Theoretische Physik III - Elektrodynamik Blatt 4

Prof. Dr. Claudius Gros
Dr. Francesc Salvat-Pujol
Theoretische Physik III - Elektrodynamik
Blatt 4
Aufgabe 1: Bewegungsgleichung im Magnetfeld
Ein Elektron tritt aus einer Probe mit einer Geschwindigkeit v, die einen Winkel ϕ mit der Oberflächennormale macht. Die Kammer, in der sich die Probe befindet, ist schlecht abgeschirmt: es
existiert ein homogenes externes Magnetfeld B entlang der Oberflächennormale überall in der
Kammer.
a) Berechnen und beschreiben Sie die Trajektorie des Teilchens in der Gegenwart und in der
Abwesenheit vom Magnetfeld.
b) Ändert sich der Betrag der Geschwindigkeit mit der Zeit?
c) Detektoren geladener Teilchen messen meist entweder die Energie oder die Flugzeit des jeweiligen Teilchens. Für welche der beiden Kategorien ist die Präsenz eines Magnetfelds kritischer?
Aufgabe 2: Biot-Savart-Gesetz I
Eine kreisförmige Scheibe mit Radius R hat eine homogenverteilte Ladung Q. Wir legen ein System kartesischer Koordinaten mit der z-Achse senkrecht zur Scheibe. Die Scheibe rotiert mit
Winkelgeschwindigkeit ω um die z-Achse.
a) Bestimmen Sie die Ladungsdichte der Scheibe. Hinweis: verwenden Sie die Diracsche Delta
Funktion und die Heaviside-Funktion.
b) Bestimmen Sie die Stromdichte.
c) Berechnen Sie das Magnetfeld an der z-Achse. Hinweis:
Z
x2 + 2a2
x3
√
=
.
dx 2
(x + a2 )3/2
x 2 + a2
(1)
(Bitte wenden!)
Aufgabe 3: Kraft auf einen Dipol in einem externen Magnetfeld
Leiten Sie die Kraft F her, die auf eine stationäre Stromdichte J(r) in einem externen Magnetfeld
B(r) wirkt und schreiben Sie diese Kraft als Funktion des magnetischen Dipolmoments m von
J(r):
F = ∇ [m · B]
(2)
Nehmen Sie an, dass das Feld in der Region wo sich der Dipol befindet schwach variierend ist,
sodass eine Taylorentwicklung erster Ordnung ausreicht:
Bk (r) = Bk (r0 ) + (r − r0 ) · ∇Bk (r)|r0 ,
(3)
wobei Bk (r) die k-te Komponente des Magnetfeldes ist.
Hinweise in der notwendigen Reihenfolge:
Z
dr0 Ji (r0 ) = 0, für stationäre Ströme,
R3
Z
Z
1
0 0
0
0
0
0
dr [u(r) · r ]Ji (r ) = − u(r) ×
dr r × J(r ) ,
2
R3
R3
i
(c × ∇) × u(r) = ∇ [c · u(r)] − [∇ · u(r)] c,
(4)
(5)
(6)
wobei c ein konstanter Vektor ist und u(r) eine Vektorfunktion von r ist.
Aufgabe 4: Biot-Savart-Gesetz II
a) Ein Strom I fließt durch eine kreisförmige Schlaufe mit Radius R. Legen Sie ein System kartesischer Koordinaten mit Ursprung am Zentrum der Schlaufe und z-Achse senkrecht dazu
(Rechte-Hand-Regel). Berechnen Sie mithilfe vom Biot-Savart-Gesetz das magnetische Feld
an der Symmetrieachse der Schlaufe. Bestätigen Sie, dass das Magnetfeld an der Symmetrieachse nur eine z-Komponente hat.
b) Es befindet sich ein magnetischer Dipol m = µz ẑ in der Symmetrieachse von der Schlaufe.
Wird das Dipolmoment von der Schlaufe abgestoßen oder angezogen? Wir drehen jetzt das
Dipolmoment um: m0 = −µz ẑ. Wird das Dipolmoment jetzt von der Schlaufe abgestoßen
oder angezogen?