Das Black-Scholes Modell

Das Black-Scholes Modell
Vathani Arumugathas
Seminar zu Finanzmarktmodellen in der Lebensversicherung, Universität zu Köln
10. Juni 2016
Inhaltsverzeichnis
• Einführung in das Modell
• Äquivalentes Martingalmaß
• Das äquivalente Martingalmaß im Black-Scholes Modell
• Die Black-Scholes Formel
• Impliziete Volatilität
• Black-Scholes Gleichung
Vathani Arumugathas — Das Black-Scholes Modell
1
Einführung in das Modell
Kernfrage: Was ist der arbitragefreie Preis einer Option?
Allgemein wird in dem Modell einige Vereinfachungen gegenüber der Realität
angenommen:
I
Keine Transaktionskosten
I
Keine Dividendenzahlungen
I
Keine Steuern
Definition: Ein kontinuierliches Finanzmarktmodell mit endlichem Horizont T
ist gegeben durch
I
I
I
T ∈ [0, ∞), den letzten im Modell berücksichtigten Handelszeitpunkt,
F̃ = (Ft ), die den Informationsverlauf beschreibende Filtration,
S̃ j = (Stj )t∈[0,T ] , j = 0 . . . g , die die Preisentwicklung von Finanzgut j
beschreibenden, adaptierten reellwertigen stochastische Prozesse S̃ j .
Vathani Arumugathas — Das Black-Scholes Modell
2
Wir betrachten folgende zwei Finanzgüter:
I
1.Finanzgut: Der Bond ist eine festverzinsliche Anlage mit kontinuierlicher
Verzinsung bei vorliegender fester Zinsrate r . Der Preis des Bonds ist
gegeben durch
St0 = e rt für t ∈ [0, T ].
Die zugehörige (deterministische) Differentialgleichung lautet:
dSt0 = rSt0 dt.
I
2.Finanzgut: Die Aktie ist ein risikobehaftetes Finanzgut. Der Preis der
Aktie wird modelliert durch
St1 = S0 e µt+σWt −
σ2
2
t
= S0 e (µ−
σ2
2
)t+σWt
.
Dies ist die Lösung der stochastischen Differentialgleichung
dSt1 = µSt1 dt + σSt1 dWt .
I
I
Wt ist ein Wienerprozess auf dem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P).
Wir sprechen hier von einem Aktienpreisprozess mit Volatilität σ, Trend
µ ∈ R und der Anfangskurs S0 > 0.
Vathani Arumugathas — Das Black-Scholes Modell
3
Definition: Ein stochastischer Prozess X̃ wird als Wienerprozess mit Volatilität
σ > 0 und Drift a ∈ R bezeichnet, falls der Prozess
σ −1 (Xt + at)
ein Wienerprozess ist. Dieser wird auch als brownsche Bewegung bezeichnet.
Definition: Ein stochastischer Prozess der Form
σWt +at
et∈[0,∞)
für t ∈ [0, ∞]
mit dem Wienerprozess (Wt )t≥0 heißt geometrische Brownsche Bewegung mit
Volatilität σ und Drift a.
Vathani Arumugathas — Das Black-Scholes Modell
4
2
I
Eine geometrische Brownsche Bewegung ist ein Martingal, falls a = − σ2
gilt.
I
Der normierte Aktienkurs St1 /S01 ist gegeben durch eine geometrische
2
Brownsche Bewegung mit Volatilität σ und Drift (µ − σ2 )
I
St1 = S01 e (µ−
I
Produkt aus dem mittleren Kurs
(e −
σ2
2
t+σWt
S01 e µt
σ2
2
)t+σWt
.
und dem Martingal
)t ≥ 0 mit Erwartungswert 1.
Vathani Arumugathas — Das Black-Scholes Modell
5
Äquivalentes Martingalmaß
Satz von Girsanov: Es sei X̃ ein Wienerprozess mit Volatilität σ und Drift b.
Sei a ∈ R und T > 0. Wir definieren
LT = e
2
2
a−b
XT − a −b
σ2
2σ 2
T
.
Dann wird durch Q(A) = E(LT 1A ) ein zu P äquivalentes
Wahrscheinlichkeitsmaß Q so definiert, dass (Xt )t∈[0,T ] Wienerprozess mit
Volatilität σ und Drift a bzgl. Q ist.
Vathani Arumugathas — Das Black-Scholes Modell
6
Das äquivalente Martingalmaß im Black-Scholes Modell
Wir betrachten den Black-Scholes Modell mit
I
I
Bondpreisprozess St0 = e rt ,
Aktienpreisprozess
St1
t ∈ [0, T ],
2
= S0 e
(µ− σ2 )t+σWt
,
t ∈ [0, T ].
Der diskontierte Aktienpreisprozess ist gegeben durch
St1 /St0 = S0 e (µ−r −
σ2
2
)t+σWt
= S 0 e Xt ,
t ∈ [0, T ],
wobei (Xt )t∈[0,T ] ein Wienerprozess mit Volatilität σ und Drift (µ − r −
σ2
)
2
ist.
Gesucht: ein zu P äquivalentes Wahrscheinlichkeitsmaß Q mit Eigenschaft,
dass
(e Xt )t∈[0,T ]
ein Martingal bzgl. Q ist.
Definiere Q durch
ν2
dQ
= LT = e νWT − 2 T
dP
Vathani Arumugathas — Das Black-Scholes Modell
7
Satz von Girsanov ⇒ (Xt )t∈[0,T ] ist ein Wienerprozess mit Volatilität σ und
2
Drift (σν + µ − r − σ2 ) bzgl. Q
r −µ
σ
liefert die Drift −
σ2
2
I
ν=
I
(e Xt )t∈[0,T ] ist ein Martingal.
I
Q ist das eindeutig bestimmte äquivalente Martingalmaß.
I
Der Aktienpreisprozess verhält sich also gemäß
St1 = S0 e (µ−
St1 = S0 e (r −
σ2
2
σ2
2
)t+σWt
bzgl. P,
)t+σW t
bzgl. Q,
wobei
(W t )t∈[0,T ] = (Wt −
r −µ
t)
σ
ein Wienerprozess bzgl. Q ist.
Vathani Arumugathas — Das Black-Scholes Modell
8
Die Black-Scholes Formel
I
Ein Black-Scholes-Claim ist gegeben durch
FT -messbares
I
C : Ω → R.
Der faire Preis dieses Claims im Zeitpunkt t = 0 wird festgesetzt als
s(C ) = EQ (e −rT C )
unter der Voraussetzung, dass dieser Erwartungswert existiert.
Betrachte europäischer Call mit Ausübungspreis K und Laufzeit T
und einen Black-Scholes Claim der Form
C = (ST − K )+ .
Dieser Claim ist FT − messbar, da der Aktienpreisprozess ein adaptierter
Prozess ist.
Der faire Preis im Zeitpunkt t = 0 ist gegeben durch
EQ (e −rT (ST − K )+ ).
⇒ Die Berechnung dieses Erwartungswerts führt zu der bekannten
Black-Scholes-Formel.
Vathani Arumugathas — Das Black-Scholes Modell
9
Black-Scholes Formel für eine europäische Call Option
Satz: Betrachtet werde ein Black-Scholes-Modell mit Zinsrate r . Der faire
Preis des europäischen Calls im Zeitpunkt t = 0 mit Ausübungspreis K und
Laufzeit T ist gegeben durch

C (S, t) = S0 Φ 
wobei
log
S0
K
+T r +
√
σ T
σ2
2

1
Φ(x) = √
2π

−Ke −rt Φ 
Z
x
log
S0
K
+T r −
√
σ T
σ2
2

,
1 2
e− 2 z dz
−∞
die Verteilungsfunktion der N(0, 1)-Verteilung bezeichnet.
Vathani Arumugathas — Das Black-Scholes Modell
10
Bei einem späteren Zeitpunkt t, 0 < t < T , ist der Preis des europäischen Calls
zum Zeitpunkt t gegeben durch

St Φ 
log
St
K
+ (T − t) r +
√
σ T −t
σ2
2

−Ke

−r (T −t)
Φ
log
St
K
+ (T − t) r −
√
σ T −t
σ2
2

.
Der Zeitpunkt t ersetzt den Zeitpunkt 0 mit den Anfangskurs St und
verbleibende Laufzeit T − t.
Vathani Arumugathas — Das Black-Scholes Modell
11
Impliziete Volatilität
Zwei Möglichkeiten die Varianz zu schätzen:
I
Schätzung aus historischen Preisdaten ⇒ historische Volatilität
I
Schätzung aus den Preisen bereits vorhandener Optionen für dieselbe Aktie
historische Volatilität: Daten aus den letzten 90-180 Handelstagen
implizierte Volatilität: Betrachte die Black-Scholes Formel C (S, t)
I
Laufzeit t, Ausübungspreis K , Aktienpreis St , Zinsrate r und
gegenwärtigen Marktpreis einer Option C bekannt
I
Volatilität unbekannt
I
Volatilität mittels Black-Scholes Formel implizit berechnen
I
implizite Volatilität als Funktion des Ausübungspreises K
⇒ Smile-Effekt
Vathani Arumugathas — Das Black-Scholes Modell
12
Dabei heißt eine Option
I
at the money, falls St ungefähr gleich K ,
I
in the money, falls St größer als K ,
I
deep in the money, falls St wesentlich größer als K ,
I
out of the money, falls St kleiner als K ,
I
deep out of the money, falls St wesentlich kleiner als K
vorliegt.
Vathani Arumugathas — Das Black-Scholes Modell
13
Black-Scholes Gleichung
I
ein Bond mit Dynamik dB = rB(t)dt,
I
eine Aktie mit Drift µ ∈ R, Volatilität σ ≥ 0 und eindimensionaler
Brownschen Bewegung Wt : dS(t) = µS(t)dt + σS(t)dWt .
Sei V (t, S) der Wert der Option zum Zeitpunkt t mit der Laufzeit T .
Definition[Portfolio]: Das Portfolio ist gegeben durch
Y = c1 (t)B + c2 S − V (t, S),
welches aus c1 (t) Bond-Anteile und c2 (t) Aktienanteile und einer verkauften
Option besteht. Die Handelsstrategie (c1 , c2 ) ist so zu bestimmen, dass
folgende Eigenschaften gelten:
(1) Das Portfolio Y ist risikolos. Es gilt daher
dY = rY dt.
(1)
(2) Das Portfolio ist selbstfinanzierend. Dies wird durch die Gleichung
dY = c1 dB + c2 dS − dV
(2)
ausgedrückt.
Vathani Arumugathas — Das Black-Scholes Modell
14
Lemma von Ito : Sei Xt ein Ito-Prozess, dass die Gleichung
dXt = µdt + σdWt
erfüllt und sei f (Xt , t) = Yt eine zweimal stetig differenzierbare Funktion.
Dann ist Yt ein Ito-Prozess und
dYt =
∂Yt
∂Yt
1 ∂ 2 Yt
dt +
dXt +
dXt2 ,
∂t
∂Xt
2 ∂Xt2
wobei dt 2 = 0, dtdWt = 0 und dWt2 = dt
Satz: Es sei eine europäische Option V (t, S) gegeben. Dann ist die zugehörige
Black-Scholes Gleichung gegeben durch
∂V
∂V
1 ∂2V
+ rS
+
= rV
∂t
∂S
2 ∂S 2
Vathani Arumugathas — Das Black-Scholes Modell
(3)
15