Kontrolle Wechselstromwiderstände 2.10.2015 1. Ein

Kontrolle Wechselstromwiderstände
2.10.2015
1. Ein ohmscher Widerstand, ein
Kondensator und eine Spule mit Eisenkern
sind in Reihe an einer Wechselstromquelle
angeschlossen. Die Spannung an der
Quelle und die Spannung über der Spule
werden mit Drehspulmessgeräten
gemessen. Wie groß kann die Spannung
über der Spule werden? (1)
a) Nie größer als Ug.
b) Höchstens genau so groß wie Ug.
c) Größer als Ug.
2. Interpretieren Sie die Gleichung für den kapazitiven Widerstand XC =
1
. (3)
ω⋅ C
3. Eine Spule mit dem ohmschen Widerstand RSp und der Eigeninduktivität L, ein ohmscher
Widerstand mit RO = 10 Ohm und ein Kondensator mit der Kapazität C werden in Reihe
geschaltet und an einen Sinusgenerator der Spannung U(t) angeschlossen. Bei der
Bestimmung des Gesamtwiderstandes Z in Abhängigkeit von der Frequenz f ergibt sich
folgende Tabelle:
f in Hz
Z in Ohm
10
512
20
228
30
123
40
69
50
50
60
64
70
89
80
116
90
142
100
168
a) Stellen Sie die Messergebnisse in einem Z–f–Diagramm dar. (3)
b) Begründen Sie den Kurvenverlauf für große und kleine Werte der Frequenz. (2)
c) Begründen Sie mithilfe der Gleichung für den Scheinwiderstand dieser Schaltung das
Auftreten des Minimums. (3)
d) Geben Sie die Größe des ohmschen Widerstandes der Spule an. (1)
e) Berechnen Sie die Kapazität C des Kondensators in µF, wenn die Induktivität der Spule
0,34 H groß ist. (3)
f) Zeigen Sie ausführlich, dass die Berechnung der Kapazität wirklich die Einheit Farad
ergibt. (2)
Lösungen
1. c) Größer als Ug.
In einem Wechselstromkreis treten zwischen den Strömen und den Spannungen
Phasenverschiebungen auf, die bei einer Reihenschaltung an den einzelnen Bauteilen
Spannung einstehen lassen könne, die höher als die Gesamtspannung sind.
Das kann man zeigen:
Frage: Kann das Verhältnis zwischen der Spannung über der Spule und der
Gesamtspannung größer als 1 werden.
UL
> 1?
Ug
Die Spannung über der Spule ist
UL = XL ⋅ I
und die Gesamtspannung
Ug = Z ⋅ I
XL ist der Wechselstromwiderstand der Spule und Z ist der Scheinwiderstand der
Reihenschaltung aus ohmschen Widerstand, Kondensator und Spule.
Da der Strom an allen Stellen der Schaltung gleich ist, kann man schreiben:
UL XL
=
Ug Z
UL
XL
=
Ug
R 2 + X2
Der Scheinwiderstand Z berechnet sich aus dem ohmschen Widerstand R und dem
Blindwiderstand X. Der Blindwiderstand ist
X = XL − XC
Damit wird das Spannungsverhältnis
UL
XL
=
2
Ug
R2 + ( X − X )
L
C
2
 UL 
XL2
  = 2
2
 Ug  R + ( XL − XC )
Das Verhältnis der Spannungen ist größer 1, wenn
2
XL2 > R2 + ( XL − XC )
sein kann.
Das ist durchaus möglich. Sind z.B. der induktive und der kapazitive Widerstand gleich groß,
fällt die Klammer weg. (Resonanzfall)
Das Quadrat des induktiven Widerstandes ist dann ohne weiteres größer als der ohmsche
Widerstand.
2. In der Gleichung stecken zwei Größen, die veränderbar sind: die Frequenz f und die
Kapazität C.
Die Frequenz versteckt sich in der Kreisfrequenz:
ω = 2 ⋅ π⋅ f
Die Gleichung für den kapazitiven Widerstand sieht dann so aus:
1
XC =
2 ⋅ π⋅ f ⋅ C
In der Interpretation lässt man nun eine der beiden veränderlichen Größen konstant und
untersucht das Verhalten des Widerstandes, wenn man die andere Größe ändert.
konstante Frequenz:
1
C
Der kapazitive Widerstand ist umgekehrt proportional zur Kapazität des Kondensators.
Das heißt, dass bei einer gleichbleibenden Frequenz ein Kondensator mit einer größeren
Kapazität einen kleineren kapazitiven Widerstand hat.
Erklärung: Bei einer größeren Kapazität müssen zum Auf- und Abladen mehr Ladungen
transportiert werden als bei einer kleinen Kapazität. Das heißt aber, es fließt ein größerer
Strom, was für die Spannungsquelle einen kleineren Widerstand darstellt.
konstante Kapazität:
1
XC ~
f
Der kapazitive Widerstand ist umgekehrt proportional zur Frequenz der Wechselspannung.
Das heißt, dass bei einem Kondensator der kapazitive Widerstand mit steigender Frequenz
immer kleiner wird.
Erklärung: Bei Gleichstrom ist die Frequenz 0 Hz und der Widerstand des Kondensators
unendlich groß. Er ist ja ein Isolator.
Mit steigender Frequenz wird er immer öfter umgepolt. Dadurch fließen immer mehr
Ladungen zum Kondensator hin und wieder weg, was einen steigenden Strom bedeutet. Für
die Spannungsquelle stellt das einen immer kleiner werdenden Widerstand dar.
XC ~
3.
a)
600
500
Z in Ohm
400
300
200
100
0
0
20
40
60
80
100
f in Hz
b) Bei den tiefen Frequenzen hat der Kondensator einen sehr großen Widerstand und die
Spule praktisch nur ihren ohmschen Widerstand (sehr klein). Der Gesamtwiderstand der
Schaltung wird also durch den hohen kapazitiven Widerstand bestimmt.
Bei den hohen Frequenzen lässt der Kondensator den Strom gut durch. Dafür hat nun die
Spule einen großen induktiven Widerstand, so dass der Gesamtwiderstand der Schaltung
wieder sehr groß ist.
c) Der Scheinwiderstand der Schaltung berechnet sich mit
Z = R2 + ( XL − XC )
2
120
Zu dem ohmschen Widerstand wird der Blindwiderstand addiert. Sind der induktive
Widerstand und der kapazitive Widerstand gleich groß, heben sie sich in der Differenz auf
und der Wert für den Blindwiderstand ist 0. Damit wirkt nur noch der ohmsche Widerstand.
d) Das Minimum des Scheinwiderstandes ist bei 50 Hz erreicht. Bei dieser Frequenz wird der
Scheinwiderstand nur noch vom ohmschen Widerstand gebildet.
Der setzt sich aber aus der Reihenschaltung des eingebauten ohmschen Widerstandes und
dem ohmschen Widerstand der Spule zusammen.
Da der Scheinwiderstand 50 Ohm und der eingebaute Widerstand 10 Ohm beträgt, muss der
ohmsche Widerstand der Spule 40 Ohm groß sein.
e). Bei der Frequenz von 50 Hertz, also dem Minimum des Scheinwiderstandes, sind
kapazitiver Widerstand und induktiver Widerstand gleich groß:
XC = XL
Damit kann die Kapazität berechnet werden.
1
= ω⋅ L
ω⋅ C
1
ω⋅ C =
ω⋅ L
1
C= 2
ω ⋅L
C=
1
4 ⋅π ⋅ 50 Hz 2 ⋅ 0,34H
2
2
C = 29,8µF
f)
[C] =
1
s2 ⋅ s2 ⋅ A 2
=
Hz 2 ⋅ H m2 ⋅ kg
s2 ⋅ s 2 ⋅ A 2 V s 2 ⋅ s2 ⋅ A A ⋅ V
[C] = m2 ⋅ kg ⋅ V = m2 ⋅kg ⋅ V
s2 ⋅ s2 ⋅ A W s2 ⋅ s2 ⋅ A kg ⋅ m2 ⋅ s−3
⋅ =
⋅
[C] = 2
m ⋅ kg V m2 ⋅ kg
V
[C] =
s⋅ A
=F
V