
φB : elektromagnetisches Potential von B (Streuzentrum)
R
Poisson-Gleichung:
54
4.3 Rutherford-Streuung
2
2
4 UNTERSUCHUNG VON KERNEN IN STREUEXPERIMENTEN
2
∆ = ∇2 = ∂∂x2 + ∂∂y2 + ∂∂z2
R 3
V d r f B (~r) = 1
Trick:
∆ei~q~r = −|~q|2 ei~q~r
1
↔ ei~q~r = − 2 ∆ei~q~r
|~q|
V →∞:
Z
[u4v − v4u]d 3 r = 0
1
⇒ M˜f i = −ZA e 2 d 3 rei~q~r ∆φB (~r)
|~q|
fB (~r)
∆φB = −ZB e
ε0
M˜ f i =
ZA ZB e 2
ε0 |~q|2
R
F(~q) = d 3 rei~q~r fB (~r)
F(~q): Fourier-Transformierte von f B (~r)
Mit
e2
ε0
Z
R 3 i~q~r
d re fB (~r)
(13)
= 4πα folgt:
dσ
dΩ
=
4ZA2 ZB2 α 2 02
E · |F(~q)|2
|~q|4
(14)
Wobei:
•
4ZA2 ZB2 α 2 02
E
|~q|4
=
dσ
dΩ Ruther f ord
• |F(~q)|2 = 1 für Punktladung δ (~r) = f B (~r)
Em
|~q|2 = |~p −~p0 |2 = e 2EE 0 (1 − cos ϑ )
| {z }
2 sin2
ϑ
2
dσ
dΩ
=
4ZA2 ZB2 α 2
16E 2 sin4 ϑ2
· |F(~q)|2
(15)
Wenn fB (~r) = fB (|~r|) (kugelsymmetrische Ladungsverteilung):
F(~q)
=
=
η =cos ϑ
=
Z
d 3 rei~q~r fB (r)
Z 2π
0
2π
dϕ
Z ∞
0
Z ∞
0
2
2
r dr fB (r)
r dr fB (r)
Z π
0
sin ϑ d ϑ ei~q~r cos ϑ
Z 1
d η ei~qrη
| {z }
1
1 i~qr η 1
[ i~qr e ]−1 = i~qr
(ei~qr − e−i~qr )
2
qr)
=
~qr sin(~
−1
55
4.4 Elastische Elektron-Kern-Streuung
4 UNTERSUCHUNG VON KERNEN IN STREUEXPERIMENTEN
4π
~q
F(~q) =
Falls ~qr 1:
sin x
s
3
=
x− x6 +...
x
R
rdr sin(~qr) f B (~r)
(16)
2
= 1 − x6 + ...
→ F(~q) ' 4π
|
Z ∞
= 1−
0
x2
r2 dr fB (r)[1 − + ...]
6
{z
}
1
q2
Z
6 |
→ F(~q) = F(q) =
4π r2 dr fB (r)r2
{z
}
<r 2 >
q2
1 − < r2 > +...
| 6 {z
}
Entwicklung von (qr) um 0
< r2 >= −6 dF(q)
|
dq2 q2 =0
(17)
4.4 Elastische Elektron-Kern-Streuung
QM
Elektronenstrahl = ebene Welle mit De-Broglie-Wellenlänge
λe = 2πp[eh̄] = 2π λ̄e ; (λ̄e = p1e )
(auch relativistisch richtig!)
Wie in der Optik gilt auch hier:
Ein Objekt mit der Größe d kann ”aufgelöst werden, wenn p e ≥
1
d
• für Kerne:
d = R ≈ 5fm
197MeV f m
1
=
= 40MeV
→ p0 ≥
d
5fm
⇒ Ee me
Ee MB
• für Nukleonen:
d
→ EC
≈
≈
1fm
200MeV
⇒ EC 6 MB
⇒
Rückstoß muss berücksichtigt werden
56
4.4 Elastische Elektron-Kern-Streuung
4 UNTERSUCHUNG VON KERNEN IN STREUEXPERIMENTEN
4.4.1
Der Impulsübertrag
e
e
γ
B
B’
Elektronenstreuung im Feynman-Diagramm
q = (E − E 0,~p −~p0 ) = pγ
| {z }
~q
Q2 = −~q2 = − (E − E 0 ) 2 +~q2
| {z }
ν̌
Bei Elektronenstreuung an Kernen: ν̌ p0γ = −~q2 < 0
p
|~q|2
• das Photon verletzt Energie- und Impulssatz (hat nicht p γ = Mγ = 0)
• das Photon ist „virtuell“, bzw. „nicht auf seiner Massenschale “
• möglich nach Unschärferelation:
|~q| · |∆~r| ≥ 2π [h̄]
π
2π
→ |∆~r| ≥
=
|~q| E sin ϑ2
Hierbei entspricht |∆~r| der räumlichen Auflösung. Diese hängt von ϑ ab,
Grenze “.
Elastische Streuung:
µ
p2B = MB2 = PB02 = (q + pB )2 = −Q2 + MB2 + 2qµ pB
Q2 = 2ν MB
x=
Q2
2ν MB
Björken-Variable
!
=
1
für elastische Streuung
(<
1
für inelastische Streuung)
57
1
E
ist dabei eine „obere
4.4 Elastische Elektron-Kern-Streuung
4 UNTERSUCHUNG VON KERNEN IN STREUEXPERIMENTEN
4.4.2
Formfaktoren und geometrische Gestalt von Kernen
Meßprinzip: messe
→ F(|~q|2 ) =
dσ
dΩ
dσ
dΩ |gemessen
dσ
dΩ |theoretischpunkt f örmig
erfordert Korrekturen für Elektronenspin
• Messung bei größerem |~q| schwierig
• bestimme parametrische Ladungsverteilung durch Anpassung an Meßdaten
58
4.4 Elastische Elektron-Kern-Streuung
4 UNTERSUCHUNG VON KERNEN IN STREUEXPERIMENTEN
59
4.4 Elastische Elektron-Kern-Streuung
4 UNTERSUCHUNG VON KERNEN IN STREUEXPERIMENTEN
60
4.4 Elastische Elektron-Kern-Streuung
4 UNTERSUCHUNG VON KERNEN IN STREUEXPERIMENTEN
61
4.4 Elastische Elektron-Kern-Streuung
4 UNTERSUCHUNG VON KERNEN IN STREUEXPERIMENTEN
62
4.4 Elastische Elektron-Kern-Streuung
4 UNTERSUCHUNG VON KERNEN IN STREUEXPERIMENTEN
Kerngeometrie
Radiusabschätzung:
• Minimum von F(|~q|2 ) (bei schweren Kernen)
• aus
dF(|~q|2 )
|
d|~q|2 |~q|2 =0
(bei leichten Kernen)
⇒ Ladungsverteilung:
ρ (r) =
ρ (0)
1+e
r−c
a
Fermi-Funktion
c = 1, 07 f mA1/3 ; a = 0, 545 f m; ρ (0) = 0, 17 Nukleonen
f m3
t = 2alnq ' 2, 4 f m
→
√ Radien:
< r2 > = 0, 94 f mA1/3
äquivalente homogene Kugel:
R2 = 35 < r2 >= (1, 21 f mA1/3 )2
Kernpotential ∼ −ρ (r)
V (r) =
V (0)
1+e
Woods-Laxon-Potential
63
r−c
a
4.4 Elastische Elektron-Kern-Streuung
4 UNTERSUCHUNG VON KERNEN IN STREUEXPERIMENTEN
64
5 LEPTONENSTREUUNG AM NUKLEON
5 Leptonenstreuung am Nukleon
Leptonen: e− , µ − , τ − , νe , νµ + Antiteilchen
Bisher: Streuung an Kernen
→ stationäres Target, E MB
→ Struktur = Zusammensetzung aus Nukleonen
Jetzt: Streuung an Nukleonen (mit wachsender Energie)
→ E ∼ MN ⇒ Rückstoß
→ Struktur → Ladungsverteilung
→ Quarks (inelastische Streuung)
5.1 Elastische Elektron-Nukleon-Streuung
Experimentell: Strahlenergien von einigen 100MeV ...einige GeV
Wichtig: e und p haben Spin
→ Abweichung vom Rutherford-WQ
5.2 Rückstoßkorrektur
formal:
→
R
d2 σ
dΩdE 0
dσ
dΩ
=
Q2
dσ
0
dΩ Ruther f ord · δ 2M − E + E
RE
Q2
dσ
0
0
dΩ Ruther f ord 0 δ 2M − E − E dE
=
y= f (x)
R dy
1
mit dxδ ( f (x)) =
| f (x)=0
d f δ (y) =
df
dx
dy
0
R
R
θ)
Q2
0 =
− E + E 0 = 0E dE 0 δ EE (1−cos
−
E
+
E
ist 0E dE 0 δ 2M
M
dσ
dΩ
E0
E:
Rückstoßkorrektur
5.2.1
=
E0
dσ
dΩ Ruther f ord E
Streuung punktförmiger Spin- 12 -Teilchen
Idee:
65
1
E
M (1−cos θ )+1
=
E0
E
5.2 Rückstoßkorrektur
5 LEPTONENSTREUUNG AM NUKLEON
Beschreibe ep-Streuung als Streuung punktförmiger Teilchen
Nukleonstruktur durch Formfaktoren beschreiben
Ausgangspunkt: eµ → eµ
Frage: warum nicht e+ e− → e+ e− , e− e− → e− e− ?
Antwort:
e− µ − → e − µ −
e
e
γ
µ
ee+
−
e+ e− → e + e−
e−
und für andere Reaktionen?
e− e− → e − e−
e+
e−
e−
e−
γ
µ
ee+
−
e+
e−
γ
e−
Relativistische Rechnung ergibt:
Für E me
!
2
Q2
α
E0
2θ
2θ
dσ
cos
sin
+
dΩ |lab =
E
2 2M 2
2
4E 2 sin4 θ2
|{z}
{z
}
|
{z
}Rückstoß|
Spin−E f f ekte
Ruther f ord
(i)Term ∼ cos2 θ2
→ rührt von e-WW mit Target-Ladungsverteilung her
→ genauer (E 6 me )
cos2 θ2 → (1 − βe2 sin2 θ2 )
„langsame“ e (βe 1) →Rutherford
→ βe2 sin2 θ2 -Term kommt kommt von der WW des magnetischen Moments des e − mit dem
Magnetfeld der „bewegten“Target-Ladung
→ nichtt relevant für Kern- und Teilchenphysik
schnelle e− (1 − βe 1)
→ Unterdrückung von Streuung bei θ = 180 ◦
66
5.2 Rückstoßkorrektur
5 LEPTONENSTREUUNG AM NUKLEON
→ Helizitätserhaltung
Helizität: Projektion
des Spins auf Bewegungsrichtung
+1
für Spin parallel Impuls
= |σσ|·p|p| =
−1 für Spin antiparallel Impuls
(ii) Term ∼ sin2 θ2
→ WW der magnetischen Momente von Elektron und Target
e
σ
(λ = 1)
p0
p
σ0
e
(λ = 1)
σ
µ
(λ = 1)
k
0
µ σ
(λ = 1)
ist erlaubt
k0
→ wenn JB = 0 (Target hat Spin = 0)
⇒ dieser Term fehlt
⇒ Mott-Wirkungsquerschnitt
α2
dσ
2 θ E0 =
dΩ Mott = 4E 2 sin4 θ cos
2 E
2
dσ ∗
dΩ Mott
=WQ für Streuung am stationären Target mit JB = 0
5.2.2
Elektrische und magnetische Formfaktoren
→ FE (Q2 )=elektrischer Formfaktor (verknüpft mit Ladungsverteilung)
FM (Q2 )= magnetischer Formfaktor(verknüpft mit der Verteilung des magnetischen Moments)
→ Rosenbluth-Formel
dσ
dΩ
mit τ =
=
α2
4E 2 sin4 θ2
E0
E
FE2 (Q2 ) cos2 θ2 + 2τ FM2 (Q2 ) sin2 θ2
Q2
4M
Messung:
dσ
( dΩ
)gemessen
= FE2 (Q2 ) + 2τ FM2 (Q2 ) tan2 θ2
dσ
( dΩ
)Mott
Folgende Folie gehört noch zur Stunde:
67
5.2 Rückstoßkorrektur
5 LEPTONENSTREUUNG AM NUKLEON
68
5.3 Resonanzanregung
5 LEPTONENSTREUUNG AM NUKLEON
5.3 Resonanzanregung
Bei steigendem Q2 (d.h. steigendem ν = E − E 0 werden inelastische Prozesse möglich.
ep → epΠ0 , enΠ+ , ...
wobei MΠ0 = 135MeV, MΠ+ = 140MeV
W = invariante Masse des hadronischen Systems
e(p)’
e(p) B
X
Px2 = W 2 = (q + PB)2
⇒ W 2 = −Q2 + MB2 + 2qPB
|{z}
mit x =
Q2
2MB ν
⇒ W 2 = Q2
2MB ν
:
1
x
− 1 + MB2
x=
1
1+
2
W 2 −MB
Q2
< 1
|{z}
inelastisch!
→ Wir müssen zwei kinematische Größen messen um den Wirkungsquerschnitt bestimmen zu
können.
→ i.a. (x, Q2 ) oder (W, Q2 )
→ WQ im Bereich MP2 < W 2 ≤ (5GeV )2
→ Bei W ≈ 2 GeV Resonanzen am prominentesten ∆(1232): Zerfall in pΠ, nΠ [s.Kap.10]
5.4 Tiefinelastische Streuung
Bei W> einige Gev: Kontinuum von Enzuständen, σ (W ) = glatte Funktion
→ Tiefinelastische Streuung [engl.:deep inelastich scattering]
→ verschiedene „Definitionen“, meist W 2 ∼
= 10GeV 2 ∧ Q2 ≥ 1GeV 2
→ Pseudo-Feynman-Diagramm
e
statt γ auch Z 0 oder W ± -Austausch;
im Vertex verschiedene Prozesse;
e
γ69
p
X
5.4 Tiefinelastische Streuung
5.4.1
5 LEPTONENSTREUUNG AM NUKLEON
Strukturfunktionen
Erinnerung:
• eµ → eµ
• ep → ep
d2 σ
dΩdE 0
d2 σ
dΩdE 0
• Jetzt inelastisch
=
α2
4E 2 sin4
θ
2
Q2
Q2
cos2 θ2 + 2m
sin2 θ 2 δ (ν − 2M
)
Q2 2
Q2
= [R f ] FE2 (Q2 ) cos2 θ2 + 2m
FM (Q2 ) sin2 θ2 δ (ν − 2M
)
d2 σ
dΩdE 0
= [R f ] w2 (x, Q2 ) cos2 θ2 + 2w1 (x, Q2 ) sin2 θ2
w1 , w2 sind Strukturfunktionen
historisch oft W1,2 = W1,2 (ν , Q2 ) ν = E − E 0 =
Protons
Q2
x = 2qp
5.4.2
qp
M
q=Viererimpuls, p=Impuls des einlaufenden
Partonverteilung und Scaling
Experimenteller Befund:
• w1,2 (x, Q2 ) für W ≥ 2GeV nur schwach von Q2 abhängig
• festes x: w1,2 näherungsweise Q2 -unabhängig
Deutung: Es gibt nur punktförmige Streuzentren im Proton(Quarks, Partonen)
→ Wenn das so ist:
x
Q2
Q2 δ ( a )=aδ (x)
Q2
Q2
⇒
2mw1 = 2m
δ
(
ν
−
)
2
2m
ν δ (1 − 2mν )
2m
Q2
Q2
w2 = δ (1 − 2m
ν ) ⇒ ν w1 = δ (1 − 2mν )
“scharfe“ Linien im WQ bei festem Q2 , etc...
2w1 =
⇒ Das wird aber nicht beobachtet!
• Scaling:w1,2 = f
Q2
2mν
• „Linienspektrum“ nicht beobachtet
→ Quarks sind gebunden
→ sie sind ständig virtuell (treten nur kurze Zeit auf)
→ „Quarkmasse“ ist kein gutes Konzept
→ Q2 = 2mν nicht anwendbar, da sowohl im Anfangs- wie im Endzustand keine freien
Quarks auftreten
70
5.4 Tiefinelastische Streuung
5 LEPTONENSTREUUNG AM NUKLEON
Stattdessen:
Betrachte System mit |p p | → ∞ (infinite momentum frame)
→ Massen von p,q sind vernachlässigbar
→ PQi = ξ P
γ (q)
Q f (PQi )
Qi (pQi )
PQ2 f
|{z}
= (q + PQi )2 = (q + ξ P)2 = −Q2 +
vernachlaessigbar
PQi = ξ p ; ξ ∈ [0, 1]
=⇒
ξ=
Q2
2qp
ξ 2 MP2
| {z }
vernachlaessigbar
=x
x ist der Anteil am Proton-Impuls, den das gestreute Quark´trägt.
Parton = punktförmige Konstruktion des Nukleons (=Quarks+Gluonen)
• Alle Werte 0 < x < 1 kommen vor
• Verteilungen von x sind Eigenschaft des Protons, nicht der Reaktion.
• x folgt Wahrscheinlichkeitsverteilungen
qi (x) =
d pi (x)
dx
(Partonverteilung)
qi : Verteilung in der i-ten Quark-Schale
dx
d pi : Wahrscheinlichkeit, daß qi den Impuls (x − dx
2 , x + 2 ) hat
Welche q(x) gibt es?
• naiv: |p >= |uud > ⇒ es gibt n(x), d(x), n(x) = 2d(x) < x >=
1
3
• In Wirklichkeit gibt es virtuelle qq-Paare und Gluonen (el.neutral)
u(x) = uv (x) + us (x)
v für Valenz-, s für Seequark
d(x) = dv (x) + ds (x)
s(x) = s(x)
...
71
+2ξ Pq
5.4 Tiefinelastische Streuung
5 LEPTONENSTREUUNG AM NUKLEON
72
5.4 Tiefinelastische Streuung
5 LEPTONENSTREUUNG AM NUKLEON
=⇒Tiefinelastische Streuung = inkohärente Summe von elastischen Streuungen an Partonen
σ (ep)
| {z }
di f f erentiell!
= ∑i qi (x) · Q2i · σ (eqi )
wobei qi (x) : Partonverteilung des Quark i
Q2i : Ladung des Quark i
σ (eqi ): elastischer eqi -WirkungsQuerschnitt
Mit m = xM:
ν w2 = F2 (x, Q2 ) = Σi Q2i qi (x)
2Mw1 = 2F1 (x, Q2 ) = Σi Q2i qi (x) =
F2
x
→ die Strukturfunktionen Fi hängen nur von x, nicht von Q2 ab → Scaling
F2 = 2xF1
Callow-Gross-Relation für Spin 12 -Partonen
Spin=0 ⇒ F1 (x)=0
Hier noch einige Folien, die im Laufe der Stunde aufgelegt wurden.
73
5.4 Tiefinelastische Streuung
5 LEPTONENSTREUUNG AM NUKLEON
74
5.4 Tiefinelastische Streuung
5 LEPTONENSTREUUNG AM NUKLEON
75
5.4 Tiefinelastische Streuung
5 LEPTONENSTREUUNG AM NUKLEON
76
5.4 Tiefinelastische Streuung
5 LEPTONENSTREUUNG AM NUKLEON
77
5.4 Tiefinelastische Streuung
5.4.3
5 LEPTONENSTREUUNG AM NUKLEON
Wirkungsquerschnitt tiefinelastischer Streuung
Zusammenfassung:
d2σ
dΩdE 0
α2
ϑ
2ϑ
{W
cos
+
2W
sin
}
2
1
ϑ
4
2
2
4E 2 sin 2
=
F2
α2
ϑ
ϑ
F2
{ cos2 +
sin2 }
4ϑ ν
2
2
xM
2
4E sin 2
=
Darstellung mit Lorentz-invarianten Variablen:
Lab
x
=
Q2
2M ν
ν
Q2
s
y
=
=
=
=
E-E’
4EE 0 sin2 ϑ2
2ME + m2e + M 2
ν
E
Lorentz-inv.
=
=
=
=
=
Q2
2qµ Pµ
qµ Pµ
M
−qµ qµ
>0
≈ 2pµ Pµ
(p + P)2
qµ Pµ
pµ Pµ
Q2 = x · y · s
ϑ
2
2ϑ
cos
2
2
d σ
dxdy
Verwende : sin2
d 2 σ ep→ex
dxdy
=
2πα 2
Q4
=
=
=
M
xy
2E 0
Mxy
E
(1 − y −
)
E0
2E
2ME
d2σ
π
y
E0
dΩdE 0
· s · 1 + (1 − y)2 · F2 (x, Q2 )
F2 (x) = ε Q2i · x · qi (x)
5.4.4
Summenregeln
→ Gesetzmäßigkeiten für x-Integrale von Partonverteilungen und Strukturfunktionen
78
5.4 Tiefinelastische Streuung
5 LEPTONENSTREUUNG AM NUKLEON
• Gesamtzahl von Quarks:
Z 1
0
Z 1
0
• Gesamtimpuls:
R1
0
0
0
Z 1
dx (u(x) − ū(x)) = 2
0
¯
dx d(x) − d(x)
=1
0
Z 1
dx dv (x) =
dx (s(x) − s(x))
¯
= 0
dx [∑i (qi (x) + g(x)] = 1
• Gemessene Anteile
Z 1
Z 1
dx uv (x) =
dxx ∑ qi (x) =
i
Z 1
0
dxx[u + d + s + . . . + ū + d¯ + s̄ + . . .] ≈ 0, 5 schwach Q2 -abhängig
→ Etwa die Hälfte des Proton-Impulses wird nicht von Quarks getragen
→ Das war die erste experimentelle Evidenz für Gluonen (ca. 1972)
• Es gibt weitere Summenregeln für Strukturfunktion!
5.4.5
Scaling-Verletzung
Bisher: Parton-Verteilung und Strukturfunktionen hängen nur von x ab, aber nicht von Q 2 („Scaling“)
Experiment: F2 [und F1 ]hängen außer von x auch von ln Q2 ab → Scaling ist verletzt
Physikalische Deutung:
Auflösung ∆v ∼ √1 2 → mit steigendem Q2 “sieht” das Photon mehr virtuelle Prozesse.
Q
große Q2 :
→ mehr Quarks und Gluonen bei kleinen x, weniger bei großen
→ kleineres < x >
→ Impulsanteil von Valenzquarks sinkt
• Quantitative Beschreibung:
Q2 -Abhängigkeiten der Partonverteilung kann aus
79
5.4 Tiefinelastische Streuung
q
g
q
g
5 LEPTONENSTREUUNG AM NUKLEON
,
g
q
q̄
g
g
,
berechnet werden (Theorie der starken Wechselwirkung), wenn q i (x, Q20 ),g(x, Q20 ) bei festem Q20 gegeben
sind.
→ DGLAP-Entwicklungsgleichungen
Dokshitzer, Gribov, Lipatov, Altarelli, Parisi
Differentialgleichungen in ln Q2 für qi (x, Q2 ), g(x, Q2 )
80
6 DIE ELEKTROMAGNETISCHE WECHSELWIRKUNG
6 Die Elektromagnetische Wechselwirkung
6.1 Theoretische Behandlung
Erinnerung: Feynman-Diagramme wie z.B.
e
e
µ+
e+
γ
γ
e−
µ
µ−
µ
stellen Terme einer Störungsrechnung dar
• 0. Ordnung: 2 freie Teilchen ohne Wechselwirkung
• 1. Ordnung: Wechselwirkung durch Austausch eines Quants
⇒ Ziel: quantitative relativistische Beschreibung in QM und QFT
6.1.1
Die Dirac-Gleichung, Lösungen für freie Teilchen
• Erinnerung: Schrödinger-Gleichung für freie Teilchen (V=0)
SchrödingerGleichung
1 2
i ∂∂ψt = − 2m
∇ ψ
∂
E → i ,~p → −i~∇
∂ t {z
}
|
pµ →i(∂ti −~∇)=i∂µ
Lösungen:
ψ (~x,t) = Ns eiEt−i~p~x = Ns eipµ x
→ Ebene Welle
• Frequenz
E
2π
• Wellenlänge
2π
|~p|
=
h
|~p|
(de Broglie)
81
µ
6.1 Theoretische Behandlung
6 DIE ELEKTROMAGNETISCHE WECHSELWIRKUNG
→ Wahrscheinlichkeitsdichte ≈ |ψ 2 |
→ Kontinuitätsgleichung:
∂ |ψ | 2
~~
∂t + ∇ j = 0
~j = − i (ψ ∗~∇ψ − ψ~∇ψ ∗ )
2m
→ ∂µ j µ = 0
→ jµ = (|ψ |2 ; ~j)
Problem: Schrödingergleichung nicht Lorentz-kovariant (d.h. unter Lorentz-Transformation verhalten
sich die beiden Seiten der SG nicht gleich)
• Klein-Gordon-Gleichung:
E 2 = p2 + m2 →
E → i∂t
p → −i~∇
∂ 2
2
( ) −∇
∂t
|
{z
}
ψ + m2 ψ = 0
=d 0 Alembert−Op.=∂µ ∂ µ
KG:
- Feldgleichung für Bosonen (Spin 0,1)
- Lösungen wie
p in Schrödingergleichung
aber E = ± p2 + m2
→ Lösungen mit E < 0 ≡ Antiteilchen (neg. E ⇔ neg. WS-Dichte)
→ jedes Teilchen [KG] hat Antiteilchen mit gleicher Masse
→ für m = 0 → Maxwell-Gleichungen
• Dirac-Gleichung:
Versuch: Lorentz-kov. Gleichung, die linear in E und p ist
Ansatz: EΨ = (∑i αi pi + βm )Ψ
⇒ E 2 Ψ = [∑i αi2 p2i + ∑i> j (αi α j + α j αi )pi j + ∑i (αi β + β αi )pi m + β 2 m2 ]Ψ
⇒ αi2 = 1 (i = 1, 2, 3)
αi α j + α j αi = 0 (i 6= j, i, j = 1, 2, 3)
αi β + β αi = 0 (i = 1, 2, 3)
β2 = 1
82
6.1 Theoretische Behandlung
6 DIE ELEKTROMAGNETISCHE WECHSELWIRKUNG
⇒ Nicht erfüllbar für Zahlen; Ansatz: Matrizen (niedrigste Ordnung 4x4)
αi =
0 σi
σi 0
0 1
1 0
;β =
IE2
0
0 −IE2
σi = Pauli-Matrizen
IE =
1 0
0 1
; σ1 =
⇒i
⇒ iβ
(iγµ ∂ µ − m)Ψ = 0
; σ2 =
0 −i
i 0
; σ3 =
∂
Ψ = (−i~α~∇ + β m)Ψ
∂t
∂
Ψ = (−i
∂t
(β ~α )
| {z }
~∇ + β 2 m)Ψ
~γ =(β ~α )=(γ1 ,γ2 ,γ3 )
Dirac-Gleichung
• γµ : 4x4-Matrix
• ∂µ = (i ∂∂t − ∇)
• m = mIE4
• Ψ: 4-komponentiger Spinor
Eigenschaften der γ -Matrizen:
γ0+ = γ0
γi+ = −γi
γi2 = −IE4
γ02 = IE4


[γν γµ + γµ γν ] = 2gµν = 

Lösungen der Dirac-Gleichung:
Ansatz: Ψ(~r,t) = u(~p)e−ipµ x
µ
83
2
0
−2
0
−2
−2




1 0
0 −1
6.1 Theoretische Behandlung
6 DIE ELEKTROMAGNETISCHE WECHSELWIRKUNG
µ
⇒ γµ ∂ µ Ψ(~x,t) = u(~p)(−γ µ pµ )e−ipµ x = −iγµ pµ Ψ(~x,t)
⇒ (γ0 E − ~γ ~p − m)u(~p) = 0 DG für Spinoren
i. ~p = ~0


Eu = 

m
0
m
−m
0

−m

1

0 

→ u(1) = DD 
 0  etc.
0


u

→ Energie-Eigenwerte
E(1, 2) = m
E(3, 4) = −m
→ 4 Freiheitsgrade: Spin (up/down), Teilchen/Antiteilchen
ii. ~p 6= ~0
~σ ~p
mIE2
u
Eu =
~σ ~p −mIE2
|
{z
}
H=Hamilton−Operator
X (1,2)
u(1,2) = N0
|
X (1,2)
~σ ~p
E+m
0
X (1,2)
{z
E>0Teilchen
=
1
0
0
;
1
→ Helizität
p
σ |~~p|
p
~σ |~~p|
=
0
0
p
σ |~~p|
!
; u(3,4) = N0
} |
~σ ~p
|E|+m
X (1,2)
{z
E<0Antiteilchen
!
- Helizitätsoperator kommutiert mit H
p
= Helizität = λ = gute Quantenzahl
⇒ ~σ |~~p|
→ Teilchen und Antiteilchen
u(3,4) haben E < 0 → Propagator in negativer Zeitrichtung
84
X (1,2)
0
!
}
6.1 Theoretische Behandlung
6 DIE ELEKTROMAGNETISCHE WECHSELWIRKUNG
→ Interpretation: Lösungen mit E < 0 entsprechen Antiteilchen mit |E| , die sich in +t-Richtung
ausbreiten
6
e−iE(−t)
t
e−i|E|t
⇒
e−
e+
|E|
~p → −~p
E<0
v(1) (~p) = u(4) (−~p)
v(2) (~p) = u(3) (−~p)
Anti-Teilchen-Spinoren
→ Kontinuitätsgleichung
Strom = −eΨ̄γµ Ψ = jµ
Ψ̄ = Lösung der adjungierten DG
(DG)+ γ0 = Ψ+ γ0
µ
Ψ = ue−ipµ x =Lösung der DG
∂µ j µ = 0 Kontinuitätsgleichung
6.1.2
Strom-Strom-Kopplung
Wechselwirkungen von Dirac-Teilchen mit elm. Feld A µ = (Φ, ~A)
Prinzip der minimalen Ankopplung
pµ
i∂ µ
→ pµ + eAµ
→ i∂µ + eAµ
e = −|e|
(γµ pµ − m)Ψ = 0
⇒ (γµ pµ − m)Ψ = −eγµ Aµ Ψ
| {z }
γ =VinSG
⇒ Übergangsmatrixelement
85
6.1 Theoretische Behandlung
T f i = −i
Z
6 DIE ELEKTROMAGNETISCHE WECHSELWIRKUNG
d 4 x Ψ+f V Ψi = ie
Z
d 4 x Ψ¯ f γµ Aµ Ψi = −i
( jµf i = −eΨ̄(1) γµ Ψi = Übergangsstrom)
i (p f − pi ) µ xµ
| {z }
(1)
(1)
qµ
= −eΨ̄ f γµ ui e
Z
d 4 x jµf i Aµ
Streuung zweier Teilchen aneinander
→ Aµ wird von 2. Teilchen erzeugt
Maxwell-Gl. in Lorentz-kov. Form mit
Lorentz-Bed.
Aµ = jµ
jµ : setze Übergangsstrom j µf i,2 ein
jµf i,2 = −e u f γµ ui exp(i(p f − pi )µ xµ )
| {z }
(2)
(2)
(2)
(2)
−qµ
⇒ Aµ = − q12 jµf i,2
Damit
1
)( j f i,2 )µ =
q2
Z
1
= −i (ū f ,1 γµ ui1 (− 2 )(ū f ,2 )µ ui,2 d 4 x exp(i(pA + pB − pC − pD )µ xµ =
q
1
= −i (ū f ,2 (γµ ui,2 )(− 2 )γ µ ui,1 ) 2π 4 δ (4) (pC pD − pA pB )
q
{z
}
|
T f i = −i
Z
f i,1
d 4 x jµ (−
=M f i (invarianteAmplitude)
6.1.3
Elemente von Feynman-Graphen
M f i enthält die gesamte Information der Teichenwechselwirkung
• Berechnung von M f i ist zentrale Aufgabe (->Theorie)
• Feynman-Graphen symbolisieren Berechnungsregeln für M f i
Beispiel:
86
6.1 Theoretische Behandlung
e+
6 DIE ELEKTROMAGNETISCHE WECHSELWIRKUNG
e−
γ
µ− µ+
Elemente:
• u für einlaufende Teilchen
• u für auslaufende Teilchen
• v für einlaufende Antiteilchen
• v für auslaufende Antiteilchen ⇒ Pfeile sind immer durchlaufend
Vertices:
⇒ enthält "Kopplung"
Propagator:
beschreibt die Ausbreitung des Feldes zwischen streuenden Teilchen.
Erhaltungssätze:
• An jedem Vertex sind E, p und Ladung erhalten
• Le = N(e− ) − N(e+ ) + N(νe ) − N(ν e )
• Lµ ,τ = analog
• L = Le + Lµ + Lτ = Leptonenzahl
• B = 1/3(N(q) − N(q)) = Baryonenzahl
⇒ Höhere Ordungen: "KompliziertereFeynman-Graphen zur gleichen Reaktion
Bsp:
e+
e−
e+
e−
e
γ
γ
γ
µ
µ−
µ+
µ−
µ+
(k)
M f i = ∑k M f i
Im allgemeinen sind höhere Ordnungen um α k unterdrückt
Schleifen enthalten variable p µ ⇒ Integration
87
6.1 Theoretische Behandlung
6 DIE ELEKTROMAGNETISCHE WECHSELWIRKUNG
• Divergenz
• Renormierung
Vakuumpolarisation
⇒ Abschirmung der Ladungen durch virtuelle f f -Paare
2
α = α (Q )
6.1.4
1/137
1/138
:
:
Q2 = 0
Q2 = Mz2 = 8 · 103 GeV 2
WQ und Lebensdauer
Ergänzugen zu Kap. 4.2. (mit M f i und in Lorentz-Kovarianter Form) ⇒ WQ: A + B → (1) + ... + (n)
dσ =
2
1
d 3 p1
d 3 pn
· M f i (2π )4 δ 4 (∑ pi − pA − pB ) ·
·
...
·
4EA EB~vA
(2π )3 (2E1 )
(2π )3 (2En )
mit:
4EA EB |~vA | = 4
3
p
(pAµ pBµ )2 − (MA MB )2 = Flußfaktor
d pi
= Lorentzinvarianter Phasenraum"(LIPS)
∏i (2π )3 (2E
i)
2
M f i =
stand
1
Ni
2
∑i ∑ f M f i = Mittelung über Spin im Anfangszustand, Summation über Spin im Endzu-
→ Lebensdauer
Für Zerfall A -> (1) + ... +(n)
τA = Lebensdauer
ΓA =
1
τA
dΓA =
Bsp:
= Zerfallsbreite
1
2EA
2
3p
3p
n
1
· ... · (2πd)3 (2E
· M f i (2π )4 δ 4 (∑ pi − pA ) · (2πd)3 (2E
1)
n)
A -> B + C (im A-Ruhesystem)
Γ(A− > B +C) =
|~p f |
32π 2 MA2
·
R
2
M f i Ω dΩ
~p f ist Impuls von B im A-Ruhesystem
88
6.2 e+ e− - Reaktionen
6 DIE ELEKTROMAGNETISCHE WECHSELWIRKUNG
6.2 e+ e− - Reaktionen
• wichtiger Zweig der exp. Teilchenphysik
• viele Entdeckungen:
J/Ψ Teilchen (c-Quark) (1974)
τ Teilchen (1975)
g Gluon (1979)
• Experimente an Collidern
Üblich: E + = E − = E ;
Collider
SLAC
DESY
SLAC
CERN
DESY
SPEAR
PETRA
SLC
LEP
TESLA
√
s = 2 · Ee
e+
E+
e−
E−
√
Schwerpunktsenergie s
√
3...6 GeV
√
14...44
GeV
√
90 GeV√
90...208 √GeV
500...800 GeV
Zeitraum
73 79 -86
91-99
89 -00
08- (geplant)
• Reaktionsmechanismen
f
e+
e−
oder
e−
γ oder [Z]
e−
γ
e+ e+
6.2.1
e+ e− → µ + µ − - Reaktionen
Wird als Eichreaktion verwendet
dσ
dΩ∗
=
α2
2
∗
4s (1 + cos (Θ )
mit σ =
4Πα 2
3s
89
f¯
6.2 e+ e− - Reaktionen
6.2.2
6 DIE ELEKTROMAGNETISCHE WECHSELWIRKUNG
e+ e− → qq → Hadronen
Umwandlung qq → Hadronen verändert σ in erster Näherung nicht
d σ (e+ e− →qq)
dΩ∗
e →qq)
= 3 · Q2 d σ (e dΩ
(3 wegen den 3 Farbladungen, siehe Kap.7)
∗
+ −
- Man erwartet Stufenfunktion in
σnad
σµµ
≈ ∑ 3 · Q2q bei
90
√
s = 2 · E = 2Mqi
6.2 e+ e− - Reaktionen
6.2.3
6 DIE ELEKTROMAGNETISCHE WECHSELWIRKUNG
qq Resonanzen und Breit-Wigner Resonanzkurve
Propagator für stabilen Zwischenzustand:
1
2
S−Mqq
2
→ Problem: Pol S = Mqq
91
6.2 e+ e− - Reaktionen
6 DIE ELEKTROMAGNETISCHE WECHSELWIRKUNG
Abbildung 3: Wirkungsquerschnitt von e + e− -Reaktionen
92
6.2 e+ e− - Reaktionen
6 DIE ELEKTROMAGNETISCHE WECHSELWIRKUNG
Abbildung 4: e+ e− -Reaktionen
93
6.2 e+ e− - Reaktionen
6 DIE ELEKTROMAGNETISCHE WECHSELWIRKUNG
→ Breit-Wigner-Resonanzkurve
WQ kann keinen Pol haben, da Wechelswirkungs-Wsk. < 1 (Unitarität)
Lösung: Endliche Lebensdauer τ |ψ (t)| 2 = |ψ (0)|2 e1t/τ
ψ (t) ∼ e−iMt e−t/2τ → Fourier − Tra f o
(ψ 0 (E)) =
Z
dt ψ (t)eiEt ∼
(|ψ 0 |)2 ∼
−1
i(E − M) − 1/2τ
1
(E − M)2 + (1/2τ )2
Typische Werte von Γ und τ
VM
ρ
Φ
J/ψ
Y
M [MeV]
770
1020
3097
9460
Γ [MeV]
150
4,5
0,087
0,052
τ [10−23 s]
0,44
14,6
755
1263
Für den Zerfall des Φ-Teilchens gilt: Φ → KK mit ∆M = MΦ −2MK = 20MeV Der Massenunterschied
ist gering ⇒ Dichte der Endzustände ist klein.
94
8 DIE SCHWACHE WECHSELWIRKUNG
8 Die schwache Wechselwirkung
Bisher: β -Zerfall, Neutrinostreuung, Σ-Zerfall
Jetzt: systematisch Schwache Wechselwirkung wirkt auf alle bekannten Fermionen
8.1 Die Mitspieler
8.1.1
e
µ
τ
Die Leptonen
Elektron
Myon
Tau
(1897 J.J.Thomson)
(1937 Anderson, kosm. Höhenstrahlung)
(1975 M.Perl, e+ e− → τ + τ − )
me = 0,5110 MeV
mµ = 105,6 MeV
mτ = 1777 MeV
stabil
τ = 2, 20µ s
τ = 2, 9 · 10−13 s
Neutrinos
• 1930/33 postuliert von W. Pauli, erste Theorie von E. Fermi
• 1956 Entdeckung des Neutrinos (Cowan, Reines, ν e aus Kernreaktion)
• 1958 - 1970 νe 6= νe
aus Sonne: νe +37 Cl → e− +37 Ar + ν
aus Kernreaktion: νe +37 Cl geht nicht über in e− +37 Ar
• 1962 νe 6 νµ (Cederman, Schwartz, Steinberger)
(−)
π ± → µ ± + νµ
p
[15 GeV]
13,5 m Eisen
Be
p + Be → π + x
Detektor Al (Funkenkammer)
µ
νµ
νµ + Al → µ + + x
Im Detektor hat man ca. 50 µ -Spuren entdeckt, kein e →6= e 6 νµ
• 1958 Messung der ν -Helizizät (Goldhaber): (siehe Abbildung 8)
– νe hat λ = −1 (Spinorientierung antiparallel zur Bewegungsrichtung)
– νe hat λ = +1 (Spinorientierung parallel zur Bewegungsrichtung)
• 1990 e+ e− → z → f f (LEP) ⇒ genau drei leichte ν -Sorten
101
8.1 Die Mitspieler
8 DIE SCHWACHE WECHSELWIRKUNG
• 2000 Entdeckung des τ -Neutrions
102
8.1 Die Mitspieler
8 DIE SCHWACHE WECHSELWIRKUNG
Abbildung 8: Das Goldhaber Experiment
103
8.1 Die Mitspieler
8 DIE SCHWACHE WECHSELWIRKUNG
Abbildung 9: Das Reines Experiment
104
8.1 Die Mitspieler
8 DIE SCHWACHE WECHSELWIRKUNG
Neutrinomassen:
ν e : m νe
ν µ : mν µ
ν τ : m ντ
<
3 eV
< 190 keV
< 18, 2 MeV


siehe Kapitel 8.6

Lange Zeit (bis 1998) wurde mν ≡ 0 angenommen. Dann: Beobachtung von ν -Oszillationen durch
das Superkamiokande-Experiment → m ν > 0 (siehe Kapitel 8.6).
Aber:
mνx ist “einzig”, vermutlich mν 1eV für alle ν 0 ´s
Leptonen-Dubletts:
ν ´s und gelanden Leptonen gehören paarweise zusammen:
νe e−
νe e+
νµ µ−
νµ µ+
ντ τ−
ντ τ
←Q=0
←Q=−|e|
←Q=0
←Q=−|e|
Leptonenfamilienzahlen Le , Lµ , Lτ :
Le =
Lµ =
Lτ =
+
1
(−)
+
(−) 1
+
(−) 1
Leptonenzahl:
für e− , νe
für µ − , νµ
für τ − , ντ
(e+ , ν e ), sonst Le = 0
(µ + , ν µ ), sonst L µ = 0
(τ + , ν τ ), sonst Lτ = 0
L = L e + L µ + Lτ
Nach heutigem Verständnis bleiben L, L e , Lµ , Lτ für alle Wechselwirkungen erhalten (L e , Lµ , Lτ nicht
bei Neutrino-Oszillation!)
Beispiel:
erlaubt
µ − + p → n + νµ
e+ + e − → ν µ + ν µ
..
.
τ → π − + ντ
verboten
µ − + p 6→ n + π 0
e+ + e− 6→ νe + νµ
..
.
τ 6→ π − + νe
Kreuzen (Crossing) erlaubt:
a+b → c+d
⇒ a → c+d +b
⇒ a+c → d +b
erlaubt
erlaubt
erlaubt
105
8.1 Die Mitspieler
8.1.2
8 DIE SCHWACHE WECHSELWIRKUNG
Die Quarks
Bekannt:
Wir kennen sechs Quarksorten (Flavors), die in drei Dubletts angeordnet sind (Quarks haben jeweils
Baryonenzahl B = 13 , Antiquarks B = − 31 ):
u
d
up
down
c
s
charm
strange
t
b
top
← Q = + 32 |e|
bottom ← Q = − 31 |e|
Antiquarks
− 32 |e|
+ 13 |e|
Achtung:
Quarks existieren nicht als freie Teilchen, daher ist es schwierig, ihre Massen zu bestimmen. “Strommassen” (=
ˆ dynamisches Verhalten im Inneren des Hadrons)
mu,d
ms
mc
mb
mt
=
=
=
=
=
1...10
75...170
1, 15...1, 35
4, 0...4, 4
174, 3 ± 5
MeV
MeV
GeV
GeV
GeV
Konstituenten-Quarkmassen:
m u,d 300MeV
Hadronen mit x, c, b zerfallen. Top-Quark zerfällt, bevor es hadronische Bindung eingeht.
8.1.3
Die W ± - und Z-Bosonen
Entdeckt 1983 am Sp p̄S-Beschleuniger (p p̄-Kollider) am CERN (UA1- und UA2-Experimente)
p̄
p
ū
ū
ū
ν̄
p̄
W±
u
u
d
p
e+ , µ + , τ +
ū
ū
ū
u
u
d
Signatur:
W −→ l ν : Isoliertes l (e, µ ) und fehlender Transversalimpuls (6 p t )
Z −→ l l : Zwei isolierte l (e+ e− , µ + µ − ))
Sehr hoher Untergrund:
σ (p p̄ → W X) BR (W → l νl ) ≈ 1nb
σ (p p̄ → ZX) BR (W → l + l − ) ≈ 0, 1nb
σtot (p p̄) ≈ 40mb = 4 · 107 nb
106
e
Z
ē
8.2 Regeln der schwachen Wechselwirkung
8 DIE SCHWACHE WECHSELWIRKUNG
Heute weiß man:
Mw = (80, 42 ± 0, 06) GeV
Spin(W ) = 1
τw = 10−25 s
(Γw = (2, 12 ± 0, 05) GeV )
Mz = (91, 1882 ± 0, 0022) GeV
Spin(Z) = 1
τz = 2, 6 · 10−23 s
(Γz = (2, 495 ± 0, 003) GeV )
8.2 Regeln der schwachen Wechselwirkung
W- und Z-Bosonen ≡ Quanten des Feldes der schwachen Wechselwirkung
W-Bosonen: Ladung der Fermionen ändert sich
Z-Bosonen: Ladung bleibt erhalten
8.2.1
Geladene Ströme (W ± -Austausch)
1) Chiralität und Helizität
Goldhaber u.a.:
ν ´s haben Helizität λ = −1, ν̄ ´s haben Helizität λ = −1
⇒ Schwache Wechselwirkung koppelt “helizitätsselektiv”
⇒ Wird in schwachem Strom ( j f i )µ berücksichtigt
Beispiel:
νe (uνe )
?
e(ūe )
W
Vertex-Faktor:
− 2ig√w2 γ µ (1 − γ 5 )
• gw “schwache Ladung”
√
• Faktor 2 2 “historisch”
107
8.2 Regeln der schwachen Wechselwirkung
•
γ5
=
T
i · γ0 · γ1 · γ2 · γ3
=
0 12
12 0
8 DIE SCHWACHE WECHSELWIRKUNG
γ5 = γ5
γ 5 · γ µ + γ µ · γ 5 = 0 (µ = 0, 1, 2, 3)
(γ 5 ) 2 = 1 4
• - 21 (1 − γ 5 ) heißt Chiralitätsoperator
Masselose Teilchen
m=0
γ 5 u(p) = ~p|~p|~σ u(p) = λ u(p)
m=0
γ 5 v(p) = ~p|~p|~σ v(p) = −λ v(p)
0
u(p)
v(p)
1
2 (1 − γ5 ) v(p) =
0
1
2 (1 − γ5 )
u(p) =
für
für
für
für
λ = +1 rechtshändig
λ = −1 linkshändig
λ = +1
λ = −1
→ Definition von “links- und rechtshändigen Chiralitätsprojektionen” (linkshändig: λ = −1, rechtshändig: λ = +1):
uL (p) = 12 (1 − γ5 ) u(p)
uR (p) = 21 (1 + γ5 ) u(p)
vL (p) = 21 (1 + γ5 ) v(p)
vR (p) = 21 (1 − γ5 ) v(p)
→ Schwacher Strom (aus Beispiel):
( j f i )µ = −
ig
√w
2
ūe γ µ
1 − γ5
u νe
| 2 {z }
(uνe )L
|
{z
}
Wirkung auf auslaufendes Fermion
5
5
5
0 1+γ γ µ = u+ 1 − γ γ 0 γ µ = (u ) γ µ
ūe γ µ 1−2γ = u+
e L
e γ
e
2
| {z2 }
(ue )+
L
⇒
1
5
2 (1 − γ )
bewirkt, daß der geladene schwache Strom nur an linkshändige Fermionen /
rechtshändige Antifermionen koppelt!
Massive Teilchen:
uL (p) usw. sind keine Helizitätseigenzustände.
108
8.2 Regeln der schwachen Wechselwirkung
8 DIE SCHWACHE WECHSELWIRKUNG
Aber:
Wahrscheinlichkeitsamplitude für “falsche” Helizität:
1 − β = 1 − cv
→ Für β → 1 (E → ∞) wird masseloser Fall asymptotisch erreicht.
Merke:
Schwache Wechselwirkung kann an “falsche” Helizität, aber nicht an falsche Chiralität koppeln (geladeneder Strom)!
2) V-A-Theorie
Erinnerung:
u¯f γ µ ui = ( j fi )µ wird identifiziert mit elektromagnetischem Übergangsstrom
→ ū f γ µ ui ist Lorentzvektor
µ LT (β ) µ
ν )
jem → jem = (LT (β )) µν ( jem
Und:
1 , j 2 , j 3 ) verhält sich unter der Paritätsoperation
~jem = ( jem
em em
t →t
~x → −~x
wie ein Vektor, d.h. P~jem = −~jem
P
Hier:
5
( j f i )µ = u f γ µ 1−2γ ui hat zwei Anteile:
µ
• jV := 12 ū f γ µ ui
wie elektromagnetischer Strom, ist Vektor
µ
• − jA := − 21 ū f γ µ γ 5 ui
neuartiger Term, ist Axialvektor (Pseudovektor)
→ LT wie bei Vektor
→ P~jA = ~jA
Solche axialen Vektoren gibt es in der klassischen Physik auch, z.B. Drehimpuls:
P~L = P(~r ×~p) = (−~r) × (−~p) = (~r ×~p) = ~L
5
µ
µ
⇒ ( j f i )µ = ū f γ µ 1−2γ ui = jV − jA =”(V − A)”
(V-A)-Theorie für schwache WW
3) W-Propagator
Beispiel:
109
8.2 Regeln der schwachen Wechselwirkung
νe
8 DIE SCHWACHE WECHSELWIRKUNG
e
?
ig
√w γ µ (1 − γ 5 )
2 2
Propagator:
−i(gµν −qµ qν /Mw2 )
q2 −Mw2
Falls alle Energien, Impulse Mw :
→ Propagator ≈
igµν
Mw2
(qµ Mw )
µ
Selbst wenn q µ 6 Mw , ergibt q µ j f i Terme ∼ m (m Masse des Fermions) → q µ qν /M 2 vernachlässigbar
4) Schwache Ladung in Fermi-Konstante
gw = “schwache Ladung”
gw =
e
sin Θw
Elektromagnetische und schwache Wechselwirkung haben “gemeinsamen Ursprung”
→ Ladungen sind verknüpft
→ Mischungswinkel Θw = “Weinberg-Winkel”, Θw ≈ 29◦
sin Θw ≈ 0, 48
Wenn |q2 | Mw2 lassen sich schwache Ladung und Propagator zusammenfassen:
√
g
√
g
M f i ∼ [ 2 w u1 γµ (1 − γ5 ) 12 u1 ] · M1w · [ 2 w ū2 γµ (1 − γ5 ) 12 u2 ] =
GF
=√
(ū γ (1 − γ5 )u1 )(ū2 γ µ (1 − γ5 )u2 )
2 1 µ
⇒
(i)
(ii)
√
g2
GF = 82 Mw2 = 1, 17 · 10−5 GeV 2 = Fermi-Konstante
w
Die Form
(1) (2)
M = const. j µ jµ
wurde ursprünglich von Fermi für die schwache Wechselwirkung vorgeschlagen
(“4-Fermion-Wechselwirkung”)
5) Geladener Strom von Quarks: Die CKM-Mischungsmatrix
Erinnerung:
110
8.2 Regeln der schwachen Wechselwirkung
8 DIE SCHWACHE WECHSELWIRKUNG
Schwache Wechselwirkung ist die einzige Wechselwirkung, die Quark-Flavor ändern kann.
Erwartung:
Übergänge zwischen Mitgliedern der Quark-Dubletts:
1. Generation
z }| {
u
↓
↑
d
2. Generation
z }| {
c
↓
↑
s
3. Generation
z }| {
b
↓
↑
t
Beispiel: Neutron-Zerfall (u ↔ d):
ν̄e
W
n
e
u↔d
d
u
d
u
u
d
p
Aber: auch beobachtet:

(z.B. Σ(1189)-Zerfall, siehe Kapitel 7.2) 

1
ca. um Faktor 20
schwächer als
1↔2
c ←→ d (z.B. Zerfall von Charm-Hadronen)
ν
oder
µ → eνν
z.B.
n
→
pe


1↔2
b ←→ c (z.B. Zerfall von Bottom-Hadronen)
o
1↔3
b ←→ u (z.B. Zerfall von Bottom-Hadronen) stark unterdrückt
1↔2
u ←→ s
Deutung:
Quark-Eigenzustände der schwachen Wechselwirkung sind Mischungen der Massen-Eigenzustände
0
 
d
d
 s 
 s 
=
U
|{z}
b
b
unitäre
3×3-Matrix
| {z }
| {z }
Massen-EZ
EZ der schwachen WW

Matrix U heißt: Cabibbo-Kobagashi-Maskawa-Matrix (CKMM)
Ursprünglich (vor Entdeckung des Charm-Quarks) vorgeschlagen von Cabbibo für 2 Generationen
von Quarks (63)
Ucab =
cos Θc sin Θc
− sin Θc cosΘc
Θc → Cabbibo-Winkel, Θc ≈ 13◦
111
8.2 Regeln der schwachen Wechselwirkung
8 DIE SCHWACHE WECHSELWIRKUNG
d 0 , s0 sind Eigenzustände der schwachen Wechselwirkung
→ schwacher Strom ist j µ =
ūT µ 1−γ 5
j 2 Ucab ds
c̄
Ucab kann auch als u/c-Mischung interpretiert werden → Ergebnis ist das selbe!
jµ
5
ūγ µ 1−2γ d(cos Θc )
=
+
5
ūγ µ 1−2γ s(sin Θc )
+
5
c̄γ µ 1−2γ s(cos Θc )
−
M (d ↔ u) ∼ cos2 Θc
M (d ↔ c) ∼ sin2 Θc
M (s ↔ u) ∼ sin2 Θc
M (s ↔ c) ∼ cos2 Θc
⇒ sin2 Θc ≈ 0, 05
⇒ Θc ≈ 13◦
Erweiterung auf 3 Generationen vorgeschlagen von Kobagashi und Maskawa
Vier unabhängige Parameter für UCKM , davon eine komplexe Phase (siehe Folie)
6) Einige wichtige Zerfälle
• π ± -Zerfall
π+
u
d¯
cos Θc
W+
Achtung - hier spielt
starke WW eine Rolle!
“Semileptonischer Prozeß”
Beobachtet:
Γ(π ± →eνe )
−4
Γ(π ± → µνµ ) = 1, 23 · 10
obwohl me mµ (d.h. Phasenraum für eν größer)
Warum? Antwort:
112
5
c̄γ µ 1−2γ d(sin Θc )
8.2 Regeln der schwachen Wechselwirkung
π + ( j = 0)
⇒
νe,µ
8 DIE SCHWACHE WECHSELWIRKUNG
⇐
e+ , µ +

ν linkshändig 
e+ , µ + hat “falsche” Helizität
⇒ → Amplitude ∼ (1 − β ) → µ bevorzugt
mν ≈ 0
e, µ

| {z }
⇒ Helizität − 1
→m2e,µ
Genaue Rechnung:
Γ(π ± →eν )
Γ(π ± → µν )
=
(m2π − m2e )2
m2e
= 1, 28 · 10−4
·
mν2
(m2π − m2µ )2
|{z} |
{z
}
Helizität Phasenraum
• µ - und τ -Zerfall
e
W
ν̄e
µ
νµ
rein leptonischer Zerfall
Anwendung der Feynman-Regeln für schwache Wechselwirkung:
(i) Γ(µ − → e− ν̄e νµ ) =
G2F m5µ
(1 + O( mmµe ))
192π 3
= 2, 2µ s
→ Bestimmungsmöglichkeit für GF
(µ → νµ eν̄e ist dominierender µ -Zerfallsmodus (∼ 99%))
(ii) Bevorzugte Impuls / Spinkonfiguration:
e
⇒
⇒
µ
⇒
ν̄e
⇐
µn u
→ “richtige” ν -Helizitäten
→ “richtige” e-Helizität
→ Sze + Szνe = 1, wie bei Koppelung an W (S =!) bevorzugt
113
8.2 Regeln der schwachen Wechselwirkung
8 DIE SCHWACHE WECHSELWIRKUNG
• µ - und τ -Zerfall
Für τ -Zerfall gilt (i) mit m µ → mτ :
Γ(τ − → e− ν̄e ντ ) = ( mmµτ )5 · Γ(µ − → e− ν̄e νµ ) · (1 + Θ( mmµe ))
Weitere τ -Zerfallskanäle:
s : ∼ sin Θc
d : ∼ cos Θc
ū
W
d, s
τ
ντ
τ − → µ − ν̄µ ντ
τ − → ντ (d ū)
τ − → ντ (sū)
d: ∼ cos Θc
s: ∼ sin Θc
(d ū), (sū) → Hadronen
Abgesehen von (kleinen) Phasenraum-Effekten:
Γ(τ → µν ν̄ ) = Γ(τ → eν ν̄ )
Γ(τ → ντ (d ū)) = 3 cos 2 Θc Γ(τ → eν ν̄ )
Γ(τ → ντ (sū)) = 3 sin 2 Θc Γ(τ → eν ν̄ )
3: Farbfaktor
(Universalität der schwachen Ladung)
⇒ Γtotal (τ ) ≈ 5( mmµτ )5 · Γtotal (µ )
mτ
mµ
%
&
berechnet: 6, 73 · 106
gemessen: 7, 56 · 106
Unterscheide:
– Phasenraum
– starke Wechselwirkung (Korrekturen)
• Zwei D+ -Zerfälle
cos Θc
sin Θc
u
d¯
c
D+ d¯
cos Θc
s
d¯
π+
K¯0
u
s̄
c
D+ d¯
sin Θc
114
d
d¯
π0
K+
8.2 Regeln der schwachen Wechselwirkung
8 DIE SCHWACHE WECHSELWIRKUNG
M 2 ∼ sin4 Θc
M 2 ∼ cos4 Θc
8.2.2
Neuatrale Ströme (Z-Austausch)
1) Das Z koppelt an alle bekannten Fermionen f:
f
f
Z
Vertex-Faktor:
− ig2z γ µ (cVf − cAf γ 5 )
Ladung:
gw
cos Θw
cVf
cAf
=
=
gz =
=
e
sin Θw cos Θw
− 12 − 2Q f sin2 Θw
+ 21 − 2Q f sin2 Θw
− 21
+ 21
e− , µ − , τ − , d, s, b
νe , νµ , ντ , u, c,t
e− , µ − , τ − , d, s, b
νe , νµ , ντ , u, c,t
kein reiner (V-A)-Strom (außer für Neutrinos)
Propagator:
q µ qν
Mz2
q2 −Mz2
−i(gµν −
)
(
q µ qν
MZ2
meist vernachlässigbar)
2) GIM-Mechanismus
Frage: Koppelt das Z an (d, s, b) oder an (d 0 , s0 , b0 )?
Antwort: Das Ergebnis ist gleich!
 0 
d
U T ·U = 13
da CKMM unitär
=
(d¯0 , s̄0 , b̄0 )γ µ (cV − cA γ 5 )  s0 
0
b
 
d
T
µ
5
¯

= (d, s̄, b̄)UCKM γ (cV − cA γ )UCKM
s =
b
 
d
¯ s̄, b̄)γ µ (cV − cA γ 5 )  s 
= (d,
b
115
8.2 Regeln der schwachen Wechselwirkung
8 DIE SCHWACHE WECHSELWIRKUNG
Alle nicht-diagonalen Flavour-Komponenten verschwinden!
Es gibt keine “Flavour-verletzenden neutralen Ströme” (FCNC = “flavor changing
neutral currents”)
Dieser “Mechanismus” ist benannt nach Glashow, Iliopoulos, Miani (→ GIM-Mechanismus)
Auch für Prozesse höherer Ordnung:
µ+
sin Θc
K0
− sin Θc
W
d
νµ
u
s̄
K0
W
cos Θc
d
s̄
νµ
c
W
∼ − sin Θc cos Θc
3) e+ e− → Z
f¯
Z
f
e−
W
cos Θc
µ−
∼ sin Θc cos Θc
e+
µ+
Untersucht bei:
• CERN (LEP):
Vier Experimente: ALEPH, DELPHI, L3, OPAL, je ca. 4, 5 · 10 6 Z-Ereignisse
• SLAC (SLC):
Ein Experiment (SLD): ca. 0, 5 · 106 Z-Ereignisse (mit e+ /e− -Polarisation)
hochpräzise Messung von Mz , Γz , sin2 Θw , Kopplungen cVf , cAf , ...
Beispiel: Zahl Nν der leichten ν -Sorten
116
µ−
8.3 Paritätsverletzung
Γz =
8 DIE SCHWACHE WECHSELWIRKUNG
+Γe + Γµ + Γτ
Γhad
|{z}
+
N
¯ s̄,cc̄,bb̄
Z→uū,d d,s
Messung aus
|
σ (e+ e−
{z
→ Z → f f¯) =
∑ Γν
| ν{z }
“unsichtbar”
}
sΓ2z
12π Γe Γ f
Mz2 Γ2z (s−Mz2 )2 +(sΓz /Mz )2
⇒ Zusammen mit Γz ⇒ Γν :
⇒ Nν = 2, 984 ± 0, 008
Theorie:
Γ f = c f Γ0 [(cVf )2 + (cAf )2 ]
3 für Quarks
cf =
1 für Leptonen
Γ0 =
GF Mz3
√
6 2π
Γe,µ ,τ
Γ ν e ,ν µ ,ν τ
Γu,c
Γd,s,b
= 0, 332GeV
=
=
=
=
0, 084
0, 166
0, 286
0, 369
GeV
GeV
GeV
GeV
8.3 Paritätsverletzung
→ Paritätsoperation:
P f (~x,t) = f (−~x,t)
→ Eigenwerte: wegen P2 = 1 ist EW = π = ±1
→ Multiplikative EW: πtot = ∏i=1,n πi
→ P-Erhaltung bedeutet
[P, H] = PH − HP = 0
- [P, H] Kommutator von P, H
- H Hamilton-Operator einer Wechselwirkung
⇒ Wechselwirkung erhält P-Eigenwerte
⇒ hΨ f |H|Ψi i = hΨ f PT |H|PΨi i
⇒
Matrixelemente (d.h. Wirkungsquerschnitt, Γ ,...) für einen Prozeß und sein P-Spiegelbild
sind gleich
→ In elektromagnetischer und starker Wechselwirkung ist P erhalten
(Historisch: Annahme, daß dies für alle WW grundlegendes Gesetzt sei)
117
8.3 Paritätsverletzung
8.3.1
8 DIE SCHWACHE WECHSELWIRKUNG
Das Wu-Experiment
Überprüfung der P-Erhaltung in der schwachen Wechselwirkung:
Zerfall 60
Prinzip: 60 Co −→
Zerfall
J=5
~B
Ni + e− + ν̄e
60 Co
Θ
e
J =4
60 Ni
ν̄e
e− bevorzugt gegen Co-Polarisation emittiert
e
J =5
P
60 Co
Wirkungsquerschnitt(Θ)
π −Θ
6=
e
Wirkungsquerschnitt (π − Θ) = Wirkungsquerschnitt (P(Θ))
Wir wissen, warum:
⇑
ν̄e
J = 5 (Co)
e
J = 4 (Ni)
bevorzugt in
B-Richtung
⇑
vorgeschlagen von Lee und Yang
Grund: θ − τ -Rätsel
00 τ 00
00 θ 00
→ 3π , P = −1
→ 2π , P = +1
(ansonsten gleiche Eigenschaften)
Π(π ) = −1 (Parität des Pions)
Π(Ylm ) = (−1)l (Parität einer Kugelwellenfunktion mit Drehimpuls l)
lτ = l θ = 0
⇒ Vermutung: gleiches Teilchen das beim Zerfall die Paritätserhaltung verletzt
y heute: 00 τ 00 =00 θ 00 = K 0 /K 0
8.3.2
(V − A)-Theorie und maximale P-Verletzung
Die Aussage ”alle Neutrinos tragen Helizität −1” ist paritätsverletzend
118
8.4 Ladungskonjugation, CP und CP-Verletzung
⇐
8 DIE SCHWACHE WECHSELWIRKUNG
”erlaubt”
ν
P
⇐
ν
”verboten”
y Maximale Paritätsverletzung
y Konsequenz aus der (V − A)-Theorie:
P
(V − A) −→ (−V − A) = −(V + A)
⇒ Alle Prozesse mit W -Austausch sind maximal P-verletzend
y Z-Austausch: |cA | 6= |cV | ⇒ M enthält P-erhaltende und P-verletzende Anteile (außer für Neutrinos
|cA | = |cV | ⇒ auch mit Z-Austausch maximal P-verletzend)
8.4 Ladungskonjugation, CP und CP-Verletzung
8.4.1
Ladungskonjugation C
Ursprünglich: aus Invarianz elm. Kräfte unter Vorzeichenwechsel aller Ladungen (auch felderzeugender Ladung)
Allgemeiner:
C|ai = ±|ai
C = Operator der Ladungskonjugation
|ai = Teilchenzustand
y C2 = 1
y EW = ±1 wenn Teilchen ≡ Antiteilchen (z.B. Photon)
y pµ , M und Spin bleiben unter C invariant
y Additive Quantenzahlen (1-Teilchen QZ q → Teilchensystem QZ: ∑ q): Q, L, Le , Lµ , Lτ , B, ... gehen
in ihr negatives über
Eigenzustände zu C:
C|γ i = −|γ i
und
C|π 0 i
=
+|π 0 i
119
C|gi = −|gi
8.4 Ladungskonjugation, CP und CP-Verletzung
8.4.2
8 DIE SCHWACHE WECHSELWIRKUNG
Die CP-Transformation
Hintereinanderausführung von Parität und Ladungskonjugation
y Eigenzustände
CP|γ i = +|γ i
J PC = 1−−
0
0
CP|π i = −|π i
J PC = 0−+
CP|π + π − i = +|π + π − i l = 0
da Bosonen
l =0
CP| f f i = −| f f i
(in spektroskopischer Notation: J PC (Drehimpuls-, Paritäts- und C-Paritätseigenwerte J, P und C))
y Wirkung auf τ
⇐
”erlaubt”
⇐
ν
CP
P
”verboten”
”verboten”
ν
C
P
⇐
⇐
ν
”erlaubt”
ν
C
⇒ Vermutung (bis 1964): CP ist erhalten
8.4.3
CP-Verletzung
Entdeckt im K 0 /K 0 -System
K 0 = |dsi
K 0 = |dsi
können ineinander übergehen (nur mit schwacher Wechselwirkung)
d
K0
u, c, t
W
s
u, c, t
s
W
K0
d
⇒ Beobachtet wird QM-Mischung von K 0 und K 0
y Konstruktion von CP-Eigenzuständen
C|K 0 i = +|K 0 i
; C|K 0 i = +|K 0 i
0
0
P|K i = −|K i
; P|K 0 i = −|K 0 i
0
0
⇒ CP|K i = −|K i ; CP|K 0 i = −|K 0 i
120
8.4 Ladungskonjugation, CP und CP-Verletzung
⇒ |K1 i :=
|K2 i :=
√1
2
1
√
2
wenn CP erhalten ist:
8 DIE SCHWACHE WECHSELWIRKUNG
|K 0 i − |K 0 i
|K 0 i + |K 0 i
; [CP = +1]
; [CP = −1]
K1 → [CP = +1]
K2 → [CP = −1]
y Erinnerung (θ − τ -Rätsel):
K 0 , K 0 → 2π
K 0 , K 0 → 3π
P = +1,CP = +1 ⇒ K1 und
P = −1,CP = −1 ⇒ K2
wegen Phasenraum erwartet man Lebensdauern τ :
τ (K1 ) τ (K2 )
K 0 -Strahl
L1 ≈ cτ1 γk
L2 L 1
Zerfall der K1 mit τ1 :
fast reiner K2 -Strahl, Zerfall
K1 → 2π
mit τ2 : K2 → 3π
Vorhersage 1955 (Gell-Mann, Pais)
1956: Lederman et al.: τ1 ≈ 0.89 · 10−10 s, τ2 ≈ 5.2 · 10−8 s
1964: Cronin, Fitch: K2 → 2π mit 0.23% Wahrscheinlichkeit (zuviele 2π Zerfälle bei L 2 )
⇒ CP-Verletzung!
⇒ Lang- und kurzlebige K0 -Mischungen (diese werden wirklich beobachtet, nicht K1 und K2 ):
|KL i =
|KS i =
√ 1
1+ε 2
√ 1
1+ε 2
(|K2 i + ε |K1i)
(|K1 i − ε |K2i)
y CP-Verletzung in der schwachen Wechselwirkung:
121
ε = 0.0023
8.5 Aktuelles zur ν-Physik
8 DIE SCHWACHE WECHSELWIRKUNG
2 u, c, t 4
d
K0
W
1 u, c, t 3
s
s
W
K0
d
1 - 4: 4 Elemente der CKM-Matrix
y CP-Verletzung durch komplexe Phase in CKM-Matrix
y Heute: intensive experimentelle Untersuchungen zu CP-Verletzung im
- K 0 /K 0 -System
- B0 /B0 -System (BaBar-Experiment am PEPII (SLAC) - Beschleuniger)
Warum ist CP-Verletzung so interessant?
→ Ursache unverstanden
→ Kann unter Umständen Materie/Antimaterie-Asymmetrie erklären
→ Fenster zur ”neuen Physik” (über das Standardmodell hinausreichend)
8.5 Aktuelles zur ν -Physik
Zur Zeit aktuelle Fragen:
- mν =? (haben Neutrinos Masse → ja? aber wie groß)
- ν -Oszillationen? (→ ja?, aber Parameter)
- ν aus Höhenstrahlung bzw. Sonne: was lernen wir atmosphärischen bzw. solaren ν ´s
8.5.1
Direkte Messung von ν -Massen
• νe : empfindlichste direkte Messung:
3
H →3 He + e− + νe
→ Energiespektrum präzise messen und nach Unstimmigkeiten bei höchsten e − -Energien suchen
(a) νe Tritiumzerfall
3
H →3 He + e− + ν̄e
Man betrachtet das Energiespektrum der e − und misst deren maximale Energie E0 .
E0 ≈ M3 H − M3 He = me + 18.6keV
unter der Annahme, dass mνe = 0 ist. Für mν > 0 ändert sich das Energiespektrum (vgl. Fig. (10)).
Kurie-Funktion
K(E) =
q
1/2
p
N(E)/(K · F(E, Z) · pE) '
(E0 − E)2 − m2ν (E0 − E)
122
8.5 Aktuelles zur ν-Physik
8 DIE SCHWACHE WECHSELWIRKUNG
Abbildung 10: Energiespektrum
mν = 0 ⇒ linearer Verlauf.
Experiment zur genauen Energiebestimmung: siehe Schmitz.
Ergebnis: mνe < 2.2eV @ 95% CL.
CL: Confidence Level, d.h. 95% aller gleichartigen Experimente würden bei m ν = 2.2eV eine signifikante Abweichung von m2ν = 0 finden. (b) ν µ Aus dem Prozess
π + → µ + νµ
Man untersucht µ + , weil µ − seltsame Dinge mit Materie anstellt, die die Messung verfälschen würden. π + sei am Anfang in Ruhe
q
→ mν2 µ = Mπ2 + m2µ − 2Mπ Mπ2 + p2µ
Diese Formel wollte Prof. Katz nocheinmal nachrechnen!
pµ : Impuls des Myons im Zerfall von ruhendem π + .
(c) ντ Aus
⇒ mνµ < 0.19MeV @ 90% CL
τ → ντ + Hadronen
mit Hadronen, für deren Masse gilt: MH < mτ − mντ .
→ mντ < mτ − MH |max
→ mντ < 18.2MeV @ 98% CL
8.5.2
Atmosphärische Neutrinos
Kontinuierlicher Einfall kosmischer Strahlung auf die Erdoberfläche. Teilchen (p, N, γ , e, ν ). N bezeichnet Nukleonen.
p, N + NAtmosphäre → nπ +
123
8.5 Aktuelles zur ν-Physik
8 DIE SCHWACHE WECHSELWIRKUNG
nπ → µνµ bzw. ν̄µ
µνµ bzw. ν̄µ → eνe νµ bzw. eν̄µ ν̄e
Detektor: Super Kamiokande (Japan): 50.000t Wasser.
Erwartung:
Nνµ
'2
Nνe
weil doppelt soviele µ -Neutrinos wie e-Neutrinos enstehen. Der Wert 2 ist noch durch andere Reaktionskanäle abgeändert, bei denen ebenfalls Neutrinos entstehen.
Messung: Durch die Reaktion:
)
( )
ν̄µ : ( ν̄µ + N → µ ∓ + X
( )
ν̄e
)
: ( ν̄e + N → e∓ + X
Myonen und Elektronen, bzw. Positronen werden hierbei nachgewiesen und identifiziert. Ergebnisse:
(a) signifikant weniger ν µ als erwartet:
N( ν̄ ) /N( ν̄ ) |erwartet
µ
e
“|gemessen
= 0.6 ± 0.05
(b) starke Zenitwinkelabhängigkeit. Durch die Erde kommen weniger ν µ als erwartet.
8.5.3
Solare Neutrinos
In der Sonne verschmelzen Protonen zu Kernen:
(d, He, ...) → e+ νe
Die Hauptreaktion ist:
4 He + 2ν
e + 26.73MeV
Die Energie wird zu 2% als Energie der Neutrinos und zu 98% als Licht emittiert. Eine genauere
Rechnung erfolgt im “solaren Standardmodell”. Die Messung erfordert hohe Targetmassen. So wie
beim Super-Kamiokande Experiment, bei der die Reaktion ν e e → νe e untersucht wird:
νe
e
e
W
νe
e
Z
νx
e
124
νx
8.5 Aktuelles zur ν-Physik
8 DIE SCHWACHE WECHSELWIRKUNG
Der Nachweis der Elektronen liefert Zeit- und Richtungsinformation der Neutrinos.
Eν > 5MeV
Ein weiteres Experiment: SNO (Sudbury Neutrino Observatory). Hier wird schweres anstatt normalem Wasser verwendet. Weniger Material notwendig (1000t D 2 O).
Reaktion:
νe + d → e + 2p ,Eνe > 1.44MeV
νx + d → νx + p + n ,Eνe > 2.23MeV
Ein direkter Vergleich der Elektronneutrinos mit den beiden anderen Neutrinosorten ist möglich. Noch
eine weitere Nachweismöglichkeit sind radiochemische Methoden. Hier werden Reaktionen wie:
νe +37 Cl → e− +37 Ar ,Eνe > 0.814MeV
ausgenutzt. Zum Beispiel beim Homestake-Experiment (Davis et al,1970-1996). Hier wurde eine
Menge an CCl4 verwendet die 133t Cl entspricht und Ar radiochemisch nachgewiesen. Weitere radiochemische Experimente sind GALLEX und SAGE, die 30 bzw. 57t Gallium verwenden, und die
Reaktion
νe +71 Ga → e− +71 Ge ,Eνe > 0.233MeV
Das Ergebnis dieser Experimente: Es werden signifikant weniger Elektronneutrinos beobachtet als
erwartet.
8.5.4
Idee:
Neutrino-Oszillationen
|νe >, |νµ >, |ντ >= Flavor-Eigenzustände
|ν1 >, |ν2 >, |ν3 >= Massen-Eigenzustände
Diese Eigenzustände sind über eine unitäre Matrix miteinander verknüpft (Pontecorvo 1957):




ν1
νe
 ν2  = Uν  νµ 
ν3
ντ
Die Konsequenz ist in der einfachsten Konstellation eine Oszillation zwischen zwei Flavoreigenzuständen:
cos Θ − sin Θ
ν1
νe
=
sin Θ cos Θ
ν2
νµ
Nun werde zur Zeit t = 0 ein Elektronneutrino erzeugt:
|ν (t = 0) >= |νe >= |ν1 > · cos Θ + |ν2 > sin Θ
Dieser Zustand entwickelt sich mit der Zeit:
|ν (t > 0) >= |ν1 > · cos Θe−iE1t + |ν2 > sin Θe−iE2t
125
8.5 Aktuelles zur ν-Physik
8 DIE SCHWACHE WECHSELWIRKUNG
Die Wahrscheinlichkeitsamplitude für das Elektronneutrino ergibt sich:
< νe |ν (t) >= cos2 Θe−iE1t + sin2 Θe−iE2 t
Die Wahrscheinlichkeit, ein Elektron nach der Zeit t im Elektronneutrino-Zustand vorzufinden ist das
Betragsquadrat der Amplitude:
| < νe |ν (t) > |2 = cos4 Θ + sin4 Θ + sin2 Θ cos2 Θ e−i(E1 −E2 )t + ei(E1 −E2 )t =
2
2
2
= 1 − 2 sin Θ cos Θ(1 − cos(∆Et)) = 1 − sin (2Θ) sin
2
∆m2 T
4E
Denn die Energiedifferenz kann mit der relativistischen Energie-Impuls Beziehung berechnet werden:
∆E = E1 − E2 =
q
q
∆m2
m21 + p2 − m22 + p2 ≈
2E
2
L
Pl = 1 − sin2 (2θ )sin2 ( ∆m
4E )
Θ: Mischungswinkel
E: Neutrinoenergie
L: Weglänge zwischen Erzeugung und Beobachtung
2
L
P = 1 − Pl = sin2 (2θ )sin2 ( ∆m
4E )
Oszillationslänge:
E[MeV ]
4π E
L0 = ∆m
2 = 2, 48 ∆m2 [eV 2 ]
→ maximale Mischung für sin2 (2θ ) = 1
Θ = 45◦ , 135◦ , ...
→ sehr kleine ∆m2
atm: ∆m2 ≈ 10−3eV 2
solar: ∆m2 ≈ 10−12eV 2
126
9 DAS STANDARDMODELL
9 Das Standardmodell
– Beschreibt die elm., schwache und starke Wechselwirkung
– Herleitung aus gemeinsamen Prinzip (lokale Eichinvarianz)
9.1 Eichtheorien
9.1.1
Die Lagrangedichte
– Erinnerung: theoret. Mechanik
L = L(xi ; pi ;t) ∀i
dabei: pi = ẋi
d ∂L
dt ∂ pi
− ∂∂ xLi = 0
Ähnlich in der QFT:
Lagrangedichte
L = L (Φ; ∂µ Φ; xµ )
R
L = d 3 xL
⇒ Feldgleichungen
− ∂∂ L
∂µ ∂ (∂∂L
Φi = 0
µ Φi )
Beispiel: Dirac-Gleichung
L = iΨ̄γµ ∂ µ Ψ − mΨ̄Ψ
komplette Lagrangedichte ≡ vollständige QFT-Beschreibung i.a. enthält L :
– Massenterme
– kinetische Terme
– WW-Terme
127
9.1 Eichtheorien
9.1.2
9 DAS STANDARDMODELL
Lokale Eichinvarianz
Idee: Fordere Invarianz von L unter lokalen Phasentransformationen:
Ψ → Ψ0 = eiα (xµ ) Ψ
Ψ̄ → Ψ̄0 = eiα (xµ ) Ψ̄
Für die Dirac-Gleichung:
– Massenterme O.K.
– kinetische Term:
∂µ Ψ0 = eiα (xµ ) ∂µ Ψ + ieiα (xµ ) Ψ(∂µ Ψ)
hinterer Summand verletzt Invarianz
Aber: Konzept läßt sich retten, wenn
∂µ → Dµ = ∂µ − ieAµ
mit Teilchenladung e
Aµ → Aµ + 1e ∂µ α (xµ )
Dµ kovariante Ableitung
→ Ersetze in L ∂ µ → Dµ
L = iΨ̄γµ Dµ − mΨ̄Ψ
= Ψ̄(iγµ ∂ µ − m)Ψ + eΨ̄γµ ΨAµ
WW-Term!
⇒ Forderung nach lokaler Eichinvarianz
– „erzeugt“ Photon-Feld A µ
– erklärt die „minimale Ankopplung “
– ergibt korrekte WW von Photon und geladenen Fermionen
Ohne Detail:
Prinzip lokaler Eichinvarianz ist auch für andere WW anwendbar!
Beispiel: starke WW
128
9.2 Elektroschwache WW
9 DAS STANDARDMODELL




qrot
qrot
lokale
 qblau  −→ U(xµ )  qblau 
qgrün
qgrün
ET
→ QCD als Theorie der starken WW
Theorien auf Grundlage lokaler Eichinvarianzen heißen Eichtheorien.
9.2 Elektroschwache WW
→ schwacher geladener Strom koppelt an Paare linkshändiger Fermionen:
νe
e
,
L
νµ
µ
,
L
ντ
τ
,
L
d0
u
,
L
s0
c
,
L
b0
t
L
Analog zum Spin ordnet man diesen Dubletts Quantenzahlen zu:
T, T3 „schwacher Isospin “
νe
e
,
L
e+
ν¯e
R
← T3 = + 21
← T3 = − 21
Idee: Schwache WW erhält T, T3
– Spin-Invarianz
↔ Invarianz unter Rotationen
– schwache Isospin-Invarianz
– Bei ν → eW ändert sich T3e um ±1
⇒ TW = 1
⇒ W gehört zu Triplett


W → f f¯
W+
.
 W0 

=
−
W

 
↑↑
√1 (↑↓ − ↓↑)  = 
2
↓↓
⇒ alle Kopplungen sing gleich
129

νe e+
√1 (e+ e− − ν¯e νe ) 
2
e− ν¯e
9.2 Elektroschwache WW
9 DAS STANDARDMODELL
W ↔ f f¯ immer mit Kopplungsstärke
Was ist mit der T = 0-Kombination
√g
2
√g (↑↓
2
− ↓↑) ?
⇒ weiteres Austauschteilchen B0
B0 6= γ , W 0 6= Z
→ Lösung (Weinberg):
γ , Z sind Linearkombinationen von B0 ,W 0
γ
Z
=
cosθW
−sinθW
sinθW
cosθW
B0
W0
| γ > = cosθW | B0 > + sinθW | W 0 >
f f¯
g0 1
g 1
−→ cosθW √ ( √ (e+ e− + νe ν¯e )) + sinθW √ ( √ (e+ e− − νe ν¯e ))
2 2
2 2
⇒ für ν ν̄ :
g0 cosθW = gsinθW
g0
g
= tanθW ;
g0
g2 +g02
sinθW = √
;
⇒ für e+ e− :
√ gg
0
g2 +g02
= e = gsinθW
⇒ Einsetzen dieser Kopplung in
| Z >= cosθW | W 0 > −sinθW | B0 >
ergibt Z-Kopplungen (siehe Kap. 8.2.2)
Elektroschwache Vereinigung
130
g
g2 +g02
cosθW = √
9.3 Der Higgs-Mechanismus
9 DAS STANDARDMODELL
9.3 Der Higgs-Mechanismus
Die elektroschwache Wechselwirkung läßt sich als Eichtheorie fomulieren. Eichgruppe:
SU(2)L ×U(1)R
Problem: W,Z, γ sind masselos, Massenterme verletzen die Eichinvarianz.
Lösung: Einführung eines skalaren Feldes, H=Higgs
• Koppelt an W,Z und erzeugt eichinvariante Massenterme
• Koppelt an Fermionen ∼ m f (f-Massenterme in L)
• γ bleibt masselos
Prinzip: spontane Symmetriebrechung
H ist das letzte unentdeckte Teilchen des Standardmodells
Suche nach Higgs:
• bei LEP
e+
Z
e−
Sensitivität: MH ≤
11)
H
Z
√
s − MZ = 117GeV ⇒ MH ≥ 115GeV (direkte Suche!) (siehe Abbildung
131
9.3 Der Higgs-Mechanismus
9 DAS STANDARDMODELL
Abbildung 11: Die Suche nach Higgs
132
9.3 Der Higgs-Mechanismus
• bei TeVatron (pp)
g
g
9 DAS STANDARDMODELL
q
g
H
q
• bei LHC (pp, CERN, ab 2006) viele verschiedene Erzeugungs- und Zerfallskanäle, Entdeckung
scheint sicher.
133
10 MESONEN UND BARYONEN
10 Mesonen und Baryonen
Regeln zum Bau von qq und qqq Paaren
10.1 (Leichte) Mesonen
unter leicht versteht man nur u,d und s Quarks
10.1.1
Starker Isospin
Erfunden von Heisenberg (1932) basierend aud der Tatsache, dass sich p und n unter starker Wechselwirkung identisch verhalten
p
n
Starke WW ist invariant unter Rotation dieses Dubletts
|pi = 10 = |1/2, 1/2i; |ni = 01 = |1/2, −1/2i
Ähnlich zum schwachen Isospin
• Die starke Wechselwirkung ist invariant unter Rotation des Isospin Raumes
• Der starke Isospin bleibt unter starker Wechselwirkung erhalten
• Der starke Isospin wird allen Teilchen mit starker Wechselwirkung zugewiesen (q, g, Hadronen)
• Die Addition von Isospinzuständen folgt den gleichen Regeln wie die Addition des Drehimpulses
|I1 , I13 i|I2 , I23 i =
|I1 +I2 |
∑
I=|I1 −I2 |
cI,I 3 ,I1 ,I2 |I, I 3 = I13 + I23 i
cI,I 3 ,I1 ,I2 sind die Clebsch-Gordon Koeffizienten (siehe Abbildung 12)
• I, I1 , I2 sind nicht einzeln erhalten
Vollständige Darstellung:
• u=
• d=
1
0 =
|I, I 3 i = |1/2, 1/2i
0
1
= |1/2, −1/2i
• d = − 10 = −|1/2, 1/2i
134
10.1 (Leichte) Mesonen
10 MESONEN UND BARYONEN
Abbildung 12: Clebsch-Gordon Koeffizienten
• u=
0
1 =
|1/2, −1/2i
• Alle anderen Quarks und das Gluon sind Singlett-Zuständes = c = b = t = |0, 0i
• g = |0, 0i
• Mesonen bestehen aus u und d Quarks und u und d Antiquarks

1; 1/2, 1/2i = −|udi = |π + i
 |1,√
√
2×2 =
1/ 2(|1, 0; 1/2, −1/2i + |1, 0; −1/2, 1/2i) = 1/ 2(|dui − |udi) = |π 0 i

|1, −1; −1/2, −1/2i = |dui = |π − i
n √
√
3 × 1 = 1/ 2(|0, 0; 1/2, −1/2i − |0, 0; −1/2, 1/2i) = −1/ 2(|udi + |dui) = |η i
Alle diese Zustände haben den gleichen Drehimpuls, Spin, Parität und C-Parität, J PC = 0−+
• Ähnliche ISO-Multipletts mit unterschiedlichem J PC :
|ρ i (Mρ = 770MeV , Iρ = 1, J PC = 1−−
|ω i (Mω = 783MeV , Iω = 0, J PC = 1−−
135
10.1 (Leichte) Mesonen
10 MESONEN UND BARYONEN
• Der starke Isospin ist nur näherungsweise eine Erhaltungsgröße (verletzt durch die elm. und die
schwache Wechselwirkung) Auch die Massen von Mitgliedern eines Isomultiplets sind leicht
verschieden
Mn −M p
Mn +M p = 0, 001
Mπ ± −Mπ 0
Mπ ± +Mπ 0
= 0, 017
• Beziehung zwischen I 3 , Q und B (Cell-Mann-Nishijima Beziehung)
Q = I3 +
Y
2
Y = B + S +C
mit: Y= Hypercharge, B=Baryonenanzahl B(q)=1/3, S=Strangeness S(s)=-1, C=Charm C(c)=+1
• Isospin in elektromagnetischer Wechselwirkung: Nur I 3 ist erhalten.
• Isospin in schwacher Wechselwirkung ist nicht erhalten.
10.1.2
Meson Multipletts
Wie steht es mit (s, c, b) Quarks?
 
u
Ist die Starke Wechselwirkung invariant unter Rotation von  d ?
s
Antwort: Teilweise... weniger gut als der starke Isospin.
aber es ist ein sehr guter Zugang um Hadronenzustände zu qualifizieren.
→ Betrachte (u, d, s)
Fundamentale Multipletts [SU(3)]
136
10.1 (Leichte) Mesonen
10 MESONEN UND BARYONEN
→ konstruiere (qq̄) Zustände
A = √12 uū − d d¯ = |Π0 i
B = √16 uū + d d¯ − 2ss̄
C = √13 uū + d d¯ + ss̄
→ η , η 0 (Mη 0 = 958MeV )
Andere Multipletts mit verschiedenen J PC
Beispiel:
J PC = 1−−
π →ρ
K → K∗
MK ∗ = 892MeV
Für (u, d, s, c) → SU(4) „Symmetrie“
137
10.1 (Leichte) Mesonen
10 MESONEN UND BARYONEN
→ Mesonklassifikation
Abbildung 13: SU(4) 16-pletts für (a) pseudoscalare und (b) Vektormesonen, aufgebaut aus u, d, s,
und c Quarks. Die Nonetts aus leichten Mesonen besetzen die zentrale Ebene, zu der cc̄-Zustände
addiert wurden. Die neutralen Mesonen in der Mitte dieser Ebenen sind Mischungen aus uū, d d,¯ ss̄
und cc̄-Zuständen
138
10.2 Baryonen
10 MESONEN UND BARYONEN
10.2 Baryonen
• Baryonen sind (qqq) Zustände
• Flavor (Spinzustand ist total symmetrisch (→ anti-symmetrisiert durch die Freiheitsgrade der
Farbe)
10.2.1
Baryon Multipletts
3 Flavors (u, d, s)
Spin-Flavor Wellenfinktionen
1
|p ↑i = √ |u ↑ u ↓ d ↑ +u ↓ u ↑ d ↑ −2u ↑ u ↑ d ↓ +Permutationen ([udu] + [duu])i
18
|∆++ ↑i = |u ↑ u ↑ u ↑i
Abbildung 14: Grundzustandsbaryonen: (8,2)+(10,4).
139
10.2 Baryonen
10 MESONEN UND BARYONEN
Abbildung 15: SU(4) Multipletts von Hadronen, bestehend aus u, d, s und c Quarks. (a) Das 20-plett
mit einem SU(3) Oktett. (b) Das 20-plett mit einem SU(3) Dekuplett.
140
10.2 Baryonen
10.2.2
10 MESONEN UND BARYONEN
Massen und magnetische Momente
Kann man Hadronenmassen erklären/berechnen?
3
• Naive Idee: MBar = ∑ mqi + B
i=1
mu,d ≈ 340MeV
⇒ ms = 500MeV
B = −60Mev
Aber: dies erklärt nicht die Mesonenmassen (π /ρ ), ∆, etc
(
Achtung:
– Konzept der Bindungsenergie ist schwer anzuwenden, da die Bindungsenergie für große
Entfernungen nicht gegen Null geht.
– „Quarkmassen“sind keine wohldefinierte Größen
∗ „Current Mass“(starke Wechselwirkung ausgeschalten)
∗ „Constituent Mass“(Abhängig von der Bindungskonfiguration)
• Bessere Ergebnisse erhält man, wenn Spin-Spin-Paarung berücksichtigt wird.
– elm:
Vss =
– stark:
2πα
3
· σm11·mσ22 · δ (x)
α → αs
Farbfaktoren
1-Gluon-Austausch
M = ∑i mqi + ∆Mss
Für Mesonen:
qq̄
∆Mss
=
8παs
|Ψ (0)|2 ·
9mq mq̄
−3 : 0−+
+1 : 1−−
→ gute Beschreibung der Hadronenmassen (±1%) mit
mu,d
ms
Baryonen
363 MeV
538 MeV
141
Mesonen
310 MeV
483 MeV
10.3 Quarkonia
10 MESONEN UND BARYONEN
Magnetische Momente von p, n
Für Dirac-Teilchen: µ =
e
2m
Nicht für p, n:
µ p = 2.79 · 2Me p
µn = −1.91 · 2Me n
→ Zusammengesetztes Nukleon
µ p = µ1 + µ2 + µ3
3
⇒ µp =
=
=
∑ hp ↑ |µi |p ↑i
i=1
1
18 hu
=
↑ u ↓ d ↑ +u ↓ u ↑ d ↑ −2u ↑ u ↑ d ↓ + [Permutationen] |µ 1 + µ2 + µ3 |...i
1
6
[(µu − µu + µd ) + (−µu + µu + µd ) + 4 (2µu − µd )]
"
#
1
2
e
e
−
1
4 3 − 3 =
µp =
3 2mu 2md
3
1
4 µu − 3 µd
Mp
e
·
mu,d
2M p
|{z}
Anomales magn. Moment von p ≈ 2,7
"
#
2
e
1 − 31 e
2 Mu e
µn =
4
− 3
=−
3 2md 2mu
3 mu 2Mn
10.3 Quarkonia
Quarkonia sind gebundene Zustände von Quark-Antiquark-Paaren, z.B. cc̄ oder b b̄. Es gibt aber keine
gebundenen Zustände aus t t¯, da das top-Quark sehr schnell zerfällt.
Erinnerung: J/Ψ ist eine schmale Resonanz (Γ J/Ψ = 87keV)
142
10.3 Quarkonia
10 MESONEN UND BARYONEN
Dieser Prozess ist verboten, da 2MD0 > MJ/Ψ . Also müssen sich c und c̄ vernichten. Die ist nur möglich
durch starke und elektromagnetische Wechselwirkung. Bei der elektromagnetischen Wechselwirkung
koppeln c und c̄ an ein Photon und werden zu einem qq̄-Paar oder einem Paar von Leptonen. Das
Matrixelement für diesen Prozess ist |M| 2 ∝ α 2 und der Prozess trägt mit 29% bei.
Der starke Wechselwirkungsprozess, wobei c und c̄ nur mit einem Gluon koppeln ist aufgrund Farberhaltung verboten, der 2-Gluon-Prozess ist aufgrund der C-Paritätsverletzung verboten.
⇒ Benötigt mindestens 3 Gluonen).
Der 3-Gluon-Prozess trägt mit 71% bei. Das Matrixelement beträgt |M| 2 ∝ αs5 (das s steht für stark).
2
) = 0.2
αs (MJ/Ψ
Die Zerfälle sind unterdrückt und daraus ergibt sich die schmale Resonanz.
Okubo-Zweig-Iisuka (ozi)-Regel:
Hadronische Zerfälle, die über reine Gluonenzwischenzustände ablaufen sind stark unterdrückt.
Die trifft auch für Ψ (ss̄) und V (bb̄) zu. Charmonium-Spektren cc̄-Zustände sind schmall. Die
Massen können mit hoher Präzession gemessen werden.
|MJ/Ψ − 2mc|
<< 1
mJ/Ψ
Die Bindungsenergie und die kinetische Energie der c,c̄ sind << m c .
⇒ nicht-relativistische Berechnungen. Spectroskopische Notation.
n2s+1 L j
n: Hauptquantenzahl
s: Spinquantenzahl
L: Drehimpulsquantenzahl
j: Quantenzahl aus J = L + S
⇒ P = (−1)L+1
C = (−1)L+S
Vergleich zwischen Termschemata des Charmonium und Positronium
Potential
Typische Energieaufspaltung
E(23 S1 ) − E(13 S1 )
Feinstruktur
E(23 S1 ) − E(23 P1 )
e+ e−
−α /r
cc̄
−4/3αs /r + Fc r
5.1eV ∝ α 2 me
589MeV ∝ αs2 mc
2.6 · 10−5 eV ∝ α 4 me
130MeV ∝ αs4 mc
143
11 KERNMODELLE
11 Kernmodelle
11.1 Das Nukleon-Nukleon-Potential
...wird abgeleitet aus:
• Nukleon-Nukleon-Streuung
• Untersuchung des Deuterons:
Der qq̄-Austausch entspricht einem π -Austausch, welcher durch ein Feynmandiagramm dargestellt
werden kann. Man darf dabei jedoch nicht vergessen, dass die Nukleonen N keine Punktteilchen sind.
N
N
N
N
N
Das π ist dabei virtuell und aus der Lsg. der Klein-Gordon-Gleichung für π ergibt sich das YukawaPotential
e−Mπ r
V (r) ∝
r
144
11.2 Fermi-Gas-Modell
11 KERNMODELLE
11.2 Fermi-Gas-Modell
Vorstellung: Nukleonen bewegen sich frei im mittleren Potenital der anderen Nukleonen. (“Potentialtopf”). Protonen und Neutronen folgen demnach der Fermi-Statistik (jedes Energieniveau ist max.
zweifach besetzt)
4π p2 dp
dn =
V
(2π )3
ist die Zahl der Zustände im Phasenraumvolumen mit Impulsen zwischen p und pdp (V ist das Kernvolumen). Integration führt zur Gesamtzahl der Zustände im Kern und damit zur Zahl der Nukleonen.
n=
n=
Z pF
0
dn
p3F V
V = 4π /3R30 A
6π 2
mit dem Kernradius R0 = 1.21fm. Die Überlegung getrennt für Protonen und Neutronen durchgeführt,
ergibt Formeln für N und Z in Abhängigkeit von Kernvolumen und Fermiimpuls.
N =2
Für N = Z
(pFp )3V
(pnF )3V
Z
=
2
6π 2
6π 2
pnF = pFp = 1/R0 (9π /8)1/3 ≈ 250MeV
• stimmt mit Messung überein
• Nukleonen sind relativistisch
F ≈
• Ekin
p2f
2MN
≈ 33MeV
Daraus ergibt sich der Potentialtopf:
145
11.3 Das Schalenmodell
11 KERNMODELLE
11.3 Das Schalenmodell
Beobachtung: Es gibt Werte von N und Z, bei denen Kerne besonders stabil sind.
„Magische Zahlen“:
2, 8, 20, 28, 50, 82, 126
Besonders stabil: „Doppelt-magische Kerne“:
4 He , 16 O , 40Ca , 48Ca , 208Ca
2 8
8 20
20 20
28 82
126
2
Berechne Energieniveaus von Nukleonen in Potentialtopf:
– Gaußförmig
E = (N + 23 )E0 ; N = 2(n − 1) + l
– Woods-Saxon-Potential
Korrekturen
∆E(n, l)
| {z }
bei festem N klein für kleine n
⇒ Energieniveaus
N
0
1
2
2
3
nl
1s
1p
1d
2s
1f
(2l + 1)2
2
6
10
2
14
Σ (2l + 1)2
2
8
18
20
34
Tabelle 3: Die dritte Spalte gibt die Entartung an, die vierte Spalte die Zahl der Zustände mit E ≤ E nl
Bessere Beschreibung mit Einschluß von Spin-Bahn-WW:
VSB (r) = Vls (r)· < ~l ·~s >
Vls < 0 ;
j2 = (l + s)2
⇒ j = l + 21 liegt unter j = l − 21
⇒< ~l ·~s >= [ j( j + 1) − l(l + 1) − s(s + 1)]/2
=
l
2
l+1
− 2
j = l + 2l
j = l − 2l
Regeln: • Nukleonen in abgeschlossenen Schalen haben
J=0,I=0,P=+1
⇒ J, I und P von Kernen mit genau einem Nukleon auf der „äußeren Schale“
146
11.3 Das Schalenmodell
11 KERNMODELLE
werden von diesem Nukleon bestimmt.
• Spiegelkerne: (N,Z) und (N’,Z’) heißen Spiegelkerne, wenn N = Z’ und Z = N’
und haben ähnliche Termschemata.
(Isospin-Invarianz)
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