Begründen in der Geometrie

Nr.4 11.05.2015
Begründen in der Geometrie
Didaktische Grundsätze
• Zuerst die geometrischen Phänomene erkunden und
kennenlernen. Viel zeichnen!
Vierecke, Kreise, Dreiecke, Winkel, Strecken, . . .
•
•
In dieser ersten Phase wird kaum begründet
Erst in einem zweiten Durchgang, etwa ab Klasse 7
werden die Phänomene logisch geordnet. Jetzt kann
und muss lokal bewiesen werden.
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Nr.4 11.05.2015
Konstruieren - Ortslinien
Abstand Punkt – Punkt
Diejenigen Punkte, die von einem gegebenen
Punkt M denselben Abstand r haben, liegen
auf einem Kreis um M mit Radius r.
M
x
Grundaufgabe: Konstruiere Kreis um M mit Radius r.
Übung: Gegeben sind die Punkte A und B mit Abstand 4
cm. Konstruiere alle Punkte, die von A den Abstand 3 cm
und von B mindestens den Abstand 2 cm haben.
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Konstruieren - Ortslinien
Abstand Punkt - Gerade
Der Abstand eines Punktes P von einer Geraden g ist die
Länge des Lotes (der orthogonalen Strecke) von P auf g.
Weitere Grundaufgaben, auch mit Zirkel und Lineal
xP
2) Gegeben Gerade g und P auf g.
Konstruiere eine Orthogonale zu g durch P.
·
g
3) Gegeben Gerade g und P nicht auf g.
Konstruiere eine Orthogonale zu g durch P.
3
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Konstruieren - Ortslinien
Abstand Gerade – Gerade
Diejenigen Punkte, die von einer gegebenen
Geraden g denselben Abstand d haben,
liegen auf einer Parallele zu g mit Abstand d.
g
Grundaufgabe
4) Konstruiere zu einer Geraden g die Parallelen im Abstand d.
Übung: Gegeben ist die Gerade g und ein Punkt P mit dem
Abstand 2 cm von g.
Konstruiere alle Punkte, die von g den Abstand 1 cm und von P
den Abstand 4 cm haben.
4
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Konstruieren - Ortslinien
K
Lösung:
1) Die gesuchten Punkte liegen auf
einem Kreis um P mit Radius 4.
Konstruiere diesen Kreis K.
2) Die gesuchten Punkte liegen auf
Parallelen zu g im Abstand 1 cm.
Konstruiere diese Parallelen f und h.
xP
xP
f
g
xA
g
xB
xD
xC
h
3) Alle Punkte, die auf K und auf einer der Parallelen f oder
h liegen erfüllen die Aufgabe. Das sind A, B, C, D.
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Konstruieren - Ortslinien
Abstand Gerade – Gerade
Diejenigen Punkte, die von zwei
g
parallelen Geraden g und h
denselben Abstand d haben, liegen
auf der Mittelparallelen von g und h.
h
Grundaufgabe 5: Konstruiere zu zwei parallelen Geraden g
und h die Mittelparallele.
Übung: Konstruiere zu parallelen Geraden g und h mit Abstand
3 cm alle Punkte, die von g einen kleineren Abstand als von h
haben.
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Konstruieren - Ortslinien
Die Mittelsenkrechte
Diejenigen Punkte, die von zwei gegebenen
Punkten A und B denselben Abstand d
haben, liegen auf der Mittelsenkrechte
der Strecke AB.
xP
x
A
x
B
Grundaufgabe 6: Konstruiere zur Strecke AB die
Mittelsenkrechte.
Übung: Konstruiere zu zwei Punkten A und B mit Abstand 5
cm den Mittelpunkt eines Kreises, der durch A und B geht.
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Konstruieren - Ortslinien
Die Winkelhalbierende
Diejenigen Punkte, die von den Schenkeln
eines Winkels α denselben Abstand haben,
liegen auf der Winkelhalbierenden von α.
·
xP
α
·
Grundaufgabe 7: Konstruiere zu einem gegebenen Winkel die
Winkelhalbierende.
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Konstruieren - Ortslinien
Die Tangente
Gegeben ist ein Kreis K mit Mittelpunkt M und ein Punkt P auf
der Kreislinie.
Diejenige Gerade, die durch P geht und zur Strecke MP
orthogonal ist, heißt Tangente an K durch P.
Grundaufgabe 8: Konstruiere die
Tangente an einen Kreis in einem
Punkt P der Kreislinie.
·x P
x
M
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Konstruieren - Ortslinien
Übung: Konstruiere zu einem Winkel α < 180° den
Mittelpunkt M eines Kreises mit Radius 1,5 cm, der die
Schenkel berührt.
Parallele
Lösung:
1,5cm
1) M liegt auf der WH von α.
WH
Konstruiere die WH.
2) M liegt auf einer Parallelen j zu einem Schenkel im
Abstand 1,5 cm. Konstruiere die Parallele
3) Der Schnittpunkt der WH mit j ist M.
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Bezeichnungen am Dreieck
C
mc
a
sc
b
A
hc
·
c
Mc
·
wβ
B
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