Simulation einer ballistischen Diode mit dem Drift-Diffusions

Simulation einer ballistischen Diode mit dem
Drift-Diffusions-Modell
Sandro Schönborn
Universtität Basel
Projektarbeit
Sommersemester 2007
ausgeführt bei
Prof. Dirk Trautmann
angeleitet von
Dr. Andreas Aste
Zusammenfassung
A simple drift-diffusion model was used to simulate electric behaviour of a two dimensional silicon ballistic diode. The device consists
of two highly doped regions (n+ =1018 cm−3 ) at the contacts surrounding a less doped middle region (n=1016 cm−3 ). Simulation has been
done using a conservative spatial discretization scheme. At different
bias voltages time-domain simulation has been run until a steady state
was reached. The steady state showed spatial electron density in the
structure as well as electron velocities and other parameters. The used
model included electron mobility saturation but did not account for
effects as inertia of electrons, shock waves or electron gas heating.
I
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1
2 Physikalische Modellierung
2.1 Halbleiter . . . . . . . . .
2.2 Ballistische Diode . . . . .
2.3 Drift-Diffusions-Modell . .
2.4 Raumladungszonen . . . .
2.5 Spannung . . . . . . . . .
2.6 Zeitentwicklung . . . . . .
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1
1
1
3
5
5
5
3 Numerische Aspekte
3.1 Diskretisierung . . . .
3.2 Poissongleichung . . .
3.3 Randbedingungen . .
3.4 Strom . . . . . . . . .
3.5 Kontinuität . . . . . .
3.6 Numerische Stabilität
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6
6
7
9
9
9
10
4 Simulation
4.1 Simulationsablauf . . . .
4.2 Programmierung . . . .
4.3 Strom . . . . . . . . . .
4.4 Parameter . . . . . . . .
4.5 Stationäre Simulationen
4.6 Numerische Qualität . .
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12
12
13
13
14
16
5 Diskussion
18
5.1 Verbesserungsvorschläge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
II
1
Einleitung
Halbleiterelemente sind von entscheidender Bedeutung in der modernen
Technologie und ein ebenso grosses Forschungsgebiet. Durch ihre kleine
Grösse (≈ 1µm) sind sie nur mit grossem technischen und finanziellem Aufwand zu entwickeln. Methoden der numerischen Simulation können durch
Optimierungen im Vorfeld den Entstehungsprozess verkürzen und ökonomischer gestalten.
In dieser Projektarbeit soll ein solches Programm zur numerischen Simulation einer ballistischen Diode mit einem einfachen Drift-Diffusions-Modell
von Grund auf erarbeitet werden.
Abgeschlossen wird mit einem Lauf des Programms und Diskussion der
simulierten Resultate im Gleichgewichtszustand.
2
2.1
Physikalische Modellierung
Halbleiter
Halbleitermaterialien besitzen, wie Isolatoren, ein vollständig bestztes Valenzband und ein leeres Leitungsband, sie unterscheiden sich jedoch durch
eine engere Bandlücke von den Isolatoren. Der energetische Abstand zwischen dem Leitungsband und dem Valenzband liegt in der Grössenordnung
von 1 eV (z.B. Si 1.1 eV indirekt, GaAs 1.42 eV direkt [4]).
Die Leitfähigkeit solchen Materials wird bestimmt durch die Verfügbarkeit von freien Ladungsträgern, Elektronen und Löcher (Defekt-Elektronen,
Leerstellen im Valenzband). Durch Dotierung kann die Leitfähigkeit über
Grössenordnungen eingestellt werden. Das ist definierte Verunreinigung mit
Fremdelementen, die entweder Elektronen aus schwach gebundenen Zuständen ins Leitungsband abgeben (n-Dotierung) oder Elektronen aus dem Valenzband aufnehmen (p-Dotierung). Durch Veränderung der Ladungsträgerkonzentration kann im Betrieb der Widerstand im Bereich nahe Null bis fast
unendlich verändert werden, durch eine Vielzahl an physikalischen Einwirkungen wie Spannung (z.B. Feldeffekttransistor), Strom (z.B. Bipolartransistor) oder Licht bzw. Strahlung (z.B. Photodiode).
2.2
Ballistische Diode
Eine ballistische Diode ist ein symmetrischer Halbleiter, bestehend aus hochdotierten Kontaktregionen, die einen schwächer dotierten Mittelteil umgeben. Die Dotierung ist in allen Regionen vom selben Typ, der Einfachheit
halber als n-Dotierung angenommen, die Situation mit p-Dotierung ist ganz
analog zu betrachten. Die hochdotierten Kontaktregionen verbinden die metallischen Kontakte über den schwach dotierten Kanal (siehe Abb. 1).
1
0.2
n+
0.2
−6
y, 0.4 x 10 m
n
0.2
n+
1111
0000
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0.1
1111
0000
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0.1
Fliesst durch eine solche Anordnung ein Strom von einem hochdotierten
Kontakt zum anderen, werden die Ladungsträger im Gebiet mit niedriger
Teilchendichte stark beschleunigen. Da im Zwischengebiet wesentlich weniger Ladungsträger verfügbar sind, müssen sich diese entsprechend schneller
bewegen als in den hochdotierten Regionen, wenn sie denselben Strom transportieren sollen. Die Elektronen werden durch den Kanal geschossen, daher
der Name ballistische Diode.
0.2
−6
x, 0.6 x 10 m
Abbildung 1: Simulierte ballistische Diode, n+ hochdotiert, n schwach dotiert, dunkle Striche am Rand: Kontakte
Eine ballistische Diode findet sich nicht als eigenständiges Bauteil, sie
ist bidirektional einsetzbar und ohne eine weitere Steuerelektrode nicht von
praktischer Relevanz. Ballistische Dioden sind jedoch wichtige Bestandteile grösserer Halbleiter wie Feldeffekttransistoren, wenn diese im leitenden
Zustand einen Kanal zwischen den Kontakten ausgebildet haben. Ein Feldeffekttransistor vom enhancement Typ besitzt zwei hochdotierte Kontaktregionen (bezeichnet als source und drain), die durch einen anders dotierten
Kanal verbunden sind (Abb. 2). Die Ladungsträgerkonzentration im Kanal
— und damit die Leitfähigkeit — lässt sich durch eine Spannung an einer
weiteren Elektrode steuern (gate). Dabei lassen sich durch eine ausreichend
hohe Spannung genügend Elektronen in den Kanal ziehen, sodass sie dort
die Majoritätsladungsträger stellen können (Inversion). Es entsteht aus einem n+ − p − n+ ein n+ − n − n+ -System. Das System der zwei Kontakte
mit dem leitenden Kanal bildet dabei eine ballistische Diode. Für die detailiertere Funktionsweise von Transistoren und anderen Halbleiterelementen
verweise ich auf die einschlägige Literatur [4].
2
11111111111
00000000000
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
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1111
0000
1111
00000000000
11111111111
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1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
00000000000
11111111111
0000
1111
0000
1111
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11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
G
D
n+
S
n
n+
UG
p
Abbildung 2: Feldeffekttransistor (FET) mit isoliertem Gate, n-Kanal, leitender Zustand mit Kanal, unschraffierte Bereiche sind Verarmungszonen
2.3
Drift-Diffusions-Modell
Halbleiterphänomene sind quantenmechanischer Natur und als solche exakt
ab initio zu behandeln. Es ist jedoch möglich einfache, modifizierte klassische
Modelle zu verwenden, um grössere Systeme, wie ganze Halbleiterbauteile zu
beschreiben. Es zeigt sich, dass der Transport von Ladungsträgern in einem
einfachen Halbleiter sich durch das Drift-Diffusions-Modell verstehen lässt.
Wenn auch gewisse Aspekte und Phänomene dadurch nicht beschrieben werden können. Die zentrale Grösse ist die Dichte der freien Ladungsträger, n
für Elektronen, p für Löcher. Das Modell basiert auf der Annahme, dass die
Elektronentemperatur der Gittertemperatur entspricht.
Das Drift-Diffusions-Modell (DDM) ist gegeben durch:
∂n ~ ~
+ ∇j = 0
∂t ~ − eτp ∇
~ nkT
~j = − eτp nE
m
m
e
e(n − ND )
4Φ =
ε
(1)
(2)
(3)
Mit der Teilchenstromdichte ~j und der Donor-Dichte ND . Die effektive Elektronenmasse m = (m∗ )me entspricht der Leitungsbandkrümmung
von Silizium. Die Impulsrelaxationszeit τp gibt an, in welcher Zeitskala die
Elektronen ihren Impuls durch Stösse an das Gitter übertragen. T ist die
Temperatur. ε = ε0 εr ist die dielektrische Konstante in Silizium.
Gleichung (1) drückt die Teilchenerhaltung aus, es handelt sich um eine
Kontinuitätsgleichung. Gleichung (2) gibt die Quellen des Stromes an, das
elektrische Feld und der Dichtegradient. Die letzte Gleichung (3) ist die
3
Poissongleichung mit der effektiven Ladungsdichte % = −e(n − ND ) und
dem Laplace-Operator 4 = ∇2 .
In diesem Modell kommt der Teilchenstrom durch zwei Effekte zustande, durch eine elektrostatische Kraft auf die Elektronen (Drift) und durch
einen räumlichen Teilchengradienten (Diffusion), deshalb Drift-DiffusionsModell. Das Modell beschreibt den Ladungstransport, es ist einfach und
schnell zu implentieren, jedoch physikalisch nicht sehr umfassend. Effekte, verursacht durch die Trägheit der Elektronen bzw durch nicht-lineare
Phänomene1 werden vernachlässigt. Auch eine thermodynamisch genauere
Beschreibung kann erst mit einem besseren Modell erhalten werden, z.B. mit
dem hydrodynamischen Modell (HDM) [1]. Die korrekte Lösung wäre quantenmechanischer Natur und würde entsprechende, sehr aufwändige, Rechnungen voraussetzen. Meistens lassen sich mit modifizierten klassischen Modellen (z.B. HDM) hinreichende Ergebnisse erzielen [1].
Für die Teilchenstromdichte ~j gilt
~j = n h~v i
und entspricht einer elektrischen Stromdichte
J = −e~j = −en~v
Unter Verwendung der Elektronenmobilität µ und Annahme einer konstanten Temperatur ergibt sich in (4) eine alternative Form von (2)
~ + ~vDif f ,
~v = µ(E)E
~ − µ kT
~j = nµE
e
µ=
eτp
m
~
∇n
(4)
Bei konstanter Mobilität ist die Driftgeschwindigkeit linear zum beschleunigenden Feld. Dieser Ansatz ist bei hohen Feldern nicht mehr realistisch. Die Elektronen stossen bei hohen Geschwindigkeiten intensiver, was
zu einer Verringerung der Mobilität bei starken Feldern führt. Mit dem
Caughey Thomas Mobilitätsmodell ist eine Sättigung der Driftgeschwindigkeit berücksichtigt [1]:
µ0
µ(E) = p
1 + (µ0 E/vs )2
(5)
Mit der Mobilität µ0 gilt bei kleinen Feldern: v ≈ µ0 E (E vs /µ0 ) und bei
starken Feldern mit der Sättigungsgeschwindigkeit vs : v ≈ vs (E vs /µ0 ).
1
abgesehen von Sättigung der Driftgeschwindigkeit
4
2.4
Raumladungszonen
An der Berührungsfläche zweier verschieden dotierter Regionen treten Gradienten in den Teilchendichten auf. Diffusion führt zu einem Strom der freien
Ladungsträger von hoch dotierten in niedriger dotierte Gebiete. Die Verschiebung der freien Ladungsträger aus dem ursprünglich ladungsneutralen
Zustand führt zu effektiven Ladungsdichten um das Kontaktgebiet, Raumladungszonen. Die aufgebaute Ladung wirkt über ein elektrisches Feld der
Diffusionsbewegung entgegen und begrenzt die räumliche Ausdehnung dieser
Zonen.
Wenn die beiden Regionen am Kontakt von unterschiedlichem Dotierungstyp sind (n, p), bildet sich in den Raumladungszonen eine Verarmung an freien Ladungsträgern durch Rekombination von Elektronen und
Löchern. Veramungszonen enthalten kaum noch freie Ladungsträger und zeigen ein intrinsisches Leitverhalten, sie sind entscheidend an der Funktion
der Halbleiter beteiligt.
Die Breite der Raumladungszonen lässt sich durch elektrische Felder
verändern, was ein elektrisches Schalten ermöglicht. Ohne Spannung sind
die Zonen mit den verwendeten Werten in Geometrie Abb. 1 ca. 40nm breit
(siehe Abb. 7).
2.5
Spannung
Eine Spannung zwischen den Kontakten übt eine Kraft auf die freien Elektronen aus, die sich dadurch vermehrt in die entsprechende Richtung bewegen
und einen Strom durch das Bauteil tragen.
Für kleine Strukturen entstehen bereits bei geringen Spannungen starke
elektrische Felder, die zur Zerstörung des Bauteils führen können,
E ≈ 1V /1µm = 1 M V /m
Für Silizium liegt das Durchbruchfeld bei ca. 3 × 107 V /m = 30M V /m. Die
erwarteten starken Felder rechtfertigen die Verwendung des Mobilitätsmodells (5).
Die elektrischen Eigenschaften eines Bauteil werden meistens als Spannungs-Strom-Kurve (U − I plot) dargestellt. Dazu wird zur Spannung U der
fliessende Gleichgewichtsstrom I aufgetragen.
2.6
Zeitentwicklung
Das Drift-Diffusions-Modell beschreibt die dynamische Entwicklung eines
Systems. Wenn das System jedoch lange genug betrachtet wird, ist physikalisch das Erreichen eines stationären Zustands mit unveränderlicher Dichte
( ∂n
∂t = 0) und Stromdichte zu erwarten. Für den Strom gilt mit (1) dann auch
~ ~j = 0. Da dieser Zustand bereits nach wenigen
die räumliche Bedingung ∇
5
ps erreicht wird, ist der Gleichgewichtszustand der normale Betriebszustand
für die meisten, langsamen Signale.
Um diese Situation zu simulieren, lassen sich entweder die Gleichungen
des DDM für den stationären Zustand numerisch lösen oder eine Zeitentwicklung simulieren, die zum stationären Zustand konvergiert. In dieser Arbeit
wurde der zweite Ansatz gewählt, über die Zeitentwicklung.
3
Numerische Aspekte
Die physikalischen Überlegungen aus Teil 2 wurden in einer Simulation umgesetzt um das Verhalten einer ballistischen Diode mit der Geometrie in
Abb 1 nachzubilden.
3.1
Diskretisierung
Die zweidimensionale Box wird unabhängig in x und y-Richtung äquidistant diskretisiert. Dadurch werden verschiedene Auflösungen und Grössen
entlang der beiden Achsen möglich. Es entsteht das einfache Gitter mit der
Indexmenge
G = {(i, j) | i = 1 . . . Nx , j = 1 . . . Ny }
mit den total N = Nx Ny Gitterpunkten (x, y)i,j = (ihx , jhy ). Dabei sind
Nx,y die Anzahl der Punkte entlang der entsprechenden Richtung, hx,y =
Lx,y /Nx,y die Gitterabstände und Lx,y die Ausdehnungen der Box.
Skalare Grössen, wie Teilchendichte n(i, j) und Potential Φ(i, j) werden
auf dem Gitter G diskretisiert und repräsentieren den Wert am Mittelpunkt
der Zelle.
Vektorgrössen werden zwischen den Zellen diskretisiert. Jeweils an der
vertikalen2 Zellgrenze die x-Komponente des Vektors und an der horizontalen Wand die y-Komponente. Das führt zu zwei verschobenen Gittern (Abb.
3)
Gx = {(i + 1/2, j) | i = 0 . . . Nx , j = 1 . . . Ny }
Gy = {(i, j + 1/2) | i = 1 . . . Nx , j = 0 . . . Ny }
Die Umrechnung zwischen den Gittern G und Gx resp. Gy erfolgt mit linearer Interpolation, wo notwendig.
Diese Diskretisierung besitzt die Eigenschaft in Bezug auf die Teilchenzahl konservativ zu sein. Die Kontinuitätsgleichung lässt sich besonders einfach umsetzen (siehe 3.5).
2
vertikal entspricht konstanter y-Komponente
6
(i,j−1)
hy
(i,j)
(i−1,j)
(i+1/2, j)
(i,j+1/2)
hx
Abbildung 3: Gitter und Diskretisierung. G: schwarze Mittelpunkte, Gx :
grüne Kreuze, Gy : rote Dreiecke. Gx trägt die x-Komponenten der Vektorgrössen, Gy analog die y-Komponente
Weiter lassen sich die wichtigen numerischen Ableitungen auf diesen Gittern als zentrale Differenzenquotienten implementieren. Durch die Verschiebung der Gitter um einen halben Zellenabstand wird es möglich, die Gra~ und ∇n
~ zwischen den Punkten von G auszuwerten, z.B. die
dienten ∇Φ
x-Komponente auf Gx (analog für y):
~
∇f
fi+1,j − fi,j
∂f =
≈
∂x i+1/2,j
hx
x
Zentrale Quotienten besitzen die Eigenschaft, bei gleichem Gitterabstand
genauere Resultate zu liefern [3].
3.2
Poissongleichung
Die Poissongleichung wird mit Gauss-Seidel-Relaxation gelöst [3].
Die Poissongleichung wird diskretisiert auf dem Gitter G mit der finiten
Differenz (6) für die zweiten Ableitungen, unabhängig in x- und y-Richtung.
Gleichung (3) auf G wird zu (7)
7
4f |i,j ≈
4Φ|i,j =
fi,j−1 − 2fi,j + fi,j+1
fi−1,j − 2fi,j + fi+1,j
+
2
hx
h2y
(6)
Φi−1,j − 2Φi,j + Φi+1,j
Φi,j−1 − 2Φi,j + Φi,j+1
e
f
+
= nef
i,j
2
2
hx
hy
ε
(7)
führt zu
Φi,j
1 h2x h2y
=
2 h2x + h2y
Φi−1,j + Φi+1,j
Φi,j−1 + Φi,j+1 −e ef f
+
+
n
2
hx
h2y
ε i,j
!
(8)
mit nef f = n − ND als effektiver Ladungsträgerdichte.
Φt+1
i,j
1 h2x h2y
=
2 h2x + h2y
t
t
Φt+1
Φt+1
−e ef f
i−1,j + Φi+1,j
i,j−1 + Φi,j+1
+
+
n
2
2
hx
hy
ε i,j
!
(9)
Gleichung (8) bietet die Möglichkeit das Potential iterativ nach (9) zu berechnen und damit (7) zu lösen. Die bei der Iteration durch alle Gitterpunkte
bisher berechneten Werte werden im nächsten Punkt bereits verwendet, was
das Verfahren von der Jacobi-Iteration unterscheidet.
Gauss-Seidel-Relaxation hat schlechte Skalierungseigenschaften, der Aufwand skaliert quadratisch mit der Systemgrösse O(Nx Ny ). In kleinen Systemen kann die Verwendung dennoch durch ihren fast nicht vorhanden overhead und die einfache Implementierung sinnvoll sein. Hier bietet es sich an,
da es in Einzeliterationen aufgespalten werden kann, in jedem Zeitschritt
wird nur eine Iteration durchgeführt.
Aus Gründen der Geschwindigkeit wurde darauf verzichtet, bei jedem
Schritt die Poissongleichung beliebig genau zu lösen. Stattdessen wird in
jedem Zeitschritt einmal iteriert, d.h. die Werte nach Gleichung (8) einmal
für alle Gitterpunkte neu berechnet. Die Begründung dafür liegt darin, dass
sich die Dichte bei korrekt gewähltem Zeitschritt nicht schnell ändert und
somit das Potential auch nicht. Das Potential Φt ist eine gute Ausgangslage als Schätzung für das Potential Φt+1 . Das entspricht nicht tatsächlich
vorkommenden physikalischen Zuständen, aber der Gleichgewichtszustand
wird davon nicht beeinflusst. Zur Sicherheit wurde ein Fehlerterm R =
ε∇2 Φ + (−e)n sowie die Grösse der nächsten Iteration aufgezeichnet. Zu
erwähnen ist hier auch, dass sich durch Verwendung einer numerischen Ableitung niedriger Ordnung ein methodischer Fehler nicht vermeiden lässt,
der nicht erfasst wird.
8
3.3
Randbedingungen
Die Simulation findet in einem örtlich begrenzten zweidimensionalen Rahmen statt. Um die Poissongleichung zu lösen, sind Bedingungen auf dem
Rand der Box notwendig. Physikalisch sind vor allem zwei Situationen denkbar. Durch einen leitenden Rand wird das Potential festgelegt (Dirichletbedingung) oder durch bekannte Flächenladungen bzw Linienladungen auf dem
Rand wird das elektrische Feld in Normalenrichtung gegeben (Neumannbedingung).
Die zu simulierende Diode soll eingebettet sein in Silizium mit konstanter
Dotierung und nur an den Kontaktelektroden einen leitenden Rand haben.
Es drängt sich also die Variante auf, an den Kontakten, örtlich begrenzt, eine
Dirichlet-Bedingung zu implementieren, während der ganze restliche, umgebende Rand mit einer Neumann-Bedingung belegt wird. So wird die, nur
kleine, Simulationsbox innerhalb des grossen Siliziumträgers nachgebildet.
Die Neumann-Bedingung
∂Φ =0
∂~n Rand
lässt sich durch die Zuweisung
Φ(1, j) ← Φ(2, j), j = 1 . . . Ny
und analog für die drei anderen Ränder bewerkstelligen.
Weiter stellt sich die Frage wie sich die Teilchendichte am Rand verhalten
soll. Es wurde hier angenommen, dass die Kontaktelektroden mit einem
unendlich grossen Elektronenreservoir fester Teilchendichte verbunden sind,
am Kontakt wird die Dichte festgehalten.
3.4
Strom
Die Diskretisierung von (4) auf den Gittern G und Gx,y liefert:
ni−1,j + ni,j Φi,j
2
ni,j−1 + ni,j Φi,j
=µ
2
x
ji,j
=µ
y
ji,j
− Φi−1,j
ni,j
−D
hx
− Φi,j−1
ni,j
−D
hy
− ni−1,j
hx
− ni,j−1
hy
(10)
(11)
τ
p
mit D = µ kT
|e| , und µ = |e| m > 0 nach Modell (5).
3.5
Kontinuität
Der explizite Verknüpfungspunkt des Drift-Difussions-Modells mit der Zeit
liegt in der Kontinuitätsgleichung, alle anderen sind zeitunabhängig und
gelten zu jedem Zeitpunkt.
9
Die einfache Zeitableitung, diskretisiert als finite Differenz erster Ordnung, bietet einen Ansatzpunkt um das zeitliche Verhalten des Systems
nachzubilden. Konkret wird durch Verknüpfung von Dichte, Strom und Zeit
die Dichte in jedem Zeitschritt nachgeführt. Dabei ist die Dichteänderung
gerade so gross, wie die negative Quellstärke des Stromes aus dieser Zelle Teilchen, die aus der Zelle herausfliessen fehlen in der Zelle und umgekert.
Hier kommt der konservative Charakter der verwendeten Diskretisierung
zum Vorschein. Die Zelle selbst, mit Mittelpunkt (i, j) ∈ G, trägt die skalaren Grössen, auf dem Rand der Zelle sind die vektoriellen Grössen bekannt.
Der Teilchenfluss durch die Zellgrenzen wird gerade am Übergangspunkt
vom Stromvektor dargestellt. So ist sichergestellt, dass die Teilchen, die die
eine Zelle verlassen auch in der Nachbarzelle ankommen. Die Erhaltung der
Teilchenzahl lässt sich somit wie folgt formulieren:
n
o
y
y
x
x
(nt+1 − nt )i,j hx hy = dt (ji−1/2,j
− ji+1/2,j
)hy + (ji,j−1/2
− ji,j+1/2
)hx
(12)
mit Zuwachs nt+1 − nt , und der Zeit T = tdt.
y
y
x
x
ji,j+1/2
− ji,j−1/2
ji+1/2,j
− ji−1/2,j
(nt+1 − nt )i,j
=−
−
dt
hx
hy
(13)
Gleichung (13) entspricht der einfachen Diskretisierung der Kontinuitäts~ ~j und ist identisch mit (12).
gleichung (1) mit beidseitigen Ableitungen in ∇
Durch Verwendung der konservativen Diskretisierung sowie der Iterationsregel für die Dichte (12) wird sichergestellt, dass die Kontinuitätsgleichung erfüllt ist. Nur noch am Rand ist besondere Aufmerksamkeit notwendig.
Am Rand verschwinden die elektrischen Ströme senkrecht zur Begrenzung durch die Wahl der Neumann-Bedingung. Das Simulationsvolumen soll
auch bezüglich Teilchenströmen isoliert sein, es wurden für die Teilchenströme dieselben Bedingungen angewandt.
3.6
Numerische Stabilität
Eine umfassende Stabilitätsanalyse ist aufwändig und hoch komplex, sie
würde den Rahmen dieser Arbeit bei weitem übersteigen. Der folgende Abschnitt dient eher einer Motivation des Themas und möchte nicht den Anspruch erheben vollständig zu sein.
Es zeigte sich, dass die Simulation mittels eines einfachen DDM numerisch einen viel kleineren Zeitschritt benötigt als physikalisch angezeigt
gewesen wäre. Wird ein grösserer Zeitschritt verwendet, treten schnell aufkummulierende Instabilitäten auf, die innerhalb weniger Iterationen die Simulation zusammenbrechen lassen.
10
Die physikalische Zeitskala ist gegeben durch die Prozesse Drift und
Diffusion. Die Sättigungsgeschwindigkeit für Elektronen liegt ca. bei (siehe
4.4) vs ≈ 105 m/s, damit wird die Zeit um eine Gitterzelle zu durchqueren
zu δt ≈ hx,y /105 ms−1 . Bei einer Zellgrösse von hx ≈ 10−9 m ergibt sich
δt ≈ 10−14 s als Zeitskala für den Driftprozess.
Der Zeitschritt wurde so gewählt, dass in der Gleichung (13) der relative
Dichtezuwachs klein ist, δn
n 1. Wäre dies nicht der Fall, könnte die Dichte
negativ werden und in Schwingungen übergehen. Ausserdem ist die Genauigkeit der Lösung gefährdet, wenn im Euler-Verfahren (12) ein zu grosser
Iterationsschritt gewählt wird.
Die relative Dichteänderung lässt sich grob abschätzen:
δn ~ + µ kT ∇2 n
~ ~j < dt nµ(E) ∇E
= dt ∇
n
n
n
e
(14)
weiter wird die rechte Seite mit der Sättigungsgeschwindigkeit vs und einfachen Diskretisierungen ungefähr zu
dt
∼
n
(
nvs
kT
+ µmax
hx,y
e
4n
h2x,y
)
(
= dt
vs
kT
+ µmax
hx,y
e
4
h2x,y
)
(15)
damit ergibt sich die Grenze für den Zeitschritt:
dt <
1
vs
hx,y
+ µmax
kT
e
4
h2x,y
(16)
wo nun der Diffusionsterm bei kleinen Gittern dominiert. Für dieselbe Gittergrösse wie oben ergibt sich so dt ≈ 10−16 s. Für tatsächlich verwendete
Zahlenwerte siehe 4.4.
Es handelt sich bei (16) lediglich um eine worst case Abschätzung. Es
kann sein, dass die Simulation mit einem grösseren Zeitschritt noch konvergiert.
Die Erhaltung der Gesamtteilchenzahl wurde überwacht und der relative Fehler der Nichteinhaltung als Mass für die numerische Genauigkeit
verwendet.
N=
X
hx hy ni,j
(i,j)∈G
N t+1 − N t = Jin dt = (J1 − J2 )dt
δN
N t − N t−1 − (J1 − J2 )dt !
=
=0
(17)
N
N
Wobei N die Gesamtteilchenzahl, und J1,2 der Strom an Elektrode 1, 2 ist.
11
4
Simulation
Simuliert wurde der stationäre Zustand der Diode bei einer festen Gleichspannung, wo bis zum Erreichen eines Gleichgewichtszustands simuliert wird.
Simulationen mit Wechselspannung wurden nicht durchgeführt, da das
verwendete Simulationsverfahren auf Erreichen eines Gleichgewichtszustandes ausgelegt ist und nicht auf Zeitentwicklung. Ein kurzer Testlauf zeigte denn auch ein stark verzerrtes Stromsignal, sodass eine Phasenverschiebungsanalyse wegfiel.
4.1
Simulationsablauf
In einer Initialphase werden die Box definiert, der Speicher organisiert und
alle Grössen auf Ausgangswerte gesetzt
Φ ← 0, n ← ND
Φ|1 ← V
Ein Iterationsschritt umfasst die Phasen:
• setze Spannung V =
n
Vmax ∗t/4ps
Vmax
t<4ps
t≥4ps
• Gauss-Seidel-Iteration für Φ ← f (n, V, Φ), (8)
• Strom ~j ← f (n, Φ) (10, 11)
• Dichte n ← f (n, ~j), (12)
• Zusätzliche Grössen berechnen, z.B. ~v ← ~j/n
• Ausgabe
Dabei ist mit der Notation x ← f (x, y, z) gemeint, dass die Grösse x aus
den Grössen x, y, z neu berechnet wird.
Der Gleichgewichtszustand gilt als erreicht, D
wenn
E die mittlere relative
δn Dichteänderung in einem Iterationsschritt noch n ≈ 10−6 beträgt. Alternativ wird die Simulation auch abgebrochen, wenn nach 15ps der Gleichgewichtszustand noch immer nicht erreicht ist, oder wenn numerische Divergenzen erkannt werden.
4.2
Programmierung
Die Simulation wurde in C geschrieben, kompiliert mit dem GNU C Compiler (gcc) in der Version 4.1.2.
Als Datentypen mit hoher Präzision wurden double precision floating
point numbers (double) verwendet. Die Arrayorganisation von C implizierte
eine Indexverschiebung, sodass das jeweils erste Element den Index 0 trägt.
12
Das Speichermanagement erforderte gewisse Aufmerksamkeit und ist
nocht nicht optimal gelöst. Es ist z.B. nicht sichergestellt, dass die Bereiche
für die Arrays zusammenhängende Blöcke sind.
Aufgrund der nicht optimalen numerischen Verfahren und des sehr ungünstigen Skalierungsverhaltens läuft das Programm langsam und dauert,
je nach Gitterauflösung, mehr als eine Stunde auf einem durchschnittlichen
Personal Computer. Mehr Gitterpunkte führen über das direkte Skalierungsverhalten zu O(N 2 ) und zusätzlich über den Zeitschritt und die Simulationslänge nochmals zu O(1/h2 ) = O(N 2 ), das führt auf ein totales Verhalten
von O(N 4 )3 .
4.3
Strom
Der Strom durch die Diode wurde an den Elektroden berechnet, durch Aufsummieren der Ströme nach aussen, über den Rand an den zwei Kontakten.
Der Strom wurde dann in einem Strom-Spannungs-Diagramm dargestellt
um das elektrische Verhalten dieser Diode bei Gleichspannung anzugeben.
Der Strom an der Elektrode wurde auf dem Elektrodenrand so berechnet, dass die Randbedingungen erfüllt bleiben. Für die Kontakte gilt eine
Dirichlet-Bedingung. Anstatt, wie auf dem restlichen Rand, die Werte fix
einzusetzen, wird an der Elektrode der zu-/abführende Strom so gewählt,
dass die Randbedingung erfüllt ist. Dazu löse man Gleichung (12) nach
dem entsprechenden Strombeitrag auf. Die anderen drei Ströme sind bekannt, bzw aus den Grössen n, Φ berechenbar und der Dichtezuwachs soll
verschwinden.
4.4
Parameter
Simulationen des Gleichgewichtszustandes wurden mit einer angelegten Spannung zwischen 0V und 2V durchgeführt. Um zu starke Relaxationsreaktionen, die zu numerischen Instabilitäten führen, in den Startphasen zu vermeiden, wurde die Spannung während 4ps von 0V bis auf den gewünschten
Wert kontinuierlich erhöht.
Aus physikalischen und technischen Gründen wurde auch die Dichte der
Dotierung an den Übergangszonen leicht ausgeschmiert (siehe auch in Abb.
6).
Die Werte von Silizium wurden wie folgt verwendet ([4] und [5]):
Relative Dielektrische Permeabilität
εr = 11.7
Effektive Elektronenmasse, Leitungsband m∗ = 0.26
Sättigunsgeschwindigkeit
vs = 1.03 × 105 m/s
Für die Mobilität bei kleinen Feldern wurde ein empirisches Modell aus [1]
herangezogen:
3
wobei N die Punkte einer Seitenlänge zählt
13
µ0 (ND ) = µmin +
µmin = 80cm2 V −1 s−1 ,
∆µ
1 + (ND /Nref )0.72
∆µ = 1430cm2 V −1 s−1 − µmin
Nref = 1.12 × 1023 m−3
Als Gittergrösse für Gleichgewichtssimulationen wurden 256 × 256 Zellen
verwendet auf einer Grösse der Diode von 0.4µm × 0.6µm. Vergleiche mit
weniger Gitterzellen (128 × 128, 64 × 64) zeigen ähnliche Resultate, jedoch
ist die räumliche Auflösung in den Raumladungszonen deutlich schlechter
(siehe 4.6). Die Gittergrössen wurden als Zweierpotenzen gwählt, dass ein
Einbau eines besseren Poissonalgorithmus, insb. des Multigridalgorithmus
einfach möglich wäre.
Der Zeitschritt wurde nach Abschätzung (16) sowie Stabilitätsbeobachtungen gewählt. Konkret wurde für 256×256-Gitter dt = 2×10−16 s = 0.2f s
verwendet. Für die kleineren 128 × 128 und 64 × 64-Gitter entsprechend
dt = 8 × 10−16 s = 0.8f s.
4.5
Stationäre Simulationen
Für die Spannungen 0, 0.01, 0.025, 0.05, 0.1, 0.25, 0.5, 1, 1.5, 2V wurde der stationäre Zustand simuliert und der gesamte Strom berechnet (Abb. 4).
Nach ca. 13ps war der stationäre Zustand erreicht. Das Potential erschien
flach und wie erwartet. Die Raumladungszonen erzeugen kleine Diffusionspannungen von ≈ 110mV (Abb. 5) über eine Distanz von ≈ 50nm an den
Dotierungskontaktflächen.
Die Dichte der Ladungsträger im Kanal steigt, nach Erwartung, mit der
Spannung an. Ohne Spannung bildet sich eine symmetrische Verteilung entlang des Kanals aus. Im schwach dotierten Kanal steigt die Dichte bereits
im ungestörten Zustand über den Dotierungswert an. Bei kleinen Spannungen wird die Dichte nur wenig erhöht, während bei hohen Spannungen der
Kanal stark bevölkert wird. Der Querschnitt der Dichteverteilung im Kanal entlang der y-Richtung zeigt eine Konzentration in der Mitte an, mit
auslaufenden Randbereichen.
Die Symmetrie geht mit einer angelegten Spannung verloren. Die Elektronen werden den ganzen Kanal entlang vom elektrischen Feld beschleunigt.
Die Strom-Spannungskurve (Abb. 4) zeigt bei kleinen Spannungen ein
lineares Verhalten, bei höheren Spannungen eine Abflachung, verursacht
durch die sinkende Elektronenmobilität bei stärkeren elektrischen Feldern.
Das lineare Verhalten kommt durch die direkte Erhöhung der Driftgeschwindigkeit der Elektronen mit zunehmender Spannung zustande (lineares Mobilitätsregime). Bei höheren Spannungen erreichen die Elektronen Sättigungsgeschwindigkeit und der Strom kann nur noch durch eine Zunahme der La14
U-I curve, different grids
350
300
250
J [A/m]
200
150
100
50
256
128
64
0
0
0.5
1
U [V]
1.5
2
Abbildung 4: U-I-Kurve
dungsträgerdichte erhöht werden, eine weitere Zunahme der Geschwindigkeit ist nicht mehr möglich. Um dennoch bei steigender Spannung mehr
Strom zu transportieren, sammeln sich vermehrt Elektronen im Kanal an.
Die zusätzlichen Ladungsträger finden sich als deutlich erhöhte Teilchendichte (bis Faktor 8 bei 2V ) im Kanal wieder (Abb. 6). Es fällt auf, dass die
Dichte im Kanal erst merklich erhöht wird, wenn die Driftgeschwindigkeit
am Ende des Kanals sättigt (Abb. 9, ab ca 0.25V ).
Bei hohen Spannungen (2V ) sättigt die Elektronengeschwindigkeit bereits am Anfang des Kanals. Eine weitere Erhöhung der Spannung wäre nicht
sinnvoll, da nun starke nichtlineare Effekte berücksichtigt werden müssten,
insbesondere auch Trägheitseffekte bei diesen hohen Geschwindigkeiten [1].
Das elektrische Feld erreicht bei 2V Spannung bereits Werte um 2×107 V /m,
was nur noch wenig von der Durchbruchfeldstärke von 3 × 107 V /m entfernt
ist.
Die nochmalige Beschleunigung der Elektronen in den Kontaktregionen,
trotz hoher Teilchendichte, kommt durch die zunehmende Konzentration
der Stromdichte gegen die schmaleren Kontakte zustande (siehe auch im
Vektorplot Abb. 10). Der Richtungsplot zeigt die Verdünnung des Stroms
in Kanal, dort steht fast die gesamte Breite zur Verfügung, während an den
Kontakten, insbesondere an den Ecken, eine starke Konzentration auftritt.
Die Raumladungszone an x = 0.2µm (Abb. 7) wird mit zunehmender
Spannung stark verformt und immer weiter in das hochdotierte Gebiet “hin15
Potential, cut y=0.2um along x, different bias
1
0 mV
100mV
250mV
500mV
1000mV
0.8
[V]
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
0
1e-07
2e-07
3e-07
x [m]
4e-07
5e-07
6e-07
Abbildung 5: Potential, Schnitt an y=0.2µm
eingedrückt”, während die andere bei 0V (Abb. 6) kaum verändert wird.
Die kontinuierliche Erhöhung der Spannung mit einem Wert von V /4ps
wurde zu hoch gewählt, der abrupte Abbruch eines solch starken Gradienten
zeigte starke Nachschwingungen und verzögerte das Erreichen des Gleichgewichtszustands erheblich. Aus Gründen der Rechenzeit wurde jedoch darauf
verzichtet einen geringeren Spannungsanstieg zu wählen. (Abb. 8)
4.6
Numerische Qualität
Die Simulationen wurden auf unterschiedlichen Gittern durchgeführt und
dabei das numerische Verhalten untersucht. Dazu wurden neben direkten
Vergleichen der berechneten Grössen auch verschiedene Indikatoren für die
numerische Präzision verwendet. Im Hauptprogramm wurde dazu der relative Teilchendefekt (17) herangezogen, in der Gauss-Seidel-Relaxation die
Relaxationsfortschritte sowie die Genauigkeit der Lösung Φ für die Poissongleichung.
Der Vergleich der Resultate auf verschiedenen Gittern zeigt, dass die
Dichte in den Raumladungszonen von den groben Gittern, insb. dem 64Gitter nicht genügend aufgelöst wird. Entscheidende Strukturen fehlen, die
gesamte Diffusionszone wird nur mit ca. 5 Gitterpunkten erfasst (Abb. 11).
Das hat auch Auswirkungen auf das elektrische Feld. Die schwächere, glattere Raumladungszone erzeugt ein um den Faktor ≈ 1.5 − 2 geringeres Feld
16
Density (n), cut y=0.2um along x, different bias
[m^(-3)]
1e+24
1e+23
doping density
0 mV
100mV
250mV
500mV
1000mV
2000mV
1e+22
0
1e-07
2e-07
3e-07
x [m]
4e-07
5e-07
6e-07
Abbildung 6: Teilchendichte, logarithmische Skalierung
(Abb. 12). Dennoch ist der Gesamtstrom vergleichbar und kaum geringer
(Abb. 4). Die U-I-Kurve bricht bei 1V ab, da höhere Spannungen auf dem
64-Gitter zu Divergenzen geführt haben. Die Beobachtungen legen es nahe,
das feinste Gitter zu verwenden, trotz des höheren Rechnenaufwands.
Der Vergleich der numerischen Genauigkeiten anhand des Masses δN
N auf
verschiedenen Gittern (Abb. 13) zeigt deutlich, dass das feinste Gitter mit
256 × 256 Zellen um etwa eine Grössenordnung bessere Resultate liefert als
−8
die gröberen zwei Gitter. Absolut liegt der Wert bei δN
N ≈ 10 .
Die Überwachung der Gauss-Seidel-Relaxation für das Potential Φ erfasst den mittleren Änderungswert in der nächsten Gauss-Seidel-Iteration.
Es lässt sich damit abschätzen, ob es sinnvoll ist, weitere Iterationen durchzuführen. Die Resultate (Abb. 14) zeigen, dass es ausreicht in jedem Zeitschritt nur einen Gauss-Seidel-Schritt durchzuführen. Zusätzliche Kontrollversuche mit mehreren Iterationen in einem Zeitschritt zeigten keine signifikante Verbesserung der Konvergenzwerte.
Es zeigt sich in (Abb. 14) eine scheinbare Abhängigkeit von der Gitterauflösung. Das feinste Gitter zeigt die kleinsten Änderungen pro Iteration.
Der Effekt kann jedoch auch dadurch zustande kommen, dass bei einem
kleineren Zeitschritt zur selben Zeit bereits mehr Iterationen durchgeführt
wurden und daher der kommende Schritt nur noch wenig ändern würde.
Der Unterschied in der Konvergenz des 64-Gitters liegt im nicht angepassten Zeitschritt. 256 und 128 verwenden einen angepassten Zeitschritt
17
Density (n), cut y=0.2um along x, different bias
[m^(-3)]
1e+24
doping density
0 mV
100mV
250mV
500mV
1000mV
2000mV
1e+23
1e+22
1.6e-07
1.8e-07
2e-07
2.2e-07
x [m]
2.4e-07
2.6e-07
2.8e-07
3e-07
Abbildung 7: Raumladungszone x=0.2µm, logarithmische Skalierung
und zeigen dasselbe Verhalten um eine Grössenordnung versetzt. Für das 64Gitter wurde der Zeitschritt gleich demjenigen für das 128-Gitter gewählt,
was nun einen Vergleich der Gitterauflösungen ermöglicht. Das gröbere Gitter zeigt dabei eine schnellere Konvergenz der Gauss-Seidel-Relaxation, eine
bekannte Eigenschaft des Relaxationsverfahrens, die vom Multigridalgorithmus ausgenützt wird.
Trotz der schnelleren Konvergenz auf dem groben Gitter ist die erreichte
Genauigkeit geringer. Das Residuum des Potentials R = ∇2 Φ+ρ/ε misst die
nicht-Erfüllung der Poissongleichung. Zur einfacheren Vergleichbarkeit lässt
sich das Residuum in eine Ladungsdichte ∆ρ umrechnen, die das Potential
entsprechend korrigieren würde (Abb. 15). Die RMS-Werte liegen im Bereich
um 1020 m−3 , was ca. 2 Grössenordnungen unter der effektiven Dichte liegt.
5
Diskussion
Die Simulation zeigte das Verhalten einer einfachen zweidimensionalen ballistischen Diode, wie sie in Feldeffekttransistoren vorkommen anhand eines einfachen Drift-Diffusions-Modells auf. Die Simulation lief auf einem
256 × 256-Gitter mit Neumann-Randbedingungen und festem Potential an
den Kontakten (Dirichlet). Bei verschiedenen Spannungen wurden Strom
und Dichteverteilung der Ladungsträger simuliert. Das Modell zeigte Effek-
18
0.5
180
0.45
162
0.4
144
0.35
126
0.3
108
0.25
90
0.2
72
0.15
54
0.1
36
Strom I [A/m]
Spannung U [V]
U
I
0.05
0
0
2e-12
4e-12
6e-12
8e-12
Time [s]
1e-11
1.2e-11
1.4e-11
Abbildung 8: Simulationsverlauf bei U=0.5V
te wie Raumladungszonen und deren Veränderung mit zunehmender Spannung. Der ballistische Elektronentransport durch den Kanal war ebenfalls
ersichtlich.
Nicht gezeigt werden konnten zusätzliche Effekte, die aus Trägheit der
Elektronen resultieren. Es ist unphysikalisch, wenn der Elektronenstrom unmittelbar auf Veränderung der treibenden Kräfte reagiert.
5.1
Verbesserungsvorschläge
Einer Simulation mit dem DDM fehlen physikalisch relevante Effekte wie
Trägheit der Elektronen und nicht-lineares Verhalten. Es wäre deshalb wünschenswert die Simulation mit einem umfassenderen physikalischen Modell
zu erweitern.
Die Lösung des stationären Zustands liesse sich auch räumlich numerisch
lösen. Durch lösen der stationären DDM-Gleichungen.
Um die Poissongleichung zu lösen existieren viele potente, schnelle Algorithmen, insbesondere der M ultigrid-Algorithmus. Die Umsetzung dieses
Verfahrens würde feinere Gitterstrukturen ermöglichen, bei gleicher Rechenzeit.
Die Implementierung einer offenen Geometrieschnittstelle würde die Möglichkeit eröffnen, Simulationen an verschiedenen Entwürfen durchzuführen
und so Geometrien miteinander zu vergleichen. Besonders bei einer Anwen19
Velocity (x comp), cut y=0.2um along x, different bias
20000
0
[ms^(-1)]
-20000
-40000
-60000
-80000
0 mV
50mV
100mV
250mV
500mV
1000mV
2000mV
-100000
-120000
0
1e-07
2e-07
3e-07
x [m]
4e-07
5e-07
6e-07
Abbildung 9: Elektronengeschwindigkeit, x-Komponente
dung einer solchen Simulation in der Entwicklung wäre das notwendig.
Die programmiertechnische Umsetzung zeigt, besonders im Speichermanagement, noch Verbesserungspotential.
Eine Erweiterung auf p-Dotierung würde Simulationen mit Verarmungszonen ermöglichen und damit das Spektrum simulierbarer Halbleiter wesentlich erweitern.
Literatur
[1] Aste A, Vahldieck R. Time-domain simulation of the full hydrodynamic
model. Int. J. Numer. Model. 2003; 16:161-174
[2] Bruus H, Flensberg K. Many-Body Quantum Theory in Condensed Matter Physics. Oxford University Press 2004
[3] Schwarz H-R, Köckler N. Numerische Mathematik. Teubner Verlag
Wiesbaden 2004
[4] Ashcroft N W, Mermin N D. Festkörperphysik. Oldenbourg (2005)
[5] Ioffe Institue Physical Properties Of Semiconductors. http://www.
ioffe.ru/SVA/NSM/Semicond/index.html St. Petersburg (2007)
20
Abbildung 10: Stromdichteverteilung, 2V, Vektorplot, Konturen des Betrags
Effective Charge Carrier Density, bias 0.5V
256
128
64
1e+23
n_eff [m^(-3)]
0
-1e+23
-2e+23
-3e+23
-4e+23
1.5e-07
2e-07
2.5e-07
3e-07
x [m]
3.5e-07
4e-07
4.5e-07
Abbildung 11: Effektive Ladungsträgerdichte, verschiedene Gitter, 0.5V. Die
Punkte bei 128 und 256 wurden aus Gründen der Lesbarkeit weggelassen
21
Electrical Field [V/m], x component, bias 0.5V
6e+06
256
128
64
5e+06
4e+06
3e+06
Ex [V/m]
2e+06
1e+06
0
-1e+06
-2e+06
-3e+06
-4e+06
0
1e-07
2e-07
3e-07
x [m]
4e-07
5e-07
6e-07
Abbildung 12: Elektrisches Feld, x-Komponente, verschiedene Gitter, 0.5V
N_Defect/N, bias 0.5V
1e-04
256
128
64
1e-05
1e-06
1e-07
1e-08
1e-09
1e-10
1e-11
1e-12
0
2e-12
4e-12
6e-12
8e-12
Time [s]
1e-11
1.2e-11
1.4e-11
1.6e-11
Abbildung 13: δN/N für verschiedene Gitter, 0.5V. Logarithmische Darstellung des Absolutbetrags
22
Accuracy of Gauss-Seidel relaxation
1e-05
256
128
64
1e-06
1e-07
1e-08
1e-09
1e-10
1e-11
0
2e-12
4e-12
6e-12
8e-12
Time [s]
1e-11
1.2e-11
1.4e-11
1.6e-11
Abbildung 14: Relaxation, verschiedene Gitter, 0.5V, RMS-Wert. Der Wert
steht für die Veränderung des Potentials an der entsprechenden Stelle im
nächsten Iterationsschritt.
23
Poisson Residue: (eps/e)*LAPLACE(PHI) + n_eff
6.5e+20
256
128
64
6e+20
5.5e+20
Delta_RHO [m^(-3)]
5e+20
4.5e+20
4e+20
3.5e+20
3e+20
2.5e+20
2e+20
0
2e-12
4e-12
6e-12
8e-12
Time [s]
1e-11
1.2e-11
1.4e-11
1.6e-11
Abbildung 15: Poisson Residue, verschiedene Gitter, 0.5V. Interpretiert als
Ladungsdichte: δρ = ε∇2 Φ + ρ zum besseren Grössenvergleich, RMS-Wert
24