Aufgaben Wechselstromwiderstände 269. Eine aus

Aufgaben Wechselstromwiderstände
269. Eine aus Übersee mitgebrachte Glühlampe (110 V/ 250 mA) soll mithilfe einer geeignet
zu wählenden Spule mit vernachlässigbarem ohmschen Widerstand an der Netzsteckdose
(Ueff = 230 V; f = 50 Hz) betrieben werden.
a) Skizzieren Sie die dafür erforderliche Schaltung.
b) Berechnen Sie den Scheinwiderstand der gesamten Anordnung, die Induktivität L der
benötigten Spule sowie die an der Spule anliegende Spannung.
c) Bestimmen Sie die Phasenverschiebung zwischen U(t) und I(t).
d) Welchen Vorteil bietet die Spule gegenüber der Verwendung eines ohmschen
Vorwiderstandes?
270. Im Folgenden sollen vier verschiedene Black Boxes A, B, C und D untersucht werden.
Diese sind in Gehäuse mit zwei elektrischen Anschlüssen, von denen bekannt ist, dass sie
Spulen, Widerstände, Kondensatoren oder eine Reihenschaltung solcher Bauteile enthalten.
Um nähere Informationen zu erhalten, schließt man die Black Boxes einzeln an einen
Sinusgenerator mit Ueff = 10,0 V an und misst jeweils die Stromstärken Ieff in Abhängigkeit
von der Frequenz f. Die Abbildung zeigt den Verlauf der so ermittelten Ieff-f-Diagramme.
a) Geben Sie zu jeder Kurve A bis D die Bauteile an, die in
der entsprechenden Black Box enthalten sein können.
Begründen Sie Ihre Wahl.
Bei Kurve D strebt die Effektivstromstärke für zunehmende
Frequenzen gegen den Maximalwert Ieff,max = 125 mA. Für f
= 50,0 Hz ist Ieff = 100 mA.
b) Berechnen Sie daraus die charakteristischen Werte der
in der Black Box D enthaltenen Bauteile.
339. In einer Kiste mit fünf Anschlüssen befinden sich ein
ohmscher Widerstand, eine Spule, ein Kondensator und ein
Isolator.
Die folgenden Messwerte wurden zunächst unter Verwendung
einer Gleichspannung – unabhängig von der Polung der
Spannungsquelle – und anschließend mit einer
Wechselspannungsquelle der Frequenz 50 Hz aufgenommen.
Gleichspannung
Wechselspannung
Buchsenpaar
U in V
I in mA
U in V
I in mA
A–B
10
370
10
370
A–C
10
0
10
50
A–D
10
0
10
0
A–E
10
0
10
0
B–C
10
0
10
50,5
B–D
10
0
10
0
B–E
10
0
10
0
C–D
10
0
10
0
C–E
10
0
10
0
D–E
10
250
10
80
a) In welcher Box befindet sich welches Bauelement? Begründen Sie Ihre Entscheidung.
Ermitteln Sie für
b) das ohmschen Bauelement den Widerstand
c) den Kondensator den kapazitiven Widerstand und die Kapazität
d) die Spule den Scheinwiderstand, den ohmschen Widerstand, den induktiven Widerstand und die
Induktivität.
Lösungen
296.
geg.:
ges.:
UL = 110 V
IL = 0,25 A
b) L,UL,eff
c) ϕ
Ueff = 230 V
f = 50 Hz
Lösung:
b) Die Glühlampe lässt bei einer Spannung von 110 V einen Strom von 250 mA
durch. Das wird durch den ohmschen Widerstand der Lampe festgelegt. Legt man
eine höhere Spannung an, fließt auch ein höherer Strom, der jedoch de Lampe
zerstören würde. Also muss gewährleistet werden, dass trotz der Spannung von
230 V nur eine Strom von 250 mA fließt. Das kann durch einen Vorwiderstand
erreicht werden, der hier durch den induktiven Widerstand der Spule realisiert
wird. Der Scheinwiderstand von Lampe und Spule muss so groß sein, dass er bei
230 V den geforderten Strom von 250 mA fließen lässt.
Wie groß muss der Scheinwiderstand sein?
Z=
Ueff
Ieff
230 V
0,25 A
Z = 920 Ω
Z=
Der Scheinwiderstand einer Reihenschaltung aus ohmschem Widerstand und
Spule berechnet sich nach
Z = R 2 + X L2
2
Z = R 2 + (ω ⋅ L )
Diese Gleichung muss nach der gesuchten Induktivität umgestellt werden:
Z 2 = R 2 + ω2 ⋅ L2
ω2 ⋅ L2 = Z 2 − R 2
L2 =
Z2 −R2
ω2
Z2 −R2
L=
ω
Der ohmsche Widerstand R der Lampe muss noch berechnet werden:
R=
UL
IL
R=
110 V
0,25 A
R = 440 Ω
Damit kann nun die Induktivität der Spule berechnet werden:
L=
(920 Ω)2 − (440 Ω )2
2 ⋅ 50 Hz ⋅ π
L = 2,57 H
Für die Spannung an der Spule gilt:
RL =
UL,eff
I
UL,eff = R L ⋅I
UL,eff = ω ⋅ L ⋅I
UL,eff = 2 ⋅ 50 Hz ⋅ π ⋅ 2,57 H ⋅ 0,250 A
UL,eff = 202 V
c) Die Spule erzeugt zwischen der anliegenden Spannung und dem fließenden
Strom einen Phasenverschiebung. Die berechnet sich nach:
XL
R
tan ϕ = 1,83
tan ϕ =
ϕ = 61,4 °
Antwort:
b) Die Anordnung muss einen Scheinwiderstand von 920 Ohm haben. Die
Induktivität der Spule beträgt 2,57 H. An der Spule fällt eine Spannung von 202 V
ab.
c) Die Spannung eilt der Stromstärke um 61,4° voraus.
d) Die Spule hat einen ohmschen Widerstand, der sehr klein ist. Dadurch entsteht keine oder
nur sehr wenig Verlust durch Wärme.
Die strombremsende Wirkung entsteht durch die Eigeninduktion der Spule. Dieses Verfahren
ist energiesparend im Vergleich zum reinen ohmschen Widerstand.
270.
a)
Kurve A: Das ist eine Resonanzkurve. Die Stromstärke steigt von einem Minimalwert auf
einen Maximalwert an um dann wieder abzufallen. Nur bei einer Frequenz fließt großer
Strom, bei kleineren und größeren Frequenzen treten deutlich kleinere Ströme auf.
Ein solches Verhalten zeigt ein Schwingkreis, hier ein Serienschwingkreis. In dieser Black
Box befindet sich eine Reihenschaltung aus Spule und Kondensator.
Kurve B: Bei diesem Versuch sind die Stromstärke und die Frequenz proportional
zueinander. Bei der Frequenz 0, also Gleichstrom, fließt kein Strom, mit steigender Frequenz
wird er größer. Das gesuchte Bauteil ist ein Kondensator.
Die Proportionalität ergibt sich aus:
I=
U
= ω⋅ C ⋅U = 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ C ⋅U
XC
I~ f
Kurve C:
Die Stromstärke wird mit größer werdender Frequenz kleiner. Bei Gleichstrom fließt ein
bestimmter Strom.
Das heißt, ein Widerstand begrenzt bei Gleichstrom den fließenden Strom. Bei steigender
Frequenz wird der Widerstand größer. In der Box ist eine Spule, die in Reihe mit einem
Widerstand geschaltet ist.
Kurve D:
Mit steigender Frequenz wird die Stromstärke größer und strebt einem Maximalwert zu.
Damit muss sich in der Black Box ein Kondensator in Reihe mit einem ohmschen Widerstand
befinden.
geg.:
ges.:
U eff = 10,0 V
R, C
I eff ,max = 0,125 A
f = 50,0 Hz
I eff = 0,1 A
Lösung:
Bei sehr großen Frequenzen geht der Widerstand des
Kondensators gegen Null. Damit spielt nur noch der ohmsche
Widerstand eine Rolle.
R=
R=
U eff
I eff ,max
10,0 V
0,125 A
R = 80,0 Ω
Bei einer Frequenz von 50,0 Hz begrenzen der Kondensator und
der ohmsche Widerstand zusammen den Strom. Sie bilden für den
Wechselstrom einen Scheinwiderstand.
Z=
U eff
I eff
Z=
10,0 V
0,1 A
Z = 100 Ω
Damit lässt sich die gesuchte Kapazität berechnen:
Z = R 2 + X C2
Z = R2 +
C=
C=
1
(ω ⋅ C)2
1
ω⋅ Z2 − R2
1
2 ⋅ π ⋅ 50,0 Hz ⋅ 100 2 Ω 2 − 80,0 2 Ω 2
C = 53,1⋅ 10 −6 F
C = 53,1µF
Antwort:
Der ohmsche Widerstand ist 80 Ohm groß. Der Kondensator hat
eine Kapazität von 53,1 µF.
339. 1: ohmscher Widerstand
Die Stromstärken bei Gleich- und Wechselspannung sind gleich.
2: Kondensator
Bei Gleichspannung ist die Stromstärke null und bei Wechselstrom größer null.
3: Isolator
Bei beiden Spannungsarten fließt kein Strom
4: Spule
Die Stromstärke ist bei Gleichspannung größer als bei Wechselspannung.
Werte:
1. ohmscher Widerstand
U
I
10 V
R=
0,37 A
R = 27 Ω
R=
2. kapazitiver Widerstand
U
XC =
I
10 V
XC =
0,0505 A
XC = 198 Ω
Kapazität
1
XC =
ωC
C=
1
ω XC
C=
1
2 π f XC
C=
1
2 π 50Hz198 Ω
C = 1,6 ⋅10−5 F
C = 16µF
3. Spule
Scheinwiderstand
U
Z=
I
10 V
Z=
0,080 A
Z = 125 Ω
ohmscher Widerstand
U
R=
I
10 V
R=
0,25 A
R = 40 Ω
induktiver Widerstand
XL = Z 2 − R2
XL =
(125 Ω )2 − ( 40 Ω )2
XL = 118,4 Ω
Induktivität
XL = ω⋅ L
XL
ω
X
L= L
2πf
L=
118,4 Ω
2 π 50Hz
L = 0,38H
L=