Auf- und Entladen eines Kondensators Differentialgleichung 1. Ordnung, homogen und inhomogen Gegeben sei die folgende Schaltung: Darin ist U eine konstante Spannung, R der Widerstand und C der Kondensator. Wir betrachten sowohl den Fall, dass zum Zeitpunkt t = 0 der Kondensator leer und U >0 ist, d.h. der Kondensator wird geladen, als auch den Fall, dass bei t = 0 der Kondensator mit der Spannung UC geladen und U = 0 ist. Letzteres bedeutet, dass die beiden Anschlüsse kurzgeschlossen sind und der Kondensator sich entlädt. Es gelten folgende Gleichungen: Für den Widerstand: umgeformt Für den Kondensator umgeformt Darin ist I der Strom, der sowohl für den Widerstand als auch für den Kondensator gleich ist. Des Weiteren gilt: Für den Fall, dass U = 0 ist, wird 1 und wir erhalten aus den beiden I-Gleichungen Durch Trennung der Variablen erhalten wir Die allgemeine Lösung der Integration lautet Nach Einführen der Randbedingungen erhalten wir Umformen ergibt bzw. Das ist die Funktion der Kondensatorentladung. Darin ist RC die Zeitkonstante τ, d.h. das Produkt RC hat die Einheit einer Zeit. 2 Ist U nicht 0, stellt sich die obige Gleichung wie folgt dar Umgeformt erhalten wir Durch Integration erhalten wir die allgemeine Lösung Durch Einführung der Randbedingungen UC = 0 für t = 0, erhalten wir Aufgelöst umgeformt und und Das ist die Funktion der Kondensatoraufladung. Für t = 0 wird die e-Funktion = 1, damit die Klammer = 0 und somit UC = 0. Ergebnisse: 3 Auf- und Entladen eines Kondensators, analytisch und numerisch (Euler, EloSim.xlsm) Fragen und Antworten: Was geschieht, wenn man einen Kondensator ohne Widerstand an eine Spannung anschließt? Zu Beginn wirkt der Kondensator wie ein Kurzschluss. Es fließt daher ein maximaler Strom. Der Widerstand ergibt sich aus dem inneren Widerstand der Spannungsquelle sowie dem Widerstand der Zuleitungen und im Kondensator selbst. Was geschieht, wenn man einen geladenen Kondensator mit einem Draht überbrückt? Auch hier fließt zu Beginn ein maximaler Strom. Der Widerstand ergibt sich aus dem Widerstand der Drähte und im Kondensator selbst. Wie entlädt man in der Praxis einen Kondensator? Indem man ihn über einen Widerstand entlädt. Was ist die Anwendung von Kondensatoren? Glätten von Spannungen bei Netzgeräten, Funkenlöschen bei Spulen (Relais), Erzeugen von Hochspannung (Tesla), Übertragen von Wechselspannung, Schwingkreise, Phasenverschieben bei Motoren. Wolfgang Schmidt Juni 2015 4