Simpson-Linien und Toricelli

Gesucht wird:
Ein neuer Standort (Auslieferungslager),
der als Ausgangspunkt für die Belieferung von
Filialen verwendet wird.
1
Gesucht wird:
Ein neuer Standort
Gegeben sind:
Existierende Standorte A, B, C in der Ebene
2
Gesucht wird:
Ein neuer Standort
Gegeben sind:
Existierende Standorte A, B, C in der Ebene
Unklar ist:
Wie misst man die Qualität eines Standorts?
3
Man muss das Rad nicht
immer neu erfinden!
4
Man muss das Rad nicht
immer neu erfinden!
Standortprobleme sind
schon von vielen
Mathematiker(inne)n
behandelt worden.
5
Bonaventura Cavallieri (1598-1647)
Pierre Fermat (1601-1655)
Evangelista Torricelli (1608-1647)
6
Bonaventura Cavallieri (1598-1647)
Pierre Fermat (1601-1655)
Evangelista Torricelli (1608-1647)
A, B, C drei bekannte existierende
Standorte in der Ebene
7
Bonaventura Cavallieri (1598-1647)
Pierre Fermat (1601-1655)
Evangelista Torricelli (1608-1647)
A, B, C drei bekannte existierende
Standorte in der Ebene
A
a2
a1
8
3 existierende
Standorte:
A
B
C
9
Bonaventura Cavallieri (1598-1647)
Pierre Fermat (1601-1655)
Evangelista Torricelli (1608-1647)
A = (a1,a2)
B = (b1,b2)
C = (c1,c2)
drei bekannte existierende Standorte
in der Ebene
Suche neuen Standort X=(x1,x2),
so dass die Summe der euklidischen Abstände
zu den A,B,C minimal ist!
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A
Zielfunktion
f(x) := d(A ,X)+d(B,X)+d(C,X)
ist die Summe der
Längen, die X mit
den A,B,C verbindet.
X1
C
11
B
A
B
Zielfunktion
f(x) := d(A ,X)+d(B,X)+d(C,X)
ist die Summe der
Längen, die X mit
den A,B,C verbindet.
X2
C
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Bonaventura Cavallieri (1598-1647)
Pierre Fermat (1601-1655)
Evangelista Torricelli (1608-1647)
minimiere d(A ,X)+d(B,X)+d(C,X)
X=(x1,x2)
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Wie findet man den optimalen
Standort X ?
A(0|0)
B(1|6)
C(13|2)
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A, B,C zu einem
Dreieck verbinden
15
Auf jeder Seite ein
gleichseitiges
Dreieck
errichten:
16
Auf jeder Seite ein
gleichseitiges
Dreieck
errichten:
17
Auf jeder Seite ein
gleichseitiges
Dreieck
errichten:
18
Simpson Linien
19
Simpson Linien
20
Schnittpunkt der
Simpson Linien
ist optimaler
Standort
21
Im Schnittpunkt der
Simpson Linien
liegen drei
120o Winkel
22
Torricelli Kreis
23
Torricelli Kreise
24
Schnittpunkt der
Torricelli Kreise
ist optimaler
Standort
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Zusammenfassung:
Interessantes mathematisches Problem:
Optimaler Standort
...
... ist Schnittpunkt der Simpson Linien
... ist Schnittpunkt der Toricelli Kreise
... teilt Raum in 120o Abschnitte, die jeweils
einen existierenden Standort enthalten
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