Inhalt 7 Verschiedene Kräfte 7.1 Schwerkraft oder Gewichtskraft

Inhalt
1
7 Verschiedene Kräfte
7.1
7.2
7.3
7.4
Schwerkraft oder Gewichtskraft
Gravitation – Massenanziehung
Federkraft – elastische Verformung
Reibungskräfte
7.4.1 Äußere Reibung zwischen Festkörperoberflächen
7.4.1.1 Haftung („Haftreibung“)
7.4.1.2 Gleitreibung
7.4.1.3 Rollreibung
7.4.2 Innere Reibung
7.4.2.1 Stoke‘sche Reibung oder viskose Reibung
7.4.2.2 Newton-Reibung
7.5
Trägheitskräfte (Beschleunigte Bezugssysteme)
7.5.1 Geradlinige beschleunigte Bezugsysteme
7.5.2 Gleichförmig rotierende Bezugsysteme
7.1
Schwerkraft oder Gewichtskraft
2
Jeder Körper fällt mit der Erd- oder Fallbeschleunigung g = 9,81 m/s2 zu Boden.
Ursache ist die von der Erde ausgehende Erdanziehungskraft (= Gewichtskraft).
FG = m ⋅ g
Gewichtskraft, Gewicht
Das Gewicht eines Körpers von m = 1 kg Masse beträgt
FG = 1kg ⋅ g = 1kg ⋅ 9,81m s2 = 9,81N ( = 1kp)
Anwendungsbeispiel: Massenvergleichswaage (Hebelgesetz)
Zwei Massen sind gleich, wenn ihre Gewichte gleich sind.
Balkenwaage mit zwei gleichlangen Armen: l1 = l 2 = l
Im Gleichgewicht gilt: l ⋅ Fz,mx = l ⋅ mx ⋅ g = l ⋅ ms ⋅ g = l ⋅ Fz,ms
mx = ms
(ms = Normmassen, „Gewichte“)
1
7.2
Gravitation – Massenanziehung
3
In unserem Beispiel haben wir die Gravitationskraft angewendet, ohne zu sagen,
was sie eigentlich ist.
Das „Gravitationsgesetz“ [law of gravity], das ebenfalls von Newton stammt,
besagt, dass jede Masse m1 im Universum jede andere Masse m2 wiederum im
gesamten Universum mit einer Kraft anzieht, die den beiden Massen
proportional und dem Abstandsgesetz umgekehrt proportional ist.
r
m ⋅m
F ∼ 1 2 2 ⋅ er
m1
m2
r
er
wobei die Richtung der Kraft entlang des Verbindungsvektors der beiden Massen
zeigt. Die Richtung ist also durch den Vektor er gegeben, dessen Betrag er = 1.
Die Proportionalitätskonstante ist die berühmte Gravitationskonstante G, die die
Stärke der Kraft bestimmt, so dass
F = −G ⋅
m1 ⋅ m2
r2
⋅ er
das Gravitationsgesetz darstellt. Das Vorzeichen ist negativ, da sich zwei
Massen anziehen.
7.2
Gravitation – Massenanziehung
4
Gravitationskonstante G
G = (6,673 ± 0,005) ⋅ 10 −11
m3
kg ⋅ s2
Das Gravitationsgesetz ist außerordentlich bedeutsam für
a)
die gesamte Kosmologie – alle Galaxien, Sterne, Planeten und Monde
bewegen sich nach diesen Gesetzen.
• Entdeckung des Planeten Pluto
• Problem der „dunklen Materie“ (nur 10% der gesamten Masse durch
sichtbare Sterne bekannt)
b)
auch auf der Erde bedeutsam:
• alle Gegenstände fallen auf die Erde
• Mondbewegung → Ebbe und Flut
2
7.2
Gravitation – Massenanziehung
5
Messung der Gravitationskonstante – Cavendish (1731-1810)
Die Messapparatur von Cavendish bestand aus einem empfindlichen Torsionsschwinger mit zwei gleichen Massen m1 (Torsionswaage → Verdrillen eines
steifen Drahtes mit Spiegel).
Die Schwingungen dieses Systems wurden über die Massenanziehung zu zwei
in die Nähe gebrachten Zusatzmassen m2 in die Positionen A-B bzw. A‘-B‘
beeinflusst. Die Beobachtung der Schwingung erfolgt über einen Lichtzeiger.
Diese Anziehung der beiden Kugeln kann im Labor nachgewiesen werden.
Wie klein die Kraft ist, kann man für das Beispiel zweier Kugeln, die je 1 kg
Masse haben sollen und 10 cm voneinander entfernt seien, ausrechnen.
F =
G ⋅ m1 ⋅ m2
r2
=
6,67 ⋅ 10−11 ⋅ 1⋅ 1 N ⋅ m2 ⋅ kg ⋅ kg
0,12 kg2 ⋅ m2
= 6,67 ⋅ 10−9 N
Um nach dem Gravitationsgesetz eine größere Kraft zu erzeugen, brauchen wir
große Massen.
7.2
Gravitation – Massenanziehung
6
3
7.2
Gravitation – Massenanziehung
7
Auf der Erdoberfläche gilt für eine Masse m
F =−
G ⋅ mE
rE2
⋅ m ⋅ er = m ⋅ g
mE = Erdmasse, rE = Erdradius
0 
0
Mit er = 0  und g =  0  gilt
 
 
 1
 −g 
0
0 
0
G ⋅ mE




F = 0 =−
⋅m⋅ 0 = m⋅ 0 
 
 
 
rE2
Fz 
 1
 −g 
Damit wird
g=
G ⋅ mE
rE2
Mit rE = 6,371⋅ 106 m und mE = 5,97 ⋅ 1024 kg folg t g = 9,81 m s2 .
7.2
Gravitation – Massenanziehung
8
Schwerkraft in anderen Systemen
Erde
Mond
Sonne
Neutronenstern
Radius r
Masse m
Beschleunigung g
6,371⋅ 106 m
5,97 ⋅ 1024 kg
9,81
1,74 ⋅ 106 m
7 ⋅ 105 km
10 km
7,4 ⋅ 10
22
30
2 ⋅ 10
∼ 2 ⋅ 10
30
kg
kg
kg
∼ 1,6
∼ 272
1,3 ⋅ 1012
4
7.3
Federkraft – elastische Verformung
9
Um eine elastische Feder um die Strecke s zu dehnen, ist eine Kraft F nötig:
ungedehnte Feder
F = 0; s = 0
s
FFeder
Faus
Faus = auslenkende Kraft; greift von außen an
FFeder = rücktreibende Kraft der Feder = Gegenkraft
Zusammenhang zwischen F und s:
Faus ∼ s
F = −D ⋅ s
FFeder ∼ −s
lineares Kraftgesetz der Feder
D = Federkonstante (auch C oder f genannt); [D ] = 1 N m
7.3
Federkraft – elastische Verformung
10
mit D2 > D1
FFeder
s
D1 (weiche Feder)
D2 (harte Feder)
Das lineare Kraftgesetz der Feder gilt nicht für beliebig große Auslenkungen,
sondern nur im (begrenzten) „Elastizitätsbereich“. Er ist gekennzeichnet durch:
i F ∼ s, d. h. Linearität
i s = 0 für F = 0, d. h. Rückkehr der Feder in die Ausgangslage nach Entspannung
Verallgemeinerung: Hooke‘sches Gesetz
Jeder Körper verhält sich wie eine elastische Feder, gleich welche Formänderung vorliegt, die Formänderung muss nur hinreichend klein sein.
Die Formänderung (Dehnung, Biegung, Torsion, Scherung) ist der angreifenden
Kraft proportional.
5
7.3
Federkraft – elastische Verformung
11
Beispiel: Dehnung eines Stabes
A
F
F = dehnende Kraft
A = Querschnitt des Probestabes
l0 = Ausgangslänge
F
l = l0 + ∆l = gedehnte Länge
F ∼ ∆l
σ=
F
∆l
=E⋅
= E ⋅ε
A
l0
Hooke‘sches Gesetz der Dehnung
Spannung = Elastizitätsmodul ⋅ Dehnung
σ=
F
= Spannung
A
ε=
∆l
= Dehnung
l0
E = Materialkonstante, Elastizitätsmodul, [E ] = N m2
7.4
Reibungskräfte
7.4.1
Äußere Reibung zwischen Festkörperoberflächen
12
7.4.1.1 Haftung („Haftreibung“)
Um einen Körper auf ebener Unterlage in Bewegung zu setzen, muss die
angreifende Kraft F einen Grenwert F0 übertreffen.
FHR
F
F0 = FHR = µ0 ⋅ FN
Ruhe
F > F0
Bewegung
FHR = F0 = Haftkraft
FN
Experimentell findet man:
F < F0
F0 ∼ FN
(FN = Normalkraft auf Oberfläche)
Coulomb‘sches Haftungsgesetz
µ0 = Haftreibungszahl
FHR wirkt entgegen der Kraft F und ist parallel zur Oberfläche.
6
7.4
Reibungskräfte
13
7.4.1.2 Gleitreibung
Um einen Körper auf ebener Unterlage mit v = const. zu bewegen, ist eine
Reibungskraft FGR zu überwinden.
v
FGR
F
FN
FGR = µ ⋅ FN
F > FGR
Beschleunigung
F < FGR
Ruhe, Bremsung
F = FGR
v = const.
Coulomb‘sches Gleitreibungsgesetz
µ = Gleitreibungszahl
µ ≤ µ0
7.4
Reibungskräfte
14
7.4.1.3 Rollreibung
Um ein Rad auf ebener Unterlage mit v = const. zu bewegen (rollen), ist eine
Rollreibungskraft FRR zu überwinden.
FRR
F
FRR = µRR ⋅ FN
Rollreibungsgesetz
µRR = Rollreibungszahl
µRR
µ, µ0
FN
Für all diese drei äußeren Reibungskräfte spielt die Normalkraft (d. h. die Kraft,
die normal auf die Oberfläche wirkt) eine entscheidende Rolle.
Normalkraft FN = Kraft, mit der der Körper senkrecht auf die Unterlage drückt
(d.h. F ⊥ Oberfläche oder F A)
7
7.4
Reibungskräfte
15
Normalkraft
bei waagrechter Unterlage:
m
FN = m ⋅ g
FN
bei schiefer Ebene:
FH
FN = m ⋅ g ⋅ cos α
α
FG = FN + FH
FH = m ⋅ g ⋅ sin α
Hangabtriebskraft
FG
7.4
FN
Reibungskräfte
16
Beispiel: Bremsen eines Kfz
Das Bremsvermögen eines Kfz hängt entscheidend von der Haftung zwischen
Rädern und Straße ab.
FN = m ⋅ g
F0 = m ⋅ g ⋅ µ0 
Haftkraft
 ⇒
= maximale Bremskraft
FBr = m ⋅ aBrmax 
⇒ aBrmax = µ0 ⋅ g
sBr =
v 20
2 ⋅ aBrmax
=
µ0 = 0,9
(Gummi auf Asphalt)
0,9 ⋅ 9,81
m
s
2
= 8,83
m
s2
minimaler Bremsweg
Mit v 0 = 100 km h = 27,77 m s ergibt sich (s = 21 at 2 ⇒ t = 2s a ) :
sBr = 43,7 m und tBr = 3,15 sec
8
7.4
Reibungskräfte
7.4.2
Innere Reibung
17
Sie findet im Inneren von Flüssigkeiten und Gasen zwischen den leicht gegeneinander verschiebbaren Molekülen oder Atomen statt. Typisch für die Innere
Reibung ist:
i Es gibt keine Ruhereibung: F0 = 0
i Die Gleitreibung ist geschwindigkeitsabhängig, z. B. FR ∼ v
7.4.2.1 Stoke‘sche Reibung oder viskose Reibung
Bewegt sich ein Körper mit geringer Geschwindigkeit durch ein zähes Medium,
so ist der innere Reibungswiderstand
FR ∼ v
7.4
(laminare Strömung)
Reibungskräfte
18
Beispiel: Eine Kugel fällt durch eine zähe Flüssigkeit, z. B. ein Öl
„Stoke‘sches Gesetz“
FR = −6 ⋅ π ⋅ R ⋅ η ⋅ v
Reibungswiderstand der Kugel
mit R = Kugelradius, η = Zähigkeit der Flüssigkeit, [ η] =
N⋅s
m2
= Pa⋅ s
Die Kugel erreicht schließlich eine konstante Fallgeschwindigkeit v 0 , bei der gilt:
FR = −FG ⇒ − 6 ⋅ π ⋅ R ⋅ η ⋅ v = m ⋅ g ⇒ v = −
vz =
m
⋅g
6⋅π⋅R ⋅η
m⋅g
6⋅π⋅R ⋅η
9
7.4
Reibungskräfte
19
7.4.2.2 Newton-Reibung
Bewegt sich ein Körper mit hoher Geschwindigkeit durch ein Medium geringer
Zähigkeit, so ist der innere Reibungswiderstand
FR ∼ −v 2
Ursache: Turbulenz, Wirbelbildung, …
Beispiel: Luftwiderstand
FL = −cW ⋅ A ⋅
ρ ⋅v 2
⋅ ev
2
mit ρ = Dichte des Mediums (Luft), A = Anströmfläche (Schatten),
cW = Formfaktor (cw -Wert)
7.5
Trägheitskräfte
20
Trägheitskräfte (Scheinkräfte) müssen zur Beschreibung der Bewegung von
Massenpunkten eingeführt werden, wenn diese Bewegungen in einem
beschleunigten bewegten Bezugssystem dargestellt werden. Diese
Trägheitskräfte spiegeln eigentlich nur die Beschleunigung des Bezugssystems
wider. Sie treten nicht auf, wenn dieselben Vorgänge in einem Inertialsystem
beschrieben werden.
Wir wollen uns dies an zwei Spezialfällen beschleunigt bewegter
Bezugssystems klarmachen. Im ersten Fall ist die Bewegung geradlinig und
gleichmäßig beschleunigt, im zweiten Fall rotiert das System (x‘,y‘,z‘) gegen
(x,y,z) um den gemeinsamen Ursprung O = O‘ beider Systeme.
10
7.5
Trägheitskräfte
7.5.1
Geradlinig beschleunigte Bezugssysteme
21
Bewegt sich der Ursprung O′ des Systems ( x ′, y ′, z′) gegenüber einem ruhenden
System O entlang der x -Achse mit der zeitlich veränderlichen Geschwindigkeit
u(t ), aber konstanter Beschleunigung
ax 
dv
d2 x
a =  0  mit ax = x = 2
 
dt
dt
 0 
so ändert sich nur der Betrag der Geschwindigkeit u, jedoch nicht ihre Richtung.
7.5
Trägheitskräfte
22
Beispiel: Beobachter in einem auf gerader Strecke anfahrenden Zug.
z
z′
y
O
r
r′
x
System in Ruhe
x = x ′ + v 0, x + 21 ax t 2
A
O′
y = y′
z = z′
y′
x′
beschleunigt
bewegtes System
Für einen Punkt A, der im System O′ die Koordinaten {x ′, y ′, z′} hat, misst ein
{
}
Beobachter im System O die Koordinaten x = v 0t + 21 at 2 + x ′, y = y ′, z = z′ ,
wenn zur Zeit t = 0 die beiden Koordinatenursprünge O und O′ zusammenfielen
und die Anfangsgeschwindigkeit v (t = 0) = v 0 war. Die Geschwindigkeiten von A
sind dann {v ′x ,v y′ ,v z′ } für O′ und {v x = v 0 + at + v ′x ,v y = v y′ ,v z = v z′ } für O.
11
7.5
Trägheitskräfte
23
Beispiel: Fahrstuhlexperiment
In einem Fahrstuhl hängt eine Masse an einer Federwaage. Wenn sich der
Fahrstuhl mit der Beschleunigung a = −a ⋅ ez nach unten bewegt, misst die
Federwaage die Kraft F = m ⋅ (g − a ), bewegt er sich beschleunigt nach oben,
so misst sie F = m ⋅ (g + a ), wobei g = −g ⋅ ez die Erdbeschleunigung ist.
Der im Fahrstuhl sitzende Beobachter O‘ sagt:
Der Körper ist in Ruhe. Also muss die Gesamtkraft Null sein. Diese setzt sich
zusammen aus
F = F1 + F2 + F3
wobei F1 = m ⋅ g
(Gewichtskraft)
F2 = −m ⋅ (g − a ) (Gegenkraft der Federwaage)
F3 = −m ⋅ a
(Trägheitskraft)
∑ Fi = 0
⇒
i
7.5
Trägheitskräfte
24
Der ruhende Beobachter O sagt:
Die Masse m wird zusammen mit dem Fahrstuhl beschleunigt. Dazu muss die
Kraft F = m ⋅ a aufgewendet werden. Die Gesamtkraft
F = F1 + F2 = m ⋅ g − m ⋅ (g − a ) = m ⋅ a
ist die Vektorsumme aus Gewichtskraft F1 = m ⋅ g und Rückstellkraft
F2 = −m ⋅ (g − a ) der Feder.
Beim freien Fall des Fahrstuhls wird a = g. Für O′ bleibt
∑ Fi = 0, während für
O die Gesamtkraft F = m ⋅ g wird.
12
7.5
Trägheitskräfte
25
Trägheitskräfte müssen nur eingeführt werden, wenn die Messungen in einem
beschleunigten Bezugssystem durchgeführt werden und man dabei die
Beschleunigung des Systems nicht berücksichtigt (Beobachter O‘).
Durch eine Transformation auf ein „Inertialsystem“ (= nicht beschleunigtes
System) werden alle Scheinkräfte Null, d. h. der Beobachter O braucht sie nicht
zur Beschreibung der Bewegung eines Körpers A in seinem „Inertialsystem“.
7.5.2
Gleichförmig rotierende Bezugssysteme
In rotierenden Bezugssystemen treten zusätzlich zu den realen physikalischen
Kräften weitere Trägheits- oder Scheinkräfte auf, die der mitbewegte Beobachter
benötigt, um die Beschleunigung eines Körpers erklären zu können: die
Zentrifugal- und die Coriolis-Kraft.
Fallen die Nullpunkte O des ruhenden Systems und des mit der konstanten
Winkelgeschwindigkeit ω rotierenden Systems S′ zusammen, dann sind die
Abstände r und r ′ vom Nullpunkt in beiden Koordinatensystemen gleich und
zwischen der im ruhenden Koordinatensystem gemessenen Geschwindigkeit v
und der Geschwindigkeit v′ des rotierenden Systems besteht der Zusammenhang
7.5
Trägheitskräfte
26
v = v′ + ω × r
Eine nochmalige Differentiation der Geschwindigkeit v ergibt die Beschleunigung a = dv dt .
dv
d
dv ′ d
dv ′
= [v ′ + ω × r ] =
+ [ω × r ] =
+
dt d t
dt dt
dt
dω
×r
dt
+ω×
dr
dt
= 0, da ω= const.
dv
=
dt
dv ′
dt
=
Geschwindigkeitsänderung im
rotierenden System
+
ω×v
=
Drehbewegung
des
Koordinatensystems
Der Beobachter in O erhält, in den Koordinaten von O′ ausgedrückt, für dv ′ dt
analog
dv ′
= a′ + ( ω × v ′ )
dt
wobei a′ wieder die Beschleunigung ist, die O′ relativ zu seinem System misst.
13
7.5
Trägheitskräfte
27
Man erhält daher
dv
= a′ + ω × v ′ + ω × v
dt
a = a′ + ω × v ′ + ω × ( v ′ + ω × r )
a=
= a′ + ω × v ′ + ω × v ′ + ω × ( ω × r )
= a′ + 2 ⋅ ( ω × v ′ ) + ω × ( ω × r )
mit a × b = −(b × a ) ergibt sich
a′ = a + 2 ⋅ (v ′ × ω) + ω × ( r × ω) = a + aC + aZF
=
Coriolisbeschleunigung
=
Zentrifugalbeschleunigung
Während der Beobachter in O in seinem ruhenden System die Beschleunigung
a = dv dt misst, muss der Beobachter O′ in seinem rotierendem Bezugssystem
für die gleiche Bewegung des Massenpunktes A zusätzliche Terme für die
Beschleunigung einführen.
7.5
Trägheitskräfte
28
Da nach den Newton'schen Axiomen Beschleunigungen durch Kräfte verursacht
werden, muss der Beobachter O′, wenn in seinem System die Gleichung F = m ⋅ a
gelten soll, zusätzlich Kräfte einführen, um die Bewegung des Massenpunktes A
in seinem rotierenden Bezugssystem O′ zu beschreiben.
Dies sind:
Corioliskraft : FC = 2 ⋅ m ⋅ (v ′ × ω)
und
Zentrifugalkraft : FZF = m ⋅ ( ω × ( r × ω) ) = m ⋅ ω2 ⋅ r
Beispiele:
•
Zentrifugalkräfte: Schwerelosigkeit eines Astronauten
•
Foucault‘sches Pendel (Drehung der Schwingungsebene)
14
7.5
•
Trägheitskräfte
29
Ein besonders imposantes Beispiel für die Corioliskräfte bieten die sich bei
Tiefdruckgebieten bildenden Wolkenformationen. Der Wind strömt (in
unserem rotierenden Erdsystem beobachtet!) nicht radial zum Punkt des
tiefsten Druckes, sondern er wird tangential abgelenkt und spiralt daher auf
der Nordhalbkugel im Gegenuhrzeigersinn, auf der Südhalbkugel im
Uhrzeigersinn in das Tief hinein.
15