Hypothesentest/Konfidenzintervall

Frage:
Bezüglich der Hypothesentests wollt ich mich erkundigen, nach welchen Muster
ich vorgehen muss, um jeweils den richtigen Hypothesentest zu finden
Antwort:
(1) Identifikation der entsprechend für die Beantwortung der Fragestellung
benötigten Zufallsgrößen, z.B. den Erwartungswert.
(2) Verteilung der Zufallsgröße, bei normalverteilter Zufallsgröße muss die
Frage beantwortet werden ob die Varianz bekannt oder unbekannt ist.
(3) Hypothesen so wählen,
– daß die Aussage die statistisch nachgewiesen werden soll in der
Alternativhypothese steht.
– daß sich das Gleichheitszeichen immer in der Nullhypothese befindet
(Gleichheit läßt sich nicht nachweisen.).
– oder so wählen, daß der Fehler der ersten Art den schlimmeren“der
”
beiden Fehler darstellt.
Z.B bei einem medizinischen Test sollte der Patient als krank eingestuft werden, obwohl dieser gesund ist. Der Fall, daß der Patient als
gesund eingestuft wird, obwohl dieser krank ist muß den Fehler 1.
Art darstellen.
Beispiel:
Es wird vermutet, daß bei der Länge von Werkstücken
(a) Abweichungen vom Sollwert existieren.
(b) die Abweichungen einen bestimmten Sollwert unterschreiten.
(c) die Abweichungen einen bestimmten Sollwert überschreiten.
Man nimmt an, dass die Länge der Werkstücke X normalverteilt ist.
Lösung:
(1) Als Schätzer des Erwartungswerts wird hier das arithmetische Mittel verwendet.
Der Sollwert entspricht µ0 , der Erwartungswert der Länge der Werkstücke
wird mit µ bezeichnet.
(2) Die Verteilung der Zufallsgröße entspricht der Normalverteilung mit
– bekannter Varianz (σ 2 ), wenn diese aus der Gesamtpopulation errechnet werden konnte.
– unbekannter Varianz (s2 ), wenn diese aus der Stichprobe geschätzt
werden muss.
(3) Bei bekannter Varianz wird der einfache Gauß-Test verwendet.
Ist die Varianz unbekannt wird der einfache t-Test verwendet.
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(4) Die Hypothesen lauten hierfür:
(a) H0 : µ = µ0
H1 : µ 6= µ0
(b) H0 : µ ≥ µ0
H1 : µ < µ 0
(c) H0 : µ ≤ µ0
H1 : µ > µ 0
(5) Mit der entsprechenden Teststatistik
– bekannte Varianz:
x̄ − µ0 p
t= p
(n)
(σ 2 )
– unbekannte Varianz:
x̄ − µ0 p
(n)
t= p
(s2 )
(5) Die entsprechenden Ablehnbereiche:
– bekannte Varianz:
(a) |t| > z1−(α/2)
(b) t < −z1−α
(c) t > z1−α
– unbekannte Varianz:
(a) |t| > tn−1;1−(α/2)
(b) t < −tn−1;1−α
(c) t > tn−1;1−α
Frage:
Auch interessiert mich, welcher Zusammenhang zwischen Konfidenzintervallen und den Tests besteht (wir haben zwar in der Übung dazu einen
Aufgabe gemacht, ich versteh aber den Lösungsansatz dazu nicht)
Antwort:
Bei der Punktschätzung wird ein Parameterschätzwert θ̂ aus einer Stichprobe geschätzt, der in der Regel nicht exakt dem wahren Parameter θ
aus der Grundgesamtheit übereinstimmt.
Um die Genauigkeit eines Schätzverfahrens einzubeziehen kann die Intervallschätzung herangezogen werden. Bei diesem Verfahren wird versucht
ein Intervall zu berechnen, welches den wahren Parameter mit einer Überdeckungswahrscheinlichkeit von 1 − α enthält.
Die Grenzen der Intervalle, Iu (x) und Io (x) sind von der Stichprobe abhängig
und somit Zufallsgrößen.
Der Zusammenhang zu den Tests ergibt sich über die Ablehnbereiche eines
Tests. Der Ablehnbereich eines Tests bezieht sich auf die Teststatistik, in
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der ein Schätzer für den interessierenden Parameter vorkommt. Beispielsweise hat man in der angesprochenen Aufgabe (Blatt 8/2) eine Teststatistik für einen Test von µ, wobei x̄ als Schätzer für µ dient. Nun kann man
jeden Ablehnbereich nach diesem Parameter (oder dem Schätzer) auflösen
und erhält ein Intervall. In Aufgabe 8/2e wurde also der Ablehnbereich
des Tests genommen und nach x̄ aufgelöst und man erhält ein Intervall
für den Schätzer von µ das dem Konfidenzintervall entspricht.
Frage:
Meine letzte Frage betrifft die Aufgabe 2f) von Übungsblatt 8, bitte erklären Sie mir hier kurz den Lösungsansatz und –weg.
Antwort:
Siehe Antwort auf Frage 1
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