Auf- und Entladen eines Kondensators

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Auf- und Entladen eines Kondensators
Differentialgleichung 1. Ordnung, homogen und inhomogen
Gegeben sei die folgende Schaltung:
Darin ist U eine konstante Spannung, R der Widerstand und C der Kondensator.
Wir betrachten sowohl den Fall, dass zum Zeitpunkt t = 0 der Kondensator leer und U >0 ist,
d.h. der Kondensator wird geladen, als auch den Fall, dass bei t = 0 der Kondensator mit der
Spannung UC geladen und U = 0 ist. Letzteres bedeutet, dass die beiden Anschlüsse
kurzgeschlossen sind und der Kondensator sich entlädt.
Es gelten folgende Gleichungen:
Für den Widerstand:
umgeformt
Für den Kondensator
umgeformt
Darin ist I der Strom, der sowohl für den Widerstand als auch für den Kondensator gleich ist.
Des Weiteren gilt:
Für den Fall, dass U = 0 ist, wird
1
und wir erhalten aus den beiden I-Gleichungen
Durch Trennung der Variablen erhalten wir
Die allgemeine Lösung der Integration lautet
Nach Einführen der Randbedingungen erhalten wir
Umformen ergibt
bzw.
Das ist die Funktion der Kondensatorentladung. Darin ist RC die Zeitkonstante τ, d.h. das
Produkt RC hat die Einheit einer Zeit.
2
Ist U nicht 0, stellt sich die obige Gleichung wie folgt dar
Umgeformt erhalten wir
Durch Integration erhalten wir die allgemeine Lösung
Durch Einführung der Randbedingungen UC = 0 für t = 0, erhalten wir
Aufgelöst
umgeformt
und
und
Das ist die Funktion der Kondensatoraufladung. Für t = 0 wird die e-Funktion = 1, damit die
Klammer = 0 und somit UC = 0.
Ergebnisse:
3
Auf- und Entladen eines Kondensators, analytisch und numerisch (Euler, EloSim.xlsm)
Fragen und Antworten:
Was geschieht, wenn man einen Kondensator ohne Widerstand an eine Spannung
anschließt? Zu Beginn wirkt der Kondensator wie ein Kurzschluss. Es fließt daher ein
maximaler Strom. Der Widerstand ergibt sich aus dem inneren Widerstand der
Spannungsquelle sowie dem Widerstand der Zuleitungen und im Kondensator selbst.
Was geschieht, wenn man einen geladenen Kondensator mit einem Draht überbrückt? Auch
hier fließt zu Beginn ein maximaler Strom. Der Widerstand ergibt sich aus dem Widerstand
der Drähte und im Kondensator selbst.
Wie entlädt man in der Praxis einen Kondensator? Indem man ihn über einen Widerstand
entlädt.
Was ist die Anwendung von Kondensatoren? Glätten von Spannungen bei Netzgeräten,
Funkenlöschen bei Spulen (Relais), Erzeugen von Hochspannung (Tesla), Übertragen von
Wechselspannung, Schwingkreise, Phasenverschieben bei Motoren.
Wolfgang Schmidt
Juni 2015
4
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