Laden und Entladen eines Kondensators

Laden und Entladen eines Kondensators
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R
C
•
1. Ladevorgang
Zunächst wird der Schalter umgelegt, so dass die Spannungsquelle angeschlossen ist. Dabei wird der
U
Kondensator als kurzgeschlossen betrachtet, so dass der Ladestrom I 0 = R0 im Augenblick des
Einschaltens fließt. Stellen wir die Energiebilanz auf.
Der Energieerhaltungssatz liefert
EC (t ) + ER (t ) + EBatt (t ) = 0.
Durch Differenzieren erhalten wir den Energiestrom. Beachte, dass in der Spannungsquelle der
Energiestrom in die umgekehrte Richtung strömt (aktive Quelle). Also
Eɺ C (t ) + Eɺ R (t ) + Eɺ Batt (t ) = 0 ⇔ CU C (t )Uɺ C (t ) + U R (t ) I R (t ) − U 0 I R (t ) = 0
Qɺ (t )
⇔ Q (t ) C + RI R2 (t ) − U 0 I R (t ) = 0
⇔
( QC(t ) + RI (t ) −U ) I (t ) = 0.
0
R
R
Diese letzte Gleichung gilt nach dem Einschalten für alle Zeiten. Folglich muss die Klammer für alle
Zeiten verschwinden. Dies erzwingt nach nochmaligem Differenzieren der Klammer
1 I (t ) ≡ 0.
I (t ) + RCIɺ(t ) ≡ 0 ⇔ Iɺ(t ) + RC
1 t
− RC
Eine Lösung ist I (t ) = I 0 e
1 t
− RC
U R (t ) = U 0 e
, wobei RI 0 = U 0 . Für die Spannung über den Widerstand folgt
und damit die Spannung über den Kondensator nach Kirchhoff (Maschenregel)
U 0 = U C (t ) + U R (t ) :
(
1 t
− RC
U C (t ) = U 0 1 − e
).
Diese Gleichung soll nun direkt hergeleitet werden. Dazu betrachten wir noch einmal die Gleichung
CU C (t )Uɺ C (t ) + U R (t ) I R (t ) − U 0 I R (t ) = 0.
Beschreiben wir den Ladungsstrom durch die Spannung am Widerstand.
1 U (t )U (t ) − 1 U U (t ) = 0 ⇔ U (t )Uɺ (t ) + 1 U (t ) (U (t ) − U ) = 0
CU C (t )Uɺ C (t ) + R
R
R
C
C
R
0
R 0 R
CR R
1
Nun gilt aber nach Kirchhoff (Maschenregel) U 0 = U C (t ) + U R (t ). Eliminieren wir U R (t ) , so folgt
(
)
1 (U (t ) − U )U (t ) = 0 ⇔ Uɺ (t ) + 1 (U (t ) − U ) U (t ) = 0.
U C (t )Uɺ C (t ) + CR
C
0
C
C
0
C
RC C
1 (U (t ) − U ) = 0.
Wieder muss die Klammer für alle Zeiten verschwinden. Folglich gilt Uɺ C (t ) + RC
C
0
Wir erhalten eine inhomogene DGL 1. Ordnung,
1 U (t ) = 1 U .
Uɺ C (t ) + RC
C
RC 0
(
1 t
− RC
Die Überprüfung mit der Lösung U C (t ) = U 0 1 − e
) zeigt, dass diese DGL auch richtig ist.
2. Entladevorgang
Der Kondensator ist aufgeladen und besitzt das Potentialgefälle U C = U 0 . Zum Entladen wird der
Schalter wieder umgelegt, damit sich das Potentialgefälle über den Widerstand ausgleichen kann. Es
gilt somit nach dem Energieerhaltungssatz
EC (t ) + ER (t ) = 0.
Durch Differenzieren erhalten wir wieder den Energiestrom. Also
1 U 2 (t ) = 0
Eɺ C (t ) + Eɺ R (t ) = 0 ⇔ CU C (t )Uɺ C (t ) + U R (t ) I R (t ) = 0 ⇔ CU C (t )Uɺ C (t ) + R
R
(
)
1 U 2 (t ) = 0 ⇔ Uɺ (t ) + 1 U (t ) U (t ) = 0.
⇔ CU C (t )Uɺ C (t ) + R
C
C
C
CR C
Außerdem haben wir Kirchhoff U C (t ) + U R (t ) = 0 bemüht. Wir erhalten die DGL
1 U (t ) = 0
Uɺ C (t ) + CR
C
mit der Lösung
1 t
− RC
U C (t ) = U 0 e
.
Aus dieser Lösung erhält man leicht das Potentialgefälle am Widerstand und über Ohm den
Entladestrom. Dies überlasse ich als Übungsaufgabe.
Nachbetrachtung
Die Annahme, dass der Kondensator einen Kurzschluss im Augenblick des Einschaltens darstellt, ist
natürlich nicht gerechtfertigt. Begründet wird er durch einen sogenannten „Verschiebungsstrom“,
der in Ermangelung des Verstehens eingeführt wurde und noch heute durch die Physikvorlesungen
und –bücher geistert und sein Unwesen treibt. Da ein Ladungsstrom niemals direkt gemessen
werden kann, ist auch die DGL des Energiestroms nur von theoretischer Bedeutung. Selbst bei einem
Kondensator ohne Dielektrikum in Vakuum beobachten wir einen solchen Ladevorgang.
Möglicherweise findet eine Wechselwirkung mit dem Raum statt. Leider bis heute noch nicht
erforscht. Normalerweise sollte der Kondensator „sofort“ die Spannung U 0 und damit das volle
elektrische Feld tragen, da sich das elektrische Feld längs (also außerhalb) der Leitung mit
Lichtgeschwindigkeit ausbreitet. In der Energiebilanz des Ladens und Entladens wird grundsätzlich
die Energie 1 CU im Widerstand in Wärme verbrannt. Ohne Widerstand wird es komplizierter.
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