Übungen zu Experimentalphysik 2 - Technische Universität München

Physik Department, Technische Universität München, PD Dr. W. Schindler
Übungen zu Experimentalphysik 2
SS 13 - Übungsblatt 7
1 Wechselstrom
In der Zeichnung ist ein Stromkreis mit reellen (Ohmschen)
sowie imaginären (Kondensator, Spule) Widerständen abgebildet:
(R1 = 10 ⌦, R2 = 40 ⌦, XL = 30 ⌦, XC = 10 ⌦ und
U0 = 110 V )
U
R1
XL
(a) Um den Gesamtwiderstand auszurechnen, muss der
XC
R2
Stromkreis in Elemente aufgeteilt werden, die sich sinnvoll berechnen lassen. Rechnen Sie also zunächst die
komplexen Widerstände Z der beiden Zweige aus. Skizzieren Sie zur Veranschaulichung vorher die Widerstände in einem Zeigerdiagramm.
(b) Berechnen Sie nun die Stromstärken in den Zweigen und die Phasenlage des Stroms
gegenüber der Spannung. (Zeigerdiagramme helfen!)
(c) Fertigen Sie ein Zeigediagramm für den Strom an und verwenden Sie es, um die Amplitude
und Phasenlage des Gesamtstroms zu ermitteln.
(d) Warum zeigen in den einzelnen Zweigen Strom- und Impedanzzeiger in unterschiedliche
Richtungen?
(Vergleiche Skript: 13.4)
(a) Im Zweig mit R1 ist Z1 =
R22
+
1/2
XL2
R12 + XC2
1/2
= 50 ⌦
1
= 14, 1 ⌦. Im Zweig mit R2 ist Z2 =
(b) Im Zweig mit R1 ist I0 = U0 /Z =
110V
14,1 ⌦
I0 = U0 /Z =
= 7, 78 A. m Zweig mit R2 ist
110V
50 ⌦
= 2, 2 A.
p
Der Strom im Zweig 1 eilt der Spannung um ' voraus, wobei gilt: cos' = R/Z1 = 1/ 2
und damit ' = 45 Grad.
Im Zweig 2 eilt der Strom der Spannung um ' nach, wobei gilt: cos' = R/Z2 = 4/5 und
damit ' = 36, 9 Grad.
(c) Das Vektordigramm zeigt den Strom I1 = 7, 78 A im Zweig 1, der der angelegten Spannung um 45 Grad voreilt, und den Strom I2 = 2, 2 A im Zweig 2, der der angelegten Spannung
um 36,9 Grad nacheilt. Der Gesamtstrom entspricht der Vektorsumme der Einzelströme:
(Iges )x = I1 cos(45°) + I2 cos(36, 9°)
(Iges )y = I1 sin(45°)
I2 sin(36, 9°)
2
2
Amplitude des Gesamtstroms: Iges = Iges,x
+ Iges,y
und die Phasenlage: tan' =
Iges,y
Iges,x
1/2
=) ' = 30, 6 Grad
2
= 8, 38 A
(d) In Wechselstromkreisen gilt I = U/Z. Beim Teilen durch die Impedanz ändert sich deshalb
das Vorzeichen der Phase:
i!t
I = U/Z = Û ·e i = Iˆ · ei(!t )
Ẑ·e
2 Kondensator im Stromkreis (alte Klausuraufgabe)
Ein Kondensator der Kapazität C = 5 nF werde mit
einem großen Ohmschen Wiederstand von R1 = 1 M⌦
parallelgeschalten. Um zu berücksichtigen, dass in realen
Kondensatoren immer kleine Leckströme fließen, wurde
in nebenstehender Abbildung der Kondensator durch ein
Ersatzschaltbild ersetzt.
Zunächst sei eine Gleichspannung von U = 240 V angelegt. Es fließt ein Strom von I = 0, 40 mA.
(a) Berechnen Sie den Gesamtwiderstand R sowie den Ohmschen Widerstand R2 .
(b) Wie groß sind die Ströme durch R1 , R2 und C?
Es sei nun U eine sinusförmige Wechselspannung der Frequenz f = 50 Hz.
(c) Berechnen Sie den Wechselstromwiderstand dieser Schaltung XRkC sowie die Phasenverschiebung 4' zwischen Strom und Spannung. Fertigen Sie dazu ein Zeigerdiagramm
an!
(a) Der Gesamtwiderstand beträgt U = R · I
240 V
5
R = UI = 0.4·10
3 A = 6.0 · 10 ⌦
und damit ergibt sich z.B. aus der Knotenregel R1 = R11 + R12 und somit
⇣
⌘ 1
1
1
1
1
R2 = R1
= 6.0·10
= 1.5 · 106 ⌦
5⌦
R1
1.0·106 ⌦
(b) Der Strom durch C ist Null (Gleichspannung). Die Ströme durch R1 und R2 sind:
U = R1 · I 1
240 V
I1 = RU1 = 1.0·10
6 ⌦ = 0.24 mA
I2 = I I1 = 0.40 mA 0.24 mA = 0.16 mA
(c)
Gesamtstrom aus dem Zeigerdiagramm:
q
2 + I2
I = IR
C
Mit
IR =
und
IC =
folgt:
IRkC = U
U
RC
q
U
R
= U !C
1 2
R
+ (!C)2
Gesamtwiderstand ergibtsich mit ! = 2⇡f daraus zu:
XRkC =
U
IRkC
=
⇣
1 2
R
3
+ (2⇡f · C)2
⌘
1/2
XRkC =
⇣
2
1
6.0·105 ⌦
+ (2⇡ · 50 Hz · 5.0 · 10
9
F)2 )
Phasenverschiebung aus dem Zeigerdiagramm:
tan(4') =
IC
IR
U !C
U/R
=
⌘
1/2
= 4.4 · 105 ⌦
= R · 2⇡f · C
tan(4') = 6.0 · 105 ⌦ · 2⇡ · 50 Hz · 5.0 · 10
9
F = 0.94
4' = 0.43°
3 Wechselstromkreis
Ein Kondensator bzw. eine Spule mit vernachlässigbarem
Ohmschen Widerstand werden einzeln zwischen den Punkten
A und B der nebenstehenden Schaltung an einen Sinusgenerator mit der Spannung
U (t) = Um · sin (!t)
angeschlossen. Ein Zweikanal-Oszilloskop zeigt jeweils die folgende Darstellung der Spannung U (t) und der sich einstellenden Stromstärke I(t).
Die Stromstärke wird dabei mit Hilfe des Ohmschen Widerstandes R = 1.0 ⌦ in ein Spannungssignal umgewandelt.
Der Einfluss von R auf die Anzeige des Kanals 1 soll vernachlässigt werden.
In beiden Fällen gilt:
Horizontalablenkung:
1.0
ms
cm
Vertikalablenkung:
V
mV
für Kanal 1,
10
für Kanal 2
cm
cm
(a) Ordnen Sie jedes Oszilloskopbild dem richtigen Schaltelement (Kondensator oder Spule)
zu.
2.0
(b) Leiten Sie allgemein die Formel für den Wechselstromwiderstand RC eines Kondensators
her. (Besprechung optional, je nach verbleibender Zeit in der Übung)
4
(c) Bestimmen Sie anhand der Oszilloskopbilder die Kapazität C des Kondensators sowie die
Induktivität L der Spule.
(a) Vorüberlegung: Durch Kanal 1 wird die Spannung am jeweiligen Element dargestellt.
Durch Kanal 2 wird eine Spannung dargestellt, die proportional zum Strom ist.
Im linken Bild eilt die Spannung dem Strom voraus, somit gehört dieses Bild zur Spule.
Im rechten Bild eilt der Strom der Spannung voraus, somit gehört dieses Bild zum
Kondensator.
(b) (optional, je nach verbleibender Zeit - ansonsten auf’s Skript bzw. die Vorlesung verweisen)
Maschenregel (Vernachlässigung von R laut Angabe):
U (t) = UC (t)
Q(t)
U0 · sin (!t) =
C
Differentiation nach t auf beiden Seiten liefert (mit I(t) = Q̇(t)):
I(t)
C
I(t) = !C · U0 · cos (!t) = I0 · cos (!t)
!U0 · cos (!t) =
Mit I0 = !C · U0 aus obiger Gleichung und dem ohmschen Gesetz U0 = R · I0 ergibt
sich:
1
RC =
!C
(vgl. Skript S. 129-131)
(c)
Spule: aus dem linken Bild kann man ablesen:
U0 = 6 V
I0 = 19 mA (da UR = 19 mV und R = 1.0 ⌦)
T = 4.0 ms
(aus den Amplituden von Kanal 1 und 2 in y-Richtung, sowie der Periodenlänge
in x-Richtung)
Über den induktiven Widerstand der Spule lässt sich nun die Induktivität berechnen:
RL = !L
U0
2⇡
=
·L
I0
T
U0 T
L=
= 0.20 H
2⇡ · I0
Kondensator: aus dem rechten Bild kann man ablesen:
U0 = 6 V
I0 = 24 mA (da UR = 24 mV und R = 1.0 ⌦)
T = 4.0 ms
5
(aus den Amplituden von Kanal 1 und 2 in y-Richtung, sowie der Periodenlänge
in x-Richtung)
Über den kapazitiven Widerstand des Kondensators lässt sich nun die Kapazität
berechnen:
1
!C
U0
T
=
I0
2⇡ · C
I0 T
C=
= 2.5 · 10
2⇡ · U0
RC =
6
6
F