QUANTENMECHANIK
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QUANTENMECHANIK 1. EINFÜHRUNG Gegen Ende des 19. Jahrhunderts galten die Newtonsche Mechanik und die Maxwellsche Theorie des Elektromagnetismus als die unverrückbaren Eckpfeiler des Gebäudes der klassischen Physik. Aufgrund der großen Erfolge dieser Theorien glaubten manche Physiker, dass keine weiteren größeren Entdeckungen in der Physik zu machen wären. Doch einige experimentelle Hinweise zeigten auf, dass diese Theorien nicht alles erklären konnten. So bereiteten unter anderem die Stabilität der Atome und die Emission von Linienspektren der klassischen Physik sehr große Probleme (siehe Kapitel: Wasserstoffatom). Auch die experimentell bestimmte Wärmestrahlungsleistung von glühenden Körpern in Abhängigkeit von der Frequenz konnte theoretisch nicht beschrieben werden. MAX PLANCK (1859–1947) fand im Jahre 1900 durch die Verwendung der statistischen Physik die gesuchte allgemeine Strahlungsformel eines so genannten ‚schwarzen Körpers’. Bei dieser Vorgehensweise war Planck allerdings darauf angewiesen anzunehmen, dass die atomaren Teilchen die Energie nicht kontinuierlich, sondern in Energieportionen, so genannte Energiequanten, aufnehmen oder abgeben. Jedes Energiequant entspricht der Größe hf. Diese neuartige Entdeckung wurde unter anderem durch die Arbeiten von ALBERT EINSTEIN (1879-1955) zum fotoelektrischen Effekt untermauert. Im Jahre 1905 gelang es ihm, mit derselben Quantenhypothese die Energieverteilung der durch Licht an einer Metalloberfläche ausgelösten Elektronen richtig zu beschreiben. Demnach hat jede Lichtwelle auch Teilcheneigenschaften. Diese Lichtteilchen werden Photonen genannt. NIELS BOHR (1885–1962) erklärte wenig später mit Hilfe der Quantenhypothese die Farben des von Atomen ausgesandten Lichts. LOUIS DE BROGLIE (1892–1987) hat 1924 den am Licht festgestellten Teilchen-Welle-Dualismus auf alle materiellen Teilchen erweitert. Jedem Teilchen werden Welleneigenschaften zugeordnet und somit über so genannte Materiewellen beschrieben. Im Jahre 1926 fand MAX BORN (1882–1970) eine Erklärung für diejenige Eigenschaft, die in einer Materiewelle ‚schwingt’: Sie ist ein Maß für die Wahrscheinlichkeit, das zu der Welle gehörende Teilchen an einer bestimmten Stelle anzutreffen. ERWIN SCHRÖDINGER (1887–1961) entwickelte ebenfalls 1926 eine Gleichung, mit deren Hilfe das räumliche und zeitliche Verhalten der Materiewellen berechnet werden kann. Diese Schrödinger-Gleichung ist eine der fundamentalen Gleichungen der Physik. Max Planck Er erhielt 1920 den Nobelpreis für seine Arbeiten. Er ist bekannt u.a. durch die Strahlungsuntersuchung von so genannten schwarzen Körpern Spur eines Elektrons, das aus einem Wasserstoffatom herausgeschlagen wurde. Im Magnetfeld legt das Elektron eine gekrümmte Bahn zurück. Elektronen verhalten sich wie Teilchen. Licht bildet ein Interferenzmuster, wenn es z.B. durch einen Spalt fällt. Licht verhält sich also wie eine Welle. Quantenmechanik 2 2. DER FOTOEFFEKT 2.1 BEGRIFFSERKLÄRUNG HEINRICH HERTZ (1857–1894) entdeckte bei Experimenten mit Funkenentladungen zur Erzeugung schneller elektrischer Schwingungen, dass Licht, insbesondere das ultraviolette Licht, einen Einfluss auf die Länge der Funkenstrecke hatte. Dieser Effekt wurde von vielen Wissenschaftlern untersucht, unter anderem von WILHELM HALLWACHS (1859–1922). Hallwachs konnte nachweisen, dass durch ultraviolettes Licht negativ geladene Metallplatten entladen wurden, positiv geladene Metallplatten hingegen ihre Ladung behielten. PHILIPP LENARD (1862–1947) wies nach, dass bei diesem Vorgang Elektronen aus der Platte herausgeschlagen wurden. Obschon der Effekt experimentell geklärt war, stellte die theoretische Beschreibung die Physiker jedoch vor sehr große Probleme. Die durch zahlreiche Versuche untermauerte Theorie der Wellennatur des Lichtes vermochte den lichtelektrischen Effekt allerdings nicht zu beschreiben. Es war Albert Einsteins (1879-1955) großer Verdienst durch das Aufgreifen der Quantenhypothese von Planck den Fotoeffekt vollständig zu beschreiben. Der Fotoeffekt (auch äußerer fotoelektrischer Effekt, oder lichtelektrischer Effekt genannt), bezeichnet das Freisetzen von Elektronen aus einem Metall, wenn dieses von elektromagnetischer Strahlung (etwa sichtbares oder ultraviolettes Licht) getroffen wird. 2.2 GRUNDVERSUCH ZUM FOTOEFFEKT a) Versuchsbeschreibung Zinkplatte Hg-Lampe Glasplatte Elektroskop An einem Elektroskop wird eine frisch abgeschmirgelte Zinkplatte befestigt und negativ geladen. Bestrahlt man diese negativ geladene Zinkplatte mit dem Licht einer Quecksilberhochdrucklampe, so beobachtet man die sofortige Entladung des Elektroskops; es verliert seinen Elektronenüberschuss. Dieser Vorgang wird auch noch beobachtet, wenn die Lichtintensität verringert wird; bei großer Lichtintensität geht es schneller, bei kleiner Lichtintensität langsamer. Absorbiert man den im Licht enthaltenen UV-Anteil, in dem man zum Beispiel eine Glasplatte zwischen Quecksilberdampflampe und Metallplatte stellt, so findet keine Entladung der negativen Zinkplatte statt. Diese Beobachtung ist unabhängig von der Lichtintensität, das heißt auch wenn die Lichtintensität sehr groß ist (z.B. mehrere Lampen) entlädt die Platte sich trotzdem nicht. Folgende Beobachtungen kann man also bei Bestrahlung einer negativ geladenen Zinkplatte mit einer Quecksilberdampflampe machen: infrarotes Licht keine Entladung sichtbares Licht keine Entladung ultraviolettes Licht Entladung ! Quantenmechanik 3 Bei einem bestimmten Material hängt die Entstehung des Fotoeffekts nur von der Frequenz des beleuchtenden Lichtes ab. Gebraucht man das ‚falsche Licht’ so hilft es nichts, wenn man die Lichtintensität vergrößert; die Entladung findet trotzdem nicht statt. Eine positiv geladene Zinkplatte wird durch das Licht der Quecksilberdampflampe nicht entladen; die Elektronen, die aus der Platte gelöst werden, werden wieder zur positiv geladenen Platte zurückgezogen. Licht kann Elektronen aus einer Metallplatte freisetzen. Diese können von der negativ geladenen Platte in die Umgebung freigesetzt werden. Bei einer positiv geladenen Platte können sie diese nicht verlassen. Absorbiert man den im Licht enthaltenen UV-Anteil, so findet keine Entladung der negativen Zinkplatte statt, unabhängig von der Lichtintensität. Nur wenn die Frequenz des Lichtes größer als eine bestimmte Frequenz, auch Grenzfrequenz fG genannt, ist tritt der Photoeffekt ein. Bei Zink liegt diese Frequenz bei etwa 81014 Hz (genaue Werte sind schwierig anzugeben, da der Zustand der Oberfläche einen Einfluss auf die Grenzfrequenz hat). Wie ist das bei anderen Metallen? Belichtet man eine negativ geladene Kalium- oder Lithiumplatte mit Licht ohne UV-Anteil, so findet trotzdem eine Entladung statt Tabelle. Material fG (1014 Hz) Cs 4,7 Rb 5,2 K 5,4 Na 5,5 Li 5,9 Zn 8,0 Cu 10,8 Pt 13,0 λG (nm) 639 582 551 544 504 375 278 231 orange gelb grün grün grün UV UV UV Farbe Bei einer bestimmten Frequenz des Lichtes hängt das Auftreten des Fotoeffekts vom Material der belichteten Platte ab. Die Grenzfrequenz fG bzw. die Grenzwellenlänge λG für die der Fotoeffekt noch stattfindet, ist charakteristisch für jedes Metall. b) Erklärungsversuch durch die Wellentheorie Einige Beobachtungen des Fotoeffekts sind nicht mit der Wellenphysik erklärbar : Experimente zeigen, dass beim Fotoeffekt die ersten Elektronen stets sofort nach Einsetzen der Beleuchtung ausgesandt werden. Die Wellentheorie des Lichtes besagt, dass die Elektronen (in der Platte) durch das elektrische Feld des Lichtes in Schwingungen versetzt werden. Die Amplitude der Schwingung müsste dauernd zunehmen, wenn die Lichtwelle einfällt. Wenn die Elektronen genügend Energie gespeichert haben, können sie das Metall verlassen. Allerdings müsste man unter normalen Bedingungen und bei geringer Lichtintensität sehr lange auf die Auslösung der ersten Elektronen warten: diese Theorie steht also in Widerspruch zu den experimentellen Befunden! Auch zeigen die Versuche, dass die kinetische Energie der beim Fotoeffekt abgelösten Elektronen unabhängig von der Lichtintensität ist: sie hängt nämlich bloß von der Frequenz des Lichtes ab. Nach der Wellentheorie könnte es vorkommen, dass bei sehr großer (kleiner) Lichtintensität viele (wenige) Lichtwellen auf ein Elektron wirken und ihm so sehr viel (sehr wenig) Energie übertragen. Dies wird aber nicht beobachtet. Es ist demnach also nicht möglich, den Photoeffekt durch das Wellenmodell des Lichts zu beschreiben! Um die Widersprüche aus den so unerwarteten experimentellen Ergebnissen bei der Untersuchung des Fotoeffekts zu den bisherigen Vorstellungen vom Licht aufzuheben, ist die Quantenoptik entwickelt worden. Quantenmechanik 4 c) Photonenhypothese Zur Deutung des Fotoeffekts benutzte Albert Einstein die Theorie der Korpuskelnatur des Lichtes (1905), die 5 Jahre früher von Max Planck eingeführt worden war. Sie besagt, dass jede elektromagnetische Strahlung (d.h. auch Licht) aus einzelnen Teilchen, den Photonen oder (Licht)-Quanten, besteht. Die Photonen sind allerdings keine Teilchen im klassischen Sinn: man kann sie auch als eine Art „Energiebündel“ betrachten, deren Energie proportional zur Frequenz des Lichts ist. Die Energie EQ eines Quants also auch eines Photons beträgt also : EQ = h f f h Frequenz mit h = 6,626 10-34 Js [f ] = 1 Hz Plancksches Wirkungsquantum [h] = 1 Js = 1 Ws2 Der Wert der Proportionalitätskonstanten h ist außerordentlich klein, so dass die Quantelung der Lichtenergie für unsere alltäglichen Beobachtungen vernachlässigbare Auswirkungen hat. Erst für die Mikroobjekte bestimmt die Planck-Konstante das Ausmaß der Quanteneffekte und trennt damit unsere Alltagswelt von der Welt der Quanten. Treffen Photonen auf eine Metallplatte, so treten sie in Wechselwirkung mit den Elektronen der Platte. Ein Photon gibt seine Energie hf an ein Elektron ab. Dieses Elektron tritt aus der Platte, wenn die vom Photon übertragene Energie einen für das Material charakteristischen Mindestwert hat. Man nennt Ablösearbeit WA die Mindestarbeit, die benötigt wird, um überhaupt ein Elektron aus dem Metall lösen zu können. Material Cs Rb K Na Li Cu Pt WA (eV) 1,94 2,13 2,25 2,28 2,46 4,48 5,36 Ablösearbeit für verschiedene Metalle Schematische Darstellung des Fotoeffekts Photonen der Energie E = h f treffen auf eine Metalloberfläche. Ist deren Energie größer als die Austrittsarbeit, wird von jedem Photon ein Elektron gelöst. Diese Mindestarbeit entspricht einer Mindestfrequenz (Grenzfrequenz) fG die das Photon besitzen muss, um ein Elektron aus der Platte „herausschlagen“ zu können. Ist die Frequenz f des einfallenden Photons größer als die Grenzfrequenz fG, so wird ein Teil dieser Energie als Ablösearbeit WA gebraucht, der Rest ergibt die kinetische Energie Ekin des abgelösten Elektrons: EQ = WA + Ekin 1 h f W A mv 2 2 Wird die Mindestenergie erreicht, so werden die Elektronen gerade herausgelöst : WA h f G In diesem Fall ist die Frequenz der Photonen gleich der Grenzfrequenz und das Elektron hat keine kinetische Energie, seine Geschwindigkeit ist gleich Null. Quantenmechanik 5 Zusammenfassung Ein Photon kann einem Elektron eine bestimmte Energie erteilen. Von dieser Energie wird ein Teil zum Ablösen des Elektrons verbraucht (Ablösearbeit), der Rest tritt als kinetische Energie des abgelösten Elektrons in Erscheinung EQ = WA + Ekin Die Anzahl der emittierten Elektronen ist proportional zur Zahl der einfallenden Photonen, d.h. also zur Lichtintensität (nicht proportional zur Frequenz f ) ! Die kinetische Energie der Elektronen hängt bloß von der Energie der einfallenden Photonen, d.h. also von ihrer Frequenz f ab, nicht aber von der Lichtintensität ! d) Rechenbeispiel zur Grenzfrequenz Die Kathode einer Fotozelle besteht aus Caesium (WA = 1,96 eV). Im Folgenden fällt nacheinander monochromatisches Licht mit der Wellenlänge λ1 = 410 nm (blaues Licht) und λ2 = 656 nm (rotes Licht) auf die Kathode. Wir wollen untersuchen, ob durch Einwirkung des Lichtes dieser Wellenlängen Elektronen emittiert werden. Grenzfrequenz fG die für das sofortige Einsetzen des Fotoeffekts notwendig ist : WA 1,96 1,602 10 19Ws fG h 6,626 10 34Ws 2 f G 4.7 1014 s 1 Der Fotoeffekt tritt nur bei Licht ein, dessen Frequenz größer ist als 4.71014 Hz. Die Frequenz des eingestrahlten Lichtes beträgt: f1 c 1 3 108 m / s 7,3 1014 Hz 410 nm f2 c 2 3 108 m / s 4,6 1014 Hz 656 nm Das rote Licht (f2 < fG) löst keine Elektronen aus der Kathode heraus. Bei blauem Licht (f1 > fG) werden Elektronen emittiert. Um ein Elektron frei werden zu lassen, bedarf es eines genügend großen Energiequants h·f. Max Planck und Albert Einstein bei der Nobelpreisüberreichung von 1921 ‚Die übliche Auffassung, dass die Energie des Lichtes kontinuierlich über den durchstrahlten Raum verteilt sei, findet bei dem Versuch, die lichtelektrischen Erscheinungen zu erklären, besonders große Schwierigkeiten. Die Beobachtungen sprechen eher dafür, dass Licht Energie in Portionen zur Verfügung stellt.’ ALBERT EINSTEIN (1905) Titelseite der Originalarbeit von Albert Einstein über den fotoelektrischen Effekt, für den er 1921 den Nobelpreis erhielt. Quantenmechanik 6 2.3 U-I-Kennlinie einer Vakuum-Fotozelle Vakuum-Fotozelle Die Fotozelle wird mit Licht gegebener Wellenlänge bzw. Frequenz bestrahlt. Über eine Gegenelektrode, an welcher unterschiedliche Spannungen angelegt werden, kann die Bewegung der aus der Fotoschicht herausgeschlagenen Elektronen beeinflusst werden. Der fließende Fotostrom kann am Amperemeter abgelesen werden. c UIKennlinie einer Vakuum-Fotozelle verschiedene Beleuchtungsstärken. für b a d Trifft Licht ausreichender Energie auf die Fotozelle, so werden sofort mit der Beleuchtung Elektronen aus der Platte freigesetzt. Selbst wenn keine Spannung zwischen Fotoschicht und Gegenelektrode besteht, können einige Elektronen die Gegenelektrode erreichen, es fließt ein kleiner Strom (a). Die Stromstärke hängt von der angelegten Spannung und von der Beleuchtungsstärke ab. Je größer die Beleuchtungsstärke ist, umso mehr Photonen treffen die Fotoschicht und umso mehr Elektronen können bei ausreichender Photonenenergie herausgelöst werden (b). Ist die an der Gegenelektrode anliegende Spannung U positiv, so werden die austretenden Elektronen zur Gegenelektrode hin beschleunigt: sie bilden den „Fotostrom“. Je größer die Spannung, umso mehr Elektronen erreichen die Gegenelektrode. Ab einer bestimmten Spannung erreichen alle die durch die Photonen abgelösten Elektronen die Gegenelektrode. Eine Sättigung ist erreicht, der Fotostrom steigt trotz steigender Spannung nicht mehr an (c). Ist die anliegende Spannung U negativ, so stößt die Gegenelektrode die ausgetretenen Elektronen ab: diese können, auf Grund ihrer kinetischen Energie, bis zu einer gewissen Grenzspannung UG trotzdem aber noch die Gegenelektrode erreichen (d). Jenseits dieser Spannung reicht die kinetische Energie der Elektronen nicht mehr aus, um diese zu erreichen. Quantenmechanik 7 2.4 Bestimmung der Planck-Konstante mit der Gegenfeldmethode Der Versuchsaufbau ist identisch mit der Anordnung zur Aufnahme der U-I-Kennlinie der Vakuum-Fotozelle; die Gegenelektrode besitzt gegenüber der Metallplatte beziehungsweise der Fotoschicht eine negative, regelbare Spannung. Trifft nun Licht der Frequenz f auf die Platte, werden aus ihr Elektronen abgelöst. Diese besitzen gleich nach dem Austritt aus dem Metall eine kinetische Energie von Ekin 1 m v2 . 2 Da diese Elektronen auf ihrem Weg zur Gegenelektrode aber durch die anliegende negative Spannung, die so genannte Bremsspannung U abgebremst werden, erreichen mit steigender negativer Spannung immer weniger Elektronen die Gegenelektrode: der Fotostrom I nimmt ab. Erreicht die Spannung einen negativen Grenzwert UG, so werden gerade alle Elektronen vollständig abgebremst (vElektronen = 0 m/s): der Fotostrom wird Null, da keine Elektronen mehr die Gegenelektrode erreichen. Wenn die Elektronen die Platte verlassen, so verwandeln sie ihre kinetische Energie in elektrische Energie, die über Eel e U berechnet wird. Beim Abbremsen der Elektronen auf die Geschwindigkeit Null gilt : Ekin Eel 1 m v2 e UG 2 Weiterhin gilt nach der Energieerhaltung: h f WA 1 m v2 2 h f WA Ekin Ekin h f WA mit Ekin e U G Wird im Versuch, für zwei verschiedene Metalle, die kinetische Energie der Elektronen über die Bremsspannung ermittelt und in Abhängigkeit von der Frequenz aufgetragen, so erhält man folgendes Schaubild : Die kinetische Energie der Elektronen steigt mit der Frequenz des einfallenden Lichts. Unterhalb der Grenzfrequenz fG wird kein Elektron aus dem Metall abgelöst. Die Grenzfrequenz hängt ihrerseits vom verwendeten Metall ab. Für alle Metalle ergibt die graphische Darstellung der kinetischen Energie der Elektronen als Funktion der Frequenz des einfallenden Lichtes eine Gerade mit der gleichen Steigung h. Die Ablösearbeit WA ist durch den Schnittpunkt dieser Geraden mit der Energie-Achse gegeben. Die Konstante h kann also leicht als die Steigung der Geraden bestimmt werden: es genügt, bei zwei Frequenzen f1 und f2 die jeweiligen Grenzspannungen UG1 und UG2 zu bestimmen: Für ein bestimmtes Material gilt : Ekin e U G h f WA Quantenmechanik 8 Für zwei unterschiedliche Messpunkte gilt: e U G 1 h f1 W A e U G 2 h f 2 WA e (U G 1 U G 2 ) h ( f1 f 2 ) oder: h e (U G 1 U G 2 ) f1 f 2 Das Plancksche Wirkungsquantum beträgt h = 6,626210-34 Js . 2.5 Anwendungen des Fotoeffekts a) Infrarot Bildumwandler Treffen Photonen mit einer Wellenlänge bis 1200 nm auf eine besonders sensibilisierte fotographische Schicht (Ag-O-CsSchicht), so werden aus der Fotokathode Elektronen herausgelöst. In einem Hochvakuum werden sie durch ein elektrisches Feld beschleunigt und durch elektrostatische und magnetische Linsen auf einen Leuchtschirm abgebildet. b) Fotowiderstand oder LDR (light depending resistor) Beim Fotowiderstand wird der innere lichtelektrische Effekt ausgenutzt. Bei diesem Effekt, der hauptsächlich bei Halbleitern auftritt, werden Elektronen aus einem nicht leitenden Valenzband durch Beleuchtung in ein Leitungsband gehoben. Die ausgelösten Elektronen treten nicht aus der Oberfläche aus, sondern bewirken nur eine Erhöhung der Leitfähigkeit des Materials. Fotowiderstände bestehen oft aus einer Cadmiumsulfid-Schicht, diese hat etwa den gleichen Farb-Empfangsbereich wie das Auge oder Fotofilme. Daher verwendet man sie oft als Belichtungsmesser in Kameras c) Fotoelement Neben den normalen Halbleiterdioden, die hauptsächlich in Gleichrichterschaltungen verwendet werden, gibt es spezielle Dioden, bei denen z.B. Licht auf den PN-Übergang einwirken kann. Solche Dioden nennt man Fotodioden. Die Fotodiode ist so konstruiert, dass die Sperrschicht des PN-Übergangs über ein Fenster mit Licht bestrahlt werden kann. Bei Beleuchtung wird die Fotodiode zu einem aktiven Dipol, d. h. zu einer Spannungsquelle. Dabei wird Licht in elektrische Energie umgewandelt. Fotodioden, die ohne äußere Spannungsquelle eingesetzt werden, heißen Fotoelemente. Ihre wichtigste Anwendung ist die Solarzelle; bei ihr sind viele Fotozellen zusammengeschaltet. In Solarzellen wird Sonnenlicht in elektrische Energie umgewandelt. Man verwendet Solarzellen zur Spannungsversorgung in Erdsatelliten und bei Weltraumversuchen. Auch dienen sie zur Energieversorgung von Taschenrechnern und Uhren sowie beim Aufbau ganzer Solarzellenkraftwerke. Quantenmechanik 9 2.6 Impuls der Photonen Die Beziehung E = h f zeigt, dass der Energiefluss in einer Welle gequantelt ist. In dieser Gleichung ist die Energie eines Photons (Teilchenaspekt) mit der Frequenz des Lichtes (Wellenaspekt) verknüpft. Auch der Impuls eines Photons ist mit einer Welleneigenschaft verbunden, wie die folgenden Überlegungen zeigen. Energie und Impuls eines Teilchens mit der Ruhemasse m0 haben wir in der Relativitätstheorie wie folgt berechnet : m0 m0v p mv E c2 m c2 2 v2 v 1 2 1 c c2 Eliminieren wir die dynamische Masse m aus diesen beiden Gleichungen, so ergibt sich : p mv E v c2 Da sich die Photonen mit Lichtgeschwindigkeit bewegen, setzen wir v = c und für die Photonenenergie E = hf. So kann einem Photon der Impuls p E v h f c h f c c2 c2 p h zugeordnet werden. Auch diese Beziehung verknüpft den Impuls eines Photons (Teilchenaspekt) mit der Wellenlänge des Lichtes (Wellenaspekt). Darüber hinaus können wir unsere Vorstellung über Photonen mit Hilfe der Masse-EnergieÄquivalenz E = m c2 insofern erweitern, dass wir rein formal einem Photon die dynamische Masse m E h f 2 c2 c zuordnen. Somit erhält ein Photon Teilcheneigenschaften. Über diese Teilcheneigenschaften ist aber etwas Besonderes zu sagen, was sich aus der relativistischen Formel für die dynamische Masse eines Teilchens ableiten lässt: m m0 1 v2 c2 bzw. m0 m 1 v2 c2 Da sich Photonen mit Lichtgeschwindigkeit bewegen, folglich v = c ist, wird also m0 = 0. Photonen haben keine Ruhemasse, es gibt für sie kein Ruhesystem. Photonen sind kleinste Energiebeträge des Lichtes. Sie haben keine Ruhemasse. Sie bewegen sich immer mit der gleichen Geschwindigkeit, im Vakuum mit der Vakuumlichtgeschwindigkeit c = 300 000 km/s. Die Energie E und der Impuls p der Photonen hängen mit der Frequenz f und somit auch mit der Wellenlänge λ des Lichtes zusammen. Energie des Photons : E m c2 h f Impuls des Photons : p mc h bzw. f m c2 h bzw. h mc Quantenmechanik 10 2.7 Dualismus Welle-Teilchen Die Einsteinsche Hypothese vom Photon, die auf dem Boden der klassischen Physik erfolgte, ist in sich widerspruchsvoll, denn zur Definition des Photons, ausgedrückt durch seine Energie hf, werden die Welleneigenschaften des Lichts benutzt; diese sind also vorausgesetzt. Einsteins provozierende Idee, dem Licht teilchenhafte Eigenschaften zuzuschreiben, war für die zeitgenössischen Physiker eine unannehmbare Vorstellung. Im Hinblick auf die durch die Wellentheorie des Lichtes sehr gut erklärbaren Interferenzerscheinungen überzeugte die bloße Erklärung des lichtelektrischen Effektes durch Einsteins Photonenhypothese keineswegs. PLANCK meinte, da ‚bedürfe es noch eines schwereren Geschützes, um die Wellentheorie ins Wanken zu bringen.’ Es ist daher nicht so, dass die Partikelauffassung des Lichts die Auffassung von der Wellennatur abgelöst hätte; vielmehr stehen beide Bilder gleichberechtigt nebeneinander. Zwar kann man die widersprechenden Eigenschaften nicht gleichzeitig wahrnehmen, die Beobachtung des einen macht die des anderen unmöglich. Derartige Eigenschaften der elementaren Gebilde der Natur bezeichnet man als komplementär. Die Tatsache, dass die Natur in zweierlei Weisen durch unsere Anschauung erfasst wird, heißt Dualismus. Dabei muss dieser Dualismus nicht als entwederoder-Situation sondern als eine sowohl-als-auch-Situation angesehen werden. 2.8 Modellvorstellungen über das Licht Die Erklärung vieler optischer Erscheinungen erfordert eine Einordnung in bestimmte Modellvorstellungen über das Licht (Kapitel Optik). Deshalb wollen wir die Modelle des Lichtes kurz aufzeigen : Das Modell Licht als Teilchenstrahlung wurde von ISAAC NEWTON aufgestellt. Damit lassen sich wesentliche Lichteigenschaften, wie die geradlinige und allseitige Ausbreitung, erfassen. Diese Eigenschaften sind u.a. wesentlich bei der Beschreibung der Bildentstehung an Linsen und Spiegeln. Der Lichtstrahl ist in diesem Modell die Bahn der Teilchen. Das Modell Licht als Welle wurde u.a. von CHRISTIAN HUYGENS aufgestellt und ist die Basis der Wellenoptik. Damit lassen sich andere Lichteigenschaften, wie Beugung und Interferenz, erfassen. Diese Phänomene erlauben eine Wellenlängenbestimmung des Lichts. Der Lichtstrahl ist in diesem Modell die Wellennormale. Das Modell Photon wurde von ALBERT EINSTEIN aufgestellt und ist die Basis der Quantenoptik. Damit lässt sich u.a. der Fotoeffekt erklären. Quantenmechanik 11 3. WELLENEIGENSCHAFTEN DER ELEKTRONEN Im Jahre 1923 stellte der französische Physiker Prinz LOUIS DE BROGLIE in seiner Doktorarbeit eine Hypothese auf, für deren Gültigkeit es zunächst keinerlei experimentelle Hinweise gab. Wenn Licht Wellen- und Teilcheneigenschaften aufweist, dann trifft dies vielleicht auch für Elektronen zu. Verhalten sich diese Teilchen manchmal wie Wellen? DE BROGLIE vermutete, dass der Zusammenhang E h f und p h zwischen den Teilchengrößen E, p und den Wellengrößen f, nicht nur für Photonen, sondern auch für Elektronen und andere Teilchen zutrifft. DE BROGLIE konnte mit seiner Hypothese einige Eigenschaften der Atome erklären und schlug auch einen experimentellen Test vor: Wenn ein Elektronenstrahl eine sehr kleine Öffnung durchquert, so sollten Beugungserscheinungen auftreten. Wie klein müssen diese Öffnungen sein ? Beugungserscheinungen treten auf, wenn der Durchmesser d einer Öffnung etwa von der gleichen Größenordnung wie die Wellenlänge ist, die wir aus E m v 2 m m2 v 2 p2 h2 2 m 2m 2 m 2 m 2 berechnen können. DE-BROGLIE-Wellenlänge Die Wellenlänge, die Elektronen mit der Energie E zugeordnet wird, beträgt h 2m E . Die Hypothese von DE BROGLIE konnte experimentell bestätigt werden. Werden Elektronen durch eine Spannung von einigen Volt beschleunigt, so weisen sie Wellenlängen auf, die mit dem Atomabstand in Kristallen vergleichbar sind. Wie bei Röntgenstrahlen können Kristalle auch hier als Beugungsgitter dienen. Beugungsbild von Elektronen an einer Aluminiumfolie Beugungsbild von Röntgenstrahlen an der gleichen Folie Der erste quantitative Nachweis der Elektronenbeugung gelang am 6. Januar 1927 CLINTON DAVISSON und LESTER GERMER in den Laboratorien der Bell Telephone Company in New York. Sie richteten einen Elektronenstrahl auf einen Nickelkristall (Atomabstand g = 0,215 nm) und beobachteten unter dem Winkel von = 50° ein ausgeprägtes Beugungsmaximum 1. Ordnung, wenn die Beschleunigungsspannung der Elektronen 54 V betrug. Quantenmechanik 12 Wir können aus den Versuchsdaten die Wellenlänge berechnen, die den Elektronen zugeordnet werden kann und sie mit der DE-BROGLIE-Wellenlänge vergleichen : Versuch Beugungsmaxima am Gitter entstehen für k mit k = 0, 1, 2, 3, ... g g sin 0,215 sin 50 0,165 nm k 1 sin DE-BROGLIE-Wellenlänge h 2m E mit E e U h 6,62 10 34 1,67 10 10 m 0,167 nm 31 19 2 m e U 2 9,110 1,6 10 54 Die Welleneigenschaften der Elektronen werden durch die Beugung von Elektronen an Kristallen bestätigt. Wenig später konnte GEORGE THOMSON, der Sohn von JOSEPH THOMSON, diese Ergebnisse bestätigen. CLINTON DAVISSON und GEORGE THOMSON erhielten im Jahre 1937 den Nobelpreis für Physik. Bei der Deutung der Beugungsbilder als Interferenzfigur gehen wir davon aus, dass die Elektronenquelle hinreichend viele Elektronen zur Verfügung stellt. Bei Erniedrigung der Leistung der Elektronenquelle bauen sich die Bilder stochastisch auf. Dies führte MAX BORN im Jahre 1927 zu folgender Deutung des Zusammenhanges zwischen Wellen- und Teilchentheorie. Nach der Teilchentheorie sind die Stellen, bei denen die Anzahl der Elektronen am größten ist die Stellen maximaler Amplituden im Interferenzbild. Es werden die einzelnen Treffer der Elektronen als Maß für die Antreffwahrscheinlichkeit sichtbar. Nach der Wellentheorie ist die Intensität einer Welle proportional zum Quadrat der Amplitude der Wellen. BORN verknüpfte diese beiden Aussagen: Die Wahrscheinlichkeit, Elektronen in einem bestimmten Raumbereich anzutreffen, ist dem Quadrat der Amplitude der Welle (die den Elektronen zugeordnet wird) proportional. Diese Bornsche Deutung der Elektroneninterferenzen begründete die Vorstellung, dass die Elektronen neben dem Teilchencharakter auch einen Wellencharakter haben. Man nannte sie Welle-Teilchen-Dualismus. LOUIS DE BROGLIE (1892 – 1987) erhielt 1929 den Nobelpreis für seine Theorie der Materiewellen. MAX BORN (1882 – 1970) erhielt 1954 für seine statistische Deutung der Quantenmechanik den Nobelpreis. Quantenmechanik 13 4. PHYSIK DER ATOMHÜLLE 4.1 DE BROGLIE-Wellen in der Atomhülle Wir betrachten nun die Elektronen in der Atomhülle. Den Kreisbahnen der Elektronen entsprechen die Nulllinien von Wellen, die um den Atomkern laufen. Besonders ausgezeichnete Zustände ergeben sich, wenn der Umfang der Kreisbahn ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge beträgt. In diesem Fall existieren stehende Wellen auf einem Kreis, deren Schwingungsform sich im Laufe der Zeit nicht verändert. DE BROGLIE vermutete, dass diese stehenden Wellen um den Atomkern die Stabilität des Atoms erklären. Die Amplitude einer stehenden Welle in einem gegebenen Raumpunkt ist zeitlich konstant. Bei stehenden Wellen um den Atomkern ist der Bahnumfang ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge. Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit der Elektronen ist zeitlich konstant. DE BROGLIE trug dazu bei, dass damalige Atomvorstellungen erweitert wurden. Nach der klassischen Theorie des Elektromagnetismus sollten Elektronen auf ihrer Bahn um den Atomkern elektromagnetische Strahlung aussenden und dadurch Energie verlieren. Durch diesen Energieverlust müssten sie allmählich in den Atomkern hineinstürzen und das Atom wäre nicht stabil. Die zeitlich konstante Verteilung der Elektronen nach dem Prinzip der stehenden Wellen im Atom führt nicht zur Abstrahlung elektromagnetischer Wellen. In einem Gas erhalten Atome etwa eine Milliarde Stöße pro Sekunde. Jeder dieser Stöße würde die Elektronen auf stets neue Bahnen bringen und den Radius des Atoms verändern. Die Elektronenverteilung im Atom lässt sich nicht durch kleine Stöße beeinflussen, da stehende Wellen nur bei ganz bestimmten Bahnradien und Energien existieren. Damit ist geklärt, warum sich die Radien der Atome nicht bei jedem Stoß verändern. Stehende Wellen entsprechen den möglichen stabilen Zuständen des Elektrons im Atom. Für diese Zustände gilt: h und n = 1, 2, 3, ... 2 r n , mit p Die Zahlen n nennt man Quantenzahlen. Damit erhalten wir die Quantenbedingung für die stehenden Wellen: r p n h n 2 mr v n h 2 Diese Quantenbedingung war bereits im Jahre 1913 von dem dänischen Physiker NIELS BOHR aufgestellt worden. Er war von der Annahme ausgegangen, dass sich die Elektronen im Atom nur auf Bahnen bewegen dürfen, die der obigen Beziehung genügen. Damit konnte Bohr die Spektrallinien des Wasserstoffes in Übereinstimmung mit den experimentellen Ergebnissen berechnen. Er war aber nicht in der Lage anzugeben, warum sich die Elektronen im Atom nur auf Bahnen bewegen sollten, welche der Quantenbedingung genügen. Erst DE BROGLIE konnte das Bohrsche Atommodell durch die Annahme stehender Wellen auf einem Kreis deuten. Quantenmechanik 14 MERKE : Setzen wir voraus, dass das Elektron mit einer punktförmigen Masse m eine kreisförmige Bewegung mit dem Radius r zurücklegt, so können wir dem Elektron folgenden Bahndrehimpuls zuordnen: L J m r 2 m r v Somit lässt sich die Quantenbedingung für stehende Wellen folgendermaßen hinschreiben: L n mit h 2 4.2 Elektronen im elektrischen Feld Bewegt sich ein Elektron in der Umgebung eines Atomkerns, so wird es abgelenkt. In der Teilchentheorie können wir die Ablenkung des Elektrons mit dem Newtonschen Grundgesetz unter der Annahme, der Atomkern sei beliebig schwer, mit F ma berechnen, wobei F = Fel die elektrische Anziehungskraft (Coulombkraft) zwischen Atomkern und Elektron ist: Fel mit 1 4 0 Q1 Q2 r2 0 = 8,8510-12 CV-1m-1 (elektrische Feldkonstante) (Betrag der Ladung des Elektrons) (Betrag der Ladung des Atomkerns) (Radius der Kreisbahn des Elektrons) Q1 e Q2 Z e r Im Coulombfeld des Atomkerns erfährt das Elektron die Coulombkraft: Fel 1 4 0 Z e2 r2 Zur Lösung des Elektrons vom Kern (Ionisation) ist folgende Arbeit nötig: W Fel dr r r 1 4 0 Z e2 dr r2 1 Z e2 r r 4 0 1 Z e2 W 4 0 r Gegenüber dem ionisierten Zustand, dem die Energie Epot,∞ = 0 zugeordnet ist, hat das vom Wasserstoffkern gebundene Elektron im Abstand r folgende potentielle Energie: E pot E pot, W E pot 1 4 0 Z e2 r Die Gesamtenergie E des Elektrons im elektrischen Feld des Atomkerns ist die Summe der potentiellen Energie und der kinetischen Energie E E kin E pot E 1 1 Z e2 m v2 2 4 0 r Quantenmechanik 15 5. DAS WASSERSTOFFATOM 5.1 Die Bahnradien im Bohrschen Atommodell des Wasserstoffatoms Nach der Bohrschen Atomvorstellung gehen wir davon aus, dass die Elektronenbahnen Kreisbahnen sind. Niels Bohr nahm an, dass die Elektronen sich strahlungsfrei auf diesen Bahnen bewegen (1. Bohrsches Postulat). Zur Berechnung der möglichen Radien der Elektronenbahnen im Wasserstoffatom (Z = 1) liefert die Coulombkraft Fel die benötigte Radialkraft Fr für die Kreisbahn. Es gilt also : Fel FR 1 4 0 e 2 me v 2 r r2 [1] Die Quantenbedingung für stehende Wellen lautet : 2 me r v n h nh v 2 me r [2] Setzen [2] in [1] ein, so ergibt sich : 1 4 0 me h 2 n 2 e2 . r 2 r 4 2 me 2 r 2 Daraus ergeben sich die möglichen Bahnradien rn : rn h2 0 me e 2 n2 wobei der so genannte Bohrsche Radius r1 ( n 1 ) gegeben ist durch: r1 h2 0 0,529 10 10 m 2 me e Dieser Wert gilt für die innerste Elektronenbahn (Grundzustand). Außerdem vermittelt dieser Wert eine Größenvorstellung vom Wasserstoffatom und stimmt gut mit auf anderen Wegen gefundenen Werten überein. Für die weiteren Elektronenbahnen gilt: rn r1 n 2 n rn (10-10 m) 1 0,53 2 2,12 3 4,76 4 8,47 5 13,23 Die Radien der Elektronenbahnen, bei denen stehende Wellen möglich sind, nehmen mit n2 zu. Quantenmechanik 16 5.2 Diskrete Energiezustände im Wasserstoffatom Da sich die Elektronen nur auf Bahnen mit bestimmten Radien rn bewegen, ergeben sich auch nur wenige mögliche Werte der Elektronenenergie En. Diese Energiewerte können wir wie folgt berechnen : 1 1 e2 2 En me vn 2 4 0 rn (Wasserstoffatom: Z = 1) Nach Einsetzen der Quantenbedingung für stehende Wellen vn hn 2 me rn erhalten wir: En h2 n2 8 2 me rn 2 e2 4 0 rn Setzen wir weiterhin die Bahnradien rn h2 0 rn n2 me e 2 ein, so erhalten wir die Energiewerte me e 4 me e 4 En 2 2 8 0 h 2 n 2 4 0 h 2 n 2 En me e 4 8 0 h 2 2 1 n2 Die Energie des Grundzustandes (n =1) beträgt : E1 13,6 eV Für die weiteren Elektronenbahnen gilt : En 13,6 eV 1 n2 Diese Energien En nennt man Energieniveaus oder Energiestufen. Das negative Vorzeichen der Energiewerte bedeutet, dass Energie aufzuwenden ist, um das Elektron aus dem Atom zu entfernen, weil es durch anziehende elektrische Kräfte, Coulombkräfte, an den Atomkern gebunden ist. Die niedrigste Energie, die Nullpunkts- oder Lokalisationsenergie, erhält man für n = 1. Diese bezeichnet man als Grundzustand des Atoms. Er ist der Zustand kleinst möglicher Energie und entspricht der innersten Bahn des Elektrons um den Wasserstoffkern. n 1 2 3 4 5 … Die Energiewerte En sind die Summe der kinetischen und der potentiellen Energie En (eV) -13,60 -3,40 -1,51 -0,85 -0,54 … 0,00 Energiestufen der Elektronen im Wasserstoffatom Quantenmechanik 17 Die Elektronen bewegen sich strahlungsfrei auf Kreisbahnen um den Wasserstoffkern. Es gibt nur bestimmte diskrete Bahnen. Die Coulombkraft zwischen Kern und Elektron stellt die dazu notwendige Radialkraft dar. Die Radien dieser Kreisbahnen sind durch folgende Beziehung bestimmt: rn r1 n 2 r1 heißt Bohrscher Radius und beträgt r1 0,529 1010 m n ist eine Quantenzahl, die die Bahn bestimmt. Die Energien dieser Elektronen sind gequantelt, wobei: 1 n2 E1 ist die Energie des Grundzustandes und beträgt E n E1 E1 13,6 eV . 5.3 Das Wasserstoffspektrum Jede dieser Energiestufen entspricht einer stehenden DE BROGLIE-Welle. Wie gelangt das Elektron von einer Energiestufe zur anderen ? Dazu muss eine Energiemenge aufgenommen oder abgegeben werden, die genau dem Unterschied zwischen den beiden Energiestufen entspricht. Eine mögliche Form dieser Energieänderung (Quantensprung) ist die Emission oder Absorption eines Photons, dessen Energie E = h f den erforderlichen Energieunterschied E>0 zwischen 2 Energieniveaus aufweist: Betrachten wir den Übergang von der Energiestufe der Quantenzahl n zur Energiestufe mit der Quantenzahl m (m > n), so gilt : Em En E E Em En 1 1 E1 2 2 n m 1 1 13,6 eV 2 2 n m 1 1 E 13,6 eV 2 2 m n Atome können also nicht Photonen beliebiger Frequenz absorbieren oder emittieren, sondern nur solche Photonen, deren Energien hf dem Unterschied zwischen den Energiestufen entsprechen mit 1 1 h f E 13,6 eV 2 2 m n Spektrallinien entsprechen den Übergängen zwischen den möglichen Energiestufen im Atom. Quantenmechanik 18 Lyman E (eV) (nm) 1–2 1–3 1–4 10,20 12,09 12,75 121,6 102,6 97,3 Balmer E (eV) (nm) 1,89 2,55 2,86 3,02 3,12 656,4 486,2 434,1 410,3 397,1 2 2 2 2 2 – – – – – 3 4 5 6 7 Paschen E (eV) (nm) 3–4 3–5 3–6 0,66 0,97 1,13 1875,5 1282,0 1094,0 UV-Bereich Sichtbarer Bereich IR-Bereich Betrachten wir zunächst den Grundzustand des Wasserstoffatoms (n= 1). Weil es keine tiefere Energiestufe gibt, kann das Wasserstoffatom in diesem Zustand Energie nur aufnehmen, also Photonen absorbieren. Die Energien dieser Photonen ergeben sich aus den Differenzen zwischen den Energiestufen zu 10,20 eV, 12,09 eV... (LYMAN-Serie). Sie entsprechen Licht im ultravioletten Spektralbereich. Bringt man Wasserstoff in den Strahlengang einer Lichtquelle, die ultraviolettes Licht aussendet, so erhält man ein Absorptionsspektrum, wobei nur Photonen mit den oben berechneten Energien aus dem Licht herausgefiltert werden. Wir wenden uns nun den angeregten Zuständen (n = 2, 3,...) zu. Um die Wasserstoffatome in diese Energiestufen zu bringen, müssen wir Energie zuführen. Das kann z.B. durch Erhitzen des Wasserstoffgases auf einige tausend Kelvin geschehen. Bei diesen hohen Temperaturen stoßen die Wasserstoffatome mit so großen Geschwindigkeiten zusammen, dass die Energie ausreicht, um eines der Elektronen in einen angeregten Zustand zu heben. Der Stoß der beiden Wasserstoffatome verläuft dann unelastisch, denn ihre kinetische Energie wurde zur Anregung des Atoms verbraucht. Die kinetische Energie muss dabei zumindest 10,2 eV sein. Bei geringerer Energie können die Atome nicht angeregt werden. Es gibt nur elastische Stöße. Dies erklärt, warum sich die Atome und Moleküle vieler Gase bei Zimmertemperatur wie kleine Kugeln verhalten, die nur elastische Stöße bekommen. Die Energie der Stöße reicht nicht aus, um die Elektronen in den nächst höheren Zustand zu heben. So verstehen wir auch, warum Atome Milliarden von Stößen pro Sekunde erhalten können, ohne sich dabei im Geringsten abzunutzen. Wechselwirken Atome mit einer Energie, die geringer als die Anregungsenergie ist, so sind nur elastische Stöße möglich. Bei hohen Temperaturen führen die Stöße stets zur Anhebung von Elektronen in angeregte Zustände. Diese Elektronen kehren nach kurzer Zeit in den Grundzustand zurück und geben dabei Energie in Form von Photonen ab. Die Energie dieser Photonen entspricht der Differenz zwischen den Energiestufen des Atoms. Wir erhalten die Spektrallinien eines Emissionsspektrums. Steigert man die Temperatur noch mehr, so reicht die Energie mancher Stöße aus, um ein Elektron völlig von seinem Atom loszulösen. Das Atom wird ionisiert. Das nunmehr freigesetzte Elektron kann jede beliebige Energie annehmen. Es gibt hier keine festen Energiestufen, denn das Elektron ist nicht mehr auf den begrenzten Bereich eines Atoms eingeschränkt. Bei der Ionisation von Atomen kann jede Energie oberhalb einer Mindestenergie absorbiert werden. Wir erhalten ein Quantenmechanik 19 kontinuierliches Absorptionsspektrum. Fangen die Atomkerne die freien Elektronen wieder ein so wird ein kontinuierliches Emissionsspektrum ausgesendet, denn die kinetischen Energien der Elektronen können vor dem Einfang beliebig groß gewesen sein. Für die Ionisationsenergie E des Wasserstoffs ( Übergang vom Grundzustand n = 1 zum völlig losgelösten Zustand m = ) erhalten wir 1 1 E 13,6 eV 2 2 13,6 eV 1 0 13,6 eV m n Sendet ein Wasserstoffatom beim Übergang eines Elektrons vom m-ten auf den n-ten Energiezustand (m > n ) ein Lichtquant aus (Quantensprung), so erhält man als Energiedifferenz 1 1 E Em En 13,6 eV 2 2 n m Die Ionisationsenergie des Wasserstoffs aus dem Grundzustand beträgt E = 13,6 eV. Wie wir gesehen haben, hat das Wasserstoffatom eine ganze Serie von charakteristischen Übergängen. Da sowohl bei Absorption als auch bei Emission die gleichen Übergänge beteiligt sind, sind die beobachteten Wellenlängen der Absorptions- und Emissionslinien identisch. Neben dem Wasserstoff hat jede andere Atom- und Molekülart ihre charakteristischen Übergänge, so dass aus einem gewonnenen Spektrum eindeutig auf die beteiligte Atom- oder Molekülart geschlossen werden kann. Absorptionsspektrum Emissionsspektrum Wird ein kühles Gas von einer Lichtquelle beleuchtet, so sind in dem kontinuierlichen Spektrum der Lichtquelle Absorptionslinien zu erkennen. Diese entsprechen den Anregungsenergien der im Gas enthaltenen Atome und sind charakteristisch für die Atomart. Ein angeregtes Gas aus Atomen sendet Licht bestimmter Frequenzen aus. Die beobachteten Spektrallinien entsprechen den verschiedenen, im Atom möglichen Übergängen. I m Absorptionsspektrum der Sonne Emissionsspektrum von Wasserstoff Im Sonnenspektrum sind neben atmosphärischen Absorptionslinien ebenfalls Absorptionslinien von H, Na, Mg, Ca, Ca+, Ti, Fe und Mn zu erkennen. Quantenmechanik 20 5.4 Grenzen und Leistungen des Bohrschen Atommodells Niels Bohr erkannte, dass eine Beschreibung der Atomhülle allein auf der Grundlage mechanischer und elektrodynamischer Vorstellungen, nicht möglich ist. Die Bohrschen Postulate ergeben ein mathematisch beschreibbares Modell des Wasserstoffatoms mit dessen Hilfe sein Spektrum und das wasserstoffähnlicher Gase beschrieben werden können. Das Modell lieferte erstmals eine Erklärung für die Stabilität eines Atoms und für den energetischen Zusammenhang bei der Emission von Licht mit einfachen atomaren Systemen. Das Bohrsche Atommodell führt nur beim Wasserstoff und wasserstoffähnlichen Systemen zu befriedigenden Ergebnissen. Das Bohrsche Atommodell benutzt eine zu anschauliche Vorstellung von der Gestalt der Atome. In ihm ist die gleichzeitige Angabe von Ort und Impuls eines Elektrons möglich; das widerspricht der Heisenberg’schen Unschärferelation. Weiterhin kann das Bohrsche Atommodell die Intensität verschiedener Spektrallinien nicht richtig erklären. Trotz der Mängel aus heutiger Sicht muss man anerkennen, dass mit den im Bohrschen Atommodell eingebrachten Postulaten erstmals quantenhafte Vorstellungen zur Beschreibung der Atomhülle benutzt wurden. Quantenmechanik 21 6. DER LASER 6.1 Spontane und induzierte Emission von Lichtquanten Atome können durch Stöße von Elektronen hoher Geschwindigkeit oder durch Licht, dessen Wellenlänge dem eigenen Spektrum entspricht, zu einem höheren Energiezustand angeregt werden. Der Anregungszustand der Atome hat in der Regel eine Lebensdauer von 10-8 Sekunden bevor die Atome über die spontane Emission in den Grundzustand übergehen. Es gibt jedoch bei Atomen mit mehreren Elektronen auch Zustände, die über längere Zeit bestehen können. Solche Energiezustände werden als metastabil bezeichnet. Aus diesen Zuständen findet die Energieabgabe durch spontane Emission von Licht nur sehr selten statt. Damit wird es möglich, eine große Anzahl von Atomen in diese Anregungszustände zu bringen und dort zu halten. Ein solch angeregtes Atom kann von einem Lichtquant beeinflusst werden, das von einem anderen, in gleicher Weise angeregten Atom ausgestrahlt wird, und zur Emission gezwungen werden. Ein solcher Vorgang bezeichnet man als induzierte Emission. Die Wellenzüge, die dem einfallenden und dem neu entstehenden Quant zugeordnet sind, schwingen danach in gleicher Phase und verstärken sich. Die induzierte Emission führt zu einer Verstärkung des ausgestrahlten Lichtes. 6.2 Prinzip des Lasers Laser ist die Abkürzung für ‚light amplification by stimulated emission of radiation’ – Lichtverstärkung durch stimulierte Emission von Strahlung. Die Energiequelle hat die Funktion, eine große Anzahl von Atomen des Lasermediums in metastabile Anregungszustände zu bringen. Dieser Vorgang wird als Pumpen bezeichnet. Ein Lichtquant, das bei einer der seltenen spontanen Emissionen entsteht, löst eine Folge von induzierten Emissionen aus. Beim kontinuierlichen Betrieb kommt es zum Gleichgewicht zwischen Energiezufuhr und Energieabgabe. Beim Impulsbetrieb wird die gespeicherte Anregungsenergie in einem Lichtblitz abgegeben. Anschließend muss erneut gepumpt werden. Ein optischer Resonator bewirkt, dass die Verstärkung des Lichtes nur in einer Richtung und nur für ganz bestimmte Wellenlängen erfolgt. Der Resonator besteht im einfachsten Fall aus zwei parallelen Planspiegeln. Dazwischen befinden sich zahlreiche Atome des Lasermediums im angeregten Zustand. Verstärkt werden nur solche Lichtwellen, die senkrecht auf den Spiegel treffen; alle anderen sind für den Laservorgang ohne Bedeutung. Ist nämlich der Abstand der beiden verspiegelten Flächen genau ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge der Laserstrahlung, so kommt es zur Interferenz der einfallenden und der reflektierten Wellen. Es bildet sich eine stehende Welle aus, bei der die Amplituden sich maximal verstärken. Für alle anderen Abstände würden die Wellen sich als Ergebnis vieler Reflexionen durch Interferenz auslöschen. Damit die Laserstrahlung den Resonator verlassen kann, muss einer der beiden Planspiegel teildurchlässig sein. Quantenmechanik 22 6.3 Besondere Merkmale der Laserstrahlung Laserstrahlung hat gegenüber dem Licht herkömmlicher Lichtquellen besondere Merkmale: Kohärenz: Die Wellenzüge können mehrere hundert Kilometer lang sein; über den gesamten Querschnitt eines Laserbündels ist die gleiche Phase der ausgesendeten Wellen erreichbar. Scharfe Bündelung: Der Öffnungswinkel eines Bündels von Laserstrahlung beruht im wesentlichen auf der Beugung an der Austrittsblende. Bei einer kreisförmigen Öffnung mit dem Durchmesser d beträgt das Bogenmaß für den halben Öffnungswinkel : 1,22 d Große Energiekonzentration: Mit Laserblitzen lassen sich für sehr kurze Zeitintervalle Leistungen von mehr als 1012 Watt übertragen. 6.4 Der Helium-Neon-Laser Für diesen Gaslaser wird ein Gemisch von rund zehn Teilen Helium und einem Teil Neon bereitgestellt, bei einem Druck von etwa 1,5 hPa. Mit einer elektrischen Gleichspannung oder auch einem hochfrequenten Wechselfeld wird ähnlich wie bei einer Leuchtstofflampe eine Gasentladung erzeugt. Bei der Gasentladung entstehen durch die Ionisation von Helium- und Neonatomen freie Elektronen. Diese Elektronen können die nicht ionisierten Heliumatome durch Stöße in den Anregungszustand von etwa 25 eV versetzen. Durch spontane Emission eines Teils ihrer Anregungsenergie gelangen diese Heliumatome in den metastabilen Anregungszustand von 20,61 eV. Bei ihren Zusam-menstößen mit den Neonatomen wird diese Anregungsenergie übertragen. Das ist möglich, weil Neonatome auch einen metastabilen Anregungszustand mit nahezu gleicher Energie (20,66 eV) besitzen. Die induzierte Emission führt bei den Neonatomen zu einem tiefer gelegenen Energiezustand (18,70 eV). Daraus folgt für die Wellenlänge der Laserstrahlung: E hc hc E 6,626 10 34 3 108 m 633 nm (20,66 18,70) 1,6 10 19 Das Energieniveau von 18,70 eV muss laufend entleert werden. Dies geschieht zunächst durch den spontanen Übergang der Neonatome auf ein Niveau der Energie von 16 eV. Von hier aus gehen die Neonatome dann in den Grundzustand zurück, und zwar durch Stöße gegen die Gefäßwand, wobei die Atome des Gefäßes die freiwerdende Energie aufnehmen und in Wärme umsetzen. Quantenmechanik 23 7. AUFGABENSAMMLUNG - QUANTENMECHANIK 1. Die Abbildung zeigt eine Fotozelle, die zur Lichtmessung dient (Belichtungsmesser). Licht fällt auf eine Fotokatode und löst Elektronen aus. Die auf positiver Spannung liegende Anode sammelt diese Elektronen. a) Die Fotokatode besteht aus Cs3Sb. Sie spricht auf Licht mit 670 nm an. Wie groß ist die Austrittsarbeit WA der Elektronen bei diesem Katodenmaterial ? b) Blaugrünes Licht ( = 500 nm) fällt auf die Fotokatode. Zeigen Sie, dass der Anodenstrom proportional zur Lichtintensität ist, wenn jedes Photon mit nur einem Elektron wechselwirken kann ! c) Wie groß ist der Anodenstrom, wenn blaugrünes Licht mit 1 Watt Leistung auf die Katode fällt und jedes Photon ein Elektron auslöst ? d) Welchen Anodenstrom ruft violettes Licht ( = 400 nm) mit gleicher Leistung hervor ? ( 1,85 eV; 402,5 mA; 322,0 mA ) 2. Die Katode einer Fotozelle besteht aus Caesium (Austrittsarbeit 1,96 eV). Es fällt nacheinander violettes Licht der Wellenlänge 410 nm und rotes Licht der Wellenlänge 656 nm auf die Katode. Kann durch Einwirkung des Lichtes dieser Wellenlängen Elektronen emittiert werden ? ( violett: ja; rot: nein ) 3. Um aus einer Wolframschicht durch kurzwelliges Licht gerade Elektronen herauszuschlagen, sind 4,57 eV erforderlich. a) Berechne die dazugehörige Grenzwellenlänge ! b) Welche maximale Geschwindigkeit besitzen die ausgelösten Elektronen, wenn die Wellenlänge des einfallenden Lichtes 200 nm beträgt ? c) Welche Gegenspannung ist erforderlich um den Fotostrom vollständig zu unterbinden ? ( 271,9 nm; 7,59105 m/s; 1,64 V ) 4. Eine Vakuumfotozelle wird nacheinander mit grünem Licht der Wellenlänge 546 nm und blauem Licht der Wellenlänge 436 nm bestrahlt. Bei Anwendung der Gegenfeldmethode kommt der Elektronenstrom jeweils bei den Spannungen 0,915 V (grün) und 1,490 V (blau) zum Erliegen. a) Welchen Wert liefern die Messergebnisse für das Plancksche Wirkungsquantum ? b) Berechne die Austrittsarbeit des Kathodenmaterials in eV ! c) Welche Wellenlänge muss das Licht besitzen, das bei Bestrahlung der Katode Elektronen der maximalen Geschwindigkeit 1000 km/s ablöst? ( 6,61910-34 Js; 1,36 eV; 295,4 nm ) 5. Eine 100W-Lampe sendet blaugrünes Licht der Wellenlänge = 500 nm aus. a) Berechnen Sie Energie, Impuls und dynamische Masse der Photonen ! b) Welche Anzahl von Photonen geht pro Sekunde von der Lampe aus, wenn 1% der zugeführten Leistung im sichtbaren Bereich abgestrahlt wird ? c) Nimmt die Masse der Lampe infolge der Aussendung der Photonen ab ? ( 2,48 eV; 10-27 Ns; 1,3310-27 kg; 2,521018 s-1; Nein ) Quantenmechanik 24 6. Ein a) b) c) Scheinwerfer sendet ein paralleles Lichtbündel mit einer Leistung von 100 W aus. Welchen Impuls haben die pro Sekunde ausgesendeten Photonen ? Welche Rückstoßkraft kommt durch die Lichtaussendung zustande ? Das Licht des Scheinwerfers wird durch einen Spiegel reflektiert. Wie groß ist die Kraft, die auf diesen Spiegel wirkt ? ( 3,3310-7 Ns; 3,3310-7 N; 6,6710-7 N ) 7. Ein Elektronenblitzer sendet einen Blitz mit einer Dauer von 10-3 Sekunden aus, der 10 Joule Lichtenergie enthält. Das austretende Licht sei parallel. a) Wie groß ist der Gesamtimpuls der Photonen ? b) Hängt der Gesamtimpuls von der Wellenlänge ab ? c) Mit welcher Geschwindigkeit müsste sich ein Sandkörnchen (m = 1 mg) bewegen, damit es den gleicher Gesamtimpuls hat ? d) Wie groß ist die Rückstoßkraft, die während des Blitzes auf das Blitzgerät wirkt ? ( 3,3310-8 Ns; 0,033 m/s; 3,3310-5 N ) 8. Ein Positron trifft mit der Geschwindigkeit v auf ein ruhendes Elektron. Es kommt zu einer Paar-Zerstrahlung oder Elektron-Positron-Annihilation, bei der zwei Photonen entstehen. Das erste Photon bewegt sich in die Bewegungsrichtung des Positrons, das zweite in die entgegengesetzte Richtung. a) Schreibe den Energie- und den Impulssatz wenn v = 2106 m/s ist. Zeige, dass in diesem Fall die Frequenzen der beiden Photonen fast identisch sind. Berechne dann die Frequenzen und Wellenlängen der Photonen ! b) Schreibe den Energie- und den Impulssatz wenn v = 0,9c ist. Berechne dann auch die Frequenzen und Wellenlängen der Photonen ! 9. Auf jeden Quadratzentimeter einer absolut schwarzen Oberfläche fallen je Sekunde 3,61017 Photonen der Wellenlänge 450 nm. Welchen Druck in µPa, erzeugt diese Strahlung? (5,3 µPa) 10. Berechnen Sie die Wellenlänge der DE BROGLIE Welle für: a) einen Tennisball m = 60 g v = 10 m/s b) ein Geschoss m=1g v = 90 m/s c) ein Proton m = 1,6710-27 kg U = 2,5105 V d) ein Elektron m = 9,110-31 kg U = 250 V U ist die beschleunigende Spannung, die das Proton bzw. das Elektron vom aus durchlaufen muss, um die erforderliche Geschwindigkeit zu erhalten. (Br = 1,110-33 m) (Br = 610-35 m) (Br = 5,710-14 m) (Br = 7,810-11 m) Zustand der Ruhe 11. In einem Fernsehgerät werden Elektronen durch eine Spannung von U = 15 kV beschleunigt. Welche DE BROGLIE Wellenlängen haben diese Elektronen ? (relativistische Berechnung) ( = 10,2 pm) 12. Elektronen, die durch einen Doppelspalt fliegen, erzeugen auf einem Schirm ein Interferenzmuster. Wie ändert sich der Streifenabstand, wenn die beschleunigende Spannung von 50 V auf 5000 V erhöht wird ? (klassische Berechnung) (10-mal kleiner) 13. Ein Elektron bewegt sich mit 85 % der Lichtgeschwindigkeit. a) Welche Beschleunigungsspannung hat das Elektron durchlaufen ? b) Bestimme die DE BROGLIE Wellenlänge und die dazugehörige Frequenz ! (U = 461 kV) (fBr = 2,351020 Hz) Quantenmechanik 25 14. Auch bei Elektronen zeigen sich hinter einem Doppelspalt Interferenzstreifen wie beim Licht. Mit welcher Spannung muss man Elektronen beschleunigen, damit nach Beugung an einem Doppelspalt mit dem Spaltabstand 10 µm, der Ablenkungswinkel 10. Ordnung genau 1,0° beträgt? (U = 5 mV) 15. Ein Elektronenstrahl wird mit einer Anodenspannung von 12 kV beschleunigt. a) Welche Geschwindigkeit und welche Masse erhalten die Elektronen ? b) Wie groß sind Impuls und DE BROGLIE Wellenlänge ? c) Welchen Ablenkungswinkel zeigt das 2. Nebenmaximum beim Durchgang des Elektronenstrahls durch eine Folie, deren Atome im Gitter mit einem Abstand von 310-8 cm angeordnet sind ? (v = 6,34107 m/s, m = 9,3110-31 kg ; p = 5,910-23 Ns, = 11,2 pm; = 4,3°) 16. a) Wie groß sind im Bohrschen Atommodell des Wasserstoffatoms die Bahngeschwindigkeiten im Grundzustand und in den beiden ersten Anregungszuständen ? b) Vergleiche die Bahngeschwindigkeit der Elektronen im Grundzustand mit der Lichtgeschwindigkeit ! (v1 = 0,0073c) c) Wie viele Umläufe je Sekunde macht das Elektron im Grundzustand ? (f1 = 6,61015 Hz) d) Welcher Energiebetrag muss dem Atom zugeführt werden, damit das Elektron von der 4. Bahn auf die nächst höhere Bahn wechselt ? (E = 0,31 eV) 17. Um Wasserstoffatome aus dem Grundzustand in angeregte Zustände zu versetzen, werden sie mit Fremdelektronen bestrahlt, die eine Beschleunigungsspannung von 12,8 V durchlaufen haben. a) Wie viele verschiedene Spektrallinien kann das so angeregte Wasserstoffatom aussenden ? b) Berechne die größte und die kleinste Wellenlänge dieser Spektrallinien ! c) Welche dieser Spektrallinien fallen in den sichtbaren Bereich ? (6 Spektrallinien; MAX = 1,88 m, MIN = 97 nm; 491 nm und 660 nm) 18. Welche Energie ist erforderlich, um ein Elektron des Wasserstoffatoms völlig von seinem Kern zu lösen ? Welche Wellenlänge und Frequenz muss das dazu benötigte Photon besitzen ? (E = 13,6 eV; 91,7 nm, 3,271015 Hz) 19. Ein Atom soll die folgenden Energieniveaus haben : 0,0 eV (n → ∞) ; -3,0 eV (n = 3) ; - 5,0 eV (n = 2) ; - 8,0 eV (n = 1) Atome dieser Art werden mit einem Elektronenstrahl der Energie 11 eV beschossen. a) Welche Energie können die Fremdelektronen aufweisen, die nach der Kollision austreten ? b) Welches sind die möglichen Frequenzen der Photonen, die von den bombardierten Atomen ausgesandt werden ? (0 eV, 1 eV, 2 eV, 3 eV, 5 eV, 6 eV, 8 eV, 11 eV; 4,831014 Hz, 7,251014 Hz, 1,211015 Hz) 20. Das Spektrum eines Wasserstoffatoms wird mit einem Rowland-Gitter mit 570 Strichen je mm abgebildet. In der 2. Ordnung beobachtet man eine Linie der Balmer-Serie unter dem Winkel 33,6°. Von welcher höheren Bahn ist das Elektron auf die 2. Bahn zurückgefallen ? (m = 4) Quantenmechanik 26
