Vorlesung 6

Nr.6 9.6.2016
Begründen in der Geometrie
Didaktische Grundsätze
• Zuerst die geometrischen Phänomene erkunden und
kennenlernen. Viel zeichnen!
Vierecke, Kreise, Dreiecke, Winkel, Strecken, . . .
•
•
In dieser ersten Phase in KL.5-6 wird kaum begründet
Erst in einem zweiten Durchgang, etwa ab Klasse 7
werden die Phänomene logisch geordnet. Jetzt kann
und muss lokal bewiesen werden.
1
Konstruieren - Ortslinie Kreis
Abstand Punkt – Punkt
Diejenigen Punkte, die von einem gegebenen
Punkt M denselben Abstand r haben, liegen
auf einem Kreis um M mit Radius r.
M
x
Grundkonstruktion:
1. Konstruiere Kreis um M mit Radius r.
Übung: Gegeben sind die Punkte A und B mit Abstand 4
cm. Konstruiere alle Punkte, die von A den Abstand 3 cm
und von B mindestens den Abstand 2 cm haben.
2
Konstruieren – Ortslinie Lot
Abstand Punkt - Gerade
Der Abstand eines Punktes P von einer Geraden g ist die
Länge des Lotes (der orthogonalen Strecke) von P auf g.
Grundkonstruktionen, auch mit Zirkel und Lineal
xP
2. Gegeben Gerade g und P auf g.
Konstruiere eine Orthogonale zu g durch P.
·
g
3. Gegeben Gerade g und P nicht auf g.
Konstruiere eine Orthogonale zu g durch P.
3
Konstruieren – Ortslinie Parallele
Abstand Gerade – Gerade
Diejenigen Punkte, die von einer gegebenen
Geraden g denselben Abstand d haben,
liegen auf einer Parallele zu g mit Abstand d.
g
Grundkonstruktion
4. Konstruiere zu einer Geraden g die Parallelen im Abstand d.
Übung: Gegeben ist die Gerade g und ein Punkt P mit dem
Abstand 2 cm von g.
Konstruiere alle Punkte, die von g den Abstand 1 cm und von P
den Abstand 4 cm haben.
4
Konstruieren – Ortslinie Parallele
K
Lösung mit Konstruktionstext:
Ortslinie 1: Kreis um P mit Radius 4.
xP
g
Ortslinie 2: Parallelen zu g im Abstand
1 cm.
Ergebnis: Alle Punkte, die auf beiden
Ortslinien liegen, erfüllen
die Aufgabe. Das sind
die Punkte A, B, C, D.
xP
f
xA
g
xB
xD
xC
h
5
Konstruieren – Ortslinie Mittelparallele
Abstand Gerade – Gerade
Diejenigen Punkte, die von zwei
g
parallelen Geraden g und h
denselben Abstand d haben, liegen
auf der Mittelparallelen von g und h.
Grundkonstruktion
5. Konstruiere zu zwei parallelen Geraden g und h die
Mittelparallele.
Übung: Konstruiere zu den parallelen Geraden g und h mit
Abstand 3 cm alle Punkte, die von g einen kleineren Abstand
6
als von h haben.
h
Konstruieren – Ortslinie Mittelsenkrechte
Die Mittelsenkrechte
Die Gerade, die durch den Mittelpunkt einer Strecke AB geht
und zur Strecke orthogonal ist, heißt Mittelsenkrechte von
AB.
Diejenigen Punkte, die von zwei gegebenen
Punkten A und B denselben Abstand d
haben, liegen auf der Mittelsenkrechte
der Strecke AB.
xP
x
A
Grundkonstruktion
6. Konstruiere zur Strecke AB die Mittelsenkrechte.
x
B
7
Konstruieren – Ortslinie Winkelhalbierende
Die Winkelhalbierende
Die Gerade, die durch den Scheitel S eines Winkels geht und
den Winkel halbiert, heißt Winkelhalbierende von α.
Diejenigen Punkte, die von den Schenkeln
eines Winkels α denselben Abstand haben,
liegen auf der Winkelhalbierenden von α.
·
xP
α
·
Grundkonstruktion
7. Konstruiere zu einem gegebenen Winkel die
Winkelhalbierende.
8
Konstruieren - Tangente
Die Tangente
Gegeben ist ein Kreis K mit Mittelpunkt M und ein Punkt P auf
der Kreislinie.
Diejenige Gerade, die durch P geht und zur Strecke MP
orthogonal ist, heißt Tangente an K durch P.
Grundkonstruktion
8. Konstruiere die Tangente
an einen Kreis in einem
Punkt P der Kreislinie.
·x P
x
M
9
Konstruieren - Ortslinien
Übung: Konstruiere zu einem Winkel α < 180° den
Mittelpunkt M eines Kreises mit Radius 1,5 cm, der die
Schenkel berührt.
Lösung:
Ortslinie 1: Winkelhalbierende
von α.
Ortslinie 2: Parallele j zu einem
Schenkel im Abstand 1,5 cm.
Ergebnis: Schnittpunkt der WH mit j ist M.
Parallele
1,5cm
WH
10
Bezeichnungen am Dreieck
C
mc
a
sc
b
A
hc
·
c
Mc
·
wβ
B
11
Konstruieren – Richtig/Falsch
Beispiel:
Konstruiere ein Dreieck aus
c = 6 cm; β = 70°; γ = 55°
(Winkelsumme im Dreieck ist nicht bekannt)
Richtige Konstruktionen: . . . .
Falsche Konstruktionen: . . . .
12