QUANTENMECHANIK

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QUANTENMECHANIK
1.
EINFÜHRUNG
Gegen Ende des 19. Jahrhunderts galten die Newtonsche Mechanik und die Maxwellsche Theorie
des Elektromagnetismus als die unverrückbaren Eckpfeiler des Gebäudes der klassischen Physik.
Aufgrund der großen Erfolge dieser Theorien glaubten manche Physiker, dass keine weiteren
größeren Entdeckungen in der Physik zu machen wären.
Doch einige experimentelle Hinweise zeigten auf, dass diese Theorien nicht alles erklären konnten.
So bereiteten unter anderem die Stabilität der Atome und die Emission von Linienspektren der
klassischen Physik sehr große Probleme (siehe Kapitel: Wasserstoffatom). Auch die experimentell
bestimmte Wärmestrahlungsleistung von glühenden Körpern in Abhängigkeit von der Frequenz
konnte theoretisch nicht beschrieben werden. MAX PLANCK (1859–1947) fand im Jahre 1900 durch
die Verwendung der statistischen Physik die gesuchte allgemeine Strahlungsformel eines so
genannten ‚schwarzen Körpers’. Bei dieser Vorgehensweise war Planck allerdings darauf
angewiesen anzunehmen, dass die atomaren Teilchen die Energie nicht kontinuierlich, sondern in
Energieportionen, so genannte Energiequanten, aufnehmen oder abgeben. Jedes Energiequant
entspricht der Größe hf.
Diese neuartige Entdeckung wurde unter anderem durch die Arbeiten von ALBERT EINSTEIN
(1879-1955) zum fotoelektrischen Effekt untermauert. Im Jahre 1905 gelang es ihm, mit derselben
Quantenhypothese die Energieverteilung der durch Licht an einer Metalloberfläche ausgelösten
Elektronen richtig zu beschreiben. Demnach hat jede Lichtwelle auch Teilcheneigenschaften. Diese
Lichtteilchen werden Photonen genannt.
NIELS BOHR (1885–1962) erklärte wenig später mit Hilfe der Quantenhypothese die Farben des
von Atomen ausgesandten Lichts. LOUIS DE BROGLIE (1892–1987) hat 1924 den am Licht festgestellten Teilchen-Welle-Dualismus auf alle materiellen Teilchen erweitert. Jedem Teilchen werden
Welleneigenschaften zugeordnet und somit über so genannte Materiewellen beschrieben. Im
Jahre 1926 fand MAX BORN (1882–1970) eine Erklärung für diejenige Eigenschaft, die in einer
Materiewelle ‚schwingt’: Sie ist ein Maß für die Wahrscheinlichkeit, das zu der Welle gehörende
Teilchen an einer bestimmten Stelle anzutreffen. ERWIN SCHRÖDINGER (1887–1961) entwickelte
ebenfalls 1926 eine Gleichung, mit deren Hilfe das räumliche und zeitliche Verhalten der
Materiewellen berechnet werden kann. Diese Schrödinger-Gleichung ist eine der fundamentalen Gleichungen der Physik.
Max Planck
Er erhielt 1920 den Nobelpreis für seine Arbeiten. Er
ist bekannt u.a. durch die
Strahlungsuntersuchung von
so genannten schwarzen
Körpern
Spur eines Elektrons, das
aus einem Wasserstoffatom
herausgeschlagen wurde. Im
Magnetfeld legt das Elektron
eine
gekrümmte
Bahn
zurück. Elektronen verhalten
sich wie Teilchen.
Licht bildet ein Interferenzmuster, wenn es z.B. durch einen
Spalt fällt. Licht verhält sich also
wie eine Welle.
Quantenmechanik 2
2.
DER FOTOEFFEKT
2.1 BEGRIFFSERKLÄRUNG
HEINRICH HERTZ (1857–1894) entdeckte bei Experimenten mit Funkenentladungen zur Erzeugung
schneller elektrischer Schwingungen, dass Licht, insbesondere das ultraviolette Licht, einen
Einfluss auf die Länge der Funkenstrecke hatte. Dieser Effekt wurde von vielen Wissenschaftlern
untersucht, unter anderem von WILHELM HALLWACHS (1859–1922). Hallwachs konnte nachweisen,
dass durch ultraviolettes Licht negativ geladene Metallplatten entladen wurden, positiv geladene
Metallplatten hingegen ihre Ladung behielten. PHILIPP LENARD (1862–1947) wies nach, dass bei
diesem Vorgang Elektronen aus der Platte herausgeschlagen wurden. Obschon der Effekt
experimentell geklärt war, stellte die theoretische Beschreibung die Physiker jedoch vor sehr große
Probleme. Die durch zahlreiche Versuche untermauerte Theorie der Wellennatur des Lichtes
vermochte den lichtelektrischen Effekt allerdings nicht zu beschreiben. Es war Albert Einsteins
(1879-1955) großer Verdienst durch das Aufgreifen der Quantenhypothese von Planck den
Fotoeffekt vollständig zu beschreiben.
Der Fotoeffekt (auch äußerer fotoelektrischer Effekt, oder lichtelektrischer Effekt genannt),
bezeichnet das Freisetzen von Elektronen aus einem Metall, wenn dieses von elektromagnetischer Strahlung (etwa sichtbares oder ultraviolettes Licht) getroffen wird.
2.2 GRUNDVERSUCH ZUM FOTOEFFEKT
a)
Versuchsbeschreibung
Zinkplatte
Hg-Lampe
Glasplatte
Elektroskop

An einem Elektroskop wird eine frisch abgeschmirgelte Zinkplatte befestigt und negativ
geladen. Bestrahlt man diese negativ geladene Zinkplatte mit dem Licht einer
Quecksilberhochdrucklampe, so beobachtet man die sofortige Entladung des
Elektroskops; es verliert seinen Elektronenüberschuss. Dieser Vorgang wird auch noch
beobachtet, wenn die Lichtintensität verringert wird; bei großer Lichtintensität geht es
schneller, bei kleiner Lichtintensität langsamer.

Absorbiert man den im Licht enthaltenen UV-Anteil, in dem man zum Beispiel eine
Glasplatte zwischen Quecksilberdampflampe und Metallplatte stellt, so findet keine
Entladung der negativen Zinkplatte statt. Diese Beobachtung ist unabhängig von der
Lichtintensität, das heißt auch wenn die Lichtintensität sehr groß ist (z.B. mehrere
Lampen) entlädt die Platte sich trotzdem nicht.
Folgende Beobachtungen kann man also bei Bestrahlung einer negativ geladenen
Zinkplatte mit einer Quecksilberdampflampe machen:
infrarotes Licht  keine Entladung
sichtbares Licht  keine Entladung
ultraviolettes Licht  Entladung !
Quantenmechanik 3
Bei einem bestimmten Material hängt die Entstehung des Fotoeffekts nur von der
Frequenz des beleuchtenden Lichtes ab.
Gebraucht man das ‚falsche Licht’ so hilft es nichts, wenn man die Lichtintensität
vergrößert; die Entladung findet trotzdem nicht statt.

Eine positiv geladene Zinkplatte wird durch das Licht der Quecksilberdampflampe nicht
entladen; die Elektronen, die aus der Platte gelöst werden, werden wieder zur positiv
geladenen Platte zurückgezogen. Licht kann Elektronen aus einer Metallplatte freisetzen.
Diese können von der negativ geladenen Platte in die Umgebung freigesetzt werden. Bei
einer positiv geladenen Platte können sie diese nicht verlassen.

Absorbiert man den im Licht enthaltenen UV-Anteil, so findet keine Entladung der
negativen Zinkplatte statt, unabhängig von der Lichtintensität. Nur wenn die Frequenz des
Lichtes größer als eine bestimmte Frequenz, auch Grenzfrequenz fG genannt, ist tritt der
Photoeffekt ein. Bei Zink liegt diese Frequenz bei etwa 81014 Hz (genaue Werte sind
schwierig anzugeben, da der Zustand der Oberfläche einen Einfluss auf die Grenzfrequenz
hat). Wie ist das bei anderen Metallen? Belichtet man eine negativ geladene Kalium- oder
Lithiumplatte mit Licht ohne UV-Anteil, so findet trotzdem eine Entladung statt  Tabelle.
Material
fG (1014 Hz)
Cs
4,7
Rb
5,2
K
5,4
Na
5,5
Li
5,9
Zn
8,0
Cu
10,8
Pt
13,0
λG (nm)
639
582
551
544
504
375
278
231
orange
gelb
grün
grün
grün
UV
UV
UV
Farbe
Bei einer bestimmten Frequenz des Lichtes hängt das Auftreten des Fotoeffekts vom
Material der belichteten Platte ab.
Die Grenzfrequenz fG bzw. die Grenzwellenlänge λG für die der Fotoeffekt noch stattfindet, ist charakteristisch für jedes Metall.
b)
Erklärungsversuch durch die Wellentheorie
Einige Beobachtungen des Fotoeffekts sind nicht mit der Wellenphysik erklärbar :
 Experimente zeigen, dass beim Fotoeffekt die ersten Elektronen stets sofort nach
Einsetzen der Beleuchtung ausgesandt werden. Die Wellentheorie des Lichtes besagt,
dass die Elektronen (in der Platte) durch das elektrische Feld des Lichtes in
Schwingungen versetzt werden. Die Amplitude der Schwingung müsste dauernd
zunehmen, wenn die Lichtwelle einfällt. Wenn die Elektronen genügend Energie
gespeichert haben, können sie das Metall verlassen. Allerdings müsste man unter
normalen Bedingungen und bei geringer Lichtintensität sehr lange auf die Auslösung der
ersten Elektronen warten: diese Theorie steht also in Widerspruch zu den experimentellen
Befunden!
 Auch zeigen die Versuche, dass die kinetische Energie der beim Fotoeffekt abgelösten
Elektronen unabhängig von der Lichtintensität ist: sie hängt nämlich bloß von der
Frequenz des Lichtes ab. Nach der Wellentheorie könnte es vorkommen, dass bei sehr
großer (kleiner) Lichtintensität viele (wenige) Lichtwellen auf ein Elektron wirken und ihm
so sehr viel (sehr wenig) Energie übertragen. Dies wird aber nicht beobachtet.
Es ist demnach also nicht möglich, den Photoeffekt durch das Wellenmodell des Lichts zu
beschreiben! Um die Widersprüche aus den so unerwarteten experimentellen Ergebnissen bei
der Untersuchung des Fotoeffekts zu den bisherigen Vorstellungen vom Licht aufzuheben, ist
die Quantenoptik entwickelt worden.
Quantenmechanik 4
c)
Photonenhypothese
Zur Deutung des Fotoeffekts benutzte Albert Einstein die Theorie der Korpuskelnatur des
Lichtes (1905), die 5 Jahre früher von Max Planck eingeführt worden war. Sie besagt, dass
jede elektromagnetische Strahlung (d.h. auch Licht) aus einzelnen Teilchen, den Photonen
oder (Licht)-Quanten, besteht. Die Photonen sind allerdings keine Teilchen im klassischen
Sinn: man kann sie auch als eine Art „Energiebündel“ betrachten, deren Energie proportional
zur Frequenz des Lichts ist.
Die Energie EQ eines Quants also auch eines Photons beträgt also :
EQ = h  f
f
h
Frequenz
mit
h = 6,626  10-34 Js
[f ] = 1 Hz
Plancksches Wirkungsquantum [h] = 1 Js = 1 Ws2
Der Wert der Proportionalitätskonstanten h ist außerordentlich klein, so dass die Quantelung
der Lichtenergie für unsere alltäglichen Beobachtungen vernachlässigbare Auswirkungen hat.
Erst für die Mikroobjekte bestimmt die Planck-Konstante das Ausmaß der Quanteneffekte und
trennt damit unsere Alltagswelt von der Welt der Quanten.
Treffen Photonen auf eine Metallplatte, so treten sie in Wechselwirkung mit den Elektronen
der Platte. Ein Photon gibt seine Energie hf an ein Elektron ab. Dieses Elektron tritt aus der
Platte, wenn die vom Photon übertragene Energie einen für das Material charakteristischen
Mindestwert hat. Man nennt Ablösearbeit WA die Mindestarbeit, die benötigt wird, um
überhaupt ein Elektron aus dem Metall lösen zu können.
Material
Cs
Rb
K
Na
Li
Cu
Pt
WA (eV)
1,94
2,13
2,25
2,28
2,46
4,48
5,36
Ablösearbeit für verschiedene Metalle
Schematische Darstellung des Fotoeffekts
Photonen der Energie E = h f treffen auf eine
Metalloberfläche. Ist deren Energie größer als die
Austrittsarbeit, wird von jedem Photon ein Elektron gelöst.
Diese Mindestarbeit entspricht einer Mindestfrequenz (Grenzfrequenz) fG die das Photon
besitzen muss, um ein Elektron aus der Platte „herausschlagen“ zu können. Ist die Frequenz f
des einfallenden Photons größer als die Grenzfrequenz fG, so wird ein Teil dieser Energie als
Ablösearbeit WA gebraucht, der Rest ergibt die kinetische Energie Ekin des abgelösten
Elektrons:
EQ = WA + Ekin
1
h  f  W A  mv 2
2
Wird die Mindestenergie erreicht, so werden die Elektronen gerade herausgelöst :
WA  h  f G
In diesem Fall ist die Frequenz der Photonen gleich der Grenzfrequenz und das Elektron hat
keine kinetische Energie, seine Geschwindigkeit ist gleich Null.
Quantenmechanik 5
Zusammenfassung
 Ein Photon kann einem Elektron eine bestimmte Energie erteilen. Von dieser Energie
wird ein Teil zum Ablösen des Elektrons verbraucht (Ablösearbeit), der Rest tritt als
kinetische Energie des abgelösten Elektrons in Erscheinung
EQ = WA + Ekin
 Die Anzahl der emittierten Elektronen ist proportional zur Zahl der einfallenden
Photonen, d.h. also zur Lichtintensität (nicht proportional zur Frequenz f ) !
 Die kinetische Energie der Elektronen hängt bloß von der Energie der einfallenden
Photonen, d.h. also von ihrer Frequenz f ab, nicht aber von der Lichtintensität !
d)
Rechenbeispiel zur Grenzfrequenz
Die Kathode einer Fotozelle besteht aus Caesium (WA = 1,96 eV). Im Folgenden fällt
nacheinander monochromatisches Licht mit der Wellenlänge λ1 = 410 nm (blaues Licht) und
λ2 = 656 nm (rotes Licht) auf die Kathode. Wir wollen untersuchen, ob durch Einwirkung des
Lichtes dieser Wellenlängen Elektronen emittiert werden.
Grenzfrequenz fG die für das sofortige Einsetzen des Fotoeffekts notwendig ist :
WA 1,96 1,602 10 19Ws
fG 

h
6,626 10 34Ws 2
f G  4.7  1014 s 1
Der Fotoeffekt tritt nur bei Licht ein, dessen Frequenz größer ist als 4.71014 Hz. Die Frequenz
des eingestrahlten Lichtes beträgt:
f1 
c
1

3 108 m / s
 7,3 1014 Hz
410 nm
f2 
c
2

3 108 m / s
 4,6 1014 Hz
656 nm
Das rote Licht (f2 < fG) löst keine Elektronen aus der Kathode heraus. Bei blauem Licht
(f1 > fG) werden Elektronen emittiert. Um ein Elektron frei werden zu lassen, bedarf es eines
genügend großen Energiequants h·f.
Max Planck und Albert Einstein bei der
Nobelpreisüberreichung von 1921
‚Die übliche Auffassung, dass die Energie des Lichtes kontinuierlich über
den durchstrahlten Raum verteilt sei, findet bei dem Versuch, die lichtelektrischen Erscheinungen zu erklären, besonders große Schwierigkeiten.
Die Beobachtungen sprechen eher dafür, dass Licht Energie in Portionen
zur Verfügung stellt.’
ALBERT EINSTEIN (1905)
Titelseite der Originalarbeit von Albert Einstein
über den fotoelektrischen Effekt, für den er
1921 den Nobelpreis erhielt.
Quantenmechanik 6
2.3 U-I-Kennlinie einer Vakuum-Fotozelle
Vakuum-Fotozelle
Die Fotozelle wird mit Licht gegebener Wellenlänge bzw.
Frequenz bestrahlt. Über eine Gegenelektrode, an welcher
unterschiedliche Spannungen angelegt werden, kann die
Bewegung der aus der Fotoschicht herausgeschlagenen
Elektronen beeinflusst werden. Der fließende Fotostrom kann
am Amperemeter abgelesen werden.
c
UIKennlinie einer Vakuum-Fotozelle
verschiedene Beleuchtungsstärken.
für
b
a
d
Trifft Licht ausreichender Energie auf die Fotozelle, so werden sofort mit der Beleuchtung
Elektronen aus der Platte freigesetzt. Selbst wenn keine Spannung zwischen Fotoschicht und
Gegenelektrode besteht, können einige Elektronen die Gegenelektrode erreichen, es fließt ein
kleiner Strom (a). Die Stromstärke hängt von der angelegten Spannung und von der
Beleuchtungsstärke ab. Je größer die Beleuchtungsstärke ist, umso mehr Photonen treffen die
Fotoschicht und umso mehr Elektronen können bei ausreichender Photonenenergie herausgelöst
werden (b).
Ist die an der Gegenelektrode anliegende Spannung U positiv, so
werden die austretenden Elektronen zur Gegenelektrode hin
beschleunigt: sie bilden den „Fotostrom“. Je größer die Spannung, umso
mehr Elektronen erreichen die Gegenelektrode. Ab einer bestimmten
Spannung erreichen alle die durch die Photonen abgelösten Elektronen
die Gegenelektrode. Eine Sättigung ist erreicht, der Fotostrom steigt
trotz steigender Spannung nicht mehr an (c).
Ist die anliegende Spannung U negativ, so stößt die Gegenelektrode
die ausgetretenen Elektronen ab: diese können, auf Grund ihrer
kinetischen Energie, bis zu einer gewissen Grenzspannung UG
trotzdem aber noch die Gegenelektrode erreichen (d). Jenseits dieser
Spannung reicht die kinetische Energie der Elektronen nicht mehr aus,
um diese zu erreichen.
Quantenmechanik 7
2.4 Bestimmung der Planck-Konstante mit der Gegenfeldmethode
Der Versuchsaufbau ist identisch mit der Anordnung zur Aufnahme der U-I-Kennlinie der
Vakuum-Fotozelle; die Gegenelektrode besitzt gegenüber der Metallplatte beziehungsweise der
Fotoschicht eine negative, regelbare Spannung. Trifft nun Licht der Frequenz f auf die Platte,
werden aus ihr Elektronen abgelöst. Diese besitzen gleich nach dem Austritt aus dem Metall eine
kinetische Energie von
Ekin 
1
m  v2 .
2
Da diese Elektronen auf ihrem Weg zur Gegenelektrode aber durch die anliegende negative
Spannung, die so genannte Bremsspannung U abgebremst werden, erreichen mit steigender
negativer Spannung immer weniger Elektronen die Gegenelektrode: der Fotostrom I nimmt ab.
Erreicht die Spannung einen negativen Grenzwert UG, so werden gerade alle Elektronen
vollständig abgebremst (vElektronen = 0 m/s): der Fotostrom wird Null, da keine Elektronen mehr die
Gegenelektrode erreichen.
Wenn die Elektronen die Platte verlassen, so verwandeln sie ihre kinetische Energie in elektrische
Energie, die über
Eel  e U
berechnet wird. Beim Abbremsen der Elektronen auf die Geschwindigkeit Null gilt :
Ekin  Eel
1
m  v2  e UG
2
Weiterhin gilt nach der Energieerhaltung:
h  f  WA 
1
m  v2
2
h  f  WA  Ekin
Ekin  h  f  WA
mit
Ekin  e U G
Wird im Versuch, für zwei verschiedene Metalle, die kinetische Energie der Elektronen über die
Bremsspannung ermittelt und in Abhängigkeit von der Frequenz aufgetragen, so erhält man
folgendes Schaubild :
Die kinetische Energie der Elektronen steigt mit der
Frequenz des einfallenden Lichts. Unterhalb der
Grenzfrequenz fG wird kein Elektron aus dem Metall
abgelöst. Die Grenzfrequenz hängt ihrerseits vom
verwendeten Metall ab.
Für alle Metalle ergibt die graphische Darstellung der
kinetischen Energie der Elektronen als Funktion der
Frequenz des einfallenden Lichtes eine Gerade mit der
gleichen Steigung h. Die Ablösearbeit WA ist durch den
Schnittpunkt dieser Geraden mit der Energie-Achse
gegeben.
Die Konstante h kann also leicht als die Steigung der Geraden bestimmt werden: es genügt, bei
zwei Frequenzen f1 und f2 die jeweiligen Grenzspannungen UG1 und UG2 zu bestimmen:
Für ein bestimmtes Material gilt :
Ekin  e U G  h  f  WA
Quantenmechanik 8
Für zwei unterschiedliche Messpunkte gilt:
e  U G 1  h  f1  W A
e U G 2  h  f 2  WA
e  (U G 1  U G 2 )  h  ( f1  f 2 )
oder:
h
e  (U G 1  U G 2 )
f1  f 2
Das Plancksche Wirkungsquantum beträgt h = 6,626210-34 Js .
2.5 Anwendungen des Fotoeffekts
a)
Infrarot Bildumwandler
Treffen Photonen mit einer Wellenlänge bis 1200 nm auf eine
besonders sensibilisierte fotographische Schicht (Ag-O-CsSchicht), so werden aus der Fotokathode Elektronen
herausgelöst. In einem Hochvakuum werden sie durch ein
elektrisches Feld beschleunigt und durch elektrostatische und
magnetische Linsen auf einen Leuchtschirm abgebildet.
b)
Fotowiderstand oder LDR (light depending resistor)
Beim Fotowiderstand wird der innere lichtelektrische Effekt ausgenutzt. Bei diesem
Effekt, der hauptsächlich bei Halbleitern auftritt, werden Elektronen aus einem
nicht leitenden Valenzband durch Beleuchtung in ein Leitungsband gehoben. Die
ausgelösten Elektronen treten nicht aus der Oberfläche aus, sondern bewirken nur
eine Erhöhung der Leitfähigkeit des Materials. Fotowiderstände bestehen oft aus
einer Cadmiumsulfid-Schicht, diese hat etwa den gleichen Farb-Empfangsbereich
wie das Auge oder Fotofilme. Daher verwendet man sie oft als Belichtungsmesser
in Kameras
c)
Fotoelement
Neben den normalen Halbleiterdioden, die hauptsächlich in Gleichrichterschaltungen
verwendet werden, gibt es spezielle Dioden, bei denen z.B. Licht auf den PN-Übergang
einwirken kann. Solche Dioden nennt man Fotodioden.
Die Fotodiode ist so konstruiert, dass die Sperrschicht des PN-Übergangs über ein Fenster mit
Licht bestrahlt werden kann. Bei Beleuchtung wird die Fotodiode zu einem aktiven Dipol, d. h.
zu einer Spannungsquelle. Dabei wird Licht in elektrische Energie umgewandelt.
Fotodioden, die ohne äußere Spannungsquelle eingesetzt werden, heißen Fotoelemente.
Ihre wichtigste Anwendung ist die Solarzelle; bei ihr sind viele Fotozellen zusammengeschaltet. In Solarzellen wird Sonnenlicht in elektrische Energie umgewandelt. Man
verwendet Solarzellen zur Spannungsversorgung in Erdsatelliten und bei Weltraumversuchen.
Auch dienen sie zur Energieversorgung von Taschenrechnern und Uhren sowie beim Aufbau
ganzer Solarzellenkraftwerke.
Quantenmechanik 9
2.6 Impuls der Photonen
Die Beziehung E = h f zeigt, dass der Energiefluss in einer Welle gequantelt ist. In dieser Gleichung ist die Energie eines Photons (Teilchenaspekt) mit der Frequenz des Lichtes (Wellenaspekt)
verknüpft. Auch der Impuls eines Photons ist mit einer Welleneigenschaft verbunden, wie die
folgenden Überlegungen zeigen.
Energie und Impuls eines Teilchens mit der Ruhemasse m0 haben wir in der Relativitätstheorie
wie folgt berechnet :
m0
m0v
p
 mv
E
 c2  m  c2
2
v2
v
1 2
1
c
c2
Eliminieren wir die dynamische Masse m aus diesen beiden Gleichungen, so ergibt sich :
p  mv 
E v
c2
Da sich die Photonen mit Lichtgeschwindigkeit bewegen, setzen wir v = c und für die Photonenenergie E = hf. So kann einem Photon der Impuls
p
E v h f c h f


c
c2
c2
p
h

zugeordnet werden.
Auch diese Beziehung verknüpft den Impuls eines Photons (Teilchenaspekt) mit der Wellenlänge
des Lichtes (Wellenaspekt).
Darüber hinaus können wir unsere Vorstellung über Photonen mit Hilfe der Masse-EnergieÄquivalenz E = m  c2 insofern erweitern, dass wir rein formal einem Photon die dynamische Masse
m
E h f
 2
c2
c
zuordnen. Somit erhält ein Photon Teilcheneigenschaften.
Über diese Teilcheneigenschaften ist aber etwas Besonderes zu sagen, was sich aus der
relativistischen Formel für die dynamische Masse eines Teilchens ableiten lässt:
m
m0
1
v2
c2
bzw.
m0  m  1 
v2
c2
Da sich Photonen mit Lichtgeschwindigkeit bewegen, folglich v = c ist, wird also m0 = 0. Photonen
haben keine Ruhemasse, es gibt für sie kein Ruhesystem.
Photonen sind kleinste Energiebeträge des Lichtes. Sie haben keine Ruhemasse. Sie bewegen
sich immer mit der gleichen Geschwindigkeit, im Vakuum mit der Vakuumlichtgeschwindigkeit
c = 300 000 km/s. Die Energie E und der Impuls p der Photonen hängen mit der Frequenz f
und somit auch mit der Wellenlänge λ des Lichtes zusammen.
Energie des Photons :
E  m  c2  h  f
Impuls des Photons :
p  mc 
h

bzw.
f 
m  c2
h
bzw.

h
mc
Quantenmechanik 10
2.7 Dualismus Welle-Teilchen
Die Einsteinsche Hypothese vom Photon, die auf dem Boden der klassischen Physik erfolgte, ist in
sich widerspruchsvoll, denn zur Definition des Photons, ausgedrückt durch seine Energie hf,
werden die Welleneigenschaften des Lichts benutzt; diese sind also vorausgesetzt. Einsteins
provozierende Idee, dem Licht teilchenhafte Eigenschaften zuzuschreiben, war für die
zeitgenössischen Physiker eine unannehmbare Vorstellung. Im Hinblick auf die durch die
Wellentheorie des Lichtes sehr gut erklärbaren Interferenzerscheinungen überzeugte die bloße
Erklärung des lichtelektrischen Effektes durch Einsteins Photonenhypothese keineswegs. PLANCK
meinte, da ‚bedürfe es noch eines schwereren Geschützes, um die Wellentheorie ins Wanken zu
bringen.’
Es ist daher nicht so, dass die Partikelauffassung des Lichts die Auffassung von der Wellennatur
abgelöst hätte; vielmehr stehen beide Bilder gleichberechtigt nebeneinander. Zwar kann man die
widersprechenden Eigenschaften nicht gleichzeitig wahrnehmen, die Beobachtung des einen macht
die des anderen unmöglich. Derartige Eigenschaften der elementaren Gebilde der Natur bezeichnet
man als komplementär. Die Tatsache, dass die Natur in zweierlei Weisen durch unsere
Anschauung erfasst wird, heißt Dualismus. Dabei muss dieser Dualismus nicht als entwederoder-Situation sondern als eine sowohl-als-auch-Situation angesehen werden.
2.8 Modellvorstellungen über das Licht
Die Erklärung vieler optischer Erscheinungen erfordert eine Einordnung in bestimmte
Modellvorstellungen über das Licht (Kapitel Optik). Deshalb wollen wir die Modelle des Lichtes kurz
aufzeigen :
Das Modell Licht als Teilchenstrahlung wurde von ISAAC NEWTON aufgestellt. Damit lassen sich
wesentliche Lichteigenschaften, wie die geradlinige und allseitige Ausbreitung, erfassen. Diese
Eigenschaften sind u.a. wesentlich bei der Beschreibung der Bildentstehung an Linsen und
Spiegeln. Der Lichtstrahl ist in diesem Modell die Bahn der Teilchen.
Das Modell Licht als Welle wurde u.a. von CHRISTIAN HUYGENS aufgestellt und ist die Basis der
Wellenoptik. Damit lassen sich andere Lichteigenschaften, wie Beugung und Interferenz, erfassen.
Diese Phänomene erlauben eine Wellenlängenbestimmung des Lichts. Der Lichtstrahl ist in diesem
Modell die Wellennormale.
Das Modell Photon wurde von ALBERT EINSTEIN aufgestellt und ist die Basis der Quantenoptik.
Damit lässt sich u.a. der Fotoeffekt erklären.
Quantenmechanik 11
3.
WELLENEIGENSCHAFTEN DER ELEKTRONEN
Im Jahre 1923 stellte der französische Physiker Prinz LOUIS DE BROGLIE in seiner Doktorarbeit eine
Hypothese auf, für deren Gültigkeit es zunächst keinerlei experimentelle Hinweise gab. Wenn Licht
Wellen- und Teilcheneigenschaften aufweist, dann trifft dies vielleicht auch für Elektronen zu.
Verhalten sich diese Teilchen manchmal wie Wellen? DE BROGLIE vermutete, dass der
Zusammenhang
E h f
und
p
h

zwischen den Teilchengrößen E, p und den Wellengrößen f,  nicht nur für Photonen, sondern
auch für Elektronen und andere Teilchen zutrifft. DE BROGLIE konnte mit seiner Hypothese einige
Eigenschaften der Atome erklären und schlug auch einen experimentellen Test vor: Wenn ein
Elektronenstrahl eine sehr kleine Öffnung durchquert, so sollten Beugungserscheinungen
auftreten. Wie klein müssen diese Öffnungen sein ?
Beugungserscheinungen treten auf, wenn der Durchmesser d einer Öffnung etwa von der gleichen
Größenordnung wie die Wellenlänge  ist, die wir aus
E
m  v 2 m m2  v 2
p2
h2
 


2 m
2m
2  m 2  m  2
berechnen können.
DE-BROGLIE-Wellenlänge
Die Wellenlänge, die Elektronen mit der Energie E zugeordnet wird, beträgt  
h
2m E
.
Die Hypothese von DE BROGLIE konnte experimentell bestätigt werden. Werden Elektronen durch
eine Spannung von einigen Volt beschleunigt, so weisen sie Wellenlängen auf, die mit dem
Atomabstand in Kristallen vergleichbar sind. Wie bei Röntgenstrahlen können Kristalle auch hier als
Beugungsgitter dienen.
Beugungsbild von Elektronen
an einer Aluminiumfolie
Beugungsbild von Röntgenstrahlen an der gleichen Folie
Der erste quantitative Nachweis der Elektronenbeugung gelang
am 6. Januar 1927 CLINTON DAVISSON und LESTER GERMER in den
Laboratorien der Bell Telephone Company in New York. Sie
richteten einen Elektronenstrahl auf einen Nickelkristall
(Atomabstand g = 0,215 nm) und beobachteten unter dem
Winkel von  = 50° ein ausgeprägtes Beugungsmaximum
1. Ordnung, wenn die Beschleunigungsspannung der Elektronen
54 V betrug.
Quantenmechanik 12
Wir können aus den Versuchsdaten die Wellenlänge berechnen, die den Elektronen zugeordnet
werden kann und sie mit der DE-BROGLIE-Wellenlänge vergleichen :
 Versuch
Beugungsmaxima am Gitter entstehen für
k 
mit k = 0, 1, 2, 3, ...
g
g  sin  0,215  sin 50


 0,165 nm
k
1
sin  

DE-BROGLIE-Wellenlänge


h
2m E
mit
E  e U
h
6,62 10 34

 1,67 10 10 m  0,167 nm
31
19
2  m  e U
2  9,110 1,6 10  54
Die Welleneigenschaften der Elektronen werden durch die Beugung von Elektronen an Kristallen
bestätigt.
Wenig später konnte GEORGE THOMSON, der Sohn von JOSEPH THOMSON, diese Ergebnisse
bestätigen. CLINTON DAVISSON und GEORGE THOMSON erhielten im Jahre 1937 den Nobelpreis für
Physik.
Bei der Deutung der Beugungsbilder als Interferenzfigur gehen wir davon aus, dass die
Elektronenquelle hinreichend viele Elektronen zur Verfügung stellt. Bei Erniedrigung der Leistung
der Elektronenquelle bauen sich die Bilder stochastisch auf. Dies führte MAX BORN im Jahre 1927 zu
folgender Deutung des Zusammenhanges zwischen Wellen- und Teilchentheorie. Nach der
Teilchentheorie sind die Stellen, bei denen die Anzahl der Elektronen am größten ist die Stellen
maximaler Amplituden im Interferenzbild. Es werden die einzelnen Treffer der Elektronen als Maß
für die Antreffwahrscheinlichkeit sichtbar. Nach der Wellentheorie ist die Intensität einer Welle
proportional zum Quadrat der Amplitude der Wellen. BORN verknüpfte diese beiden Aussagen:
Die Wahrscheinlichkeit, Elektronen in einem bestimmten Raumbereich anzutreffen, ist dem
Quadrat der Amplitude der Welle (die den Elektronen zugeordnet wird) proportional.
Diese Bornsche Deutung der Elektroneninterferenzen begründete die Vorstellung, dass die
Elektronen neben dem Teilchencharakter auch einen Wellencharakter haben. Man nannte sie
Welle-Teilchen-Dualismus.
LOUIS DE BROGLIE (1892 – 1987) erhielt
1929 den Nobelpreis für seine Theorie
der Materiewellen.
MAX BORN (1882 – 1970) erhielt 1954 für
seine statistische Deutung der Quantenmechanik den Nobelpreis.
Quantenmechanik 13
4.
PHYSIK DER ATOMHÜLLE
4.1 DE BROGLIE-Wellen in der Atomhülle
Wir betrachten nun die Elektronen in der Atomhülle. Den Kreisbahnen
der Elektronen entsprechen die Nulllinien von Wellen, die um den
Atomkern laufen. Besonders ausgezeichnete Zustände ergeben sich,
wenn der Umfang der Kreisbahn ein ganzzahliges Vielfaches der
Wellenlänge beträgt. In diesem Fall existieren stehende Wellen auf
einem Kreis, deren Schwingungsform sich im Laufe der Zeit nicht
verändert.
DE BROGLIE vermutete, dass diese stehenden Wellen um den Atomkern die Stabilität des Atoms
erklären. Die Amplitude einer stehenden Welle in einem gegebenen Raumpunkt ist zeitlich
konstant.
Bei stehenden Wellen um den Atomkern ist der Bahnumfang ein ganzzahliges Vielfaches der
Wellenlänge. Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit der Elektronen ist zeitlich konstant.
DE BROGLIE trug dazu bei, dass damalige Atomvorstellungen erweitert wurden.
Nach der klassischen Theorie des Elektromagnetismus sollten Elektronen auf ihrer Bahn um den
Atomkern elektromagnetische Strahlung aussenden und dadurch Energie verlieren. Durch diesen
Energieverlust müssten sie allmählich in den Atomkern hineinstürzen und das Atom wäre nicht
stabil. Die zeitlich konstante Verteilung der Elektronen nach dem Prinzip der stehenden Wellen im
Atom führt nicht zur Abstrahlung elektromagnetischer Wellen.
In einem Gas erhalten Atome etwa eine Milliarde Stöße pro Sekunde. Jeder dieser Stöße würde die
Elektronen auf stets neue Bahnen bringen und den Radius des Atoms verändern. Die
Elektronenverteilung im Atom lässt sich nicht durch kleine Stöße beeinflussen, da stehende Wellen
nur bei ganz bestimmten Bahnradien und Energien existieren. Damit ist geklärt, warum sich die
Radien der Atome nicht bei jedem Stoß verändern.
Stehende Wellen entsprechen den möglichen stabilen Zuständen des Elektrons im Atom. Für
diese Zustände gilt:
h
und n = 1, 2, 3, ...
2    r  n   , mit  
p
Die Zahlen n nennt man Quantenzahlen. Damit erhalten wir die Quantenbedingung für die
stehenden Wellen:
r  p n
h
 n
2
mr v  n
h
2
Diese Quantenbedingung war bereits im Jahre 1913 von dem dänischen Physiker NIELS BOHR
aufgestellt worden. Er war von der Annahme ausgegangen, dass sich die Elektronen im Atom nur
auf Bahnen bewegen dürfen, die der obigen Beziehung genügen. Damit konnte Bohr die
Spektrallinien des Wasserstoffes in Übereinstimmung mit den experimentellen Ergebnissen
berechnen. Er war aber nicht in der Lage anzugeben, warum sich die Elektronen im Atom nur auf
Bahnen bewegen sollten, welche der Quantenbedingung genügen. Erst DE BROGLIE konnte das
Bohrsche Atommodell durch die Annahme stehender Wellen auf einem Kreis deuten.
Quantenmechanik 14
MERKE :
Setzen wir voraus, dass das Elektron mit einer punktförmigen Masse m eine kreisförmige
Bewegung mit dem Radius r zurücklegt, so können wir dem Elektron folgenden Bahndrehimpuls zuordnen:
L  J   m  r 2   m  r  v
Somit lässt sich die Quantenbedingung für stehende Wellen folgendermaßen hinschreiben:
L  n
mit

h
2
4.2 Elektronen im elektrischen Feld
Bewegt sich ein Elektron in der Umgebung eines Atomkerns, so wird es abgelenkt. In der
Teilchentheorie können wir die Ablenkung des Elektrons mit dem Newtonschen Grundgesetz unter
der Annahme, der Atomkern sei beliebig schwer, mit
F  ma
berechnen, wobei F = Fel die elektrische Anziehungskraft (Coulombkraft) zwischen Atomkern und
Elektron ist:
Fel 
mit
1

4 0
Q1  Q2
r2
0 = 8,8510-12 CV-1m-1
(elektrische Feldkonstante)
(Betrag der Ladung des Elektrons)
(Betrag der Ladung des Atomkerns)
(Radius der Kreisbahn des Elektrons)
Q1  e
Q2  Z  e
r
Im Coulombfeld des Atomkerns erfährt das Elektron die Coulombkraft:
Fel 
1
4 0

Z  e2
r2
Zur Lösung des Elektrons vom Kern (Ionisation) ist folgende Arbeit nötig:

W   Fel  dr
r


r
1
4 0

Z  e2
dr
r2


1 Z  e2 
 


r r
 4 0
1 Z  e2
W

4 0
r
Gegenüber dem ionisierten Zustand, dem die Energie Epot,∞ = 0 zugeordnet ist, hat das vom
Wasserstoffkern gebundene Elektron im Abstand r folgende potentielle Energie:
E pot  E pot,  W
E pot  
1
4 0

Z  e2
r
Die Gesamtenergie E des Elektrons im elektrischen Feld des Atomkerns ist die Summe der
potentiellen Energie und der kinetischen Energie
E  E kin  E pot
E
1
1
Z  e2
 m  v2 

2
4 0
r
Quantenmechanik 15
5.
DAS WASSERSTOFFATOM
5.1 Die Bahnradien im Bohrschen Atommodell des Wasserstoffatoms
Nach der Bohrschen Atomvorstellung gehen wir davon aus, dass die Elektronenbahnen
Kreisbahnen sind. Niels Bohr nahm an, dass die Elektronen sich strahlungsfrei auf diesen Bahnen
bewegen (1. Bohrsches Postulat).
Zur Berechnung der möglichen Radien der Elektronenbahnen im
Wasserstoffatom (Z = 1) liefert die Coulombkraft Fel die
benötigte Radialkraft Fr für die Kreisbahn. Es gilt also :
Fel  FR
1
4 0

e 2 me  v 2

r
r2
[1]
Die Quantenbedingung für stehende Wellen lautet :
2  me  r  v  n  h
nh
v
2  me  r
[2]
Setzen [2] in [1] ein, so ergibt sich :
1
4 0

me  h 2  n 2
e2
.

r 2 r  4 2  me 2  r 2
Daraus ergeben sich die möglichen Bahnradien rn :
rn 
h2  0
  me  e
2
 n2
wobei der so genannte Bohrsche Radius r1 ( n  1 ) gegeben ist durch:
r1 
h2  0
 0,529 10 10 m
2
  me  e
Dieser Wert gilt für die innerste Elektronenbahn (Grundzustand). Außerdem vermittelt dieser
Wert eine Größenvorstellung vom Wasserstoffatom und stimmt gut mit auf anderen Wegen
gefundenen Werten überein. Für die weiteren Elektronenbahnen gilt:
rn  r1  n 2
n
rn (10-10 m)
1
0,53
2
2,12
3
4,76
4
8,47
5
13,23
Die Radien der Elektronenbahnen, bei denen stehende Wellen möglich sind, nehmen mit n2 zu.
Quantenmechanik 16
5.2 Diskrete Energiezustände im Wasserstoffatom
Da sich die Elektronen nur auf Bahnen mit bestimmten Radien rn bewegen, ergeben sich auch nur
wenige mögliche Werte der Elektronenenergie En. Diese Energiewerte können wir wie folgt
berechnen :
1
1 e2
2
En   me  vn 

2
4 0 rn
(Wasserstoffatom: Z = 1)
Nach Einsetzen der Quantenbedingung für stehende Wellen
vn 
hn
2  me  rn
erhalten wir:
En 
h2  n2
8 2  me  rn
2

e2
4 0  rn
Setzen wir weiterhin die Bahnradien rn
h2  0
rn 
 n2
  me  e 2
ein, so erhalten wir die Energiewerte
me  e 4
me  e 4
En 

2
2
8 0 h 2  n 2 4 0 h 2  n 2
En  
me  e 4
8 0 h
2
2

1
n2
Die Energie des Grundzustandes (n =1) beträgt :
E1  13,6 eV
Für die weiteren Elektronenbahnen gilt :
En  13,6 eV 
1
n2
Diese Energien En nennt man Energieniveaus oder Energiestufen. Das negative Vorzeichen der
Energiewerte bedeutet, dass Energie aufzuwenden ist, um das Elektron aus dem Atom zu
entfernen, weil es durch anziehende elektrische Kräfte, Coulombkräfte, an den Atomkern
gebunden ist. Die niedrigste Energie, die Nullpunkts- oder Lokalisationsenergie, erhält man für
n = 1. Diese bezeichnet man als Grundzustand des Atoms. Er ist der Zustand kleinst möglicher
Energie und entspricht der innersten Bahn des Elektrons um den Wasserstoffkern.
n
1
2
3
4
5
…

Die Energiewerte En sind die Summe der
kinetischen und der potentiellen Energie
En (eV)
-13,60
-3,40
-1,51
-0,85
-0,54
…
0,00
Energiestufen der Elektronen
im Wasserstoffatom
Quantenmechanik 17
Die Elektronen bewegen sich strahlungsfrei auf Kreisbahnen um den Wasserstoffkern. Es gibt nur
bestimmte diskrete Bahnen. Die Coulombkraft zwischen Kern und Elektron stellt die dazu
notwendige Radialkraft dar. Die Radien dieser Kreisbahnen sind durch folgende Beziehung
bestimmt:
rn  r1  n 2
r1 heißt Bohrscher Radius und beträgt
r1  0,529 1010 m
n ist eine Quantenzahl, die die Bahn bestimmt.
Die Energien dieser Elektronen sind gequantelt, wobei:
1
n2
E1 ist die Energie des Grundzustandes und beträgt
E n  E1 
E1  13,6 eV .
5.3 Das Wasserstoffspektrum
Jede dieser Energiestufen entspricht einer stehenden DE BROGLIE-Welle. Wie gelangt das Elektron
von einer Energiestufe zur anderen ? Dazu muss eine Energiemenge aufgenommen oder abgegeben werden, die genau dem Unterschied zwischen den beiden Energiestufen entspricht. Eine
mögliche Form dieser Energieänderung (Quantensprung) ist die Emission oder Absorption eines
Photons, dessen Energie E = h f den erforderlichen Energieunterschied E>0 zwischen
2 Energieniveaus aufweist:
Betrachten wir den Übergang von der Energiestufe der Quantenzahl n zur Energiestufe mit der
Quantenzahl m (m > n), so gilt :
Em  En  E
E  Em  En
1 
 1
 E1   2  2 
n 
m
1 
 1
 13,6 eV   2  2 
n 
m
1 
 1
E  13,6 eV  2  2 
m 
n
Atome können also nicht Photonen beliebiger Frequenz absorbieren oder emittieren, sondern nur
solche Photonen, deren Energien hf dem Unterschied zwischen den Energiestufen entsprechen
mit
1 
 1
h  f  E  13,6 eV   2  2 
m 
n
Spektrallinien entsprechen den Übergängen zwischen den möglichen Energiestufen im Atom.
Quantenmechanik 18
Lyman
E (eV)
 (nm)
1–2
1–3
1–4
10,20
12,09
12,75
121,6
102,6
97,3
Balmer
E (eV)
 (nm)
1,89
2,55
2,86
3,02
3,12
656,4
486,2
434,1
410,3
397,1
2
2
2
2
2
–
–
–
–
–
3
4
5
6
7
Paschen
E (eV)
 (nm)
3–4
3–5
3–6
0,66
0,97
1,13
1875,5
1282,0
1094,0
UV-Bereich
Sichtbarer
Bereich
IR-Bereich
Betrachten wir zunächst den Grundzustand des Wasserstoffatoms (n= 1). Weil es keine tiefere
Energiestufe gibt, kann das Wasserstoffatom in diesem Zustand Energie nur aufnehmen, also
Photonen absorbieren. Die Energien dieser Photonen ergeben sich aus den Differenzen zwischen
den Energiestufen zu 10,20 eV, 12,09 eV... (LYMAN-Serie). Sie entsprechen Licht im ultravioletten
Spektralbereich. Bringt man Wasserstoff in den Strahlengang einer Lichtquelle, die ultraviolettes
Licht aussendet, so erhält man ein Absorptionsspektrum, wobei nur Photonen mit den oben
berechneten Energien aus dem Licht herausgefiltert werden.
Wir wenden uns nun den angeregten Zuständen (n = 2, 3,...) zu. Um die Wasserstoffatome in
diese Energiestufen zu bringen, müssen wir Energie zuführen. Das kann z.B. durch Erhitzen des
Wasserstoffgases auf einige tausend Kelvin geschehen. Bei diesen hohen Temperaturen stoßen die
Wasserstoffatome mit so großen Geschwindigkeiten zusammen, dass die Energie ausreicht, um
eines der Elektronen in einen angeregten Zustand zu heben. Der Stoß der beiden
Wasserstoffatome verläuft dann unelastisch, denn ihre kinetische Energie wurde zur Anregung des
Atoms verbraucht. Die kinetische Energie muss dabei zumindest 10,2 eV sein. Bei geringerer
Energie können die Atome nicht angeregt werden. Es gibt nur elastische Stöße. Dies erklärt,
warum sich die Atome und Moleküle vieler Gase bei Zimmertemperatur wie kleine Kugeln
verhalten, die nur elastische Stöße bekommen. Die Energie der Stöße reicht nicht aus, um die
Elektronen in den nächst höheren Zustand zu heben. So verstehen wir auch, warum Atome
Milliarden von Stößen pro Sekunde erhalten können, ohne sich dabei im Geringsten abzunutzen.
Wechselwirken Atome mit einer Energie, die geringer als die Anregungsenergie ist, so sind nur
elastische Stöße möglich.
Bei hohen Temperaturen führen die Stöße stets zur Anhebung von Elektronen in angeregte
Zustände. Diese Elektronen kehren nach kurzer Zeit in den Grundzustand zurück und geben dabei
Energie in Form von Photonen ab. Die Energie dieser Photonen entspricht der Differenz zwischen
den Energiestufen des Atoms. Wir erhalten die Spektrallinien eines Emissionsspektrums.
Steigert man die Temperatur noch mehr, so reicht die Energie mancher Stöße aus, um ein Elektron
völlig von seinem Atom loszulösen. Das Atom wird ionisiert. Das nunmehr freigesetzte Elektron
kann jede beliebige Energie annehmen. Es gibt hier keine festen Energiestufen, denn das Elektron
ist nicht mehr auf den begrenzten Bereich eines Atoms eingeschränkt. Bei der Ionisation von
Atomen kann jede Energie oberhalb einer Mindestenergie absorbiert werden. Wir erhalten ein
Quantenmechanik 19
kontinuierliches Absorptionsspektrum. Fangen die Atomkerne die freien Elektronen wieder
ein so wird ein kontinuierliches Emissionsspektrum ausgesendet, denn die kinetischen
Energien der Elektronen können vor dem Einfang beliebig groß gewesen sein.
Für die Ionisationsenergie E des Wasserstoffs ( Übergang vom Grundzustand n = 1 zum völlig
losgelösten Zustand m =  ) erhalten wir
1 
 1
E  13,6 eV   2  2   13,6 eV  1  0   13,6 eV
m 
n
Sendet ein Wasserstoffatom beim Übergang eines Elektrons vom m-ten auf den n-ten
Energiezustand (m > n ) ein Lichtquant aus (Quantensprung), so erhält man als Energiedifferenz
1 
 1
E  Em  En  13,6 eV   2  2 
n m 
Die Ionisationsenergie des Wasserstoffs aus dem Grundzustand beträgt E = 13,6 eV.
Wie wir gesehen haben, hat das Wasserstoffatom eine ganze Serie von charakteristischen
Übergängen. Da sowohl bei Absorption als auch bei Emission die gleichen Übergänge beteiligt
sind, sind die beobachteten Wellenlängen der Absorptions- und Emissionslinien identisch. Neben
dem Wasserstoff hat jede andere Atom- und Molekülart ihre charakteristischen Übergänge, so dass
aus einem gewonnenen Spektrum eindeutig auf die beteiligte Atom- oder Molekülart geschlossen
werden kann.
Absorptionsspektrum
Emissionsspektrum
Wird ein kühles Gas von einer Lichtquelle
beleuchtet, so sind in dem kontinuierlichen
Spektrum der Lichtquelle Absorptionslinien zu
erkennen. Diese entsprechen den Anregungsenergien der im Gas enthaltenen Atome und sind
charakteristisch für die Atomart.
Ein angeregtes Gas aus Atomen sendet Licht
bestimmter Frequenzen aus. Die beobachteten
Spektrallinien entsprechen den verschiedenen, im
Atom möglichen Übergängen.
I
m
Absorptionsspektrum der Sonne
Emissionsspektrum von Wasserstoff
Im Sonnenspektrum sind neben atmosphärischen Absorptionslinien
ebenfalls Absorptionslinien von H, Na, Mg, Ca, Ca+, Ti, Fe und Mn
zu erkennen.
Quantenmechanik 20
5.4 Grenzen und Leistungen des Bohrschen Atommodells
Niels Bohr erkannte, dass eine Beschreibung der Atomhülle allein auf der Grundlage mechanischer
und elektrodynamischer Vorstellungen, nicht möglich ist. Die Bohrschen Postulate ergeben ein
mathematisch beschreibbares Modell des Wasserstoffatoms mit dessen Hilfe sein Spektrum und
das wasserstoffähnlicher Gase beschrieben werden können. Das Modell lieferte erstmals eine
Erklärung für die Stabilität eines Atoms und für den energetischen Zusammenhang bei der
Emission von Licht mit einfachen atomaren Systemen.
Das Bohrsche Atommodell führt nur beim Wasserstoff und wasserstoffähnlichen Systemen zu
befriedigenden Ergebnissen. Das Bohrsche Atommodell benutzt eine zu anschauliche Vorstellung
von der Gestalt der Atome. In ihm ist die gleichzeitige Angabe von Ort und Impuls eines Elektrons
möglich; das widerspricht der Heisenberg’schen Unschärferelation. Weiterhin kann das Bohrsche
Atommodell die Intensität verschiedener Spektrallinien nicht richtig erklären. Trotz der Mängel aus
heutiger Sicht muss man anerkennen, dass mit den im Bohrschen Atommodell eingebrachten
Postulaten erstmals quantenhafte Vorstellungen zur Beschreibung der Atomhülle benutzt wurden.
Quantenmechanik 21
6.
DER LASER
6.1 Spontane und induzierte Emission von Lichtquanten
Atome können durch Stöße von Elektronen hoher Geschwindigkeit oder durch Licht, dessen
Wellenlänge dem eigenen Spektrum entspricht, zu einem höheren Energiezustand angeregt
werden. Der Anregungszustand der Atome hat in der Regel eine Lebensdauer von 10-8 Sekunden
bevor die Atome über die spontane Emission in den Grundzustand übergehen.
Es gibt jedoch bei Atomen mit mehreren Elektronen auch
Zustände, die über längere Zeit bestehen können. Solche
Energiezustände werden als metastabil bezeichnet. Aus
diesen Zuständen findet die Energieabgabe durch
spontane Emission von Licht nur sehr selten statt. Damit
wird es möglich, eine große Anzahl von Atomen in diese
Anregungszustände zu bringen und dort zu halten. Ein
solch angeregtes Atom kann von einem Lichtquant
beeinflusst werden, das von einem anderen, in gleicher
Weise angeregten Atom ausgestrahlt wird, und zur
Emission gezwungen werden. Ein solcher Vorgang
bezeichnet man als induzierte Emission. Die
Wellenzüge, die dem einfallenden und dem neu
entstehenden Quant zugeordnet sind, schwingen danach
in gleicher Phase und verstärken sich. Die induzierte
Emission führt zu einer Verstärkung des ausgestrahlten
Lichtes.
6.2 Prinzip des Lasers
Laser ist die Abkürzung für ‚light amplification by stimulated emission of radiation’ –
Lichtverstärkung durch stimulierte Emission von Strahlung.
Die Energiequelle hat die Funktion, eine große Anzahl
von Atomen des Lasermediums in metastabile
Anregungszustände zu bringen. Dieser Vorgang wird
als Pumpen bezeichnet. Ein Lichtquant, das bei einer der
seltenen spontanen Emissionen entsteht, löst eine Folge
von induzierten Emissionen aus. Beim kontinuierlichen Betrieb kommt es zum Gleichgewicht zwischen
Energiezufuhr und Energieabgabe. Beim Impulsbetrieb
wird die gespeicherte Anregungsenergie in einem
Lichtblitz abgegeben. Anschließend muss erneut
gepumpt werden.
Ein optischer Resonator bewirkt, dass die Verstärkung des Lichtes nur in einer Richtung und nur
für ganz bestimmte Wellenlängen erfolgt. Der Resonator besteht im einfachsten Fall aus zwei
parallelen Planspiegeln. Dazwischen befinden sich zahlreiche Atome des Lasermediums im
angeregten Zustand. Verstärkt werden nur solche Lichtwellen, die senkrecht auf den Spiegel
treffen; alle anderen sind für den Laservorgang ohne Bedeutung.
Ist nämlich der Abstand der beiden verspiegelten Flächen genau ein ganzzahliges Vielfaches der
Wellenlänge der Laserstrahlung, so kommt es zur Interferenz der einfallenden und der reflektierten
Wellen. Es bildet sich eine stehende Welle aus, bei der die Amplituden sich maximal verstärken.
Für alle anderen Abstände würden die Wellen sich als Ergebnis vieler Reflexionen durch
Interferenz auslöschen. Damit die Laserstrahlung den Resonator verlassen kann, muss einer der
beiden Planspiegel teildurchlässig sein.
Quantenmechanik 22
6.3 Besondere Merkmale der Laserstrahlung
Laserstrahlung hat gegenüber dem Licht herkömmlicher Lichtquellen besondere Merkmale:
 Kohärenz: Die Wellenzüge können mehrere hundert Kilometer lang sein; über den
gesamten Querschnitt eines Laserbündels ist die gleiche Phase der ausgesendeten Wellen
erreichbar.
 Scharfe Bündelung: Der Öffnungswinkel eines Bündels von Laserstrahlung beruht im
wesentlichen auf der Beugung an der Austrittsblende. Bei einer kreisförmigen Öffnung mit
dem Durchmesser d beträgt das Bogenmaß für den halben Öffnungswinkel :
  1,22 

d
 Große Energiekonzentration: Mit Laserblitzen lassen sich für sehr kurze Zeitintervalle
Leistungen von mehr als 1012 Watt übertragen.
6.4 Der Helium-Neon-Laser
Für diesen Gaslaser wird ein Gemisch von rund zehn Teilen Helium und einem Teil Neon
bereitgestellt, bei einem Druck von etwa 1,5 hPa. Mit einer elektrischen Gleichspannung oder auch
einem hochfrequenten Wechselfeld wird ähnlich wie bei einer Leuchtstofflampe eine Gasentladung
erzeugt. Bei der Gasentladung entstehen durch die Ionisation von Helium- und Neonatomen freie
Elektronen.
Diese Elektronen können die nicht ionisierten Heliumatome
durch Stöße in den Anregungszustand von etwa 25 eV
versetzen. Durch spontane Emission eines Teils ihrer
Anregungsenergie gelangen diese Heliumatome in den
metastabilen Anregungszustand von 20,61 eV. Bei ihren
Zusam-menstößen mit den Neonatomen wird diese
Anregungsenergie übertragen. Das ist möglich, weil
Neonatome auch einen metastabilen Anregungszustand mit
nahezu gleicher Energie (20,66 eV) besitzen. Die induzierte
Emission führt bei den Neonatomen zu einem tiefer
gelegenen Energiezustand (18,70 eV). Daraus folgt für die
Wellenlänge der Laserstrahlung:
E 

hc

 
hc
E
6,626 10 34  3 108
m  633 nm
(20,66  18,70) 1,6 10 19
Das Energieniveau von 18,70 eV muss laufend entleert werden. Dies geschieht zunächst durch den
spontanen Übergang der Neonatome auf ein Niveau der Energie von 16 eV. Von hier aus gehen
die Neonatome dann in den Grundzustand zurück, und zwar durch Stöße gegen die Gefäßwand,
wobei die Atome des Gefäßes die freiwerdende Energie aufnehmen und in Wärme umsetzen.
Quantenmechanik 23
7.
AUFGABENSAMMLUNG - QUANTENMECHANIK
1. Die Abbildung zeigt eine Fotozelle, die zur Lichtmessung dient (Belichtungsmesser). Licht fällt
auf eine Fotokatode und löst Elektronen aus. Die auf positiver Spannung liegende Anode
sammelt diese Elektronen.
a) Die Fotokatode besteht aus Cs3Sb. Sie spricht auf Licht mit
  670 nm an. Wie groß ist die Austrittsarbeit WA der Elektronen bei diesem Katodenmaterial ?
b) Blaugrünes Licht ( = 500 nm) fällt auf die Fotokatode.
Zeigen Sie, dass der Anodenstrom proportional zur
Lichtintensität ist, wenn jedes Photon mit nur einem Elektron
wechselwirken kann !
c) Wie groß ist der Anodenstrom, wenn blaugrünes Licht mit
1 Watt Leistung auf die Katode fällt und jedes Photon ein Elektron auslöst ?
d) Welchen Anodenstrom ruft violettes Licht ( = 400 nm) mit gleicher Leistung hervor ?
( 1,85 eV; 402,5 mA; 322,0 mA )
2. Die Katode einer Fotozelle besteht aus Caesium (Austrittsarbeit 1,96 eV). Es fällt nacheinander
violettes Licht der Wellenlänge 410 nm und rotes Licht der Wellenlänge 656 nm auf die Katode.
Kann durch Einwirkung des Lichtes dieser Wellenlängen Elektronen emittiert werden ?
( violett: ja; rot: nein )
3. Um aus einer Wolframschicht durch kurzwelliges Licht gerade Elektronen herauszuschlagen,
sind 4,57 eV erforderlich.
a) Berechne die dazugehörige Grenzwellenlänge !
b) Welche maximale Geschwindigkeit besitzen die ausgelösten Elektronen, wenn die
Wellenlänge des einfallenden Lichtes 200 nm beträgt ?
c) Welche Gegenspannung ist erforderlich um den Fotostrom vollständig zu unterbinden ?
( 271,9 nm; 7,59105 m/s; 1,64 V )
4. Eine Vakuumfotozelle wird nacheinander mit grünem Licht der Wellenlänge 546 nm und
blauem Licht der Wellenlänge 436 nm bestrahlt. Bei Anwendung der Gegenfeldmethode kommt
der Elektronenstrom jeweils bei den Spannungen 0,915 V (grün) und 1,490 V (blau) zum
Erliegen.
a) Welchen Wert liefern die Messergebnisse für das Plancksche Wirkungsquantum ?
b) Berechne die Austrittsarbeit des Kathodenmaterials in eV !
c) Welche Wellenlänge muss das Licht besitzen, das bei Bestrahlung der Katode Elektronen der
maximalen Geschwindigkeit 1000 km/s ablöst?
( 6,61910-34 Js; 1,36 eV; 295,4 nm )
5. Eine 100W-Lampe sendet blaugrünes Licht der Wellenlänge  = 500 nm aus.
a) Berechnen Sie Energie, Impuls und dynamische Masse der Photonen !
b) Welche Anzahl von Photonen geht pro Sekunde von der Lampe aus, wenn 1% der
zugeführten Leistung im sichtbaren Bereich abgestrahlt wird ?
c) Nimmt die Masse der Lampe infolge der Aussendung der Photonen ab ?
( 2,48 eV; 10-27 Ns; 1,3310-27 kg; 2,521018 s-1; Nein )
Quantenmechanik 24
6. Ein
a)
b)
c)
Scheinwerfer sendet ein paralleles Lichtbündel mit einer Leistung von 100 W aus.
Welchen Impuls haben die pro Sekunde ausgesendeten Photonen ?
Welche Rückstoßkraft kommt durch die Lichtaussendung zustande ?
Das Licht des Scheinwerfers wird durch einen Spiegel reflektiert. Wie groß ist die Kraft, die
auf diesen Spiegel wirkt ?
( 3,3310-7 Ns; 3,3310-7 N; 6,6710-7 N )
7. Ein Elektronenblitzer sendet einen Blitz mit einer Dauer von 10-3 Sekunden aus, der 10 Joule
Lichtenergie enthält. Das austretende Licht sei parallel.
a) Wie groß ist der Gesamtimpuls der Photonen ?
b) Hängt der Gesamtimpuls von der Wellenlänge ab ?
c) Mit welcher Geschwindigkeit müsste sich ein Sandkörnchen (m = 1 mg) bewegen, damit es
den gleicher Gesamtimpuls hat ?
d) Wie groß ist die Rückstoßkraft, die während des Blitzes auf das Blitzgerät wirkt ?
( 3,3310-8 Ns; 0,033 m/s; 3,3310-5 N )
8. Ein Positron trifft mit der Geschwindigkeit v auf ein ruhendes Elektron. Es kommt zu einer
Paar-Zerstrahlung oder Elektron-Positron-Annihilation, bei der zwei Photonen entstehen. Das
erste Photon bewegt sich in die Bewegungsrichtung des Positrons, das zweite in die entgegengesetzte Richtung.
a) Schreibe den Energie- und den Impulssatz wenn v = 2106 m/s ist. Zeige, dass in diesem
Fall die Frequenzen der beiden Photonen fast identisch sind. Berechne dann die
Frequenzen und Wellenlängen der Photonen !
b) Schreibe den Energie- und den Impulssatz wenn v = 0,9c ist. Berechne dann auch die
Frequenzen und Wellenlängen der Photonen !
9. Auf jeden Quadratzentimeter einer absolut schwarzen Oberfläche fallen je Sekunde
3,61017 Photonen der Wellenlänge 450 nm. Welchen Druck in µPa, erzeugt diese Strahlung?
(5,3 µPa)
10. Berechnen Sie die Wellenlänge der DE BROGLIE Welle für:
a) einen Tennisball m = 60 g v = 10 m/s
b) ein Geschoss
m=1g
v = 90 m/s
c) ein Proton
m = 1,6710-27 kg U = 2,5105 V
d) ein Elektron
m = 9,110-31 kg
U = 250 V
U ist die beschleunigende Spannung, die das Proton bzw. das Elektron vom
aus durchlaufen muss, um die erforderliche Geschwindigkeit zu erhalten.
(Br = 1,110-33 m)
(Br = 610-35 m)
(Br = 5,710-14 m)
(Br = 7,810-11 m)
Zustand der Ruhe
11. In einem Fernsehgerät werden Elektronen durch eine Spannung von U = 15 kV beschleunigt.
Welche DE BROGLIE Wellenlängen haben diese Elektronen ? (relativistische Berechnung)
( = 10,2 pm)
12. Elektronen, die durch einen Doppelspalt fliegen, erzeugen auf einem Schirm ein Interferenzmuster. Wie ändert sich der Streifenabstand, wenn die beschleunigende Spannung von 50 V
auf 5000 V erhöht wird ? (klassische Berechnung)
(10-mal kleiner)
13. Ein Elektron bewegt sich mit 85 % der Lichtgeschwindigkeit.
a) Welche Beschleunigungsspannung hat das Elektron durchlaufen ?
b) Bestimme die DE BROGLIE Wellenlänge und die dazugehörige Frequenz !
(U = 461 kV)
(fBr = 2,351020 Hz)
Quantenmechanik 25
14. Auch bei Elektronen zeigen sich hinter einem Doppelspalt Interferenzstreifen wie beim Licht.
Mit welcher Spannung muss man Elektronen beschleunigen, damit nach Beugung an einem
Doppelspalt mit dem Spaltabstand 10 µm, der Ablenkungswinkel 10. Ordnung genau 1,0°
beträgt?
(U = 5 mV)
15. Ein Elektronenstrahl wird mit einer Anodenspannung von 12 kV beschleunigt.
a) Welche Geschwindigkeit und welche Masse erhalten die Elektronen ?
b) Wie groß sind Impuls und DE BROGLIE Wellenlänge ?
c) Welchen Ablenkungswinkel zeigt das 2. Nebenmaximum beim Durchgang des Elektronenstrahls durch eine Folie, deren Atome im Gitter mit einem Abstand von 310-8 cm angeordnet sind ?
(v = 6,34107 m/s, m = 9,3110-31 kg ; p = 5,910-23 Ns,  = 11,2 pm;  = 4,3°)
16. a) Wie groß sind im Bohrschen Atommodell des Wasserstoffatoms die Bahngeschwindigkeiten
im Grundzustand und in den beiden ersten Anregungszuständen ?
b) Vergleiche die Bahngeschwindigkeit der Elektronen im Grundzustand mit der Lichtgeschwindigkeit !
(v1 = 0,0073c)
c) Wie viele Umläufe je Sekunde macht das Elektron im Grundzustand ?
(f1 = 6,61015 Hz)
d) Welcher Energiebetrag muss dem Atom zugeführt werden, damit das Elektron von der
4. Bahn auf die nächst höhere Bahn wechselt ?
(E = 0,31 eV)
17. Um Wasserstoffatome aus dem Grundzustand in angeregte Zustände zu versetzen, werden sie
mit Fremdelektronen bestrahlt, die eine Beschleunigungsspannung von 12,8 V durchlaufen
haben.
a) Wie viele verschiedene Spektrallinien kann das so angeregte Wasserstoffatom aussenden ?
b) Berechne die größte und die kleinste Wellenlänge dieser Spektrallinien !
c) Welche dieser Spektrallinien fallen in den sichtbaren Bereich ?
(6 Spektrallinien; MAX = 1,88 m, MIN = 97 nm; 491 nm und 660 nm)
18. Welche Energie ist erforderlich, um ein Elektron des Wasserstoffatoms völlig von seinem Kern
zu lösen ? Welche Wellenlänge und Frequenz muss das dazu benötigte Photon besitzen ?
(E = 13,6 eV; 91,7 nm, 3,271015 Hz)
19. Ein Atom soll die folgenden Energieniveaus haben :
0,0 eV (n → ∞) ; -3,0 eV (n = 3) ; - 5,0 eV (n = 2) ; - 8,0 eV (n = 1)
Atome dieser Art werden mit einem Elektronenstrahl der Energie 11 eV beschossen.
a) Welche Energie können die Fremdelektronen aufweisen, die nach der Kollision austreten ?
b) Welches sind die möglichen Frequenzen der Photonen, die von den bombardierten Atomen
ausgesandt werden ?
(0 eV, 1 eV, 2 eV, 3 eV, 5 eV, 6 eV, 8 eV, 11 eV; 4,831014 Hz, 7,251014 Hz, 1,211015 Hz)
20. Das Spektrum eines Wasserstoffatoms wird mit einem Rowland-Gitter mit 570 Strichen je mm
abgebildet. In der 2. Ordnung beobachtet man eine Linie der Balmer-Serie unter dem Winkel
33,6°. Von welcher höheren Bahn ist das Elektron auf die 2. Bahn zurückgefallen ?
(m = 4)
Quantenmechanik 26
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