Theoretische Festkörperphysik: ¨Ubungsblatt 5
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Technische Universität Dresden Institut für Theoretische Physik Prof. Dr. Matthias Vojta , Dr. Stephan Rachel SS 2014 24.06.14 Theoretische Festkörperphysik: Übungsblatt 5 1 Phononen I: mittleres Auslenkungsquadrat Gegeben sei ein d-dimensionaler Kristall (N Gitterplätze) mit einem Atom (der Masse M ) pro Elementar~ n sei der Gittervektor und ~un die Auslenkung des Atoms der n-ten Elementarzelle. In harmonischer zelle. R Näherung läßt sich der Phononen-Hamilton-Operator bekanntlich schreiben als X 1 ~ωs (~k) a~† a~ + H= . (1) ks ks 2 ~k,s Die s-te Komponente des Auslenkungsvektors ist gegeben durch s 1 X i~kR~ n ~ un,s = √ e a~ + a† ~ , −ks N ~ 2M ωs (~k) ks (2) k wobei das kartesische Koordinatensystem zugrunde gelegt wurde, bzgl. dessen die dynamische Matrix diagonal ist. a) Berechnen Sie die mittlere thermische Auslenkung h~un i und zeigen Sie, dass für das mittlere Auslenkungsquadrat gilt: Z 1 1 2 h~un i = dωD(ω) coth(β~ω/2) (3) 2M ω wobei D(ω) die Zustandsdichte akustischer Phononen bezeichnet. b) [ 5 Punkte ] c) [ 5 Punkte ] d) [ 5 Punkte ] Zeigen Sie, dass h~u2n i für d ≤ 2 divergiert, für d ≥ 3 aber nicht. Welche Konsequenzen hat dies? Begründen Sie, dass für hohe Temperaturen gilt: Z 1 1 2 h~un i = kB T dωD(ω) 2 ~M ω [ 5 Punkte ] (4) Berechnen Sie h~u2n i im Debye-Modell. 2 Phononen II: Anharmonische Korrekturen Um den Einfluss von anharmonischen Korrekturen zu untersuchen, betrachten wir einen einzelnen Oszillator unter dem Einfluß einer anharmonischen Störung, H= p2 k + x2 − αx3 2M 2 (α > 0) . (5) a) Berechnen Sie den quantenmechanischen Erwartungswert hxin im Zustand |ni in erster nichtverschwindender Ordnung Störungsrechnung in α. Hinweis: Wenden Sie die quantenmechanische Störungsrechnung für den Zustand |ni an! Für welche n ist diese Störungsrechnung sinnvoll? (Skizzieren Sie dazu den Potentialverlauf.) b) [ 10 Punkte ] [ 10 Punkte ] Berechnen Sie anschließend den thermodynamischen Erwartungswert hxi in niedrigster Ordnung in α. Wie kann man hxi interpretieren, und welche Temperaturabhängigkeit erhalten Sie für diese Größe? Bitte wenden ... 3 Phononen III: Rotation des Gitters Beweisen Sie die folgende (allgemeine) Symmetrieeigenschaft der dynamischen Matrix D, X X nn0 0 nn0 0 Dµµ Dµν Rn0 ,µ0 , 0 Rn0 ,ν = n0 [ 10 Punkte ] (6) n0 ~ 0 = (R0 , R0 , R0 ) die Gleichgewichtsposition des Atoms in der n-ten Elementarzelle und dabei ist R n n,1 n,2 n,3 0 nn ~ ~ Dµµ0 ≡ Dµµ0 (Rn , Rn0 ). Die Summation erfolgt jeweils über alle Elementarzellen. Hinweis: Betrachten Sie dazu die Auslenkung ~un der Kristallatome, hervorgerufen durch eine infinitesimale Drehung des Kristalls als Ganzes. Die infinitesimale Drehung können Sie durch eine orthogonale Matrix R = 1 + δφ beschreiben. 4 Dynamik von Bloch-Elektronen [ 10 Punkte ] Wir betrachten Elektronen in einem periodischen Potential. Im einfachsten Fall handelt es sich um ein einfach kubisches Gitter in der tight-binding approximation mit dem Spektrum (k) = −2t(cos (akx ) + cos (aky ) + cos (akz )) wobei t das Hüpfintegral ist. Das Bandminimum liegt bei k = 0, Entwickeln in der Nähe des Bandminimums liefert für aki 1 = 0 + tk 2 a2 (k ≡ |k|) (7) mit 0 = (0). Das Spektrum entspricht also dem eines Teilchens mit der effektiven Masse m? = ~2 /(2ta2 ). Nun nehmen wir an, dass sich solch ein Elektron mit effektiver Masse m? in einem schwach oszillierenden elektrischen Feld E = Ex x̂ exp (−iωt) und in einem konstanten Magnetfeld B = −Bẑ bewegt. Zeigen Sie, dass dies zur Zyklotron-Resonanz führt, i(ω − ωc )v = e Ex , m? eB mit der Zyklotron-Frequenz ωc = cm ? und der “komplexen” Geschwindigkeit v ≡ vx + ivy . (8)
