Fachwissenschaftliches Seminar zur Zahlentheorie

Fachwissenschaftliches Seminar
zur Zahlentheorie
Vortragsunterlagen zu:
„Darstellung von Zahlen als Summe von Quadraten“
Die zentrale Fragestellung lautet in diesem Vortrag, wie sich natürliche Zahlen als Summe
von Quadraten darstellen lassen. Um eine Antwort zu erhalten, soll der Zwei-QuadrateSatz von Fermat vorgestellt und anschließend ein Ausblick auf den (bestmöglichen) VierQuadrate-Satz von Lagrange gegeben werden.
fV.5 Darstellung von Zahlen als
Quadratsummen
pie ganzeGlusssche Zahl a * Ui hat die Norm /V(c * vi) : a2 + y2. In II.B
tauchte bei der Untersuchottgganzer Glussscher Zahlen immer wieder die
Fbageauf, ob eine solche Zahl mit vorgegebenerNorm existiert, ob also die
diophantischeGleichung
xz*vr=n
für ein gegebenesn € IN lösbar ist. Wir sagendann, die Zahl n sei ak Summe
zweier Qaailrote ilarstellhor.Sind zweiZahlenals SummezweierQuadrate darstellbar, da,nrrgilt dies auch für ihr Produkt:
(o' + b')' ("' + &) :
_
-
il(a * är). iv(c + di)
/v((" + bi). (c + di))
/V((ac- M) * (ad + öc)i)
(o" - bd)z+ (ad + bc)2
Die Beziehung(ot +b').("'+e) : (ac-M)'+(od+öc)2 l€nn man natürlich
auch ohne Zuhilfenahme des Begriffs der GaussschenZahl überprtifen, indem
m n die Kla.srmernausmultipliziert.Elegantergestaltetsichder Nachweisdieser
Beziehung,wenn man in der Matrizengleichung
(;
-:)(; -'):
(:;;'l
-@::-';))
die Deterrrinanten bildet. Aufgrund dieser Beziehung ist es naheliegend,
zunächst die Darstellbarlceitvon Primzohlez als Summe zweretQuadrate zu
untersuchen.Wegen2 = t2 * 12 sind dabei nur die ungeradenPrimzahlen von
lV.5 Darstellung
von Zahlenals Quadratsummen
2L7
Interesse.Wegen u,2:0 mod 4 oder u2 = 1 mod 4 für jede Quadratzahl u2 gilt
für alle ganzer-ZahLenxry
s2+v'*3mod4,
eine Primzalü p mit p: 3 mod 4 ist also nicht als Summe von zwei Quadraten
darstellbar. Gilt für die Primzahl p jedoch p = L mod 4, dann ist p als Summe
zweier Quadrate darzustellen, und z!ürarbis auf die Reihenfolge der Summanden
eindeutig. Diese Behauptung wollen wir nun beweisen:
Ist p eine Primzatrl mit p = L mod 4, dann t" (+) - 1, die quadratische
Kongruenz u2 = -1 mod p besitzt also eine Lösung uo modp. Wegenp lushat
die Kongruenz uon : y mod p für jedes y € IN eine Lösung rs mod p. Damit
gilt (uscs)' :- -r'o = VBmod p, also
*'o+ y3=0 modp.
Nun zeigen wir, daß man xotqo so konstruieren kann, daß
o <xzo+v3<2p
gilt, woraus dann p:
13 * yfr folgt. Dazu betrachte man die Menge
T - {usa- y l0 ( r <kn, 0 < y S!rn],.
? enthält (tr/pl + 1)' ) p Elemente, also auch zwei mod p kongruente:
uonr -Ur = uoxz- y2 mod p
bzw. uo(q - rr) =yt - y2 mod p.
Fär zs - t1 - x2 und ye : Ur - y2 gilt dann wegen(*t,Vt) * (*t,Vr)
0 <l " o l < r /F u n d 0< l y o l < ' /p ,
also 0 < rf, + VB< 2p. Damit haben wir folgenden Satz bewiesen:
Satz 12: Eine ungerade Primzahl p ist genau dann als Summe zweier Quadrate
darstellbax, wenn p = L mod 4.
Dieser Satz ist im Jahr 1640 von FnRMAT in einem Brief an MBRsENNE
ausgesprochenworden, er war allerdings schon Alsnnr GmnRo (1595-1632)
bekannt und heißt daher auch manchmal ,,Satz von GtReRD((.Als erster publizierte Eulnn im Jahr 1754 einen Beweis; auf ihn geht auch der folgende
Nachweis det Eindeutigh,eitder Darstellung zurück:
E s s e ia 2 * y 2 : u , 2 l a z : p , w o b e i m a n 0 < s
1y 1af und0 <u <n <y@
annehmen darf, ohne die Allgemeinheit zu beschränken. Ferner ist klar, duß p
keine der Zahleßn,g,u,u teilt und da^ßBBT(c,V) : BBT(u,v) :1 gilt. Die zu
beweisendeAussag€,,o : u und A : v" ist unter obigen Annahmen gleichwertig
lmit rrxu - yu: 0" und dies wiederum mit ,,pl(uu* yu)".Nun gilt
(ro - Vu)' (xu * Vu) : x2rt2- y'u' : (p - V')r' - V'u'
-
paz- v'(u' + u') : p(r' - v\.
Gleichungen
und diophantische
Vl Kongruenzen
2L8
- p. Wegen
Die Annahme pl(ru +Vu) führt wegen0 < ru *yu < 2p anf xu *yu
- yu : 0, was
(r, + v') . (u' + r') - (*u - yu)2* (xu + y1))2folgt daraus tu
aber wegennu l yu nicht möglich ist. Also gilt pl(ru - Yu)' fl
Man kann Satz 12 auch mit Hilfe von Kettenbrüchen beweisenund dabei sogar einen Algorithmus für die Bestimmung der Darstellung P : a2f b2gewinnen
(vgl. z. B. [Lüneburg1987]).
In II.3 Satz 7 haben wir schon gesehen,daß eine natürliche ZahL aus der
Restklasse1 mod 4 genau dann eine Primzahl ist, wenn sie höchstenseine
Darstellung als Summe von zwei Quadratenbesitzt. Auch der folgendeSatz ist
schonin II.3 (Satz 6) auf andereArt bewiesenworden'
Satz 13: Eine natürlich e Zahln ist genau dann als Summe von zwei Quadraten
darstellbar, wenn für jede Primzahl p mit p = 3 mod 4 der Exponent in der
kanonischenPrimfaktorzerlegung von n gerade istBeweis:Es sei f7 - a.b, wobei a aus allen Primfaktorenp von n mit p=3 mod
4 besteht, ö also keinen solchen Primfaktor enthält. Da also b aus Faktoren
besteht, die als Summe von zwei Quadraten darstellbar sind, ist b selbst als
Summe von zwei Quadraten darstellbar:
b:u2*u2.
1) Ist a eine Quadratzahl, etwa a : c2,,sind also die Exponenten der Primzahlen
p mit p = 3 mod 4 in n gerade, dann ist
a-b:
n:
c 2 ( u ' + r t ) - ( c u ) 2* ( c u ) 2 ,
die Zahl n ist dann also als Summe zweier Quadrate zu schreiben.
2) G i l t um ge ke h r t n:
*
TLL: ,t, * Yl
+ y 2 und ist d - ggT(r,y ), da nn ist dzln und
mit
rtr :
n1
d,
Für einen Primteilerp von n gilt p xnßt
uno
fr
,tr:jtUt
v
d
Ist y1u: 1 mod p, dann ist
(rtu)'+1:0modp,
also -1 quadratischer Rest mod p. Dies ist aber nicht möglich, wenn p = 3 mod
4. Also stecken alle Primteiler von n dieser Form in der Quadratzahl d2. fl
Ist n eine zusammengesetzleZah| die den Bedingungen von Satz 12 genügt
Primteiler p der Form p = L mod 4 enthdlt,
und mindestenszwei verschiedenen
dann besitzt n wesentlichverschiedeneDarstellungenals Summe zweier Qnuist
drate. Beispielsweise
6 b - L 2+ 8 2 - 4 2+ 7 2 .
Bei einer Primzahl dagegenist die Darstellung eindeutig, wie wir oben gezeigt
haben. Es gilt sogar allgemeiner:
von Zahlenals Quadratsummen
lV.5 Darstellung
279
Satz 14: Die Darstellung einer Primzahl p in der Form o,nz+ by2 lr;rita, ö € IN
ist eindeutig.
Beweis:Wäre p: au2*buz : at2 +by2 mit ggT(u,u) : ggT(r, a) :1, so wäre
p2 _
_
_
(auz * bu2)(ax2+ by')
a2u2x2+ b'rty' a ab(u2yt+ u'r')
(aux + buy)' { ab(uy - ur)z
_
(aux - bry)' * ab(uy+ ,*)'.
Ist uy - ut, dann ist zlr und rlu wegenggT(u,u) : ggT(r, y) - 1, also Lt': tr
und damit auch u : At obige Darstellungen sind dann also gleich. Ist uy # r,,
dann ist uy : *.ux mod p; das folgt aus p ) a und
a(u2x2 - uty')
_
(p - bv')uz - au2Y2
puz - (au2 * bu')y'
puz - py2
:
p'(u' - y').
_
_
Daraus ergibt sich wegenp' I ab(uy * ux)z
l"y *uxl - p,
a - b : L u n d a u r * - b u Y- 0 .
Insbesondereergibt sich die Eindeutigkeit der Darstellung für (4, b) + (1,1).
F ü r ( a , b ) - ( 1 , 1 ) f o l g t l l t : L u y - 0 , a l s ox : l c u sy, : L u , u n d d a m i t a u c h
die Eindeutigkeit der Darstellung in diesem Fall. tr
Eulun hat sich insbesonderefür die Darstellung von Primzahlen in der Form
n2 +dy2 mit d e IN und ggT(*,dy) - l interessiert.Nach Satz14 besitzt eine
Primzahl bei gegebenemd,höchstenseineDarstellungder Form *t + dy'.Durch
diese Eigenschaft sind aber die Primzahlen keineswegsgekennzeichnet,nur fur
gewisseWerte von d gilt dies. Die Zahlen rnit der Eigenschaft,daß jede eindeutig in der Form 12 + dy2 mit ggT(o, dV) : 1 darstellbare Zahl eine Primzahl
ist, nannte Eulnn numeri idonei (,,tauglicheZahlen"). Mit Hilfe dieser Zahlen kann mar] untersuchen, ob gewissevorgelegte Zahlen Primzahlen sind; in
diesemSinne sind die numeri idonei tauglich für Primzahltests.Eulpn kannte
genau 65 numeri idonei (vgl. folgendeTabelle),und es sind bisher auch keine
weiteren gefunden worden.
Numeri idonei
1 ,0 2 ,1 0 5 ,1 1 2 ,1 2 0 ,1 3 0 ,
4 0 , 4 2 , , 4 5 , 4 8 , 5 7 , 5 8 ,760 ,7 2 , 7 8 , 8 5 , 8 8 , 9 3
133, 165, 168,177,190,210, 232,240,253,273, 280,3r2, 330,345,
1320,1365,1848
357,385,408,462,520,,760,840,
Wir wollen zeigen,daß'7 eine,,taugliche" Zahl ist: Es sei n ungerade und
: t2 *7y'mit ggT(x,7y): 1, ferner sei p ein Primteilervon n' Dann ist
220
lV Kongruenzen
und diophantische
Gleichungen
0 modp, mit z:
q't7Y'=
:
*1 sein' Wegen
(+)
t U P - 3m o d p a l s oz 2 : - 7 m o d p . E s m u ß d a h e r
:(+)
(#)
(;)
- (-1)
muß p:
p-l
4 ' t- . 1
l
2 (-1)
p-L
2'
(;)
:
(;)
L,2,,4mod 7 gelten; dup ungeradeist, gilt also
p = t,9,11 mod 14.
Ist nun x1*. zy1 : 0 mod p mit 0 ( rr ,Ur I Jp $Sl. Beweisvon Satz 12), dann
gilt y2r(22* 7) =
+ zv? = o mod p, also
"?
,?+7a1-*p
mit tSm<7.
Dabei dürfen xrtyr nicht beide ungeradesein, denn dann wäre 8 ein Teiler von
x?+ 7yr2und damit auch vonn'rp. Daraus folgt sofort m 12 und m 16. Ist rn
:4, dann sind r1,y1 beide gerade'und es ergibt sich durch Kürzen der 4 eine
Darstellu\gr.tr+7Al -p. Ist rn :3, dann ist 3r{y1,denn p#3; es ergibt sich
ein Widerspruch ," (+) : (+) - -1. Ist rn : 5, dann ist 6 )(v,,,denn p * 5;
äs ergibt sich ein Widerspruch zu (+) : (+) -- -1. Ist rn - 7, so setzenwir
tr :7rz und erhalten y?+7x7 - p. Insgesamtergibt sich, daß jeder Primfaktor
von n in der Form nz + 7y2 mit ggT(c, 7y) : l" darstellbar ist. Enthilt nun n
die (gleichenoder verschiedenen)
Primfaktoren prtpz,..., und gilt p; - r! +7y?
für f : L,,2,,...,dann gewinnt man durch mehrfachesAnwenden der Identität
('? + 7vI@3+ 7vl)- (*r*, T Tysz)z* 7(xs2L yr*r)'
verschiedeneDarstellungenvon n. Ist also die Darstellung von n eindeutig, dann
ist n eine Primzahl.
Beispiel 1: Wir wollen zeigen,daß 977 eine Primzahl ist. Wegen 977 :1L mod
14 dürfen wir dazu den Test mit der,,tauglicherf'ZahL 7 benutzen.Wir suchen
ein g e IN so, daß 977 -Tyz ein Quadrat ist. Dabei muß I < y < 11 sein, da
dieser Ausdruck für y > t2 negativ wird. Es ergeben sich die Zahlen 970, 949,
914, 865, 802, 725, 634, 529, 4I0, 277, 130; von diesen ist nur 529 - 232 ern
Quadrat, also ist 977 eine Primzahl. Die (eindeutige) Darstellung lautet
977:232 +7.82.
Beispiel 2r Eulnn hat mit Hilfe des nutnerrrs id,oneus 1848 gezeigt,
daß 1.8518809eine Prirnzahl ist: Aus dem Ansatz 18518809 : 12 *t848y2
ergibt sich zunächst
1,<v=[tm1 :1oo
von Zahlenals Quadratsummen
lV.S Darstellung
22L
Nun betrachtet nlan obigen Ansatz nach verschiedenenPrimzahlmoduln, welche
keineTeilervon 1848: 22 .3.7. 11 sind:
02 +3y'=
n2 + 2y' =
tz - 5y' =
n2 +5y'=
4 mod 5 ist nicht lösbarfür y:
10 mod 13 ist nicht lösbar für y
12 mod 17 ist nicht lösbar für y
3 mod 19 ist nicht lösbarfür y :
* 2 mod 5;
: *1, +2 *.3 mod 13;
= 0, +2, *3 + 4, *6 mod 1.7;
0,*2,+3 * 4,+6 mod 19.
Jetzt verbleiben für y nur noch zehn Werte, närnlich
5, 9, 26,39,46,56,69,84,86,100.
Keine der Zahlen
18518809 - 1848' 52 : 18427 609,,
1 g 5 1 9 8 0 9_ 1 8 4 8 .9 2 : t g 3 6 91 2 1 ,
1 8 5 1 8 8 0 9_ 1 8 4 8 . 2 6 2 : t 7 2 6 9 5 6 1 ,
1 8 5 1 8 8 0 9_ 1 8 4 9 . 3 9 2 : 1 5 7 0 8 0 0 1 ,
1 8 5 1 8 8 0 9- 1 8 4 8 '4 6 2 : 1 4 6 0 8 4 4 1 ,
18518809- 1848' 562 : I272348L,
18518809 - 1848' 692 : 9720 48L,,
1 8 5 1 8 8 0 9- 1 8 4 8 ' 8 4 2 : 5 4 7 9 3 2 1 ,
18518809- 1848.862 - 4851001
ist eine Quadratzahl, dies trifft nur für
1 8 5 1 8 8 0 9- 1 8 4 8 .1 0 0 2- 3 8 8 0 9- 1 9 7 2
zu. Es gilt 18 518 809 - tg72 + 1848. 1002.Da dies die einzige Darstellung von
18518809in der Form nz + 1848y2ist, handelt es sich um eine Primzahl.
Die Zahl 3 läßt sich als Summe von drei Quadraten darstellen (näimlich
3 : 12 + 1? * 1'), zur Darstellung der Zahl 7 benötigt man vier Quadrate:
7 - 12 + 12 + 12 + 22. Der folgende Satz aon LacnaNcn besagt, dd man
zur Darstellung einer natürlichen Zahl als Quadratsumme mit vier Quadraten
auskommt. Bncnnt (vgl. IV.6) glaubte, daß schon DtopHaNT diesen VierQuailrate-Satzkannte; FnnM.q.t scheint einen Beweisftir diesen Satz gehabt zu
haben, hat ihn aber nie mitgeteilt. Nachdem es Eulnn nicht gelungen war,
einen Beweis zu finden, hatte L,q,cnA.NcoErfolg, weshalb der Satz nach ihm
benannt ist. (In [Nageil 1964]heißt dieserSatz aber Satz aon BtcHET.)
Satz 15: Jede natürlicheZahl läßt sich als Summe von höchstensvier Quadraten darstellen.