Profitmaximierung

Profitmaximierung
3. Juni 2016
Profitmaximierung
2 alternative Ansätze:
direkte Bestimmung der profitmaximierenden Werte der Inputs
direkte Bestimmung des profitmaximierenden Werts des Outputs
Betrachten Firmen, welche Preisnehmer am Gütermarkt sind.
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Direkte Bestimmung der profmaximierenden Werte der
Inputs
Profit = Erlös - Kosten
Erlös = pf (z)
Kosten = w · z
Der Inputvektor z ∗ maximiert den langfristigen Profit für eine gegebene
Kombination (p, w ), wenn dieser eine Lösung des folgenden Problems ist:
pf (z) − w · z.
max
z≥0
Bedingungen erster Ordnung:
p
∗
zi
"
p
∂f z ∗
∂zi
∂f z ∗
∂zi
∗
≤ wi ,
i = 1, . . . , m,
#
− wi
zi ≥ 0,
= 0,
i = 1, . . . , m,
i = 1, . . . , m,
Wenn die Produktionsfunktion konkav ist, dann sind die notwendigen
Optimalitätsbedingungen auch hinreichend.
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innere Lösung z ∗ 0:
p
∂f (z ∗ )
= wi ,
∂zi
i = 1, . . . , m,
notwendige Bedingung für ein Profitmaximum: die Grenzproduktivitäten
aller Faktoren stimmen mit ihren jeweiligen realen Faktorpreisen überein:
wi
∂f (z ∗ )
= ,
∂zi
p
i = 1, . . . , m,
wi /p beschreibt den realen Preis des Faktors i
∂f (z ∗ )
wl
∂zl
,
=
∂f (z ∗ )
wj
∂zj
Profitmaximierung impliziert Kostenminimierung (Kostenminimierung ist
eine notwendige, aber nicht hinreichende Voraussetzung für
Profitmaximierung)
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Faktornachfragekorrespondenz z (p, w ) ordnet jeder Kombination (p, w )
mit p > 0 und w 0 die entsprechende Menge der den langfristigen
Profit maximierenden Faktorkombinationen zu.
langfristige Profitmaximierungsproblem für alle (p, w ) mit p > 0 und
w 0 hat eindeutige Lösung, so wird z (p, w ) als
Faktornachfragefunktion bezeichnet.
langfristige Güterangebotskorrespondenz q (p, w ): ordnet jeder
Kombination (p, w ) mit p > 0 und w 0 die entsprechende Menge der
den langfristigen Profit maximierenden Produktionsmengen q ∗ = f (z ∗ )
zu.
Bei einer eindeutigen Lösung wird q (p, w ) als Güterangebotsfunktion
bezeichnet.
langfristige Profitfunktion π(p, w ): Wertfunktion des langfristigen
Profitmaximierungsproblems
π(p, w ) = max [pf (z) − w · z]
z≥0
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Nicht immer existiert eine Lösung des Profitmaximierungsproblems!
Wenn die Produktionsfunktion die globale Eigenschaft zunehmender
Skalenerträge aufweist:
f (τ z) > τ f (z)
für alle τ > 1 und alle z
dann existiert keine profitmaximierende Faktorkombination.
Beweis:
Angenommen ẑ sei ein profitmaximierender Inputvektor für die Kombination (p, w ).
Ein alternativer Inputvektor sei: τ ẑ mit τ > 1.
Man kann zeigen, dass der Inputvektor τ ẑ einen höheren Profit ergibt als ẑ
pf (τ ẑ) − w · τ ẑ > pτ f (ẑ) − w · τ ẑ = τ [pf (ẑ) − w · ẑ] > pf (ẑ) − w · ẑ
Somit kann ẑ nicht eine profitmaximierende Faktorkombination sein.
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Wenn die Produktionsfunktion die globale Eigenschaft konstanter
Skalenerträge aufweist, d.h.
f (τ z) = τ f (z)
für alle τ > 0 und alle z,
so gilt: Wenn das Profitmaximierungsproblem eine Lösung aufweist, dann
ist die Lösung nicht eindeutig und jeder profitmaxierenden
Faktorkombination entspricht ein Profit in Höhe von Null, d.h. der
gesamte Erlös wird für die Entlohnung der Produktionsfaktoren zu
Marktpreisen verwendet.
Beweis: Übungen
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Beispiel:
Produktionsfunktion vom verallgemeinerten Cobb-Douglas Typ (A = 1):
q = z1α z2β ,
α > 0, β > 0
Gewinn G :
G = pz1α z2β − w1 z1 − w2 z2
Es gilt: Der Gewinn ist für α + β < 1 eine strikt konkave Funktion von z1 und z2 und
für α + β = 1 eine konkave Funktion von z1 und z2 . D.h. die notwendigen
Bedingungen sind für α + β ≤ 1 auch hinreichend.
Beweis: Hessesche Matrix des Gewinns in Bezug auf z1 und z2 ist negativ definit
(negativ semidefinit) für α + β < 1 (α + β = 1).
für α + β < 1 gilt:
Faktornachfragefunktion:
α1−β β β p
z1∗ = z1 (p, w ) =
z2∗
w11−β w2β
= z2 (p, w ) =
!1/(1−α−β)
αα β 1−α p
w1α w21−α
1/(1−α−β)
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langfristige Güterangebotsfunktion:
q
∗
= q (p, w ) =
αα β β p α+β
!1/(1−α−β)
β
w1α w2
langfristige Profitfunktion
G
∗
= π (p, w ) = (1 − α − β)
αα β β p
!1/(1−α−β)
β
w1α w2
Für die Elastizitäten der Faktornachfragefunktionen z1 (p, w ), z2 (p, w ), der langfristigen Güterangebotsfunktion
q (p, w ) und der langfristigen Profitfunktion π (p, w ) gilt:
ε (z1 , p) =
∂z1 p
∂p z1
ε (z1 , w1 ) = −
ε (z2 , w1 ) = −
ε (q, p) =
ε (π, p) =
α+β
1−α−β
1
1−α−β
=
1
1−α−β
1−β
1−α−β
α
1−α−β
>0
ε (z2 , p) =
<0
ε (z1 , w2 ) = −
<0
ε (z2 , w2 ) = −
>0
ε (q, w1 ) = −
>0
ε (π, w1 ) = −
α
1−α−β
α
1−α−β
1
1−α−β
β
1−α−β
1−α
1−α−β
>0
<0
<0
β
<0
ε (q, w2 ) = −
<0
ε (π, w2 ) = −
1−α−β
β
1−α−β
<0
<0
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Direkte Bestimmung des profmaximierenden Werts des
Outputs
langfristige Gewinnmaximierungsproblem einer Firma:
max [pq − c (q)] .
q≥0
kurzfristige Gewinnmaximierungsproblem einer Firma:
max [pq − c s (q)] .
q≥0
Anmerkung: die Abhängkigkeit der Kostenfunktionen von den
Faktorpreisen bzw. den Faktorpreisen und den fixen Faktoren (im
Fall der kurzfristigen Kostenfunktion) wurden unterdrückt.
Annahme: Die Firma verhält sich daher als Preisnehmer und
Mengenanpasser.
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langfristige Gewinnmaximierung
für das lokales Maximum q ∗ gilt:
dc (q ∗ )
≤ 0,
dq
dc (q ∗ )
= 0,
q∗ p −
dq
p−
q ∗ ≥ 0.
alternativ:
p − MC (q ∗ ) ≤ 0,
q ∗ [p − MC (q ∗ )] = 0,
q ∗ ≥ 0.
Wenn die Kostenfunktion c (q) konvex in q ist (und daher der Gewinn
konkav in q ist), dann sind die notwendigen Bedingungen auch
hinreichend.
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innere Lösung: Grenzerlös = Grenzkosten
p = MC (q ∗ )
Bedingung zweiter Ordnung:
d 2 c (q ∗ )
= MC 0 (q ∗ ) > 0
dq 2
(P2)
langfristigen Gewinnmaximierung: Die Firma produziert wenn der Preis
oberhalb der langfristigen Durchschnittskosten liegt. Gilt:
Stückerlös =
p < min AC (q)
q
= Stückkosten
so ist es optimal für die Firma q ∗ = 0 zu setzen.
kurzfristige Gewinnmaximierung: Die Firma produziert wenn der Preis
oberhalb der variablen Durchschnittskosten liegt. Gilt:
p < min AVC s (q)
q
so ist es optimal für die Firma q ∗ = 0 zu setzen.
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Kurzfristige Gewinnmaximierung (Pindyck und Rubinfeld, Kapitel 8)
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Langfristige Gewinnmaximierung (Pindyck und Rubinfeld, Kapitel 8)
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Beispiel: Verallgemeinerte Cobb-Douglas Produktionsfunktion
q = x1α x2β ,
α, β > 0
langfristige Kostenfunktion:
c (q) = (α + β)
w1α w2β
αα β β
!1/(α+β)
q 1/(α+β)
langfristiger Gewinn:
G (q) = pq − (α + β)
dG (q)
dq
d 2 G (q)
dq 2
=−
β
=p−
w1α w2
w1α w2β
αα β β
!1/(α+β)
q 1/(α+β)
!1/(α+β)
q
αα β β
β
1−α−β
w1α w2
α+β
αα β β
(1−α−β)/(α+β)
!1/(α+β)
q
(1−2α−2β)/(α+β)
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inneres lokales Extremum:
q
G q
∗
α+β <1⇒
α+β >1⇒
∗
=
αα β β p α+β
β
w1α w2
= (1 − α − β)
d 2 G (q)
dq 2
d 2 G (q)
dq 2
!1/(1−α−β)
αα β β p
!1/(1−α−β)
β
w1α w2
<0
für alle q > 0 ⇒
>0
für alle q > 0 ⇒
d 2 G q∗
<0
dq 2
d 2 G q∗
dq 2
>0
Wenn α + β < 1, dann ist die Gewinnfunktion G (q) strikt konkav
in q und nimmt bei q = q ∗ ihr absolutes Maximum an.
Wenn α + β > 1, dann ist die Gewinnfunktion G (q) strikt konvex in
q und nimmt bei q = q ∗ ihr absolutes Minimum an.
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Für α + β < 1 gilt:
langfristige Güterangebotsfunktion
∗
q = q (p, w ) =
αα β β p α+β
!1/(1−α−β)
w1α w2β
langfristige Profitfunktion
∗
G = π (p, w ) = (1 − α − β)
αα β β p
!1/(1−α−β)
w1α w2β
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Für α + β = 1 gilt:
c (q)
=
G (q)
=
dG (q)
dq
d 2 G (q)
dq 2
w1α w21−α
!
αα (1 − α)1−α
p−
=
p−
=
0
q
w1α w21−α
αα
(1 −
!
α)1−α
w1α w21−α
αα (1 − α)1−α
q
für q ≥ 0
für q ≥ 0
Der Gewinn G (q) ist linear in q, daher muß zwischen den drei folgenden Fällen unterschieden werden:
w1α w21−α
αα (1 − α)1−α
w1α w21−α
α
α (1 − α)1−α
w1α w21−α
αα (1 − α)1−α
<
p
=
p
>
p
Bestimmung des optimalen Angebot q: Übungen
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Beispiel: Henderson und Quandt, S. 89 (kurzfristige Kostenfunktion,
welche Fixkosten inkludiert!)
G (q, p) = pq − 0.04q 3 − 0.9q 2 + 10q + 5
s
MC (q)
=
ATC (q)
s
=
s
=
AVC (q)
dc s (q)
2
= 0.12q − 1.8q + 10
dq
c s (q)
q
cvs (q)
q
2
= 0.04q − 0.9q + 10 +
5
q
2
= 0.04q − 0.9q + 10
Bedingung erster Ordnung für lokales Gewinnmaximium
MC
für p >
39
12
s
q
∗
2
= 0.12q − 1.8q + 10 = p
= 3.25 gilt:
q1 (p)
=
q2 (p)
=
15
5p
12p − 39
6
5p
−
12p − 39
2
6
2
15
+
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Unter Verwendung von
MC
s 0
(q) =
d 2 c s (q)
dq 2
= 0.24q − 1.8
gilt:
MC
s 0
MC
s 0
(q1 (p))
=
0.24
(q2 (p))
=
0.24
15
5p
p
12p − 39 − 1.8 = 0.2 12p − 39 > 0
6
p
5p
−
12p − 39 − 1.8 = −0.2 12p − 39 < 0
2
6
2
15
+
d.h. der Gewinn nimmt für einen gegebenen Wert des Produktpreises p > 3.25 an der Stelle
q1 (p) =
15
2
+
5p
6
12p − 39
sein lokales Maximum und an der Stelle
q2 (p) =
15
2
−
5p
6
12p − 39
sein lokales Minimum an.
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optimal q = q1 (p) zu wählen wenn gilt:
p > min AVC s (q)
q≥0
optimal q = 0 zu wählen wenn gilt:
p < min AVC s (q)
q≥0
indifferent zwischen q = 0 und q = q1 (p) wenn gilt:
p = min AVC s (q)
q≥0
AVC
s 0
AVC
dAVC s (q)
(q) =
s 00
dq
2
(q) =
d AVC (q)
Minimum der durchschnittlichen variablen Kosten: q =
s
dq 2
45
4
min AVC (q) =
q≥0
= 0.08q − 0.9
s
= 0.08 > 0
= 11.25
79
16
≈ 4.94
21 / 21