1 Irrationale Zahlen

1 Irrationale Zahlen
Aufgaben
1 p Auf der vorigen Seite wird ein Zufallsversuch beschrieben, mit dem man irrationale
29. Feb. 421 v. Chr.
Der Mathematiker Hippasos hat neue Zahlen entdeckt.
Sie lassen sich weder als Bruch schreiben
noch mit Ziffern genau angeben. Die Fachwelt staunt.
Abbrechende Dezimalbrüche haben
endlich viele Nachkomastellen.
Ein Gedankenexperiment, das zu „neuen“
Zahlen führt:
1. Schreibe irgendeine
ganze Zahl auf ein
Blatt und dahinter
ein Komma.
2. Würfle eine Zahl
aus.
3. Schreibe die Zahl
an die erste Stelle
hinter dem Komma.
4. Würfle wieder und
schreibe die Zahl an
die zweite Stelle hinter dem Komma.
5. Führe dies „unendlich oft“ fort (Fig. 2).
Fig. 1
Auch die Kreiszahl π
ist eine irrationale
Zahl.
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Rationale Zahlen kann man als Brüche oder als Dezimalbrüche schreiben. Dezimalbrüche
entstehen aus Brüchen, indem man den Zähler des Bruches durch den Nenner teilt. Bei
dieser Division entstehen entweder abbrechende oder periodische Dezimalbrüche.
Das folgende Gedankenexperiment (Fig. 1) zeigt, dass es außer den Dezimalbrüchen noch
andere Zahlen gibt.
Die so gewürfelten Zahlen haben unendlich viele Stellen hinter dem Komma und
sind nicht periodisch.
Das bedeutet aber, dass es keine rationalen Zahlen sein können.
Solche Zahlen man nennt man
irrationale Zahlen.
Fig. 2
Alle rationalen und alle irrationalen Zahlen
zusammen heißen
reelle Zahlen.
Man bezeichnet sie mit R.
Die Menge R der reellen Zahlen besteht aus
– Dezimalbrüchen,
– nicht periodischen Dezimalzahlen mit unendlich vielen Stellen nach dem Komma.
Beispiel
Die Zahl 0,102 001 000 2… hat unendlich viele Stellen hinter dem Komma. Die Anzahl der
Nullen zwischen einer Eins und einer Zwei erhöht sich „jedes Mal“ um eins.
Begründe: Die Zahl 0,102 001 000 2… ist keine rationale Zahl.
Lösung:
Die Zahl 0,102 001 000 2… hat unendlich viele Stellen hinter dem Komma. Sie ist deshalb
keine abbrechende Dezimalzahl. Es gibt keine Ziffernfolge hinter dem Komma, die sich
ständig wiederholt. Diese Zahl ist deshalb keine periodische Dezimalzahl. Da sie weder
eine abbrechende noch eine periodische Dezimalzahl ist, ist sie keine rationale Zahl.
V Reelle Zahlen – Rechnen mit Quadratwurzeln
Zahlen erzeugen kann.
a) Überlege dir zusammen mit deinem Nachbarn zwei weitere Zufallsversuche, mit denen
man irrationale Zahlen erzeugen kann.
b) Führt die beiden Versuche durch und schreibt die beiden Zahlen jeweils bis zur zehnten Stelle hinter dem Komma auf.
c) Addiert die beiden aufgeschriebenen Zahlen aus b). Ist diese Summe eine irrationale
Zahl? Begründet eure Antwort.
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Die Dezimalzahl 0,101 001 000… hat nach der ersten Eins eine Null, nach der zweiten
Eins zwei Nullen, … nach der hundertsten Eins hundert Nullen usw.
a) Schreibe diese Dezimalzahl mit den ersten 20 Stellen hinter dem Komma auf.
b) Begründe: Diese Zahl kann man nicht als Bruch aufschreiben.
c) Erfinde selbst drei irrationale Zahlen.
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Betrachtet wird die Zahl 0,102 003 000 400 005 000 00…, die rechts vom Komma nach
der Eins eine Null, nach der Zwei zwei Nullen, nach der Drei drei Nullen, … , nach der
Neun neun Nullen, nach den beiden Ziffern „10“ zehn Nullen, nach den beiden Ziffern „11“
elf Nullen usw. hat.
a) Schreibe diese Zahl mit 30 Stellen hinter dem Komma auf.
b) Wie lautet bei dieser Zahl die 110. Stelle hinter dem Komma?
c) Betrachte die Summe 0,101 001 000 100 001… + 0,102 003 000 400 005… + …
Wie lautet die 55. Stelle hinter dem Komma?
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Betrachtet werden die irrationale Zahl 0,101 001 000 1…, bei der hinter dem Komma
nach der ersten Eins eine Null, nach der zweiten Eins zwei Nullen usw. kommen, und die
irrationale Zahl 1,010 110 111 0… , bei der hinter dem Komma nach der ersten Null eine
Eins, nach der zweiten Null zwei Einsen usw. kommen.
a) Begründe: Die Summe der beiden Zahlen ist eine rationale Zahl.
b) Erfinde selbst zwei weitere irrationale Zahlen, deren Summe eine rationale Zahl ist.
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In Fig. 1 sind Teile von zwei Kreisen mit gleich großen Radien gezeichnet.
a) Begründe: Der Mittelpunkt der roten Strecke gehört zu einer rationalen Zahl der Zahlengeraden.
b) Tobias behauptet: „Alle Punkte der roten Strecke gehören zu rationalen Zahlen der
Zahlengeraden.“ Stimmt dies? Begründe deine Antwort.
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
Fig. 1
6SE84734781_G_K05_123_01.eps
p a) Nenne eine Zahl, die zwischen 7,4 und 7,5 liegt. Dein Nachbar soll eine Zahl an-
geben, die zwischen deiner Zahl und 7,5 liegt. Nun nennst du eine Zahl, die zwischen der
Zahl deines Nachbarn und 7,5 liegt. Führt dies fort, bis jeder vier Zahlen genannt hat.
b) Begründe: Zwischen zwei reellen Zahlen liegt immer eine reelle Zahl.
c) Begründe: Es gibt keine positive kleinste reelle Zahl.
d) Begründe: Es gibt keine größte negative reelle Zahl.
V Reelle Zahlen – Rechnen mit Quadratwurzeln
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