über Faltaufgaben aus internationalen Wettbewerben

Faltaufgaben aus
internationalen Wettbewerben
Robert Geretschläger
Faltaufgaben aus internationalen Wettbewerben
Robert Geretschläger
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UK Mathematical Challenge
Australian Mathematics Competition (AMC)
Känguruwettbewerb
Australian Mathematics Olympiad
Brazilian Mathematical Olympiad
Slovenian Mathematical Olympiad
UK Math Olympiad
Mathematisches Duell Bílovec – Chorzów – Graz –
Přerov
• Nordic Mathematical Contest
• American High School Mathematics Competition
(AHSME)
Faltaufgaben aus internationalen Wettbewerben
Robert Geretschläger
Drei Figuren X, Y und Z sind wie abgebildet gegeben.
Ein A4 Blatt (297 mm mal 210 mm) wird einmal gefaltet und auf den Tisch gelegt.
Welche dieser Figuren kann dabei entstehen?
X
Y
Z
Faltaufgaben aus internationalen Wettbewerben
Robert Geretschläger
Ein A4 Blatt (297 mm mal 210 mm) wird einmal gefaltet und auf den Tisch gelegt.
Welche dieser Figuren kann dabei nicht entstehen?
A)
B)
C)
D)
E)
Faltaufgaben aus internationalen Wettbewerben
Robert Geretschläger
Im Bild sehen wir ein dreieckiges Stück
Papier, das einmal gefaltet wurde. Das
resultierende Objekt hat die Form eines
Fünfecks. Nehmen wir nun an, ein
Rechteck werde auf dieselbe Art gefaltet.
Was ist der kleinste Wert von n (>4), für
den es nicht möglich ist, auf diese Art ein
n-seitiges Vieleck zu erzeugen?
Faltaufgaben aus internationalen Wettbewerben
Robert Geretschläger
Einmal falten … Quadrat?
Faltaufgaben aus internationalen Wettbewerben
Robert Geretschläger
Ein konvexes n-eck wird einmal gefaltet. Das Ergebnis ist ein konvexes
Viereck. Welche Werte sind für n möglich?
Faltaufgaben aus internationalen Wettbewerben
Robert Geretschläger
• weitere Ideen:
• Welche Figuren könne durch Falten
regelmäßiger n-Ecke mit n = 3,5,6,8
erzeugt werden?
• Nicht-konvexes Vieleck; kleinste Anzahl
von Faltvorgängen, die ein
Dreieck/Quadrat/Rechteck ergeben
• Figuren entfalten – welche n-Ecke können
sich aus einer gegebenen Figur ergeben?
Faltaufgaben aus internationalen Wettbewerben
Robert Geretschläger
Ein quadratisches Blatt wird wie
abgebildet zwei Mal so gefaltet, dass
ein kleines Quadrat entsteht. Ein
Eckpunkt des resultierenden
Quadrats wird abgeschnitten und das
Quadrat wieder entfaltet. Welche der
folgenden Figuren kann auf diese
Weise nicht entstehen?
Faltaufgaben aus internationalen Wettbewerben
Robert Geretschläger
Ein Stück Papier in Gestalt eines
regelmäßigen Sechsecks wird wie
abgebildet zuerst einmal in der Mitte
gefaltet und anschließend durch
Falten gedrittelt.
Es wird mit einem geraden Schnitt ein Stück des Papiers entfernt und das
verbleibende Stück wieder entfaltet.
Welche der folgenden Figuren kann auf diese Art entstehen?
Faltaufgaben aus internationalen Wettbewerben
Robert Geretschläger
Ein quadratisches Blatt ABCD wird so
gefaltet, dass der Eckpunkt A auf
dem Mittelpunkt der Seite BC zu
liegen kommt. Die entstehende
Faltkante schneidet AB in X und CD
in Y.
Zeige, dass |AX| = 5 |DY| gilt.
Faltaufgaben aus internationalen Wettbewerben
Robert Geretschläger
Ein Papierstreifen wird wie abgebidet drei Mal gefaltet. Bestimme b,
wenn wir wissen, dass a = 70° gilt.
Faltaufgaben aus internationalen Wettbewerben
Robert Geretschläger
Die Gerade r geht durch den Eckpunkt A eines rechteckigen Blatts und schließt
den Winkel a mit der unteren Blattkante ein. Um a in drei gleiche Teile zu
teieln, gehen wie wie folgt vor:
Zunächst werden zwei Punkte B und C auf dem linken Blattrand so markiert,
dass AB = BC gilt. Dann wird eine Strecke s durch B parallel zum unteren
Blattrand markiert.
Anschließend falten wir das Blatt so, dass C mit einem Punkt C’ auf r zu liegen
kommt, und gleichzeitig A mit einem Punkt A’ auf s. Wir bezeichnen den Punkt,
auf dem B zu liegen kommt mit B’.
r
C
a
A
Figure 1
s
C
B
B
A
A
Figure 2
C'
B'
A'
Figure 3
Zeige, dass AA’ und AB’ den Winkel a in drei gleiche Teile teilen.
Faltaufgaben aus internationalen Wettbewerben
Robert Geretschläger
Faltaufgaben aus internationalen Wettbewerben
Robert Geretschläger
Gegeben sei ein gleichseitiges
Dreieck ABC mit Seiten der Länge 1.
Der Eckpunkt A wird auf den Punkt D
auf BC wie abgebildet gefaltet. Dabei
entsteht die Faltkante EF mit E auf
AB und F auf AC. Wir nehmen an,
dass FD normal zu BC steht.
a) Bestimme den Winkel  AED.
b) Bestimme die Länge der Strecke CD.
c) Bestimme das Verhaltnis der Flächen AEF und ABC.
a)  AED = 90°
b) |CD| = 2 - 3
c) [AEF]:[ABC] = (33 – 5):1
1 Mal falten – 6 Aufgaben
C’
A
B
1.
2.
E
G
3.
D’
4.
F
D
C
1. More Mathematical Morsels;
Ross Honsberger
2. VIII Nordic Mathematical Contest
1994
4. 37th Slowenische Mathematische
Olympiade 1993
6. klassische Sangakuaufgabe
5.
6.
Beweise, dass C‘D‘ eine
Tangente des Kreises durch B
und D mit Mittelpunkt in C ist.
Beweise, dass der Umfang des
Dreiecks GAC‘ gleich dem
halben Umfang von ABCD ist.
Beweise die Identität
AG = C‘B + GD‘
Beweise, dass die Summe der
Umfänge der Dreiecke C‘BE und
GD‘F gleich dem Umfang des
Dreiecks GAC‘ ist.
Beweise, dass der Umfang des
Dreiecks GD‘F gleich der Länge
der Strecke AC‘ ist.
Beweise, dass der Inkreisradius
von GAC‘ gleich der Länge der
Strecke GD‘ ist.
1 Mal falten – 6 Aufgaben
C’
A
B
Aufgabe 1
P
Beweise, dass C‘D‘ eine
Tangente des Kreises
durch B und D mit
Mittelpunkt in C ist.
E
G
D’
F
D
C
1 Mal falten – 6 Aufgaben
Aufgabe 2
C’
A
Beweise, dass der Umfang
des Dreiecks GAC‘ gleich
dem halben Umfang von
ABCD ist.
B
P
E
G
D’
AC‘ + C‘G + GA
= AC‘ + C‘P + GP + GA
= AC‘ + C‘B + GD + GA
= AB + DA
F
D
C
1 Mal falten – 6 Aufgaben
Aufgabe 3
C’
A
Beweise die Identität
B
P
AG = C‘B + GD‘
E
G
D’
AC‘ + C‘G + GA
= AB + C‘D‘
= AC‘ + C‘B + C‘G + GD‘

AG = C‘B + GD‘
F
D
C
1 Mal falten – 6 Aufgaben
C’
A
B
Aufgabe 4
E
Beweise, dass die Summe der
Umfänge der Dreiecke
C‘BE und GD‘F gleich dem
Umfang des Dreiecks GAC‘
ist.
G
D’
F
D
GAC‘ ~ C’BE ~ GD’F
AG = C’B + GD’  AC’ = BE + D’F  C’G = EC’ + FG
AG + AC’ + C’G = (C’B + BE + EC’) + (GD’ + D’F + FG)
C
1 Mal falten – 6 Aufgaben
Aufgabe 5
Beweise, dass der Umfang
des Dreiecks GD‘F gleich
der Länge der Strecke AC‘
ist.
C’
A
B
P
E
G
AC‘
D’
= D‘P
= D‘G + GP
= D‘G + GD
= D‘G + GF + FD
= D‘G + GD + FD‘
F
D
C
1 Mal falten – 6 Aufgaben
A
C’
I
II
B
M
III
Aufgabe 6
E
Beweise, dass der Inkreisradius
von GAC‘ gleich der Länge der
Strecke GD‘ ist.
G
D’
F
C‘I = C‘III = x, GII = GIII = y, AI = AII = r
2C‘D‘ = AC‘ + AG + GC‘
= (r + x) + (r + y) + (x + y)
= 2(x + y + r)

2(x + y + GD‘) = 2(x + y + r)

GD‘ = r
D
C
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