§3 Die g–adische Darstellung natürlicher Zahlen

§3 Die g–adische Darstellung natürlicher
Zahlen
Wir sind gewöhnt, natürliche Zahlen im Dezimalsystem darzustellen und
mit diesen Darstellungen zu rechnen. Dazu führt man zehn Zeichen (Ziffern)
ein, üblicherweise
0, 1 := 00 , 2 := 10 , 3 := 20 , 4 := 30 , 5 := 40 , 6 := 50 , 7 := 60 , 8 := 70 , 9 := 80 .
Sind a0 , a1 , . . . , an ∈ {0, 1, 2, . . . , 9} solche Ziffern, n ≥ 1 (und ist an 6= 0), so
bedeutet die Ziffernfolge
(∗)
an an−1 · . . . · a1 a0
die Zahl
0
0
an · 9 n + an−1 9 n−1 + · . . . · +a1 · 90 + a0 .
Insbesondere bedeutet die Ziffernfolge 10 die Zahl 1 · 90 + 0 = 90 . Wir wollen
zeigen, daß man mit dieser Ziffernnotation unmißverständlich Zahlen darstellen kann, d.h.:
Jede Zahl z ∈ N hat eine und nur eine Darstellung (∗) mit Ziffern aus
{0, 1, 2, . . . , 9}.
Man spricht von der Dezimaldarstellung der Zahl z.
Hier ist die Grundzahl zehn, man benutzt zehn Zeichen. Es gibt auch Systeme mit mehr oder weniger als zehn Zeichen. Die Babyloner rechneten im
Zwölfersystem.
Die Computer begnügen sich mit zwei Zeichen, 0 und 1; 1101001“ bedeutet
”
im Zweiersystem die Zahl
1 · 26 + 1 · 25 + 0 · 24 + 1 · 23 + 0 · 22 + 0 · 2 + 1 = 64 + 32 + 8 + 1 = 105,
wenn man Sie im Zehnersystem darstellt.
Wir wollen hier jede natürliche Zahl g ≥ 2 als Grundzahl zulassen.
3.1 Satz. Sei g ≥ 2 eine natürliche Zahl. Dann läßt sich jede natürliche Zahl
a eindeutig in der Form
a = an g n + an−1 g n−1 + . . . + a2 g 2 + a1 g + a0
1
schreiben, wobei a0 , . . . , an ∈ N, n ≥ 0, 0 ≤ ni < g und an 6= 0 falls a 6= 0.
Hat man für die ganzen Zahlen z mit 0 ≤ z < g Zeichen (Ziffern, Chriffren)
vereinbart, so schreibt man für a auch die Aneinanderreihung der betreffenden Zeichen für a0 , . . . , an :
an an−1 . . . a1 a0 bedeutet die Zahl
an g n + an−1 g n−1 + . . . + a2 g 2 + a1 g + a0 = a.
Beide Schreibweisen nennt man die g–adische Darstellung von a.
Beweis. Existenz der g–adischen Darstellung. Induktion nach a. Für a = 0
und a = 1 ist dies klar. Sei also a ≥ 2.
Schluß von a − 1 auf a. Die Behauptung sei bereits bewiesen für natürliche
Zahlen b mit 1 ≤ b < a. Zu zeigen: Dann gilt die Behauptung auch für a.
Dividiere dazu a durch g mit Rest:
a = q · g + r,
0 ≤ r < g,
q≥0
Setze a0 := r. Im Falle q = 0 ist die gewünschte Darstellung
a = a0
(n = 0)
Ist q > 0, so ist q < qg ≤ a, da g ≥ 2.
Nach Induktionsannahme besitzt daher q eine g–adische Darstellung
q = q0 + q1 g + · . . . · +qm g m , 0 ≤ qi < g für i = 0, m, qm 6= 0.
Es folgt a = a0 + qg = a0 + q0 g + q1 · g 2 + . . . + qm g m+1 .
Setze a1 = q0 , . . . , am+1 = qm und erhalte die Darstellung
a = a0 + a1 g + . . . + am+1 g m+1 , 0 ≤ aj < g, j = 0, . . . , m + 1, am+1 6= 0.
Eindeutigkeit der Darstellung. a ≥ 1 habe zwei Darstellungen
a0 + a1 g + . . . + an g n = a00 + a01 g + . . . + a0m g m = a, 0 ≤ ak , a0k < g
wobei o.E. m ≥ n ≥ 0, an 6= 0 und a0m 6= 0.
Zeige zunächst, daß m = n ist.
2
Es ist a ≥ g m , a ≥ g n und aν ≤ g − 1. Es folgt
a ≤ (g−1)g n +. . .+(g−1)g+g−1 = (g−1)(g n +g n−1 +. . .+g+1) = g n+1 −1 < g n+1
Angenommen m ≥ n + 1. Dann wäre g n+1 ≤ g m ≤ a < g n+1 , Widerspruch.
Also ist m = n.
Zeige nun, daß aν = a0ν für ν = 0, . . . , n: Andernfalls ist die Menge
M = {ν | 0 ≤ ν ≤ n, aν 6= a0ν } nicht leer und besitzt daher ein Maximum k.
Es folgt
a0 + a1 g + . . . + ak g k = a00 + a01 g + . . . + a0k g k ; 0 ≤ k ≤ n, ak 6= a0k
Es muß dann k > 0 sein, da sonst a0 = a00 und a0 6= a00 gelten würde.
Es folgt
(ak − a0k )g k = (a00 − a0 ) + (a01 − a1 )g + . . . + (a0k−1 − ak−1 )g k−1 mit
|a0ν − aν | ≤ g − 1 für ν = 0, . . . , k. Es folgt
|ak − a0k |g k ≤ |a0k−1 − ak−1 |g k−1 + . . . + |a01 − a1 |g + |a00 − a0 |
≤ (g − 1)(g k−1 + g k−2 + . . . g + 1) = g k − 1 < g k ,
im Widerspruch zu |ak − a0k | ≥ 1, da ak 6= a0k .
Beispiel. Sei a die natürliche Zahl mit der Dezimaldarstellung
a = 7 + 3 · 10 + 5 · 100 + 1 · 1000
Berechnung der 9–adischen Ziffernfolge von a.
Division von a durch 9 mit Rest ergibt
1537 : 9 = 170 Rest 7, d.h.
63
7
1537 = 170 · 9 + 7
170 = 18 · 9 + 8
18 = 2 · 9 + 0
Dividiere 170 mit Rest, usw.
Es folgt
1537 = 170 · 9 + 7 = (18 · 9 + 8)9 + 7 = (2 · 9 · 9 + 8)9 + 7
= 2 · 93 + 0 · 92 + 8 · 91 + 7 · 90 =2087
ˆ
im Neunersystem
Zur Unterscheidung der verschiedenen System kann man einen Index g für
die g–adische Ziffernfolge angeben, also
(1537)10 = (2087)9
3
Neunerprobe und Elferprobe im Dezimalsystem
Sei g > 1 und (an an−1 . . . a1 a0 )g die g–adische Darstellung der Zahl a ≥ 1.
Definition.
a) Die Quersumme von a (bzgl. g) ist die Zahl
Q(a) := a0 + a1 + . . . + an .
b) Die alternierende Quersumme von a (bzgl. g) ist die Zahl
Q0 (a) := a0 − a1 + a2 − + . . . + (−1)n an .
3.2 Satz. a ≡ Q(a) mod (g − 1) und a ≡ Q0 (a) mod (g + 1).
Beweis. Es ist g ≡ 1 mod (g − 1) und g ≡ −1 mod (g + 1).
Nach den Regeln der Kongruenzrechnung gilt also
g ν ≡ 1 mod (g − 1) und g ν ≡ (−1)ν mod (g + 1)
für alle 0 ≤ ν ≤ n.
n
P
Für a =
aν g ν ergibt sich daraus
ν=0
a≡
a≡
n
P
ν=0
n
P
aν 1ν = Q(a) mod (g − 1) und
aν (−1)ν = Q0 (a) mod (g + 1)
ν=0
Sind x ≡ y mod m, so ist m | x ⇐⇒
x ≡ 0 mod m ⇐⇒ y ≡ 0 mod m ⇐⇒ m | y. Aus 3.2 folgt also
3.3 Korollar.
(g − 1) | a ⇐⇒ (g − 1) | Q(a) und
(g + 1) | a ⇐⇒ (g + 1) | Q0 (a)
Speziell gilt für g = 10
3.4 Korollar.
9 | a ⇐⇒
9 | Q(a)
11 | a ⇐⇒ 11 | Q0 (a)
und
Induktiv erhält man 9 | a ⇐⇒ 9 | Qn (a), 11 | a ⇐⇒ 11 | Q0n (a). Für große n
wird Qn (a) bzw. Q0n (a) einstellig und es ist offensichtlich ob 9 | Qn (a) bzw.
11 | Q0n (a).
4
3.5 Korollar.
+
+
Q(a · b) ≡ Q(a) · Q(b) mod (g − 1) und
+
+
Q0 (a · b) ≡ Q0 (a) · Q0 (b) mod (g + 1)
+
Beweis. Nach 3.2 gilt Q(x) ≡ x mod (g − 1) für alle x ∈ N =⇒ Q(a · b) ≡
+
+
a · b ≡ Q(a) · Q(b) mod (g − 1). Entsprechend schließt man für Q0 und
g + 1.
3.6 Korollar. 3 | a ⇐⇒ 3 | Q(a)
Beweis. Offenbar gilt: 3 | x =⇒ 9 | x2 .
Da 3 eine Primzahl ist gilt: 9 | x2 =⇒ 3 | x2 =⇒ 3 | x.
Also gilt: 9 | x2 ⇐⇒ 3 | x für alle x ∈ N.
Nach 3.2 und 3.5 ist a2 ≡ Q(a2 ) ≡ Q(a)2 mod 9, somit
3 | Q(a) ⇐⇒ 9 | Q(a)2 ⇐⇒ 9 | Q(a)2 ⇐⇒ 9 | a2 ⇐⇒ 3 | a
Neunerprobe. Als Resultat einer Multiplikation erhält man a · b = c. Man
möchte überprüfen, ob die Rechnung stimmen kann:
Ist a · b = c“ richtig gerechnet, so gilt nach 3.5 auch Q(a) · Q(b) ≡ Q(c)
”
mod 9. Mit anderen Worten: Aus Q(a)Q(b) 6≡ Q(c) mod 9 folgt ab 6= c, die
Rechnung ist falsch.
Beispiel. Man erhält beim Multiplizieren
1312 · 911 = 1195232
Q(a) = 7, Q(b) = 11, Q(c) = 23
Q(a) · Q(b) = 77 ≡ 5 mod 9, Q(c) ≡ 5 mod 9
Die Rechnung kann also stimmen. (Sie stimmt auch!)
Elferprobe. Wie oben hat man a · b = c“ gerechnet. Ist dies richtig, so gilt
”
auch Q0 (a) · Q0 (b) ≡ Q0 (c) mod 11.
Beispiel. Man erhält (etwa durch einen Schreibfehler)
1312 · 911 = 1105232. Es gilt
Q0 (a) = 3, Q0 (b) = 9, Q0 (c) = −4 ≡ 7 mod 11.
Q0 (a)Q0 (b) = 27 ≡ 5 6≡ 7 ≡ Q0 (c) mod 11.
Die Rechnung muß also falsch sein. (Mit der Neunerprobe hätte man’s nicht
gemerkt.)
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