flächengleich

Geometrie Modul 4b
WS 2015/16
Mi 10-12 HS 1
Benötigte Materialien: Geometrieheft – DIN-A-4 blanco weiß, quadratisches Faltpapier/Zettelblock,
rundes Faltpapier; Zirkel, Geometriedreieck, Klebstoff, Schere
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28.10. V1
04.11. V2
Geometrische Grundbegriffe
Grundkonstruktionen und Bestimmungslinien
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11.11. V3
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18.11. V4
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25.11. V5
02.12. V6
09.12. V7
Dreiecke und ihre Eigenschaften (Winkel, Kongruenzsätze,
Linien/Punkte, Typisierung, Symmetrien, Winkelsätze)
Vierecke und ihre Eigenschaften (Typisierung, besondere Vierecke,
Haus der Vierecke, Symmetrien)
Dreiecke (Flächensätze, Ähnlichkeit)
Vielecke (Sätze, Winkel, Symmetrien, Beziehungen zum Kreis)
Kreis (Geraden, Punkte, Typisierung, Symmetrien, Winkelsätze)
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16.12. V8
13.01. V9
Kongruenzabbildungen - Symmetrie
Flächeninhalt und Umfang von Vielecken und Kreisen
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20.01. V10
Typisierung von Körpern (Quader, Prismen, Spitzkörper, Platonische
Körper, Kugel)
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27.01. V11
Rauminhalt von Körpern (Rauminhalt von Prismen und Spitzkörpern,
Rauminhalt und Oberfläche der Kugel)
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03.02. V12
Zusammenfassung
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12.02. (Freitag)
14-16 Uhr, Klausur (HS 1, HS 2)
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V9 Flächeninhalt und Umfang
von Vielecken und Kreisen
Quellen: Krauter. Erlebnis Elementargeometrie;
Duden Mathematik; Kusch. Geometrie und
Stereometrie
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Programm
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1 Grundlegend: Flächeninhalt des Rechtecks
2 Flächeninhalt des Parallelogramms
3 Flächeninhalt des Dreiecks
4 Flächeninhalt des Trapezes
5 Flächeninhalt weiterer Vierecke
6 Flächeninhalt des Kreises
7 Flächenverwandlungen
8 Umfang und Flächeninhalt
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• Die Fläche einer ebenen Figur umfasst
alle die Punkte, die sich im Innern oder
auf dem Rand der Figur befinden.
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Kongruente Figuren sind immer
auch flächengleich. Allerdings
müssen flächengleiche Figuren
nicht kongruent sein.
Figuren sind auch flächengleich,
wenn sie durch Hinzufügen
kongruenter Teilfiguren in
kongruente Figuren verwandelt
werden können.
Man spricht in diesem Fall von
Ergänzungsgleichheit der
Figuren.
Flächengleiche Figuren, die nicht kongruent sind.
Ergänzungsgleiche Figuren
• Figuren heißen
zerlegungsgleich, wenn
sie in zueinander
kongruente Teilfiguren
zerlegt werden können.
Zerlegungsgleiche Figuren
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1 Grundlegend:
Flächeninhalt des Rechtecks
• Wie viele Einheitsquadrate
passen in das Rechteck?
• Ist x die Länge des Rechtecks,
so passen x Quadrate in eine
Reihe und ist y die Breite des
Rechtecks, so passen y dieser
Reihen in die Rechtecksfläche,
insgesamt passen also x · y
Einheitsquadrate in das
Rechteck.
AR = x · y
bzw.
• Der Flächeninhalt kann als
Produkt der Seitenlängen
berechnet werden.
AR = a · b
6
• Ein Quadrat ist ein
Viereck mit vier rechten
Winkeln und vier gleich
langen Seiten. Es ist ein
spezielles Rechteck, für
welches a = b gilt. Man
kann also in der Formel
a für b einsetzen.
• Aus A = a · b wird
wegen b = a die Formel
A = a· a = a2.
7
• Der Flächeninhalt eines
Parallelogramms, eines Dreiecks,
eines Trapezes, einer Raute, eines
Drachenvierecks kann berechnet
werden, indem zu diesen Figuren
zerlegungsgleiche Rechtecke
gesucht werden.
• Zu rechtwinkligen Flächen in
Figuren gelangt man häufig,
indem man von der Höhe aus
denkt.
• Manchmal sind es aber auch
Diagonalen, die sich rechtwinklig
schneiden und deshalb Grundlage
für Flächenberechnungen sind.
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2 Flächeninhalt des Parallelogramms
• Das Parallelogramm kann man in ein Rechteck verwandeln
(Ecke abschneiden, verschieben und auf der anderen Seite
wieder ansetzen).
• Parallelogramm und Rechteck sind also zerlegungsgleich.
• Ein Parallelogramm hat denselben Flächeninhalt wie ein
Rechteck mit der gleichen Grundseite und der gleichen Höhe.
AP = g · h
• Da die Raute ein spezielles Parallelogramm ist, kann man für
dieses Viereck die gleiche Flächenformel nutzen. (s. auch
Drachenviereck und Raute)
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3 Flächeninhalt des Dreiecks
• Jedes Dreieck kann durch
passendes Anlegen eines
kongruenten Dreiecks
(Punktspiegelung an einer
Seitenmitte) in ein
Parallelogramm gleicher
Höhe und Grundseite
umgewandelt werden.
• Daraus ergibt sich:
AD = g · h
2
10
AD =
Punktspiegelung an einer
Seitenmitte.
g·h
2
Die Fläche des Dreiecks wird zum
Parallelogramm bzw. zum Rechteck
verdoppelt. Demzufolge muss bei der
Berechnung mit der
„Parallelogramm/Rechteck – Formel“
eine Halbierung erfolgen.
Punktspiegelung an den
Seitenmitten der durch die
Höhe abgegrenzten
Teildreiecke.
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4 Flächeninhalt eines Trapezes
•
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•
Auch das Trapez kann man durch Punktspiegelung an
einer Seitenmitte (Schenkel) zum Parallelogramm
ergänzen.
Zwei kongruente Trapeze werden zum Parallelogramm
zusammengesetzt. Es entsteht wiederum die doppelte
Fläche.
Es ergibt sich die Berechnung: Grundseite (a+c) mal Höhe
durch 2.
A T = (a + c) · h
2
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• Man könnte das Trapez auch in
ein flächengleiches Rechteck
verwandeln und auf diesem Weg
zur Flächeninhaltsformel
gelangen.
• Diese Möglichkeit gibt es über die
Mittelparallele.
• Führt man jeweils eine Höhe
durch die Mitten der Schenkel
des Trapezes, erhält man durch
Punktspiegelung der
überstehenden Dreiecke ein
flächengleiches Rechteck.
• Aus dieser Konstellation lässt sich
die Flächenberechnung
„Mittelparallele mal Höhe“
ableiten: A = m · h.
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5 Flächeninhalt weiterer Vierecke
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•
•
Die für die Flächenberechnung notwendige Rechtwinkligkeit
findet man beim Drachenviereck über die Diagonalen.
Das Rechteck aus den Diagonalen (e · f) ergibt jeweils eine
Fläche, die doppelt so groß ist, wie die ursprüngliche.
Daraus ergibt sich für das Drachenviereck die Flächenformel „e · f
geteilt durch 2“.
Diese Formel kann auch für die Raute genutzt werden, da sich
auch hier die Diagonalen senkrecht schneiden.
Das dritte Viereck, bei dem das so ist, ist das Quadrat. Auch hier
lässt sich die Flächengröße über e · f (bzw. e2 oder f2), also e2
berechnen.
2
14
Quadratfläche mit den
Diagonalen
berechnen: A = e2
2
e
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6 Flächeninhalt des Kreises
• Für die Berechnung einer kreisförmigen Fläche
kann man auch rechteckige Flächen zugrunde
legen. Wie oft passt die Fläche r · r in den
Kreis? Man fand heraus, genau  mal.
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7 Flächenverwandlungen
• Nutzt man die in den
Flächenformeln steckenden
Zusammenhänge, kann man
für Parallelogramm, Trapez
und Dreieck flächengleiche
Figuren entstehen lassen.
• Aus der Formel für den
Flächeninhalt eines
Parallelogramms folgt:
Parallelogramme mit gleich
langen Grundseiten und
Höhen haben den gleichen
Flächeninhalt.
Flächengleiche Parallelogramme
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• Aus der
Flächeninhaltsformel für
ein Trapez folgt:
Trapeze mit gleich
langen Mittellinien und
Höhen haben gleichen
Flächeninhalt.
Flächengleiche Trapeze
• Analog gilt für Dreiecke:
Dreiecke mit gleich langen
Grundseiten und zugehörigen
Höhen haben den gleichen
Flächeninhalt.
Flächengleiche Dreiecke
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8 Umfang und Flächeninhalt
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Interessant für die Schule sind Betrachtungen zum Zusammenhang
zwischen Flächeninhalt und Umfang. (Zerschneide ein Quadrat in
zwei gleichgroße Teile und lege sie anders zusammen. Bleibt die
Flächengröße gleich? Bleibt der Umfang gleich?)
Aus dem
Quadrat
(links) sind
die 3 anderen
Figuren
entstanden.
Alle 4 Figuren
haben also die
gleiche
Fläche. Miss
den Umfang.
Vergleiche.
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• Dies führt zur Erkenntnis, dass Flächen gleicher Größe sich im
Umfang unterscheiden können.
• Danach könnte überprüft werden, ob auch gilt: gleicher
Umfang – unterschiedliche Flächengröße ?
• Aufgabe: Der Umfang einer Figur soll 24 Kästchen
betragen. Zeichne verschiedene Figuren auf
Kästchenpapier. Vergleiche die Flächen. Was stellst du
fest?
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Aufgabe zur Vorbereitung auf die Übung Woche
vom 18.01.-22.01.2016
• Stellen Sie Papiermodelle von Parallelogramm, Dreieck,
Drachenviereck und Trapez her. Veranschaulichen Sie, wie sich
die Figuren in Rechtecke bzw. Parallelogramme (als Grundlage
für Flächenberechnungen) verwandeln lassen. Leiten Sie die
Formeln her.
Wer nicht mit Papier veranschaulichen möchte, skizziert
oder zeichnet die Figuren als Grundlage für die
Herleitungen.
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