Merkblatt: Gleichgewichtswinde

A. H. Fink, V. Ermert
Übung zur Einführung in die synoptische Meteorologie
SS 2006
Gleichgewichtswinde
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geostrophischer Wind (vg)
Die Erde hat annähernd eine Kugelgestalt und deswegen fällt nördlich und südlich der Tropen weniger Sonnenstrahlung auf einen Quadratmeter als in niederen Breiten. Dies wäre lediglich dann der Fall, wenn die Erde eine
flache Scheibe wäre. Außerdem steht die Erdachse nicht senkrecht im Raum, weswegen die Jahreszeiten entstehen
und Regionen der Erde teilweise keine solare Strahlung erhalten.
In den Tropen, in denen die Strahlung nahezu senkrecht einfällt, erhält das System Erde-Atmosphäre im Mittel Energie (Netto-Strahlungsgewinn). In den mittleren Breiten und an den Polen strahlt die Atmosphäre hingegen mehr
Energie ab als sie durch die solare Strahlung erhält (Netto-Strahlungsverlust). Generell ergibt sich deswegen in
der unteren und mittleren Troposphäre ein Temperaturunterschied zwischen den südlichen und nördlichen Regionen. Auf der Nordhalbkugel ist dabei der Süden warm und der Norden kalt temperiert.
Da die Höhe eines Druckniveaus proportional zur virtuellen Schichtmitteltemperatur ist, liegen die Druckflächen
in der kalten Luft tiefer als in der warmen. Das kommt daher, weil in der kalten Luft unterhalb des z-Niveaus mehr
atmosphärische Masse vereinigt ist als in der warmen Luft. Damit ist oberhalb dieser Höhe über der kalten Region
weniger Masse vorhanden als in der warmen Luftmasse.
Unter der Annahme einer zonal-symmetrischen Verteilung der kalten und warmen Luftmassen liegen die Isobaren
parallel zueinander, mit dem niedrigen Druck im kalten Bereich (s. Abb. 1). Auf ein Luftteilchen wirkt auf der zFläche somit die Druckgradientkraft (FP= -1/ρ ∇zp) ein und beschleunigt es zum niedrigen Druck. Die Geschwindigkeit des Luftteilchen nimmt zu und die Corioliskraft (FC= -f k x v) verstärkt sich. Auf der Nordhalbkugel sorgt die Corioliskraft für die Ablenkung des Luftteilchen nach rechts. Wirkt keine weitere Kraft, so befindet
sich das Luftteilchen schließlich im sog. geostrophischen Gleichgewicht (FP+FC=0). Unter der Annahme, dass
eine Bewegung lediglich durch die Druckgradient- und die Corioliskraft ausbalanciert ist, stellt sich der sog.
geostrophische Wind ein.
Aus der Bewegungsgleichung im (x,y,z)-System lässt sich herleiten
1
v g = – ----- ∇z p × k
ρf
FP
T
p0
vg
H
FC
p0+δp
p0+2δp
Abb. 1: Veranschaulichung des geostrophischen Gleichgewichtes.
Da die Dichte (ρ) von der Höhe abhängt (ρ=ρ(z)), sind gleiche Druckgradienten im (x,y,z)-System kein Merkmal
für gleich starke geostrophische Winde. Bei gleichem Druckgradient ist der geostrophische Wind in höheren atmosphärischen Schichten stärker, d. h. bei gleichem Druckgradienten ergeben sich in unterschiedlichen Höhen verschiedene geostrophische Windgeschwindigkeiten. Dieser Nachteil kann durch das (x,y,p)-System vermieden
werden. Aus 1/ρ ∇zp = ∇pφ (zur Herleitung vgl. Holton,1992) folgt:
1
v g = – --- ∇p φ × k
f
D. h.: Im (x,y,p)-System weht der geostrophische Wind parallel zu den Isohypsen (Linien gleicher geopotenzieller Höhe), auf der Nordhalbkugel mit den niedrigeren Werten zur Linken.
Beachte: Aufgrund der Breitenabhängigkeit des Coriolisparameters (f=2Ωsinϕ) nimmt bei gleicher
Isohypsendrängung der geostrophische Wind in Richtung Pol ab.
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Gradientwind (vG)
Die Bahn eines Teilchens wird als sog. Trajektorie bezeichnet. Eine Trajektorie ist gleich einer Stromlinie, wenn
die Stromlinien sich nicht verändern, d. h. falls die Strömung stationär ist. Im Normalfall ist die Bewegung eines
Teilchen nicht geradlinig, d. h. dessen Trajektorie ist gekrümmt. In diesem Fall muss zusätzlich zur Druckgradientund Corioliskraft die Zentrifugalkraft (FZ= -v2/r er, wobei er den Einheitsvektor in Richtung des Mittelpunktes
des Krümmungskreises darstellt und r der Radius des Krümmungskreises der Trajektorie ist) berücksichtigt werden und der sog. Gradientwind bezeichnet dabei den Wind der sich durch das Gleichgewicht dieser drei Kräfte
ergibt (s. Abb. 2).
TF
I
II
P
p0
p0
FZ
FP
p0+δp
vG
p0+δp
vG
FZ
H
FC
Subgeostrophie
FC
Supergeostrophie
Abb. 2: Illustration des Gradientwindes, im Fall einer zyklonalen (I) und antizyklonalen Trajektorienkrümmung (II).
Beachte: Ist die Bewegung eines Luftteilchens nur schwach gekrümmt, dann ist die Zentrifugalkraft kleiner als die
Corioliskraft. Das heißt, dass in diesem Fall der Unterschied zwischen dem Gradientwind und dem geostrophischen Wind nicht sehr groß ist. In der Praxis wird meist der geostrophische Wind dem Gradientwind bevorzugt,
da die Bestimmung der Zentrifugalkraft über die Analyse der Trajektorienkrümmungen bzw. der Krümmungen der
Stromlinien nur schwer möglich ist.
Fazit: Neben dem geostrophischen Wind weht auch der Gradientwind parallel zu den Isohypsen, auf der Nordhalbkugel mit den niedrigen Werten zur Linken. Die Geschwindigkeit des Gradientwindes ist bei einer zyklonal gekrümmten Trajektorie geringer (Subgeostrophie) und im antizyklonalen Fall größer (Supergeostrophie) als die
des geostrophischen Windes.
Falls die Zentrifugalkraft sehr viel größer als die Corioliskraft ist, ergibt sich unter der Vernachlässigung der Corioliskraft der sog. zyklostrophische Wind. Dieser tritt bei kleinen Krümmungsradien auf, bei denen eine hohe
Windgeschwindigkeit erreicht wird (die Corioliskraft ist proportional zu v, wohingegen die Zentrifugalkraft proportional zu v2 ist). Beispiele für den zyklostrophischen Wind sind Tornados, Staubteufel und Winde im Zentrum
eines starken Hurrikans.
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Reibungswind (vR)
Der geostrophische Wind als auch der Gradientwind sind unter der Annahme definiert, dass keine Reibung auftritt.
Dies kann lediglich in der freien Atmosphäre vorausgesetzt werden, da dort die Reibung mit der Erdoberfläche vernachlässigt werden kann. Die freie Atmosphäre beginnt am Rande der Grenzschicht, deren Höhe variabel ist. In
der Grenzschicht muss die zunehmende Reibung mit dem Erdboden berücksichtigt werden. Die sog. Ekman-Spirale beschreibt die zunehmende Ablenkung des Windes (α) von der Obergrenze der Grenzschicht bis zum Erdboden (s. Abb. 3). Der Wind wird dabei aufgrund des Druckgradients in Richtung des tiefen Drucks abgelenkt. Die
Reibung ist i. Allg. über dem Land größer als über dem Meer, da die Oberfläche des Landes inhomogen ist. Deswegen ist die Ablenkung über dem Land stärker (α ≈ 20-30o) als über dem Meer (α ≈ 10-20o). D. h. wiederum,
dass Tiefdruckgebiete sich über den Kontinenten schneller auflösen als über den Ozeanen.
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vR
Ekman-Spirale
α
vg
Abb. 3: Entstehung des Reibungswindes durch die Ablenkung des geostrophischen Windes in der Grenzschicht.
Der sog. Reibungswind ist also der geostrophische Wind unter Einbeziehung der Reibungskraft, die der Bewegungsrichtung entgegen gerichtet ist (s.Abb. 4).
T
FP
vR
FR
α
p0
vg
p0+δp
FC
H
Abb. 4: Darstellung der Kräfte die zur Entstehung des Reibungswindes führen.
Es stellt sich die Frage, ob es durch geostrophische Winde allein möglich ist Druckgegensätze auf- und wieder abzubauen. Dazu wird zunächst der Druck auf einem bestimmten Niveau betrachtet:
p(z) =
∞
∫z ρ g dz
Unter der Annahme, dass sich der Coriolisparameter (f) nicht in horizontaler Richtung verändert, kann durch den
geostrophischen Wind keine Advektion von Masse erfolgen, denn:
1
1
∇ z (ρ v g ) = ∇ z  – ---∇ z p × k = – --- k ⋅ ( ∇ z × ∇ z p ) = 0
 f

f
Die vorletzte Gleichheit gilt wegen
∇ ⋅ ( a × b ) = b ⋅ ( ∇ × a ) – a ⋅ ( ∇ × b ) und die letzte aufgrund rot(grad)=0.
∂ρ
Für die Drucktendenzgleichung folgt dann mit Hilfe der Kontinuitätsgleichung ( = ∇ z ( ρ v) ) und unter der Vor∂t
aussetzung, dass v=vg:
∂p
( z) =
∂t
∞
∞
∂ρ
∫z ∂ t g dz = g ∫z ∇z ( ρvg ) dz = 0
Die Folge der Geostrophie ist ein divergenzfreier geostrophischer Wind und somit zeitkonstante Druckgebilde. Die
Entwicklung und Auflösung von Tief- und Hochdruckgebilden ist damit nur durch sog. ageostrophische Winde
möglich, d. h. Winde die sich vom geostrophischen Wind unterscheiden. Ein ageostrophischer Wind ist der Reibungswind, da dieser langsamer als der geostrophische Wind ist und in Richtung des Tiefen Drucks abgelenkt
wird. Der Reibungswind ist nicht mehr divergenzfrei (∇ (ρvR)≠0) und die Ablenkung führt dazu, dass die entstandenen Druckgegensätze schließlich abgebaut werden und ein Tiefdrucksystem aufgefüllt wird.
In Wirklichkeit ist der Coriolisparameter abhängig von der geographischen Breite, weshalb der geostrophische
Wind nicht divergenzfrei ist. In Richtung der Pole konvergiert der geostrophische Wind, da die Meridiane dort zusammen laufen. Die Konvergenz des geostrophischen Windes ist mit Ausnahme der Polregionen allerdings klein
und kann vernachlässigt werden.
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Der thermische Wind
Unter der Voraussetzung, dass das geostrophische Gleichgewicht gilt, lässt sich in jeder atmosphärischen Höhe der
geostrophische Wind bestimmen. In jedem Niveau weht dieser parallel zu den Isohypsen mit den niedrigen Werten
zur Linken. Durch den unterschiedlichen Aufbau der Atmosphäre ändert sich die Lage der Isohypsen mit der Höhe
und damit verändert sich auch gleichzeitig der geostrophische Wind.
Die vertikale Scherung des geostrophischen Windes bezeichnet dabei den sog. thermischen Wind (vT). D. h.
der thermische Wind ist die Differenz der geostrophischen Winde unterschiedlicher Höhenniveaus (s. Abb. 5).
vg0
vT
vg1
Abb. 5: Veränderung des geostrophischen Windes vom unteren Niveau (Index 0) zum oberen Niveau
(Index 1).
Häufig ergibt sich die Situation, dass die Druckflächen geneigt im Raum liegen (vgl. Abb. 6) und der Abstand dieser Flächen an einer Stelle (x1) geringer ist als an einem anderen Ort (x2). Nimmt die Neigung der Druckflächen
mit der Höhe zu, so ergibt sich ein immer größerer Gradient des Geopotenzials auf den isobaren Flächen. Dies hat
zur Folge, dass der geostrophische Wind mit der Höhe zunimmt. Das die Neigung der Druckflächen mit einem horizontalen Temperaturgradient verbunden ist, lässt sich folgendermaßen erklären: Die Schichtdicke ist proportional zur virtuellen Schichtmitteltemperatur und somit kann aus dem Höhenabstand zweier Druckniveaus die
virtuelle Temperatur der entsprechenden Schicht abgeleitet werden. Ist der Abstand an x1 geringer als an x2, so ist
die Schicht an x1 kälter (dichter) als an x2 und es liegt ein horizontaler Temperaturunterschied vor.
Abb. 6: Zusammenhang zwischen der vertikalen Scherung des geostrophischen Windes und horizontalen
Temperaturgradienten (aus Holton, 1992).
Die sog. thermische Windgleichung kann im (x,y,p)-System aus der Gleichung für den geostrophischen Wind
und der hydrostatischen Grundgleichung hergeleitet werden:
geostrophischer Wind
hydrostatische
Grundgleichung
1
v g = – --- ∇ p φ × k
f
(1)
∂φ
1 RL Tv
------ = – --- = ------------p
∂p
ρ
(2)
Wird die partielle Ableitung von Gleichung (1) nach dem Druck gebildet und wird Gleichung (2)
in die entstandene Beziehung eingesetzt, dann folgt:
thermische Windgleichung
∂v g
∂v g
RL
p -------- = ----------= – ------ k × ∇p Tv
∂p
f
∂ ln p
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Durch Integration über den Druck von p0 nach p1 (p1<p0) ergibt sich die Gleichung für den thermischen Wind:
p1
thermischer Wind
RL
v T ≡ v g( p 1 ) – v g ( p 0 ) = – ------ ∫ ( k × ∇p Tv ) d ln p
f
p0
Ist anstatt der virtuellen Temperatur das Geopotenzial der beiden Druckflächen bekannt, dann lässt sich unmittelbar aus Gleichung (1) der thermische Wind bestimmen:
1
v T ≡ v g( p 1 ) – v g ( p 0 ) = --- k × ∇p( φ 1 – φ 0 )
f
In einer barotropen Atmosphäre ist die Dichte lediglich vom Druck abhängig (ρ=ρ(p)) und somit sind isobare Flächen gleichzeitig Flächen konstanter Dichte. Für ein ideales Gas ist eine isobare Fläche ebenfalls isotherm, wenn
die Atmosphäre barotrop geschichtet ist. Damit verschwindet der isobare Temperaturgradient (∇pT =0) und somit
verändert sich der geostrophische Wind mit der Höhe nicht bzw. es gibt keinen thermischen Wind.
Eine Atmosphäre ist baroklin geschichtet, genau dann wenn die atmosphärische Dichte vom Druck und von der
Temperatur abhängig ist (ρ=ρ(p,T)). Das bedeutet, dass sich die Flächen gleicher Dichte und die Flächen gleichen
Drucks schneiden. Da für ein ideales Gas die Dichte von der Temperatur abhängt kreuzen sich ebenfalls die Flächen gleicher Temperatur und die des gleichen Drucks. Im (x,y,p)-System bedeutet dies, dass auf Druckflächen
verschiedene Isothermen auffindbar sind (d. h.: ∇pT ≠ 0). Im (x,y,z)-System ist dies gleichgestellt mit der Forderung, dass der Temperatur- und Druckgradient nicht parallel zueinander verlaufen (d. h. genau: ∇zT x ∇zp ≠ 0).
Aufgrund der thermischen Windgleichung gilt:
In einer baroklinen Atmosphäre ändert sich der geostrophische Wind mit der Höhe.
Der thermische Wind kann in unterschiedlichen Situationen entstehen (s. Abb. 7):
a) Verlaufen die Isothermen parallel zu den Isohypsen und liegt die kältere Luft über dem tieferen Geopotenzial,
dann nimmt der Wind mit der Höhe zu, aber ändert seine Richtung nicht.
b) Liegt im Gegensatz zu a) die wärmere Luft über dem tieferen Geopotenzial, dann schwächt sich der Wind mit
der Höhe ab und bleibt ebenfalls gleich gerichtet.
c) Liegen Isohypsen und die Isothermen der betrachteten Schicht nicht parallel, dann verändert der geostrophische
Wind seine Richtung und/oder Stärke mit der Höhe. Außerdem werden durch Advektion unterschiedlich temperierte Luftmassen transportiert. Bei einer Drehung des geostrophischen Windes nach rechts (im Uhrzeigersinn) erfolgt eine Warmluftadvektion (WLA) und wenn er nach links dreht (gegen den Uhrzeigersinn), dann kommt es zur
Kaltluftadvektion (KLA).
d) Ist die Atmosphäre barotrop geschichtet, dann ist der geostrophische Wind höhenkonstant.
b)
a)
c)
Abb. 7: Typen der vertikalen Windänderung (aus Kurz, 1990). Dargestellt sind das Geopotenzial der unteren Druckschicht und die Isothermen der Schicht zwischen dem oberen (p1) und unteren (p0) Druckniveau.
Liegen Winddaten eines Radiosondenaufstiegs vor, so kann aus der vertikalen Änderung des Windes auf unterschiedliche horizontale Temperaturadvektion in den entsprechenden Schichten geschlossen werden. Dreht der
Wind mit der Höhe nach rechts liegt WLA vor, dreht er nach links, so handelt es sich um KLA.
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Die Polarfront
Abb. 8: Modell einer winterlichen Polarfront (aus Kurz, 1990). Dargestellt sind die Isothermen (in oC,
gestrichelte Linien), Isotachen (in m s-1, durchgezogene dünne Linien), der Bereich der Polarfront (dicke
geneigte Linien) sowie die Tropopause (dicke nahezu horizonale Linie).
Die Polarfront trennt die polare Luftmasse von der gemäßigten Luft und durchschneidet als
etwa 1 km mächtige, isotherme Schicht die gesamte Troposphäre (s. Abb. 8). Die Polarluft
schiebt sich dabei keilförmig unter die wärmere gemäßigte Luft und die Front weist eine Neigung von etwa 1:100 auf. Es entsteht eine stark baroklin geschichtete Zone und die Luftmassen
nördlich und südlich der Polarfront sind schwächer baroklin geschichtet. In der Front selbst bestehen starke Temperaturgegensätze, die auf 100 km Werte von bis zu 7 oC erreicht. Nach der
thermischen Windgleichung verändert sich der geostrophische Wind mit der Höhe genau dann,
wenn auf einer Druckfläche thermische Gegensätze vorhanden sind. Dies ist entlang der Polarfront, die eine Diskontinuität darstellt, der Fall und führt dazu, dass insbesondere in der Frontalzone der frontalzonenparallele Wind an Stärke zunimmt. Der thermische Wind verstärkt sich
in der Vertikalen so lange, bis sich der Temperaturgradient auf den Druckflächen umkehrt.
Oberhalb der Tropopause ist der Temperaturrückgang nur noch gering bzw. die Temperatur
nimmt wieder zu. Da die polare Tropopause schon in einer geringeren Höhe auftritt als die subtropische Tropopause, ändert der meridionale Temperaturgradient oberhalb der polaren Tropopause sein Vorzeichen und der geostrophische Wind nimmt folglich an Intensität ab. In der
Höhe in welcher der Vorzeichenwechsel stattfindet (~10 km) liegt das Maximum des geostrophischen Windes. Dies liegt meist 1 km unterhalb der subtropischen Tropopause in etwa
300 hPa und der Strahlstrom (im Englischen mit „Jet“ bezeichnet) ist oberhalb der Polarfront in
500 hPa (~5,5 km) lokalisiert (vgl. Abb. 8).
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