7. ¨Ubungswoche

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7. Übungswoche - Lösungen
Kapitel 7: Modellanpassung und Parameterschätzung
[ 5 ] Maximum-Likelihood
Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an.
a) Die Schätzer nach der Methode der Momente und der Maximum-Likelihood-Methode (
sind immer dieselben.
b) Häufig ist es einfacher, die Log-Likelihood-Funktion zu maximieren.
)
(×)
c) Hängt die Dichtefunktion f (x; θ) einer stetigen Zufallsvariablen X von einem Parame- ( × )
ter θ ab und sind Beobachtungen x1 , x2 , x3 , x4 gegeben, so ist die Likelihoodfunktion
L(θ) = f (x1 ; θ) · f (x2 ; θ) · f (x3 ; θ) · f (x4 ; θ).
d) Hängt die Wahrscheinlichkeitsfunktion P (x; θ) einer diskreten Zufallsvariablen X von ( × )
einem Parameter θ ab und sind Beobachtungen x1 , x2 , x3 , x4 gegeben, so ist die Likelihoodfunktion die Wahrscheinlichkeit (als Funktion von θ), genau diese vier Beobachtungen x1 , x2 , x3 , x4 zu erhalten.
[ 6 ] Schätzer
Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an.
a) Ein Schätzer eines Parameters ist eine Zufallsvariable.
(×)
b) Der Standardfehler eines Schätzers ist die Quadratwurzel aus der Varianz des Schätzers. ( × )
c) Der Bias eines erwartungstreuen Schätzers ist Null.
(×)
d) Ein Schätzer eines Parameters heißt erwartungstreu, wenn er den Parameter immer (
genau richtig, d.h. ohne Fehler schätzt.
)
e) Der mittlere quadratische Fehler ist für erwartungstreue Schätzer gleich der Varianz ( × )
des Schätzers.
f) Es ist durchaus möglich, dass ein erwartungstreuer Schätzer einen größeren mittleren ( × )
quadratischen Fehler hat als ein anderer nicht erwartungstreuer Schätzer.
g) Der mittlere quadratische Fehler eines Schätzers stimmt immer mit der Varianz überein. (
h) Das Resultat im vorangehenden Punkt gilt nur für erwartungstreue Schätzer.
)
(×)
i) Ein Schätzer heißt erwartungstreu, wenn seine Varianz Null ist, denn dann ist der (
Schätzer konstant gleich dem zu schätzenden Parameter.
)
j) Hat man für ein Schätzproblem zwei Schätzer mit unterschiedlicher Varianz zur Aus- (
wahl, so ist immer der Schätzer mit der kleineren Varianz vorzuziehen.
)
k) Der mittlere quadratische Fehler ist die Summe aus dem Bias und dem Standardfehler. (
)
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[ 7 ] a) 1.273
b) 0.058, 0.241
[ 8 ] a) π̂ = 5/27 ≈ 0.185
c) 0.058
ˆ
b) SE(π̂)
≈ 0.075
[9]
a) C − = π̂ − zα/2 ·
p
p
π̂ · (1 − π̂)/n; C + = π̂ + zα/2 · π̂ · (1 − π̂)/n
p
−
i) C0.90
= 5/27 − 1.64p(5/27 · 22/27)/27 = 5/27 − 0.123
+
C0.90
= 5/27 + 1.64 (5/27 · 22/27)/27 = 5/27 + 0.123
−
+
[C0.90 , C0.90
] = [0.062; 0.308]
p
−
ii) C0.95 = 5/27 − 1.96p(5/27 · 22/27)/27 = 5/27 − 0.147
+
C0.95
= 5/27 + 1.96 (5/27 · 22/27)/27 = 5/27 + 0.147
−
+
[C0.95
, C0.95
] = [0.039; 0.332]
p
−
iii) C0.99
= 5/27 − 2.58p(5/27 · 22/27)/27 = 5/27 − 0.193
+
C0.99
= 5/27 + 2.58 (5/27 · 22/27)/27 = 5/27 + 0.193
−
+
[C0.99 , C0.99
] = [0; 0.378]
b) Die Konfidenzwahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit, dass der wahre Parameter in
dem Konfidenzintervall liegt. Soll diese Wahrscheinlichkeit größer sein, muss das Intervall
länger sein.
c) Bei Erhöhung des Stichprobenumfangs unter sonst gleichen Bedingungen wird das Konfidenzintervall für den Anteilswert π bei einem vorgegebenen Signifikanzniveau kleiner.
Beispielhaft für α =p0.01:
−
C0.99
= 5/27 − 2.58p(5/27 · 22/27)/270 = 5/27 − 0.061
+
C0.99 = 5/27 + 2.58 (5/27 · 22/27)/270 = 5/27 + 0.061
−
+
[C0.99
, C0.99
] = [0.124; 0.246] im Vergleich zu [0; 0.378]
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[ 10 ]
a) R berechnet mit dem Befehl var(x) den erwartungstreuen Schätzer S∗2 . (Dies kann mit den
Befehlen ?var oder help(var) überprüft werden)
S∗
C − = x̄ − tn−1;α/2 · √
n
S∗
C + = x̄ + tn−1;α/2 · √
n
−
C0.90
= 5444.444 − 1.86 ·
+
C0.90
= 5444.444 + 1.86 ·
−
C0.95
= 5444.444 − 2.31 ·
+
C0.95
= 5444.444 + 2.31 ·
b) n = 25 :
−
C0.95
= 5444.444 − 2.06 ·
+
C0.95
= 5444.444 + 2.06 ·
n = 60 :
−
C0.95
= 5444.444 − 2.00 ·
+
C0.95
= 5444.444 + 2.00 ·
√
√
211893
√
9
211893
√
9
√
√
211893
√
9
211893
√
9
√
√
211893
√
25
211893
√
25
√
√
211893
√
60
211893
√
60
= 5159.047
= 5729.841
⇒
−
+
[C0.90
, C0.90
] = [5159.047; 5727.841]
= 5089.999
= 5798.889
⇒
−
+
[C0.95
, C0.95
] = [5089.999; 5798.889]
= 5254.793
= 5634.095
⇒
−
+
[C0.95
, C0.95
] = [5254.793; 5634.095]
= 5325.590
= 5563.298
⇒
−
+
[C0.95
, C0.95
] = [5325.590; 5563.298]
i) Länge des Konfidenzintervalls = C + − C −
= 708.890 für n = 9; 379.302 für n = 25; 237.708 für n = 60
ii) Die Länge des Konfidenzintervalls wird mit zunehmendem Stichprobenumfang kleiner.
c) C − =
n · S2
χ2n−1;α/2
C+ =
n · S2
χ2n−1;1−α/2
nS 2 = (n − 1)S∗2 = 8 · 211 893 = 1 695 144
−
+
C0.90
= 1 695 144/15.51 = 109 293.617
C0.90
= 1 695 144/2.73 = 620 931.868
−
+
⇒ [C0.90 , C0.90 ] = [109 293.617; 620 931.868]
−
+
C0.98
= 1 695 144/20.09 = 84 377.501
C0.98
= 1 695 144/1.65 = 1 027 360.000
−
+
⇒ [C0.98 , C0.98 ] = [84 377.501; 1 027 360.000]
Das Konfidenzintervall zum Konfidenzniveau 1 − α = 0.98 ist breiter.
d) nS 2 = (n − 1)S∗2 = 24 · 211 893 = 5 085 432
−
+
C0.90
= 5 085 432/36.42 = 139 632.949
C0.90
= 5 085 432/13.85 = 367 179.206
−
+
⇒ [C0.90 , C0.90 ] = [139 632.949; 367 179.206]
Die Breite des Konfidenzintervalls ist für n = 25 geringer als bei n = 9.
e) qt(c(0.95,0.975),8) berechnet die Quantile t8,0.05 und t8,0.025
qt(0.975,c(24,59)) berechnet die Quantile t24,0.025 und t59,0.025
qchisq(c(0.01,0.05,0.95,0.99),8) berechnet die Quantile χ28,0.99 ; χ28,0.95 ; χ28,0.05 und χ28,0.01 .
qchisq(c(0.05,0.95),24) berechnet die Quantile χ224,0.95 und χ224,0.05
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[ 11 ] Verteilung des Stichprobenmittelwertes
Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an.
a) Je größer der Stichprobenumfang, desto breiter wird die Dichtefunktion des Stichpro- (
benmittelwertes.
)
b) Ist x̄ der Mittelwert in einer Stichprobe der Größe n aus einer normalverteilten Grund- ( × )
gesamtheit mit Erwartungswert µ und Varianz σ 2 , so ist x̄ ebenfalls normalverteilt mit
Erwartungswert µ und Varianz σ 2 /n.
c) Unabhängig von der Verteilung einer Grundgesamtheit mit Erwartungswert µ und ( × )
Varianz σ 2 , gilt für den Mittelwert in einer Stichprobe der Größe n aus dieser Grundgesamtheit immer E(x̄) = µ und Var(x̄) = σ 2 /n.
d) Der Mittelwert x̄ in einer zufälligen Stichprobe aus einer beliebigen Grundgesamtheit ( × )
mit Erwartungswert µ und Varianz σ 2 ist asymptotisch normalverteilt.
e) Der Mittelwert x̄ in einer Stichprobe aus einer beliebigen Grundgesamtheit mit Erwar- (
tungswert µ hat nur in wenigen Ausnahmefällen einen Bias.
)
f) Der zentrale Grenzwertsatz gilt nur für eine normalverteilte Grundgesamtheit.
(
)
g) Der zentrale Grenzwertsatz gilt nur für symmetrische Verteilungen.
(
)
[ 12 ] Konfidenzintervall, allgemein
Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an.
a) Die Grenzen eines Konfidenzintervalls hängen vom Zufall ab.
b) Je größer das Konfidenzniveau, desto breiter ist das Konfidenzintervall.
c) Die Länge eines Konfidenzintervalls hängt ausschließlich von α ab.
(×)
(×)
(
)
d) Vergrößert man den Stichprobenumfang, so werden Konfidenzintervalle bei gleichem ( × )
Konfidenzniveau im Allgemeinen kürzer.
e) Je größer die Konfidenzwahrscheinlichkeit, desto breiter ist das Konfidenzintervall.
(×)
f) Je kleiner α, desto kürzer ist das Konfidenzintervall.
(
g) Je größer der Stichprobenumfang n, desto kürzer ist das Konfidenzintervall.
(×)
h) Die Lage eines Konfidenzintervalls variiert von Stichprobe zu Stichprobe.
i) Die Länge eines Konfidenzintervalls kann durchaus von der Stichprobe abhängen.
)
(×)
(×)
j) Ist 1 − α = 0.9, so überdecken von 100 Konfidenzintervallen zum Niveau 1 − α = 0.9 (
genau 90% den wahren Parameter.
)
5
[ 13 ] Konfidenzintervall für den Erwartungswert
Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an.
a) Konfidenzintervalle für den Erwartungswert sind symmetrisch um den Mittelwert der ( × )
Stichprobe.
b) Berechnet man 100 Konfidenzintervalle für µ zum Niveau 0.90, so sollten etwa 90 den ( × )
wahren Wert von µ enthalten.
c) Konfidenzintervalle für den Erwartungswert einer Zufallsvariablen sind nur dann bere- (
chenbar, wenn die Grundgesamtheit normalverteilt ist.
)
d) Ist die Varianz einer Grundgesamtheit bekannt, so verwendet man bei der Berechnung ( × )
von Konfidenzintervallen für den Erwartungswert µ Quantile der Standardnormalverteilung.
e) Ist die Grundgesamtheit nicht exakt normalverteilt, so gilt das angegebene Konfidenz- ( × )
niveau nur ungefähr.
f) Die Länge eines Konfidenzintervalls für den Erwartungswert hängt bei gegebenem ( × )
Stichprobenumfang n und bei bekannter Varianz nicht von der Stichprobe ab.