10. ¨Ubungsblatt zur Theoretische Physik III: Elektrodynamik

22. Juni 2004
Technische Universität Berlin
Institut für Theoretische Physik
Prof. Dr. A. Knorr
Dipl.-Phys. Jan Schlesner
Dipl.-Phys. Christopher Witte
wwwitp.physik.tu-berlin.de/lehre/TPIII
10. Übungsblatt zur Theoretische Physik III: Elektrodynamik
Abgabe: Mittwoch/Donnerstag 6./7.7.04 im Tutorium
Aufgabe 25(10 Punkte): Kohärente Zustände des quantisierten elektromagnetischen Feldes
Vorbemerkung: In der Vorlesung wurde die Quantisierung der Elektrodymamik in Analogie zum
+
Harmonischen Oszillator vorgestellt. Das
¡ † Problem
¢ wird dabei in Leiteroperatoren b , b formuliert. Der Hamiltonoperator Ĥ = ~ω b b + 1/2 einer einzelnen Mode hat dann die Energieeigenwerte ²n = ¡~ω(n
¢n + 1/2) zu den (stationären) Eigenzuständen |Φn i, die sich mit Hilfe
von |Φn i = √1n! b† |Φ0 i aus dem Grundzustand (Vakuum) -für den b|Φ0 i = 0 gilt- konstruieren lassen. Diese Eigenzustände des Hamiltonoperators heißen Photonenzahlzustände oder
auch Fockzustände. Fürqdas Resonatorbeispiel (Kantenlänge
L)der VL gilt für die Feldoperatoren
q
Êz = i(b† −b) cos (kx)
~ ω 2
2 ε0 L3 ,
Âz = −(b† + b) k1 cos (kx)
q
B̂y = (b† +b) sin (kx)
~ ω 2
2 ε0 c2 L3
und der Viererpotentialoperator
~ ω 2
2 ε0 c2 L3 .
Jeder allgemeine Zustand (für diese
Peine Mode) kann als Linearkombination der Energieeigenzustände Φn dargestellt werden: Φ = cn exp (−iEn t/~) Φn . Zustände Φα die durch
1
2
cn = √ αn e−|α| /2 ,
n!
α komplexwertig.
gegeben sind, werden dabei als kohärente Zustände” bezeichnet, da sie der Beschreibung in der
”
klassischen Elektrodynamik am nächsten kommen (siehe auch 6.Übungsblatt der Quantenmechanik im letzten Wintersemester).
(a) Prüfe die Normierung von Φα .
(b) Zeige, dass kohärente Zustände Eigenzustände zum Vernichtungsoperator sind, und zwar:
bΦα = αe−iωt Φα .
Bemerkung: Φα ist i.A. kein Eigenzustand zu b† .
(c) Berechne hΦα |Ez |Φα i, hΦα | (Ez )2 |Φα i, hΦα |By |Φα i und hΦα | (By )2 |Φα i und vergleiche
für t = 0 mit den Erwartungswerten in einem Eigenzustand Φn . Interpretiere das Ergebnis
und seine Bedeutung für eine quasiklassische Interpretation dieser Zustände.
(d) Betrachte einen klassischen Strom J der mit dem elektromagnetischen
¡
¢
¡Feld wechselwirkt
¢
und zeige, dass der Hamiltonoperator durch Ĥ = ~ω b† b + 1/2 + γ(t) b† + b beschrieben werden kann. Zeige, dass für geeignetes α ∈ C Φα dann Eigenzustand von Ĥ ist
und bestimme α als Funktion von γ (es darf t = 0 angenommen werden). Zeige weiter,
dass dann ĤΦα = (γα + ~ω/2) Φα gilt. Welche Folge hat das Resultat für die klassische
Elektrodynamik?
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22. Juni 2004
10. Übung TPIII SS2004
Aufgabe 26(10 Punkte): Gequetschte Zustände in der Quantenoptik
In der vorigen Aufgabe wurden kohärente Zustände des EM-Feldes behandelt. Diese Zustände sind
in der Quantenoptik besonders wichtig, da sie bei vielen natürlichen Prozessen entstehen (klassischer Strom, Laser) und außerdem, weil sie durch ihre minimale Unschärfe (die heisenbergsche
Unschärfe-Relation nimmt Gleichheit an) herausragen. Neben den kohärenten Zuständen gibt es
allerdings noch eine weitere Klasse von Zuständen mit minimaler Unschärfe, die gequetschten
Zustände (engl. squeezed states), die in einer Anzahl nichtlineare Prozesse in der Quantenoptik
entstehen, die von großem Interesse in modernen Anwendungen sind (z.B. parametric amplification, parametric down conversion, four-wave-mixing, resonance flourescence etc...). Diese Klasse von Zuständen lässt sich mathematisch sehr elegant beschreiben und wie bei den kohärenten
Zuständen lassen sich viele Eigenschaften algebraisch berechnen. Wir führen zunächst zwei unitäre
Operatoren ein, die sehr hilfreich sind:
a) Der Schieber:
D(α) := exp(αb† − α∗ b)
b) Der Quetscher:
S(²) := exp(²∗ b2 /2 − ²(b† )2 /2)
Ein gequetscher Zustand ist definiert durch
Φα, ² := D(α)S(²)Φ0 ,
wobei Φ0 wiederum der Vakuumzustand ist.
• (8 Zusatzpunkte): Zeige, dass diese unitären Operatoren die folgenden Eigenschaften haben (mit ² =: re2iφ ):
Φα,0 = D(α)Φ0 = Φα
(1)
†
D (α)bD(α) = b + α
†
†
†
D (α)b D(α) = b + α
†
(2)
∗
(3)
† 2iφ
S (²)bS(²) = b cosh r − b e
†
†
†
sinh r
−2iφ
S (²)b S(²) = b cosh r − be
(4)
sinh r.
(5)
Hinweis: die Baker-Hausdorff-Formel lautet:
∞
X 1
1
eA Be−A = B + [A, B] + [A, [A, B]] + · · · =
[A, [A, [A, ....[A, B]]]]
{z
}
2
n! |
n=0
n-fach
• Benutzte die Formeln (1-5), um für reelles ², d.h. φ = 0, analog zur letzten Aufgabe
hΦα, ² |Ez |Φα, ² i, hΦα, ² | (Ez )2 |Φα, ² i, hΦα, ² |By |Φα, ² i und hΦα, ² | (By )2 |Φα, ² i für t = 0 zu
berechnen und vergleiche mit den Erwartungswerten in einem kohärenten Zustand Φα .
• Zeige, dass für die Varianzen
∆Ez ∆By =
~ω sin 2kx
4ε0 cL3
gilt, die beiden Faktoren einzeln aber beliebig klein werden können für geeignetes ². Interpretiere in diesem Sinnen den Namen gequetschter Zustand.