Beweise - von Tobias Kohn

Eidgenössische Technische Hochschule Zürich
Institut für Verhaltenswissenschaften,
Swiss Federal Institute of Technology Zurich
Depatement Mathematik
Werkstattunterricht zum Thema:
Beweise
Mathematik an Kantonsschulen,
Schwerpunktfach Mathematik und Physik,
10.-12. Schuljahr
Bearbeitungsdauer: 2-3 Lektionen
Autor:
Tobias Kohn,
Kantonsschule Zürcher Oberland
Betreuer:
Armin P. Barth
Fassung vom 19. Dezember 2010
Schulerprobung am 21.8.2007,
Kantonsschule Baden, AG
I
NHALTSVERZEICHNIS
Inhaltsverzeichnis
3
Vorwort
5
Einführung
7
1
Ein erstes Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2
Was ist ein Beweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
3
Die Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4
Beweistechniken und Beweisarten
5
Der Arbeitsauftrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Lernpass: Beweise
17
Posten
18
1
Karten und Länder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2
Beweis mit Fehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3
Baumstämme stapeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4
Mittelwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5
Geteiltes Viereck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6
Primzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
7
Bekanntschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
8
Quadratzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
9
Ein Trapez mit Inkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
10
Ein Dreieck abdecken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Werkstatt Beweise
4
Inhaltsverzeichnis
11
Das Invarianz-Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Lösungen
63
1
Karten und Länder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2
Beweis mit Fehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3
Baumstämme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4
Mittelwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5
Geteiltes Viereck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6
Primzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
7
Bekanntschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
8
Quadratzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
9
Ein Trapez mit Inkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
10
Ein Dreieck abdecken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
11
Das Invarianz-Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Anhang: Prüfung A
73
Anhang: Prüfung B
77
Anhang: Lernziele
81
Anhang: Quellen
83
Werkstatt Beweise
V
ORWORT
Die Werkstatt besteht aus drei Teilen: einer Einführung, den Posten und den Lösungen.
Zu Beginn der ersten Stunde wird die Einführung an die Schüler abgegeben. Direkt nach
dem Durchlesen arbeiten die Schüler an den Posten. Das nimmt zwei bis drei Lektionen
in Anspruch. Am Ende erhalten die Schüler die Lösungen mit weiterführenden Hinweisen und Erklärungen.
Alternativ kann die Lehrperson die Einführung natürlich auch als Lehrervortrag gestalten
und den Schülern nur den Lernpass abgeben.
Die Posten sind absichtlich kurz gehalten, um den Schwerpunkt auf das Arbeiten der
Schüler zu legen. Erklärungen folgen daher erst im Lösungsteil.
Schulerprobung Die Werkstatt wurde mit einer Klasse des Schwerpunktfachs Mathematik und Physik im 11. Schuljahr durchgeführt. Die Schüler hatten drei Lektionen Zeit,
um die Werkstatt inklusive der Einleitung zu bearbeiten.
Die Posten der Werkstatt haben sich als anspruchsvoll herausgestellt. Erstaunlicherweise
traten bei den verschiedenen Gruppen an ganz anderen Stellen Schwierigkeiten auf. Das
macht es schwierig, Lösungshinweise in die Posten einzuflechten, ohne die Posten zu
überladen. Bei der Durchführung der Werkstatt hat die Lehrperson jeweils individuelle
Hilfestellungen gegeben, was sich sehr bewährt hat.
In den drei Lektionen lösten die meisten Gruppen rund zwei Drittel der Posten (nebst
der Einführung).
Werkstatt Beweise
6
Vorwort
Werkstatt Beweise
E
INFÜHRUNG
Beweise spielen in der Mathematik eine entscheidende Rolle. In dieser Werkstatt beschäftigst du dich einmal ausschliesslich mit mathematischen Beweisen. Dabei sollst du
selbst Hand anlegen und einige Aussagen beweisen.
Am Ende der Werkstatt sollst du wissen, wieso man Aussagen beweist und vor allem wie.
Du kennst die wichtigsten Beweistechniken und kannst einfache Beweise selbst führen.
Lies dazu zuerst diese Einleitung und bearbeite danach die Posten. Einige Posten wirst du
relativ schnell fertig haben, andere erfordern etwas mehr Ausdauer. Am besten arbeitest
du mit einer Partnerin oder einem Partner zusammen, um die Aufgaben zu diskutieren.
1
Ein erstes Beispiel
Sicher kennst Du die Aufgabe, ein kleines Strich-Haus in einem Zug zu zeichnen, ohne
den Stift abzusetzen. Dabei gibt es verschiedene solche Strich-Häuser, dasjenige in der
Mitte ist aber das bekannteste.
Von diesen drei Strich-Häusern lassen sich nur zwei zeichnen, ohne den Stift abzusetzen.
Bei welchem gelingt das nicht?
Mit etwas herumprobieren findest Du sicher heraus, welche zwei sich ohne abzusetzen
zeichnen lassen und welches nicht. Woher aber weiss ich, dass sich eines sicher nicht
in einem Zug zeichnen lässt, egal wie man es anstellt? Natürlich kann man alle Möglichkeiten durchprobieren und hoffen, dass keine vergessen geht. Eleganter ist es aber,
streng zu begründen, warum sich eines nicht zeichnen lässt, ohne dass man alle Möglichkeiten durchprobiert. Dazu sehen wir uns die Knotenpunkte etwas genauer an, wie
im folgenden Bild:
Werkstatt Beweise
8
Einführung
D
C
E
F
B
A
Für die nachfolgende Argumentation müssen wir einigen Elementen vom Strich-Haus
einen Namen geben.
• Ein Knoten ist ein Punkt, wo sich mehrere Linien trefffen. Die Knoten sind im Bild
oben mit Buchstaben A bis F beschriftet.
• Das Linienstück zwischen zwei Knoten heisst eine Kante. Die Linie ist also das
zusammenhängende, die Kanten sind die einzelnen Teile der Linie. Zum Beispiel
ist AB eine Kante.
• Der Grad (oder Valenz) von einem Knoten gibt Anzahl der Kanten an, die an diesem
Knoten zusammenlaufen. Zum Beispiel ist der Grad von A: 3, weil dort drei Kanten
zusammenkommen, nämlich AB, AC und AE.
Die Idee ist nun folgende:
• Die gezeichnete Linie, die alle Knoten verbindet, muss zusammenhängend sein,
also ohne Unterbrüche, da man sonst den Stift absetzen müsste. Weil die Linie aber
keine Unterbrüche haben darf, muss sie bei jedem Knoten, bei dem sie hineingeht,
auch wieder herauskommen.
• Wenn bei einem Knoten jede Linie hineingehen und herauskommen muss, muss die
Zahl der Kanten bei diesem Knoten gerade sein. Das heisst: der Grad von jedem
Knoten muss gerade sein.
• Es gibt zwei Ausnahmen für diese Regel: der Anfangs- und der Endpunkt. An zwei
Knoten darf also die Anzahl der Kanten (d. h. der Grad vom Knoten) ungerade
sein.
• Im Bild oben ergeben sich folgende Knoten-Grade:
A : 3,
B : 3,
C : 4,
D : 2,
E : 4,
F : 4.
Die Knoten A und B müssen also Anfangs- und Endpunkt sein, dann lässt sich das
Haus in einem Stück zeichnen. Zum Beispiel in der Reihenfolge A − F − C − E −
F − B − A − E − D − C − B.
Werkstatt Beweise
Einführung
9
Mit dieser Argumentation lässt sich jetzt auch der folgende Satz beweisen:
S ATZ :
Das unten abgebildete Strich-Haus lässt sich nicht zeichnen, ohne den Stift abzusetzen.
D
E
A
F
C
B
Beweis: Die Knoten A, B, C und E haben alle den Grad 3. Damit sind es vier Knoten
mit ungeradem Grad, also kann das Strich-Haus nicht gezeichnet werden, ohne den Stift
abzusetzen.
2
Mit diesem Beweis haben wir uns nicht nur Arbeit erspart, wir können auch ganz sicher
sein, dass es bei diesem einen Strich-Haus nicht möglich ist, es in einem Zug zu zeichnen.
Ein ganz ähnliches Problem löste der schweizer Mathematiker Leonhard Euler. Die Frage
war folgende: Gibt es eine Möglichkeit, so über die sieben Brücken der Stadt Königsberg
(heute Kaliningrad) zu gehen, dass man über jede Brücke genau einmal geht?
Links: eine vereinfachte Karte von Königsberg.
Rechts: die mathematische Abstraktion dieser Karte.
Mit der selben Argumentation wie bei den Strich-Häuschen siehst Du sicher sofort, dass
es nicht möglich ist. Die Knoten sind hier die vier Landstücke, die Kanten sind die
Brücken. Nimmt man aber eine beliebige Brücke weg, so wird der Spaziergang plötzlich möglich.
2
Was ist ein Beweis
Ein Beweis ist eine genaue Begründung für die aufgestellte Behauptung. Damit die Begründung allgemeingültig ist, muss sie streng den Regeln der Logik folgen. Zudem dürWerkstatt Beweise
10
Einführung
fen als Grundlage nur andere Sätze aus der Mathematik verwendet werden.
Im Alltag sind wir viel eher bereit, etwas als richtig zu akzeptieren als in der Mathematik. Auf der Suche nach neuen Primzahlen behauptete zum Beispiel der französische
n
Mathematiker Pierre de Fermat, dass die Zahlen 22 + 1 Primzahlen seien. Er rechnete
dabei diese Zahlen für n von 0 bis 4 aus:
0
22 + 1 = 3,
1
22 + 1 = 5,
2
22 = 17,
3
22 = 257,
4
22 + 1 = 65537.
Tatsächlich sind das alles Primzahlen. Die nächste Zahl in der Reihe ist
5
22 + 1 = 4 294 967 297.
Um zu prüfen, ob das eine Primzahl ist, müsste man mindestens 30 000 mögliche Teiler
durchprobieren! Also vermutete Fermat einfach, dass das auch eine Primzahl ist – er
konnte es aber nie beweisen.
Wenig später entdeckte Leonhard Euler, dass 4 294 967 297 durch 641 teilbar ist und dan
mit sicher keine Primzahl. Auch alle anderen solchen Zahlen der Form 22 + 1, die man
mit dem Computer durchgerechnet hat, sind keine Primzahlen mehr! Es gibt andere
Vermutungen, wo sich erst bei der Millionsten Zahl herausstellte, dass sie falsch sind.
Deshalb genügt es in der Mathematik nicht, ein paar Beispiele durchzurechnen!
Die strenge Begründung mit der Logik und mit anderen Sätzen aus der Mathematik
hat aber auch Einschränkungen. Es können unmöglich alle mathematischen Sätze mit
anderen Sätzen begründet werden; es braucht immer mindestens einen ersten Satz, den
man nicht beweisen kann. Ein Beispiel für einen solchen ersten Satz ist das Axiom der
Kommutativität bei der Addition von reellen Zahlen:
a + b = b + a.
Dieser Satz klingt sehr einleuchtend, aber er lässt sich nicht beweisen bzw. auf noch einfachere Sachverhalte zurückführen. Diese einfachsten Sätze (sogenannte Axiome) bilden
das Fundament, auf dem die Mathematik ruht.
Auch die Mathematik gründet also auf gewissen Voraussetzungen, und die bewiesenen
Aussagen sind immer nur relativ zu diesen Voraussetzungen wahr.
3
Die Form
Natürlich stehen Beweise nicht einfach in der Luft. Sie beziehen sich immer auf eine Aussage bzw. einen Satz. In der Mathematik nennt man diejenigen Aussagen, die bewiesen
sind, Sätze. Eine Aussage ist also alles, was richtig oder falsch ist. Ein Satz ist hingegen
immer richtig.
Werkstatt Beweise
Einführung
11
Durch die sprachliche Vielfalt haben sich einige zusätzliche Namen für „Satz“ eingebürgert. Die wichtigsten sind „Theorem“, „Lemma“, „Korollar“ und „Proposition“. Du
brauchst diese Begriffe nicht zu wissen; es genügt, wenn du weisst, dass Sätze manchmals anders angeschrieben sind.
Vor einem Beweis steht also immer ein Satz, der bewiesen wird. Auch das Ende eines Beweises wird speziell gekennzeichnet. Häufig macht man ein kleines Quadrat 2.
Manchmal findet man aber auch das Kürzel Q . E . D . Diese Buchstaben stehen für quod
erat demonstrandum; das ist lateinisch für „was zu beweisen war“.
4
Beweistechniken und Beweisarten
Im Laufe der Zeit haben sich einige wichtige Beweisarten herausgebildet. Alle Beweise
lassen sich in direkte und indirekte Beweise unterteilen (kompliziertere Beweise verwenden zwar auch beide Techniken). Dann gibt es noch u. a. zwei spezielle Arten von
Beweisen: Existenzbeweise und Unmöglichkeitsbeweise.
Direkt und indirekt beziehen sich also auf die Technik, während Existenz- und Unmöglichkeitsbeweise zwei häufige Beweisarten sind. Ein Existenzbeweis kann also direkt oder
indirekt geführt werden.
Direkter und indirekter Beweis
Im Unterschied zum direkten Beweis zeigt man beim indirekten Beweis nicht den Satz
selber, sondern dass das Gegenteil unmöglich ist. Indirekte Beweise heissen auch Widerspruchsbeweise.
Beispiel für einen direkten Beweis:
S ATZ :
Für zwei beliebige Zahlen a, b ∈ R gilt immer
a · a + b · b ≥ a · b + b · a.
Beweis: Das Quadrat einer beliebigen Zahl ist nie negativ. Also ist auch das Quadrat
von a − b grösser oder gleich Null:
(a − b)2 ≥ 0
a2 − 2ab + b2 ≥ 0
a2 + b2 ≥ 2ab
Werkstatt Beweise
12
Einführung
Die letzte Zeile ist nun dasselbe wie die behauptete Gleichung.
2
Wir bewiesen die Aussage damit direkt, ohne Umweg über ihr Gegenteil.
Beispiel für einen indirekten Beweis:
S ATZ :
Es gibt keine grösste natürliche Zahl.
Beweis: Wir formulieren zuerst die Gegenannahme und zeigen dann, dass das nicht
sein kann.
Gegenannahme: Es gibt eine grösste natürliche Zahl.
Wir nehmen also an, es gäbe eine grösste natürliche Zahl und weil wir sie nicht kennen,
nennen wir sie n. Nun ist aber n + 1 auch eine natürliche Zahl und sicher grösser als n.
Also kann n gar nicht die grösste Zahl sein und damit ist unsere Gegenannahme falsch.
Weil aber die Gegenannahme nicht richtig sein kann, muss der Satz richtig sein.
2
Existenz-Beweise
Häufig ist es sehr aufwändig, zu einem bestimmten Problem die Lösung zu finden. Es
gibt zum Beispiel Gleichungen, wo Computer mehrere Tage rechnen, um die Lösungen
zu finden. Beliebt ist auch das Suchen von neuen Primzahlen. Da brauchen Computer
mehrere Monate, bis sie fündig werden.
In solchen Fällen ist es daher gut, vorher zu wissen, ob es überhaupt eine Lösung oder
z. B. eine neue Primzahl gibt und sich die Suche damit lohnt.
Ein Beweis, der zeigt, dass es eine Lösung zu einem bestimmten Problem gibt, heisst
Existenz-Beweis. Machmal gibt ein Existenzbeweis nicht nur an, dass es eine Lösung gibt,
sondern auch, wie man sie findet. Dann sprechen wir von einem konstruktiven ExistenzBeweis (weil die Lösung mit dem Beweis konstruiert werden kann).
Beispiel für einen nicht-konstruktiven Beweis:
S ATZ :
Die folgende Gleichung hat sicher eine Lösung in den reellen Zahlen R:
x5 + 7x3 + 13 = 0
Beweis: Die Idee liegt darin, die linke Seite als eine Funktion aufzufassen:
f (x) = x5 + 7x3 + 13.
Werkstatt Beweise
Einführung
13
Wenn wir x = −10 einsetzen, so hat die Funktion den Wert
−106987. Setzen wir aber x = 10 ein, so hat die Funktion den
Wert 107013. Der Graph der Funktion steigt also zwischen diesen beiden Punkten an und muss irgendwo dazwischen die xAchse schneiden, also 0 sein.
2
y
x
-10
0
10
Wir wissen damit zwar jetzt, dass die Gleichung eine Lösung hat, aber wir wissen nicht
wo genau (immerhin wissen wir dass die Lösung zwischen −10 und 10 liegt).
Beispiel für einen konstruktiven Beweis:
S ATZ :
Zwischen zwei verschiedenen rationalen Zahlen liegt immer noch eine dritte.
Beweis: Wenn die ersten Zahlen a und b sind und a < b, dann liegt die Zahl
dazwischen. Weil a < b ist, gilt:
a=
a+b
2
2a
a+a
a+b
b+b
2b
=
<
<
=
= b.
2
2
2
2
2
Wenn a und b beides Brüche sind (rationale Zahlen), dann ist die neue Zahl a+b
2 ein
Doppelbruch. Doppelbrüche sind aber immer noch Brüche; die neue Zahl ist also auch
eine rationale Zahl.
Zum Beispiel liegt zwischen den beiden rationalen Zahlen
2
3
+
2
5
6
=
2
3
und
5
6
also mindestns noch:
4+5
3
= .
12
4
2
Unmöglichkeits-Beweise
Als Gegenstück zu den Existenzbeweisen gibt es schliesslich noch die Unmöglichkeitsbeweise. Sie zeigen, dass es für ein bestimmtes Problem keine Lösung geben kann.
Beispiel für einen Unmöglichkeitsbeweis:
S ATZ :
Die folgende Gleichung hat keine Lösung in den rellen Zahlen R:
x2 − 4x + 2 = −6.
Werkstatt Beweise
14
Einführung
Beweis: Addieren wir auf beiden Seiten 2, so erhalten wir die folgende Gleichung, die
äquivalent zu derjenigen im Satz ist:
x2 − 4x + 4 = −4.
Die linke Seite ist ein Binom, nämlich (x − 2)2 . Also ist die Gleichung wiederum äquivalent zu:
(x − 2)2 = −4.
Weil auf der linken Seite eine Quadratzahl steht, ist die linke Seite nie negativ. Die rechte
Seite ist dagegen negativ. Also kann es keine relle Lösung geben.
2
5
Der Arbeitsauftrag
Das Lernziel
• Du verstehst den Unterschied zwischen einem direkten und einem indirekten Beweis und kannst zu beiden Arten ein einfaches Beispiel angeben (Die Einführung
enthält ein typisches Beispiel für einen indirekten Beweis).
• Du erkennst bei einem vorgegebenen Beweis, ob er direkt oder indirekt geführt ist
und erkennst auch die speziellen Beweisarten „Existenzbeweis“ und „Unmöglichkeitsbeweis“.
• Du kannst einfache Sätze selbst beweisen.
Vorgehen
• Suche Dir einen Partner oder eine Partnerin, um die Posten zu bearbeiten. So könnt
ihr die Aufgaben jeweils diskutieren. Dennoch soll jeder die Lösungen selbst notieren.
• Schreib die Lösungen zu den Aufgaben auf. Alle haben am Schluss die eigenen
Lösungen. Streiche zudem auf dem Lernpass ab, welche Posten du bereits gelöst
hast. So behältst du den Überblick. Der Lernpass ist aber nur für deine eigene
Kontrolle.
• Versucht die Posten in der Zweiergruppe zu lösen. Auch wenn zwei oder mehr
Gruppen am selben Posten arbeiten, soll doch jede Gruppe versuchen, selber auf
die Lösung zu kommen.
• Die Posten können grundsätzlich in beliebiger Reihenfolge gelöst werden. Einige
Posten setzen jedoch voraus, dass du bereits einen anderen gelöst hast. Das steht
auf dem Lernpass.
Werkstatt Beweise
Einführung
15
In der Regel sind die Posten mit niedrigen Nummern etwas einfacher.
• Es geht nicht darum, möglichst schnell alle Posten fertig zu haben. Viel wichtiger
ist es, genau zu arbeiten und die Aufträge sorgfältig zu erfüllen.
Werkstatt Beweise
L
ERNPASS :
B EWEISE
N AME :
D ATUM :
NR.
T ITEL
Z EIT
1
Karten und Länder
5
2
Beweis mit Fehler
5
3
Baumstämme stapeln
10
4
Mittelwerte
15
5
Geteiltes Viereck
10
6
Primzahlen
10
7
Bekanntschaften
15
8
Quadratzahlen
10
9
Ein Trapez mit Inkreis
15
10
Ein Dreieck abdecken
15
11
Das Invarianz-Prinzip
20
B EARBEITET
Der Posten 11 lässt sich erst lösen, wenn du den Posten 3 bereits fertig hast!
Werkstatt Beweise
1
KARTEN
UND
L ÄNDER
1K
ARTEN UND
L ÄNDER
Damit man die Länder auf einer Karte gut unterscheiden kann,
färbt man jedes Land mit einer anderen Farbe ein. Bei grösseren
Karten reichen die Farben jedoch oft nicht aus – dann haben einige
Länder die gleiche Farbe. Natürlich dürfen sich aber die Länder mit
der gleichen Farbe nicht berühren, weil man die Grenze nicht mehr
klar sehen könnte.
Bei diesem geographischen Problem stiess man auf folgende mathematische Frage:
Wie viele Farben braucht man mindestens, um eine Karte so einzufärben, dass nie zwei benachbarte Länder die
gleiche Farbe haben?
Inzwischen hat ein Computer alle Möglichkeiten durchgerechnet
und so gezeigt, dass in jedem Fall vier Farben ausreichen. Reichen
aber nicht schon drei Farben aus, wie bei diesen Beispielen unten?
Die Antwort gibt der folgende Satz. Beweise ihn!
S ATZ :
Es gibt 2-dimensionale Karten, die sich nicht mit drei Farben einfärben lassen, ohne dass gleichfarbige Länder eine gemeinsame
Grenze haben.
Werkstatt Beweise
2
B EWEIS
MIT
F EHLER
2B
EWEIS MIT
F EHLER
Beim Umformen von Gleichungen können sich schnell einmal Fehler einschleichen. Das ist auch bei diesem Beispiel unten passiert.
Finde heraus, wo die zwei Fehler stecken!
a
a2
a2 − b2
(a − b)(a + b)
a+b
2b
2
=
=
=
=
=
=
=
b
ab
ab − b2
b(a − b)
b
b
1
| ·a
| − b2
| ausklammern
| Division durch (a − b)
|a = b
| ÷b
Hinweis: die erste Zeile ist nicht falsch. Der Ausdruck a = b bedeutet hier nicht, dass alle a und b gleich sind. Aber setze zum Beispiel
für a = 3 und b = 26 , dann gilt offensichtlich a = b.
Werkstatt Beweise
3
B AUMSTÄMME
STAPELN
3B
AUMSTÄMME STAPELN
Die Abbildung unten zeigt vier Stapel mit Baumstämmen. Lassen
sich die Baumstämme bei den einzelnen Stapeln so umverteilen,
dass in jeder Spalte gleich viele Stämme liegen (ohne die Anzahl
der Spalten zu ändern)?
1 2 3
1 2 3 4
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5 6
Wenn du die Antwort weisst, dann sieh dir das folgende Spiel an
und beweise den Satz unten.
Spiel: Die Zahlen von 1 bis 22 werden der Grösse nach geordnet hingeschrieben:
1, 2, 3, . . . , 22.
Bei zwei benachbarten Zahlen darfst Du nun immer von der einen
Zahl eins wegzählen und bei der anderen Zahl dazurechnen. Bsp.: 2, 3
wird zu 1, 4 oder zu 3, 2.
Das Spiel ist zu Ende, wenn 22 mal die selbe Zahl dasteht (also a, a,
a, . . . a).
S ATZ :
Es ist nicht möglich, in diesem Spiel das Ende zu erreichen.
Werkstatt Beweise
4
M ITTELWERTE
4M
ITTELWERTE
Wenn etwas gemessen wird, dann interessiert man sich häufig für
den Durchschnitt der gemessenen Werte. Du hast bestimmt auch
schon von solchen Durchschnittswerten gelesen, wie etwa: „In der
Schweiz ist es im Durchschnitt um 1.2◦ C wärmer geworden.“
In der Mathematik spricht man nicht vom Durchschnitt, sondern
vom Mittelwert oder einfach nur Mittel. Je nach Anwendung verwendet man dabei eine andere Art von Mittelwert. In diesem Posten geht es um zwei verschiedene Mittelwerte: das bekannte arithmetische Mittel:
a+b
AM =
,
2
und das geometrische Mittel:
√
GM = ab.
S ATZ :
Für zwei beliebige positive Zahlen a und b gilt immer:
√
ab ≤
a+b
.
2
Die beiden Mittel sind genau dann gleich gross, wenn auch a und
b gleich gross sind.
1. Beweise: Wenn a = b, dann sind das arithmetische und das
geometrische Mittel gleich gross.
2. Beweise: Wenn das arithmetische und das geometrische Mittel
gleich gross sind, dann ist auch a = b.
3. Beweise die Ungleichung im Satz: GM ≤ AM .
Werkstatt Beweise
5
G ETEILTES V IERECK
5G
ETEILTES
V IERECK
Ein Parallelogramm (Rhomboid) wird durch die Diagonale AC in
zwei Teile gespalten. Irgendwo auf der Diagonale AC liegt der
Punkt E. Von dort aus zerlegt man nun das Parallelogramm in vier
kleinere Parallelogramme wie in der Abbildung.
Q
D
C
l
E
R
S
m
A
P
B
Von den vier kleinen Parallelogrammen AP ER, P BSE, ESCQ,
REQD interessieren wir uns für P BSE und REQD, die mit λ
(Lambda) und µ (Mü) angeschrieben sind. Offenbar haben die beiden völlig unterschiedliche Formen. Trotzdem ist aber die Fläche
von λ gleich gross wie die Fläche von µ.
S ATZ :
Wird ein Parallelogramm wie oben in vier kleine Parallelogramme
zerlegt, dann haben die beiden Teile λ und µ immer die gleiche
Fläche.
Beweise diesen Satz geometrisch (d. h. insbesondere ohne die Winkelfunktionen wie sin x)!
Werkstatt Beweise
6
P RIMZAHLEN
6P
RIMZAHLEN
Primzahlen sind die Grundbausteine der Zahlen: Alle natürlichen
Zahlen lassen sich als Produkt von Primzahlen schreiben. Je grösser die Zahlen werden, umso seltener sind die Primzahlen darin
verteilt. Dennoch hören sie nie auf, d. h. es gibt unendlich viele
Primzahlen.
Beweise diesen Satz in den angegebenen zwei Schritten.
S ATZ :
Es gibt unendlich viele Primzahlen.
1. Wir bezeichnen n beliebige natürliche Zahlen mit a1 , a2 , . . . , an ,
die alle grösser als 1 sein sollen. Dann ist der Ausdruck
a1 · a2 · a3 · · · an + 1.
durch keine einzige der Zahlen a1 , a2 , . . . an teilbar. Wieso?
2. Wir nehmen an, es gäbe nur endlich viele Primzahlen und bezeichnen sie mit p1 , p2 , . . . pn . Beweise, dass es dann mindestens
eine weitere Primzahl gibt!
Werkstatt Beweise
7
B EKANNTSCHAFTEN
7B
EKANNTSCHAFTEN
Wenn sich 367 Personen treffen, dann haben mindestens zwei am
selben Tag Geburtstag. Weniger offensichtlich ist, dass auch mindestens zwei Personen genau gleich viele Bekannte haben.
Der Grund ist beide Male derselbe und heisst Schubfachprinzip:
Wenn wir 27 Kugeln auf 26 Fächer verteilen müssen, dann müssen
wir in mindestens ein Fach mehr als eine Kugel legen. Theoretisch
könnten auch alle Kugeln im gleichen Fach liegen – genauso wie
alle 367 Personen oben am selben Tag Geburtstag haben könnten.
Verwende das Schubfachprinzip, um den folgenden Satz zu beweisen!
S ATZ :
Wenn sich eine beliebige Anzahl n von Personen treffen (n > 1),
dann haben mindestens zwei davon genau gleich viele Bekannte
unter diesen n Personen.
Hinweis: wenn Alice Bob kennt, dann kennt Bob natürlich auch
Alice. Die Bekanntschaft ist also immer gegenseitig.
Werkstatt Beweise
8
Q UADRATZAHLEN
8Q
UADRATZAHLEN
Die Folge der Quadratzahlen hat eine interessante Eigenschaft: die
Differenz von zwei benachbarten Zahlen ist immer eine ungerade
Zahl.
1,
4,
9,
16,
25, . . .
3
5
7
9
Oder als Satz formuliert:
S ATZ :
Für zwei natürliche Zahlen n und n + 1 ist die Differenz der Quadrate n2 und (n + 1)2 immer eine ungerade Zahl.
Umgekehrt findet man zu jeder ungeraden Zahl m zwei aufeinanderfolgende Quadratzahlen n2 und (n + 1)2 , so dass m gerade
die Differenz der beiden Zahlen ist.
Beweise diesen Satz! Gib dabei insbesondere eine Vorschrift an, wie
Du von einer ungeraden Zahl m auf die beiden Quadrate kommst
und teste Deinen Vorschlag an m = 353.
Werkstatt Beweise
9
E IN T RAPEZ
MIT I NKREIS
9E
IN
T RAPEZ MIT I NKREIS
Das Trapez ABCD in der Zeichnung unten ist ein spezielles Trapez:
es besitzt einen Inkreis, der alle vier Seiten berührt. Verbindet man
bei diesem Trapez den Mittelpunkt des Inkreises mit A und D oder
B und C, so entstehen zwei Dreiecke: ∆AM D mit dem Winkel ϕ
(Phi) und ∆BM C mit dem Winkel ψ (Psi).
Die beiden Winkel ϕ und ψ sind immer gleich gross. Das sollst Du
für den Spezialfall beweisen, wo das Trapez bei β einen rechten
Winkel hat. Arbeite dazu die drei Schritte durch.
D
C
d
f y
M
a
A
B
1. Bestimme den Wert von ψ. Achte darauf, dass Du das Ergebnis
begründest und nicht einfach in der Zeichnung misst.
2. Beweise: Die Gerade AM ist die Winkelhalbierende von α und
die Gerade DM die Winkelhalbierende von δ.
3. Beweise: ϕ = ψ.
Werkstatt Beweise
10
E IN D REIECK
ABDECKEN
10 E
IN
D REIECK ABDECKEN
Ein grosses gleichseitiges Dreieck hat eine Kantenlänge von 20 cm.
Zwei kleinere gleichseitige Dreiecke haben je eine Kantenlänge von
19 cm. Natürlich sind die beiden kleineren Dreiecke zusammen grösser als das grosse. Erstaunlicherweise können die beiden kleinen
Dreiecke das grosse aber nicht abdecken.
Die beiden kleineren Dreiecke können zusammen nämlich nur zwei
Ecken gleichzeitig abdecken. Deshalb braucht es mindestens drei
kleinere Dreiecke.
Wie gross müssen diese drei kleinen gleichseitigen Dreiecke mindestens sein, damit sie das grosse ganz abdecken?
Je kleiner die kleinen Dreiecke werden, umso mehr braucht man
natürlich, um das grosse abzudecken. Wenn drei nicht mehr ausreichen, braucht es vier kleine Dreiecke. Wenn aber vier kleine Dreiecke nicht mehr ausreichen, dann sind auch fünf nicht genug!
Beweise den folgenden Satz:
S ATZ :
Ein gleichseitiges Dreieck lässt sich nicht mit fünf kleineren gleichseitigen Dreiecken abdecken, wenn die kleineren Dreiecke weniger als die halbe Kantenlänge des grossen Dreiecks haben.
Werkstatt Beweise
11
D AS I NVARIANZ -P RINZIP
11 D
AS I NVARIANZ -P RINZIP
Löse zuerst den Posten 3!
Im Posten 3 hast Du ein Beispiel des Invarianz-Prinzips kennen gelernt (invariant heisst gleich bleibend). In diesem Posten lernst du
nun eine allgemeinere Version des Invarianz-Prinzips kennen. Das
Problem ist wieder in ein Spiel verpackt.
Spiel: Die sechs Zahlen 1, 0, 1, 0, 0, 0 sind in einem Kreis angeordnet
wie im Bild unten.
0
1
0
1
0
0
Du darfst immer zwei benachbarte Zahlen gleichzeitig um eins erhöhen. Das Spiel ist zu Ende, wenn überall im Kreis die selbe Zahl steht.
S ATZ :
Es ist in diesem Spiel nicht möglich, das Ende zu erreichen. Das
heisst: im Kreis stehen nie sechs gleiche Zahlen.
Im Spiel vom Posten 3 blieb die Summe aller Zahlen das ganze
Spiel hindurch gleich. Die Zahl
S = 1 + 2 + 3 + · · · + 22
änderte sich also nicht. Finde nun auch bei diesem Spiel eine solche
Zahl S, die immer den Wert 2 hat (sei kreativ: versuche verschiedene Rechnungen, auch wenn sie keinen „tieferen Sinn“ haben).
Zeige dann, dass sich S ändern müsste, um das Ende zu erreichen.
Werkstatt Beweise
62
Lernpass: Beweise
Werkstatt Beweise
L
1
ÖSUNGEN
Karten und Länder
S ATZ :
Es gibt 2-dimensionale Karten, die sich nicht mit drei Farben einfärben lassen, ohne
dass gleichfarbige Länder eine gemeinsame Grenze haben.
Beweis: Um den Satz zu beweisen, genügt es, eine Karte zu finden, die wirklich vier
verschiedene Farben benötigt. Zwei Beispiele dafür wären:
2
2
Beweis mit Fehler
a
a2
a2 − b2
(a − b)(a + b)
a+b
2b
2
=
=
=
=
=
=
=
b
ab
ab − b2
b(a − b)
b
b
1
| ·a
| − b2
| ausklammern
| Division durch (a − b)
|a = b
| ÷b
Die Umformungen sind alle korrekt bis zur Division durch (a − b). Ganz am Anfang
setzen wir voraus, dass a = b ist. Dann ist aber (a − b) = 0, und durch Null dürfen wir
nicht dividieren!
Zwei Zeilen später wird der selbe Fehler noch einmal gemacht. Wenn 2b = b ist, dann
folgt daraus eigentlich, dass b = 0. Wir dürfen also auch hier nicht einfach durch b
dividieren!
Werkstatt Beweise
64
3
Lösungen
Baumstämme
S ATZ :
Es ist nicht möglich, in diesem Spiel das Ende zu erreichen.
Beweis: Zählt man die Zahlen von 1 bis 22 zusammen, dann ergibt die Summe S =
253. Während dem ganzen Spiel ändert sich diese Summe nicht. Bei jedem Schritt wird
zwar eine Zahl um eins erhöht, aber gleichzeitig wird eine andere Zahl dafür um eins
verkleinert.
Wenn am Ende 22-mal die Zahl x dastehen sollte, dann müsste auch 22 · x = 253 sein.
253 ist aber nicht durch 22 teilbar!
2
Mit der gleichen Argumentation sieht man, dass sich zehn Baumstämme nicht auf vier
Spalten aufteilen lassen. Fünfzehn Baumstämme lassen sich aber problemlos auf fünf
Spalten verteilen.
4
Mittelwerte
S ATZ :
Für zwei beliebige positive Zahlen a und b gilt immer:
√
ab ≤
a+b
.
2
Die beiden Mittel sind genau dann gleich gross, wenn auch a und b gleich gross sind.
Beweis:
1. Wenn a = b, dann können wir anstatt b überall a schreiben:
√
√
ab =
a2 = a,
und
a+b
a+a
2a
=
=
= a.
2
2
2
Also sind beide Mittel gleich a.
2. Wir gehen von der Annahme aus, dass beide Mittel gleich gross sind und erhalten
daraus, dass dann (a − b)2 = 0 sein muss:
√
ab =
ab =
a+b
2
(a + b)2
4
Werkstatt Beweise
Lösungen
65
4ab = a2 + 2ab + b2
0 = a2 − 2ab + b2
0 = (a − b)2
Wenn (a − b)2 = 0 ist, dann ist auch (a − b) = 0 und damit a = b.
3. Die Umformungen sind die gleichen wie im Punkt (2), nur das Resultat am Schluss
wird anders interpretiert.
√
a+b
2
4ab ≤ a2 + 2ab + b2
ab ≤
0 ≤ a2 − 2ab + b2
0 ≤ (a − b)2
Die Behauptung ist also, dass (a − b)2 nie negativ ist. Das ist aber richtig, weil
(a − b)2 eine Quadratzahl ist.
Da alles Äquivalenzaussagen sind, ist die Behauptung bewiesen.
2
5
Geteiltes Viereck
Q
D
C
l
E
R
S
m
A
P
B
S ATZ :
Wird ein Parallelogramm wie oben in vier kleine Parallelogramme zerlegt, dann haben
die beiden Teile λ und µ immer die gleiche Fläche.
Beweis: Die Diagonale teilt das Parallelogramm in zwei kongruente Dreiecke ∆ABC
und ∆ACD. Die beiden Dreiecke sind kongruent, weil sie in allen drei Seitenlängen
übereinstimmen.
AE und EC sind wiederum die Diaognalen von zwei der kleinen Parallelogramme
AP ER und ESCQ.
Werkstatt Beweise
66
Lösungen
Die Fläche von einem Dreieck bezeichnen wir mit AABC für das Dreieck ∆ABC und
genauso für Parallelogramme. Dann gilt:
AAP E + AESC + Aµ = AABC
AAER + AECQ + Aλ = AACD .
Alle Dreiecke, die hier übereinanderstehen, sind jeweils flächengleich (also AAP E =
AAER usw). Daraus folgt:
Aµ = Aλ .
2
6
Primzahlen
S ATZ :
Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Beweis:
1. Wenn zwei Zahlen a und b beide durch x teilbar sind, dann sind auch a + b, a − b
und b − a durch x teilbar. Das Produkt
A = a1 · a2 · a3 · · · an
ist durch jede der Zahlen a1 bis an teilbar. Wenn also auch A + 1 durch eine Zahl
ai teilbar sein soll, dann teilt ai auch die Differenz von A und A + 1: ai |1. Das geht
nur für ai = 1, aber wir haben vorausgesetzt, dass alle ai > 1 sind.
2. Beweis durch Widerspruch.
Gegenannahme: Es gibt n verschiedene Primzahlen, die wir mit p1 , p2 , . . . , pn bezeichnen (natürlich wäre p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5 etc. und n sehr gross).
Multipliziere alle Primzahlen zusammen und addiere 1 dazu:
P = p1 · p2 · p3 · · · pn + 1.
Diese neue Zahl P ist durch keine Primzahl pi teilbar. Entweder ist also P selber
eine Primzahl oder P ist das Produkt von anderen neuen Primzahlen. Auf jeden
Fall gibt es dann mehr als n Primzahlen und damit ist die Annahme falsch.
2
Werkstatt Beweise
Lösungen
67
In der Einführung hast Du einen Beweis gesehen, dass es keine grösste natürliche Zahl
geben kann. Dieser Beweis hier funktioniert ganz ähnlich: egal wie viele Primzahlen
man schon kennt – es gibt immer noch eine mehr. Also muss es unendlich viele geben.
Die grössten Primzahlen, die man heute kennt, haben übrigens etwa eine Million Stellen.
Wenn man diese Zahl in normaler Computer-Schriftgrösse aufschreibt, würde sie über
einen Kilometer lang!
Zum Vergleich: Nach der Urknall-Theorie stellt man sich heute vor, dass das Universum
nicht unendlich gross ist. Selbst wenn man also die Grösse des Universums in AtomGrössen ausdrückt, hat die Zahl nur wenig mehr als 100 Stellen und erreicht damit
nicht einmal einen Meter Länge!
Primzahlen haben aber auch eine praktische Seite: sie sind nämlich von grosser Wichtigkeit für die Verschlüsselung im Internet. Natürlich braucht man dafür nur mittelgrosse
Primzahlen mit eingien hundert Stellen.
7
Bekanntschaften
S ATZ :
Wenn sich eine beliebige Anzahl n von Personen treffen, dann haben mindestens zwei
davon genau gleich viele Bekannte unter diesen n Personen.
Der Beweis funktioniert mit dem Dirichletschen Schubfachprinzip. Wenn man n+1 Kugeln
auf n Schubfächer verteilen muss, dann enthält ein Schubfach danach mindestens zwei
Kugeln.
Das wird schon beim Geburtstagsproblem angedeutet: es gibt nur 366 Tage im Jahr (das
sind die Schubfächer), aber 367 Personen, die sich treffen (das sind die Kugeln). Also
haben mindestens zwei Personen am selben Tag Geburtstag.
Die Kugeln im Beweis sind die Personen. Die Schubfächer sind die Anzahl der Bekannte,
die jemand hat. Wenn Bob z. B. 17 Bekannte hat, dann ist er im Schubfach Nr. 17.
Der Satz ist bewiesen, wenn wir zeigen können, dass es sicher mehr Personen als Schubfächer (mögliche Bekannte) gibt.
Beweis: Jeder in der Gruppe hat höchstens n−1 Bekannte. Das sind also n Schubfächer:
0, 1, . . . , n − 1. Aber eines der beiden Fächer „0“ oder „n − 1“ wird leer bleiben. Deshalb
sind es dann nur n − 1 Fächer für die n Personen.
Wir beweisen also jetzt: entweder gibt es jemanden, der keine Bekannte hat oder es gibt
jemanden, der alle anderen kennt. Beides kommt aber nicht gleichzeitig vor.
Werkstatt Beweise
68
Lösungen
Wir nehmen an, dass Alice niemanden kennt. Dann kann aber auch niemand von den
anderen Alice kennen. Also kennt jeder der anderen höchstens n − 2 andere Personen.
Damit sind es insgesamt n Personen und nur n − 1 Schubfächer.
Wenn Alice umgekehrt alle anderen kennt, dann kennen auch alle Alice. Also gibt es niemanden, der 0 Bekannte hat. Damit gibt es für die n Personen nur noch n−1 Schubfächer
(von 1 bis n − 1).
2
8
Quadratzahlen
S ATZ :
Für zwei natürliche Zahlen n und n + 1 ist die Differenz der Quadrate n2 und (n + 1)2
immer eine ungerade Zahl.
Umgekehrt findet man zu jeder ungeraden Zahl m zwei aufeinanderfolgende Quadratzahlen n2 und (n + 1)2 , so dass m gerade die Differenz der beiden Zahlen ist.
Beweis: Dass die Differenz der zwei Quadratzahlen immer ungerade ist, ergibt sich
durch einfaches nachrechnen:
(n + 1)2 − n2 = n2 + 2n + 1 − n2
= 2n + 1
n ist eine natürliche Zahl, also ist 2n immer gerade und damit 2n + 1 immer ungerade.
Eine ungerade Zahl m lässt sich also schreiben als m = 2n + 1. Auflösen nach n:
n=
m−1
.
2
Für das Beispiel m = 353 ergibt sich also n = 176. Nachprüfen ergibt: 1762 = 30 976 und
1772 = 31 329. Die Differenz beträgt tatsächlich 353.
2
9
Ein Trapez mit Inkreis
S ATZ :
Im unten abgebildeten Trapez gilt: ϕ = ψ.
Werkstatt Beweise
Lösungen
69
D
d
C
Q
fM y
E
P
B
a
A
Beweis:
1. Der Winkel ψ ist ein rechter Winkel, d. h. 90◦ . Das können wir beweisen, wenn wir
den Thaleskreis über dem Dreieck ∆BCM konstruieren.
M liegt offenbar in der Mitte zwischen AB und CD. E liegt in der Mitte von BC.
Weil AB und CD parallel sind und BC rechtwinkelig daraufsteht, sind BE und
EC beide gleich gross wie der Kreisradius und damit auch gleich gross wie EM .
E ist also tatsächlich von allen drei Punkten B, C und M gleich weit entfernt und
damit der Mittelpunkt vom Thaleskreis.
2. Die Dreiecke ∆AP M und ∆AM Q sind kongruent. Denn P M und M Q sind beide
gleich gross wie der Radius des Inkreises. AM ist die längste Seite von beiden
Dreiecken. Zudem sind beide Dreiecke rechtwinkelig bei P bzw. bei Q.
Weil also ∆AP M und ∆AM Q kongruent sind, müssen die Winkel bei A gleich
gross sein. α wird also in zwei gleich grosse Hälften gespalten.
Für den Winkel δ geht der Beweis analog.
3. Wir wissen bereits, dass ψ = 90◦ ist. Wir müssen also nur zeigen, dass auch ϕ =
90◦ .
Alle Winkel im Trapez ergeben zusammen 360◦ . Die Winkel β (bei B) und γ (bei
C) sind beide 90◦ , also ist
α + β + γ + δ = 360◦
α + δ + 2 · 90◦ = 360◦
α + δ = 180◦
α δ
+
= 90◦ .
2
2
Das Dreieck ∆AM D hat 180◦ Winkelsumme. Es gilt also:
α δ
+ + ϕ = 180◦
2
2
90◦ + ϕ = 180◦
ϕ = 90◦ .
Werkstatt Beweise
70
Lösungen
2
10
Ein Dreieck abdecken
S ATZ :
Ein gleichseitiges Dreieck lässt sich nicht mit fünf kleineren gleichseitigen Dreiecken
abdecken, wenn die kleineren Dreiecke weniger als die halbe Kantenlänge des grossen
Dreiecks haben.
Beweis: Ein gleichseitiges Dreieck lässt sich auf einfache Art in vier kleinere Dreiecke
aufteilen, wie in der Zeichnung unten. Jedes der vier kleinen Dreiecke hat eine Kantenlänge, die genau halb so gross ist wie diejenige des grossen Dreiecks.
C
R
A
Q
P
B
Ersetzt man die vier kleinen Dreiecke durch fünf kleinere, so müssten die fünf Dreiecke
trotzdem die sechs Punkte A, B, C, P , Q und R abdecken. Das können sie aber nicht,
weil jedes kleine Dreieck nur jeweils einen einzigen Punkt abdecken kann.
2
Der Beweis erinnert an das Dirichlet’sche Schubfachprinzip. Wenn mehr Boxen als Kugeln da sind, dann kann nicht jede Box eine Kugel enthalten: eine Box bleibt sicher leer.
11
Das Invarianz-Prinzip
S ATZ :
Es ist in diesem Spiel nicht möglich, das Ende zu erreichen. Das heisst: im Kreis stehen
nie sechs gleiche Zahlen.
Werkstatt Beweise
Lösungen
71
b
c
a
d
f
e
Beweis: Beschrifte den Kreis wie in der Abbildung oben. Wir suchen eine Zahl, die sich
nicht ändert, wenn zwei benachbarte Felder beide um 1 erhöht werden. Diese Zahl ist:
S =a−b+c−d+e−f
oder S = −a + b − c + d − e + f.
Egal, wie lange man das Spiel spielt, es ist immer S = 2 bzw. S = −2.
Wenn aber in allen Feldern die selbe Zahl stünde, dann wäre S = 0. Also ist es nicht
möglich, in allen Felder die selbe Zahl zu erreichen.
2
Werkstatt Beweise
72
Lösungen
Werkstatt Beweise
A
NHANG :
P RÜFUNG A
1. (K1) Die folgende Gleichung hat mindestens eine Lösung zwischen −5 und 5. Beweise das!
(6x2 + 27x) · x = 6 · (10 − x).
2. (K3) Ein pythagoräisches Tripel sind drei natürliche Zahlen (a, b, c), die die Gleichung von Pythagoras erfüllen:
a2 + b2 = c2
(Bsp: (3, 4, 5) oder (12, 5, 13)). Beweise:
S ATZ :
Wenn (a, b, c) ein pythagoräisches Tripel ist und n eine beliebige positive Zahl,
dann ist auch (an, bn, cn) ein pythagoräisches Tripel.
3. (K4) Beweise den folgenden Satz:
S ATZ :
Für jede natürliche Zahl n ist auch der folgende Ausdruck eine natürliche Zahl:
n · (n2 − 1)
.
6
4. (K2) Lies den folgenden Beweis durch und gib an, ob der Beweis direkt oder indirekt ist. Gib auch an, ob es sich um einen Existenzbeweis, einen Unmöglichkeitsbeweis oder keins von beidem handelt. Begründe deine Antworten!
S ATZ :
√
Es ist nicht möglich, 2 als rationale Zahl darzustellen.
Beweis: Angenommen, es ist
weiter kürzbar sein. Dann ist:
√
2=
p
q
√
mit p, q ∈ N. Der Bruch
p
q
p2
2 =
q2
2
2 · q = p2 .
Werkstatt Beweise
2 =
p
q
soll dabei nicht
74
Anhang: Prüfung A
p muss also eine gerade Zahl sein, also p = 2 · n für ein n ∈ N.
2 · q 2 = (2n)2
q 2 = 2 · n2
Also muss auch q eine gerade Zahl sein.
Wenn aber p und q beides gerade Zahlen sind, dann kann man den Bruch
√
mit 2 kürzen. Es gibt also keinen gekürzten Bruch, der gleich 2 ist.
p
q
sicher
2
Werkstatt Beweise
Anhang: Prüfung A
75
Lösungen
1. Beweis: Die Funktion
f (x) = 6x3 + 27x2 + 6x − 60
ist stetig und f (−5) = −165 < 0, f (5) = 1395 > 0.
2
2. Beweis: Einsetzen von (an, bn, cn) gibt:
(an)2 + (nb)2 = (cn)2
n2 a2 + n2 b2 = n2 c2
a2 + b2 = c2
Weil n > 0 ist, können wir n2 kürzen.
2
3. Beweis: Der Ausdruck lässt sich zerlegen:
(n − 1) · n · (n + 1)
n · (n2 − 1)
=
.
6
2·3
Von drei aufeinandnerfolgenden Zahlen ist aber sicher eine durch 3 teilbar. Genauso ist mindestens eine durch 2 teilbar. Man kann also im Zähler sicher die 6
ausklammern und dann kürzen.
2
4. Der Beweis ist√ein indirekter Unmöglichkeitsbeweis. Es wird behauptet, dass es
unmöglich ist, 2 als Bruch darzustellen.
Für √
den Beweis nimmt man das Gegenteil an, nämlich dass es einen Bruch gibt,
der 2 darstellt. Das führt zu einem Widerspruch. Daher ist es ein Widerspruchsbzw. ein indirekter Beweis.
Werkstatt Beweise
76
Anhang: Prüfung A
Werkstatt Beweise
A
NHANG :
P RÜFUNG B
1. (K1) Die folgende Gleichung hat mindestens eine Lösung zwischen −8 und 8. Beweise das!
(x2 − 3x) · x + 3 = 2x − 3.
2. (K3) Beweise den Satz von Pythagoras mit Hilfe der folgenden Figur! (Gib auch
an, wie Du die Figur interpretierst).
c
a
c
b
a
b
3. (K4) Beweise den folgenden Satz:
S ATZ :
Wenn n eine natürliche Zahl ist, dann ist der folgende Ausdruck nie gerade
n(n − 1) + 1.
4. (K2) Lies den folgenden Beweis durch und gib an, ob der Beweis direkt oder indirekt ist. Gib auch an, ob es sich um einen Existenzbeweis, einen Unmöglichkeitsbeweis oder keins von beidem handelt. Begründe deine Antworten!
S ATZ :
√
Es ist nicht möglich, 5 als rationale Zahl darzustellen.
Beweis: Angenommen, es ist
weiter kürzbar sein. Dann ist:
√
5=
p
q
√
mit p, q ∈ N. Der Bruch
p
q
p2
5 =
q2
2
5 · q = p2 .
Werkstatt Beweise
5 =
p
q
soll dabei nicht
78
Anhang: Prüfung B
p muss also durch 5 teilbar sein, also p = 5 · n für ein n ∈ N.
5 · q 2 = (5n)2
q 2 = 5 · n2
Also muss auch q durch 5 teilbar sein.
Wenn aber p und q beide durch 5 teilbar sind, dann kann man den Bruch
√
mit 5 kürzen. Es gibt also keinen gekürzten Bruch, der gleich 5 ist.
p
q
sicher
2
Werkstatt Beweise
Anhang: Prüfung B
79
Lösungen
1. Beweis: Die Funktion
f (x) = x3 − 3x2 − 2x + 6
ist stetig und f (−8) = −682 < 0, f (8) = 310 > 0.
2
2. Beweis: Bei der Figur handelt es sich um zwei Quadrate. Dann ist die Fläche vom
grossen Quadrat:
A = (a + b)2 ,
weil eine Seite a + b lang ist. Auf der anderen Seite kann man das grosse Quadrat
auch mit dem kleinen und den vier Dreiecken zusammensetzen und erhält:
A = c2 + 4 ·
a·b
.
2
Also:
a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab
a2 + b2 = c2 .
2
3. Beweis: Der Ausdruck n(n−1)+1 ist genau dann ungerade, wenn n(n+1) gerade
ist. Die Zahl n selber ist entweder gerade (d. h. durch 2 teilbar) oder ungerade –
wir können also eine Fallunterscheidung machen.
Im ersten Fall, wenn n durch 2 teilbar ist, ist natürlich auch n · (n + 1) durch 2
teilbar und damit gerade.
Im zweiten Fall ist zwar n selber nicht durch 2 teilbar, aber dafür (n + 1).
2
4. Der Beweis ist√ein indirekter Unmöglichkeitsbeweis. Es wird behauptet, dass es
unmöglich ist, 5 als Bruch darzustellen.
Für √
den Beweis, nimmt man das Gegenteil an, nämlich dass es einen Bruch gibt,
der 5 darstellt. Das führt zu einem Widerspruch. Daher ist es ein Widerspruchsbzw. ein indirekter Beweis.
Werkstatt Beweise
80
Anhang: Prüfung B
Werkstatt Beweise
A
NHANG :
L ERNZIELE
Leitidee Beweise spielen in der Mathematik eine zentrale Rolle. Durch einen mathematischen Beweis wird nicht nur der Wahrheitsgehalt einer Aussage sichergestellt – meistens zeigt der Beweis auch die Grenzen der Aussage auf und stellt sie in einen logischen
Kontext.
Dispositionsziel Die Schüler anerkennen Beweise als wichtigen Bestandteil der Mathematik. Die oft künstlich wirkende Struktur von (Definition –) Satz – Beweis erhält
Sinn und die Schüler beginnen selbst, Argumente auf ihre Beweiskraft hin zu untersuchen.
Operationalisiertes Lernziel
• Die Schüler verstehen den Unterschied zwischen einem direkten und einem indirekten Beweis und können zu beiden Arten ein einfaches Beispiel angeben.
• Die Schüler erkennen bei einem vorgegebenen Beweis, ob er direkt oder indirekt
geführt ist und erkennen auch die speziellen Beweisarten „Existenzbeweis“ und
„Unmöglichkeitsbeweis“.
• Die Schüler können einfache Sätze selbst beweisen. Richtlinie sind die obligatorischen Posten.
• Die Schüler kennen je ein Beispiel für eine Existenz- und eine Unmöglichkeitsaussage.
Werkstatt Beweise
82
Anhang: Lernziele
Werkstatt Beweise
A
NHANG :
Q UELLEN
Barth, E., Krumbacher, G., Ossiander, K., Barth, F.: Anschauliche Geometrie 8. München
2000, 6. Auflage (Oldenbourg).
Engel, A.: Problem-Solving Strategies. New York 1998 (Springer).
Frey, K., Frey-Eiling A.: Allgemeine Didaktik. Zürich 2004, 17. Auflage.
Werkstatt Beweise