Funktionen Mehrer Veränderlicher

Teil IV
Funktionen Mehrer
Veränderlicher
Inhaltsangabe
4
Funktionen mehrerer Veränderlicher
49
4.1
Partielle Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.2
Höhere Partielle Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.3
Tangentialebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.4
Totales Di↵erential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.5
Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.6
Partielle Ableitungen in der Thermodynamik . . . . . . . 63
4.7
Implizite Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.8
Taylorentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.9
Extremwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.10 Multilineare Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.11 Integration von Funktionen mehrerer Veränderlicher . . . 83
4.12 Kurven- oder Pfadintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
48
4
Funktionen mehrerer Veränderlicher
4.1
Slide 89
Partielle Ableitungen
Beispiel
van der Waals-Zustandsgleichung eines realen Gases für den Druck als
abhängige Größe
p = p(V, T, n) =
RT
V bn
an2
V2
R, a, b sind Konstanten
(R ist eine universelle Konstante, a und b sind Materialkonstanten)
(in der Mathematik heißen Konstanten auch Parameter)
T, V, n sind Variable
(also durch den experimentellen Aufbau bestimmte, manipulierbare Größen)
Slide 90
O↵ene Menge
Definition: O↵ene Menge
eine Menge A 2 Rn heißt o↵en, wenn es zu jedem Punkt
(x1 , x2 , . . . , xn ) 2 A eine Kugel um diesen Punkt mit
Radius ✏ > 0 gibt, die ganz in A liegt.
Slide 91
Abbildung
Definition: Abbildung
Eine Abbildung
f : A ⇢ Rn 7 ! R
heißt (reellwertige) Funktion von n Veränderlichen.
Man schreibt auch
f (x1 , x2 , . . . , xn )
Oft verwendet man statt x1 , x2 , . . . die Variablen x, y, z.
Ist f komplex, so heisst f eine komplexwertige Funktion von n (reellen)
Variablen.
49
Slide 92
Partielle Ableitung
Definition: Partielle Ableitung
f : A ⇢ Rn 7! R heißt im Punkt (x01 , x02 , . . . , x0n ) 2 A partiell nach x1
di↵erenzierbar, wenn der Limes
@f 0 0
(x1 , x2 , . . . , x0n ) =
@x1
f (x01 + t, x02 , . . . , x0n ) f (x01 , x02 , . . . , x0n )
lim
t!0
t
@f
heißt dann
@x1
partielle Ableitung von f nach x1 im Punkt (x01 , x02 , . . . , x0n ).
existiert.
Slide 93
Bemerkungen
• man schreibt auch statt
tion von x1 , x2 , . . . , xn .
@f
einfach fx1 . fx1 ist i.A. wieder eine Funk@x1
• will man andeuten, dass es sich um den Funktionswert fx1 an der Stelle
(x01 , x02 , . . . , x0n ) handelt, schreibt man auch
fx1 (x01 , x02 , . . . , x0n )
• Ist aus dem Zusammenhang nicht erkennbar, welche Variablen konstant
gehalten werden, so schreibt man explizit
✓
◆
@f
@x1 x2 ,x3 ,...,xn
Slide 94
Partielle Di↵erenzierbarkeit
Definition: Partielle Di↵erenzierbarkeit
Wenn an der Stelle (x01 , x02 , . . . , x0n )alle partiellen Ableitungen nach den xi existieren, heißt die Funktion f
partiell di↵erenzierbar in (x01 , x02 , . . . , x0n )
Sind die partiellen Ableitungen fxi darüber hinaus auch
noch stetig, so heißt f stetig partiell di↵ferenzierbar.
Slide 95
50
Gradient
Bemerkung: Die n partiellen Ableitungen von f nach den xi kann man zu
einem Spaltenvektor zusammenfassen.
Definition: Gradient / Nablaoperator
Der Vektor
0
1
f x1
B fx C
2 C
~ = rf = B
rf
B .. C
@ . A
f xn
~ oder r heißt
heißt Gradientenvektor. Der Operator r
Nablaoperator.
Slide 96
Bemerkungen
~ definiert i.a. eine vektorwertige Funktion von n Veränder• Der Vector rf
lichen x1 , x2 , . . . , xn .
• Operatoren werden in der Quantenmechanik häufig vorkommen. Be~ einfach(?) als eine Abbildungsvortrachten Sie den Nablaoperator r
schrift, um aus einer Funktion (in diesem Fall f ) eine andere Funktion
(in diesem Fall die vektorwertige Funktion der partiellen Ableitungen
von f) zu erzeugen.
Slide 97
Beispiel
n=3
f (x, y, z) =
p
1
x2
y2
z2
D = A = {(x, y, z)|x2 + y 2 + z 2  1} Einheitskugel
1
x
fx = p
· ( 2x) = p
2 1 x2 y 2 z 2
1 x2 y 2 z 2
y
z
Analog fy = p und fz = p
~ =
) rf
p
1
1
x2
y2
0
1
x
@ y A=
z2
z
51
1
T
p (x, y, z)
~ zeigt stets in Richtung auf den Ursprung. Dort ist f maximal. f fällt
rf
zur Oberfläche der Kugel monoton ab.
4.2
Slide 98
Höhere Partielle Ableitungen
Bemerkungen
• die 2. Ableitung einer Funktion f (x) ist die 1. Ableitung der 1. Ableitung
d2 f
df 0
f 00 (x) = 2 =
dx
dx
• Die Ableitung einer vektorwertigen Funktion f = (f1 , f2 , . . . , fm )T , wobei jedes fi eine Funktion fi (x1 , x2 , . . . , xn ) ist, wird gebildet, indem für
jede Komponente fi die n partiellen Abbildungen nach den xj gebildet
werden.
Slide 99
Jacobi-Matrix
0
B
B
B
B
0
f =B
B
B
B
@
@f1
@x1
@f1
@x2
...
@f1
@xn
@f2
@x1
@f2
@x2
...
@f2
@xn
..
.
..
.
..
..
.
@fm
@x1
@fm
@x2
...
.
@fm
@xn
1
C
C
C
C
C
C
C
C
A
Man nennt diese Matrix auch die Jacobi-Matrix oder Jacobische Matrix
oder Jacobian.
Slide 100
Partielle Ableitungen 2. Ordnung
52
Definition:
Die
partiellen
Ableitungen
einer
f (x1 , x2 , . . . , xn ) bezeichnet mant mit fxi xj
f xi xj =
Funktion
@ 2f
.
@xj @xi
für xi 6= xj spricht man von einer gemischten Ableitung,
andernfalls von einer reinen Ableitung.
Slide 101
Bemerkung
@ 2f
bedeutet, dass f zuerst nach xi abgeleitet und dann
@xj @xi
nach xj abgeleitet wird.
• f xi xj =
Operatorschreibweise: fxi xj =
•
•
Slide 102
@ @
f
@xj @xi
Operator
Operator
Funktion
@
ist ein Di↵erentialoperator, der aus einer Funktion ihre Ableitung
@xi
bildet.
Hesse-Matrix
Definition: Hesse-Matrix f 00
Die Matrix der n ⇥ n = n2 zweiten partiellen Ableitungen einer Funktion f heißt Hesse-Matrix f 00
1
0
fx1 x1 fx1 x2 . . . fx1 xn
B fx x fx x . . . f x x C
2 2
2 n C
B 2 1
f 00 = B ..
..
.. C
.
.
@ .
.
. A
.
f xn x1 f xn x2 . . . f xn xn
Slide 103
53
Beispiel
f (x, y, z) = x · y · z 2
~ T = f~ 0 T = (yz 2 , xz 2 , 2xyz)
rf
0
1
0
z 2 2yz
0 2xz A
f 00 = @ z 2
2yz 2xz 2xy
Beobachtung: Die Hessesche Matrix ist symmetrisch
f xi xj = f xj xi
Slide 104
Der Satz von Schwarz
Satz von Schwarz
Sind in einem Bereich G die Ableitungen fxi xj und fxj xi stetige Funktion von xi und xj , so gilt:
fxi xj = fxj xi
Slide 105
Bemerkungen
• Wenn der Satz von Schwarz gilt, ist die Reihenfolge der Di↵erentiation
unerheblich. Statt n2 verschiedener Ableitungen müssen nur n(n + 1)/2
Terme berechnet werden.
• Der Satz gilt analog auch für die höheren Ableitungen, z.B. 3. Ableitungen von f (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ):
f x1 x4 x5 = f x1 x5 x4 = f x5 x1 x4 = f x5 x4 x1
= f x4 x1 x5 = f x4 x5 x1
• Daraus ergibt sich auch eine Wahlfreiheit bzgl. der Reihenfolge (!
Vereinfachungen)
54
4.3
Slide 106
Tangentialebenen
Bemerkungen
• Funktionen mehrerer Veränderlicher, die di↵erenzierbar sind, also partielle Ableitungen besitzen, sind stetig.
• Die Umkehrung gilt nicht: Nicht jede stetige Funktion hat immer und
überall partielle Ableitungen. (aber meistens!)
Slide 107
Frage?
Man kann sich jetzt die Frage stellen Liegen alle durch die partiellen
Ableitungen definierten Tangenten in einer Ebene?
Dies folgt nicht einfach aus der Tatsache, dass z.B. fx (x0 , y0 ) und fy (x0 , y0 )
existieren!!
Slide 108
Di↵erenzierbarkeit
Satz
Hinreichende Bedingung für die Existenz der Tangentialebene im
Punkt P = (x1 , x2 , . . . , xn ) ist, dass die partiellen Ableitungen in
P existieren und stetig sind.
Wenn in P eine Tangentialebene existiert, heißt die Funktion an der
Stelle P di↵erenzierbar.
4.4
Totales Di↵erential
Slide 109
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Slide 110
55
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Muhammet Cakir (GFDL: http://www.gnu.org/copyleft/fdl.html)1
Slide 111
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Slide 112
Abschätzung der Funktionsänderung
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Um welchen Wert ändert sich z = f (x, y), zwischen den Raumpunkten
(x, y, f ) und (x + dx, y + dy, f + df ) ?
dz = df ⇡ fx dx + fy dy
dz = df ⇡ fx dx + fy dy
Slide 113
Abschätzung der Funktionsänderung
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Je kleiner dx und dy, desto genauer die Approximation.
Die Gleichung ist natürlich nur sinnvoll, wenn die Tangentialebene existiert.
Natürlich kann man diese Überlegungen auch auf n Dimensionen (n Variablen) verallgemeinern(aber nicht zeichnen).
Slide 114
1
Muhammet Cakir (GFDL: http://www.gnu.org/copyleft/fdl.html)
56
Totales Di↵erential
Definition: Totales Di↵erential
Existiert im Punkt P = (x1 , . . . , xn ) eine Tangentialebene an die Funktion f (x1 , . . . , xn ), dann führt eine
kleine Änderung dx1 von x1 , dx2 von x2 , . . ., dxn von
xn zu einer Änderung der Funktion f um df
df = fx1 dx1 + fx2 dx2 + . . . fxn dxn
n
X
=
fxi dxi
i=1
df heißt totales Di↵erential.
Slide 115
Bemerkung
Wenn auch stetige Ableitungen höherer Ordnung existieren, kann man
auch totale Di↵erentiale höherer Ordnung definieren.
d2 f = d(df )
Slide 116
Beispiel
z = z(x, y)
2
dz =
=
=
=
✓
◆
@z
@z
d(dz) = d
dx +
dy
@x
@y
✓
◆
@ @z
@z
dx +
dy dx
@x @x
@y
✓
◆
@ @z
@z
+
dx +
dy dy
@y @x
@y
zxx dxdx + zyx dydx + zxy dxdy + zyy dydy
zxx (dx)2 + 2zxy dxdy + zyy (dy)2
Satz von Schwarz
57
Slide 117
Bemerkung
im allgemeinen Fall gilt
d2 f =
4.5
n X
n
X
@ 2f
dxi dxj
@x
@x
i
j
i=0 j=0
Kettenregel
Slide 118
• Sei z = f (u, v) und seien u, v selbst wieder Funktionen von, z.B. x und
y mit u = '(x, y) und v = (x, y).
•
z = f (u, v) = f ('(x, y), (x, y)) = f˜(x, y)
Es gilt o↵ensichtlich
@z
@z @u @z @v
=
·
+
·
@x
@u @x @v @x
@z
@z @u @z @v
=
·
+
·
@y
@u @y @v @y
• allgemein: z hängt von m Variablen ui ab, die ihrerseits wiederum als
Funktionen von m Variablen xk abhängen.
Slide 119
Kettenregel
verallgemeinerte Kettenregel
m
X
@z
=
@xk
i=0
Slide 120
✓
@z
@ui
58
◆ ✓
◆
@ui
·
@xk
Matrixschreibweise
• Schreibt man
dz
:=
du
und
✓
0
B
du
B
:= B
dx
@
@z @z
@z
,
,...,
@u1 @u2
@um
@u1
@x1
@u2
@x1
@u1
@x2
@u2
@x2
..
.
...
...
..
.
@u1
@xm
@u2
@xm
@um
@x1
@um
@x2
...
@um
@xm
..
.
..
.
so erhält man
verallgemeinerte Kettenregel
dz
dx
|{z}
=
Zeilenvektor
analog zur Kettenregel in 1D
Slide 121
◆
dz
du
|{z}
Zeilenvektor
·
1
C
C
C
A
du
dx
|{z}
Matrix
Beispiel
1
f (u, v) = k u2 + v 2
2
1
u := p (x + y)
2
1
v := p (x
2
fu = ku
y)
fv = kv
@u
@v
+ fv
@x
@x
1
1
= k·u· p +k·v· p
2
2
1
1
= k · (x + y) + k (x y)
2
2
= k·x
fx = fu
Slide 122
59
Beispiel
1
f (u, v) = k u2 + v 2
2
1
u := p (x + y)
2
1
v := p (x
2
fu = ku
y)
fv = kv
@u
@v
+ fv
@y
@y
1
1
= k · u · p + k · v · p · ( 1)
2
2
1
1
= k · (x + y) k (x y)
2
2
= k·y
fy = fu
Slide 123
Beispiel
60
Probe (Ersetzen von u, v in f durch x, y)
u
2
=
=
v2 =
=
)
u2 + v 2 =
)
)
)
Slide 124
f =
fx =
fy =
✓
1
p (x + y)
2
◆2
1 2
(x + 2xy + y 2 )
2
✓
◆2
1
p (x y)
2
1 2
(x
2xy + y 2 )
2
x2 + y 2
1
k(x2 + y 2 )
2
kx
ky
q.e.d
Koordinatentransformation
Dies ist ein Beispiel für den E↵ekt einer Koordinatentransformation (u, v) !
(x, y)
61
Slide 125
Koordinatentransformation
62
Wegen Ihrer Form als Rotationsellipsoid (um die z-Achse) sieht die Funktion f (u, v) genauso aus wie die Funktion f˜(x, y)
f˜ = f (u(x, y), v(x, y))
Im allgemeinen sehen f und f˜ verschieden aus!
4.6
Slide 126
Partielle Ableitungen in der Thermodynamik
Thermodynamische Energiefunktionen & Zustandsgleichung
sei z = f (u, v, w)
und sei w = w(u, v, x)
dann ist o↵ensichtlich
z = f (u, v, w) = f (u, v, w(u, v, x))
= '(u, v, x)
f und ' sind 2 verschiedene Funktionen von drei Veränderlichen
U = U (S, V, N ) innere Energie
p = p(V, N, T ) Zustandsgleichung (oder V = V (p, N, T ))
Slide 127
Beispiel
U = E = TS
pV + µN = U (T, V, N )
V = V (p, T, N ) =
Ũ = Ẽ = T S
N kT
R
(ideales Gas, k =
Boltzmannkonstante)
P
NA
N kT + µN = Ũ (T, p, N )
Ẽ hängt von T und N in komplexerer Weise ab als E
allerdings hängt Ẽ jetzt aber in trivialer Weise von p ab (nämlich gar
nicht), bzw. Ẽ ist konstant bzgl. einer Änderung von p.
Slide 128
63
partielle Ableitungen in der Thermodynamik
U = E = T S pV + µN = U (T, V, N )
Ũ = T S
N kT + µN = Ũ (T, p, N )
@E
=S
@T
@E
=µ
@N
@ Ẽ
=S
@T
@ Ẽ
=µ
@N
Nk
kT
) In der Thermodynamik legt man meistens fest, welche anderen Variablen beim partiellen Di↵erenzieren konstant gehalten werden, indem sie als
Indices an den Di↵erentialquotienten angehängt wird. Man läßt aber in der
Regel die Unterscheidung zwischen E und Ẽ weg (m.a.W: man läßt die Tilde
weg).
Slide 129
partielle Ableitungen in der Thermodynamik
Man schreibt also
✓
◆
✓
◆
@E
@E
=S
=S
@T V,N
@T P,N
✓
@E
@T
◆
V,N
6=
✓
@E
@T
◆
Nk
P,N
Und? So what?
Man kann durch Transformation der Variablen (von V, N, T ! p, N, T )
sofort ablesen, dass sich die innere Energie des idealen Gases nicht durch
Druckänderung verändern lässt! (wenn man N und T konstant lässt, also
isotherm arbeitet)
Slide 130
Thermodynamisches Beispiel
z = f (u, v, w)
w = w(u, v, x)
' = '(u, v, x)
E = E(N, T, V ) = T S pV + µN
V = V (N, T, p) = N kT /p
Ẽ = T S N kT + µN
64
Kettenregel:
✓
@'
@u
◆
=
v,x
✓
@f
@u
◆
+
v,w
✓
@f
@w
◆
u,v
·
✓
@w
@u
◆
v,x
mit f = E, ' = Ẽ, u = T, v = N, w = V, x = p und pV = N kT
gilt
@ Ẽ
@T
!
N,p
✓
◆
✓
◆
✓
◆
@E
@E
@V
=
+
·
@T N,V
@V T,N
@T
| {z } | {z } | {z N,p}
p
S
Slide 131
Thermodynamisches Beispiel
✓
4.7
Slide 132
Nk
p
@E
@T
◆
=
N,p
@ Ẽ
@T
!
=S
Nk
N,p
Implizite Funktionen
häufig kann eine Gleichung F (x, y) = 0 nicht (oder nur schwer) nach
y = f (x) aufgelöst werden.
Beispiel:
RT
an2
p = p(V, T, n) =
V bn
V2
Auflösung nach V erfordert die Lösung einer kubischen Gleichung.
Wie kann man trotzdem in einfacher Weise
Slide 133
65
✓
@V
@p
◆
berechnen?
T,n
Definition impliziter Funktionen
Definition: implizite Darstellung
Die Funktion F (x, y) = F (x, y(x)) = 0 heißt implizite
Darstellung der Funktion y = f (x).
y = f (x) heißt die explizite Darstellung der Funktion.
Setzt man y = f (x), so ergibt sich F (x, f (x)) = 0.
Slide 134
Implizite Di↵erentiation
Theorem:
Man erhält die Ableitung einer nur in impliziter Darstellung gegebenen Funktion
dy
= f 0 (x)
dx
gemäß
dy
=
dx
.
Fx (x, y)
Fy (x, y)
Fx und Fy sind die partiellen Ableitungen von F nach
x bzw. y.
Slide 135
Beweis
F (x, y) = 0 überall
=) totales Di↵erential dF = 0
=) 0 = dF = Fx dx + Fy dy
=) Aussage
q.e.d.
Bemerkung: häufig ist diese Methode der einfachere Weg, um die Ableitung zu bestimmen.
Slide 136
66
Verallgemeinerung auf Funktionen von n Variablen
Sei F (x1 , x2 , . . . , xn ) = 0
⇣ ⌘
@F
✓
◆
@xj
@xi
x ,k6=j
= ⇣ ⌘k
@F
@xj xk ,k6=i,k6=j
@xi
xk ,k6=i
Dabei sind alle Variablen äquivalent, d.h. beliebige partielle Ableitungen können so gebildet werden.
Slide 137
Beispiel
van der Waals-Gleichung des realen Gases
Vereinfachung: für das molare Volumen (also n = 1)
⇣
a ⌘
p + 2 (V b) RT = 0 = F (p, V, T )
V
✓
◆
@V
gesucht:
@p T
✓
◆
1 @V
=
ist die isotherme Kompressibilität des Gases
V @p T
“traditionelle Lösung”: Auflösen einer kubischen Gleichung
“smarte Lösung”: implizite Di↵erentiation
Slide 138
Implizite Di↵erentiation
⇣
a ⌘
p + 2 (V
V
✓
@V
@p
◆
=
T
=
=
b)
⇣
RT = 0 = F (p, V, T )
@F
@p
@F
@V
p+
⌘
T,V
T,p
a
V2
V
a
V2
p
67
V b
+ (V b) ·
b
+ 2ab
V3
2a
V3
4.8
Slide 139
Taylorentwicklung
Taylorsche Entwicklung in 1D
f (x0 + h) = f (x0 ) + f 0 (x0 ) · h +
=
1
X
f (i) (x0 )
i=0
i!
f 00 (x0 ) 2
· h + ...
2!
· hi
f (0) := f und f (i) , i > 1, sind die i. Ableitungen von f
Am Entwicklungspunkt x0 ist die Funktion (beliebig oft) di↵erenzierbar.
• Näherungsformeln kann man durch Abbruch der Reihe nach dem n.
Ableitungsterm erhalten in Form eines Polynoms n. Grades
• Wie groß dabei dann h maximal gewählt werden kann, hängt vom Einzelfall ab.
Slide 140
Taylorentwicklung in 2 Dimensionen
• für n = 2 soll f (x + h, y + k) f (x, y) berechnet werden, wobei h und
k kleine feste Werte annehmen
es soll also f (x + h, y + k) approximiert werden
• Wir führen einen Parameter t ein und betrachten
f (x + t · h, y + t · k) =: F (t)
o↵ensichtlich ist F (0) = f (x, y) und F (1) = f (x + h, y + k)
• Wir können nun die Taylorformel für F (t), einer Funktion von nur einer
Veränderlichen verwenden:
t 0
t2 00
t3 000
F (t) = F (0) + F (0) + F (0) + F (0) + . . .
1!
2!
3!
Slide 141
68
Taylorentwicklung in 2 Dimensionen
F (t) = F (0) +
t 0
t2
t3
F (0) + F 00 (0) + F 000 (0) + . . .
1!
2!
3!
• F 0 (0) (F 00 (0)) sind die 1.(2.) Ableitung von F nach t!
F (0) = f (x, y)
F 0 (0) =
df
dt
@f
d(x + th)
@f
d(y + tk)
+
@(x + th)
dt
@(y + tk)
dt
= fx · h + fy · k
=
Slide 142
Taylorentwicklung in 2 Dimensionen
F 00 (0) =
d(fx · h + fy · k)
dt
= (n.b.: h und k sind unabhängig von t n.V.)
@fx
d(x + th)
@fx d(y + tk)
+h
@(x + th)
dt
@(y + tk)
dt
@fy
d(x + th)
@fy
d(y + tk)
+ k
+k
@(x + th)
dt
@(y + tk)
dt
= h
(weil fx und fy wieder von (x + th) und (y + tk)
abhängen)
= fxx · h2 + 2 · fxy · h · k + fyy · k 2
Slide 143
69
Taylorentwicklung in 2 Dimensionen
Setzen wir in der Gleichung
F (t) = F (0) +
t 0
t2
t3
F (0) + F 00 (0) + F 000 (0) + . . .
1!
2!
3!
t = 1, so erhalten wir
F (1) = f (x + h, y + k)
= f (x, y) +
1
(fx h + fy k)
1!
1
(fxx h2 + 2fxy hk + fyy k 2 )
2!
1
+
...
3!
+
Slide 144
Taylorentwicklung in 2 Dimensionen
in Vektorschreibweise:
✓
◆
✓ ◆
✓
◆
f
h
f
f
x
xx
xy
~h :=
f~0 :=
Hesse-Matrix H :=
fy
k
fxy fyy
f (x + h, y + k) = f (x, y)
T
+ f~0 · ~h
+
1~ T
h · H · ~h + . . .
2
Bricht man nach den Gliedern der n-ten Ableitungen ab, so spricht man vom
Taylorpolynom n-ter Ordnung
Slide 145
70
Satz von
Taylor Satz von Taylor
Theorem:
Sei f (x, y) eine (n + 1)mal stetig di↵erenzierbare Funktion. Dann ist
die Funktion die Summe aus dem Taylorpolynom n-ter Ordnung, Tn ,
n
P
und einem Restglied Rn+1 . Tn (h, k) =
tj (h, k) mit
j=0
j
1X
tj (h, k) =
j! i=0
✓ ◆
j
@j f
hi k j i i j i .
i
@x @y
Das Restglied ist (mit # 2 (0, 1)) definiert als
n+1
X
1
Rn+1 (h, k) =
(n + 1)! i=0
Slide 146
✓
n+1
i
◆
hi k n+1
i@
i
f (x + #h, y + #k)
@xi @y n+1 i
Satz von Taylor
Analoge Formeln gelten für mehr als zwei Veränderliche.
Für 3 Veränderliche enthalten die Formeln dann für tn Terme wie
@ nf
hi k j l m , i + j + m = n
@xi @y j @z m
✓ ◆
j
Statt Binomialkoeffizienten
verwendet man dann Multinomialkoefi
✓
◆
n
fizienten
ij k
Die Formeln werden sehr komplex, jedoch ist die Berechnung eines Taylorpolynoms als lokale Approximation für eine Funktion in der Praxis sehr
einfach, wie das nächste Beispiel zeigt.
Slide 147
Beispiel 1
f (x, y, z) = sin(x) + cos(y + z)
Entwicklungspunkt: x~0 T = (x0 , y0 , z0 ) = (0, 0, 0)
f (x0 , y0 , z0 ) = 1
71
fx = cos(x) =) fx (0, 0, 0) = 1
fy = fz =
sin(y + z) =) fy (0, 0, 0) = fz (0, 0, 0) = 0
fxx =
sin(x) =) fxx (0, 0, 0) = 0
fyy =
cos(y + z) =) fyy = fyz = fzz =
1
fxy = fxz = 0
T2 (x, y, z) = 1 +
1
x keine Terme / y, z
1!
1 2
(y + z 2 + 2 · y · z)
2!
1 2 1 2
= 1+x
y
z
y·z
2
2
Slide 148
Beispiel 1
T2 (x, y, z) = 1 + x
= 1+x
1 2 1 2
y
z
2
2
1
(y + z)2
2
y·z
Dies ist das gleiche Ergebnis, als hätte ich sin(x) und cos(v) mit v =
y + z jeweils für sich in einer Dimension in eine Taylorreihe bis zur 2.
Ordnung entwickelt.
Slide 149
sin(x) ⇡ x
x3
3!
cos(v) ⇡ 1
1 2
v
2
+ 4!1 v 4
=) f (x, y, z) ⇡ x + 1
1 2
v
2
=) f (x, y, z) ⇡ x + 1
1 2
y
2
1 2
z
2
72
y·z
Beispiel 2
f (x, y) = ex·y bis zur 4. Ordnung
Entwicklungspunkt: x~0 T = (x0 , y0 ) = (0, 0)
f (x0 , y0 ) = 1
fx = y · exy =) fx (0, 0) = 0
fy = x · exy =) fy (0, 0) = 0
fxx = y 2 exy =) fxx (0, 0) = 0
fyy = x2 exy =) fyy (0, 0) = 0
fxy = (1 + xy)exy =) fxy (0, 0) = 1
1
T2 (x, y, z) = 1 + 2 · xy = 1 + xy
2
Slide 150
Beispiel 2
alle 3. Ableitungen verschwinden
von den 4. Ableitungen bleiben nur die Terme fxxyy und Permutationen
übrig.
✓
◆
4
Davon gibt es
=6
22
1
T4 (x, y, z) = 1 + 2 · xy = 1 + xy
2
1
+
· 6x2 y 2
4!
1
= 1 + xy + (xy)2
2
1
Vergleichen Sie damit die 1D-Entwicklung ev ⇡ 1 + v + v 2 mit v = xy
2
Slide 151
73
Fazit
Taylorentwicklungen in mehreren Dimensionen kann man sehr erleichtern,
indem man statt der exakten Formeln einfach die Entwicklungen (in einer Dimension) der speziellen Funktionen einsetzt. Dabei ist dann zu beachten, dass
man immer soviele Terme berücksichtigt, dass am Ende kein Polynomterm
mit einer Ordnung gleich oder kleiner der gewünschten Entwicklungsordnung
n vergessen wird.
Slide 152
Beispiel
f (x, y, z) = exyz sin(x+y+z) Entwicklung um (0, 0, 0) bis zur 8. Ordnung!
ev ⇡ 1 + v + 12 v 2 + 16 v 3 +
sin(w) ⇡ w
1 3
w
6
+
1 4
v
24
1
w5
120
⇥
Setze v = xyz · (x + y + z)
1
(x
6
+ y + z)3 +
1
(x
120
+ y + z)5
⇤
v enthält Terme 4., 6. und 8. Ordnung (Gesamtpotenz in x, y, z) und
solche mit höherer Potenz als 8 (die wir weglassen können).
v enthält keine Terme 1. -3. Ordnung
f (x, y, z) ⇡ 1 + v + 12 v 2
⇥
f (x, y, z) ⇡ 1 + xyz (x + y + z)
1
(x
6
+ 12 [xyz(x + y + z)]2
Slide 153
⇤
+ y + z)3 +
1
xyz(x
120
+ y + z)5
Beispiel
⇥
f (x, y, z) ⇡ 1 + xyz (x + y + z)
+ 12 [xyz(x + y + z)]2
1
(x
6
+ y + z)3 +
1
(x
120
+ y + z)5
⇤
aus dem linearen Term der Entwicklung der e-Funktion mussten wir die
Terme 4., 6. und 8. Ordnung übernehmen. Die anderen Terme haben
mindestens die Ordnung 10.
74
aus dem quadratischen Term mussten wir nur den Term 8. Ordnung
übernehmen. Andere Terme haben mindestens die Ordnung 10 (4 + 6)
f (x, y, z) ⇡ T8 (x, y, z) = 1 + x2 yz + xy 2 z + xyz 2
1
xyz(x3
6
+ y3 + z3)
1
xyz(x2 y
2
1
xyz(x
120
+ xy 2 + x2 z + xz 2 + y 2 z + yz 2 )
+ y + z)5 +
1 2 2 2 2
x y z (x
2
4.9
Slide 154
x2 y 2 z 2 +
+ y 2 + x2 + 2xy + 2yz + 2xz)
Extremwerte
Lokale Minima und Maxima
Definition: lokale Extrema
Eine Funktion z = f (x1 , x2 , . . . , xn ) besitzt im Punkt (x01 , x02 , . . . , x0n )
ein lokales Minimum, wenn für ein beliebig kleines, aber festes " > 0
gilt
f (x01 +
x1 , x02 +
x2 , . . . , x0n +
xn )
f (x01 , x02 , . . . , x0n ) > 0
für alle | xi | < ".
Analog liegt ein lokales Maximum vor, wenn gilt
f (x01 +
x1 , x02 +
x2 , . . . , x0n +
xn )
f (x01 , x02 , . . . , x0n ) < 0
für alle | xi | < ".
Slide 155
Bemerkung
• Die Beziehungen des Satzes lassen sich auch schreiben als
df (x1 , x2 , . . . , xn )
0 für lokale Minima
df (x1 , x2 , . . . , xn )  0 für lokale Maxima,
mit
xi ! dxi
75
• Minima und Maxima sind durch horizontale Tangentialebenen charakterisiert.
• Daneben gibt es aber auch noch andere Stellen mit horizointalen Tangentialebenen wie z.B. Sattelpunkte (s.u.)
• Eine notwendige Bedingung für die Existenz horizontaler Tangentialebenen ist z.B. (für 2 Variablen)
fx (x, y) = 0 undfy (x, y) = 0
für n Variablen
fxi (x1 , x2 , . . . , xn ) = 0 für i = 1, 2, . . . , n
Papula, Bd. 2, Bild III-34
Slide 156
Slide 157
Kritischer Punkt
Definition: Kritischer Punkt
Ein Punkt (x01 , x02 , . . . , x0n ) heißt kritischer Punkt der Funktion
f (x1 , x2 , . . . , xn ), wenn für alle xi , i = 1, . . . n gilt:
fxi (x1 , x2 , . . . , xn ) =
@f (x1 , x2 . . . , xn )
=0
@xi
im Punkt (x01 , x02 , . . . , x0n ).
An einem kritischen Punkt ist das totale Di↵erential df = 0.
Slide 158
Kritischer Punkt
76
Satz
An einem kritischen Punkt der Funktion f (x1 , x2 , . . . , xn ) liegt
ein Maximum oder Minimum vor, wenn die Determinante der
Hesse-Matrix |H| > 0 ist.
Wenn die Determinante |H| < 0 ist, liegt ein Sattelpunkt vor.
In 2 Dimensionen reicht es dann, das Vorzeichen von fxx (oder fyy ) zu
betrachten, um zu entscheiden, ob ein lokales Minimum oder ein Maximum
vorliegt:
Ist fxx > 0, so liegt ein lokales Minimum vor.
Ist fxx < 0, so liegt ein lokales Maximum vor.
Ist die Determinante von H = 0, so lässt sich anhand dieses Satzes nicht
entscheiden, ob ein lokales Minimum oder ein lokales Maximum vorliegt.
In mehr als 2 Dimensionen muss man auf die Eigenwerte von H zurückgreifen.
Slide 159
Beispiel
f (x, y) =
x2
a2
+
fx (x, y) =
2x
a2
fy (x, y) =
2y
b2
y2
b2
=) (x0 , y0 ) = (0, 0) ist der einzige kritische Punkt
fxx (x, y) =
2
a2
> 0 fxy = fyx = 0 fyy (x, y) =
2
fxy
=
|H| = fxx · fyy
4
a2 b 2
>0
=) Minimum
Slide 160
Beispiel 2
f (x, y) =
fx (x, y) =
fy (x, y) =
y2
b2
x2
a2
2x
a2
2y
b2
77
2
b2
>0
=) (x0 , y0 ) = (0, 0) ist der einzige kritische Punkt
fxx (x, y) =
2
a2
> 0 fxy = fyx = 0 fyy (x, y) =
|H| = fxx · fyy
2
fxy
=
4
a2 b2
2
b2
<0
<0
=) Sattelpunkt
Papula, Bd. 2, Bild III-36
Slide 161
Slide 162
Anwendungen
• thermodynamisches Gleichgewicht =) Finden des Minimums der freien
Energie (oder des Maximums der Entropie)
• Quantenmechanik =) Bestimmung der minimalen Energie eines Moleküls als Funktion der Kernkoordinaten: Strukturbestimmung Bestimmung der minimalen Energie eines Moleküls als Funktion der Beiträge
von Atomorbitalen in MOs: Quantenchemie
• Fitten von Daten an Modelle =) lineare Regression Multilineare Regression
4.10
Slide 163
Multilineare Regression
Ausgleichsgerade
Aufgabe: Finden Sie die “beste” Ausgleichsgerade durch die Messpunkte!
n Punkte (xi , yi ), z.B. Messwerte
Eine Gerade ist gegeben durch die Gleichung y = a0 + a1 x
Frage: Was ist die “beste” Gerade?
Antwort: Diejenige, die die Abweichungen zwischen Experiment und
Ausgleichsgerade Minimiert.
Slide 164
78
Ausgleichsgerade
y
• •
•
•
•
•
x
Welche Funktion soll minimiert werden?
Slide 165
Ausgleichsgerade
Welche Funktion soll minimiert werden?
in der Regel
f (a0 , a1 ) =
n
X
yi expt
yi berechnet
2
i=1
=
n
X
(yi
a0
a1 x i ) 2
i=1
a0 , a1 sind die Variablen in dieser Betrachtung, da sie berechnet werden
müssen.
Die (xi , yi ) sind nach der Messung Konstanten (Mess”werte”)
Slide 166
Zielfunktion
Man nennt f (a0 , a1 ) auch die (quadratische) Norm, den “Abstand”, die
Zielfunktion, “the Objective”, etc.
• Prinizipiell funktioniert jede Norm, also auch
n
X
|yi a0 a1 xi |m , m = 1, . . . , ]1
i=1
mehr oder weniger gut.
Slide 167
79
Die Bestimmung der Koeffizienten a0 und a1
n
X
@f
=2
(yi
@a0
i=1
a0
a1 xi ) · ( 1)
a0
a1 x i ) · ( x i )
n
X
@f
=2
(yi
@a1
i=1
!
0=2
n
X
(yi
a0
a1 x i )
i=1
!
0=2
n
X
(yi xi
a0 x i
a1 x2i )
i=1
Slide 168
Die Bestimmung der Koeffizienten a0 und a1
!
0=2
n
X
(yi
a0
a1 xi )
i=1
!
0=2
n
X
(yi xi
a0 x i
a1 x2i )
i=1
s0 :=
sx2 :=
n
X
i=1
n
X
1 = n
sx :=
n
X
xi
i=1
sy :=
n
X
i=1
x2i
i=1
0 = 2 · ( sy + na0 + sx a1 )
0 = 2 · ( sxy + sx a0 + sx2 a1 )
Slide 169
80
yi sxy :=
n
X
i=1
xi yi
Die Bestimmung der Koeffizienten a0 und a1
2 · ( sy + na0 + sx a1 )
2 · ( sxy + sx a0 + sx2 a1 )
0=
0=
• aus (1) a0 =
sy
a1 s x
n
• eingesetzt in (2):
a1 s x
+ s x 2 a1
n✓
◆
sx sy
(sx )2
=
sxy +
+ s x2
a1
n
n
!
⇣
sx sy ⌘
1
= sxy
·
2
n
sx2 (snx )
0 =
) a1
Slide 170
sxy + sx
sy
Die Bestimmung der Koeffizienten a0 und a1
a1 =
=
⇣
sxy
sxy n
sxy n
s x2 n
nsxy
=
nsx2
=
sx sy ⌘
·
n
sx sy
n
·
1
s x2
1
sx2 n (sx )2
n
sx sy
(sx )2
sx sy
= a1
(sx )2
Slide 171
81
(sx )2
n
!
Die Bestimmung der Koeffizienten a0 und a1
a1 s x
n
sy sx nsxy sx sy
=
·
n
n nsx2 (sx )2
sy (n · sx2 sx · sx ) sx · nsxy + sx · sx · sy
=
n(n · sx2 sx · sx )
sy sx2 sx sxy
=
= a0
nsx2 sx sx
a0 =
sy
Koeffizienten lineare Regression
a0 =
Slide 172
s y s x2
nsx2
sx sxy
sx sx
a1 =
nsxy
nsx2
sx sy
sx sx
Multilineare Regression
Der allgemeine Fall
y=
N
X
ak x k
k=0
erfordert das Lösen eines Gleichungssystems mit (N + 1) Gleichungen
und (N + 1) unbekannten Koeffizienten ak .
Dabei werden Summen des Typs
n
P
i=1
xki yi und
n
P
i=1
xki benötigt.
Das Gleichungssystem wird dann in der Regel durch Matrixinversion
gelöst.
Wenn die Koeffizienten ai nicht mehr linear im ’Fitausdruck’ vorkommen, funktioniert die Matrixinversion nicht mehr, man muss stattdessen ein nichtlineares Fitverfahren anwenden.
82
4.11
Slide 173
Integration von Funktionen mehrerer Veränderlicher
Integration über eine Variable
Sei f (x, y) = x2 + 2y eine Funktion der zwei Variablen x und y.
Ein Intervall [a, b] = [2, 4] sei für die Variable y definiert.
Man kann die Funktion f (x, y) im Intervall [a, b] nach y integrieren,
wenn man x als einen Parameter betrachtet.
• dann ist
g=
Zb
f (y; x)dy =
a
Z4
f (y; x)dy
2
natürlich wieder eine Funktion g(x).
Slide 174
Integration über eine Variable
g(x) =
Z4
f (y; x)dy
2
=
⇥
x2 y + y 2
2
= 4x + 16
= 2x2 + 12
Slide 175
y=2
(2x2 + 4)
Integration
Theorem:
Wenn f (x, y) eine im abgeschlossenen Rechteck [c, d] ⇥
[a, b] stetige Funktion von x und y ist, so ist g(x) mit der
Rb
Definition der g(x) := g(x, y)dy eine stetige Funktion
a
von x.
Frage: ist g(x) di↵erenzierbar?
Slide 176
⇤y=4
83
Integration
Theorem:
Wenn f (x, y) und fx (x, y) im abgeschlossenen Rechteck
[c, d] ⇥ [a, b] existieren und stetig sind, so ist
g(x) =
Zb
f (x, y)dy
a
im Intervall bzgl. x di↵erenzierbar und es gilt:
d
g (x) =
dx
0
Zb
f (x, y)dy =
a
Slide 177
Zb
a
Beispiel
g(x) =
Z2
@f
(x, y)dy
@x
|{z}
fx
(x2 + 2y)dy = 2x2 + 4
0
g 0 (x) = 4x
Aufgrund des Satzes ist
d
g(x) =
dx
Z2
2xdy = [2xy]y=2
y=0 = 4x
0
Slide 178
Nichtkonstante Integrationsgrenzen
Interessant ist der Fall, wenn a und b ebenfalls Funktionen von x sind,
also
Z2 (x)
g(x) =
f (x, y)dy
1 (x)
Slide 179
84
Nichtkonstante
Theorem: Integrationsgrenzen
Wenn f (x, y), 1 (x), 2 (x) stetige Ableitungen nach x
besitzen, gilt
Z2 (x)
fx (x, y)dy
g 0 (x) =
1 (x)
+ f (x,
2 (x))
Kettenregel: g(x) = '(x,
·
0
2 (x)
1 (x),
f (x,
1 (x))
·
0
1 (x)
2 (x))
Slide 180
g 0 (x) =
+
+
Slide 181
@'
@x
@' d 1
@ 1 dx
@' d 2
@ 2 dx
Ableitung bei konstanten Grenzen
Ableitung nach oberer Grenze
Ableitung nach unterer Grenze
Beispiel
sin x
Z
g(x) =
xydy
x2
sin x
Z
) g (x) =
ydy + x
| sin
{z x} · cos
| {zx}
0
f (x,
x2
x3 · |{z}
2x
|{z}
f (x,
=
=

2 (x))
1 (x))
1 2
y
2
0
2 (x)
0
1 (x)
sin x
+ x sin x cos x
2x4
x2
1 2
sin x
2
1 4
x
2
2x4 + x sin x cos x
85
= sin x
✓
1
sin x + x cos x
2
◆
5 4
x
2
g(x) ist (zumindest im aktuellen Beispiel) wieder eine stetige Funktion
von x und kann wieder integriert werden.
Slide 182
Zusammen mit der ersten Integration spricht man für die zweite Integration (nach x) von einem Doppelintegral
für mehr als 2 Dimensionen von Dreifach- bzw. n-fach-Integralen.
zur Berechnung gilt der folgende nützliche Satz von Fubini:
Slide 183
Satz von Fubini
Satz von Fubini
Das Doppelintegral der im abgeschlossenen Rechteck [c, d] ⇥ [a, b] stetigen Funktion f (x, y) ist unabhängig von der Reihenfolge der Integrationen
Zd Zb
Zb Zd
f (x, y)dxdy =
f (x, y)dydx
c
Slide 184
a
a
c
zur Schreibweise
• Man zieht häufig das dxi zum zugehörigen Integralzeichen vor
und schreibt es direkt hinter das Integralzeichen (“Operatorschreibweise”)
Zd
c
dy
Zb
dx f (x, y) =
a
Zb
a
dx
Zd
dy f (x, y)
c
• “Abarbeiten” von Innen (rechts) nach Außen (links)
•
Zb
dx ist dann der Operator für die Vorschrift “integriere nach x von a
a
bis b”.
Slide 185
86
Anwendung: Bereichsintegrale
V = lim lim
m!1 n!1
Slide 186
m X
n
X
i=1 j=1
V = lim lim
m!1 n!1
Grenzübergang
V =
xi yj · f (xi , yj )
m X
n
X
i=1 j=1
ZZ
xi yj · f (xi , yj )
f (x, y)dxdy
B
wobei Volumenanteile oberhalb der xy-Ebene positiv, solche unterhalb
der xy-Ebene negativ gezählt werden.
87
Slide 187
Führen wir zunächst die y-Integration durch, so erhalten wir eine nur noch
von x abhängige Funktion, die dann “normal” integriert werden kann.
Z2 (x)
g(xi ) =
f (xi , y)dy
1 (x)
V =
Zb
g(x)dx
a
Slide 188
Beispiel
88
f (x, y) = x · y B ist ein Viertelkreis mit Radius 2
Slide 189
Beispiel
V
=
ZZ
f (x, y)dxdy =
0
B
Z2  2
y
=
x
2
0
Z2
2 (x)
0
1
Z2 (x)
B
C
x · ydy A dx
@
1 (x)
dx
1 (x)
Z2
Z2
⇤
1⇥
1
2
=
x (4 x ) 0 dx =
(4x x3 )dx =
2
2
0
0

1 4 2 1 4
1
=
x
x = [8 4 0] = 2
2 2
4
2
Slide 190
Verallgemeinerung
Sei (x1 , x2 , . . . , xn ) 2 R
Sei ferner f (x1 , . . . , xn ) stetig im n-dimensionalen “Rechteck” zwischen
min
min
max
(xmin
, xmax
, . . . , xmax
), dem Bereich Bn
1 , x2 , . . . , xn ) und (x1
2
n
89
Dann heißt
ZZZ
Z
...
f (x1 , x2 , . . . , xn )dx1 dx2 . . . dxn
|
{z
}
n Integrale
über Bereich Bn
das n-dimensionale Bereichsintegral (n-fach-Integral).
Slide 191
Anwendung
• Berechnung von Volumina
• Berechnung von Mittelwerten über einen Bereich (allgemein: über eine
Verteilungsfunktion)
• in der Quantenmechanik: Erwartungswerte, Normierungsintegrale wie
z. B.
Z
| (xi , yi , zi )|2 dx1 dy1 dz1 dx2 . . . dzn , i = 1, . . . n
Wellenfunktion, n Zahl der Elektronen
Slide 192
Koordinatentransformation
• Führt man die Bereichsintegration auf einfache Integrationen zurück
(Angabe der Grenzfunktionen 1 und 2 ), so wird der Integrand häufig
sehr kompliziert.
• Wenn aber z. B. der Bereich ein Kreis mit Radius R ist, dann entspricht
die Berichsintegration einer Integration über alle Winkel (von 0 bis
2⇡) und über Abstände r vom Ursprung zwischen 0 und R.
Slide 193
90
Koordinatentransformation
• die Transformationsgleichungen
x = G(u, v)
und
y = H(u, v)
definieren eine vektorwertige Funktion in 2 Variablen, die den Bereich
A 2 R2 auf den Bereich B 2 R2 abbildet:
(x, y) ! (G, H)
A ist der Bereich für x, y und B der Bereich für die neuen Variablen
G, H
Slide 194
Koordinatentransformation
Die Jacobi-Matrix dieser Transformation lautet .
✓ @G @G ◆
@x
@H
@x
@y
@H
@y
Ihre Determinante muss 6= 0 sein, sonst ist die Transformation nicht
eindeutig (lineare UnAbhängigkeit der Ableitungen)
• Diese Transformation soll nun für das Bereichsintegral
ZZ
f (x, y)dxdy
A
genutzt werden.
Slide 195
91
Bereichsintegral
V
=
ZZ
f (x, y)dxdy
A
=
=
=
Slide 196
lim lim
m!1 n!1
lim lim
m!1 n!1
lim lim
m!1 n!1
m X
n
X
i=1 j=1
m X
n
X
i=1 j=1
m X
n
X
i=1 j=1
xi yj · f (xi , yj )
xi yj · f (G(xi , yj ), H(xi , yj ))
·f (G(xi , yj ), H(xi , yj ))
xi yj
G i Hj
| {z
}
Flächenverhältnis
Gi Hj
Bereichsintegral
• Das Flächenverhältnis ist gleich der Determinante der Jacobimatrix (im
lim ; ohne Beweis).
m,n!1
• Damit wird
V
=
ZZ
f (x, y)dxdy
A
=
ZZ
f (G(x, y), H(x, y))
B
Slide 197
92
d(x, y)
dGdH
d(G, H)
| {z }
Betrag der
Jacobi-Determinante
Beispiel
f (x, y) = x · y
x = r cos ' = G(r, ')
y = r sin ' = H(r, ')
• wie oben: Integration über Viertelkreis (mit Radius 2)
• Jacobi-Determinante
@G
@x
@H
@x
Slide 198
@G
@y
@H
@y
=
=
cos '
sin '
cos '
sin '
r sin '
r cos '
Beispiel
• Jacobi-Determinante
@G
@x
@H
@x
@G
@y
@H
@y
= r cos2 '
Slide 199
Beispiel
93
r sin '
r cos '
( r sin ') sin ' = r
)
ZZ
f (x, y)dxdy =
A
ZZ
f (r, ') · rdrd'
B
=
ZR
0
Z⇡/2
dr d' r · r cos ' · r sin '
=
ZR
Z⇡/2
dr r
d' sin ' cos '
=
ZR
0
0
3
0
dr r3
0
Slide 200
Z0
cos '( d cos ')
1
Beispiel
)
ZZ
f (x, y)dxdy = . . .
A
=
ZR
dr r3
0
ZR
Z1
cos 'd cos '
0
ZR
⇥
⇤
1
1
1
=
dr r3 cos2 ' 0 =
dr r3
2
2
0
0
 4 R
1 r
11 4
=
=
R = 2 für R = 2
2 4 0
24
Slide 201
Koordinatentransformationen
• Polarkoordinaten
94
• Zylinderkoordinaten
• Kugelkoordinaten
• Schwerpunktskoordinaten
• elliptische Koordinaten (! H+
2)
Slide 202
Koordinatentransformationen
Polarkoordinaten
(x, y) ! (r, ')
Transformationsgleichungen:
p
r =
x2 + y 2
' = arctan xy
x = r cos '
y = r sin '
dx dy = rdr d'
Slide 203
Koordinatentransformationen
Zylinderkoordinaten
(x, y, z) ! (⇢, ', z)
Transformationsgleichungen:
p
⇢ =
x2 + y 2
' = arctan xy
x = ⇢ cos '
y = ⇢ sin '
z = z
dx dy dz = rdr d' dz
Slide 204
95
Koordinatentransformationen
Kugelkoordinaten
(x, y, z) ! (r, #, ')
Transformationsgleichungen:
x = r sin # cos '
y = r sin # sin '
z = r cos #
p
r =
x2 + y 2 + z 2
# = arccos zr = 2
' = arctan
y
x
z
1
(x +y 2 +z 2 ) 2
dx dy dz = r2 dr sin #d# d'
Slide 205
Erwartungswerte
• häufig hat man es in der Theorie mit Verteilungsfunktionen (engl.: “distribution functions”) zu tun.
• Sie geben, für kontinuierliche Variablen, die Wahrscheinlichkeitsdichte
für das Auftreten bestimmter Werte der unabhängigen Variablen an.
• die Wahrscheinlichkeit, diese zwischen (x1 , . . . , xn ) und (x1 +dx1 , . . . , xn +
dxn ) zu finden:
p(x1 , . . . , xn )dx1 . . . dxn
(
0)
• kennt man die Verteilungsfunktion, so lassen sich daraus Erwartungswerte oder Mittelwerte berechnen.
Slide 206
Erwartungswerte
96
Definition: Erwartungswert
Der Erwartungswert einer Eigenschaft e, die von n
Variablen x1 , . . . , xn abhängt, die wiederum mit einer Wahrscheinlichkeitsdichte p(x1 , . . . , xn ) auftreten,
ist gegeben durch
R
R
··· dx1 . . . dxn e(x1 , . . . , xn )p(x1 , . . . , xn )
R
E =Bereich R
··· dx1 . . . dxn p(x1 , . . . , xn )
Bereich
Ist das Nennerintegral gleich 1, so spricht man von einer
auf eins normierten oder kurz normierten Wahrscheinlichkeitsdichte.
Slide 207
Beispiele
• In der Quantenmechanik möchte man z.B. den mittleren Abstand des
Elektrons im Wassersto↵atom vom Kern kennen, wenn sich das Atom
im 1s-Zustand (Grundzustand) befindet. p(r, #, ') = | 1s (r, #, ')|2 ist
dann das Absolutquadrat der Wellenfunktion 1s . Die Eigenschaft e ist
dann einfach der Abstand r zwischen Elektron und Kern.
Slide 208
Beispiele
• In der Quantenmechanik möchte man z.B. die mittlere Bindungslänge
in einem Molekül, z.B. H2 kennen. p(xi , yi , zi ) = | (xi , yi , zi )|2 (i =
1, . . . , n) ist dann das Absolutquadrat derp
Wellenfunktion . Die Eigenschaft e ist dann einfach der Abstand r = (x1 x2 )2 + (y1 y2 )2 + (z1
zwischen den beiden Atomen.
Slide 209
Beispiele
• in der statistischen Thermodynamik möchte man die mittlere Energie
eines Systems im thermischen Gleichgewicht bei der Temperatur T kennen. Die Eigenschaft e ist dann die sogenannte Hamiltonfunktion (totale
97
z2 )2
Energie) und die Wahrscheinlichkeitsdichte p ist der Boltzmannfaktor
e E(xi )/kB T .
• Die Integration erfolgt jeweils über alle Koordinaten.
4.12
Slide 210
Kurven- oder Pfadintegrale
Arbeit entlang eines Weges
• berechne die Arbeit, um Massenpunkt von A nach B entlang des
Pfades C zu bringen
• “Arbeit” = – “Kraft” · “Weg”
W =
Z
F~ d~s
Pfad
C
• ~s = ~s(t) ist eine parametrisierte Kurve für den Pfad C
Slide 211
Arbeit entlang eines Weges
98
• ~s = ~s(t) ist eine parametrisierte Kurve für den Pfad C
• an jedem Punkt gilt d~s =
Z
)W =
d~s(t)
dt
dt
d~s(t)
F~ (x, y, z) ·
dt =
dt
C
ZB
F~ · d~s
A
Hier und im folgenden wird bei den Skalarprodukten der Einfachheit halber das Suffix ’T ’ für die
Transposition des linken Vektors weggelassen.
Slide 212
Verallgemeinerung
Definition: Linienintegral
Z
I :=
f~(x1 , . . . , xn )d~x
Pfad
C
heißt Linienintegral.
Slide 213
Bemerkungen
• o↵ensichtlich ist
I
⇣
A ! B
⌘
=I
⇣
B ! A
⌘
• ein in Physik und Chemie interessanter Fall: I ist wegunabhängig.
(in der Mechanik: konservative Kräfte)
(in der Thermodynamik: ) Zustandsfunktionen)
Slide 214
99
Wegunabh
ängigkeit und totales Di↵erential
Theorem:
Sei
Z
I = [P (x, y)dx + Q(x, y)dy] .
C
I ist wegunabhängig, wenn
P =
@F
@F
= Fx und Q =
= Fy ,
@x
@y
also partielle Ableitungen einer Funktion F sind.
Slide 215
Wegunabh
ängigkeit und totales Di↵erential
Theorem:
Ist
F~ d~s
ein totales Di↵erential, so ist
Z
F~ d~s
C
wegunabhängig.
Slide 216
Wegunabhängigkeit und totales Di↵erential
100
Definition:
I
F~ d~s
C
bezeichnet ein Linienintegral über eine geschlossene
Kurve ( A = B ).
Wenn F~ d~s ein totales Di↵erential ist, so ist
I
F~ d~s = 0
C
Die Stammfunktion von F~ ist dann eine “Zustandsfunktion”.
Slide 217
Beispiele
• Mechanik:
W =
ZB
F~ d~s
A
• Thermodynamik:
U=
ZB
A
Slide 218
0
1 0
1
p
dV
@ T A · @ dS A
µ
dN
Berechnung
Wie berechnet man Linienintegrale?
• Weiß man, dasss es eine Stammfunktion gibt, so kann man den Weg
geeignet wählen, da der Wert des Integrals nur von Anfangs- und Endpunkt abhängt.
Andernfalls muss man die Kurve ~s parametrisieren.
Slide 219
101
Beispiel
F~ (x, y) = x · y ·
Slide 220
✓
1
1
◆
Beispiel
Z
C1
x·y·
✓
1
1
◆ ✓
◆
Z1
dx
·
=
dy y · 0
dy
0
+
Z2
0
dx x · 1

x2
= 0+
2
Slide 221
102
2
=2
0
Beispiel
• Parametrisierung von Pfad C2 :
x(t) = 2 · t für t 2 [0, 1]
dx
=2
dt
für t 2 [0, 1]
dy
=1
dt
y(t) = t
Z
=
0
C2
Slide 222
Z1
✓ ◆ ✓ ◆
Z1
⇥ ⇤1
1
2
2t2
·
dt = 6t2 dt = 2t3 0 = 2
1
1
0
Beispiel
Ist das Linienintegral wegunabhängig?
nein, denn Probe auf den Schwarz’schen Satz ergibt
@(xy)
@(xy)
= Fxy = x 6=
= Fyx = y
@y
@x
Beweis: betrachte die Kurve C3 : (0, 0) ! (2, 0) ! 2, 1)
Z
C3
=
Z2
0
dx x · 0 +
Z1
dy y · 2 = 2
0
) Wegintegral ist nicht pfadunabhängig.
103

y2
2
1
=1
0