Theoretische Festkörperphysik: ¨Ubungsblatt 5

Technische Universität Dresden
Institut für Theoretische Physik
Prof. Dr. Matthias Vojta , Dr. Stephan Rachel
SS 2014
24.06.14
Theoretische Festkörperphysik: Übungsblatt 5
1 Phononen I: mittleres Auslenkungsquadrat
Gegeben sei ein d-dimensionaler Kristall (N Gitterplätze) mit einem Atom (der Masse M ) pro Elementar~ n sei der Gittervektor und ~un die Auslenkung des Atoms der n-ten Elementarzelle. In harmonischer
zelle. R
Näherung läßt sich der Phononen-Hamilton-Operator bekanntlich schreiben als
X
1
~ωs (~k) a~† a~ +
H=
.
(1)
ks ks
2
~k,s
Die s-te Komponente des Auslenkungsvektors ist gegeben durch
s
1 X i~kR~ n
~
un,s = √
e
a~ + a† ~
,
−ks
N ~
2M ωs (~k) ks
(2)
k
wobei das kartesische Koordinatensystem zugrunde gelegt wurde, bzgl. dessen die dynamische Matrix
diagonal ist.
a)
Berechnen Sie die mittlere thermische Auslenkung h~un i und zeigen Sie, dass für das mittlere
Auslenkungsquadrat gilt:
Z
1
1
2
h~un i =
dωD(ω) coth(β~ω/2)
(3)
2M
ω
wobei D(ω) die Zustandsdichte akustischer Phononen bezeichnet.
b)
[ 5 Punkte ]
c)
[ 5 Punkte ]
d)
[ 5 Punkte ]
Zeigen Sie, dass h~u2n i für d ≤ 2 divergiert, für d ≥ 3 aber nicht. Welche Konsequenzen hat dies?
Begründen Sie, dass für hohe Temperaturen gilt:
Z
1
1
2
h~un i = kB T
dωD(ω) 2
~M
ω
[ 5 Punkte ]
(4)
Berechnen Sie h~u2n i im Debye-Modell.
2 Phononen II: Anharmonische Korrekturen
Um den Einfluss von anharmonischen Korrekturen zu untersuchen, betrachten wir einen einzelnen Oszillator unter dem Einfluß einer anharmonischen Störung,
H=
p2
k
+ x2 − αx3
2M
2
(α > 0) .
(5)
a)
Berechnen Sie den quantenmechanischen Erwartungswert hxin im Zustand |ni in erster nichtverschwindender Ordnung Störungsrechnung in α.
Hinweis: Wenden Sie die quantenmechanische Störungsrechnung für den Zustand |ni an! Für welche n
ist diese Störungsrechnung sinnvoll? (Skizzieren Sie dazu den Potentialverlauf.)
b)
[ 10 Punkte ]
[ 10 Punkte ]
Berechnen Sie anschließend den thermodynamischen Erwartungswert hxi in niedrigster Ordnung in α. Wie kann man hxi interpretieren, und welche Temperaturabhängigkeit erhalten Sie für diese
Größe?
Bitte wenden ...
3 Phononen III: Rotation des Gitters
Beweisen Sie die folgende (allgemeine) Symmetrieeigenschaft der dynamischen Matrix D,
X
X
nn0 0
nn0 0
Dµµ
Dµν
Rn0 ,µ0 ,
0 Rn0 ,ν =
n0
[ 10 Punkte ]
(6)
n0
~ 0 = (R0 , R0 , R0 ) die Gleichgewichtsposition des Atoms in der n-ten Elementarzelle und
dabei ist R
n
n,1
n,2
n,3
0
nn
~
~
Dµµ0 ≡ Dµµ0 (Rn , Rn0 ). Die Summation erfolgt jeweils über alle Elementarzellen.
Hinweis: Betrachten Sie dazu die Auslenkung ~un der Kristallatome, hervorgerufen durch eine infinitesimale Drehung des Kristalls als Ganzes. Die infinitesimale Drehung können Sie durch eine orthogonale
Matrix R = 1 + δφ beschreiben.
4 Dynamik von Bloch-Elektronen
[ 10 Punkte ]
Wir betrachten Elektronen in einem periodischen Potential. Im einfachsten Fall handelt es sich um ein
einfach kubisches Gitter in der tight-binding approximation mit dem Spektrum (k) = −2t(cos (akx ) +
cos (aky ) + cos (akz )) wobei t das Hüpfintegral ist. Das Bandminimum liegt bei k = 0, Entwickeln in der
Nähe des Bandminimums liefert für aki 1
= 0 + tk 2 a2
(k ≡ |k|)
(7)
mit 0 = (0). Das Spektrum entspricht also dem eines Teilchens mit der effektiven Masse m? = ~2 /(2ta2 ).
Nun nehmen wir an, dass sich solch ein Elektron mit effektiver Masse m? in einem schwach oszillierenden
elektrischen Feld E = Ex x̂ exp (−iωt) und in einem konstanten Magnetfeld B = −Bẑ bewegt.
Zeigen Sie, dass dies zur Zyklotron-Resonanz führt,
i(ω − ωc )v =
e
Ex ,
m?
eB
mit der Zyklotron-Frequenz ωc = cm
? und der “komplexen” Geschwindigkeit v ≡ vx + ivy .
(8)