ω ω ω α - Uni Kassel

Wechselstromkreise
Der einfachste Aufbau eines Generators ist eine drehbar gelagerte
Leiterschleife im Magnetfeld.
Achse
Dreht sich die Leiterschleife
mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit ω, dann ist
die induzierte Spannung:
U ind
r
B
r r
d
=−
B ⋅ dA
∫
dt Leiter −
schleife
U ind = −
d
d
B A cos α = − B A cos(ω t ) = ω B A sin(ω t )
dt
dt
Eine solche sinusförmige Spannung nennt man Wechselspannung.
173
Im allgemeinen Fall schreibt man
U = U 0 cos(ω t + ϕ )
Die Wechselspannung hat die Amplitude U0, und die Frequenz f =
Den Winkel ϕ bezeichnet man als Phase.
ω
2π
U (t )
U0
t
T
Die grüne Kurve hat 90° = π/2 rad Phasenverschiebung gegenüber der
schwarzen Kurve.
Die Periodendauer T beträgt
T = 1/ f =
2π
ω
174
Effektivspannung
Der Effektivwert Ueff wird so definiert, das eine Wechselspannung an
einem ohmschen Widerstand R die gleiche mittlere Leistung erzeugt,
wie eine Gleichspannung mit U=Ueff.
U0
cos(ω t )
R
2
T
2
2
U
U 1
U
1 U0
eff
P = 0 ∫ cos 2 (ω t ) dt =
=
⇒ U eff = 0
R T 0
R
2 R
2
P = U (t ) I (t ) = U 0 cos(ω t )
P(t )
U eff
U (t )
Peff
Wechselspannung
Gleichspannung
175
Netzspannung
Zur Versorgung der Haushalte wird Wechselspannung mit Ueff = 220V
verwendet. Es stehen drei „Phasen“ zur Verfügung, die jeweils eine um
120° phasenverschobene Wechselspannung gegenüber dem „Nullleiter“
besitzen (Drehstrom).
U (t )
U0
U eff
t
Die Amplitude beträgt 220V·√2 = 311 V
Zwischen unterschiedlichen Phasen misst man eine noch höhere Spannung,
sie beträgt bis zu 540 V = 220V·√6 .
Die Effektivspannung zwischen zwei Phasen beträgt 380V = 220V·√3 .
176
Wechselstromkreis mit Spule
Eine Induktivität (Spule) führt in einem Wechselstromkreis zu einer
Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung.
Beim Einschalten einer Spule hatten wir gesehen, das nach Anlegen der
Spannung der Strom linear ansteigt
I
U (t )
t
I
entsprechend
zum
Einschalten
I
t
U
177
Annahme: Spule ohne ohmschen Widerstand
Der Strom steigt so schnell mit der Zeit an, dass die angelegte Spannung
gleich der induzierten Gegenspannung ist. Die Kirchhoffsche Maschenregel
fordert:
U (t ) + U ind = 0
dI
U 0 cos(ωt ) − L = 0
dt
U (t )
U ind
Durch Integration ergibt sich
I=
U0
U0
U0
cos(
ω
)
d
=
sin(
ω
)
=
cos(ωt + 90°)
t
t
t
∫
ωL
ωL
L
Der Strom ist gegenüber der Spannung um 90° phasenverschoben.
Die Spule verhält sich nicht als ohmscher Widerstand, d.h. der Strom ist
nicht zu jeder Zeit proportional zur Spannung.
178
Komplexer Widerstand einer Spule
Die Effektivwerte von Strom und Spannung sind proportional zueinander
U eff
I eff
=
U0
=ωL
I0
Um die Phasenverschiebung zu berücksichtigen und in Wechselstromkreisen
mit Widerständen rechnen zu können, führt man den komplexen Widerstand
ein.
Z = iω L
Im
komplexe Zahlenebene
ωL
90°
R
Re
Mit reellem ohmschen Widerstand und imaginärem Widerstand der Spule
erhält man einen Winkel von 90° zwischen beiden.
179
Wechselstromkreis mit Kondensator
Die Spannung am Kondensator ist proportional zur Ladung und steigt bei
konstantem Strom linear an:
U=
U
Q It
=
C C
U (t )
t
entsprechend
zum Laden des
Kondensators
U
t
I
180
Annahme: Stromkreis mit Kondensator ohne ohmschen Widerstand
Es gilt:
Q(t ) = CU (t )
Mit der Spannung
→
I (t ) =
dQ
dU
=C
dt
dt
U (t ) = U 0 cos(ωt ) folgt
I (t ) = −ω CU 0 sin(ωt ) = ω CU 0 cos(ωt − 90°)
Der Strom ist gegenüber der Spannung auch um 90° phasenverschoben,
aber zeitlich in die andere Richtung.
Die Effektivwerte von Strom und Spannung sind proportional zueinander
U eff
I eff
=
U0
1
=
I0 ω C
181
Komplexer Widerstand eines Kondensators
Um die Phasenverschiebung richtig zu berücksichtigen wird dem
Kondensator der komplexen Widerstand
1
1
=
Z = −i
ω C iω C
zugeordnet.
Im
komplexe Zahlenebene
1
−i
ωC
90°
R
Re
182
Wechselstromkreis mit Spule, Kondensator und Widerstand
Nach der Kirchhoffschen Maschenregel gilt:
U (t ) + U ind = U R + U C
U ind
Es folgt
U (t ) − L
dI
Q
= I R+
dt
C
UC
U (t )
Ein weiteres Differenzieren liefert
UR
dU
d2I
dI 1
=L 2 +R + I
dt
dt
dt C
Mit der äußeren Spannung
U (t ) = U 0 cos(ωt )
I (t )
erhalten wir die Differentialgleichung für den Strom
d2I
dI 1
ω U 0 sin(ω t ) = L 2 + R + I
dt
dt C
183
Die Differentialgleichung ähnelt sehr der Dgl. für erzwungene Schwingungen
aus der Mechanik.
Lösung durch Ansatz mit komplexer e-Funktion:
Verwenden wir für die äußere Spannung die Funktion
U (t ) = U 0 e iωt = U 0 cos(ωt ) + i U 0 sin(ωt )
Erhält man als Dgl.
i ω U 0 e iω t
d2I
dI 1
=L 2 +R + I
dt
dt C
Die Lösung dieser inhomogenen Dgl. ist die Summe aus der Lösung der
homogenen Dgl. und einer speziellen Lösung der inhomogenen Dgl.
Die Lösung der homogenen Dgl. (d.h. ohne äußere Spannung) ist
exponentiell gedämpft und spielt nach einer Weile keine Rolle mehr.
Als Ansatz für eine spezielle Lösung verwenden wir eine Funktion, die
die selbe Frequenz wie die äußere Spannung besitzt.
184
Mit dem Ansatz
I (t ) = I 0 ei (ωt −ϕ )
ergibt sich durch Einsetzen in die Dgl:
iω U 0 e iωt = − Lω 2 I 0 e i (ωt −ϕ ) + i Rω I 0 ei (ωt −ϕ ) +
1
I 0 e i (ωt −ϕ )
C
Umformen ergibt:
1 ⎞
⎛
i U 0 e i ωt = I 0 e iω t e − i ϕ ⎜ − L ω + i R +
⎟
ωC ⎠
⎝
i ⎞
⎛
U 0 = I 0 e − iϕ ⎜ i L ω + R −
⎟
ωC ⎠
⎝
Man drückt jetzt den Zusammenhang zwischen den Scheitelwerten von Strom
und Spannung mit einem komplexen Widerstand Z der s.g. Impedanz aus.
U 0 = Z I 0′
185
In der Konstanten I 0′ ist die Phasenverschiebung um den Phasenwinkel ϕ
enthalten
U 0 = Z I 0′ = Z I 0 e − iϕ
Es ergibt sich also für die Impedanz Z:
i
Z = i Lω + R −
ωC
Für den Betrag von Z erhält man
Im
(Re Z ) + (Im Z )
2
1 ⎞
⎛
= R + ⎜ Lω −
⎟
ω
C
⎝
⎠
2
2
|Z
|
Z =
2
Den Phasenwinkel berechnet man aus
Im Z
= arctan
ϕ = arctan
Re Z
Lω −
1
ωC
Lω −
1
ωC
ϕ
R
Re
R
186
Schein-, Wirk-, und Blindwiderstand
Die Impedanz bezeichnet man auch als Scheinwiderstand.
Den Ohmschen Widerstand R, d.h. den Realteil von Z nennt man
Wirkwiderstand.
Den Imaginärteil der Impedanz nennt man Blindwiderstand.
Die Darstellung der Impedanz als Pfeile in der komplexen Zahlenebene
nennt man Zeigerdiagramm.
Im
Die Impedanzen in einer Schaltung
ohmschen Widerstände im reellen Fall.
|Z
|
addieren sich (komplex) wie die
Lω −
1
ωC
ϕ
R
Re
187
Elektrische Leistung beim Wechselstrom
Man muss zwischen Blindleistung und Wirkleistung unterscheiden.
In einem Wechselstromkreis ohne ohmschen Widerstand wird keine Energie
in Wärme umgesetzt. Die von Spule und Kondensator aufgenommene
Energie wird im Feld gespeichert und bei der folgenden Halbwelle wieder
abgegeben.
Im zeitlichen Mittel wird daher keine Leistung aufgenommen (Blindleistung).
Die tatsächlich „verbrauchte“ (in andere Energieformen umgewandelte)
Leistung ist die Wirkleistung:
T
T
U I
U I
1
Pel = ∫ U (t ) I (t ) dt = 0 0 ∫ cos(ω t ) cos(ω t + ϕ ) dt = 0 0 cos ϕ
T 0
T 0
2
Bei Spule und Kondensator ist die Phasenverschiebung ϕ zwischen Strom
und Spannung gerade ± 90° (cos ϕ = 0) und daher die Wirkleistung
gleich Null.
188
Hochpass-Filter
Einen Hochpass-Filter passieren die hohen Frequenzen, während die tiefen
Frequenzen unterdrückt werden.
Man kann die Reihenschaltung von
Kondensator und Widerstand als
Spannungsteiler auffassen.
Ue
Ua
Am Ausgang Ua liegt also nur ein Bruchteil
der Eingangsspannung Ue an:
Ua =
ZR
R
Ue =
Ue
i
Z ges
R−
ωC
Nach kurzer Rechnung erhält man für Betrag und Phase
Ua =
ω RC
1+ ω R C
2
2
2
Ue
1
ϕ =arctan
ω RC
189
Frequenzabhängigkeit:
Ua Ue = 1
Ua Ue = 1
2
ω=
1
RC
ω=
1
RC
ω RC
ϕ = 90°
ϕ = 45°
ω RC
190
Tiefpass-Filter
Einen Tiefpass-Filter passieren die tiefen Frequenzen, während die hohen
Frequenzen unterdrückt werden.
Man kann die Reihenschaltung von
Kondensator und Widerstand wieder als
Spannungsteiler auffassen.
Ue
Ua
i
ZC
1
ω
C
Ue =
Ue
Ua =
Ue =
i
1 + iω R C
Z ges
R−
ωC
−
Nach kurzer Rechnung erhält man für Betrag und Phase
Ua =
1
1+ ω R C
2
2
2
Ue
ϕ =arctan(− ω R C )
191
Frequenzabhängigkeit:
Ua Ue = 1
Ua Ue = 1
2
ω=
1
RC
ω=
1
RC
ω RC
ϕ = 0°
ϕ = −45°
ϕ = −90°
ω RC
192
Frequenzfilter (Bandpass)
Aus Widerstand, Kondensator und Spule kann eine Filter für einen
schmalen Frequenzbereich aufgebaut werden.
Anwendung: Abstimmung auf einen Radiosender
Die Reihenschaltung erzeugt eine
Spannung am Widerstand von
Ua =
Ue
Ua
ZR
R
Ue =
Ue
i
Z ges
R + iω L −
ωC
Nach kurzer Rechnung erhält man für Betrag und Phase
Ua =
(
R
R + ωL −
2
)
1 2
ωC
Ue
ϕ =arctan
1
ωC
− ωL
R
193
Frequenzabhängigkeit:
Ua Ue = 1
Δω =
ω =1
LC
ω =1
LC
R
L
ω LC
ϕ = 90°
ϕ = 0°
ϕ = −90°
ω LC
194
Elektrischer Schwingkreis
Schaltungen aus Widerstand, Kondensator und Spule verhalten sich analog
zu mechanischen Schwingungen.
Die äußere Wechselspannung entspricht der Anregung bei der erzwungenen
Schwingung.
Die Energie oszilliert zwischen elektrischer Feldenergie im Kondensator und
magnetischer Feldenergie in der Spule.
Der ohmsche Widerstand verursacht Dissipation: (Erzeugung von Wärme)
analog zur Reibung in der Mechanik.
Die Schwingungsdauer der ungedämpften Schwingung ist T = 2π LC
Es tritt Resonanz auf, wenn die anregende Frequenz nahe der
Eigenfrequenz der Schwingung liegt (vgl. Bandpass-Filter).
Bei der Resonanzfrequenz „springt“ die Phase um 180°.
195
Transformatoren
In der Technik sind Transformatoren weit verbreitet.
Zur Übertragung von elektrischer Leistung über weite Strecken ist
Hochspannung erforderlich, für elektronische Anwendungen muss auf
wenige Volt reduziert werden.
r
B
An der Primärspule liegt die
Wechselspannung
U1 = U 0 cos(ωt )
U1
U2
die einen Strom I1 bewirkt:
U 0 cos(ωt ) = L
dI1
dΦ
= N1
dt
dt
Die selbe Flussänderung dΦ/dt geschieht in der Sekundärwicklung, da alle
magnetischen Feldlinien durch beide Spulen verlaufen.
196
Dadurch wird in der Sekundärwicklung die Spannung
U ind = − N 2
dΦ
dt
induziert. Als Spannungsverhältnis ergibt sich
U 1 dΦ
U
=
=− 2
N 1 dt
N2
⇒
U2
N
=− 2
U1
N1
Beide Spannungen sind um 180° gegeneinander phasenverschoben.
Der Strom
dI 1 U 0
=
cos(ωt )
L
dt
⇒
U0
I1 =
sin(ωt )
L
hat eine Phasenverschiebung von 90 Grad gegenüber der Spannung.
Der unbelastete Transformator nimmt daher keine Leistung auf.
(Durch den ohmschen Widerstand der Spule und Verluste bei der
Ummagnetisierung des Eisenkerns wird dennoch Leistung aufgenommen.)
197
Wird an die Sekundärspule ein Verbraucher angeschlossen, fließt auch dort
ein Strom ( I2 ). Dieser Strom ist um 90° phasenverschoben gegenüber dem
Strom I1 und erzeugt eine zusätzliche Flussänderung dΦ2/dt.
Durch die Phasenverschiebung beider magnetischer Flussänderungen
ergibt sich eine Phasenverschiebung von Strom gegenüber Spannung im
Primärkreis ungleich 90°.
Dies führt zu einer Leistungsaufnahme im Primärkreis.
Die aufgenommene Leistung wird im Sekundärkreis wieder abgegeben.
Im Transformator treten ohmsche Verluste auf. Zusätzlich treten Verluste bei
der Ummagnetisierung des Eisenkerns auf (Fläche der Hystereseschleife).
Im Eisenkern induzierte Wirbelströme verursachen auch Verluste.
Der Kern wird aus dünnen, gegeneinander isolierten Blechen aufgebaut,
die die Ausbildung großräumiger Wirbelströme unterbrechen.
198
Tesla-Trafo
Mit einer Primärwicklung aus sehr wenigen Windungen und einer Sekundärwicklung aus vielen tausend Windungen bei gleichzeitig hohen Spannungen
und Frequenzen können sehr große Spannungen erzeugt werden.
199
Induktionsofen
Wenn die Spannung hochtransformiert wird, wird der maximal entnehmbare
Strom auf der Sekundärseite entsprechend kleiner. Die maximal entnehmbare
Leistung ist ≤ der abgegebenen Leistung an der Primärseite.
Transformiert man die Spannung herunter, können auf der Sekundärseite
sehr hohe Ströme fließen.
r
B
→ Elektrisches Schweißen
→ Induktionsofen
U1
200