Konstruierbare Zahlen

Konstruierbare Zahlen
Konstruierbare Zahlen
Def. 11
Konstruierbare Zahlen
Def. 11
Die Zahl a ∈ R heißt konstruierbar,
Konstruierbare Zahlen
Def. 11 Die Zahl a ∈ R heißt konstruierbar, wenn bei gegebener
Strecke der Länge 1
Konstruierbare Zahlen
Def. 11 Die Zahl a ∈ R heißt konstruierbar, wenn bei gegebener
Strecke der Länge 1 eine Strecke der Länge |a| konstruierbar ist.
Konstruierbare Zahlen
Def. 11 Die Zahl a ∈ R heißt konstruierbar, wenn bei gegebener
Strecke der Länge 1 eine Strecke der Länge |a| konstruierbar ist.
Satz 8
Konstruierbare Zahlen
Def. 11 Die Zahl a ∈ R heißt konstruierbar, wenn bei gegebener
Strecke der Länge 1 eine Strecke der Länge |a| konstruierbar ist.
Satz 8 Sind die Zahlen a, b ∈ R konstruierbar,
Konstruierbare Zahlen
Def. 11 Die Zahl a ∈ R heißt konstruierbar, wenn bei gegebener
Strecke der Länge 1 eine Strecke der Länge |a| konstruierbar ist.
Satz 8 Sind die Zahlen a, b ∈ R konstruierbar, so auch die Zahlen
a + b, a − b, ab, a/b
Konstruierbare Zahlen
Def. 11 Die Zahl a ∈ R heißt konstruierbar, wenn bei gegebener
Strecke der Länge 1 eine Strecke der Länge |a| konstruierbar ist.
Satz 8 Sind die Zahlen a, b ∈ R konstruierbar, so auch die Zahlen
a + b, a − b, ab, a/b (falls b 6= 0),
Konstruierbare Zahlen
Def. 11 Die Zahl a ∈ R heißt konstruierbar, wenn bei gegebener
Strecke der Länge 1 eine Strecke der Länge |a| konstruierbar ist.
Satz 8 Sind die Zahlen a, b ∈ R konstruierbar,
so auch die Zahlen
√
a + b, a − b, ab, a/b (falls b 6= 0),
a (falls a > 0 ).
Beweis.
Konstruierbare Zahlen
Def. 11 Die Zahl a ∈ R heißt konstruierbar, wenn bei gegebener
Strecke der Länge 1 eine Strecke der Länge |a| konstruierbar ist.
Satz 8 Sind die Zahlen a, b ∈ R konstruierbar,
so auch die Zahlen
√
a + b, a − b, ab, a/b (falls b 6= 0),
a (falls a > 0 ).
Beweis. Seien Strecken der Längen 1, a, b gegeben.
Konstruierbare Zahlen
Def. 11 Die Zahl a ∈ R heißt konstruierbar, wenn bei gegebener
Strecke der Länge 1 eine Strecke der Länge |a| konstruierbar ist.
Satz 8 Sind die Zahlen a, b ∈ R konstruierbar,
so auch die Zahlen
√
a + b, a − b, ab, a/b (falls b 6= 0),
a (falls a > 0 ).
Beweis. Seien Strecken der Längen 1, a, b gegeben. Die Konstruktion
von Strecken der Längen a + b und a − b (falls a > b) ist trivial.
Konstruierbare Zahlen
Def. 11 Die Zahl a ∈ R heißt konstruierbar, wenn bei gegebener
Strecke der Länge 1 eine Strecke der Länge |a| konstruierbar ist.
Satz 8 Sind die Zahlen a, b ∈ R konstruierbar,
so auch die Zahlen
√
a + b, a − b, ab, a/b (falls b 6= 0),
a (falls a > 0 ).
Beweis. Seien Strecken der Längen 1, a, b gegeben. Die Konstruktion
von Strecken der Längen a + b und a − b (falls a > b) ist trivial. Die
Konstruktion von Strecken der Längen a/b und ab läßt sich an den
folgenden ähnlichen Dreiecken ablesen:
Konstruierbare Zahlen
Def. 11 Die Zahl a ∈ R heißt konstruierbar, wenn bei gegebener
Strecke der Länge 1 eine Strecke der Länge |a| konstruierbar ist.
Satz 8 Sind die Zahlen a, b ∈ R konstruierbar,
so auch die Zahlen
√
a + b, a − b, ab, a/b (falls b 6= 0),
a (falls a > 0 ).
Beweis. Seien Strecken der Längen 1, a, b gegeben. Die Konstruktion
von Strecken der Längen a + b und a − b (falls a > b) ist trivial. Die
Konstruktion von Strecken der Längen a/b und ab läßt sich an den
folgenden ähnlichen Dreiecken ablesen:
a/b
a
b
1
Konstruierbare Zahlen
Def. 11 Die Zahl a ∈ R heißt konstruierbar, wenn bei gegebener
Strecke der Länge 1 eine Strecke der Länge |a| konstruierbar ist.
Satz 8 Sind die Zahlen a, b ∈ R konstruierbar,
so auch die Zahlen
√
a + b, a − b, ab, a/b (falls b 6= 0),
a (falls a > 0 ).
Beweis. Seien Strecken der Längen 1, a, b gegeben. Die Konstruktion
von Strecken der Längen a + b und a − b (falls a > b) ist trivial. Die
Konstruktion von Strecken der Längen a/b und ab läßt sich an den
folgenden ähnlichen Dreiecken ablesen:
a/b
a
b
1
Solches ähliches Dreieck ist konstruierbar, weil eine Gerade durch einen
gegebenen Punkt, die zu einer gegebenen Geraden parallel ist, ist
konstruierbar.
Konstruierbare Zahlen
Def. 11 Die Zahl a ∈ R heißt konstruierbar, wenn bei gegebener
Strecke der Länge 1 eine Strecke der Länge |a| konstruierbar ist.
Satz 8 Sind die Zahlen a, b ∈ R konstruierbar,
so auch die Zahlen
√
a + b, a − b, ab, a/b (falls b 6= 0),
a (falls a > 0 ).
Beweis. Seien Strecken der Längen 1, a, b gegeben. Die Konstruktion
von Strecken der Längen a + b und a − b (falls a > b) ist trivial. Die
Konstruktion von Strecken der Längen a/b und ab läßt sich an den
folgenden ähnlichen Dreiecken ablesen:
a/b
a
b
1
Solches ähliches Dreieck ist konstruierbar, weil eine Gerade durch einen
gegebenen Punkt, die zu einer gegebenen Geraden parallel ist, ist
konstruierbar.
Konstruierbare Zahlen
Def. 11 Die Zahl a ∈ R heißt konstruierbar, wenn bei gegebener
Strecke der Länge 1 eine Strecke der Länge |a| konstruierbar ist.
Satz 8 Sind die Zahlen a, b ∈ R konstruierbar,
so auch die Zahlen
√
a + b, a − b, ab, a/b (falls b 6= 0),
a (falls a > 0 ).
Beweis. Seien Strecken der Längen 1, a, b gegeben. Die Konstruktion
von Strecken der Längen a + b und a − b (falls a > b) ist trivial. Die
Konstruktion von Strecken der Längen a/b und ab läßt sich an den
folgenden ähnlichen Dreiecken ablesen:
a/b
ab
a
b
b
1
a
1
Solches ähliches Dreieck ist konstruierbar, weil eine Gerade durch einen
gegebenen Punkt, die zu einer gegebenen Geraden parallel ist, ist
konstruierbar.
Konstruierbare Zahlen
Def. 11 Die Zahl a ∈ R heißt konstruierbar, wenn bei gegebener
Strecke der Länge 1 eine Strecke der Länge |a| konstruierbar ist.
Satz 8 Sind die Zahlen a, b ∈ R konstruierbar,
so auch die Zahlen
√
a + b, a − b, ab, a/b (falls b 6= 0),
a (falls a > 0 ).
Beweis. Seien Strecken der Längen 1, a, b gegeben. Die Konstruktion
von Strecken der Längen a + b und a − b (falls a > b) ist trivial. Die
Konstruktion von Strecken der Längen a/b und ab läßt sich an den
folgenden ähnlichen Dreiecken ablesen:
a/b
ab
a
b
b
1
a
1
Solches ähliches Dreieck ist konstruierbar, weil eine Gerade durch einen
gegebenen Punkt, die zu einer gegebenen Geraden parallel ist, ist
konstruierbar.
Konstruierbare Zahlen
Def. 11 Die Zahl a ∈ R heißt konstruierbar, wenn bei gegebener
Strecke der Länge 1 eine Strecke der Länge |a| konstruierbar ist.
Satz 8 Sind die Zahlen a, b ∈ R konstruierbar,
so auch die Zahlen
√
a + b, a − b, ab, a/b (falls b 6= 0),
a (falls a > 0 ).
Beweis. Seien Strecken der Längen 1, a, b gegeben. Die Konstruktion
von Strecken der Längen a + b und a − b (falls a > b) ist trivial. Die
Konstruktion von Strecken der Längen a/b und ab läßt sich an den
folgenden ähnlichen Dreiecken ablesen:
a/b
ab
a
b
b
1
a
1
Solches ähliches Dreieck ist konstruierbar, weil eine Gerade durch einen
gegebenen Punkt, die zu einer gegebenen Geraden parallel ist, ist
konstruierbar.
Kostruktion von
√
a
+
=
.
Kostruktion von
√
a
Konstruire die Strecke AB der
Länge a + 1.
A
+
a
C
=
B
1
.
Kostruktion von
√
a
Konstruire die Strecke AB der
Länge a + 1.
Konstruire den Kreis von Radius
(a+1)/2 um dem Mittelpunkt der
Strecke.
A
+
a
C
=
B
1
.
Kostruktion von
√
a
Konstruire die Strecke AB der
Länge a + 1.
Konstruire den Kreis von Radius
(a+1)/2 um dem Mittelpunkt der
Strecke.
Konstruire die Gerade durch C ,
die orthogonal zu AB ist. Sei B
ein Schnittpunkt der Geraden mit
dem Kreis
+
D
x
A
a
C
=
B
1
.
Kostruktion von
√
a
Konstruire die Strecke AB der
Länge a + 1.
Konstruire den Kreis von Radius
(a+1)/2 um dem Mittelpunkt der
Strecke.
Konstruire die Gerade durch C ,
die orthogonal zu AB ist. Sei B
ein Schnittpunkt der Geraden mit
dem Kreis
√
Die Länge von CD ist a.
+
D
x
A
a
C
=
B
1
.
Kostruktion von
√
a
Konstruire die Strecke AB der
Länge a + 1.
Konstruire den Kreis von Radius
(a+1)/2 um dem Mittelpunkt der
Strecke.
Konstruire die Gerade durch C ,
die orthogonal zu AB ist. Sei B
ein Schnittpunkt der Geraden mit
dem Kreis
√
Die Länge von CD ist a. Tatsachlich, der Winkel ADB ist π2 .
(Vorlesung 22 LAAG I)
+
D
x
A
a
C
=
B
1
.
Kostruktion von
√
a
Konstruire die Strecke AB der
Länge a + 1.
Konstruire den Kreis von Radius
(a+1)/2 um dem Mittelpunkt der
Strecke.
Konstruire die Gerade durch C ,
die orthogonal zu AB ist. Sei B
ein Schnittpunkt der Geraden mit
dem Kreis
√
Die Länge von CD ist a. Tatsachlich, der Winkel ADB ist π2 .
(Vorlesung 22 LAAG I)
+
D
x
A
a
C
B
1
Nach Pythagoras ist
=
.
Kostruktion von
√
a
Konstruire die Strecke AB der
Länge a + 1.
Konstruire den Kreis von Radius
(a+1)/2 um dem Mittelpunkt der
Strecke.
Konstruire die Gerade durch C , A
die orthogonal zu AB ist. Sei B
ein Schnittpunkt der Geraden mit
dem Kreis
√
Die Länge von CD ist a. Tatsachlich, der Winkel ADB ist π2 .
(Vorlesung 22 LAAG I)
|AD|2 + |BD|2
+
D
x
a
C
B
1
Nach Pythagoras ist
=
=
|AB|2
.
Kostruktion von
√
a
Konstruire die Strecke AB der
Länge a + 1.
Konstruire den Kreis von Radius
(a+1)/2 um dem Mittelpunkt der
Strecke.
Konstruire die Gerade durch C , A
die orthogonal zu AB ist. Sei B
ein Schnittpunkt der Geraden mit
dem Kreis
√
Die Länge von CD ist a. Tatsachlich, der Winkel ADB ist π2 .
(Vorlesung 22 LAAG I)
|AD|2 + |BD|2
x 2 + a2 +
D
x
a
C
B
1
Nach Pythagoras ist
=
=
|AB|2
.
Kostruktion von
√
a
Konstruire die Strecke AB der
D
Länge a + 1.
Konstruire den Kreis von Radius
(a+1)/2 um dem Mittelpunkt der
x
Strecke.
B
Konstruire die Gerade durch C , A
a
1
C
die orthogonal zu AB ist. Sei B
ein Schnittpunkt der Geraden mit
dem Kreis
√
Die Länge von CD ist a. Tatsachlich, der Winkel ADB ist π2 .
Nach Pythagoras ist
(Vorlesung 22 LAAG I)
|AD|2 + |BD|2 =
|AB|2
2
2
2
x +a + x +1 =
.
Kostruktion von
√
a
Konstruire die Strecke AB der
D
Länge a + 1.
Konstruire den Kreis von Radius
(a+1)/2 um dem Mittelpunkt der
x
Strecke.
B
Konstruire die Gerade durch C , A
a
1
C
die orthogonal zu AB ist. Sei B
ein Schnittpunkt der Geraden mit
dem Kreis
√
Die Länge von CD ist a. Tatsachlich, der Winkel ADB ist π2 .
Nach Pythagoras ist
(Vorlesung 22 LAAG I)
|AD|2 + |BD|2 =
|AB|2
2
2
2
x + a + x + 1 = (a + 1)2 .
Kostruktion von
√
a
Konstruire die Strecke AB der
D
Länge a + 1.
Konstruire den Kreis von Radius
(a+1)/2 um dem Mittelpunkt der
x
Strecke.
B
Konstruire die Gerade durch C , A
a
1
C
die orthogonal zu AB ist. Sei B
ein Schnittpunkt der Geraden mit
dem Kreis
√
Die Länge von CD ist a. Tatsachlich, der Winkel ADB ist π2 .
Nach Pythagoras ist
(Vorlesung 22 LAAG I)
|AD|2 + |BD|2 =
|AB|2
2
2
2
x + a + x + 1 = (a + 1)2 .
√
Dann x 2 = a, also x = a
Folgerung Liegt a ∈ R in einer iterierten quadratischen
Erweiterung von Q, so ist a konstruierbar.
Beweis: Hausaufgabe.
Aufgabe
Aufgabe (Alte Griechen)
Seien Strecken der Längen a, b gegeben.
Aufgabe (Alte Griechen) Seien Strecken der Längen a, b gegeben.
Konstruiere die Nullstellen des Polynoms x 2 − ax + b 2 .
Aufgabe (Alte Griechen) Seien Strecken der Längen a, b gegeben.
2
2
Konstruiere die Nullstellen
q des Polynoms x − ax + b .
Wir wissen: x± =
a
2
±
a2
4
− b2 .
Aufgabe (Alte Griechen) Seien Strecken der Längen a, b gegeben.
2
2
Konstruiere die Nullstellen
q des Polynoms x − ax + b .
Wir wissen: x± = 2a ±
Altgriechsche Methode:
a2
4
− b 2 . Nach Satz 8 sind x± konstruierbar.
Aufgabe (Alte Griechen) Seien Strecken der Längen a, b gegeben.
2
2
Konstruiere die Nullstellen
q des Polynoms x − ax + b .
Wir wissen: x± =
a
2
±
a2
4
− b 2 . Nach Satz 8 sind x± konstruierbar.
A
Altgriechsche Methode: 1. Kostruiere das rechtwinklige Dreieck mit Kathete der Länge b und Hypotenuse
der Länge 2a .
a/2
b
O
C
Aufgabe (Alte Griechen) Seien Strecken der Längen a, b gegeben.
2
2
Konstruiere die Nullstellen
q des Polynoms x − ax + b .
Wir wissen: x± =
a
2
±
a2
4
− b 2 . Nach Satz 8 sind x± konstruierbar.
A
Altgriechsche Methode: 1. Kostruiere das rechtwinklige Dreieck mit Kathete der Länge b und Hypotenuse
der Länge 2a .
2. Seien D und B die Schnittpunkte der (Vorsetzung von) Hypotenuss
mit
q dem Kreis der Radius OC =
a2
2
4 − b um O.
a/2
b
O
C
Aufgabe (Alte Griechen) Seien Strecken der Längen a, b gegeben.
2
2
Konstruiere die Nullstellen
q des Polynoms x − ax + b .
Wir wissen: x± =
a
2
±
a2
4
− b 2 . Nach Satz 8 sind x± konstruierbar.
A
Altgriechsche Methode: 1. Kostruiere das rechtwinklige Dreieck mit Kathete der Länge b und Hypotenuse
der Länge 2a .
2. Seien D und B die Schnittpunkte der (Vorsetzung von) Hypotenuss
mit
q dem Kreis der Radius OC =
a2
2
4 − b um O.
3. |AD| = x− , |AB| = x+ .
a/2
D
b
O
C
B
Aufgabe (Alte Griechen) Seien Strecken der Längen a, b gegeben.
2
2
Konstruiere die Nullstellen
q des Polynoms x − ax + b .
Wir wissen: x± =
a
2
±
a2
4
− b 2 . Nach Satz 8 sind x± konstruierbar.
A
Altgriechsche Methode: 1. Kostruiere das rechtwinklige Dreieck mit Kathete der Länge b und Hypotenuse
der Länge 2a .
2. Seien D und B die Schnittpunkte der (Vorsetzung von) Hypotenuss
mit
q dem Kreis der Radius OC =
a2
2
4 − b um O.
3. |AD| = x− , |AB| = x+ .
a/2
D
b
O
C
B
Tatsächlich, nach Sekantensatz (Hausaufgabe 2 Blatt 09 LAAG1,
Vorlesung 23)
|AB| · |AD| = |AC |2
|AD|+|AB|
= 2a
2
Aufgabe (Alte Griechen) Seien Strecken der Längen a, b gegeben.
2
2
Konstruiere die Nullstellen
q des Polynoms x − ax + b .
Wir wissen: x± =
a
2
±
a2
4
− b 2 . Nach Satz 8 sind x± konstruierbar.
A
Altgriechsche Methode: 1. Kostruiere das rechtwinklige Dreieck mit Kathete der Länge b und Hypotenuse
der Länge 2a .
2. Seien D und B die Schnittpunkte der (Vorsetzung von) Hypotenuss
mit
q dem Kreis der Radius OC =
a2
2
4 − b um O.
3. |AD| = x− , |AB| = x+ .
a/2
D
b
O
C
B
Tatsächlich, nach Sekantensatz (Hausaufgabe 2 Blatt 09 LAAG1,
Vorlesung 23)
|AB| · |AD| = |AC |2
x+ · x− = b 2
=⇒
x+ +x−
|AD|+|AB|
a
= 2a
=2
2
2
Aufgabe (Alte Griechen) Seien Strecken der Längen a, b gegeben.
2
2
Konstruiere die Nullstellen
q des Polynoms x − ax + b .
Wir wissen: x± =
a
2
±
a2
4
− b 2 . Nach Satz 8 sind x± konstruierbar.
A
Altgriechsche Methode: 1. Kostruiere das rechtwinklige Dreieck mit Kathete der Länge b und Hypotenuse
der Länge 2a .
2. Seien D und B die Schnittpunkte der (Vorsetzung von) Hypotenuss
mit
q dem Kreis der Radius OC =
a2
2
4 − b um O.
3. |AD| = x− , |AB| = x+ .
a/2
D
b
O
C
B
Tatsächlich, nach Sekantensatz (Hausaufgabe 2 Blatt 09 LAAG1,
Vorlesung 23)
|AB| · |AD| = |AC |2
x+ · x− = b 2
=⇒
x+ +x−
|AD|+|AB|
a
= 2a
=2
2
2
und das ist die Satzgruppe von Viëta.
Satz 9.
Satz 9. Eine Zahl a ∈ R ist genau dann konstruierbar,
Satz 9. Eine Zahl a ∈ R ist genau dann konstruierbar, wenn a enthalten
ist in einer iterierten quadratischen Erweiterung von Q.
Bemerkung
Satz 9. Eine Zahl a ∈ R ist genau dann konstruierbar, wenn a enthalten
ist in einer iterierten quadratischen Erweiterung von Q.
Bemerkung Ist die Zahl a konstruierbar,
Satz 9. Eine Zahl a ∈ R ist genau dann konstruierbar, wenn a enthalten
ist in einer iterierten quadratischen Erweiterung von Q.
Bemerkung Ist die Zahl a konstruierbar, so ist bei gegebener Strecke
AB
Satz 9. Eine Zahl a ∈ R ist genau dann konstruierbar, wenn a enthalten
ist in einer iterierten quadratischen Erweiterung von Q.
Bemerkung Ist die Zahl a konstruierbar, so ist bei gegebener Strecke
AB eine Strecke der Länge |a| · |AB|
Satz 9. Eine Zahl a ∈ R ist genau dann konstruierbar, wenn a enthalten
ist in einer iterierten quadratischen Erweiterung von Q.
Bemerkung Ist die Zahl a konstruierbar, so ist bei gegebener Strecke
AB eine Strecke der Länge |a| · |AB| auch konstruierbar.
Satz 9. Eine Zahl a ∈ R ist genau dann konstruierbar, wenn a enthalten
ist in einer iterierten quadratischen Erweiterung von Q.
Bemerkung Ist die Zahl a konstruierbar, so ist bei gegebener Strecke
AB eine Strecke der Länge |a| · |AB| auch konstruierbar.
Beweis:
Satz 9. Eine Zahl a ∈ R ist genau dann konstruierbar, wenn a enthalten
ist in einer iterierten quadratischen Erweiterung von Q.
Bemerkung Ist die Zahl a konstruierbar, so ist bei gegebener Strecke
AB eine Strecke der Länge |a| · |AB| auch konstruierbar.
Beweis: ⇐=“ ist Folgerung aus Satz 8.
”
Satz 9. Eine Zahl a ∈ R ist genau dann konstruierbar, wenn a enthalten
ist in einer iterierten quadratischen Erweiterung von Q.
Bemerkung Ist die Zahl a konstruierbar, so ist bei gegebener Strecke
AB eine Strecke der Länge |a| · |AB| auch konstruierbar.
Beweis: ⇐=“ ist Folgerung aus Satz 8. Wir beweisen in =⇒“.
”
”
Satz 9. Eine Zahl a ∈ R ist genau dann konstruierbar, wenn a enthalten
ist in einer iterierten quadratischen Erweiterung von Q.
Bemerkung Ist die Zahl a konstruierbar, so ist bei gegebener Strecke
AB eine Strecke der Länge |a| · |AB| auch konstruierbar.
Beweis: ⇐=“ ist Folgerung aus Satz 8. Wir beweisen in =⇒“. Wir
”
”
werden die Konstruktionsschritte (a)–(e) in Standard-Koordinaten yx
auf E2 ≡ R2 nachvollziehen.
Satz 9. Eine Zahl a ∈ R ist genau dann konstruierbar, wenn a enthalten
ist in einer iterierten quadratischen Erweiterung von Q.
Bemerkung Ist die Zahl a konstruierbar, so ist bei gegebener Strecke
AB eine Strecke der Länge |a| · |AB| auch konstruierbar.
Beweis: ⇐=“ ist Folgerung aus Satz 8. Wir beweisen in =⇒“. Wir
”
”
werden die Konstruktionsschritte (a)–(e) in Standard-Koordinaten yx
auf E2 ≡ R2 nachvollziehen.
Es genügt zu zeigen:
Satz 9. Eine Zahl a ∈ R ist genau dann konstruierbar, wenn a enthalten
ist in einer iterierten quadratischen Erweiterung von Q.
Bemerkung Ist die Zahl a konstruierbar, so ist bei gegebener Strecke
AB eine Strecke der Länge |a| · |AB| auch konstruierbar.
Beweis: ⇐=“ ist Folgerung aus Satz 8. Wir beweisen in =⇒“. Wir
”
”
werden die Konstruktionsschritte (a)–(e) in Standard-Koordinaten yx
auf E2 ≡ R2 nachvollziehen.
Es genügt zu zeigen: Sind p1 , . . . , pn Punkte, deren Koordinaten in einem
Körper K ⊆ R liegen,
Satz 9. Eine Zahl a ∈ R ist genau dann konstruierbar, wenn a enthalten
ist in einer iterierten quadratischen Erweiterung von Q.
Bemerkung Ist die Zahl a konstruierbar, so ist bei gegebener Strecke
AB eine Strecke der Länge |a| · |AB| auch konstruierbar.
Beweis: ⇐=“ ist Folgerung aus Satz 8. Wir beweisen in =⇒“. Wir
”
”
werden die Konstruktionsschritte (a)–(e) in Standard-Koordinaten yx
auf E2 ≡ R2 nachvollziehen.
Es genügt zu zeigen: Sind p1 , . . . , pn Punkte, deren Koordinaten in einem
Körper K ⊆ R liegen, und ist der Punkt p konstruierbar aus p1 , . . . , pn ,
Satz 9. Eine Zahl a ∈ R ist genau dann konstruierbar, wenn a enthalten
ist in einer iterierten quadratischen Erweiterung von Q.
Bemerkung Ist die Zahl a konstruierbar, so ist bei gegebener Strecke
AB eine Strecke der Länge |a| · |AB| auch konstruierbar.
Beweis: ⇐=“ ist Folgerung aus Satz 8. Wir beweisen in =⇒“. Wir
”
”
werden die Konstruktionsschritte (a)–(e) in Standard-Koordinaten yx
auf E2 ≡ R2 nachvollziehen.
Es genügt zu zeigen: Sind p1 , . . . , pn Punkte, deren Koordinaten in einem
Körper K ⊆ R liegen, und ist der Punkt p konstruierbar aus p1 , . . . , pn ,
so liegen die Koordinaten von p in einer iterierten quadratischen
Erweiterung von K .
Satz 9. Eine Zahl a ∈ R ist genau dann konstruierbar, wenn a enthalten
ist in einer iterierten quadratischen Erweiterung von Q.
Bemerkung Ist die Zahl a konstruierbar, so ist bei gegebener Strecke
AB eine Strecke der Länge |a| · |AB| auch konstruierbar.
Beweis: ⇐=“ ist Folgerung aus Satz 8. Wir beweisen in =⇒“. Wir
”
”
werden die Konstruktionsschritte (a)–(e) in Standard-Koordinaten yx
auf E2 ≡ R2 nachvollziehen.
Es genügt zu zeigen: Sind p1 , . . . , pn Punkte, deren Koordinaten in einem
Körper K ⊆ R liegen, und ist der Punkt p konstruierbar aus p1 , . . . , pn ,
so liegen die Koordinaten von p in einer iterierten quadratischen
Erweiterung von K .
Tatsächlich, oBdA sind 00 und 10 die Eckpunkte der gegebenen Strecke
der Länge 1.
Satz 9. Eine Zahl a ∈ R ist genau dann konstruierbar, wenn a enthalten
ist in einer iterierten quadratischen Erweiterung von Q.
Bemerkung Ist die Zahl a konstruierbar, so ist bei gegebener Strecke
AB eine Strecke der Länge |a| · |AB| auch konstruierbar.
Beweis: ⇐=“ ist Folgerung aus Satz 8. Wir beweisen in =⇒“. Wir
”
”
werden die Konstruktionsschritte (a)–(e) in Standard-Koordinaten yx
auf E2 ≡ R2 nachvollziehen.
Es genügt zu zeigen: Sind p1 , . . . , pn Punkte, deren Koordinaten in einem
Körper K ⊆ R liegen, und ist der Punkt p konstruierbar aus p1 , . . . , pn ,
so liegen die Koordinaten von p in einer iterierten quadratischen
Erweiterung von K .
Tatsächlich, oBdA sind 00 und 10 die Eckpunkte der gegebenen Strecke
der Länge 1. Deren Koordinaten liegen also in Q. Falls die Aussage oben
richtig ist,
Satz 9. Eine Zahl a ∈ R ist genau dann konstruierbar, wenn a enthalten
ist in einer iterierten quadratischen Erweiterung von Q.
Bemerkung Ist die Zahl a konstruierbar, so ist bei gegebener Strecke
AB eine Strecke der Länge |a| · |AB| auch konstruierbar.
Beweis: ⇐=“ ist Folgerung aus Satz 8. Wir beweisen in =⇒“. Wir
”
”
werden die Konstruktionsschritte (a)–(e) in Standard-Koordinaten yx
auf E2 ≡ R2 nachvollziehen.
Es genügt zu zeigen: Sind p1 , . . . , pn Punkte, deren Koordinaten in einem
Körper K ⊆ R liegen, und ist der Punkt p konstruierbar aus p1 , . . . , pn ,
so liegen die Koordinaten von p in einer iterierten quadratischen
Erweiterung von K .
Tatsächlich, oBdA sind 00 und 10 die Eckpunkte der gegebenen Strecke
der Länge 1. Deren Koordinaten liegen also in Q. Falls die Aussage oben
richtig ist, liegen die Koordianten jedes konstruierbaren Punkts
Satz 9. Eine Zahl a ∈ R ist genau dann konstruierbar, wenn a enthalten
ist in einer iterierten quadratischen Erweiterung von Q.
Bemerkung Ist die Zahl a konstruierbar, so ist bei gegebener Strecke
AB eine Strecke der Länge |a| · |AB| auch konstruierbar.
Beweis: ⇐=“ ist Folgerung aus Satz 8. Wir beweisen in =⇒“. Wir
”
”
werden die Konstruktionsschritte (a)–(e) in Standard-Koordinaten yx
auf E2 ≡ R2 nachvollziehen.
Es genügt zu zeigen: Sind p1 , . . . , pn Punkte, deren Koordinaten in einem
Körper K ⊆ R liegen, und ist der Punkt p konstruierbar aus p1 , . . . , pn ,
so liegen die Koordinaten von p in einer iterierten quadratischen
Erweiterung von K .
Tatsächlich, oBdA sind 00 und 10 die Eckpunkte der gegebenen Strecke
der Länge 1. Deren Koordinaten liegen also in Q. Falls die Aussage oben
richtig ist, liegen die Koordianten jedes konstruierbaren Punkts in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von Q. Dann ist die Länge jeder
konstruierbaren Strecke gleich
Satz 9. Eine Zahl a ∈ R ist genau dann konstruierbar, wenn a enthalten
ist in einer iterierten quadratischen Erweiterung von Q.
Bemerkung Ist die Zahl a konstruierbar, so ist bei gegebener Strecke
AB eine Strecke der Länge |a| · |AB| auch konstruierbar.
Beweis: ⇐=“ ist Folgerung aus Satz 8. Wir beweisen in =⇒“. Wir
”
”
werden die Konstruktionsschritte (a)–(e) in Standard-Koordinaten yx
auf E2 ≡ R2 nachvollziehen.
Es genügt zu zeigen: Sind p1 , . . . , pn Punkte, deren Koordinaten in einem
Körper K ⊆ R liegen, und ist der Punkt p konstruierbar aus p1 , . . . , pn ,
so liegen die Koordinaten von p in einer iterierten quadratischen
Erweiterung von K .
Tatsächlich, oBdA sind 00 und 10 die Eckpunkte der gegebenen Strecke
der Länge 1. Deren Koordinaten liegen also in Q. Falls die Aussage oben
richtig ist, liegen die Koordianten jedes konstruierbaren Punkts in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von Q. Dann ist die Länge jeder
konstruierbaren Strecke gleich
v
u
(x1 − x2 )2
u
| {z }
t
Satz 9. Eine Zahl a ∈ R ist genau dann konstruierbar, wenn a enthalten
ist in einer iterierten quadratischen Erweiterung von Q.
Bemerkung Ist die Zahl a konstruierbar, so ist bei gegebener Strecke
AB eine Strecke der Länge |a| · |AB| auch konstruierbar.
Beweis: ⇐=“ ist Folgerung aus Satz 8. Wir beweisen in =⇒“. Wir
”
”
werden die Konstruktionsschritte (a)–(e) in Standard-Koordinaten yx
auf E2 ≡ R2 nachvollziehen.
Es genügt zu zeigen: Sind p1 , . . . , pn Punkte, deren Koordinaten in einem
Körper K ⊆ R liegen, und ist der Punkt p konstruierbar aus p1 , . . . , pn ,
so liegen die Koordinaten von p in einer iterierten quadratischen
Erweiterung von K .
Tatsächlich, oBdA sind 00 und 10 die Eckpunkte der gegebenen Strecke
der Länge 1. Deren Koordinaten liegen also in Q. Falls die Aussage oben
richtig ist, liegen die Koordianten jedes konstruierbaren Punkts in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von Q. Dann ist die Länge jeder
konstruierbaren Strecke gleich
v
u
+
(y1 − y2 )2
(x1 − x2 )2
u
| {z }
| {z }
t
in einer iter.
quadr. Erweiterung von Q
Satz 9. Eine Zahl a ∈ R ist genau dann konstruierbar, wenn a enthalten
ist in einer iterierten quadratischen Erweiterung von Q.
Bemerkung Ist die Zahl a konstruierbar, so ist bei gegebener Strecke
AB eine Strecke der Länge |a| · |AB| auch konstruierbar.
Beweis: ⇐=“ ist Folgerung aus Satz 8. Wir beweisen in =⇒“. Wir
”
”
werden die Konstruktionsschritte (a)–(e) in Standard-Koordinaten yx
auf E2 ≡ R2 nachvollziehen.
Es genügt zu zeigen: Sind p1 , . . . , pn Punkte, deren Koordinaten in einem
Körper K ⊆ R liegen, und ist der Punkt p konstruierbar aus p1 , . . . , pn ,
so liegen die Koordinaten von p in einer iterierten quadratischen
Erweiterung von K .
Tatsächlich, oBdA sind 00 und 10 die Eckpunkte der gegebenen Strecke
der Länge 1. Deren Koordinaten liegen also in Q. Falls die Aussage oben
richtig ist, liegen die Koordianten jedes konstruierbaren Punkts in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von Q. Dann ist die Länge jeder
konstruierbaren Strecke gleich
v
iter. quadr.
u
+
(y1 − y2 )2
∈ Erweiterung .
(x1 − x2 )2
u
| {z }
| {z }
von Q
t
in einer iter.
quadr. Erweiterung von Q
in einer iter.
quadr. Erweiterung von Q
Es genügt nachzuprüfen, dass:
Es genügt nachzuprüfen, dass:
(i) Schnittpunkt der Geraden
Es genügt nachzuprüfen, dass:
−x 1 , wobei t ∈ R}
(i) Schnittpunkt der Geraden G1 := { xy11 + t yx22 −
y1
Es genügt nachzuprüfen, dass:
−x 1 , wobei t ∈ R} und
(i) Schnittpunkt der Geraden G1 := { xy11 + t yx22 −
y1
x x − x 3
4
3
G2 := { y3 + s y4 − y3 ,
Es genügt nachzuprüfen, dass:
−x 1 , wobei t ∈ R} und
(i) Schnittpunkt der Geraden G1 := { xy11 + t yx22 −
y1
x x − x 3
4
3
G2 := { y3 + s y4 − y3 , wobei s ∈ R}, wobei xi , yi ∈ K ,
Es genügt nachzuprüfen, dass:
−x 1 , wobei t ∈ R} und
(i) Schnittpunkt der Geraden G1 := { xy11 + t yx22 −
y1
x x − x 3
4
3
G2 := { y3 + s y4 − y3 , wobei s ∈ R}, wobei xi , yi ∈ K , in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von K liegen.
Es genügt nachzuprüfen, dass:
−x 1 , wobei t ∈ R} und
(i) Schnittpunkt der Geraden G1 := { xy11 + t yx22 −
y1
x x − x 3
4
3
G2 := { y3 + s y4 − y3 , wobei s ∈ R}, wobei xi , yi ∈ K , in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von K liegen.
x1
(ii) Schnittpunkte der Geraden G1 := { xy11 + t xy22 −
, wobei t ∈ R}
− y1
Es genügt nachzuprüfen, dass:
−x 1 , wobei t ∈ R} und
(i) Schnittpunkt der Geraden G1 := { xy11 + t yx22 −
y1
x x − x 3
4
3
G2 := { y3 + s y4 − y3 , wobei s ∈ R}, wobei xi , yi ∈ K , in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von K liegen.
x1
(ii) Schnittpunkte der Geraden G1 := { xy11 + t xy22 −
, wobei t ∈ R} und
− y1
x 0
des Kreises um y0 ,
Es genügt nachzuprüfen, dass:
−x 1 , wobei t ∈ R} und
(i) Schnittpunkt der Geraden G1 := { xy11 + t yx22 −
y1
x x − x 3
4
3
G2 := { y3 + s y4 − y3 , wobei s ∈ R}, wobei xi , yi ∈ K , in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von K liegen.
x1
(ii) Schnittpunkte der Geraden G1 := { xy11 + t xy22 −
, wobei t ∈ R} und
− y1
x 0
des Kreises um y0 , dessen Radius gleich Abstand zwischen xy33
x und y44 , wobei xi , yi ∈ K ,
Es genügt nachzuprüfen, dass:
−x 1 , wobei t ∈ R} und
(i) Schnittpunkt der Geraden G1 := { xy11 + t yx22 −
y1
x x − x 3
4
3
G2 := { y3 + s y4 − y3 , wobei s ∈ R}, wobei xi , yi ∈ K , in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von K liegen.
x1
(ii) Schnittpunkte der Geraden G1 := { xy11 + t xy22 −
, wobei t ∈ R} und
− y1
x 0
des Kreises um y0 , dessen Radius gleich Abstand zwischen xy33
x und y44 , wobei xi , yi ∈ K , in einer iterierten quadratischen
Erweiterung von K liegen.
Es genügt nachzuprüfen, dass:
−x 1 , wobei t ∈ R} und
(i) Schnittpunkt der Geraden G1 := { xy11 + t yx22 −
y1
x x − x 3
4
3
G2 := { y3 + s y4 − y3 , wobei s ∈ R}, wobei xi , yi ∈ K , in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von K liegen.
x1
(ii) Schnittpunkte der Geraden G1 := { xy11 + t xy22 −
, wobei t ∈ R} und
− y1
x 0
des Kreises um y0 , dessen Radius gleich Abstand zwischen xy33
x und y44 , wobei xi , yi ∈ K , in einer iterierten quadratischen
Erweiterung von K liegen.
Es genügt nachzuprüfen, dass:
−x 1 , wobei t ∈ R} und
(i) Schnittpunkt der Geraden G1 := { xy11 + t yx22 −
y1
x x − x 3
4
3
G2 := { y3 + s y4 − y3 , wobei s ∈ R}, wobei xi , yi ∈ K , in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von K liegen.
x1
(ii) Schnittpunkte der Geraden G1 := { xy11 + t xy22 −
, wobei t ∈ R} und
− y1
x 0
des Kreises um y0 , dessen Radius gleich Abstand zwischen xy33
x und y44 , wobei xi , yi ∈ K , in einer iterierten quadratischen
Erweiterung von K liegen.
(iii) Schnittpunkte des Kreises um x0 ,
Es genügt nachzuprüfen, dass:
−x 1 , wobei t ∈ R} und
(i) Schnittpunkt der Geraden G1 := { xy11 + t yx22 −
y1
x x − x 3
4
3
G2 := { y3 + s y4 − y3 , wobei s ∈ R}, wobei xi , yi ∈ K , in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von K liegen.
x1
(ii) Schnittpunkte der Geraden G1 := { xy11 + t xy22 −
, wobei t ∈ R} und
− y1
x 0
des Kreises um y0 , dessen Radius gleich Abstand zwischen xy33
x und y44 , wobei xi , yi ∈ K , in einer iterierten quadratischen
Erweiterung von K liegen.
(iii) Schnittpunkte
um x0 , dessen Radius gleich Abstand
des Kreises
zwischen xy11 und xy22 ist,
Es genügt nachzuprüfen, dass:
−x 1 , wobei t ∈ R} und
(i) Schnittpunkt der Geraden G1 := { xy11 + t yx22 −
y1
x x − x 3
4
3
G2 := { y3 + s y4 − y3 , wobei s ∈ R}, wobei xi , yi ∈ K , in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von K liegen.
x1
(ii) Schnittpunkte der Geraden G1 := { xy11 + t xy22 −
, wobei t ∈ R} und
− y1
x 0
des Kreises um y0 , dessen Radius gleich Abstand zwischen xy33
x und y44 , wobei xi , yi ∈ K , in einer iterierten quadratischen
Erweiterung von K liegen.
(iii) Schnittpunkte
um x0 , dessen Radius gleich Abstand
des Kreises
zwischen xy11 und xy22 ist, mit der Kreis um x0′ , dessen Radius
′
′
gleich Abstand zwischen yx1′ und yx2′ ist,
1
2
Es genügt nachzuprüfen, dass:
−x 1 , wobei t ∈ R} und
(i) Schnittpunkt der Geraden G1 := { xy11 + t yx22 −
y1
x x − x 3
4
3
G2 := { y3 + s y4 − y3 , wobei s ∈ R}, wobei xi , yi ∈ K , in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von K liegen.
x1
(ii) Schnittpunkte der Geraden G1 := { xy11 + t xy22 −
, wobei t ∈ R} und
− y1
x 0
des Kreises um y0 , dessen Radius gleich Abstand zwischen xy33
x und y44 , wobei xi , yi ∈ K , in einer iterierten quadratischen
Erweiterung von K liegen.
(iii) Schnittpunkte
um x0 , dessen Radius gleich Abstand
des Kreises
zwischen xy11 und xy22 ist, mit der Kreis um x0′ , dessen Radius
′
′
gleich Abstand zwischen yx1′ und yx2′ ist,in einer iterierten
1
2
quadratischen Erweiterung von K liegen.
Es genügt nachzuprüfen, dass:
−x 1 , wobei t ∈ R} und
(i) Schnittpunkt der Geraden G1 := { xy11 + t yx22 −
y1
x x − x 3
4
3
G2 := { y3 + s y4 − y3 , wobei s ∈ R}, wobei xi , yi ∈ K , in einer
iterierten quadratischen Erweiterung von K liegen.
x1
(ii) Schnittpunkte der Geraden G1 := { xy11 + t xy22 −
, wobei t ∈ R} und
− y1
x 0
des Kreises um y0 , dessen Radius gleich Abstand zwischen xy33
x und y44 , wobei xi , yi ∈ K , in einer iterierten quadratischen
Erweiterung von K liegen.
(iii) Schnittpunkte
um x0 , dessen Radius gleich Abstand
des Kreises
zwischen xy11 und xy22 ist, mit der Kreis um x0′ , dessen Radius
′
′
gleich Abstand zwischen yx1′ und yx2′ ist,in einer iterierten
1
2
quadratischen Erweiterung von K liegen.
(i)
(i)
x Falls die Gerade G1 := {
1
y1
+t
x
2 − x1
y2 − y1
, wobei t ∈ R}
(i)
− x1
Falls die Gerade G1 := { xy11 + t yx22 −
, wobei t ∈ R} und
y1
x x − x G2 := { y33 + s y44 − y33 , wobei s ∈ R},
(i)
− x1
Falls die Gerade G1 := { xy11 + t yx22 −
, wobei t ∈ R} und
y1
x x − x G2 := { y33 + s y44 − y33 , wobei s ∈ R}, nicht parallel sind,
(i)
− x1
Falls die Gerade G1 := { xy11 + t yx22 −
, wobei t ∈ R} und
y1
x x − x G2 := { y33 + s y44 − y33 , wobei s ∈ R}, nicht parallel sind, ist der
Schnittpunkt die Lösungsmenge des Systems (auf s, t)
x1 + t(x2 − x1 ) = x3 + s(x4 − x3 )
,
y1 + t(y2 − y1 ) = y3 + s(y4 − y3 )
(i)
− x1
Falls die Gerade G1 := { xy11 + t yx22 −
, wobei t ∈ R} und
y1
x x − x G2 := { y33 + s y44 − y33 , wobei s ∈ R}, nicht parallel sind, ist der
Schnittpunkt die Lösungsmenge des Systems (auf s, t)
x1 + t(x2 − x1 ) = x3 + s(x4 − x3 )
,
y1 + t(y2 − y1 ) = y3 + s(y4 − y3 )
dessen Matrixform
x2 − x1 −(x4 − x3 )
t
x3 − x 1
=
y2 − y1 −(y4 − y3 )
s
y3 − y 1
ist
(i)
− x1
Falls die Gerade G1 := { xy11 + t yx22 −
, wobei t ∈ R} und
y1
x x − x G2 := { y33 + s y44 − y33 , wobei s ∈ R}, nicht parallel sind, ist der
Schnittpunkt die Lösungsmenge des Systems (auf s, t)
x1 + t(x2 − x1 ) = x3 + s(x4 − x3 )
,
y1 + t(y2 − y1 ) = y3 + s(y4 − y3 )
dessen Matrixform
x2 − x1 −(x4 − x3 )
t
x3 − x 1
=
y2 − y1 −(y4 − y3 )
s
y3 − y 1
Da die Gerade nichtparallel sind,
ist
(i)
− x1
Falls die Gerade G1 := { xy11 + t yx22 −
, wobei t ∈ R} und
y1
x x − x G2 := { y33 + s y44 − y33 , wobei s ∈ R}, nicht parallel sind, ist der
Schnittpunkt die Lösungsmenge des Systems (auf s, t)
x1 + t(x2 − x1 ) = x3 + s(x4 − x3 )
,
y1 + t(y2 − y1 ) = y3 + s(y4 − y3 )
dessen Matrixform
x2 − x1 −(x4 − x3 )
t
x3 − x 1
=
y2 − y1 −(y4 − y3 )
s
y3 − y 1
ist
Da die Gerade nichtparallel sind, ist die Koeffizientenmatrix des
Systems nichtausgeartet,
(i)
− x1
Falls die Gerade G1 := { xy11 + t yx22 −
, wobei t ∈ R} und
y1
x x − x G2 := { y33 + s y44 − y33 , wobei s ∈ R}, nicht parallel sind, ist der
Schnittpunkt die Lösungsmenge des Systems (auf s, t)
x1 + t(x2 − x1 ) = x3 + s(x4 − x3 )
,
y1 + t(y2 − y1 ) = y3 + s(y4 − y3 )
dessen Matrixform
x2 − x1 −(x4 − x3 )
t
x3 − x 1
=
y2 − y1 −(y4 − y3 )
s
y3 − y 1
ist
Da die Gerade nichtparallel sind, ist die Koeffizientenmatrix des
Systems nichtausgeartet, also ist die Lösung
(i)
− x1
Falls die Gerade G1 := { xy11 + t yx22 −
, wobei t ∈ R} und
y1
x x − x G2 := { y33 + s y44 − y33 , wobei s ∈ R}, nicht parallel sind, ist der
Schnittpunkt die Lösungsmenge des Systems (auf s, t)
x1 + t(x2 − x1 ) = x3 + s(x4 − x3 )
,
y1 + t(y2 − y1 ) = y3 + s(y4 − y3 )
dessen Matrixform
x2 − x1 −(x4 − x3 )
t
x3 − x 1
=
y2 − y1 −(y4 − y3 )
s
y3 − y 1
ist
Da die Gerade nichtparallel sind, ist die Koeffizientenmatrix des
Systems nichtausgeartet, also ist die Lösung
t x
2 − x1
y2 − y1
) −1 x
−(x4 − x3
−(y4 − y3 )
3 − x1
y3 − y1
s
=
(i)
− x1
Falls die Gerade G1 := { xy11 + t yx22 −
, wobei t ∈ R} und
y1
x x − x G2 := { y33 + s y44 − y33 , wobei s ∈ R}, nicht parallel sind, ist der
Schnittpunkt die Lösungsmenge des Systems (auf s, t)
x1 + t(x2 − x1 ) = x3 + s(x4 − x3 )
,
y1 + t(y2 − y1 ) = y3 + s(y4 − y3 )
dessen Matrixform
x2 − x1 −(x4 − x3 )
t
x3 − x 1
=
y2 − y1 −(y4 − y3 )
s
y3 − y 1
ist
Da die Gerade nichtparallel sind, ist die Koeffizientenmatrix des
Systems nichtausgeartet, also ist die Lösung
t x
2 − x1
y2 − y1
) −1 x
−(x4 − x3
−(y4 − y3 )
3 − x1
y3 − y1
s
=
x
=
− x1
det 2
y2 − y1
1
−(x4 − x3 )
−(y4 − y3 )
−(y
4 − y3 )
−(y2 − y1 )
(x4 − x3 )
x2 − x1
x
3 − x1
y3 − y1
(i)
− x1
Falls die Gerade G1 := { xy11 + t yx22 −
, wobei t ∈ R} und
y1
x x − x G2 := { y33 + s y44 − y33 , wobei s ∈ R}, nicht parallel sind, ist der
Schnittpunkt die Lösungsmenge des Systems (auf s, t)
x1 + t(x2 − x1 ) = x3 + s(x4 − x3 )
,
y1 + t(y2 − y1 ) = y3 + s(y4 − y3 )
dessen Matrixform
x2 − x1 −(x4 − x3 )
t
x3 − x 1
=
y2 − y1 −(y4 − y3 )
s
y3 − y 1
ist
Da die Gerade nichtparallel sind, ist die Koeffizientenmatrix des
Systems nichtausgeartet, also ist die Lösung
t x
2 − x1
y2 − y1
) −1 x
−(x4 − x3
−(y4 − y3 )
3 − x1
y3 − y1
s
=
x
=
− x1
det 2
y2 − y1
1
−(x4 − x3 )
−(y4 − y3 )
−(y
4 − y3 )
−(y2 − y1 )
(x4 − x3 )
x2 − x1
x
Wir sehen, dass die Koordinaten des Schnittpunkts in K liegen.
3 − x1
y3 − y1
(ii)
(ii)
Betrachte den Kreis um
x 0
y0
(ii)
p
Betrachte den Kreis um xy00 mit Radius r = (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 .
Da (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 ∈ K ,
(ii)
p
Betrachte den Kreis um xy00 mit Radius r = (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 .
Da (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 ∈ K , liegt r in einer quadratischen
Erweiterung von K
(ii)
p
Betrachte den Kreis um xy00 mit Radius r = (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 .
Da (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 ∈ K , liegtpr in einer quadratischen
Erweiterung von K (in K oder in K ( (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 )).
(ii)
p
Betrachte den Kreis um xy00 mit Radius r = (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 .
Da (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 ∈ K , liegtpr in einer quadratischen
Erweiterung von K (in K oder in K ( (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 )).
x1
Der Schnittpunkt der Geraden G := { xy11 + t xy22 −
, wobei t ∈ R}
− y1
(ii)
p
Betrachte den Kreis um xy00 mit Radius r = (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 .
Da (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 ∈ K , liegtpr in einer quadratischen
Erweiterung von K (in K oder in K ( (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 )).
x1
Der Schnittpunkt der Geraden G := { xy11 + t xy22 −
, wobei t ∈ R} mit dem
− y1
x x − x 1
2
1
Kreis ist der Punkt der Form y1 + t y2 − y1 ,
(ii)
p
Betrachte den Kreis um xy00 mit Radius r = (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 .
Da (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 ∈ K , liegtpr in einer quadratischen
Erweiterung von K (in K oder in K ( (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 )).
x1
Der Schnittpunkt der Geraden G := { xy11 + t xy22 −
, wobei t ∈ R} mit dem
− y1
x x − x 1
2
1
Kreis ist der Punkt der Form y1 + t y2 − y1 , der auf dem Kreis liegt, i.e.
(ii)
p
Betrachte den Kreis um xy00 mit Radius r = (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 .
Da (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 ∈ K , liegtpr in einer quadratischen
Erweiterung von K (in K oder in K ( (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 )).
x1
Der Schnittpunkt der Geraden G := { xy11 + t xy22 −
, wobei t ∈ R} mit dem
− y1
x x − x 1
2
1
Kreis ist der Punkt der Form y1 + t y2 − y1 , der auf dem Kreis liegt, i.e.
(x0 − x1 − t(x2 − x1 ))2 + (y0 − y1 − t(y2 − y1 ))2 = r 2 .
Dies ist eine quadratische Gleichung at 2 + bt + c = 0
(ii)
p
Betrachte den Kreis um xy00 mit Radius r = (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 .
Da (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 ∈ K , liegtpr in einer quadratischen
Erweiterung von K (in K oder in K ( (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 )).
x1
Der Schnittpunkt der Geraden G := { xy11 + t xy22 −
, wobei t ∈ R} mit dem
− y1
x x − x 1
2
1
Kreis ist der Punkt der Form y1 + t y2 − y1 , der auf dem Kreis liegt, i.e.
(x0 − x1 − t(x2 − x1 ))2 + (y0 − y1 − t(y2 − y1 ))2 = r 2 .
Dies ist eine quadratische Gleichung at 2 + bt + c = 0 auf t,
(ii)
p
Betrachte den Kreis um xy00 mit Radius r = (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 .
Da (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 ∈ K , liegtpr in einer quadratischen
Erweiterung von K (in K oder in K ( (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 )).
x1
Der Schnittpunkt der Geraden G := { xy11 + t xy22 −
, wobei t ∈ R} mit dem
− y1
x x − x 1
2
1
Kreis ist der Punkt der Form y1 + t y2 − y1 , der auf dem Kreis liegt, i.e.
(x0 − x1 − t(x2 − x1 ))2 + (y0 − y1 − t(y2 − y1 ))2 = r 2 .
Dies ist eine quadratische Gleichung at 2 + bt + c = 0 auf t, deren
Koeffizienten a, b, c
(ii)
p
Betrachte den Kreis um xy00 mit Radius r = (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 .
Da (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 ∈ K , liegtpr in einer quadratischen
Erweiterung von K (in K oder in K ( (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 )).
x1
Der Schnittpunkt der Geraden G := { xy11 + t xy22 −
, wobei t ∈ R} mit dem
− y1
x x − x 1
2
1
Kreis ist der Punkt der Form y1 + t y2 − y1 , der auf dem Kreis liegt, i.e.
(x0 − x1 − t(x2 − x1 ))2 + (y0 − y1 − t(y2 − y1 ))2 = r 2 .
Dies ist eine quadratische Gleichung at 2 + bt + c = 0 auf t, deren
Koeffizienten a, b, c Elemente von K oder K (r ) sind.
(ii)
p
Betrachte den Kreis um xy00 mit Radius r = (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 .
Da (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 ∈ K , liegtpr in einer quadratischen
Erweiterung von K (in K oder in K ( (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 )).
x1
Der Schnittpunkt der Geraden G := { xy11 + t xy22 −
, wobei t ∈ R} mit dem
− y1
x x − x 1
2
1
Kreis ist der Punkt der Form y1 + t y2 − y1 , der auf dem Kreis liegt, i.e.
(x0 − x1 − t(x2 − x1 ))2 + (y0 − y1 − t(y2 − y1 ))2 = r 2 .
Dies ist eine quadratische Gleichung at 2 + bt + c = 0 auf t, deren
Koeffizienten a, b, c Elemente von q
K oder K (r ) sind.
b 2
b
− ac.
Deren Lösungen sind t± = − 2 ±
2
(ii)
p
Betrachte den Kreis um xy00 mit Radius r = (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 .
Da (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 ∈ K , liegtpr in einer quadratischen
Erweiterung von K (in K oder in K ( (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 )).
x1
Der Schnittpunkt der Geraden G := { xy11 + t xy22 −
, wobei t ∈ R} mit dem
− y1
x x − x 1
2
1
Kreis ist der Punkt der Form y1 + t y2 − y1 , der auf dem Kreis liegt, i.e.
(x0 − x1 − t(x2 − x1 ))2 + (y0 − y1 − t(y2 − y1 ))2 = r 2 .
Dies ist eine quadratische Gleichung at 2 + bt + c = 0 auf t, deren
Koeffizienten a, b, c Elemente von q
K oder K (r ) sind.
b 2
b
− ac. Sie liegen in einem
Deren Lösungen sind t± = − 2 ±
2
iterierten quadratischen Erweiterung von K .
(ii)
p
Betrachte den Kreis um xy00 mit Radius r = (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 .
Da (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 ∈ K , liegtpr in einer quadratischen
Erweiterung von K (in K oder in K ( (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 )).
x1
Der Schnittpunkt der Geraden G := { xy11 + t xy22 −
, wobei t ∈ R} mit dem
− y1
x x − x 1
2
1
Kreis ist der Punkt der Form y1 + t y2 − y1 , der auf dem Kreis liegt, i.e.
(x0 − x1 − t(x2 − x1 ))2 + (y0 − y1 − t(y2 − y1 ))2 = r 2 .
Dies ist eine quadratische Gleichung at 2 + bt + c = 0 auf t, deren
Koeffizienten a, b, c Elemente von q
K oder K (r ) sind.
b 2
b
− ac. Sie liegen in einem
Deren Lösungen sind t± = − 2 ±
2
iterierten quadratischen Erweiterung von K .
Die Schnittpunkte der Geraden G1
(ii)
p
Betrachte den Kreis um xy00 mit Radius r = (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 .
Da (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 ∈ K , liegtpr in einer quadratischen
Erweiterung von K (in K oder in K ( (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 )).
x1
Der Schnittpunkt der Geraden G := { xy11 + t xy22 −
, wobei t ∈ R} mit dem
− y1
x x − x 1
2
1
Kreis ist der Punkt der Form y1 + t y2 − y1 , der auf dem Kreis liegt, i.e.
(x0 − x1 − t(x2 − x1 ))2 + (y0 − y1 − t(y2 − y1 ))2 = r 2 .
Dies ist eine quadratische Gleichung at 2 + bt + c = 0 auf t, deren
Koeffizienten a, b, c Elemente von q
K oder K (r ) sind.
b 2
b
− ac. Sie liegen in einem
Deren Lösungen sind t± = − 2 ±
2
iterierten quadratischen Erweiterung von K .
Die Schnittpunkte der Geraden G1 und des Kreises sind die Punkte xy11 +
−x 1 .
t± yx22 −
y1
(ii)
p
Betrachte den Kreis um xy00 mit Radius r = (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 .
Da (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 ∈ K , liegtpr in einer quadratischen
Erweiterung von K (in K oder in K ( (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 )).
x1
Der Schnittpunkt der Geraden G := { xy11 + t xy22 −
, wobei t ∈ R} mit dem
− y1
x x − x 1
2
1
Kreis ist der Punkt der Form y1 + t y2 − y1 , der auf dem Kreis liegt, i.e.
(x0 − x1 − t(x2 − x1 ))2 + (y0 − y1 − t(y2 − y1 ))2 = r 2 .
Dies ist eine quadratische Gleichung at 2 + bt + c = 0 auf t, deren
Koeffizienten a, b, c Elemente von q
K oder K (r ) sind.
b 2
b
− ac. Sie liegen in einem
Deren Lösungen sind t± = − 2 ±
2
iterierten quadratischen Erweiterung von K .
Die Schnittpunkte der Geraden G1 und des Kreises sind die Punkte xy11 +
−x 1 . Deren Koordinaten liegen in einem iterierten quadratischen
t± yx22 −
y1
Erweiterung von K .
(ii)
p
Betrachte den Kreis um xy00 mit Radius r = (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 .
Da (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 ∈ K , liegtpr in einer quadratischen
Erweiterung von K (in K oder in K ( (x4 − x3 )2 + (y4 − y3 )2 )).
x1
Der Schnittpunkt der Geraden G := { xy11 + t xy22 −
, wobei t ∈ R} mit dem
− y1
x x − x 1
2
1
Kreis ist der Punkt der Form y1 + t y2 − y1 , der auf dem Kreis liegt, i.e.
(x0 − x1 − t(x2 − x1 ))2 + (y0 − y1 − t(y2 − y1 ))2 = r 2 .
Dies ist eine quadratische Gleichung at 2 + bt + c = 0 auf t, deren
Koeffizienten a, b, c Elemente von q
K oder K (r ) sind.
b 2
b
− ac. Sie liegen in einem
Deren Lösungen sind t± = − 2 ±
2
iterierten quadratischen Erweiterung von K .
Die Schnittpunkte der Geraden G1 und des Kreises sind die Punkte xy11 +
−x 1 . Deren Koordinaten liegen in einem iterierten quadratischen
t± yx22 −
y1
Erweiterung von K .
(iii)
(iii)
Den Kreis um
x 0
y0
(iii)
Den Kreis um
x 0
y0
(bzw. um
x ′ 0
y0′
)
(iii)
′
Den Kreis um xy00 (bzw. um yx0′ ) dessen Radius gleich Abstands r
0
zwischen xy11 und xy22
(iii)
′
Den Kreis um xy00 (bzw. um yx0′ ) dessen Radius gleich Abstands r
0
′
′
zwischen xy11 und xy22 (bzw. Abstands r ′ zwischen yx1′ und yx2′ ) ist,
1
2
(iii)
′
Den Kreis um xy00 (bzw. um yx0′ ) dessen Radius gleich Abstands r
0
′
′
zwischen xy11 und xy22 (bzw. Abstands r ′ zwischen yx1′ und yx2′ ) ist, ist
1
2
die Lösungsmenge der Systems
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 − r 2 = 0,
(x − x0′ )2 + (y − y0′ )2 − r ′2 = 0.
(iii)
′
Den Kreis um xy00 (bzw. um yx0′ ) dessen Radius gleich Abstands r
0
′
′
zwischen xy11 und xy22 (bzw. Abstands r ′ zwischen yx1′ und yx2′ ) ist, ist
1
2
die Lösungsmenge der Systems
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 − r 2 = 0,
(x − x0′ )2 + (y − y0′ )2 − r ′2 = 0.
Subtraktion ergibt
(iii)
′
Den Kreis um xy00 (bzw. um yx0′ ) dessen Radius gleich Abstands r
0
′
′
zwischen xy11 und xy22 (bzw. Abstands r ′ zwischen yx1′ und yx2′ ) ist, ist
1
2
die Lösungsmenge der Systems
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 − r 2 = 0,
(x − x0′ )2 + (y − y0′ )2 − r ′2 = 0.
Subtraktion ergibt
2
2
2x(x0 − x0′ ) + 2y (y0 − y0′ ) + (r 2 − x02 − y02 ) − (r ′2 − x0′ − y0′ ) = 0.
(iii)
′
Den Kreis um xy00 (bzw. um yx0′ ) dessen Radius gleich Abstands r
0
′
′
zwischen xy11 und xy22 (bzw. Abstands r ′ zwischen yx1′ und yx2′ ) ist, ist
1
2
die Lösungsmenge der Systems
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 − r 2 = 0,
(x − x0′ )2 + (y − y0′ )2 − r ′2 = 0.
Subtraktion ergibt
2
2
2x(x0 − x0′ ) + 2y (y0 − y0′ ) + (r 2 − x02 − y02 ) − (r ′2 − x0′ − y0′ ) = 0.
Da wir o.B.d.A. (x0 , y0 ) 6= (x0′ , y0′ )
(iii)
′
Den Kreis um xy00 (bzw. um yx0′ ) dessen Radius gleich Abstands r
0
′
′
zwischen xy11 und xy22 (bzw. Abstands r ′ zwischen yx1′ und yx2′ ) ist, ist
1
2
die Lösungsmenge der Systems
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 − r 2 = 0,
(x − x0′ )2 + (y − y0′ )2 − r ′2 = 0.
Subtraktion ergibt
2
2
2x(x0 − x0′ ) + 2y (y0 − y0′ ) + (r 2 − x02 − y02 ) − (r ′2 − x0′ − y0′ ) = 0.
Da wir o.B.d.A. (x0 , y0 ) 6= (x0′ , y0′ ) annehmen können, können wir y durch
x (oder x durch y ) ausdrücken,
(iii)
′
Den Kreis um xy00 (bzw. um yx0′ ) dessen Radius gleich Abstands r
0
′
′
zwischen xy11 und xy22 (bzw. Abstands r ′ zwischen yx1′ und yx2′ ) ist, ist
1
2
die Lösungsmenge der Systems
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 − r 2 = 0,
(x − x0′ )2 + (y − y0′ )2 − r ′2 = 0.
Subtraktion ergibt
2
2
2x(x0 − x0′ ) + 2y (y0 − y0′ ) + (r 2 − x02 − y02 ) − (r ′2 − x0′ − y0′ ) = 0.
Da wir o.B.d.A. (x0 , y0 ) 6= (x0′ , y0′ ) annehmen können, können wir y durch
x (oder x durch y ) ausdrücken, dies in eine der Kreisgleichungen
einsetzen
(iii)
′
Den Kreis um xy00 (bzw. um yx0′ ) dessen Radius gleich Abstands r
0
′
′
zwischen xy11 und xy22 (bzw. Abstands r ′ zwischen yx1′ und yx2′ ) ist, ist
1
2
die Lösungsmenge der Systems
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 − r 2 = 0,
(x − x0′ )2 + (y − y0′ )2 − r ′2 = 0.
Subtraktion ergibt
2
2
2x(x0 − x0′ ) + 2y (y0 − y0′ ) + (r 2 − x02 − y02 ) − (r ′2 − x0′ − y0′ ) = 0.
Da wir o.B.d.A. (x0 , y0 ) 6= (x0′ , y0′ ) annehmen können, können wir y durch
x (oder x durch y ) ausdrücken, dies in eine der Kreisgleichungen
einsetzen und dann die entstehende quadratische Gleichung lösen.
(iii)
′
Den Kreis um xy00 (bzw. um yx0′ ) dessen Radius gleich Abstands r
0
′
′
zwischen xy11 und xy22 (bzw. Abstands r ′ zwischen yx1′ und yx2′ ) ist, ist
1
2
die Lösungsmenge der Systems
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 − r 2 = 0,
(x − x0′ )2 + (y − y0′ )2 − r ′2 = 0.
Subtraktion ergibt
2
2
2x(x0 − x0′ ) + 2y (y0 − y0′ ) + (r 2 − x02 − y02 ) − (r ′2 − x0′ − y0′ ) = 0.
Da wir o.B.d.A. (x0 , y0 ) 6= (x0′ , y0′ ) annehmen können, können wir y durch
x (oder x durch y ) ausdrücken, dies in eine der Kreisgleichungen
einsetzen und dann die entstehende quadratische Gleichung lösen. In
jedem Fall sind, um die Koordinaten der konstruierten Punkte aus den
Koordinaten der gegebenen Punkte zu berechnen,
(iii)
′
Den Kreis um xy00 (bzw. um yx0′ ) dessen Radius gleich Abstands r
0
′
′
zwischen xy11 und xy22 (bzw. Abstands r ′ zwischen yx1′ und yx2′ ) ist, ist
1
2
die Lösungsmenge der Systems
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 − r 2 = 0,
(x − x0′ )2 + (y − y0′ )2 − r ′2 = 0.
Subtraktion ergibt
2
2
2x(x0 − x0′ ) + 2y (y0 − y0′ ) + (r 2 − x02 − y02 ) − (r ′2 − x0′ − y0′ ) = 0.
Da wir o.B.d.A. (x0 , y0 ) 6= (x0′ , y0′ ) annehmen können, können wir y durch
x (oder x durch y ) ausdrücken, dies in eine der Kreisgleichungen
einsetzen und dann die entstehende quadratische Gleichung lösen. In
jedem Fall sind, um die Koordinaten der konstruierten Punkte aus den
Koordinaten der gegebenen Punkte zu berechnen, nur rationale
Operationen und das Ziehen einer Quadratwurzel erforderlich.
(iii)
′
Den Kreis um xy00 (bzw. um yx0′ ) dessen Radius gleich Abstands r
0
′
′
zwischen xy11 und xy22 (bzw. Abstands r ′ zwischen yx1′ und yx2′ ) ist, ist
1
2
die Lösungsmenge der Systems
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 − r 2 = 0,
(x − x0′ )2 + (y − y0′ )2 − r ′2 = 0.
Subtraktion ergibt
2
2
2x(x0 − x0′ ) + 2y (y0 − y0′ ) + (r 2 − x02 − y02 ) − (r ′2 − x0′ − y0′ ) = 0.
Da wir o.B.d.A. (x0 , y0 ) 6= (x0′ , y0′ ) annehmen können, können wir y durch
x (oder x durch y ) ausdrücken, dies in eine der Kreisgleichungen
einsetzen und dann die entstehende quadratische Gleichung lösen. In
jedem Fall sind, um die Koordinaten der konstruierten Punkte aus den
Koordinaten der gegebenen Punkte zu berechnen, nur rationale
Operationen und das Ziehen einer Quadratwurzel erforderlich. Daraus
liegen Sie in einer iterierten quadratischen Erweiterung von K .
(iii)
′
Den Kreis um xy00 (bzw. um yx0′ ) dessen Radius gleich Abstands r
0
′
′
zwischen xy11 und xy22 (bzw. Abstands r ′ zwischen yx1′ und yx2′ ) ist, ist
1
2
die Lösungsmenge der Systems
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 − r 2 = 0,
(x − x0′ )2 + (y − y0′ )2 − r ′2 = 0.
Subtraktion ergibt
2
2
2x(x0 − x0′ ) + 2y (y0 − y0′ ) + (r 2 − x02 − y02 ) − (r ′2 − x0′ − y0′ ) = 0.
Da wir o.B.d.A. (x0 , y0 ) 6= (x0′ , y0′ ) annehmen können, können wir y durch
x (oder x durch y ) ausdrücken, dies in eine der Kreisgleichungen
einsetzen und dann die entstehende quadratische Gleichung lösen. In
jedem Fall sind, um die Koordinaten der konstruierten Punkte aus den
Koordinaten der gegebenen Punkte zu berechnen, nur rationale
Operationen und das Ziehen einer Quadratwurzel erforderlich. Daraus
liegen Sie in einer iterierten quadratischen Erweiterung von K .
Anwendung: Konstruktiuonen von regulären n-Ecken
Anwendung: Konstruktiuonen von regulären n-Ecken
(Reguläres = alle Seiten und alle Winkel sind gleich)
Anwendung: Konstruktiuonen von regulären n-Ecken
(Reguläres = alle Seiten und alle Winkel sind gleich)
Frage
Anwendung: Konstruktiuonen von regulären n-Ecken
(Reguläres = alle Seiten und alle Winkel sind gleich)
Frage Welche regulären n-Ecken kann man mit Zirkel und Lineal
konstruieren?
Anwendung: Konstruktiuonen von regulären n-Ecken
(Reguläres = alle Seiten und alle Winkel sind gleich)
Frage Welche regulären n-Ecken kann man mit Zirkel und Lineal
konstruieren?
(Falls wir ein reguläres n-Eck konstruieren können, dann können
wir ein reguläres n-Eck mit einer vorgegebenen Seite konstruieren.)
Anwendung: Konstruktiuonen von regulären n-Ecken
(Reguläres = alle Seiten und alle Winkel sind gleich)
Frage Welche regulären n-Ecken kann man mit Zirkel und Lineal
konstruieren?
(Falls wir ein reguläres n-Eck konstruieren können, dann können
wir ein reguläres n-Eck mit einer vorgegebenen Seite konstruieren.)
Bsp.
Anwendung: Konstruktiuonen von regulären n-Ecken
(Reguläres = alle Seiten und alle Winkel sind gleich)
Frage Welche regulären n-Ecken kann man mit Zirkel und Lineal
konstruieren?
(Falls wir ein reguläres n-Eck konstruieren können, dann können
wir ein reguläres n-Eck mit einer vorgegebenen Seite konstruieren.)
Bsp. Reguläres Dreieck,
Anwendung: Konstruktiuonen von regulären n-Ecken
(Reguläres = alle Seiten und alle Winkel sind gleich)
Frage Welche regulären n-Ecken kann man mit Zirkel und Lineal
konstruieren?
(Falls wir ein reguläres n-Eck konstruieren können, dann können
wir ein reguläres n-Eck mit einer vorgegebenen Seite konstruieren.)
Bsp. Reguläres Dreieck, reguläres Viereck sind konstruierbar;
Anwendung: Konstruktiuonen von regulären n-Ecken
(Reguläres = alle Seiten und alle Winkel sind gleich)
Frage Welche regulären n-Ecken kann man mit Zirkel und Lineal
konstruieren?
(Falls wir ein reguläres n-Eck konstruieren können, dann können
wir ein reguläres n-Eck mit einer vorgegebenen Seite konstruieren.)
Bsp. Reguläres Dreieck, reguläres Viereck sind konstruierbar;
reguläres 5-Eck ist Hausaufgabe.
Anwendung: Konstruktiuonen von regulären n-Ecken
(Reguläres = alle Seiten und alle Winkel sind gleich)
Frage Welche regulären n-Ecken kann man mit Zirkel und Lineal
konstruieren?
(Falls wir ein reguläres n-Eck konstruieren können, dann können
wir ein reguläres n-Eck mit einer vorgegebenen Seite konstruieren.)
Bsp. Reguläres Dreieck, reguläres Viereck sind konstruierbar;
reguläres 5-Eck ist Hausaufgabe.
Bsp.
Anwendung: Konstruktiuonen von regulären n-Ecken
(Reguläres = alle Seiten und alle Winkel sind gleich)
Frage Welche regulären n-Ecken kann man mit Zirkel und Lineal
konstruieren?
(Falls wir ein reguläres n-Eck konstruieren können, dann können
wir ein reguläres n-Eck mit einer vorgegebenen Seite konstruieren.)
Bsp. Reguläres Dreieck, reguläres Viereck sind konstruierbar;
reguläres 5-Eck ist Hausaufgabe.
Bsp. Ist ein reguläres n-Eck kostruierbar, so ist ein ein reguläres
2n-Eck auch kostruierbar.
Anwendung: Konstruktiuonen von regulären n-Ecken
(Reguläres = alle Seiten und alle Winkel sind gleich)
Frage Welche regulären n-Ecken kann man mit Zirkel und Lineal
konstruieren?
(Falls wir ein reguläres n-Eck konstruieren können, dann können
wir ein reguläres n-Eck mit einer vorgegebenen Seite konstruieren.)
Bsp. Reguläres Dreieck, reguläres Viereck sind konstruierbar;
reguläres 5-Eck ist Hausaufgabe.
Bsp. Ist ein reguläres n-Eck kostruierbar, so ist ein ein reguläres
2n-Eck auch kostruierbar.
Satz 10
Anwendung: Konstruktiuonen von regulären n-Ecken
(Reguläres = alle Seiten und alle Winkel sind gleich)
Frage Welche regulären n-Ecken kann man mit Zirkel und Lineal
konstruieren?
(Falls wir ein reguläres n-Eck konstruieren können, dann können
wir ein reguläres n-Eck mit einer vorgegebenen Seite konstruieren.)
Bsp. Reguläres Dreieck, reguläres Viereck sind konstruierbar;
reguläres 5-Eck ist Hausaufgabe.
Bsp. Ist ein reguläres n-Eck kostruierbar, so ist ein ein reguläres
2n-Eck auch kostruierbar.
Satz 10 Reguläres n-Eck ist g.d. konstruirbar,
Anwendung: Konstruktiuonen von regulären n-Ecken
(Reguläres = alle Seiten und alle Winkel sind gleich)
Frage Welche regulären n-Ecken kann man mit Zirkel und Lineal
konstruieren?
(Falls wir ein reguläres n-Eck konstruieren können, dann können
wir ein reguläres n-Eck mit einer vorgegebenen Seite konstruieren.)
Bsp. Reguläres Dreieck, reguläres Viereck sind konstruierbar;
reguläres 5-Eck ist Hausaufgabe.
Bsp. Ist ein reguläres n-Eck kostruierbar, so ist ein ein reguläres
2n-Eck auch kostruierbar.
Satz 10 Reguläres n-Eck ist g.d. konstruirbar, wenn die Zahl
cos( 2π
n ) konstruierbar ist.
Anwendung: Konstruktiuonen von regulären n-Ecken
(Reguläres = alle Seiten und alle Winkel sind gleich)
Frage Welche regulären n-Ecken kann man mit Zirkel und Lineal
konstruieren?
(Falls wir ein reguläres n-Eck konstruieren können, dann können
wir ein reguläres n-Eck mit einer vorgegebenen Seite konstruieren.)
Bsp. Reguläres Dreieck, reguläres Viereck sind konstruierbar;
reguläres 5-Eck ist Hausaufgabe.
Bsp. Ist ein reguläres n-Eck kostruierbar, so ist ein ein reguläres
2n-Eck auch kostruierbar.
Satz 10 Reguläres n-Eck ist g.d. konstruirbar, wenn die Zahl
cos( 2π
n ) konstruierbar ist.
Beweis.
Anwendung: Konstruktiuonen von regulären n-Ecken
(Reguläres = alle Seiten und alle Winkel sind gleich)
Frage Welche regulären n-Ecken kann man mit Zirkel und Lineal
konstruieren?
(Falls wir ein reguläres n-Eck konstruieren können, dann können
wir ein reguläres n-Eck mit einer vorgegebenen Seite konstruieren.)
Bsp. Reguläres Dreieck, reguläres Viereck sind konstruierbar;
reguläres 5-Eck ist Hausaufgabe.
Bsp. Ist ein reguläres n-Eck kostruierbar, so ist ein ein reguläres
2n-Eck auch kostruierbar.
Satz 10 Reguläres n-Eck ist g.d. konstruirbar, wenn die Zahl
cos( 2π
n ) konstruierbar ist.
Beweis. ⇐“
”
Anwendung: Konstruktiuonen von regulären n-Ecken
(Reguläres = alle Seiten und alle Winkel sind gleich)
Frage Welche regulären n-Ecken kann man mit Zirkel und Lineal
konstruieren?
(Falls wir ein reguläres n-Eck konstruieren können, dann können
wir ein reguläres n-Eck mit einer vorgegebenen Seite konstruieren.)
Bsp. Reguläres Dreieck, reguläres Viereck sind konstruierbar;
reguläres 5-Eck ist Hausaufgabe.
Bsp. Ist ein reguläres n-Eck kostruierbar, so ist ein ein reguläres
2n-Eck auch kostruierbar.
Satz 10 Reguläres n-Eck ist g.d. konstruirbar, wenn die Zahl
cos( 2π
n ) konstruierbar ist.
Beweis. ⇐“ Angennomen ist die Zahl cos( 2π
n ) konstruierbar.
”
Anwendung: Konstruktiuonen von regulären n-Ecken
(Reguläres = alle Seiten und alle Winkel sind gleich)
Frage Welche regulären n-Ecken kann man mit Zirkel und Lineal
konstruieren?
(Falls wir ein reguläres n-Eck konstruieren können, dann können
wir ein reguläres n-Eck mit einer vorgegebenen Seite konstruieren.)
Bsp. Reguläres Dreieck, reguläres Viereck sind konstruierbar;
reguläres 5-Eck ist Hausaufgabe.
Bsp. Ist ein reguläres n-Eck kostruierbar, so ist ein ein reguläres
2n-Eck auch kostruierbar.
Satz 10 Reguläres n-Eck ist g.d. konstruirbar, wenn die Zahl
cos( 2π
n ) konstruierbar ist.
Beweis. ⇐“ Angennomen ist die Zahl cos( 2π
n ) konstruierbar.
”
2π
Dann können wir der Winkel n konstruieren.
Anwendung: Konstruktiuonen von regulären n-Ecken
(Reguläres = alle Seiten und alle Winkel sind gleich)
Frage Welche regulären n-Ecken kann man mit Zirkel und Lineal
konstruieren?
(Falls wir ein reguläres n-Eck konstruieren können, dann können
wir ein reguläres n-Eck mit einer vorgegebenen Seite konstruieren.)
Bsp. Reguläres Dreieck, reguläres Viereck sind konstruierbar;
reguläres 5-Eck ist Hausaufgabe.
Bsp. Ist ein reguläres n-Eck kostruierbar, so ist ein ein reguläres
2n-Eck auch kostruierbar.
Satz 10 Reguläres n-Eck ist g.d. konstruirbar, wenn die Zahl
cos( 2π
n ) konstruierbar ist.
Beweis. ⇐“ Angennomen ist die Zahl cos( 2π
n ) konstruierbar.
”
2π
Dann können wir der Winkel n konstruieren. Dann können wir
einen Kreis in n gleichen Sektoren teilen,
Anwendung: Konstruktiuonen von regulären n-Ecken
(Reguläres = alle Seiten und alle Winkel sind gleich)
Frage Welche regulären n-Ecken kann man mit Zirkel und Lineal
konstruieren?
(Falls wir ein reguläres n-Eck konstruieren können, dann können
wir ein reguläres n-Eck mit einer vorgegebenen Seite konstruieren.)
Bsp. Reguläres Dreieck, reguläres Viereck sind konstruierbar;
reguläres 5-Eck ist Hausaufgabe.
Bsp. Ist ein reguläres n-Eck kostruierbar, so ist ein ein reguläres
2n-Eck auch kostruierbar.
Satz 10 Reguläres n-Eck ist g.d. konstruirbar, wenn die Zahl
cos( 2π
n ) konstruierbar ist.
Beweis. ⇐“ Angennomen ist die Zahl cos( 2π
n ) konstruierbar.
”
2π
Dann können wir der Winkel n konstruieren. Dann können wir
einen Kreis in n gleichen Sektoren teilen, und so die Ecken eines
reguläres n−Eck konstruieren.
Beweis ⇒“
”
Beweis ⇒“
”
Angenommen reguläres n-Eck ist kostruierbar.
Beweis ⇒“
”
Angenommen reguläres n-Eck ist kostruierbar. Dann können wir
das n−Eck in einen Kreis einbeschreiben.
Beweis ⇒“
”
Angenommen reguläres n-Eck ist kostruierbar. Dann können wir
das n−Eck in einen Kreis einbeschreiben. (Für je zwei Seiten
nehme die Geraden, die die Seiten orthogonal im Mittelpunkt
schneiden. Deren Durschnitt ist der Mittelpunkt des Kreises)
Beweis ⇒“
”
Angenommen reguläres n-Eck ist kostruierbar. Dann können wir
das n−Eck in einen Kreis einbeschreiben. (Für je zwei Seiten
nehme die Geraden, die die Seiten orthogonal im Mittelpunkt
schneiden. Deren Durschnitt ist der Mittelpunkt des Kreises)
Dann können wir den Winkel
2π
n
konstruieren,
Beweis ⇒“
”
Angenommen reguläres n-Eck ist kostruierbar. Dann können wir
das n−Eck in einen Kreis einbeschreiben. (Für je zwei Seiten
nehme die Geraden, die die Seiten orthogonal im Mittelpunkt
schneiden. Deren Durschnitt ist der Mittelpunkt des Kreises)
Dann können wir den Winkel
Zahl cos( 2π
n ).
2π
n
konstruieren, und deswegen die
Beweis ⇒“
”
Angenommen reguläres n-Eck ist kostruierbar. Dann können wir
das n−Eck in einen Kreis einbeschreiben. (Für je zwei Seiten
nehme die Geraden, die die Seiten orthogonal im Mittelpunkt
schneiden. Deren Durschnitt ist der Mittelpunkt des Kreises)
Dann können wir den Winkel
Zahl cos( 2π
n ).
2π
n
konstruieren, und deswegen die
Geometrische konstruktionen und kompexe Zahlen.
Geometrische konstruktionen und kompexe Zahlen.
Beobachtung
Geometrische konstruktionen und kompexe Zahlen.
Beobachtung z := e
2π
n i
∈ C ist die Nullstelle der Gleichung
Geometrische konstruktionen und kompexe Zahlen.
2π
Beobachtung z := e n i ∈ C ist die Nullstelle der Gleichung
z n−1 + z n−2 + ... + 1 = 0.
(∗)
Geometrische konstruktionen und kompexe Zahlen.
2π
Beobachtung z := e n i ∈ C ist die Nullstelle der Gleichung
z n−1 + z n−2 + ... + 1 = 0.
(∗)
Tatsächlich,
Geometrische konstruktionen und kompexe Zahlen.
2π
Beobachtung z := e n i ∈ C ist die Nullstelle der Gleichung
z n−1 + z n−2 + ... + 1 = 0.
(∗)
Tatsächlich, 1, z, z 2 , ..., z n−1 ist die geometrische Progression,
Geometrische konstruktionen und kompexe Zahlen.
2π
Beobachtung z := e n i ∈ C ist die Nullstelle der Gleichung
z n−1 + z n−2 + ... + 1 = 0.
(∗)
Tatsächlich, 1, z, z 2 , ..., z n−1 ist die geometrische Progression, deren
Summe ist
Geometrische konstruktionen und kompexe Zahlen.
2π
Beobachtung z := e n i ∈ C ist die Nullstelle der Gleichung
z n−1 + z n−2 + ... + 1 = 0.
(∗)
Tatsächlich, 1, z, z 2 , ..., z n−1 ist die geometrische Progression, deren
Summe ist
z n −1
z−1
=
Geometrische konstruktionen und kompexe Zahlen.
2π
Beobachtung z := e n i ∈ C ist die Nullstelle der Gleichung
z n−1 + z n−2 + ... + 1 = 0.
(∗)
Tatsächlich, 1, z, z 2 , ..., zn−1 ist die geometrische Progression, deren
Summe ist
z n −1
z−1
=
e
2π
n
e
n
i
−1
2π i
n −1
=
Geometrische konstruktionen und kompexe Zahlen.
2π
Beobachtung z := e n i ∈ C ist die Nullstelle der Gleichung
z n−1 + z n−2 + ... + 1 = 0.
(∗)
Tatsächlich, 1, z, z 2 , ..., zn−1 ist die geometrische Progression, deren
n
2π
e n i −1
(e 2π·i )−1
z n −1
Summe ist z−1 =
= 2π i
=
2π i
e
n
−1
e
n
−1
Geometrische konstruktionen und kompexe Zahlen.
2π
Beobachtung z := e n i ∈ C ist die Nullstelle der Gleichung
z n−1 + z n−2 + ... + 1 = 0.
(∗)
Tatsächlich, 1, z, z 2 , ..., zn−1 ist die geometrische Progression, deren
n
2π
e n i −1
(e 2π·i )−1
z n −1
1−1
Summe ist z−1 =
= 2π i
= 2π
= 0.
2π i
i
e
n
−1
e
n
−1
e
n
−1
Geometrische konstruktionen und kompexe Zahlen.
2π
Beobachtung z := e n i ∈ C ist die Nullstelle der Gleichung
z n−1 + z n−2 + ... + 1 = 0.
(∗)
Tatsächlich, 1, z, z 2 , ..., zn−1 ist die geometrische Progression, deren
n
2π
e n i −1
(e 2π·i )−1
z n −1
1−1
Summe ist z−1 =
= 2π i
= 2π
= 0.
2π i
i
e
Bsp.
n
−1
e
n
−1
e
n
−1
Geometrische konstruktionen und kompexe Zahlen.
2π
Beobachtung z := e n i ∈ C ist die Nullstelle der Gleichung
z n−1 + z n−2 + ... + 1 = 0.
(∗)
Tatsächlich, 1, z, z 2 , ..., zn−1 ist die geometrische Progression, deren
n
2π
e n i −1
(e 2π·i )−1
z n −1
1−1
Summe ist z−1 =
= 2π i
= 2π
= 0.
2π i
i
e
n
−1
e
n
−1
e
n
Bsp. 5-Eck ist konstruierbar (Hausaufgabe 1)
−1
Geometrische konstruktionen und kompexe Zahlen.
2π
Beobachtung z := e n i ∈ C ist die Nullstelle der Gleichung
z n−1 + z n−2 + ... + 1 = 0.
(∗)
Tatsächlich, 1, z, z 2 , ..., zn−1 ist die geometrische Progression, deren
n
2π
e n i −1
(e 2π·i )−1
z n −1
1−1
Summe ist z−1 =
= 2π i
= 2π
= 0.
2π i
i
e
n
−1
e
n
−1
e
n
Bsp. 5-Eck ist konstruierbar (Hausaufgabe 1)
Tatsächlich,
−1
Geometrische konstruktionen und kompexe Zahlen.
2π
Beobachtung z := e n i ∈ C ist die Nullstelle der Gleichung
z n−1 + z n−2 + ... + 1 = 0.
(∗)
Tatsächlich, 1, z, z 2 , ..., zn−1 ist die geometrische Progression, deren
n
2π
e n i −1
(e 2π·i )−1
z n −1
1−1
Summe ist z−1 =
= 2π i
= 2π
= 0.
2π i
i
e
n
−1
e
n
−1
e
n
Bsp. 5-Eck ist konstruierbar (Hausaufgabe 1)
Tatsächlich, für n = 5 ist die Gleichung (∗)
−1
Geometrische konstruktionen und kompexe Zahlen.
2π
Beobachtung z := e n i ∈ C ist die Nullstelle der Gleichung
z n−1 + z n−2 + ... + 1 = 0.
(∗)
Tatsächlich, 1, z, z 2 , ..., zn−1 ist die geometrische Progression, deren
n
2π
e n i −1
(e 2π·i )−1
z n −1
1−1
Summe ist z−1 =
= 2π i
= 2π
= 0.
2π i
i
e
n
−1
e
n
−1
e
n
Bsp. 5-Eck ist konstruierbar (Hausaufgabe 1)
Tatsächlich, für n = 5 ist die Gleichung (∗)
z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 = 0.
−1
Geometrische konstruktionen und kompexe Zahlen.
2π
Beobachtung z := e n i ∈ C ist die Nullstelle der Gleichung
z n−1 + z n−2 + ... + 1 = 0.
(∗)
Tatsächlich, 1, z, z 2 , ..., zn−1 ist die geometrische Progression, deren
n
2π
e n i −1
(e 2π·i )−1
z n −1
1−1
Summe ist z−1 =
= 2π i
= 2π
= 0.
2π i
i
e
n
−1
e
n
−1
e
n
−1
Bsp. 5-Eck ist konstruierbar (Hausaufgabe 1)
Tatsächlich, für n = 5 ist die Gleichung (∗)
z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 = 0. Wir können diese Gleichung lösen.
Geometrische konstruktionen und kompexe Zahlen.
2π
Beobachtung z := e n i ∈ C ist die Nullstelle der Gleichung
z n−1 + z n−2 + ... + 1 = 0.
(∗)
Tatsächlich, 1, z, z 2 , ..., zn−1 ist die geometrische Progression, deren
n
2π
e n i −1
(e 2π·i )−1
z n −1
1−1
Summe ist z−1 =
= 2π i
= 2π
= 0.
2π i
i
e
n
−1
e
n
−1
e
n
−1
Bsp. 5-Eck ist konstruierbar (Hausaufgabe 1)
Tatsächlich, für n = 5 ist die Gleichung (∗)
z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 = 0. Wir können diese Gleichung lösen.Wir
dividieren durch z 2 und bekommen
z 2 + z12 + 2 + z + z1 − 1 = 0
Geometrische konstruktionen und kompexe Zahlen.
2π
Beobachtung z := e n i ∈ C ist die Nullstelle der Gleichung
z n−1 + z n−2 + ... + 1 = 0.
(∗)
Tatsächlich, 1, z, z 2 , ..., zn−1 ist die geometrische Progression, deren
n
2π
e n i −1
(e 2π·i )−1
z n −1
1−1
Summe ist z−1 =
= 2π i
= 2π
= 0.
2π i
i
e
n
−1
e
n
−1
e
n
−1
Bsp. 5-Eck ist konstruierbar (Hausaufgabe 1)
Tatsächlich, für n = 5 ist die Gleichung (∗)
z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 = 0. Wir können diese Gleichung lösen.Wir
dividieren durch z 2 und bekommen
z 2 + z12 + 2 + z + z1 − 1 = 0 Da (z + z1 )2 = z 2 + z12 + 2,
Geometrische konstruktionen und kompexe Zahlen.
2π
Beobachtung z := e n i ∈ C ist die Nullstelle der Gleichung
z n−1 + z n−2 + ... + 1 = 0.
(∗)
Tatsächlich, 1, z, z 2 , ..., zn−1 ist die geometrische Progression, deren
n
2π
e n i −1
(e 2π·i )−1
z n −1
1−1
Summe ist z−1 =
= 2π i
= 2π
= 0.
2π i
i
e
n
−1
e
n
−1
e
n
−1
Bsp. 5-Eck ist konstruierbar (Hausaufgabe 1)
Tatsächlich, für n = 5 ist die Gleichung (∗)
z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 = 0. Wir können diese Gleichung lösen.Wir
dividieren durch z 2 und bekommen
z 2 + z12 + 2 + z + z1 − 1 = 0 Da (z + z1 )2 = z 2 + z12 + 2, ist die
Gleichung äquivalent zu
w 2 + w − 1 = 0,
Geometrische konstruktionen und kompexe Zahlen.
2π
Beobachtung z := e n i ∈ C ist die Nullstelle der Gleichung
z n−1 + z n−2 + ... + 1 = 0.
(∗)
Tatsächlich, 1, z, z 2 , ..., zn−1 ist die geometrische Progression, deren
n
2π
e n i −1
(e 2π·i )−1
z n −1
1−1
Summe ist z−1 =
= 2π i
= 2π
= 0.
2π i
i
e
n
−1
e
n
−1
e
n
−1
Bsp. 5-Eck ist konstruierbar (Hausaufgabe 1)
Tatsächlich, für n = 5 ist die Gleichung (∗)
z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 = 0. Wir können diese Gleichung lösen.Wir
dividieren durch z 2 und bekommen
z 2 + z12 + 2 + z + z1 − 1 = 0 Da (z + z1 )2 = z 2 + z12 + 2, ist die
Gleichung äquivalent zu
w 2 + w − 1 = 0, wobei w = z + z1 .
Geometrische konstruktionen und kompexe Zahlen.
2π
Beobachtung z := e n i ∈ C ist die Nullstelle der Gleichung
z n−1 + z n−2 + ... + 1 = 0.
(∗)
Tatsächlich, 1, z, z 2 , ..., zn−1 ist die geometrische Progression, deren
n
2π
e n i −1
(e 2π·i )−1
z n −1
1−1
Summe ist z−1 =
= 2π i
= 2π
= 0.
2π i
i
e
n
−1
e
n
−1
e
n
−1
Bsp. 5-Eck ist konstruierbar (Hausaufgabe 1)
Tatsächlich, für n = 5 ist die Gleichung (∗)
z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 = 0. Wir können diese Gleichung lösen.Wir
dividieren durch z 2 und bekommen
z 2 + z12 + 2 + z + z1 − 1 = 0 Da (z + z1 )2 = z 2 + z12 + 2, ist die
Gleichung äquivalent zu
√
√
w 2 + w − 1 = 0, wobei w = z + z1 . Dann ist w = ± 25−1 ∈ Q( 5).
Geometrische konstruktionen und kompexe Zahlen.
2π
Beobachtung z := e n i ∈ C ist die Nullstelle der Gleichung
z n−1 + z n−2 + ... + 1 = 0.
(∗)
Tatsächlich, 1, z, z 2 , ..., zn−1 ist die geometrische Progression, deren
n
2π
e n i −1
(e 2π·i )−1
z n −1
1−1
Summe ist z−1 =
= 2π i
= 2π
= 0.
2π i
i
e
n
−1
e
n
−1
e
n
−1
Bsp. 5-Eck ist konstruierbar (Hausaufgabe 1)
Tatsächlich, für n = 5 ist die Gleichung (∗)
z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 = 0. Wir können diese Gleichung lösen.Wir
dividieren durch z 2 und bekommen
z 2 + z12 + 2 + z + z1 − 1 = 0 Da (z + z1 )2 = z 2 + z12 + 2, ist die
Gleichung äquivalent zu
√
√
w 2 + w − 1 = 0, wobei w = z + z1 . Dann ist w = ± 25−1 ∈ Q( 5).
√
Dann ist z + z1 = ± 25−1 .
Geometrische konstruktionen und kompexe Zahlen.
2π
Beobachtung z := e n i ∈ C ist die Nullstelle der Gleichung
z n−1 + z n−2 + ... + 1 = 0.
(∗)
Tatsächlich, 1, z, z 2 , ..., zn−1 ist die geometrische Progression, deren
n
2π
e n i −1
(e 2π·i )−1
z n −1
1−1
Summe ist z−1 =
= 2π i
= 2π
= 0.
2π i
i
e
n
−1
e
n
−1
e
n
−1
Bsp. 5-Eck ist konstruierbar (Hausaufgabe 1)
Tatsächlich, für n = 5 ist die Gleichung (∗)
z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 = 0. Wir können diese Gleichung lösen.Wir
dividieren durch z 2 und bekommen
z 2 + z12 + 2 + z + z1 − 1 = 0 Da (z + z1 )2 = z 2 + z12 + 2, ist die
Gleichung äquivalent zu
√
√
w 2 + w − 1 = 0, wobei w = z + z1 . Dann ist w = ± 25−1 ∈ Q( 5).
√
Dann ist z + z1 = ± 25−1 . Das sind quadratische Gleichungen,
Geometrische konstruktionen und kompexe Zahlen.
2π
Beobachtung z := e n i ∈ C ist die Nullstelle der Gleichung
z n−1 + z n−2 + ... + 1 = 0.
(∗)
Tatsächlich, 1, z, z 2 , ..., zn−1 ist die geometrische Progression, deren
n
2π
e n i −1
(e 2π·i )−1
z n −1
1−1
Summe ist z−1 =
= 2π i
= 2π
= 0.
2π i
i
e
n
−1
e
n
−1
e
n
−1
Bsp. 5-Eck ist konstruierbar (Hausaufgabe 1)
Tatsächlich, für n = 5 ist die Gleichung (∗)
z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 = 0. Wir können diese Gleichung lösen.Wir
dividieren durch z 2 und bekommen
z 2 + z12 + 2 + z + z1 − 1 = 0 Da (z + z1 )2 = z 2 + z12 + 2, ist die
Gleichung äquivalent zu
√
√
w 2 + w − 1 = 0, wobei w = z + z1 . Dann ist w = ± 25−1 ∈ Q( 5).
√
Dann ist z + z1 = ± 25−1 . Das sind quadratische Gleichungen, deren
√
Koeffizienten in Q( 5) liegen.
Geometrische konstruktionen und kompexe Zahlen.
2π
Beobachtung z := e n i ∈ C ist die Nullstelle der Gleichung
z n−1 + z n−2 + ... + 1 = 0.
(∗)
Tatsächlich, 1, z, z 2 , ..., zn−1 ist die geometrische Progression, deren
n
2π
e n i −1
(e 2π·i )−1
z n −1
1−1
Summe ist z−1 =
= 2π i
= 2π
= 0.
2π i
i
e
n
−1
e
n
−1
e
n
−1
Bsp. 5-Eck ist konstruierbar (Hausaufgabe 1)
Tatsächlich, für n = 5 ist die Gleichung (∗)
z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 = 0. Wir können diese Gleichung lösen.Wir
dividieren durch z 2 und bekommen
z 2 + z12 + 2 + z + z1 − 1 = 0 Da (z + z1 )2 = z 2 + z12 + 2, ist die
Gleichung äquivalent zu
√
√
w 2 + w − 1 = 0, wobei w = z + z1 . Dann ist w = ± 25−1 ∈ Q( 5).
√
Dann ist z + z1 = ± 25−1 . Das sind quadratische Gleichungen, deren
√
Dann haben die Nullstellen der Form
Koeffizienten in Q( 5) liegen.
√
z = a + ib, wobei a ∈ Q( 5) ist.
Geometrische konstruktionen und kompexe Zahlen.
2π
Beobachtung z := e n i ∈ C ist die Nullstelle der Gleichung
z n−1 + z n−2 + ... + 1 = 0.
(∗)
Tatsächlich, 1, z, z 2 , ..., zn−1 ist die geometrische Progression, deren
n
2π
e n i −1
(e 2π·i )−1
z n −1
1−1
Summe ist z−1 =
= 2π i
= 2π
= 0.
2π i
i
e
n
−1
e
n
−1
e
n
−1
Bsp. 5-Eck ist konstruierbar (Hausaufgabe 1)
Tatsächlich, für n = 5 ist die Gleichung (∗)
z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 = 0. Wir können diese Gleichung lösen.Wir
dividieren durch z 2 und bekommen
z 2 + z12 + 2 + z + z1 − 1 = 0 Da (z + z1 )2 = z 2 + z12 + 2, ist die
Gleichung äquivalent zu
√
√
w 2 + w − 1 = 0, wobei w = z + z1 . Dann ist w = ± 25−1 ∈ Q( 5).
√
Dann ist z + z1 = ± 25−1 . Das sind quadratische Gleichungen, deren
√
Dann haben die Nullstellen der Form
Koeffizienten in Q( 5) liegen.
√
z = a + ib, wobei a ∈ Q( 5) ist. Da nach Beobachtung oben
2π
2π
z = e 5 i = cos( 2π
5 ) + i sin( 5 ) eine Nullstelle ist,
Geometrische konstruktionen und kompexe Zahlen.
2π
Beobachtung z := e n i ∈ C ist die Nullstelle der Gleichung
z n−1 + z n−2 + ... + 1 = 0.
(∗)
Tatsächlich, 1, z, z 2 , ..., zn−1 ist die geometrische Progression, deren
n
2π
e n i −1
(e 2π·i )−1
z n −1
1−1
Summe ist z−1 =
= 2π i
= 2π
= 0.
2π i
i
e
n
−1
e
n
−1
e
n
−1
Bsp. 5-Eck ist konstruierbar (Hausaufgabe 1)
Tatsächlich, für n = 5 ist die Gleichung (∗)
z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 = 0. Wir können diese Gleichung lösen.Wir
dividieren durch z 2 und bekommen
z 2 + z12 + 2 + z + z1 − 1 = 0 Da (z + z1 )2 = z 2 + z12 + 2, ist die
Gleichung äquivalent zu
√
√
w 2 + w − 1 = 0, wobei w = z + z1 . Dann ist w = ± 25−1 ∈ Q( 5).
√
Dann ist z + z1 = ± 25−1 . Das sind quadratische Gleichungen, deren
√
Dann haben die Nullstellen der Form
Koeffizienten in Q( 5) liegen.
√
z = a + ib, wobei a ∈ Q( 5) ist. Da nach Beobachtung oben
√
2π
2π
2π
z = e 5 i = cos( 2π
5 ) + i sin( 5 ) eine Nullstelle ist, ist cos( 5 ) ∈ Q( 5),
Geometrische konstruktionen und kompexe Zahlen.
2π
Beobachtung z := e n i ∈ C ist die Nullstelle der Gleichung
z n−1 + z n−2 + ... + 1 = 0.
(∗)
Tatsächlich, 1, z, z 2 , ..., zn−1 ist die geometrische Progression, deren
n
2π
e n i −1
(e 2π·i )−1
z n −1
1−1
Summe ist z−1 =
= 2π i
= 2π
= 0.
2π i
i
e
n
−1
e
n
−1
e
n
−1
Bsp. 5-Eck ist konstruierbar (Hausaufgabe 1)
Tatsächlich, für n = 5 ist die Gleichung (∗)
z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 = 0. Wir können diese Gleichung lösen.Wir
dividieren durch z 2 und bekommen
z 2 + z12 + 2 + z + z1 − 1 = 0 Da (z + z1 )2 = z 2 + z12 + 2, ist die
Gleichung äquivalent zu
√
√
w 2 + w − 1 = 0, wobei w = z + z1 . Dann ist w = ± 25−1 ∈ Q( 5).
√
Dann ist z + z1 = ± 25−1 . Das sind quadratische Gleichungen, deren
√
Dann haben die Nullstellen der Form
Koeffizienten in Q( 5) liegen.
√
z = a + ib, wobei a ∈ Q( 5) ist. Da nach Beobachtung oben
√
2π
2π
2π
z = e 5 i = cos( 2π
5 ) + i sin( 5 ) eine Nullstelle ist, ist cos( 5 ) ∈ Q( 5),
und deswegen nach Satz 10 ist reguläres 5−Eck konstruierbar.
Satz 11 Angenommen n = q · p, wobei ggT (q, p) = 1, p ≥ 3,
q ≥ 3.
Satz 11 Angenommen n = q · p, wobei ggT (q, p) = 1, p ≥ 3,
q ≥ 3. Dann gilt: ein reguläres n−Eck ist g.d. konstruierbar,
Satz 11 Angenommen n = q · p, wobei ggT (q, p) = 1, p ≥ 3,
q ≥ 3. Dann gilt: ein reguläres n−Eck ist g.d. konstruierbar, wenn
die reguläre q− und p−Ecken konstruierbar sind.
Satz 11 Angenommen n = q · p, wobei ggT (q, p) = 1, p ≥ 3,
q ≥ 3. Dann gilt: ein reguläres n−Eck ist g.d. konstruierbar, wenn
die reguläre q− und p−Ecken konstruierbar sind.
Beweis.
Satz 11 Angenommen n = q · p, wobei ggT (q, p) = 1, p ≥ 3,
q ≥ 3. Dann gilt: ein reguläres n−Eck ist g.d. konstruierbar, wenn
die reguläre q− und p−Ecken konstruierbar sind.
Beweis. ⇒ ist trivial:
” ”
Satz 11 Angenommen n = q · p, wobei ggT (q, p) = 1, p ≥ 3,
q ≥ 3. Dann gilt: ein reguläres n−Eck ist g.d. konstruierbar, wenn
die reguläre q− und p−Ecken konstruierbar sind.
Beweis. ⇒ ist trivial: falls wir den Winkel
” ”
Satz 11 Angenommen n = q · p, wobei ggT (q, p) = 1, p ≥ 3,
q ≥ 3. Dann gilt: ein reguläres n−Eck ist g.d. konstruierbar, wenn
die reguläre q− und p−Ecken konstruierbar sind.
Beweis. ⇒ ist trivial: falls wir den Winkel 2π
pq konstruieren
” ”
2π
können, können wir auch den Winkel p bzw. 2π
q konstruieren.
Satz 11 Angenommen n = q · p, wobei ggT (q, p) = 1, p ≥ 3,
q ≥ 3. Dann gilt: ein reguläres n−Eck ist g.d. konstruierbar, wenn
die reguläre q− und p−Ecken konstruierbar sind.
Beweis. ⇒ ist trivial: falls wir den Winkel 2π
pq konstruieren
” ”
2π
können, können wir auch den Winkel p bzw. 2π
q konstruieren.
Beweis ⇐ :
” ”
Satz 11 Angenommen n = q · p, wobei ggT (q, p) = 1, p ≥ 3,
q ≥ 3. Dann gilt: ein reguläres n−Eck ist g.d. konstruierbar, wenn
die reguläre q− und p−Ecken konstruierbar sind.
Beweis. ⇒ ist trivial: falls wir den Winkel 2π
pq konstruieren
” ”
2π
können, können wir auch den Winkel p bzw. 2π
q konstruieren.
Beweis ⇐ : Sind die reguläre q− und p−Ecken konstruierbar,
” ”
Satz 11 Angenommen n = q · p, wobei ggT (q, p) = 1, p ≥ 3,
q ≥ 3. Dann gilt: ein reguläres n−Eck ist g.d. konstruierbar, wenn
die reguläre q− und p−Ecken konstruierbar sind.
Beweis. ⇒ ist trivial: falls wir den Winkel 2π
pq konstruieren
” ”
2π
können, können wir auch den Winkel p bzw. 2π
q konstruieren.
Beweis ⇐ : Sind die reguläre q− und p−Ecken konstruierbar, so
” ”
2π
sind die Winkel 2π
p bzw. q konstruierbar.
Satz 11 Angenommen n = q · p, wobei ggT (q, p) = 1, p ≥ 3,
q ≥ 3. Dann gilt: ein reguläres n−Eck ist g.d. konstruierbar, wenn
die reguläre q− und p−Ecken konstruierbar sind.
Beweis. ⇒ ist trivial: falls wir den Winkel 2π
pq konstruieren
” ”
2π
können, können wir auch den Winkel p bzw. 2π
q konstruieren.
Beweis ⇐ : Sind die reguläre q− und p−Ecken konstruierbar, so
” ”
2π
sind die Winkel 2π
p bzw. q konstruierbar. Dann sind für jede m1 ,
2π
m2 ∈ Z der Winkel m1 2π
p + m2 q konstruierbar.
Satz 11 Angenommen n = q · p, wobei ggT (q, p) = 1, p ≥ 3,
q ≥ 3. Dann gilt: ein reguläres n−Eck ist g.d. konstruierbar, wenn
die reguläre q− und p−Ecken konstruierbar sind.
Beweis. ⇒ ist trivial: falls wir den Winkel 2π
pq konstruieren
” ”
2π
können, können wir auch den Winkel p bzw. 2π
q konstruieren.
Beweis ⇐ : Sind die reguläre q− und p−Ecken konstruierbar, so
” ”
2π
sind die Winkel 2π
p bzw. q konstruierbar. Dann sind für jede m1 ,
2π
m2 ∈ Z der Winkel m1 2π
p + m2 q konstruierbar. Nach Satz 3 gibt
es m1 , m2
Satz 11 Angenommen n = q · p, wobei ggT (q, p) = 1, p ≥ 3,
q ≥ 3. Dann gilt: ein reguläres n−Eck ist g.d. konstruierbar, wenn
die reguläre q− und p−Ecken konstruierbar sind.
Beweis. ⇒ ist trivial: falls wir den Winkel 2π
pq konstruieren
” ”
2π
können, können wir auch den Winkel p bzw. 2π
q konstruieren.
Beweis ⇐ : Sind die reguläre q− und p−Ecken konstruierbar, so
” ”
2π
sind die Winkel 2π
p bzw. q konstruierbar. Dann sind für jede m1 ,
2π
m2 ∈ Z der Winkel m1 2π
p + m2 q konstruierbar. Nach Satz 3 gibt
es m1 , m2 s.d. m1 p + m2 q = 1.
Satz 11 Angenommen n = q · p, wobei ggT (q, p) = 1, p ≥ 3,
q ≥ 3. Dann gilt: ein reguläres n−Eck ist g.d. konstruierbar, wenn
die reguläre q− und p−Ecken konstruierbar sind.
Beweis. ⇒ ist trivial: falls wir den Winkel 2π
pq konstruieren
” ”
2π
können, können wir auch den Winkel p bzw. 2π
q konstruieren.
Beweis ⇐ : Sind die reguläre q− und p−Ecken konstruierbar, so
” ”
2π
sind die Winkel 2π
p bzw. q konstruierbar. Dann sind für jede m1 ,
2π
m2 ∈ Z der Winkel m1 2π
p + m2 q konstruierbar. Nach Satz 3 gibt
es m1 , m2 s.d. m1 p + m2 q = 1. Wir multiplizieren diese Gleichung
2π
mit 2π
n = pq
Satz 11 Angenommen n = q · p, wobei ggT (q, p) = 1, p ≥ 3,
q ≥ 3. Dann gilt: ein reguläres n−Eck ist g.d. konstruierbar, wenn
die reguläre q− und p−Ecken konstruierbar sind.
Beweis. ⇒ ist trivial: falls wir den Winkel 2π
pq konstruieren
” ”
2π
können, können wir auch den Winkel p bzw. 2π
q konstruieren.
Beweis ⇐ : Sind die reguläre q− und p−Ecken konstruierbar, so
” ”
2π
sind die Winkel 2π
p bzw. q konstruierbar. Dann sind für jede m1 ,
2π
m2 ∈ Z der Winkel m1 2π
p + m2 q konstruierbar. Nach Satz 3 gibt
es m1 , m2 s.d. m1 p + m2 q = 1. Wir multiplizieren diese Gleichung
2π
2π
2π
2π
mit 2π
n = pq und bekommen, dass der Winkel m1 p + m2 q = n
Satz 11 Angenommen n = q · p, wobei ggT (q, p) = 1, p ≥ 3,
q ≥ 3. Dann gilt: ein reguläres n−Eck ist g.d. konstruierbar, wenn
die reguläre q− und p−Ecken konstruierbar sind.
Beweis. ⇒ ist trivial: falls wir den Winkel 2π
pq konstruieren
” ”
2π
können, können wir auch den Winkel p bzw. 2π
q konstruieren.
Beweis ⇐ : Sind die reguläre q− und p−Ecken konstruierbar, so
” ”
2π
sind die Winkel 2π
p bzw. q konstruierbar. Dann sind für jede m1 ,
2π
m2 ∈ Z der Winkel m1 2π
p + m2 q konstruierbar. Nach Satz 3 gibt
es m1 , m2 s.d. m1 p + m2 q = 1. Wir multiplizieren diese Gleichung
2π
2π
2π
2π
mit 2π
n = pq und bekommen, dass der Winkel m1 p + m2 q = n
konstruierbar ist.
Satz 11 Angenommen n = q · p, wobei ggT (q, p) = 1, p ≥ 3,
q ≥ 3. Dann gilt: ein reguläres n−Eck ist g.d. konstruierbar, wenn
die reguläre q− und p−Ecken konstruierbar sind.
Beweis. ⇒ ist trivial: falls wir den Winkel 2π
pq konstruieren
” ”
2π
können, können wir auch den Winkel p bzw. 2π
q konstruieren.
Beweis ⇐ : Sind die reguläre q− und p−Ecken konstruierbar, so
” ”
2π
sind die Winkel 2π
p bzw. q konstruierbar. Dann sind für jede m1 ,
2π
m2 ∈ Z der Winkel m1 2π
p + m2 q konstruierbar. Nach Satz 3 gibt
es m1 , m2 s.d. m1 p + m2 q = 1. Wir multiplizieren diese Gleichung
2π
2π
2π
2π
mit 2π
n = pq und bekommen, dass der Winkel m1 p + m2 q = n
konstruierbar ist. Also ist das n−Eck konstruierbar.
Satz 11 Angenommen n = q · p, wobei ggT (q, p) = 1, p ≥ 3,
q ≥ 3. Dann gilt: ein reguläres n−Eck ist g.d. konstruierbar, wenn
die reguläre q− und p−Ecken konstruierbar sind.
Beweis. ⇒ ist trivial: falls wir den Winkel 2π
pq konstruieren
” ”
2π
können, können wir auch den Winkel p bzw. 2π
q konstruieren.
Beweis ⇐ : Sind die reguläre q− und p−Ecken konstruierbar, so
” ”
2π
sind die Winkel 2π
p bzw. q konstruierbar. Dann sind für jede m1 ,
2π
m2 ∈ Z der Winkel m1 2π
p + m2 q konstruierbar. Nach Satz 3 gibt
es m1 , m2 s.d. m1 p + m2 q = 1. Wir multiplizieren diese Gleichung
2π
2π
2π
2π
mit 2π
n = pq und bekommen, dass der Winkel m1 p + m2 q = n
konstruierbar ist. Also ist das n−Eck konstruierbar.