Vortrag 3

Clebsch- Gordan- Reihe, Spin- und
Ortswellenfunktionen
Julia Repp und Christine Böhm
31. Januar 2005
Inhaltsverzeichnis
1 Clebsch- Gordan- Reihe und Addition von Drehimpulsen
2
1.1
Allgemeine Einfuehrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2
Clebsch- Gordan- Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.3
Wertevorrat für J und M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.4
Eigenschaften der Clebsch- Gordan- Koeffizienten . . . . . . . . . . . .
8
1.5
Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2 Spin- und Ortswellenfunktionen
10
2.1
Hilbertraum des Spins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.2
Paulimatrizen und ihre Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.3
Kombination von Spin- und Ortswellenfunktionen . . . . . . . . . . . .
14
1
1 Clebsch- Gordan- Reihe und Addition von
Drehimpulsen
1.1 Allgemeine Einfuehrung
Wie koennen wir in der Quantenmechanik zwei Drehimpulse einzelner Teilchen koppeln? Es gibt ein Analogon zwischen Vektoraddition zweier Drehimpulse zu einem
Gesamtdrehimpuls in der klassischen Physik und der Drehgruppe in der Quantenmechanik. Gegeben seien zwei Drehimpulse j1 und j2 , deren jeweilige Eigenzustände
| j1 m1 i bzw. | j2 m2 i sind. Es liegen uns zwei unitäre, irreduzible Darstellungen, die
von den Zuständen | j1 m1 i und | j2 m2 i aufgespannt werden vor. Die dazugehörigen
irreduziblen D-Matrizen (Darstellungskoeffizienten der Drehgruppe) sind gegeben
durch D j1 und D j2 . Jede irreduzible Darstellung lässt sich nach irreduziblen Darstellungen entwicklen (Lemma in der Darstellungstheorie):
j1
⊗ D j}2 =
|D {z
reduzibel
∑ DJ
J
| {z }
irreduzibel
Diese Reihe heißt Clebsch- Gordan- Reihe, benannt nach den Mathematikern A. Clebsch
(1833-1872) und P. Gordan (1837-1912).
2
1.2 Clebsch- Gordan- Reihe
Im folgenden Abschnitt wollen wir den physikalischen Hintergrund der ClebschGordan- Reihe näher betrachten:
Die Produktzustände | j1 m1 i und | j2 m2 i bilden ein System von Eigenzuständen zum
vollständigen Satz kommutierender Observablen (C.S.C.O.):
j1 2 , j2 2 , ( j1 )3 , ( j2 )3
Die zugehörigen Eigenwertgleichungen sind gegeben durch:
j1 2 | j1 m1 i = h̄2 j1 ( j1 + 1)| j1 m1 i
j2 2 | j2 m2 i = h̄2 j2 ( j2 + 1)| j2 m2 i
( j1 )3 | j1 m1 i = h̄m1 | j1 m1 i
( j2 )3 | j2 m2 i = h̄m2 | j2 m2 i
Ziel: Auffinden einer neuen Basis | J Mj1 j2 i ≡ | J Mi für folgenden Satz kommutierender Observablen:
J 2 , J 3 , j1 2 , j2 2
J entsteht durch die Kopplung der Drehimpulse j1 und j2 und es gelten folgende
Gleichungen: J 2 = ( j1 + j2 )2 und J3 = ( j1 )3 + ( j2 )3 .
Die zugehörigen Eigenwertgleichungen sind:
J 2 | J Mi = h̄2 J ( J + 1)| J Mi
j1 2 | J Mi = h̄2 j1 ( j1 + 1)| J M i
j2 2 | J Mi = h̄2 j2 ( j2 + 1)| J M i
J 3 | J Mi = h̄ M| J M i
Die Zustände | J M i sind nicht mehr Eigenzustände zu ( j1 )3 und ( j2 )3 . Da beide Basissysteme vollständige Orthogonalsysteme bilden, können wir | J M i nach | j1 m1 i| j2 m2 i
entwickeln.
| J Mj1 j2 i = ∑ ∑ ∑ ∑ h j10 m10 , j20 m20 | J Mj1 j2 i| j10 m10 , j20 m20 i
j10
j20 m10 m20
3
Die Entwicklungskoeffizienten sind nur für j1 =j10 und j2 =j20 verschieden. Die Vierfachsumme vereinfacht sich zu einer Doppelsumme und die Clebsch- Gordan-Reihe wird
zu:
| J Mi = ∑m1 ∑m2 h j1 m1 , j2 m2 | J Mj1 j2 i| j1 m1 , j2 m2 i
Die unterschiedlichen Schreibweisen für Clebsch- Gordan- Koeffizienten sehen wie
folgt aus:
h j1 m1 , j2 m2 | J Mi
h j1 m1 , j2 m2 | J Mj1 j2 i
C h j1 m1 , j2 m2 | J Mj1 j2 i
C h j1 j2 J |m1 m2 Mi
h m1 m2 | J M i
Die Clebsch- Gordan- Koeffizienten sind die Einträge der unitären Matrix A, die
von der orthonormierten Produktbasis | j1 m1 i ⊗ | j2 m2 iauf die ebenfalls orthonormierten Basiszustände | J M i abbildet.
Da die Clebsch- Gordan- Koeffizienten in Folge der Condon- Shortley- Phasenkonvention reell sind, ist die unitäre Transformationsmatrix orthogonal. Dass es sich um
eine orthogonale Transformationsmatrix handelt hat zu Folge, dass die Umkehrung
der Clebsch- Gordan- Reihe durch die inverse bzw. transponierte Matrix bewerkstelligt wird (formal):
| J Mi = ∑ Ak,l | j1 m1 i| j2 m2 i
∑ Al,k | J Mi = δl,k | j1 m1 i| j2 m2 i
∑ Al,k | J Mi = | j1 m1 i| j2 m2 i
Wir erhalten nun die Umkehrung der ursprünglichen Clebsch- Gordan- Reihe:
| j1 m1 i| j2 m2 i = ∑h j1 m1 , j2 m2 | J Mi| J Mi
JM
Dabei ist zu beachten, dass j1 und j2 festgehalten werden.
4
1.3 Wertevorrat für J und M
Wir wenden uns nun dem Wertebereich von J und M für j1 und j2 zu:
1. Der Operator J 3 ist die Summe der 3-Komponenten von j1 und j2 :
J 3 = ( j1 )3 + ( j2 )3
Wenden wir diesen Operator nun auf die Clebsch- Gordan- Reihe an, so erhalten
wir :
M = m1 + m2
Ausführliche Rechnung hierzu:
• Zunächst schreiben wir den Operator aus:
J 3 = ( j1 )3 ⊗ + ⊗ ( j2 )3
• Nun wenden wir J 3 auf die Clebsch- Gordan- Reihe an und erhalten folgende Gleichung:
J3 | J M i =
∑h j1 m1, j2 m2 | J Mi(( j1 )3 ⊗
+ ⊗ ( j2 )3 )| j1 m1 i| j2 m2 i
JM
• ( j1 )3 wirkt auf den 1. Teil des Produktzustandes
( j2 )3 wirkt auf den 2. Teil des Produktzustandes:
M| J Mi =
∑h j1 m1, j2 m2 | J Mi(m1 | j1 m1 i| j2 m2 i + m2 | j1 m1 i| j2 m2 i)
JM
M| J Mi =
∑h j1 m1, j2 m2 | J Mi(m1 + m2 )| j1 m1 i| j2 m2 i
JM
5
• Schreibt man jetzt | J M i als Clebsch-Gordan-Reihe aus:
| J Mi = ∑h j1 m1 , j2 m2 | J Mi| j1 m1 i| j2 m2 i
JM
So erhalten wir letztendlich auf beiden Seiten die gleiche Basis. Aufgrund
der linearen Unabhängigkeit der Basiselemente, müssen die Vorfaktoren
auf beiden Seiten gleich sein. Somit folgt:
M = m1 + m2
2. Es gilt: M = m1 + m2 .
Da m die die Werte − j, − j + 1, ..., j − 1, j annehmen kann, ist Mmax folglich:
Mmax = j1 + j2
Das entsprechende J zu Mmax muss J = M sein, da M die Projektion von J auf
die 3-Achse (Quantisierungsachse) ist.
3. Zwischenbemerkung: Auf und Absteigeoperator
J − = ( j1 ) − + ( j2 ) −
J + = ( j1 ) + + ( j2 ) +
( j k ) ± = ( j k )1 ± i ( j k )2
Wirkungsweise der Leiteroperatoren:
J± | J Mi = h̄
q
J ( J + 1) − M( M ± 1)| J M − 1i
4. Betrachten wir nun den um 1 verringerten Wert M = j1 + j2 − 1, so gibt es zwei
Möglichkeiten , die Quantenzahlen zu wählen:
6
a) m1 = j1 und m2 = j2 − 1
b) m1 = j1 − 1 und m2 = j2
Somit ergeben sich folgende Zustände:
a) | j1 , m1 = j1 i| j2 , m2 = j2 − 1i = | j1 , j1 i| j2 , j2 − 1i
b) | j1 , m1 = j1 − 1i| j2 , m2 = j2 i = | j1 , j1 − 1i| j2 , j2 i
Die erste Linearkombination gehört zum Gesamtdrehimpuls J = j1 + j2 , der
zugehörige Zustand | J = j1 + j2 , M = j1 + j2 − 1i entsteht aus einem Zustand
| J = j1 + j2 , M = j1 + j2 i durch anwenden des Absteigeoperators J − :
J− | J + j1 + j2 , M = j1 + j2 i = h̄
q
J ( J + 1) − M ( M − 1)| J = j1 + j2 , M = j1 + j2 − 1i
= a| j1 , j1 i| j2 , j2 − 1i + b| j1 , j1 − 1i| j2 , j2 i
Wir müssen noch einen zweiten Vektor in der Produktbasis bilden, da in beiden
Basissystemen (| J M i und | j1 , m2 i| j2 , m2 i) gleichviele Basisvektoren existieren
sollen. Dazu wird ein neues Multiplett mit J = j1 + j2 − 1 benötigt. (Wir suchen
eine zum 1. Basisvektor orthogonale Linearkombination, mit M = j1 + j2 − 1).
Ergebnis dieser Überlegungen:
M = m1 + m2
j1 + j2 − J = n wobei (n ∈
0)
j1 + j2 > J > | j1 − j2 |
Die 1. Regel besagt, dass die 3- Komponenten addiert werden. Die 2. und 3. Regel
werden auch als Dreiecksrelation für Drehimpulse“ bezeichnet und wir können sie
”
mit J ≡ j3 wie folgt schreiben:
j1 + j2 + j3 = n
j1 + j2 > j3 > | j1 − j2 |
Wobei die zweite Relation zyklisch gilt! Außerdem wurde ausgenutzt, dass 2J immer
eine ganze, nicht negative Zahl ist.
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1.4 Eigenschaften der Clebsch- Gordan- Koeffizienten
• Jeder Clebsch- Gordan- Koeffizient, der die Auswahlregeln verletzt, ist von vorn
herein Null.
• Die Produktbasis | j1 m1 i ⊗ | j2 m2 i hat soviele unabhängige, orthonormierte Zustände
wie die gekoppelte Basis | J Mi :
j1 + j2
∑
(2J + 1)
J =| j1 − j2 |
2j2
=
∑ (2(k + j1 − j2 ) + 1)
k =0
= ∑(2k + 2j1 − 2j2 ) + (2j2 + 1)
k
= (2j2 + 1)(2j1 − 2j2 ) + (2j1 + 1) + ∑ 2k
k
= (2j2 + 1)(2j1 − 2j2 ) + (2j1 + 1) + 2
2j2 (2j2 + 1)
2
= (2j2 + 1)(2j1 − 2j2 + 1 + 2j2 )
= (2j2 + 1)(2j1 + 1)
• Orthogonalitätsrelation:
∑
h j1 m1 , j2 m2 | J Mih j1 m1 , j2 m2 | J 0 M0 i = δ J J 0 δMM0
m1 ,m2
∑ h j1 m1, j2 m2 | J Mih j1 m10 , j2 m20 | J Mi
J,M
= δm1 ,m10 δm2 ,m20
• Symmetrierelation:
h j2 m2 , j1 m1 | j3 m3 i = (−1) j1 + j2 + j3 h j1 m1 , j2 m2 | j3 m3 i
s
2j3 + 1
h j1 m1 , j3 − m3 | j2 − m2 i
h j1 m1 , j2 m2 | j3 m3 i = (−1) j1 −m1
2j2 + 1
Dabei wurde ( j3 = J und m3 = M) gewählt.
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1.5 Zusammenfassung
Bei der Addition zweier Drehimpulse J = j1 + j2 setzt sich eine Basis aus Tensorprodukten der Eigenzustände von ( j1 )2 ,( j1 )3 und ( j2 )2 ,( j2 )3 zusammen.
Eine andere Basis (Gesamtdrehimpulsbasis) bilden die Eigenzustände von ( j1 )2 , ( j2 )2 , J
und J 3 .
Beide Basen sind über eine unitäre Transformation (Clebsch- Gordan- Reihe) miteinander verknüpft.
Die Quantenzahlen J, M von J 2 und J 3 sind auf die Werte J = | j1 − j2 |, ..., | j1 + j2 |
sowie M = m1 + m2 = − J, ..., + J festgelegt.
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2 Spin- und Ortswellenfunktionen
2.1 Hilbertraum des Spins
Zur vollständigen Beschreibung eines quantenmechanischen Teilchens reicht der Hilbertraum der Bahnbewegung HB nicht mehr aus. Dieser wird durch die Eigenzustände
des Ortsoperators aufgespannt. Wir müssen den Hilbertraum der Bahnbewegung um
den (2s+1)-dimensionalen Spinraum HS erweitern. Der vollständige Raum ist der direkte Produktraum aus den beiden Teilräumen HB und HS :
H = HB ⊗ HS
|Ψi = |Orti ⊗ |Spini
Im folgenden untersuchen wir den Spezialfall für Teilchen mit Spin einhalb, zu denen bspw. Elektronen, Neutronen und Protonen gehören. Der Spinraum HS ist in
diesem Fall zweidimensional. Dies hat zur Folge, dass die Spinoperatoren durch
2 × 2-Matrizen dargestellt werden können. Da der Spinoperator einen Drehimpuls
darstellt, erfüllen seine Komponenten folgende Gleichung:
[S1 , S2 ] = ih̄S3
Die Spinoperatoren leben im Unterraum des Hilbertraums. In diesem Unterraum bilden S2 und S3 ein C.S.C.O. HS wird von den gemeinsamen Eigenzuständen |sµi der
Observablen S2 und S3 aufgespannt.
S2 |sµi = h̄2 s(s + 1)|sµi
S3 |sµi = h̄ µ|sµi
In diesem Fall gilt: s =
1
2
und µ = ± 21
Das Orthonormalsystem (|s = 1/2, µ = 1/2i, |s = 1/2, µ = −1/2i) aus gemeinsamen Eigenzuständen von S2 und S3 bildet die Basis im Spinraum.
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Die Basisspinoren können auch wie folgt dargestellt werden:
(|1/2, 1/2i, |1/2, −1/2i)
(χ+ , χ− )
   
1
0
(  ,  )
0
1
(|+i, |−i)
(| ↑i, | ↓i)
Eigenzustände zu S1 oder S2 oder zur Spinprojektion auf eine beliebige Richtung n̂
haben die Form:
χ=
q
| a1 |2 + | a2 |2 ( a1 |+i + a2 |−i)
Den Vektor χ bezeichnet man als Spinor. Die Spinoren bilden eine vollständige Orthonormalbasis. Somit gilt:
|+ih+| + |−ih−| =
h±|±i =
h±|∓i = 0
Jeder Operator, der auf dem Spinraum wirkt, kann als 2 × 2-Matrix in der Basis
(|+i, |−i) dargestellt werden.
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2.2 Paulimatrizen und ihre Eigenschaften
Aus den Eigenwertgleichungen für des Spinoperators sowie den Eigenwertgleichungen für entsprechende Auf- und Absteigeoperatoren erhalten wir die Paulimatrizen.
Eigenwertgleichungen:
S3 |±i = ±h̄|±i
S± |±i = 0 mit S± = S1 ± iS2
S∓ |±i = h̄|±i
Paulimatrizen:

σ1 = 
0 1
1 0


 σ2 = 
0 −i
i
0


 σ3 = 
1
0
0 −1


Beispiel: Berechnung der dritten Paulimatrix
1
S3 |±i = h̄ |±i
 2 

 
1
a b
1
   = h̄ 1   ⇒ a = h̄ ∧ c = 0

2
2
0
c d
0





a b
0
0


 = −h̄ 1 
 ⇒ b = 0 ∧ d = −h̄
2
2
c d
−1
−1




1 0
a b

 = h̄ 
S3 = 
2
0 −1
c d

Somit erhalten wir für die dritte Paulimatrix: σ3 = 
12
1
0
0 −1


Der Spinoperator steht mit den Paulimatrizen in folgendem Zusammenhang:
S=
1
h̄σ
2
Für die Paulimatrizen gelten die Relationen:
σ k = σ †k
σ j σ l = δjl + i ∑ ε jlk σ k
k
σ j, σl
= 2i ∑ ε jlk σ k
k
(σ k )
2
=
Sp(σ k ) = 0
det[σ k ] = −1
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2.3 Kombination von Spin- und Ortswellenfunktionen
Kombiniert man die Ortswellenfunktionen Ψν (t, x) = Ψnlm (t, x) eines Elektrons mit
seinen Spinwellenfunktionen χ± , so wird seine Gesamtwellenfunktion Ψ = (Ψ+ , Ψ− ) T
im Allgemeinen nicht faktorisieren, sondern eine Linearkombination ∑µ,ν cνµ Ψν χµ von
Produktwellenfunktionen sein.
∑ cνµ Ψν χµ ≡ ∑
µ,ν
µ,ν
|Orti ⊗ |Spini
{z
}
|
Produktwellen f unktion
Die Produktwellenfunktionen finden wir bei der Spin- Bahn- Kopplung; dort sind die
Ortswellenfunktionen Eigenfunktionen zum Bahndrehimpuls, jedoch beschreibt die
Gesamtwellenfunktion Ψ Eigenzustände zum Gesamtdrehimpuls J.
Ein Beispiel für einen faktorisierenden Zustand ist die ebene Welle, die ein polarisieri px
tes Elektron mit Impuls p beschreibt: 1 3 e h̄ χ
(2πh̄) 2
Nach unseren allgemeinen Überlegungen des letzten Abschnitts lässt sich in der Ortsdarstellung der Zustand eines Teilchens mit Spin 1/2 als zweikomponentiger Spinor
schreiben:

|Ψ 1 (r )i = 
2
Ψ + (r )

Ψ − (r )

Dabei ist |Ψ+ (r )|2 d3 r die Wahrscheinlichkeit dafür, bei einer gleichzeitigen Messung
von Spin und Ort, das Teilchen im Volumenelement d3 r mit einem Spin s =
1
2
parallel
zur 3-Achse anzutreffen. Analog erhalten wir mit |Ψ− (r )|2 d3 r die Wahrscheinlichkeit
dafür, das Teilchen antiparallel zur 3-Achse anzutreffen.
Zu beachten:
|Ψ+ (r )|2 + |Ψ− (r )|2 gibt die Wahrscheinlichkeit an, das Elektron zur Zeit t am Ort x
anzutreffen, ohne zu unterscheiden, wie sein Spin ausgerichtet ist.
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Literatur
[1] Scheck: Theoretische Physik, Band 2, Nichtrelativ. Quantentheorie, Springer, 2000
[2] Wachter, Hoeber: Repetitorium Theoretische Physik, Sringer 1998
[3] Cohen- Tannoudji, Dı́u, Laloë: Quantummechanics, Volume Two, Hermann, 1977
[4] Schwabl: Quantenmechnanik, Springer, 1990
[5] Edmonds: Drehimpulse in der QM, Hochschultaschenbücher- Verlag, 1964
[6] Nolting: Grundkurs Theoretische Physik, QM (Teil 2), Zimmermann, Neufang, 1994
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