2 Kongruenzen

25
2
Kongruenzen
Mit Hilfe der hier definierten Kongruenz“ können Aussagen über Teilbarkeit einfacher formuliert und
”
bewiesen werden, und man erhält eine Differenzierung der Zahlen, die bezüglich einer festen Zahl nicht
teilbar sind. Durch die Ähnlichkeit zum Rechnen mit Gleichungen ergeben sich darüber hinaus viele
interessante Fragestellungen.
Die hier vorgestellte Theorie wurde im wesentlichen von Gauß entwickelt und ist seitdem fester Bestandteil der elementaren Zahlentheorie.
2.1
Definition, Rechenregeln
Beispiele 2.1.1
(1) Ein schon in der Schule gebräuchlicher Test, ob eine natürliche Zahl durch 3 oder 9 teilbar ist,
ist die Untersuchung der Quersumme auf Teilbarkeit durch 3 bzw. 9.
Wir betrachten eine beliebige natürliche Zahl n ∈ IN mit Einerziffer n0 , Zehnerziffer n1 usw.,
d.h.
n = n0 + n1 · 10 + n2 · 100 + . . . + nk · 10k ,
und ihre Quersumme
Q(n) = n0 + n1 + n2 + . . . + nk .
Die Differenz
n − Q(n) = n1 · 9 + n2 · 99 + . . . + nk · (10k − 1)
ist durch 9 (und damit auch durch 3) teilbar. Daher sind entweder beide Zahlen n und Q(n)
durch 9 teilbar oder keine.
(2) Wir wissen, dass am 4. April 2010 Sonntag war (Ostersonntag). Was für ein Wochentag ist dann
der 8. Juli 2010?
Da April und Juni 30 Tage haben und der Mai 31, liegt der 8. Juli 95 Tage hinter dem 4. April.
Der 7., 14., 21., . . . Tag nach dem 4. April ist jeweils wieder ein Sonntag, d.h. auch der 91. Tag.
Damit liegt der 8. Juli 4 Tage nach Sonntag, ist also ein Donnerstag.
Ganz analog folgt, dass der 24. Dezember in 2010 ein Freitag ist (das ist der 264. Tag nach dem
4. April) und dass der 1. Januar 2010 (der 93. Tag vor dem 4. April) ebenfalls ein Freitag war.
Bei der Bestimmung des Wochentags kommt es offensichtlich nicht darauf an, wie oft die Zahl 7
in die Anzahl der Tage nach oder vor dem bekannten Tag geht, sondern nur auf den Rest.
(3) Was ist der 4. April 2011 für ein Wochentag?
Ein normales Jahr hat 365 Tage, und Division von 365 durch 7 ergibt den Rest 1. Daher muß
dieser Tag ein Montag sein.
Hätten wir in 2011 ein Schaltjahr mit dem zusätzlichen Tag im Februar 2011, dann ergäbe sich
der Rest 2 und der 4. April 2011 wäre ein Dienstag.
2. Kongruenzen
26
Die folgende Definition fasst alle Zahlen zusammen, die bei Division durch eine feste Zahl m denselben
Rest ergeben.
Definition 2.1.2 Seien a, b, m ∈ ZZ, m 6= 0. a heißt zu b kongruent modulo m, wenn m | (a − b).
Sonst heißen die beiden Zahlen inkongruent modulo m.
(Schreibweise: a ≡ b mod m bzw. a 6≡ b mod m. )
Die Zahl m heißt Modul.
Beispiele 2.1.3
(1) 58 ≡ −26 ≡ −2 ≡ 4 mod 6.
(2) Modulo 2 sind alle geraden Zahlen zueinander kongruent, ebenfalls alle ungeraden Zahlen. Eine
beliebige gerade Zahl ist zu einer beliebigen ungeraden Zahl inkongruent modulo 2.
(3) Zwei ganze Zahlen sind genau dann zueinander kongruent modulo 10, wenn sie dieselbe Einerziffer haben.
(4) Kongruenzen modulo 10 werden oft ausgenutzt, um Übertragungsfehler von z.B. Versicherungs-,
Steuer- oder ISBN-Nummern zu erkennen. Dafür wird die jeweilige Nummer durch eine zusätzliche Ziffer ergänzt, so dass die Quersumme der neuen Zahl ein Vielfaches von 10 ist, also kongruent
zu 0 modulo 10. Um Zahlendreher festzustellen, benutzt man auch (z.B. bei der ISBN-Nummer)
gewichtete Quersummen.
Bemerkungen 2.1.4
(1) Da die beiden Kongruenzen
a≡b
mod m
und
a≡b
mod (−m)
äquivalent sind und je zwei beliebige ganze Zahlen zueinander kongruent modulo 1 sind, kann
man sich auf die Untersuchung von Kongruenzen modulo m ∈ IN, m > 1, beschränken. Im
folgenden sei der Modul immer eine solche Zahl.
(2) Seien a, b ∈ ZZ. Division von a bzw. b durch m mit Rest ergebe
a = k1 · m + r1 ,
b = k2 · m + r2 ,
0 ≤ r1 , r2 < |m|.
Dann gilt
a≡b
mod m
⇐⇒
m | (a − b) = (k1 − k2 ) · m + (r1 − r2 )
⇐⇒
r1 = r2 ,
d.h. a und b sind genau dann kongruent modulo m, wenn sich bei Division durch m derselbe
Rest ergibt.
Das ist wiederum genau dann der Fall, wenn sich a und b um ein ganzzahliges Vielfaches von m
unterscheiden.
2. Kongruenzen
27
(3) Durch die Kongruenz modulo m wird eine Äquivalenzrelation in ZZ definiert, d.h. für festes
m ∈ IN, m > 1, und alle a, b, c ∈ ZZ gilt
a≡a
mod m
(Reflexivität)
a≡b
mod m
=⇒
a≡b
mod m
und
b≡a
b≡c
mod m
mod m
(Symmetrie)
=⇒
a≡c
mod m
(Transitivität)
Mit Kongruenzen kann man weitgehend wie mit Gleichungen rechnen, d.h. man kann Kongruenzen mit
einer festen Zahl addieren, subtrahieren und multiplizieren sowie verschiedene Kongruenzen addieren,
subtrahieren und multiplizieren.
Satz 2.1.5 Seien a, b, c, d, m ∈ ZZ, m > 1, mit
a≡b
mod m,
c≡d
mod m.
Dann gilt
(a) a + c ≡ b + d mod m, speziell a + c ≡ b + c mod m.
(b) a − c ≡ b − d mod m, speziell a − c ≡ b − c mod m.
(c) a · c ≡ b · d mod m, speziell a · c ≡ b · c mod m.
(d) ak ≡ bk
mod m für alle k ∈ IN ∪ {0}.
Bemerkungen 2.1.6
(1) Mit Hilfe von Kongruenzüberlegungen lassen sich Rechnungen auf Richtigkeit überprüfen:
Behauptung:
314 · 159 = 49826.
Wir betrachten die Kongruenz modulo 9 und nutzen die Quersummenregel aus:
314 · 159 ≡ 8 · 15 ≡ 8 · 6 = 48 ≡ 12 ≡ 3
mod 9
und
49826 ≡ 29 ≡ 11 ≡ 2
mod 9,
d.h. das Ergebnis ist nicht richtig.
(2) Die Zahlen der Form
n
Fn := 22 + 1,
n = 0, 1, 2, ...
heißen Fermat-Zahlen.
Fermat vermutete, daß alle diese Zahlen Primzahlen sind, und für die ersten 5, d.h. die Zahlen
F0 = 3,
F1 = 5,
F2 = 17,
trifft dies auch zu.
Wir zeigen, daß F5 zusammengesetzt ist:
F3 = 257,
F4 = 65537
2. Kongruenzen
28
Aus
F5 − 1 = 232 = 24 · 228
24 + 54 = 16 + 625 = 641
und
folgt
24 ≡ −54
mod 641.
Damit folgt
F5 − 1 ≡ −54 · 228 = −(5 · 27 )4
mod 641.
Mit
641 = 5 · 27 + 1
ergibt sich
F5 − 1 ≡ −(641 − 1)4 ≡ −1
mod 641
und damit
F5 ≡ 0
mod 641,
d.h. 641 ist Teiler von F5 und daher F5 keine Primzahl.
Gauß zeigte, daß ein reguläres n-Eck genau dann allein mit Hilfe von Zirkel und Lineal konstruiert
werden kann, wenn n = 2k oder n = 2k · Fn mit Fn prim ist. (Damit löste er das klassische
Problem, ob ein beliebiger Winkel allein mit Hilfe von Zirkel und Lineal dreigeteilt werden
kann.)
Außer F0 , ..., F4 ist bisher keine weitere Fermatsche Primzahl bekannt.
Die Fermat-Zahlen sind paarweise teilerfremd, und damit folgt erneut die Aussage des Satzes
von Euklid, daß es unendlich viele Primzahlen in IN gibt.
Eine Gleichung kann man durch eine beliebige Zahl ungleich Null dividieren. Daher verändert sich die
Lösungsmenge einer Gleichung bei Multiplikation mit einer Zahl ungleich Null nicht, denn man kann
die Multiplikation wieder rückgängig machen. (Gleiches gilt bei Addition einer Gleichung mit einer
beliebigen Zahl und Addition einer Kongruenz mit einer beliebigen ganzen Zahl.)
Das Beispiel
9 · 5 = 45 ≡ 15 = 3 · 5
mod 10,
9 6≡ 3
mod 10
zeigt, das man eine Kongruenz nicht einfach durch eine ganze Zahl ungleich Null dividieren darf.
Betrachtet man die Definition der Kongruenz, dann ergibt sich
Satz 2.1.7 Seien a, b, c, m ∈ ZZ, m > 1. Dann gilt:
(a) a · c ≡ b · c mod m
⇐⇒
a ≡ b mod
m
.
ggT(c, m)
(Kürzungsregel)
(b) Sind m und c teilerfremd, dann gilt
a·c≡b·c
mod m
⇐⇒
a≡b
mod m.
2. Kongruenzen
29
Bemerkungen 2.1.8
(1) Die Aussage aus Satz 2.1.7 (b) gilt speziell, wenn m Primzahl und c nicht Vielfaches von m ist.
(2) Für ggT(m, c) > 1 gibt es immer a, b ∈ IN mit
a·c≡b·c
mod m
und
a 6≡ b
mod m.
Beispiele 2.1.9
(1) 9 · 5 = 45 ≡ 15 = 3 · 5 mod 10
=⇒
(2) 5 · 18 ≡ 5 · 42 mod 12
18 ≡ 42
(3) 9 ≡ 24 mod 5
2.2
=⇒
=⇒
9 ≡ 3 mod 2.
(≡ 6) mod 12.
3 ≡ 8 mod 5.
Restklassen
In der Bemerkung 2.2.2 (3) wurde gezeigt, dass die Kongruenzrelation eine Äquivalenzrelation ist.
Sie zerlegt“ wie jede Äquivalenzrelation die zugehörige Grundmenge (hier ZZ) in nichtleere, paar”
weise disjunkte Teilmengen (Äquivalenzklassen) von ZZ, deren Vereinigung ZZ ist. Man kann die
Rechenvorschriften Addition und Multiplikation von ZZ auf dieses Mengensystem übertragen.
Definition 2.2.1 Sei ∈ IN, m > 1.
(a) Die Äquivalenzklassen bezüglich der Äquivalenzrelation Kongruenz modulo m“ heißen Rest”
klassen modulo m.
Wir bezeichnen die Restklasse von a mit a. a heißt Vertreter oder Repräsentant der Restklasse ā.
Weiter bezeichnen wir die Menge der Restklassen modulo m mit ZZ/m.
(b) Eine Menge von m paarweise inkongruenten ganzen Zahlen modulo m heißt vollständiges
Restsystem modulo m.
{0, 1, .., m − 1} heißt kleinstes nichtnegatives Restsystem.
(c) Für a, b ∈ ZZ sei
a ⊕ b := a + b,
a ⊙ b := a · b.
Bemerkungen und Beispiele 2.2.2
(1) Für m = 2 gibt es die beiden Restklassen
0 = {. . . , −4, −2, 0, 2, 4, 6, . . .}
und
1 = {. . . , −5, −3, −1, 1, 3, 5, 7, . . .},
Für m = 3 die 3 Restklassen
−1 = {. . . , −4, −1, 2, 5, . . .},
1 = {. . . , −5, −2, 1, 4, 7, . . .},
9 = {. . . , −6, −3, 0, 3, 6, 9, 12, . . .}.
2. Kongruenzen
30
(2) Da jede ganze Zahl in genau einer der Restklassen liegt, die Zahlen 0, 1, .., m − 1 paarweise
inkongruent modulo m sind und jede andere ganze Zahl zu einer dieser Zahlen kongruent ist,
gibt es genau m Restklassen modulo m. Das erklärt die Bezeichnung vollständiges Restsystem“.
”
(3) Durch die Vorschriften ⊕ und ⊙ wird jedem Paar von Restklassen jeweils eine Restklasse zugeordnet. Der folgende Satz zeigt, dass dadurch Verknüpfungen auf der Menge der Restklassen
modulo m definiert werden.
Das Addieren und Multiplizieren von Mengen (und das sind die Restklassen ja) erscheint auf
den ersten Blick ungewohnt. Aber man kann zum Beispiel die natürliche Zahl 5 als Kardinalzahl
auffassen, d.h. als Menge aller Mengen, die dieselbe Elementzahl wie {a, b, c, d, e} haben.
Natürliche Zahlen sind also im Prinzip Mengen von Mengen.
Eine rationale Zahl (Bruchzahl) ist die Menge aller Brüche, die bezüglich
a
c
≡
:⇐⇒
a·d=b·c
b
d
äquivalent sind. Auch das uns geläufige Rechnen mit Bruchzahlen ist eigentlich Rechnen mit
Mengen.
Üblicherweise umgeht man die Probleme, indem man jede Äquivalenzklasse durch einen ihrer
Vertreter ersetzt. Da die Wahl der Vertreter beliebig sein muss, ist natürlich zu zeigen, dass sich
bei Wahl von verschiedenen Vertretern derselben Klasse dieselbe Summe bzw. dasselbe Produkt
ergibt.
Satz 2.2.3 Sei m ∈ IN, m > 1.
(a) Die in Definition 2.2.1 (c) festgelegten Zuordnungen sind Verknüpfungen auf ZZ/m, d.h. jedem
Paar von Restklassen wird durch ⊕ bzw. ⊙ eindeutig eine weitere Restklasse zugeordnet, die man
Summe bzw. Produkt der Restklassen nennt.
(b) Bezüglich dieser Verknüpfungen gelten in ZZ/m Rechenregeln:
ZZ/m, ⊕, ⊙ ist ein kommutativer Ring mit Einselement, d.h.
(i) für ZZ/m, ⊕ gelten Assoziativ- und Kommutativgesetz sowie die Existenz des neutralen
Elements (Nullelements) und des inversen Elements zu jeder Restklasse
( ZZ/m, ⊕ ist eine kommutative Gruppe),
(ii) für ZZ/m, ⊙ gelten Assoziativ- und Kommutativgesetz sowie die Existenz des neutralen
Elements (Einselements)
( ZZ/m, ⊙ ist eine kommutative Halbgruppe),
(iii) für ZZ/m, ⊕, ⊙ gilt das Distributivgesetz
a⊙ b⊕c = a⊙b ⊕ a⊙c .
Da ZZ/m endlich ist, lassen sich die Ergebnisse der Addition bzw. Multiplikation übersichtlich in
Verknüpfungstafeln beschreiben. Für m = 3 bzw. m = 4 ergibt sich
⊕
0
1
2
0
0
1
2
1
1
2
0
2
2
0
1
⊙
0
1
2
0
0
0
0
1
0
1
2
2
0
2
1
2. Kongruenzen
⊕
0
1
2
3
0
0
1
2
3
1
1
2
3
0
2
2
3
0
1
3
3
0
1
2
⊙
0
1
2
3
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
2
0
2
0
2
31
3
0
3
2
1
Bemerkung 2.2.4
Besonders in der Zeit- und Winkelrechnung ist jeder von uns mit Rechnungen modulo 12, 24,
60, 360 vertraut.
Die Eigenschaft teilerfremd zu m“ ist eine Eigenschaft der gesamten Restklasse, d.h. ist ein Vertreter
”
der Restklasse teilerfremd zu m, dann auch jeder andere:
Satz 2.2.5 Seien a, m ∈ ZZ, m > 1. Dann gilt
ggT (a, m) = 1
und
b≡a
mod m
=⇒
ggT (b, m) = 1.
Eine Restklasse a mit ggT (a, m) = 1 heißt prime Restklasse modulo m.
In (ZZ, +, ·) gelten die Rechenregeln von Satz 2.2.3(b). Mengen mit diesen Eigenschaften heißen kommutativer Ring mit Einselement.
Eine wichtige Eigenschaft der ganzen Zahlen ist, dass ein Produkt von ganzen Zahlen genau dann Null
ist, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist. Man nennt diese Eigenschaft Nullteilerfreiheit und
einen nullteilerfreien kommutativen Ring mit Einselement Integritätsbereich.
Wie man an der Verknüpfungstafel von ZZ/4 erkennt, ist ZZ/m im allgemeinen nicht nullteilerfrei. Es
gilt
Satz 2.2.6 Sei m ∈ IN, m > 1. ZZ/m ist genau dann nullteilerfrei und damit ein Integritätsbereich,
wenn m prim ist.
In Ringen kann man im allgemeinen nur die Rechenoperationen Addition, Subtraktion und Multiplikation durchführen. In manchen Ringen wie ZZ oder dem Ring der Polynome mit reellen Koeffizienten
gibt es auch eine Division mit Rest, aber im allgemeinen gibt es keine Division.
Ist allerdings a eine prime Restklasse im Restklassenring ZZ/m, dann gilt
ggT(a, m) = 1
und nach Bemerkung 1.5.10 gibt es x, y ∈ ZZ mit
ax + my = 1
bzw.
a⊙x≡1
mod m.
x ist also das inverse Element in ZZ/m zu a bezüglich der Multiplikation ⊙, und jede prime Restklasse
hat genau ein solches Inverses.
2. Kongruenzen
32
Wie bei der Addition in ZZ und der Multiplikation in Q
I oder IR ist das Inverse des inversen Elements
zu a wieder a.
Ist m Primzahl, dann ist jede der Restklassen 1, 2, . . . , m − 1 prim, d.h. man kann in ZZ/m durch jede
Restklasse ungleich 0 dividieren (mit der Inversen multiplizieren), und ZZ/m ist mit den Rechenoperationen ⊕ und ⊙ ein Körper, in dem man im Prinzip so rechnen kann wie in Q
I oder IR.
Zum Beispiel in der Kodierungstheorie arbeitet man mit endlichen Körpern, also endlichen Mengen, in
denen eine Addition und eine Multiplikation definiert ist und in denen die entsprechenden Rechenregeln
gelten. Die Restklassenkörper ZZ/p (mit p prim) liefern dazu gute Beispiele.
Eine sofortige Folgerung ist
Satz 2.2.7 (Wilson) Sei m ∈ IN, m > 1. Dann gilt
m
ist Primzahl
⇐⇒
(m − 1)! ≡ −1
mod m.
Als Anwendung ergibt sich folgendes
Korollar 2.2.7.1
(a) Sei p eine Primzahl. Die quadratische Kongruenz“
”
x2 ≡ −1
mod p
ist lösbar, wenn p 6≡ 3 mod 4.
(b) Insbesondere hat die Kongruenz
(i) für p = 2 die (modulo 2) eindeutige Lösung x ≡ 1 mod 2 und
(ii) für p ≡ 1 mod 4 die (modulo p) verschiedenen Lösungen
x≡
2.3
p − 1
!
2
und
x≡−
p − 1
!.
2
Teilbarkeitsregeln
Wir sind früher schon einmal auf die Dreier- und Neunerregel eingegangen (eine Zahl wird durch 9
genau dann geteilt, wenn ihre Quersumme durch 9 geteilt wird). In diesem Abschnitt wollen wir uns
mit solchen Teilbarkeitsregeln beschäftigen.
Bekanntlich stellen wir die natürlichen Zahlen in unserem Stellenwertsystem mit Hilfe der Ziffern
0, 1, 2, . . . , 9 dar und der Ort, an dem die Ziffer steht, gibt an, mit welcher Zehner-Potenz diese Ziffer
multipliziert werden soll.
Die Zahlenbasis 10 unseres dekadischen Ziffernsystems ist nicht mathematisch begründet, sondern
biologisch. Man kann genauso gut als Basis jede andere natürliche Zahl größer als 1 wählen. (Dass
diese Zahlendarstellungen überhaupt möglich sind, liegt an der Eindeutigkeit der Division mit Rest.)
Wir betrachten in diesem Abschnitt die natürlichen Zahlen in einer b-adischen Darstellung, d.h. in
einem Ziffernsystem mit Basis b ∈ IN, b > 1, und Ziffern 0, 1, . . . , b − 1.
Als Teilbarkeitsregel entsprechend der Dreier- bzw. Neunerregel ergibt sich
2. Kongruenzen
33
Satz 2.3.1 (Quersummenregel) Sei b ∈ IN, b > 1 und für
a ∈ IN
mit
a = a0 + a1 · b + a2 · b2 + . . . + an · bn ,
n ∈ IN0 ,
ai ∈ {0, 1, . . . , b − 1}
sei
Q(a) := a0 + a1 + a2 + . . . + an
die Quersumme von a. Weiter sei d ∈ IN ein Teiler von b − 1. Dann gilt:
d ist Teiler von a
⇐⇒
d ist Teiler von Q(a).
Beispiel 2.3.2
Wir prüfen die Teilbarkeit der Zahl
a = (4035123)7 = 4 · 76 + 3 · 74 + 5 · 73 + 1 · 72 + 2 · 7 + 3
in 7-adischer Darstellung durch 2, 3 und 6.
Die Quersumme Q(a) = (24)7 ist durch 2, 3 und 6 teilbar, also auch a.
Im Zehnersystem kann man dies mit der bekannten Quersummenregel und a = (479580)10 und
Q(a) = (33)10 nachweisen.
Analog zur 11-Regel gilt
Satz 2.3.3 (alternierende Quersummenregel) Sei b ∈ IN, b > 1 und für
a ∈ IN
mit
a = a0 + a1 · b + a2 · b2 + . . . + an · bn ,
n ∈ IN0 ,
ai ∈ {0, 1, . . . , b − 1}
sei
Q∗ (a) := a0 − a1 + a2 − . . . + (−1)n · an
die alternierende Quersumme von a. Weiter sei d ∈ IN ein Teiler von b + 1. Dann gilt:
d ist Teiler von a
⇐⇒
d ist Teiler von Q∗ (a).
Beispiel 2.3.4
Wir prüfen die Teilbarkeit der Zahl
a = (22374)10 = (122142)7
c = (679722)10 = (13322342)5
durch 11 und 8 bzw. 6.
Die alternierende Quersumme Q∗ (a) = (0)10 ist durch 11 teilbar, also auch a.
Die alternierende Quersumme Q∗ (a) = −(2)7 ist nicht durch 8 teilbar, also auch nicht a.
Die alternierende Quersumme Q∗ (c) = −(1)10 ist nicht durch 11 teilbar, also auch nicht a.
Die alternierende Quersumme Q∗ (c) = (0)5 ist durch 6 teilbar, also auch c.
2. Kongruenzen
34
Man erkennt an der letzten Ziffer der dekadischen Darstellung einer Zahl sofort, ob sie gerade oder
ungerade ist. Allgemein ergibt sich
Satz 2.3.5 (Endstellenregel) Sei b ∈ IN, b > 1 und
a ∈ IN
mit
a = a0 + a1 · b + a2 · b2 + . . . + an · bn ,
n ∈ IN0 ,
ai ∈ {0, 1, . . . , b − 1}.
Weiter sei d ∈ IN. Gibt es ein l ∈ IN mit d | bl , dann gilt:
d ist Teiler von a
⇐⇒
d ist Teiler von a0 + a1 · b + . . . + al−1 · bl−1 .
Beispiel 2.3.6
Damit funktioniert im dekadischen System die Endstellenregel
• für die letzte Ziffer, d.h. l = 1, für die Teiler d = 2, 5, 10,
• für die letzten beiden Ziffern, d.h. l = 2, für die Teiler d = 4, 25, 50, 100 und
• für die letzten drei Ziffern, d.h. l = 3, für die Teiler d = 8, 40, 125, 200, 250, 1000.
2.4
Lineare Kongruenzen
Da die Kongruenzrelation sehr ähnlich ist zur Gleichheitsrelation, ist es nicht verwunderlich, dass man
Kongruenzen mit Unbekannten untersucht. In Korollar 2.2.7.1 wurde sogar schon die quadratische
Kongruenz x2 ≡ −1 modulo einer Primzahl auf Lösbarkeit untersucht und Lösungen bestimmt.
Wir beschränken uns hier auf lineare Kongruenzen mit einer Unbekannten:
Definition 2.4.1 Seien a, b, m ∈ ZZ mit m > 1. Die Kongruenz
ax ≡ b
mod m
heißt lineare Kongruenz mit der Unbekannten x. Ist für x = x0 ∈ ZZ die Kongruenz erfüllt, dann
heißt x0 Lösung der Kongruenz.
Beispiele 2.4.2
(1) Die lineare Kongruenz
2x ≡ 1
mod 4
3x ≡ 4
mod 7
hat keine Lösung.
(2) Die lineare Kongruenz
hat die Lösung x0 = 6. Es sind aber auch alle ganze Zahlen Lösung, die zu 6 kongruent modulo
7 sind, d.h. alle Zahlen aus 6 = {. . . , −8, −1, 6, 13, . . .}.
2. Kongruenzen
35
Allgemein gilt: Hat eine lineare Kongruenz eine Lösung, dann ist jede zu dieser Lösung kongruenten Zahl auch Lösung.
Man kann eine solche Kongruenz auch in Form einer Restklassengleichung“ schreiben:
”
Gesucht ist (immer modulo m) eine Restklasse x mit a ⊙ x = b.
Durch Austesten der Zahlen 0, 1, 2, 3, 4, 5 erkennt man, dass außer den zu 6 kongruenten Zahlen
keine ganze Zahl Lösung der Kongruenz ist. Man nennt eine solche lineare Kongruenz eindeutig
lösbar.
(3) Die lineare Kongruenz
9x ≡ 6
mod 12
hat die paarweise inkongruenten Lösungen x1 = 2, x2 = 6 und x3 = 10. Wieder sind alle zu
diesen Lösungen modulo 12 kongruenten Zahlen Lösungen, aber keine weitere.
Die Anzahl der modulo m paarweise inkongruenten Lösungen bzw. der verschiedenen Restklassen
die Lösung der entsprechenden Restklassengleichung sind, heißt Lösungsanzahl der Kongruenz.
Satz 2.4.3 Seien a, b, m ∈ ZZ mit m > 1.
(a) Die lineare Kongruenz ax ≡ b mod m ist lösbar genau dann, wenn ggT(a, m) | b.
(b) Gilt ggT(a, m) | b, dann ist die Anzahl der paarweise inkongruenten Lösungen gleich ggT(a, m),
d.h. für teilerfremde a, m ist die lineare Kongruenz eindeutig lösbar.
Die lineare Kongruenz
ax ≡ b
mod m
ist genau dann lösbar, wenn es ganze Zahlen x, y gibt mit
ax + my = b.
Eine solche Gleichung, in der nur nach ganzzahligen Lösungen gesucht wird, heißt diophantische
Gleichung (nach dem griechischen Mathematiker Diophant, ca. 320 n.Chr.).
Bemerkung 2.4.4
Vom mathematischen Standpunkt erscheint es auf den ersten Blick merkwürdig, dass man sich
bei der möglichen Lösungsmenge einschränkt. Oft sind in Anwendungsaufgaben aber nur ganzzahlige Lösungen sinnvoll.
Beispiel 2.4.5
Auf einem Päckchen müssen wir 3, 90 Euro an Briefmarken aufkleben. Wir haben nur Briefmarken von 45 und 55 Cent zur Verfügung.
Nennt man x die Anzahl der Briefmarken mit Wert 55 Cent und y die Anzahl der Briefmarken
mit Wert 45 Cent, dann erhält man als mathematisches Modell die Aufgabe, die Gleichung
x · 55 + y · 45 = 390
2. Kongruenzen
36
zu lösen.
Es gibt natürlich unendlich viele Lösungen (x, y), wenn man rationale Zahlen zuläßt, nämlich
{(x,
Da die Post aber keine
mit x, y ∈ IN0 sinnvoll.
11
9
78 11
−
x); x ∈ Q}.
I
9
9
Briefmarke akzeptiert, sind nur Lösungen mit x, y ∈ ZZ, ja sogar nur
Aus Satz 2.4.3 ergibt sich für die Lösbarkeit einer linearen diophantischen Gleichung mit 2 Unbekannten
Satz 2.4.6 Seien a, b, m ∈ ZZ mit m > 1.
(a) Die lineare diophantische Gleichung
ax + my = b
ist lösbar genau dann, wenn
ggT(a, m) | b.
(b) Ist (x0 , y0 ) eine spezielle Lösung, dann beschreibt
m
a
{ x0 +
· z, y0 −
· z ; z ∈ ZZ}
ggT(a, m)
ggT(a, m)
alle Lösungen.
Speziell gilt: Eine lineare diophantische Gleichung in 2 Unbekannten ist entweder nicht lösbar
oder hat unendlich viele Lösungen.
Bemerkung 2.4.7
Aussage (a) von Satz 2.4.6 gilt auch für lineare diophantische Gleichungen mit mehr als 2 Unbekannten:
Die lineare diophantische Gleichung
a1 x1 + a2 x2 + . . . + an xn = b
ist lösbar genau dann, wenn
ggT(a1 , a2 , . . . , an ) | b.
Beispiele 2.4.8
(1) Wir kommen zurück zu unserem Briefmarkenbeispiel 2.4.5.
Wir dividieren die Gleichung durch ggT(55, 45) = 5 und wandeln sie in die Kongruenz
11x ≡ 78
mod 9
um. Sie ist äquivalent zu
2x ≡ 6
mod 9
bzw.
x≡3
mod 9.
Als spezielle Lösung erhält man x = 3, y = 5 und als Lösungsmenge
{ 3 + 9 · z, 5 − 11 · z ; z ∈ ZZ}.
Für z > 0 wird y negativ, für z < 0 wird x negativ, d.h. (3, 5) ist die einzige zulässige Lösung.
2. Kongruenzen
37
(2) Eine der bekanntesten Aussagen der Mathematik ist der Satz des Pythagoras:
Für die Seitenlängen a, b der Katheten und c der Hypothenuse eines rechtwinkligen Dreiecks gilt
a2 + b2 = c2 .
Man kann auch leicht die Umkehrung zeigen:
Wenn die Seitenlängen a, b, c eines Dreiecks die Gleichung
a2 + b2 = c2
erfüllen, dann ist das Dreieck rechtwinklig mit Katheten der Länge a, b und Hypothenuse der
Länge c.
Gerade die Umkehrung hat praktische Bedeutung, da man wegen
32 + 42 = 52
relativ leicht nur mit Hilfe eines Zollstocks einen rechten Winkel zeichnen kann.
Wir beschränken uns auf ganzzahlige Lösungen, betrachten also die diophantische Gleichung
x2 + y 2 = z 2 .
Eine Lösung (x, y, z) heißt pythagoräisches Tripel.
Lösungen mit x = 0 oder y = 0 sind uninteressant.
Ist (x0 , y0 , z0 ) Lösung, dann auch (kx0 , ky0 , kz0 ) für jedes k ∈ ZZ. Daher beschränkt man sich
auf Lösungen mit teilerfremden x, y, z. Solche Lösungen nennt man primitiv. (Die Zahlen sind
dann auch paarweise teilerfremd.)
(3, 4, 5), (5, 12, 13) und (8, 15, 17) sind primitive pythagoräische Tripel, (15, 36, 39) ist ein pythagoräisches Tripel, aber nicht primitiv.
Von Euklid stammt die Beschreibung aller solcher Lösungen:
Die diophantische Gleichung
x2 + y 2 = z 2
hat genau die primitive Lösung x, y, z, wenn es r, s ∈ ZZ gibt mit ggT(r, s) = 1 und nicht beide
ungerade und
x = ±(r 2 − s2 ),
y = ±2r · s,
z = ±(r 2 + s2 ).
(3) Eine sehr berühmtes Problem ist der sogenannte letzte Satz von Fermat (1607? - 1665), der
besagt, dass die diophantische Gleichung
xn + y n = z n
für n ∈ IN, n > 2, keine Lösung mit x, y, z ∈ IN hat. Er wurde 1995 durch Andrew Wiles
bewiesen.
2. Kongruenzen
38
Bemerkung 2.4.9
Beispiel 2.4.8 (1) zeigt, wie man eine lineare Kongruenz bzw. eine lineare diophantische Gleichung
mit zwei Unbekannten lösen kann: Nach Division von a, b und m durch ggT(a, m) erhält man
eine Kongruenz
a′ x ≡ b′ mod m′
mit ggT(a′ , m′ ) = 1.
Die Restklasse a′ ist prim, es existiert also dazu die inverse Restklasse c′ mit
a′ ⊙ c′ = 1.
Multiplikation der Kongruenz mit c′ isoliert die Unbekannte x, d.h. man erhält die Kongruenz
x ≡ b′ · c′
mod m′ .
Im Beispiel ist a = 55, b = 390, m = 45, a′ = 11, b′ = 78, m′ = 9 bzw. mit Wahl der kleinsten
nichtnegativen Reste a′ = 2 und b′ = 6. Mit c′ = 5 folgt x ≡ 30 ≡ 3 mod 9.
Eine andere Lösungsmöglichkeit der zugehörigen diophantischen Gleichung ist die Bestimmung
der Darstellung von
ggT(a, m) = a · x′ + m · y ′
als ganzzahlige Linearkombination von a und m mit Hilfe des euklidischen Algorithmus, d.h. in
unserem Beispiel
5 = 55 · (−4) + 45 · 5.
Mit
b = k · ggT(a, m)
( bzw. in unserem Beispiel
390 = 78 · 5)
ergibt sich die Lösung x = −4 · 78 = −312, y = 5 · 78 = 390, die noch auf die Lösung in IN zu
reduzieren wäre.
2.5
Simultane lineare Kongruenzen, der chinesische Restsatz
Beispiele 2.5.1
(1) Zauberer Magix hat 35 von 1 bis 35 durchnumerierte Karten.
Er legt sie in Reihen zu je 7 Karten auf den Tisch (d.h. in der 1. Reihe von links die Karten 1
bis 7, in der 2. Reihe von 8 bis 14 usw.). Dann bittet er einen Zuschauer, sich eine Zahl zwischen
1 und 35 zu denken, und ihm zu sagen, in welcher Spalte diese Karte liegt.
Anschließend sammelt er die Karten ein und legt sie in derselben Reihenfolge erneut auf den
Tisch, diesmal aber in Zeilen zu je 5 Karten (d.h. in der 1. Reihe von links die Karten 1 bis 5,
in der 2. Reihe von 6 bis 10 usw.).
Der Zuschauer wird nun befragt, in welcher Spalte jetzt die Karte mit der gedachten Zahl liegt,
und Magix nennt ihm die Zahl.
2. Kongruenzen
39
(2) Aus dem Handbuch der Arithmetik“ des Chinesen Sun-Tzu (zwischen 200 und 470 n.Chr.):
”
Wir haben eine gewisse Anzahl von Dingen, wissen aber nicht genau wieviele.
Wenn wir sie zu je drei zählen, bleiben zwei übrig. Wenn wir sie zu je fünf zählen, bleiben drei
übrig. Wenn wir sie zu je sieben zählen, bleiben zwei übrig. Wieviele Dinge sind es?
Die Bedingungen kann man ausdrücken durch das System von Kongruenzen
x≡
2
mod 3
x≡
3
mod 5
x≡
2
mod 7
Die 1. Kongruenz hat die Lösungsmenge
L1 = {. . . , −7, −4, −1, 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, . . .},
die 2. Kongruenz
L2 = {. . . , −7, −2, 3, 8, 13, 18, 23, 28, . . .},
die 3. Kongruenz
L3 = {. . . , −12, −5, 2, 9, 16, 23, 30, . . .}.
Eine gemeinsame Lösung der Kongruenzen muss im Durchschnitt der Lösungsmengen liegen wie
zum Beispiel 23. Offensichtlich ist dann auch jede Zahl der Form
23 + k · (3 · 5 · 7) = 23 + k · 105,
k ∈ ZZ,
eine Lösung des Systems.
Beide Beispiele führen auf ein System von mehreren linearen Kongruenzen.
Wir betrachten daher nun ein allgemeines System linearer Kongruenzen
ai · x ≡ bi
mod mi ,
1 ≤ i ≤ n,
das auch simultane Kongruenz heißt.
Das System ist nur dann lösbar, wenn jede der einzelnen Kongruenzen lösbar ist, und das ist nach
Satz 2.4.3 der Fall, wenn
ggT(ai , mi ) | bi ,
1 ≤ i ≤ n.
Wir setzen dies im folgenden voraus.
Division der einzelnen Kongruenzen durch den jeweiligen größten gemeinsamen Teiler ergibt das neue
System
a′i · x ≡ b′i mod m′i ,
1 ≤ i ≤ n,
mit
a′i :=
ai
,
ggT(ai , mi )
b′i :=
bi
,
ggT(ai , mi )
m′i :=
mi
,
ggT(ai , mi )
ggT(a′i , m′i ) = 1,
1 ≤ i ≤ n.
2. Kongruenzen
40
a′i ist prime Restklasse modulo m′i , und durch Multiplikation der jeweiligen Kongruenz mit einem Rest
aus der zu a′i inversen Restklasse erhält man das äquivalente System
x ≡ ci
mod m′i ,
1 ≤ i ≤ n.
Für paarweise teilerfremde Moduln gilt
Satz 2.5.2 (Chinesischer Restsatz) Seien n ∈ IN, ci , mi ∈ ZZ mit mi > 1, 1 ≤ i ≤ n, und
m1 , . . . , mn paarweise teilerfremd.
Weiter sei
m := kgV(m1 , ..., mk ).
Dann hat das System
x ≡ ci
mod mi ,
1 ≤ i ≤ n,
genau eine Lösung modulo m.
Was macht man nun, wenn die Moduln nicht paarweise teilerfremd sind?
Beispiel 2.5.3
Bei der simultanen Kongruenz
x ≡2
mod 3
x ≡3
mod 4
x ≡5
mod 6
gilt ggT(3, 6) = 3 und ggT(4, 6) = 2, die Moduln sind also nicht paarweise teilerfremd. Wir
zerlegen den Modul 6 in seine verschiedenen Primfaktoren. Die Kongruenz
x≡5
mod 6
x ≡1
mod 2
x ≡2
mod 3
x ≡2
mod 3
x ≡3
mod 4
x ≡1
mod 2
x ≡2
mod 3.
ist äquivalent zu dem System
und damit erhält man das System
Es können sich also Kongruenzen mit demselben Modul in dem System ergeben, und diese sind
entweder identisch, d.h. man kann alle bis auf eine weglassen wie in dem Beispiel, oder sie
widersprechen sich, und dann ist die simultane Kongruenz nicht lösbar.
2. Kongruenzen
41
Kongruenzen bezüglich verschiedener Potenzen derselben Primzahl (hier 2 und 4 = 22 ) widersprechen sich entweder, und dann ist das System nicht lösbar, oder die Kongruenz modulo der
höheren Potenz beinhaltet die Bedingung der anderen, d.h. nur die Kongruenz, deren Modul die
höchste Primzahlpotenz darstellt, wird beibehalten.
Unser Beispiel reduziert sich auf das System
mit der Lösung x ≡ 11 mod 12.
x ≡2
mod 3
x ≡3
mod 4