Statische und stationäre Felder — Analogien

Statische und stationäre Felder
—
Analogien
Martin Schlup, Prof.
3. August 2015
1 Analogien
Die Analogien in der Tabelle 1 sind nicht physikalischer, sondern rein mathematischer Natur
(z. B. die magnetische Spannung mit Einheit Ampère hat nichts gemeinsam mit der elektrischen
mit Einheit Volt). Ausserdem gelten sie nur unter bestimmten
P Bedingungen: das Durchflutungsgesetz ist nur bei verschwindender Durchflutung (Θ =
Ik = 0) mit dem Maschensatz und
der Satz von Gauß ist nur für Hüllflächen, welche keine freie Ladungen Q enthalten, mit dem
Knotensatz vergleichbar.
Abgesehen von der Strukturverwandtschaft des magnetostatischen Feldes mit der Gleichstromlehre, welche die (nichtlineare, graphische) Behandlung magnetostatischer Kreise erlaubt
(I ↔ Φ, U ↔ Um , G ↔ Λ), werden diese Analogien zur Bestimmung der Feldverläufe in der
Praxis kaum mehr benutzt1 , bieten aber den Vorteil der Anschaulichkeit. Stationäre und quasistationäre Strömungsfelder beschreiben den Fluss von Ladungsträgern (Driftgeschwindigkeit,
Stromdichte) unter dem Einfluss der elektrischen Feldstärke.
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Die Feldbestimmung geschieht heute vorwiegend mit numerischen Methoden (finite Elemente).
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1 Analogien
Tabelle 1: Analogien zwischen stationärem oder quasistationärem Strömungsfeld, elektrostatischen und magnetostatischen Feldern
stationäres & quasistat.
Strömungsfeld
E
el. Feldstärke
γ
el. Leitfähigkeit
j = γE
Stromdichte
U=
Spannung
R
Maschensatz:
H
Stromstärke
I=
Knotensatz:
Leitwert
H
E ds
E ds = 0
R
j dA
j dA = 0
I
G =U
elektrostatisches
Feld
el. Feldstärke
E
Permittivität
magnetostatisches
Feld
magn. Feldstärke
H
(magnetische Erregung)
Permeabilität µ
Verschiebungsdichte D = E
(elektrische Erregung)
Spannung
U=
Maschensatz:
H
R
E ds
ΦD =
Satz von Gauß:
H
Kapazität
R
D dA
D dA = Q
Q
C =U
Um =
magn. Spannung
E ds = 0
Versch.-Fluss
B = µH
magn. Flussdichte
Durchflutungsgesetz:
magn. Fluss
Φ=
Quellenfreiheit:
H
magn. Leitwert
R
H
R
H ds
H ds = Θ
B dA
B dA = 0
Φ
Λ =U
m
Dank der Analogien, können Eigenschaften des Strömungsfelds auf die anderen Felder übertragen werden: Planparallele 3-dimensionale Feldbilder2 können als 2-dimensionale Strömungsfelder durch Messung der Äquipotentiallinein am Modell (Kohleschichtpapier oder Wassertank)
graphisch einfach bestimmt werden, wie z. B. die Brechung der Feldlinien an einer Materialgrenze (siehe Abb. 1), der Streufluss des magnetischen Felds im Luftspalt eines Elektromotors,
die Durchschlagsfestigkeit einer Hochspannungsleitung, die Kapazität einer Elektrodenanordnung (siehe Abb. 2) oder die magnetische Anziehungskraft zwischen den Kontaktzungen eines
Reed-Relais.
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solche die bei einer Verschiebung senkrecht zur Darstellungsebene ihre Gestalt nicht verändern
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1 Analogien
Abbildung 1: Brechung der Feldlinien an Materialgrenze
horizontal: Feldlinien der Stromdichte, vertikal: Äquipotentialflächen
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1 Analogien
Abbildung 2: Elektrostatisches Feldbild an Rand eines Plattenkondensators
Bermerkung: Dort wo die Anstände zwischen den Äquipotentiallinien am kleinsten sind (an den Kanten der Elektroden), ist auch die elektrische Feldstärke am
höchsten. Die Gesamtkapazität des Kondensators kann hier durch Serie- und Parallelschalten der Kapazitäten der einzlenen „Quadrate“ welche alle dieselbe Kapazität CQ = r 0 l aufweisen (l ist dabei die Länge des Kondensators senkrecht zur
Zeichnungsebene), unabhängig von ihrer Grösse: C = CQ m/n (hier ist m = 2 · 24
die Anzahl „Stromröhren zwischen den Elektroden und n = 10 die Anzahl Äquipotentiallinien)
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2 Brechung der Feldlinien an Grenzschichten
2 Brechung der Feldlinien an Grenzschichten
An Grenzschichten werden die elektromagnetischen Feldlinien wegen einiger Kontinuitätsbedingungen gebrochen (siehe Abb. 1). Dies soll hier für stationäre3 und quasistationäre4 Stromdichten in Leitern, sowie für elektro- und magnetostatische Felder gezeigt werden.
2.1 Leitungsstromdichte
Trifft ein Stromdichtefeld auf die Kontaktgrenzschicht von zwei Leitern mit verschiedenen Leitfähigkeiten γ1 und γ2 , so werden die Feldlinien der Stromdichte j und des entsprechenden
elektrischen Feldes (wegen j = γE) an der Trennfläche gebrochen. Dies kann mit folgenden
zwei Betrachtungen gezeigt werden:
1. Auf der Kontaktgrenzschicht (Trennschicht) zweier Leiter können sich keine Ladungen
ansammeln. Gemäss dem Knotensatz, muss also der Fluss der Leitungsstromdichte j
durch jede beliebige, die Trennschicht enthaltende Hüllfläche verschwinden (siehe Abb.
3).
I
Z
Z
j · dA =
j1 · dA1 +
j2 · dA2 = −j1n ∆A + j2n ∆A = 0
Die Normalkomponenten (senkrecht zur Trennschicht) j1n und j2n der Stromdichten
müssen auf beiden Seiten gleich sein (siehe Abb. 4).
Für die entsprechenden Normalkomponenten der elektrischen Feldstärke gilt daher folgende Beziehung:
E1n
γ2
=
E2n
γ1
2. Der Maschensatz entlang des Pfades 1-2-3-4-1 auf beiden Seiten der Trennschicht (siehe
Abb. 3) liefert für das Umlaufintegral:
I
Z
Z
Z
Z
E · ds =
E · ds12 + E · ds23 + E · ds34 + E · ds41
= E1t ∆s12 + U23 + E2t ∆s34 + U41 = 0
Die Spannungen über der Trennschicht verschwinden (U23 = U41 = 0), da die Strecken
∆s23 und ∆s41 zur Überquerung der Trennschicht beliebig klein gewählt werden können.
Da die Wegstrecken ∆s12 und ∆s34 betragsmässig gleich lang sind (∆s34 = −∆s12 ),
müssen die Tangentialkomponenten (parallel zur Trennschicht) E1t und E2t des elektrischen Feldes auch gleich sein (siehe Abb. 5).
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4
Bei stationären Verhältnissen sind alle Grössen zeitlich konstant (Gleichstrom).
Quasistationäre Verhältnisse herrschen bei Wechselstrom (sinusförmiger Verlauf der Grössen, niedrige Frequenzen).
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2 Brechung der Feldlinien an Grenzschichten
Abbildung 3: Grenzfläche zwischen zwei Medien
Je nach Betrachtung (Strömungs-, elektrostatisches oder magnetostatisches Feld)
handelt es sich bei diesen Medien um Leiter, Isolatoren (auch Vakuum) oder
ferromagnetische Materialien.
Abbildung 4: Identische Normalkomponenten der Feldvektoren
gilt für Leitungsstromdichte j, Verschiebungsdichte D und magnetische Flussdichte B
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2 Brechung der Feldlinien an Grenzschichten
Abbildung 5: Identische Tangentialkomponenten der Feldvektoren
gilt für elekrische Feldstärke E und magnetische Feldstärke (magn. Erregung) H
Dies bedeutet, dass für die entsprechenden Tangentialkomponenten der Leitungsstromdichte folgende Beziehung gilt:
j1t
γ1
=
j2t
γ2
Mit den Winkeln ϕk (k = 1, 2) zwischen der Grenzflächennormalen und den Feldlinien in den
entsprechenden Medien, erhält man folgende Beziehungen (siehe Abb. 4 und 5):
E1t
j1t
=
j1n
E1n
j2t
E2t
=
j2n
E2n
tan ϕ1 =
tan ϕ2 =
Damit ergibt sich für die Feldlinien der Strömungs- und des elektrostatischen Feldes folgendes
Brechungsgesetz für leitende Materialien:
tan ϕ1
γ1
=
tan ϕ2
γ2
(1)
2.2 Elektrostatische Felder
Auf Grund der Analogie zwischen der Stromdichte j mit der Verschiebungsdichte D gilt das
Brechungsgesetz nach Gleichung (1) für elektrostatische Felder genau gleich wie für Strömungsfelder. Dabei muss selbstverständlich anstelle der Leitfähigkeit die Permittivität eingesetzt werden:
tan ϕ1
1
r1
=
=
(2)
tan ϕ2
2
r2
2.3 Magnetostatische Felder
Auf Grund der Analogie zwischen der Stromdichte j mit der magnetischen Flussdichte oder
Induktion B gilt das Brechungsgesetz analog für magnetostatische Felder:
tan ϕ1
µ1
µr1
=
=
tan ϕ2
µ2
µr2
7
(3)