Zentrale Begriffe in der Stochastik

Zentrale Begriffe in der Stochastik
Zentrale Begriffe in der Stochastik
Stochastik
Der Begriff hat seinen Ursprung im Altgriechischen; „stochos“ bedeutet Vermutung.
Stochastik umfasst die Bereiche Kombinatorik, Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische
Statistik.
Merkmal
Wenn man zum Beispiel eine Umfrage bei den Schülerinnen und Schülern einer Schule zum
beliebtesten Fußballverein durchführt, ist das betrachtete Merkmal dieser Befragung
„Lieblingsfußballverein“.
Das Merkmal hat als Merkmalsausprägungen die unterschiedlichen Fußballvereine wie zum Beispiel
„FC Schalke 04“.
Die Grundgesamtheit setzt sich aus den Schülerinnen und Schülern der Schule zusammen, die die
Merkmalsträger bilden.
Jedem Element der Grundgesamtheit wird also genau eine Ausprägung des betrachteten Merkmals
zugeordnet; ein Merkmal ist eine Variable.
Merkmalsausprägung
Wenn man kleine und große rote Kugeln betrachtet, dann haben die roten Kugeln zwei verschiedene
Merkmalsausprägungen: groß und klein. Das betrachtete Merkmal ist hier die Größe der roten
Kugeln. Die Merkmalsausprägungen bei der Betrachtung eines Merkmals (Größe von roten Kugeln)
bilden also seine möglichen Ergebnisse (groß, klein). Merkmalsträger sind hier die roten Kugeln.
Grundgesamtheit
Die Grundgesamtheit bezüglich eines Merkmals ist die Menge aller Träger dieses Merkmals, also der
Merkmalsträger.
Wenn man bei einer statistischen Erhebung die Haarfarbe der Europäer untersuchen möchte, bilden
alle Menschen Europas die Grundgesamtheit. Das betrachtete Merkmal ist die Haarfarbe, die
Merkmalsausprägungen sind Blond, Braun, Schwarz, Rot und Grau und die Merkmalsträger bilden die
Europäer.
1 von 1
Ergebnismenge
Die Menge aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperimentes nennt man Ergebnismenge.
Beim Würfeln mit einem sechsflächigen Würfel bilden die möglichen Ergebnisse die Augenzahlen 1, 2,
3, 4, 5, und 6. Die Ergebnismenge besteht also hier aus sechs Elementen und ist S = {1, 2,3, 4,5, 6} .
Ereignis
Ergebnisse eines Zufallsexperimentes kann man zu einem Ereignis zusammenfassen. Ein Ereignis ist
also das Resultat eines Zufallsexperimentes.
Ein Beispiel für ein Ereignis beim Zufallsexperiment „Würfeln mit einem sechsflächigen Würfel“ ist
„Würfeln einer geraden Augenzahl“.
Das Gegenereignis umfasst die Ergebnisse eines Zufallsexperimentes, die nicht zu dem betrachteten
Ereignis gehören.
Das Gegenereignis von „Würfeln einer geraden Augenzahl“ ist „Würfeln einer ungeraden Augenzahl“.
Absolute Häufigkeit
Die absolute Häufigkeit einer Merkmalsausprägung ist die Anzahl der Merkmalsträger, die die
betrachtete Merkmalsausprägung haben.
Wenn man bei einer statistischen Erhebung die Haarfarbe der Europäer untersuchen möchte, bilden
die europäischen Personen die Merkmalsträger. Das betrachtete Merkmal ist die Haarfarbe mit der
Merkmalsausprägung Blond. In diesem Beispiel ist die absolute Häufigkeit also die Anzahl der blonden
Europäer.
Relative Häufigkeit
Die relative Häufigkeit einer Merkmalsausprägung ist der Anteil der Merkmalsträger mit der
betrachteten Merkmalsausprägung in der Grundgesamtheit.
absolute Häufigkeit
relative Häufigkeit =
Anzahl der Merkmalsträger der
Grundgesamtheit
Relative Häufigkeiten werden als Prozentzahlen, Bruchzahlen oder Dezimalbrüche angegeben.
Wenn man bei einer statistischen Erhebung die Haarfarbe der Europäer untersuchen möchte, bilden
die europäischen Personen die Merkmalsträger. Das betrachtete Merkmal ist die Haarfarbe mit der
Merkmalsausprägung Blond. In diesem Beispiel ist die relative Häufigkeit also der Anteil der blonden
Personen unter den Europäer.
Stichprobe
Gesetz der großen Zahlen
Eine Stichprobe einer Grundgesamtheit umfasst Elemente aus der Grundgesamtheit. Eine Stichprobe
sollte möglichst gut die zugehörige Grundgesamtheit repräsentieren, so dass der Schluss von einer
Stichprobe auf die Grundgesamtheit sinnvoll ist. Der Umfang der Stichprobe darf nicht zu klein sein und
die Elemente der Stichprobe müssen geeignet aus der Grundgesamtheit entnommen werden.
Möchte man zum Beispiel Aussagen über die Haarfarbe von Europäern ermitteln, ist die Stichprobe aus
möglichst allen europäischen Ländern unter Berücksichtigung der Einwohnerzahlen zu ziehen.
Zufallsexperiment
Ein Zufallsexperiment ist ein beliebig oft wiederholbarer Vorgang, bei dem die Ergebnisse vom Zufall
abhängen.
Bei einem Laplace-Experiment sind die möglichen Versuchsausgänge eindeutig bestimmt und alle
Ergebnisse gleich wahrscheinlich.
Beispiele bilden das Werfen einer (idealen) Münze und eines (idealen) typischen sechsflächigen
Spielwürfels.
Gegenbeispiele bilden das Werfen einer Kugel und das Werfen einer Reißzwecke.
Das empirische Gesetz der großen Zahlen besagt, dass sich die relativen Häufigkeiten eines
Ereignisses an die Wahrscheinlichkeit des betrachteten Ereignisses annähern, wenn ein
Zufallsexperiment häufig wiederholt wird.
Laplace-Regel
Die Laplace-Regel besagt, dass die möglichen Ergebnisse eines Laplace-Experimentes gleich
wahrscheinlich sind.
Beim Würfeln mit einem sechsflächigen Würfel bilden die möglichen Ergebnisse die Augenzahlen 1, 2,
3, 4, 5, und 6.
1
gewürfelt zu
Nach der Laplace-Regel hat jede Augenzahl A die gleiche Wahrscheinlichkeit P(A) =
6
werden.
Wahrscheinlichkeit
Zentrale Begriffe in der Stochastik
Die Wahrscheinlichkeit P(E) eines Ereignisses E bei einem Laplace-Experiment ist :
Anzahl der zu E gehörenden Ergebnisse
P(E) =
Anzahl der möglichen Ergebnisse
3 1
P(E) = P ( 2 ) + P ( 4 ) + P ( 6 ) = = = 0,5 = 50%
6 2
Die Wahrscheinlichkeit nimmt Zahlen im Bereich zwischen 0 und 1 an; P(E) = 0 bezeichnet das
Urnenmodell
unmögliche Ereignis, P(E) = 1 steht für das sichere Ereignis.
Beim Würfeln mit einem sechsflächigen Würfel bilden die möglichen Ergebnisse die Augenzahlen 1, 2,
3, 4, 5, und 6.
1
Betrachtet man das Ereignis A=6 „Die Augenzahl ist 6“, gilt: P(A = 6) =
.
6
Die Gegenwahrscheinlichkeit eines Ereignisses E ist P(E) = 1 − P(E) .
Für das oben genannte Beispiel gilt für das Gegenereignis: „Die Augenzahl ist nicht 6“:
1 5
P(A = 6) = 1 − P(A = 6) = 1 − =
6 6
2 von 2
Das Urnenmodell ist eine Form der Darstellung von Zufallsexperimenten und ermöglicht ihre
Simulation. Eine Urne mit n Kugeln repräsentiert ein Laplace-Experiment mit n Ergebnissen. Häufig
bildet die Kugelfarbe oder die Kugelnummer das betrachtete Merkmal. Das Modell kann zwei
unterschiedliche Formen der Ziehung veranschaulichen:
Ziehen mit Zurücklegen und Ziehen ohne Zurücklegen.
Ein typisches Beispiel für die Anwendung dieses Modells ist das Zahlenlotto mit der Spielformel „6 aus
49“.
Summenregel
Bei einem Laplaceschen Zufallsexperiment wird das Ereignis E, das mehrere Ergebnisse a1, a2, a3, …,
ak umfasst, betrachtet. Hier gilt die Summenregel: Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E stimmt mit
der Summe der Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Ergebnisse überein.
P(E) = P(a1) + P(a2) + P(a3) + ... + P(ak)
Die Wahrscheinlichkeit P(E) eines Ereignisses E bei einem Laplace-Experiment ist :
Anzahl der zu E gehörenden Ergebnisse
P(E) =
Anzahl der möglichen Ergebnisse
Beispiel: Beim Würfeln mit einem sechsflächigen Würfel bilden die möglichen Ergebnisse die
Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5, und 6.
Betrachtet man das Ereignis E „Würfeln einer geraden Augenzahl“; also mit a1 „2“, a2 „4“ und a3 „6“
gilt:
3 1
P(E) = P ( 2 ) + P ( 4 ) + P ( 6 ) = = = 0,5 = 50%
6 2
Kreisdiagramm
Kreisdiagramme werden zur grafischen Darstellung von Häufigkeitsverteilungen verwendet. Dabei
wird jede Merkmalsausprägung durch einen Kreissektor veranschaulicht. Die Mittelpunktswinkel der
Kreissektoren repräsentieren die relativen Häufigkeiten der einzelnen Ausprägungen.
Modell Wahrscheinlichkeitsbaum
Bei einem mehrstufigen Zufallsexperiment stellt das Modell des Wahrscheinlichkeitsbaumes die
möglichen Ergebnisse des Zufallsexperimentes dar; die Wahrscheinlichkeiten werden an den
zugehörigen Ästen angegeben.
Es gelten die Pfadregeln:
Die Pfadmultiplikationsregel besagt, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses das Produkt aus
den Wahrscheinlichkeiten des zugehörigen Pfades im Wahrscheinlichkeitsbaum ist.
Die Pfadadditionsregel besagt, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, dass sich aus mehreren
Ergebnissen zusammensetzt, die Summe der Pfadwahrscheinlichkeiten im Wahrscheinlichkeitsbaum
ist.
Beispiel: Beim Würfeln mit einem sechsflächigen Würfel bilden die möglichen Ergebnisse die
Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5, und 6.
Betrachtet man das Ereignis E „Würfeln einer Primzahl“; also mit a1 „2“, a2 „3“ und a3 „5“ gilt:
Säulendiagramme werden zur grafischen Darstellung von Häufigkeitsverteilungen verwendet. Das
Säulendiagramm ist also ein Modell, das für die grafische Darstellung von Ergebnissen aus
statistischen Untersuchungen geeignet ist. Gleich breite, nebeneinander stehende Rechtecke
repräsentieren die betrachteten Merkmale; die Rechteckhöhen entsprechen den absoluten oder
relativen Häufigkeiten der Ausprägungen der jeweiligen Merkmale.