Kapitel 1 Zur Struktur der Quantenmechanik

Kapitel 1
Zur Struktur der Quantenmechanik
1.1 Der quantenmechanische Hilbert–Raum
Linearer Zustandsraum
Die quantenmechanischen Zustände (z.B. ψ(~x,t) für 1 Teilchen) bilden einen linearen Raum.
• Sind ψ1 und ψ2 physikalisch realisierbare Zustände, so ist es auch
λ1 ψ1 + λ2 ψ2 ,
λ1 , λ2 ∈ C
(Superpositionsprinzip).
• Das Superpositionsprinzip gilt nur für Teilchen mit gleichen Quantenzahlen: Zustände
von Teilchen mit verschiedenen elektrischen Ladungen (z.B. Proton und Neutron) und
von Teilchen mit ganzzahligem und halbzahligem Spin sind nicht superponierbar.
Skalarprodukt
Im Raum der Zustände ist durch
(ψ2 , ψ1 ) =
Z
dx 3 ψ∗2 (~x,t) ψ1 (~x,t),
(ψ, ψ) > 0 ,
ein Skalarprodukt definiert. Es ist
(λψ1 , ψ2 ) = λ∗ (ψ1 , ψ2 ),
• antilinear im ersten Argument
• linear im zweiten Argument,
• hermitisch
(ψ1 , λψ2 ) = λ(ψ1 , ψ2 )
(ψ2 , ψ1 ) = (ψ1 , ψ2 )∗
• positiv definit
(ψ, ψ) = 0
⇔
ψ = 0.
Norm
Mathematisch wird der Raum der Zustände durch das Skalarprodukt (ψ1 , ψ2 ) zu einem normierten Raum, mit der Definition der
p
• Norm: kψk ≡ + (ψ, ψ).
1
2
Zur Struktur der Quantenmechanik
Meistens schreiben wir für die Norm kψk von ψ auch einfach |ψ|.
Konvergenz von Folgen
Euklidischen kann man mittels der Norm die Konvergenz einer Folge {ψn , n = 1, . . .} definieren:
{ψn , n = 1, . . .}
konvergent gegen ψ, falls
lim kψn − ψk = 0 .
n→∞
Cauchy Folgen
Die Folge {ψn , n = 1, . . .} heißt Cauchy–Folge, falls für beliebiges ε > 0 ein N(ε) existiert, so
daß
kψn1 − ψn2 k < ε , für n1 , n2 > N(ε) .
Vollständige Räume
Falls zu jeder Cauchy–Folge im Raum ein Grenzelement gehört (wie im IRn ), so heißt der
Raum vollständig.
Der Raum der stetigen Funktionen ist nicht vollständig. Jedoch kann man zeigen (Riesz–
Fischer), daß der Raum der quadratintegrablen Funktionen vollständig ist.
Hilbert-Raum
Ein Vektorraum mit Skalarprodukt, der vollständig ist, heißt Hilbert–Raum H .
Dichte Untermengen
Eine Untermenge des Hilbert–Raumes heißt dicht in H , falls die Menge aller Grenzelemente
H selbst ist.
Separable Hilbert-Räume
Gibt es abzählbare Untermengen, die dicht sind, so heißt H separabel.
Die quantenmechanischen Hilbert–Räume sind separabel.
1.1.1 Operatoren
Selbstadjungierte Operatoren
Ein selbstadjungierter Operator
a† = a,
(a†ψ1 , ψ2 ) = (ψ1 , aψ2 ),
∀ψ1 , ψ2 ∈ H ,
hat reelle Eigenwerte.
Postulat
Den physikalischen Größen wie Ort, Impuls, Drehimpuls, Energie etc. entsprechen selbstadjungierte Operatoren im Hilbert-Raum, und die Eigenwerte der der Operatoren bilden das
“Spektrum” der möglichen Meßwerte.
Diskrete Spektren
Bei endlich–dimensionalen Matrizen (wie z.B. beim Drehimpuls) ist das Spektrum “diskret”,
d.h. es gibt nur endlich viele verschiedene Eigenwerte und die zugehörigen Eigenvektoren
liegen im Hilbertraum.
1.1 Der quantenmechanische Hilbert–Raum
3
Kontinuierliche Spektren
Bei Operatoren mit kontinuierlichem Spektrum sind die Eigenfunktionen nicht quadratintegrable und gehören damit im eigentlichen Sinne nicht zum Hilbertraum.
Wie z.B. die des Impulsoperators,
Pj =
h̄ d
,
i dx j
j = 1, 2, 3,
ei~p ·~x/h̄
.
e p (~x) = √
3
2πh̄
Mathematisch läss sich das Problem der nicht-Integrabilät durch einen Grenzwert-Betrachtung
lösen. Man betrachtet erst das Physikalische System in einem endlichen Volumen V , mit integrablen Eigenfunktionen
ei~p ·~x/h̄
e p (~x) = √
,
V
und lässt dann das Volumen V → ∞ nach unendlich gehen. Diese Vorgehensweise wird in der
Festkörperphysik eingehend diskutiert.
Nicht-entartete Eigenfunktionen
In der Quantenmechanik sucht man im Allgemeinen eine orthogonale Basis für den Hilbertraum welche der physikalischen Problemstellung angepasst ist, also den relevanten Observablen.
Wir betrachten als erstes einen selbstadjungierter Operator A
A u j = a j u j,
a j ∈ IR
aus. Sind die Eigenwerte nicht entartet, d.h. gehört zu jedem a j , j1 = 1, 2, . . ., genau ein eindimensionaler Eigenvektorraum mit Eigenfunktion u j , so ist man fertig:
Die Eigenfunktionen u j bilden eine orthogonale Basis.
Entartete Eigenfunktionen
Im allgemeinen werden die Eigenwerte eines Operators A jedoch entartet sein. Dann sucht
man einen zweiten, physikalisch relevanten, Operator B, der mit A kommutiert,
AB = BA .
Man kann dann die Eigenvektoren von B so wählen, daß diese gleichzeitig Eigenvektoren von
A sind,
B u jl = b jl u j,l ,
mit
A u j,l = a j u j,l ,
∀l .
Im allgemeinen werden zu einem Eigenwert a j von A verschiedene b jl gehören, mit Eigenvektoren u j,l , d.h. die ursprüngliche Entartung wird reduziert.
Vollständiger Satz von kommutierenden Observablen
Man setzt das Verfahren so lang fort, bis man einen Satz (A, B, . . .) von selbstadjungierten
Operatoren mit folgenden Eigenschaften hat:
• Je zwei der selbstadjungierten Operatoren kommutieren miteinander.
• Alle diese selbstadjungierten Operatoren haben gemeinsamen Eigenvektoren u j,l,....
• Jeder Eigenvektor u j,l,k,... ist einendeutig durch den Satz (a j , b jl , c jlk ,. . . ) von Eigenwerten bestimmt.
4
Zur Struktur der Quantenmechanik
• Verschiedene u j,l,... sind zueinander orthogonal und bilden ein vollständiges System, d.h.
jedes ψ ∈ H läßt sich nach den uα entwickeln:
ψ =
∑ cα uα,
cα = (uα , ψ),
α
α = ( j, l, . . .) ,
wobei α ein Multi–Index ist.
Man nennt die {A, B, . . .} einen vollständigen Satz von kommutierenden Observablen. Für
das Wasserstoff-Atom ist
A=H,
C = ~L 2 ,
D = L3 ,
E = S3
vollständigen Satz kommutierender Variablen.
Unterräume
Sei M ⊂ H ein Unterraum des Hilbertraumes H und M⊥ das orthogonale Komplement von
M,
(ψM , ψM⊥ ) = 0,
∀ψM ∈ M,
∀ψM⊥ ∈ M⊥ .
Wie M ist auch M⊥ ein Unterraum von H , d.h. ein separabler Hilbertraum, d.h. abgeschlossen
und vollständig.
Jeder Vektor ψ ∈ H läßt sich eindeutig in zwei Komponenten ψM und ψM⊥ zerlegen:
ψ = ψM + ψM⊥ ,
ψM ∈ M,
ψM⊥ ∈ M⊥ .
Projektionsoperatoren
Der Projektionsoperator PM auf den Unterraum M wird via
PM ψ = ψM
∀ψ ∈ H
definiert. Somit gilt
P2 ψ = PPψ = PψM = ψM ,
PψM⊥ = 0 .
Umgekehrt projeziert 1 − PM auf M⊥ . Projektionsoperatoren P haben folgende Eigenschaften:
• Idempotent
P2 = P
• Selbstadjungiert P† = P
Seien ψ1 , ψ2 beliebig, dann gilt
(ψ2 , PM ψ1 ) = (ψ2M + ψ2M⊥ , ψ1M ) = (ψ2M , ψ1M ) = (PM ψ2 , ψ1 ) .
• Die Eigenwerte sind 1 und 0
Sei Pψ = λψ, dann ist
P2 ψ = λ2 ψ = Pψ = λψ,
λ2 = λ,
λ = 1, 0 ,
da P2 = P. Die Eigenvektoren zu λ = 1 sind die Elemente von M, die zu λ = 0 die in
M⊥ .
1.1 Der quantenmechanische Hilbert–Raum
5
• Kommutationsregeln
Zwei Projektionsoperatoren auf die Unterräume M1 und M2 , P1 und P2 , kommutieren
i.A. nicht.
Falls M1 orthogonal zu M2 ist, dann hat man jedoch
P1 P2 = P2 P1 = 0 .
Endlicher Vektorraum
Als Beispiel betrachten wir mit H einen n–dimensionaler Vektorraum. A sei eine hermitesche
Matrix mit nicht entarteten Eigenwerten a j und Eigenvektoren


c1 ( j)


u j =  ...  ,
ci ( j) : komplex.
cn ( j)
Das Skalarprodukt ist
u+j uk


c
(k)
1


= c∗1 ( j), . . .c∗n ( j)  ... 
cn (k)
=
∑ c∗i ( j)ci(k)
= δ jk .
i
Dann gilt
P j = u j u+j
(keine Summation über j)
da


c1 ( j) 

=  ...  c∗1 ( j), . . .c∗n ( j)
cn ( j)


c1 ( j)c∗1 ( j) · · · c1 ( j)c∗n ( j)


..
..
≡ 

.
.
∗
∗
cn ( j)c1 ( j) · · · cn ( j)cn ( j)
P j uk = (u j u+j ) uk = u j (u+j uk ) = δ jk u j .
Ferner
+
+
P j Pk = u j u+j · uk u+
k = uk δ jk uk = δ jk u j u j
= δ jk P j .
Ist a j entartet, mit zugehörigen orthonormalen Eigenvektoren
u j,s , s = 1, . . ., m j , dann lautet der Projektionsoperator auf den Eigenvektorraum
mj
Pj =
∑ u js · u+js
s=1
.
6
Zur Struktur der Quantenmechanik
Spektraldarstellung
Es sei A ein selbstadjungierter Operator mit den Eigenwerten a j — diese können entartet sein
— und zugehörigen Eigenvektoren u j , die einen Unterraum M j aufspannen.
Es seien P j die Projektionsoperatoren auf die Unterräume M j mit
∑Pj
P j Pk = Pk P j = δ jk P j ;
= 1.
Man nennt dann
A =
∑ aj Pj
Auj = aj uj
j
die Spektraldarstellung von A.
Operatorfunktionen
In der Spektraldarstellung ist ein Operator diagonal und man kann eine Funktion eines Operators A durch
f (A) =
∑ f (a j ) P j
j
definieren.
1.1.2 Die Dirac’sche Notation
Die Spektraldarstellung
Au j = a j u j
A = ∑ a jP j
u+j uk = δ jk
∑Pj = 1 ,
u j u+j = P j
gilt für alle selbstadjungierten Operatoren, auch für solche mit kontinuierlichem Spektrum.
Dirac hat in diesem Zusammenhang eine formale Schreibweise entwickelt, die diesem
nichttrivialen Sachverhalt Rechnung tragen soll:
≡
≡
A =
(ψ, Aψ) =
uj
+
u j uk
|a j >
< a j |ak >
∑ a j |a j >< a j |
< ψ|A|ψ > .
Man bezeichnet mit
• < a| (“bra”) den zu
• |a > (“ket”) dualen Vektor und
• < a j |a j > als “bracket”.
u+j ≡ < a j |
u j · u+j = |a j >< a j |
∑ |a j >< a j | = 1
1.1 Der quantenmechanische Hilbert–Raum
7
Der Zustand |a > ist damit Basis-unabhängig.
Spektraldarstellung
Die Orthonormierung für diskrete und kontinuierliche Eigenwerte a j und a ist
< ai |a j > = δi, j ;
< a′ |a > = δ(a′ − a) .
Ein selbstadjungierter Opertor A kann sowohl ein kontinuierliches wie ein diskretes Spektrum
haben, mit der Spektraldarstellung
Z
A =
da a |a >< a|
|
{z
}
+
∑ a j |a j >< a j |
.
j
kontinuierliches Spektrum
{z
|
}
diskretes Spektrum
Für das Wasserstoffatom sind die gebundenen Zustände mit E < 0 Teil des diskreten Spektrums, die Streuzustände mit E ≥ 0 bilden das kontinuierliche Spektrum.
Ortsdarstellung
Wir betrachten den (1-dimensioalen) Ortsoperator Q:
Q|x > = x|x > ,
Q =
Z +∞
−∞
< x′ |x > = δ(x′ − x) ,
< x′ |Q|x > = xδ(x′ − x) .
dx x|x >< x| ,
Die Entwicklung eines Zustandes |ψ > sieht dann so aus:
|ψ > =
Z
dx ψ(x)|x > .
< x′ |ψ > =
Z
dx ψ(x) < x′ |x > = ψ(x′ ) .
Die Wellenfunktione ψ(x) =< x|ψ > entspricht also der Orts-Darstellung von ψ. Man spricht
auch von der Schrödinger–Darstellung des Zustandes |ψ >.
Impulsdarstellung
Für jeden Zustand |p > gilt
Z
Z
′ ′
′
|p > =
dx |x >< x | |p > =
dx′ < x′ |p > |x′ > .
Sei nun |p > Eigenvektor des Impulsopertators P. Es gilt
< x|P|p > = p < x|p >,
Pψ(x) =
h̄ d
ψ(x),
i dx
< x|p > = c eixp/h̄ .
R
Die Normierungskonstante bestimmt man mit Hilfe von d p |p >< p| = 1 aus
δ(x − x ) = < x|x > =
′
′
Z
′
d p < x|p >< p|x > = |c|
= |c|2 2πh̄ δ(x − x′ ) ,
2
Z
′
d p ei p(x − x )/h̄
8
Zur Struktur der Quantenmechanik
mit c = (2πh̄)−1/2 . Somit haben wir
< x|p > = √
1
ei xp/h̄ .
2πh̄
Entwickelt man die Basisvektoren |p > nach den Basisvektoren |x >, so sind die ebenen Wellen < x|p > die Entwicklungskoeffizienten.
Energiedarstellung
Die Basisvektoren |E >, die Eigenvektoren von H, lassen sich als Linearkombination der |x >
darstellen, mit < x|E >= uE (x) als Entwicklungskoeffizienten:
|E > =
Z
dx < x|E > |x > =
Z
dx uE (x)|x >
Die uE (x) sind die Matrix–Elemente einer unitären Transformation von der Basis {|x >} zu
der Basis {|E >}, denn aus < x′ |x >= δ(x′ − x) folgt
< E |E > =
Z
dx′ dx u∗E ′ (x′ ) < x′ |uE (x)|x >
=
Z
dx′ dx u∗E ′ (x′ )uE (x)δ(x′ − x)
=
Z
dx u∗E ′ (x)uE (x)
′
= δ(E ′ − E) .
In dieser Energie-Darstellung, auch Heisenberg-Darstellung genannt, ist der Hamilton-Operator
nach Konstruktion diagonal:
< E ′ |H|E > = E < E ′ |E > = Eδ(E ′ − E) .
Matrixelemente in der Energiedarstellung
Die Matrixelemente des Ortsoperators in der Energiedarstellung sind durch
< E |Q|E > =
Z
dx < E ′ |Q|x >< x|E >
=
Z
dx x < E ′ |x >< x|E >
=
Z
dx u∗E ′ (x) x uE (x)
′
gegeben, die des Impulsoperators durch
′
< E |P|E > =
Z
d p ũ∗E ′ (p) p ũE (p)
ũE (p) = < p|E > .
1.2 Die Dichte–Matrix
9
1.2 Die Dichte–Matrix
Statistische Überlagerung von Zuständen
In vielen Fällen — z.B. bei atomaren Teilchen in einem Strahl, bzw. bei der Thermodynamik
von quantenmechanischen Systemen – weiß man nicht, in genau welchem Zustand sich ein
System befindet, sondern man kann nur gewisse Wahrscheinlichkeiten dafür angeben, das
System in einem bestimmten Zustand anzutreffen.
Zustände und Wahrscheinlichkeiten
Es sei
• A = (A1 , . . ., Ag ) ein vollständier Satz von kommutierenden, selbstadjungierten Operatoren,
• {|u j > , j = ( j1, . . . , jg )} die Eigenvektoren hierzu,
• P j die Projektionsoperatoren auf die von den u j aufgespannten, 1–dimensionalen Unterräume und
• w j , ∑ w j = 1 die Wahrscheinlichkeit dafür, das System im Zustand u j zu finden.
j
Dichte-Operator
Der Dichte–Operator
ρ =
∑ w jP j
=
j
∑ w j |u j >< u j |
j
hat u.a. folgende Eigenschaften:
ρ+ = ρ ,
ρ |u j > = w j |u j >,
< u j |ρ|uk > = δ jk w j .
Die |u j > sind also Eigenfunktionen von ρ zum Eigenwert w j . Die Dichte-Matrix ist normiert,
∑ < u j |ρ|u j > ≡
Sp(ρ) =
j
und aus w2j ≤ w j folgt
Sp(ρ2 ) =
∑ wj
= 1
j
∑ w2j
j
≤ 1.
Reine und gemichte Zustände
Falls das System sich mit Sicherheit in dem Zustand u j befindet, d. h. falls w j = 1, wk = 0,
k 6= j, so ist ρ Projektionsoperator:
ρ = Pj ,
ρ2 = ρ .
Umgekehrt folgt aus ρ2 = ρ und Sp(ρ) = 1, dass ρ Projektionsoperator auf einen 1–dimensionalen
Unterraum ist. Man sagt dann, das System befinde sich in einem
10
Zur Struktur der Quantenmechanik
• reinen Zustand, falls ρ2 = ρ und in einem
• gemischten Zustand, falls ρ2 6= ρ.
Die Dichte Matrix eines reinen Zustandes ässt sich immer als
ρ2 = |ψ > < ψ|ψ > < ψ| = |ψ >< ψ|
| {z }
ρ = |ψ >< ψ|,
=1
schreiben, mit einem geeigneten normierten Zustand |ψ >. Ein Beispiel für einen gemischten
Zustand ist
ρ = |ψ >< ψ| + |φ >< φ| ,
mit |ψ >6= c|φ >.
Boltzman-Verteilung
Prominentes Beispiel für eine Dichte-Matrix ist der Fall eines quantenmechanischen Systems
in einem Wärmebad der Temperatur T . Die einzelnen Zustände sind dann entsprechend ihres
Boltzmann-Gewichtes besetzt:
ρ(H, T ) =
e−H/kT
=
Sp(e−H/kT )
e−a j /kt
∑ |a j > ∑ e−ai /kt < a j | .
i
j
Erwartungswerte
Der Erwartungswert < A >ρ eines Operators A in einem durch die Dichte-Matrix ρ beschriebenen Systems ist
< A >ρ =
∑ ak wk
=
∑ ak < ak |ρ|ak > = ∑ < ak |ρA|ak > =
Sp(ρA) .
k
k
k
Also
< A >ρ = Sp(ρ A) = Sp(A ρ) .
1.2.1 Beispiel: Spin-1/2-Teilchen
Wir betrachten einen Strahl von Teilchen mit Spin h̄/2. Solch ein System besteht in der Regel aus N unabhängig voneinander (“inkohärent”) erzeugten Teilchen, von denen für jedes
einzelne der Spin durch eine 2–komponentige Wellenfunktion χ = c+ χ+ + c− χ− beschrieben
wird.
Die allgemeinste hermitesche 2 × 2–Matrix mit der Spur 1 hat die Form
1
ρ =
2
1 + P3 P1 − iP2
P1 + iP2 1 − P3
1
~
~
=
1+P·σ
2
1.2 Die Dichte–Matrix
11
wobei ~P = (P1 , P2 , P3 ) der Polarisationsvektor ist und die σ j die Pauli–Matrizen sind,
1 0
0 −i
0 1
,
,
σz =
,
σy =
σx =
0 −1
i 0
1 0
mit
σi σ j + σ j σi = 2δi j ,
σ2i = 1,
wobei letzters die Anti-Kommutationsrelationen für Fermionen sind.
Reine Zustände
Es gilt
2
~P ·~σ =
∑ Pi2σ2i + ∑ PiPj
i
i< j
und damit
ρ2 =
Mit Sp(σ j ) = 0 erhalten wir somit
σi σ j + σ j σi =
∑ Pi2
i
= ||~P||2
1
1 + ||~P||2 + 2~P ·~σ .
4
1
1 + ||~P||2
Sp ρ2 =
2
Sp(ρ2 ) ≤ 1
⇔
||~P2|| ≤ 1 .
Für die Darstellung der Dichte-Matrix muss also der Polarisationsvektor ~P innerhalb des Einheitskreises liegen und auf dem Einheitskreis,
||~P||2 = 1,
ρ2 = ρ
für einen reinen Zustand.
Polarisierung
Experimentell ist man an den Erwartungswert < ~n · S >ρ des Spinoperators S entlang einer
Polarizierungachse ~n interessiert, wobei ||~n|| = 1 ist. Er läßt sich zu
<~n · S >ρ =
h̄ ~
~n · P
2
S =
1
~σ
2
berechnen. ~n · ~P heißt der Polarisationsgrad des Strahles in Richtung ~n. Experimentell von
Relevanz sind u.a. die folgende Fälle:
• ~P = 0: der Strahl ist bezüglich jeder Richtung unpolarisiert.
• ~P = ~n: der Strahl befindet sich in einem reinen Zustand und ist vollständig in Richtung
~n polarisiert.
• ~P = (0, 0, P3): Strahl ist nur in 3–Richtung polarisiert; falls P3 = 1, dann handelt es sich
um einen reinen Zustand, alle Spins zeigen nach oben.
Im allgemeinen hängt ρ von den 3 reellen Parametern Pi ab, d.h. man braucht 3 unabhängige Messungen, um ρ zu bestimmen.
12
Zur Struktur der Quantenmechanik
1.3 Unschärfe–Relationen
Mittlere Schwankungen
Für ein quantenmechanisches System, welches durch eine Dichte-Matrix
ρ =
∑ w j |u j >< u j |
j
beschrieben wird, sind wir and den mittleren Schwankungen ∆A und ∆B der selbstadjungierten
Operatoren A und B,
q
p
∆A =
< (A− < A >)2 > = < A2 > − < A >2 ,
q
p
< (B− < B >)2 > = < B2 > − < B >2
∆B =
interessiert. Sowohl A = A† und B = B† seien Observable, also selbstadjungiert. Dann ist auch
• AB + BA selbstadjungiert und < u j |AB + BA|u j > reel,
• i(AB − BA) selbstadjungiert und < u j |i(AB − BA)|u j > reell.
Unschärferelation für reine Zustände
Aus der Schwarz’schen Ungleichung
< ψ1 |ψ1 >< ψ2 |ψ2 > ≥ | < ψ1 |ψ2 > |2
folgt
< u j |A2 |u j >< u j |B2 |u j > = < u j |A+A|u j >< u j |B+ B|u j >
Ersetzt man A und B durch
≥ | < u j |A+ B|u j > |2
2
1
i
= < u j |AB + BA|u j > − < u j |i(AB − BA)|u j >
2
2
2
1
≥ < u j |[A, B]|u j > .
2
A− < A > ,
B− < B > ,
so erhält man mit
2
1
2
2
< u j | A− < A > |u j >< u j | B− < B > |u j > ≥ < u j |[A, B]|u j >
2
die Unschärfe-Relation für einen reinen Zustand.
Gemische Zustände
Wir fassen
(A)
uj
=
√
q
2
w j < u j | A− < A > |u j >
1.3 Unschärfe–Relationen
13
und
(B)
uj
=
√
wj
q
2
< u j | B− < B > |u j >
als Komponenten der (unendlich dimensionalen) Vektoren
(A)
(A)
(B)
~u (A) = (u1 , u2 , . . .),
(B)
~u (B) = (u1 , u2 , . . .)
auf, auf die man ebenfalls die Schwarz’sche Ungleichung
||~u (A)|| · ||~u (A)|| ≥ |~u (A) ·~u (A)|2 ,
A↔B
anwenden kann. Man erhält
||~u
(A)
|| · ||~u
(A)
|| =
∑ w j < u j |[A− < A >]
j
2
!
|u j >
∑ wk < uk |[B− < B >]
k
2
!
|uk >
2
1/2 ≥ ∑ wk < uk |[A− < A >]2 |uk > < uk |[B− < B >]2 |uk >
k
2
1
≥ ∑ wk < uk |[A, B]|uk > ,
2 k
und schließlich mit
(∆A)(∆B) ≥
1
| < [A, B] > |
2
die allgemeine Unschärfe-Relation für zwei Operatoren im Zustand ρ.
Heisenberg’sche Unschärferelation
Für A = P und B = Q ist [P, Q] = h̄/i, also
(∆P)(∆Q) ≥
h̄
.
2
Minimale Unschärfe
Wellenfunktionen ψ(x), für welche Ort- und Impuls zugleich maximal scharf sind, nennt man
Zustände minmaler Unschärfe. Beispiele sind
2 /(2h̄)
ψ(x) ∼ eip0 x/h̄ e−γ(x−x0 )
,
d.h. die Gaußschen Wellenpakete. Sie haben die Eigenschaft (∆Q)(∆P) = h̄2 .
14
Zur Struktur der Quantenmechanik